初中数学最值问题典型例题

中考数学最值问题总结

考查知识点:1、“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“点关于线对称”,“线段的平移”。 (2、代数计算最值问题 3、二次函数中最值问题)

问题原型:饮马问题 造桥选址问题 (完全平方公式 配方求多项式取值 二次函数顶点) 出题背景变式:角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路:找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型: 条件:如下左图,A 、B 就是直线l 同旁的两个定点. 问题:在直线l 上确定一点P ,使PA PB +的值最小. 方法:作点A 关于直线l 的对称点A ',连结A B '交l 于 点P ,则PA PB A B '+=的值最小

例1、如图,四边形ABCD 就是正方形,△ABE 就是等边三

角形,M 为对角线BD(不含B 点)上任意一点,将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN,连接EN 、AM 、CM.

(1)求证:△AMB ≌△ENB;

(2)①当M 点在何处时,AM+CM 的值最小;

②当M 点在何处时,AM+BM+CM 的值最小,并说明理由;

(3)当AM+BM+CM 的最小值为 时,求正方形的边长。

例2、如图13,抛物线y=ax 2＋bx ＋c(a≠0)的顶点为(1,4),交x 轴于A 、B,交y 轴于D,其中B 点的坐标为(3,0) (1)求抛物线的解析式

(2)如图14,过点A 的直线与抛物线交于点E,交y 轴于点F,其中E 点的横坐标为2,若直线PQ 为抛物线的对称轴,点G 为PQ 上一动点,则x 轴上就是否存在一点H,使D 、G 、F 、H 四点围成的四边形周长最小、若存在,求出这个最小值及G 、H 的坐标;若不存在,请说明理由、 (3)如图15,抛物线上就是否存在一点T,过点T 作x 的垂线,垂足为M,过点M 作直线M N ∥BD,交线段AD 于点N,连接MD,使△DNM ∽△BMD,若存在,求出点T 的坐标;若不存在,说明理由、

A

B A '

′

P

l

例3、如图1,四边形AEFG与ABCD都就是正方形,它们的边长分别为a,b(b≥2a),且点F在AD上(以下问题的结果可用a,b表示)

(1)求S△DBF;

(2) 把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转450得图2,求图2中的S△DBF;

(3) 把正方形AEFG绕点A旋转任意角度,在旋转过程中,S△DBF就是否存在最大值,最小值?

如果存在,试求出最大值、最小值;如果不存在,请说明理由。

例4、如图,在平面直角坐标系中,直线

1

y=x+1

2

与抛物线2

y=ax+bx3

-交于A,B两点,点A

在x轴上,点B的纵坐标为3。点P就是直线AB下方的抛物线上一动点(不与A,B重合),过点P作x轴的垂线交直线AB与点C,作PD⊥AB于点D

(1)求a,b及sin ACP

∠的值

(2)设点P的横坐标为m

①用含m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值;

②连接PB,线段PC把△PDB分成两个三角形,就是否存在适合的m值,使这两个三角形的面积之比为9:10？若存在,直接写出m值;若不存在,说明理由、

例5、如图,⊙C的内接△AOB中,AB=AO=4,tan∠AOB=3

4

,抛物线2

y ax bx

=+经过点A(4,0)

与点(-2,6)、

(1)求抛物线的函数解析式;

(2)直线m与⊙C相切于点A,交y于点D、动点P在线段OB上,从点O出发向点B运动;

同时动点Q在线段DA上,从点D出发向点A运动;点P的速度为每秒1个单位长,

点Q的速度为每秒2个单位长,当PQ⊥AD时,求运动时间t的值;

(3)点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上,当△ROB面积最大时,求点R的坐标、

例1、证明:(1)∵△ABE就是等边三角形,

∴BA=BE,∠ABE=60°.

∵∠MBN=60°, ∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN.即∠MBA=∠NBE.

又∵MB=NB,∴△AMB≌△ENB(SAS).(5分)

解:

(2)①当M 点落在BD 的中点时,A 、M 、C 三点共线,AM+CM 的值最小.(7分) ②如图,连接CE,当M 点位于BD 与CE 的交点处时, AM+BM+CM 的值最小.(9分)

理由如下:连接MN,由(1)知,△AMB ≌△ENB, ∴AM=EN, ∵∠MBN=60°,MB=NB, ∴△BMN 就是等边三角形. ∴BM=MN. ∴AM+BM+CM=EN+MN+CM.(10分)

根据“两点之间线段最短”,得EN+MN+CM=EC 最短

∴当M 点位于BD 与CE 的交点处时,AM+BM+CM 的值最小,即等于EC 的长.(11分) 例2、 解:(1)设所求抛物线的解析式为:2

(1)4y a x =-+,依题意,将点B(3,0)代入,得:

2(31)40a -+= 解得:a ＝－1∴所求抛物线的解析式为:2(1)4y x =--+

(2)如图6,在y 轴的负半轴上取一点I,使得点F 与点I 关于x 轴对称,

在x 轴上取一点H,连接HF 、HI 、HG 、GD 、GE,则HF ＝HI …………………① 设过A 、E 两点的一次函数解析式为:y ＝kx ＋b(k ≠0),

∵点E 在抛物线上且点E 的横坐标为2,将x ＝2代入抛物线2

(1)4y x =--+,得 2

(21)43y =--+= ∴点E 坐标为(2,3)

又∵抛物线2

(1)4y x =--+图像分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 、D