考研讲义数三经济部分

第十三章微积分在经济学中的经济应用（数三）

《考试要求》

1.掌握导数的经济意义（含边际与弹性的概念）。

2.了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。

3.掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。

4.会应用一阶差分方程、极限、级数等知识求解简单的经济应用问题。

一、.极限及级数在经济学中的应用

（一）复利：

设某银行年利率为r，初始存款为A o元，

（1）一年支付一次利息（称为年复利），则t年后在银行的存款余额为

A=Ao（l+"

r nt

（2）若一年支付n次，则t年后在银行的存款余额为4二A（1二）

n

（3）由于lim [（1 -）r]rt-e rt，所以当每年支付次数趋于无穷时，t年后得到n T^ n

的存款余额为A =A o e

称为t年后按连续复利计算得到的存款余额。

（二）将来值与现值：

上述结论中，称A是Ao的将来值，而Ao是A的现值。现值与将来值的关系为：

人=筑（1十｛ = Ao=A（l+r）° 或人=筑（1十川=Ao = A（l + r）」

例1现购买一栋别墅价值300万元，若首付50万元，以后分期付款，每年付款

数目相同，10年付清，

年利率为6%,按连续复利计算，问每年应付款多少？

例2( 08)设银行存款的年利率为0.05，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取(10+9n)万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元？

、

二.经济学中的常用函数

需求函数：Q二Q(P),通常Q二Q(P)是P的减函数；

供给函数：Q=Q(P),通常Q =Q(P)是P的增函数；

成本函数：C(Q)二C。• G(Q),其中C。=C(0)为固定成本，G(Q)为可变成

本；

收益函数：R=PQ；

利润函数：L(Q)二R(Q) -C(Q).

例1某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为p,和p2,

销售量分别为q和q2,需求函数分别为q1=24 -02p1, q^1^0.05p2，总成本函数为C =35 40(q1 q2),试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大的总利润为多少？

例2 (99)设生产某种产品必须投入两种要素，人和X2分别为两种要素的投入量，Q为产出量；若生产函数为Q=2x f X2‘，其中〉「为正常数，且“心-1, 假设两种要素的价格分别为p1和P2试问：当产出量为12时，两要素各投入多少

可以使得投入总费用最小？

解需要在产出量2X1%：=12的条件下，求总费用Rxr P2X2的最小值，为此

作拉格朗日函数

F(X1,X2, ■)二P i X i P2X2 -(12-2x1X2：)

一=Pi 一2加乂孑如2卩=0, (1)

cX1

《兰= P2—2ZP x%出=0, (2) 由(1)和(2),得

&

2

兰=12—2X$X2P=0.(3)

L.弘

X2二6( —) - ,X1二(P」)；因驻点唯一一,且实际问题存在最小值，故当p^ P1P

X1 =(^^)：X2 时，投入总费用最小.

P1 戸P2«

三.利用导数求解经济应用问题

(一)、边际量：

当某经济量y=y(x)的自变量X增加一个单位时经济量的改变量称为该

经济量的边际量，如边际成本、

边际收益、边际利润等，由于y(x • 1)-y(x) ：、y (x),且对于大数而言，一个

单位可以看成是微小的，习惯

上将y (x)视为y二y(x)的边际量.

1 、定义：设y=f(x )或y=f(X,t )，则称d y或色为y关于X的边际函

dx ex

数。

2、经济学含义：dy表示自变量x增加一个单位时经济量v x的改变量。dx y(x)

(二)、弹性函数：

dy

1 、定义：设某经济量y二y(x)，称■二E V =y = x dy为y二y(x)的弹性

Ex dx y dx

函数

2、 经济学含义：当自变量x 增加1%寸，经济量y 二y （x ）增加（

0时）

或减小（口 <0时）耳%。 3、 需求弹性：由于一般情况下需求函数 Q 二Q （P ）是P 的减函数,因此定 义需

求对价格的

弹性 E^ -E ^= -（恒正，表示价格增加

时需求减小E p %）

EP Q dP 1% p

其中x 为产量（假定等于需求量）,P 为价格，试求

（1）边际成本；（2）边际收益；（3）边际利润；（4）收益的价格弹性 例2设某商品的需求函数为f （P ）=1^-p

2

（1）求需求弹性函数及 P=6时的需求弹性，并给出经济解释。

（2）当P 取什么值时，总收益最大？最大总收益是多

例3（ 15）为了实现利润最大化，厂商需要对某种商品确定其定价模型。设 Q 为需求量，

P 为价格，MC 为边际成本， 为需求弹性（正数）

（1） 证明定价模型P = 1 ⑵右成本函

1

C （Q ） =1600 + Q 2,需求函数Q=40-P,试由（1中的定价模型确定此商品的价格。

例4（04）某商品的需求函数为 Q = 100 : 5P ，其中价格 P : （0,20）

，Q 为需求量.

⑴ 求需求量对价格的弹性 E d （ E d > 0）；

（II ）推导dR 5切（其中R 为收益），并用弹性E d 说明价格在何范围内

变化时，降低价格反而使收益增加

例1设某产品的成本函数为

C(x) =400 3x 丄x 2, 2 而需求函数为 100