1.1探索勾股定理第一课时教案

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1.1 探索勾股定理(第1课时) 八年级上册北师大版

（图中每个小方格代表一个单位面积）
探究新知
思考2 怎样求出C的面积?
C A
B
图1
分割成若干个直角边为整数的三角形 S正方形C = 4×12×3×3 =18（单位面积）
（图中每个小方格代表一个单位面积）
探究新知
练一练通过对图1的学习，
求出图2正方形A,B,C中面积
各是多少?
C A
解：正方形A的面积是4个单位面积，正方形B的面积是4个单位面积，正方形C 的面积是8个单位面积.
探究新知
素养考点 1 利用勾股定理求直角三角形的边长
例1 如果直角三角形两直角边长分别为 BC=5厘米,AC=12厘米,
求斜边AB的长度.
A
解：在Rt△ABC中根据勾股定理, AC²+BC²=AB²， AC=12，BC=5
b
c
所以12²+5²=AB²，
C aB
所以AB²=12²+5²=169，所以AB=13厘米. 答：斜边AB的长度为13厘米.
勾股树
A
B
素养目标
3.学生初步运用勾股定理进行简单的计算和实际的应用. 2.在探索过程中，学生经历了“观察-猜想-归纳” 的教学过程，将形与数密切联系起来. 1.通过数格子的方法探索勾股定理；学生理解勾股定理反映的是直角三角形三边之间的数量关系.
探究新知
知识点勾股定理的探索
做一做
在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形，分别测量它们的三条边长，并填入下表.看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流.
_2_4___,斜边为上的高为__4_._8__.
A D
C
B
课堂检测
基础巩固题

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第一章勾股定理1.探索勾股定理（第1课时）一、学生起点分析二、教学任务分析本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级（上）第一章《勾股定理》第一节第1课时.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用.本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性.此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值.为此本节课的教学目标是:1.用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用.2.让学生经历观察一猜想一归纳一验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法.3.进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系.4.在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化历史，激励学生发奋学习.三、教学过程设计本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探索发现勾股定理；第三环节：勾股定理的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业.第一环节：创设情境，弓I入新课内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标:第1页第2页会标中央的图案是一个与勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用勾股定理”的图来作为与外星人”联系的信号.今天我们就来一同探索勾股定理.（板书课题）意图：紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育效果：激发起学生的求知欲和爱国热情.第二环节：探索发现勾股定理1. 探究活动一内容：投影显示如下地板砖示意图,引导学生从面积角度观察图形:问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗? 学生通过观察，归纳发现:结论1以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和, 长的正方形的面积.意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边.通过对特殊情形的探究得到结论1,为探究活动二作铺垫.效果：1.探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力； 2•通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望 .2. 探究活动二内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢? （1）观察下面两幅图:等于以斜边为边（2）填表:师应给予充分肯定.）学生的方法可能有:方法一: A的面积（单位面积）B的面积（单位面积）C的面积（单位面积）左图右图（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流. 去四个直角三角形的面积, （学生可能会做出多种方法，教如图1 ,将正方形C分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形，第4页效果：学生通过充分讨论探究，在突破正方形 C 的面积计算这一难点后得出结论 2. 3. 议一议内容：（1）你能用直角三角形的边长a ，b ，c 来表示上图中正方形的面积吗? （2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗?（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度.2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗?勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 .如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a 2+b 2=c 2.数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，勾股定理”因此而得名.（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理）意图：议一议意在让学生在结论2的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理.效果：1.让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力; 过作图培养学生的动手实践能力.第三环节：勾股定理的简单应用内容:例题如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面 10m 处折断倒下，树顶落在离树根24m 处.大树在折断之前高多少?（教师板演解题过程）练习:1基础巩固练习:求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：2.生活中的应用:2.通2.观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足a 2 +b 2 =c 2 ?小明妈妈买了一部29 in （74 cm ）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有 58 cm 长和46 cm 宽，他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗?意图：练习第1题是勾股定理的直接运用，意在巩固基础知识.效果：例题和练习第2题是实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活, 意在培养学生用数学”的意识.运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容第四环节：课堂小结内容: 教师提问:1.这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法?2.对这些内容你有什么体会？与同伴进行交流. 在学生自由发言的基础上，师生共同总结:1.知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用 a ，b ，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a 2 +b 2 =c 22.方法：（1）观察一探索一猜想一验证一归纳一应用;(2) 割、补、拼、接”法.3.思想：（1）特殊一一般一特殊; 意图: 效果: 结的意识.数形结合思想.鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动.通过畅谈收获和体会，意在培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总第五环节：布置作业内容：布置作业：1.教科书习题1.1.意图：课后作业设计包括了三个层面：作业1是为了巩固基础知识而设计；作业2是为了扩展学生的知识面；作业3是为了拓广知识，进行课后探究而设计，通过此题可让学生进步认识勾股定理的前提条件.效果：学生进一步加强对本课知识的理解和掌握.五、教学设计反思（一）设计理念依据学生是学习的主体”这一理念，在探索勾股定理的整个过程中，本节课始终采用学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行主动学习.教师只在学生遇到困难时, 进行引导或组织学生通过讨论来突破难点.（二）突出重点、突破难点的策略为了让学生在学习过程中自我发现勾股定理，本节课首先情景创设激发兴趣，再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特殊情形入手，自然过渡到探究一般直角三角形，学生通过观察图形，计算面积，分析数据，发现直角三角形三边的关系，进而得到勾股定理.少年智则国智，少年富则国富，少年强则国强，少年独立则国独立，少年自由则国自由，少年进步则国进步，少年胜于欧洲，贝恫胜于欧洲，少年雄于地球，则国雄于地球。

北师大版数学八年级上册1.1探索勾股定理(第1课时)教学设计

-通过介绍勾股定理在建筑、工程等领域的应用，激发学生的好奇心，为新课的学习营造氛围。
-利用多媒体展示勾股定理在生活中的具体实例，使学生感受到数学与生活的紧密联系。
2.自主探究，发现规律
-设计探究活动，让学生通过观察、实践、思考，发现直角三角形边长之间的数量关系，引导学生自主发现勾股定理。
-分组讨论，让学生在
5.总结反思，拓展提升
-引导学生总结勾股定理的学习过程，反思自己的学习方法和策略。
-拓展勾股定理的应用，如涉及勾股定理的趣味题目、实际应用等，激发学生的学习兴趣。
6.情感态度与价值观的培养
-在教学过程中，关注学生的情感需求，鼓励学生克服困难，增强自信心。
-培养学生严谨、认真的学习态度，使学生形成良好的学习习惯。
3.知识讲解，突破难点
-采用直观、生动的教学手段，如动画、模型等，帮助学生理解勾股定理中的平方关系。
-结合具体例题，引导学生运用勾股定理解决实际问题，突破难点。
4.多元化练习，巩固知识
-设计不同难度、类型的练习题，使学生在练习中巩固勾股定理的知识。
-针对学生的不同需求，提供个性化辅导，帮助学生克服困难，提高解题能力。
7.教学评价
-采用多元化评价方式，如课堂表现、练习成绩、小组合作等，全面评估学生的学习情况。
-关注学生的成长过程，及时给予反馈，指导学生调整学习方法和策略。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
1.教师通过提问方式引导学生回顾直角三角形的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
-问题1：直角三角形有什么特点？
（四）课堂练习，500字
1.设计具有针对性和层次性的练习题，让学生独立完成。
-练习题1：已知直角三角形的边长，判断是否符合勾股定理。

八年级数学上册1.1探索勾股定理教案

课题：1.1 探索勾股定理（1）教学目标：1．引导学生经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系．2．引导学生探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力．教学重点：了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题．教学难点：勾股定理的发现．课前准备：多媒体课件、三角板．教学设计：一、创设情境，自然引入引导语：毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500多年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客．在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．同学们，我们也来观察下面图中的地面，看看你能发现什么？是否也和大哲学家有同样的发现呢？它蕴涵着怎样迷人的奥妙呢？这节课我就带领大家一起探索勾股定理．师：（板书课题）1.1探索勾股定理（1）设计意图：问题的设计有一定的挑战性，目的是激发学生的探究欲望，老师要注意引导学生将实际问题转化为数学问题．学生会感到一些困难，从而老师指出学习了今天的这节课后，同学们就会有办法解决了．这种以实际问题作为切入点导入新课，不仅自然，而且也反映了“数学来源于生活”，学习数学是为更好“服务于生活”．二、设问质疑，合作探究探究一师：你能发现下图中等腰直角三角形ABC有什么性质吗？等腰直角三角形都有上述性质吗？观察下图，并回答问题：（1）观察图1．（图中每个小方格代表一个单位面积）正方形A中含有______个小方格，即A的面积是______个单位面积；正方形B中含有______个小方格，即B的面积是______个单位面积；正方形C中含有______个小方格，即C的面积是______个单位面积．（2）在图2、图3中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？你是如何得到上述结果的？与同伴交流．（3A的面积（单位面积） B的面积（单位面积）C的面积（单位面积）图1图2图3生：我们从上面的图中更进一步验证了等腰直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方．学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C．师：原来著名的哲学家毕达哥拉斯，他在朋友家地板砖的启发下，也发现了这个结论．并且还做了更为深入的研究，你知道是什么吗？生：等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形是否也有这个性质呢？师：的确如此，想知道结果吗？我们不妨寻着大哲学家的足迹，也做更深入的探究．设计意图：通过让学生观察计算，发现对于等腰直角三角形而言，满足两直角边的平方和等于斜边的平方，让学生亲历发现、探究结论的过程，也有利于培养学生的语言表达能力，体会数形结合的思想．探究二师：等腰三角形有上述性质，其他的三角形也有这个性质吗？如下图，每个小方格的面积均为1，请分别计算出下图中正方形A、B、C，A′、B′、C′的面积，看看能得出什么结论．预设：生1：从图中不难观察出A、B两个正方形分别含有4个小方格和9个小方格；A′、B′两个正方形分别含有9个小方格和25个小方格．生2：正方形C的面积可看作虚线标出的正方形的面积减去四个直角三角形的面积，即5×5-4×12×2×3=13．所以正方形A的面积＋正方形B的面积等于正方形C的面积，即4+9=13．生3：用同样的方法计算C′的面积可得8×8-4×12×3×5=64-30=34．所以正方形A′的面积＋正方形B′的面积＝正方形C′的面积．师：三个正方形之间的面积关系能用直角三角形的三边关系表示吗？在同学的交流回答的基础上，师板书：勾股定理：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形两直角边和斜边，那么a2+b2=c2．设计意图：意在让学生在上面面积结论的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得100到勾股定理.并能用自己的语言叙述出来. 使学生感受方法的技巧获得掌握知识的快感，这对于学生良好思维品质的形成有重要作用．数学小史：（投影出示）师：当时大哲学家也发现并进一步深入探究的也正是这个结论，看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的道理．我们也应该向大哲学家学习，认真体验生活，努力发现生活中存在的各种奥秘．这一结论，在国外就叫做“毕达哥拉斯定理”，而在中国则叫做“勾股定理”．勾股定理到底是谁最先发现的呢？我们可以自豪地说：是我们中国人最早发现的．证据就是《周髀算经》，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名． “勾三，股四，弦五”正是直角三角形三边关系的重要体现．不仅如此，我们汉代的赵爽曾用2002年在北京召开的国际数学家大会的徽标的图案如右图证明了此结论，也正因为为了纪念这一伟大的发现而采用了此图案作徽标．下节课我们将要做更深入的研究．大哲学家毕达哥拉斯发现这一结论后，就已认识到，他的这个发现太重要了．所以，按照当时的传统，他高兴地杀了整整一百头牛来庆贺．设计意图：此处主要是让学生对数学的一些历史有所了解，并让他们知道，我国在数学的发展史上占有非常重要的作用，培养学生的爱国热情，激励他们更加努力的学习，争取长大后也能为国争光．三、思维训练，应用新知例1 （投影出示）如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9m 处折断倒下，树顶落在离树根12m 处. 大树在折断之前高多少？解：设树倒下部分的面积为x m∵树倒下后与地面正好构成一个直角三角形∴222912x =+225811442=+=x∴15=x （m ）∴大树在折断前的高度为：24915=+(m)例2 （投影出示）小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机．小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？解：我们通常所说的29英寸和74厘米的电视机，是指其荧屏的对角线的长度，而不是其荧屏的长和宽，同时，荧屏的边框遮盖了一部分，所以实际测量存在一些误差．设计意图：例题学习其目的是巩固新知，通过老师的扳演，强调格式步骤．通过引例的探究，让学生知道勾股定理在现实生活中的应用非常多，同时也让学生明白如何利用勾股定理来解题，尤其是解题过程如何书写.基础题型练习：1．求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）2．如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）A ．8米B ．10米C ．12米D ．14米3．如图，在△ABC 中，cm AC AB 10==，AC BD ⊥于点D 且cm CD 2=，则BC 的长是（）A ．cm 6B ．cm 5C ．210cmD ． 8cm 4．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积的和是 cm 2．设计意图：通过练习，进一步加深了学生对勾股定理的理解和应用，也让学生知道了如何运用所学知识服务于解题中来. 在这里通过具体的实际问题，使学生学数学、用数学的意识得到强化.使学生创造性的将数学知识应用于实践,并在实践中获得创造的成功感.更重要的是学生的创造性思维在实践中得到了锻炼．四、交流心得，学习反思 1．你这节课的主要收获是什么？ 2．在探索和验证定理的过程中，我们运用了哪些方法？设计意图：梳理本节课的重要方法和知识点，加深对本节知识的理解．让学生在总结的过程中理清思路、整理经验，对本节课所学的知识结构有一个清晰的认识，再通过排忧解难让学生对知识形成正向迁移 .从而构建出合理的知识体系，养成良好的学习习惯.五、达标检测，反馈矫正1. 已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③5，12，13．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有．（填序号）2．如图，△ABC 是等边三角形，cm AB 4=，则BC 边上的高AD 等于．3. 如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为A ．600mB ．500mC ．400mD ．300m4．一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长的平方为（）A ．25B ．7C ．5D ．25或75．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它恰好落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．设计意图：本节课主要任务是探索勾股定理，所以检测设计三个较为简单的题目，可以提升学生学习信心，培养学生的学习兴趣．及时反馈，了解学生对本节课知识的掌握情况，让学生在独立自主解答问题的过程中，进一步巩固所学的知识，夯实基础，同时培养学生发现问题，解决问题的能力.教师要及时巡视，根据学生的完成情况有针对性的进行讲解.六、布置作业，落实目标第2题图第3题图D A 7cm CB 第4题图第5题图第2题图第3题图必做题：P7 第1、2、3 题．选做题：印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．注:花离原位二尺远指两花之间的距离.设计意图：Ａ组题目为必做题，一方面可以了解学生对本节课所学内容的掌握情况，同时也可以培养学生快速准确解答问题的能力. Ｂ组问题为学有余力的同学设计，努力使每个学生在课堂上都有所发展，也充分利用课堂时间提高了优秀生解决问题的能力，如课上不能完成，可作为课后作业 ,分层次布置作业，使不同层次的学生得到不同的发展．板书设计：。

《探索勾股定理第1课时》示范公开课教学设计【北师大版八年级数学上册】

第一章勾股定理1. 1 探索勾股定理第 1 课时教学设计1.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题.2.经历探索勾股定理的过程，体验数学学习探究的方法.经历观察、归纳、猜想、概括等数学学习活动过程，发展合情推理能力，体会数形结合思想.3.进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识；通过追溯勾股定理的历史，增强学生的爱国情感.【教学重点】勾股定理的发现及其简单应用.【教学难点】勾股定理的发现.本课运用“探究式”“启发式”“开放式”的教学方法，运用多媒体等手段充分调动学生参与课堂学习的积极性，鼓励学生积极思考并实现合作学习.一、创设情境，引入新知数学小故事◆教学目标◆教学重难点◆◆教学方法◆教学过程相传两千多年前，古希腊著名的数学家毕达哥拉斯去朋友家做客.在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地发起呆来.原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方.主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他，谁知，毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了.原来，他发现了地砖上的三个正方形存在某种数学关系.二、合作交流，探究新知问题1：你能发现下图中三个正方形面积之间有怎样的关系吗？问题2：下图中的各组图形面积之间都有上述的结果吗？问题3：你能用等腰直角三角形的边长表示正方形的面积吗？由此猜想等腰直角三角形三边有怎样的关系？教师与学生行为：对于问题（2）、（3）教师给学生足够的思考时间，然后让学生交流合作，得出结论.问题（3）可让学生在自己准备好的小方格上画出，并计算A、B、C三个正方形的面积，用字母表示三个正方形面积之间的数量关系，进而发现了等腰直角三角形三边的特殊关系.并在小组内交流，教师适当引导，深入学生当中，倾听他们的想法.教学效果预估与对策：对等腰直角三角形三边性质的探索，学生们探究欲望会很强烈，小组交流想法也会达成共识，对于验证三个正方形面积之间的关系，在方法上会各有千秋.教师同时辅之多媒体的动态演示，使教学效果更直观，利于学生接受，顺利突破难点.设计意图：通过设计问题串，让探索过程由浅入深，循序渐进.经历观察、猜想、归纳这一数学学习过程，符合学生认知规律.探索面积证法的多样性，体现数学解决问题的灵活性，发展学生的合情推理能力.[探究活动2]做一做：问题1：请分别计算出图中正方形A、B、C的面积，看看能得出什么结论？（A的面积＋B的面积＝C的面积）（A的面积＋B的面积＝C的面积）问题2：如果用a,b,c分别表示三个正方形的边长，三者之间的面积关系如何表示？由三个正方形所搭成的直角三角形三边存在怎样的关系？直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方教师与学生行为：教师观察学生活动，指导与合作，让学生充分发表自己的见解，暴露他们的思维过程.计算正方形C的面积不易求出，教师及时点拨，同时借助多媒体动态演示.教学效果预估与对策：根据探索等腰直角三角形三边关系过程，学生在对探讨一般直角三角形三边性质有了一定基础.计算正方形C的面积利用分割法和把它看做边长是整数的大正方形面积的一半很容易想到，但拼凑法会有一定困难，教师利用多媒体动态演示，从而化难为易，得出直角边为整数的直角三角形三边的特殊关系.设计意图：此环节设计让学生动手画一画，算一算，充分利用计算面积的不同方法，进一步体会数形结合思想，让学生经历从特殊到一般的过程，体会事物由特殊到一般的变化规律,发展学生的合情推理能力.议一议：观察并计算，判断锐角三角形，钝角三角形三边的长度是否满足a2 +b2=c2教师与学生行为：学生观察计算，教师多媒体动态演示.教学效果预估与对策：此环节在探究1、2的基础上，预计学生能大多数独立解决，从而进一步验证了有且只有直角三角形才满足a2+b2=c2.设计意图：经历从特殊到一般的探索过程，学生以初步认识到直角三角形的特有性质，但学生已有的认知基础会不断地向学生提示锐角、钝角三角形是否也具有这样的性质？此环节的设计符合学生的认知特点，通过与锐角三角形、钝角三角形的对比，进一步强调直角三角形三边关系的特征.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a、b、c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2.介绍勾股定理的历史，列举了东西文化中对勾股定理的发现，介绍了一些著名的人物、著作和学派.如商高、《周髀算经》、毕达哥拉斯……这些知识足以激发他们的兴趣，让学生更深刻的体会勾股定理所蕴涵的文化价值.商高《周髀算经》毕达哥拉斯教师与学生行为：老师介绍有关勾股定理的历史，学生认真对比中西方文化，增强对勾股定理的进一步了解.教学效果预估与对策：教师利用多媒体辅助演示，使知识更系统.设计意图：介绍有关勾股定理的历史，使学生对中国乃至世界的数学史产生浓厚的兴趣，为下一节的验证打好基础.三、运用新知1. 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面 9 米处折断倒下，树顶落在离树根12 米处.大树在折断之前高多少？2. 某楼发生火灾，消防车立即赶到距大楼 6 米的地方搭建云梯，升起云梯到达火灾窗口.已知云梯长 10 米，问发生火灾的窗口距离地面多高？（不计消防车的高度）四、巩固新知1. 在△ABC中，∠C= 90°. 若a= 6，b= 8，则c= .2. 在△ABC中，∠C= 90°. 若c= 13，b= 12，则a= .3. 若直角三角形中，有两边长是 3 和 4，则第三边长的平方为（）A. 25B. 14C. 7D. 7或254. 小明妈妈买来一部 29 英寸（ 74 厘米）的电视机,小明量了电视机的荧屏后，发现荧屏只有 58 厘米长和 46 厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？(582=3364 462=2116 74.032≈5480)五、归纳小结1. 你这节课的主要收获是什么？2. 该定理揭示了哪一类三角形中的什么元素之间的关系？3. 在探索和验证定理的过程中，我们运用了哪些方法？4. 你最有兴趣的是什么？你有没有感到困难的地方？略.◆教学反思。

八年级数学上册1.1探索勾股定理第1课时认识勾股定理教案1北师大版(new)

1．1 探索勾股定理第1课时认识勾股定理1．探索勾股定理，进一步发展学生的推理能力;2．理解并掌握直角三角形三边之间的数量关系．（重点、难点）一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树,它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究探究点一：勾股定理的初步认识【类型一】直接利用勾股定理求长度如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，CD ⊥AB于点D,求CD的长．解析:先运用勾股定理求出AC 的长，再根据S△ABC＝错误!AB·CD＝错误!AC·BC,求出CD的长．解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，∴由勾股定理得AC2＝AB2－BC2＝52－32＝42，∴AC＝4cm.又∵S△ABC＝错误! AB·CD＝错误!AC·BC，∴CD＝错误!＝错误!＝错误!(cm），故CD的长是错误!cm.方法总结：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用．【类型二】勾股定理与其他几何知识的综合运用如图，已知AD是△ABC的中线．求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2）．解析:结论中涉及线段的平方，因此可以考虑作AE⊥BC于点E，在△ABC中构造直角三角形，利用勾股定理进行证明．证明:如图，过点A作AE⊥BC 于点E。

在Rt△ACE、Rt△ABE和Rt △ADE中,AB2＝AE2＋BE2,AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2，∴AB2＋AC2＝(AE2＋BE2）＋（AE2＋CE2）＝2（AD2－ED2)＋(DB－DE)2＋(DC＋DE）2＝2AD2－2ED2＋DB2－2DB·DE＋DE2＋DC2＋2DC·DE＋DE2＝2AD2＋DB2＋DC2＋2DE（DC－DB)．又∵AD是△ABC 的中线,∴BD＝CD,∴AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2)．方法总结：构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来．一般地，涉及线段之间的平方关系问题时,通常沿着这个思路去分析问题．【类型三】分类讨论思想在勾股定理中的应用在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长．解析:应考虑高AD在△A BC内和△ABC外的两种情形．解：当高AD在△ABC内部时，如图①。

八年级数学上册1.1探索勾股定理第1课时认识勾股定理教案新版北师大版

八年级数学上册1.1探索勾股定理第1课时认识勾股定理教案新版北师大版一. 教材分析《新版北师大版八年级数学上册》第1.1节“探索勾股定理”是学生在学习了平面几何基本概念和性质的基础上进一步学习的。

本节内容主要让学生通过探究、推理、验证等过程，理解和掌握勾股定理，培养学生的逻辑思维能力和探究能力。

教材通过丰富的背景材料，引导学生参与探究活动，从而激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对平面几何的基本概念和性质有所了解。

但学生在学习过程中，可能对勾股定理的理解停留在死记硬背上，缺乏对定理形成的探究过程。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生参与课堂活动，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。

三. 教学目标1.让学生通过观察、探究、推理、验证等过程，理解并掌握勾股定理。

2.培养学生的逻辑思维能力和探究能力。

3.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：理解和掌握勾股定理。

2.难点：对勾股定理的探究过程和方法的理解。

五. 教学方法1.引导探究法：教师引导学生通过观察、实验、推理、验证等方法，自主探究勾股定理。

2.案例分析法：教师通过提供具体的背景材料，引导学生运用勾股定理解决实际问题。

3.小组合作法：教师学生进行小组合作交流，培养学生的团队合作精神。

六. 教学准备1.准备相关的背景材料和案例，用于引导学生探究和分析。

2.准备多媒体教学设备，用于展示和解释勾股定理。

3.准备练习题和测试题，用于巩固和评价学生的学习效果。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾平面几何基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师展示相关的背景材料，引导学生关注勾股定理在实际问题中的应用。

同时，教师提出探究任务，让学生思考并尝试解决。

3.操练（10分钟）教师学生进行小组合作交流，让学生通过观察、实验、推理、验证等方法，自主探究勾股定理。

第1讲-探索勾股定理(教案)

三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握勾股定理的表达式：a² + b² = c²，其中a、b为直角边，c为斜边。
-学会通过具体实例和图形验证勾股定理的正确性。
-能够运用勾股定理解决实际计算问题，如计算直角三角形的未知边长。
-了解勾股定理在生活中的应用，体会数学与实际生活的紧密联系。
举例：讲解勾股定理时，教师需强调直角三角形三边关系，特别是斜边与两个直角边的关系。通过列举不同直角三角形的例子，让学生观察、计算并总结出勾股定理。
3.增强学生的数据分析能力：通过解决实际问题，让学生掌握运用勾股定理进行数据处理和计算的方法，提高数据分析能力。
4.培养学生的数学应用意识：使学生认识到勾股定理在现实生活中的广泛应用，激发他们将数学知识应用于实际问题的兴趣和意识。
5.培养学生的团队合作精神：在小组讨论和验证勾股定理的过程中，培养学生相互协作、共同探究的合作精神。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《探索勾股定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过直角三角形的情况？”比如，我们在测量墙角或者搭建模型时，经常会遇到直角三角形。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索勾股定理的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。

八年级数学上册1.1探索勾股定理第1课时认识勾股定理教学设计 (新版北师大版)

八年级数学上册1.1探索勾股定理第1课时认识勾股定理教学设计（新版北师大版）一. 教材分析《八年级数学上册1.1探索勾股定理第1课时认识勾股定理》这一节内容，主要让学生了解勾股定理的定义、证明和应用。

通过这一节的学习，使学生能够理解并掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决一些实际问题。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何知识，对一些基本的几何图形和性质有一定的了解。

但是，对于勾股定理的证明和应用可能还比较陌生，因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、探究来理解勾股定理。

三. 教学目标1.让学生了解勾股定理的定义、证明和应用。

2.培养学生观察、思考、探究的能力。

3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.勾股定理的证明。

2.运用勾股定理解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、探究法、案例教学法等，引导学生通过观察、思考、探究来理解勾股定理。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.相关教学案例和习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的内容：在一个直角三角形中，已知两条直角边的长度分别是3cm和4cm，求斜边的长度。

让学生思考如何解决这个问题，从而引出勾股定理。

2.呈现（10分钟）通过PPT课件，介绍勾股定理的定义、证明和应用。

让学生了解勾股定理的背景和意义。

3.操练（10分钟）让学生通过观察、思考、探究，尝试证明勾股定理。

可以分组讨论，每组给出自己的证明方法。

教师在过程中给予引导和指导。

4.巩固（10分钟）通过一些相关的例题和练习题，让学生运用勾股定理解决问题。

教师在过程中给予解答和指导。

5.拓展（10分钟）让学生思考：勾股定理在实际生活中有哪些应用？可以举例说明。

教师在过程中给予引导和指导。

6.小结（5分钟）让学生总结本节课所学的内容，包括勾股定理的定义、证明和应用。

教师在过程中给予补充和指导。

7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的练习题，让学生课后巩固所学内容。

北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理》教学设计

北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理》教学设计一. 教材分析《探索勾股定理》是北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》的第一节内容。

本节课的主要内容是通过实际问题引导学生探究直角三角形三边之间的关系，从而引入勾股定理。

教材通过丰富的情境和探究活动，让学生经历探究过程，感受数学的发现过程，培养学生的探究能力和创新精神。

二. 学情分析学生在七年级已经学习了相似三角形的性质，能够理解直角三角形的概念，但对于勾股定理的证明和应用可能还不够熟练。

因此，在教学过程中，需要关注学生的知识基础，通过适当的引导和启发，帮助学生理解和掌握勾股定理。

三. 教学目标1.理解勾股定理的定义和证明过程。

2.能够运用勾股定理解决实际问题。

3.培养学生的探究能力和创新精神。

四. 教学重难点1.重难点：勾股定理的理解和应用。

2.难点：勾股定理的证明过程。

五. 教学方法1.引导发现法：通过实际问题和探究活动，引导学生发现勾股定理。

2.小组合作学习：学生在小组内进行讨论和交流，共同完成探究任务。

3.情境教学法：通过丰富的情境，激发学生的学习兴趣和探究欲望。

六. 教学准备1.教学课件：制作教学课件，包括图片、动画和视频等，帮助学生形象地理解勾股定理。

2.教学素材：准备一些实际问题，用于引导学生探究勾股定理。

3.学生活动材料：为学生提供一些卡片，上面写有直角三角形的三边长度，用于学生进行小组探究。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的直角三角形，如篮球架、自行车的三角形车把等，引导学生观察并思考直角三角形的特点。

然后提出问题：“直角三角形的三边之间有什么特殊的关系呢？”2.呈现（10分钟）呈现教材中的探究活动，让学生分组进行探究。

每组有一张卡片，上面写有直角三角形的三边长度。

学生通过测量、计算和讨论，发现直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

3.操练（10分钟）学生分组进行探究，验证勾股定理。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

北师大版初中数学八年级上册《1 探索勾股定理探索勾股定理》公开课教案_1

第一章勾股定理
1．探索勾股定理（第一课时）
一、教学目标
知识目标：用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．
能力目标：让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法．
情感目标：在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化历史，激励学生发奋学习．
二、教学重难点
重点：掌握勾股定理并能利用它来解决实际问题。

难点：探索勾股定理。

三、教法学法
教学方法：引导—探究—发现法．
学习方法：自主探究与合作交流相结合．
四、教学准备
多媒体课件和几何画板等
五、教学过程
第一环节：创设情境，引入新课
1.观看视频：勾股定理的历史
2.预备知识
（1）直角三角形的两个锐角有什么关系？怎样求直角三角形的面积?
（2）正方形的面积公式是什么？
第二环节：探索发现勾股定理
1．探究活动一：
内容：（1）投影显示如下地板砖示意图，让学生初步观察：
（2）引导学生从面积角度观察图形：
问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？
学生通过观察，归纳发现：
结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．
学生分小组动手操作实践并验证
∵c2= 4× a2
∴c2=2a2
2．探究活动二：
由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？。

1.1探索勾股定理(第1课时)(教案)

难点解析：学生在解决实际问题时，可能难以将问题转化为直角三角形的边长关系，需要教师引导学生分析问题，建立正确的数学模型。
（3）灵活运用勾股定理进行计算，特别是在涉及到无理数和近似值的情况下。
难点解析：学生在计算过程中可能对无理数的处理和近似值的取舍感到困惑，教师应教授相应的计算技巧，并强调计算准确性。
4.通过实际操作，探索勾股定理的证明方法，增强学生的空间想象力和逻辑思维能力。
5.了解勾股定理在实际生活中的应用，提高学生的应用意识。
本节课将结合教材内容，以实际问题引入勾股定理，引导学生通过观察、思考和讨论，探索并掌握勾股定理。
二、核心素养目标
《探索勾股定理》核心素养目标：
1.培养学生的逻辑推理能力，通过观察、分析和推理，理解并掌握勾股定理及其证明过程。
举例：通过实际案例，如房屋建筑中直角三角形的边长计算，强调勾股定理在实际生活中的应用。
2.教学难点
（1）理解勾股定理的证明过程，尤其是通过几何图形推导出定理的表达式。
难点解析：学生可能难以理解如何从直角三角形的性质推导出勾股定理，需要教师通过直观的图形演示和详细的步骤讲解，帮助学生理解。
（2）在实际问题中，如何正确运用勾股定理建立数学模型，解决实际问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的表达式和证明过程这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和步骤分解来帮助大家理解。

北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理》教学设计1

北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理》教学设计1一. 教材分析《探索勾股定理》是北师大版八年级数学上册的第一节内容。

本节课的主要内容是通过探究直角三角形的边长关系，引导学生发现并证明勾股定理。

教材通过丰富的背景材料，激发学生的学习兴趣，培养学生探索数学规律的能力。

二. 学情分析学生在七年级时已经学习了相似三角形的性质，对三角形的边长关系有一定的了解。

但勾股定理的证明较为抽象，需要学生具有较强的逻辑思维能力。

此外，学生对于证明方法的多样性可能不够了解，需要在教学中进行引导。

三. 教学目标1.了解勾股定理的背景，理解勾股定理的含义。

2.学会用多种方法证明勾股定理。

3.培养学生的探索精神，提高逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.重难点：证明勾股定理。

2.难点：如何引导学生发现并证明勾股定理。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索。

2.运用多媒体辅助教学，直观展示勾股定理的证明过程。

3.采用分组合作学习，培养学生团队协作能力。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.直角三角形模型。

3.勾股定理相关背景材料。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示古代数学家探索勾股定理的故事，激发学生的学习兴趣。

引导学生思考：为什么勾股定理如此重要？2.呈现（10分钟）展示直角三角形的模型，引导学生观察并总结直角三角形边长之间的关系。

呈现勾股定理的定义：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，尝试用不同方法证明勾股定理。

教师巡回指导，引导学生发现证明过程中的关键步骤。

4.巩固（10分钟）选取几种典型的证明方法，让学生在黑板上展示并进行讲解。

其他学生听讲并提问，教师适时给予点评。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：勾股定理在其他领域的应用。

举例说明勾股定理在工程、建筑等方面的应用。

6.小结（5分钟）学生总结本节课的学习收获，教师进行点评并强调勾股定理的重要性。

7.家庭作业（5分钟）布置一道关于勾股定理的应用题，让学生课后思考。

八年级数学上册探索勾股定理(第一课时)教案

探索勾股定理教学设计第（一）课时教学设计思想：本节内容需三课时讲授；勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论.本节意图让学生自己经过观察、归纳、猜想和验证，发现勾股定理.初中学生思维活跃，求知欲强，好奇心浓，所以处理教材内容上尽量发挥学生的学习主动性.设计方格纸上计算面积，用拼图的方法验证等活动，以真正实现学生在知识、智力、能力和全面提高.为面向全体学生，进行小组合作学习，通过交流、议论、取长补短，引导学生团结协作，互帮互学，从而达到共同提高的目的.教学目标：（一）知识与技能1．体验勾股定理的探索过程，由特例猜想勾股定理，再由特例验证勾股定理．2．会利用勾股定理解释生活中的简单现象．（二）过程与方法1．在学生充分观察、归纳、猜想、探索勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．2．在探索勾股定理的过程中，发展学生归纳、概括和有条理地表达活动过程及结论的能力．（三）情感、态度与价值观1．培养学生积极参与、合作交流的意识．2．在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐，锻炼学生克服困难的勇气．教学重点探索和验证勾股定理．教学难点在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理．教学方法交流—探索—猜想．在方格纸上，同学们通过计算以直角三角形的三边为边长的三个正方形的面积，在合作交流的过程中，比较这三个正方形的面积，由此猜想出直角三角形的三边关系．教具准备学生每人课前准备若干张方格纸、投影片教学安排3课时.教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课［师］上面三个小问题是我们以前讨论过的，我们简单的回忆一下．［生］（1）三角形按角的大小来分类可分为：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形；（2）对于一般三角形来说，我们可以用SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS （角角边）、SSS（边边边）来判断两个三角形全等；而对于直角三角形来说，除以上四种方法外，还可以用HL（即有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）．（3）两个直角三角形，有两边对应相等，有两种情况：第一种情况：两条直角边对应相等，这时，我们可注意到它们的夹角也对应相等，利用SAS可判断它们全等．第二种情况：一条直角边和斜边对应相等，利用HL公理即可判断它们全等．综上所述，两个直角三角形，如果有两边对应相等，则这两个直角三角形全等．［师］我们可以注意到直角三角形有它独有的一些特征．在我们学习和生活中，你是否还发现直角三角形的其他特征呢？这节课，我们就来继续研究直角三角形．Ⅱ．讲述新课1．问题串［师］［生］在图1中，正方形A含1个小方格，所以它的面积是1个单位面积；正方形B 含1个小方格，所以B的面积也是1个单位面积；正方形C含2个小方格，所以C的面积是2个单位面积．［师］如何求得正方形C的面积呢？［生］正方形C可划分为四个直角边长都为1个单位的四个全等的等腰直角三角形，所以C的面积为4×（×1×1）=2个单位面积．［生］我们观察可发现，这四个等腰直角三角形重新拼摆，刚好可拼摆成2个小方格，所以C的面积为2个单位面积．［生］正方形C还可以看成边长为2个单位的正方形面积的一半，即C的面积为×22=2个单位面积．［师］同学们能够不拘一格地积极思考问题，用多种方法去求得图1中C的面积，值得发扬广大，那么图2，图3中的A，B，C的面积是否可借鉴图1中的A，B，C的求法获得呢？请与你的同学们讨论、交流。