初中竞赛数学第七届“华杯赛”初一复赛试题(含答案)

第七届“华杯赛”初一复赛试题
一、直接写出答案: 1．=-÷---)6
5
()]2478(125.26.1[ ． 2．
5
2||3
1y x m +和3||33+n y x 是同类项，问：22n m +的值是多少？
3．a -2b 的相反数数是0.685， 3b+c 的倒数是25，问：a+b+c 减-0.125的负数是多少？
4．04)(=++x m k 和01)2(=--x m k 是关于x 的同解方程，问：2-n
k
的值是多少？
5．小明在假期里打工挣了abc 元，已知a b
c
b =+，a +1=b ，
c =2
d ．问：小明假期打问工挣了多少？
6．将糖果300粒，饼干210块和苹果163个平均分给某班同学，余下的糖果、饼干和苹果的数量之比是1∶3∶2，问：该班有多少名同学？
7．一串数1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21，……称为帕多瓦数列，请陈述这个数列的一个规律，并且写出其中的第14个数和第18个数．
8．某商贸服务公司，为客户出售货物，收取3%的服务费；代客户购置物品，收取2%的服务费，今有一客户委托该公司出售自产的某种物品并代为购置新设备．已知该公司共收取了客户服务费264元，客户恰好收到平衡，问：所购置的新设备花费了多少元？
9．由甲地到乙地前三分之二的路是高速公路，后三分之一的路是普通公路，高速公路和普通公路的交界处是丙地．A 车在高速公路上的行驶速度是100千米/时，在普通公路上的行驶速度是60千米/时．B 车在高速公路上的行驶速度是110千米/时，在普通公路上的行驶速度是70千米/时．A 、B 两车分别从甲乙二地相向行驶，在距离丙地20千米处相遇，求：甲乙两地之间距离是多少？
10．如右图，在一个边长为a 厘米的正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下侧面的中心打通一个圆柱形的洞．已知侧耳面上的洞口是边长为a 5
2
厘米的正方形，上下底面的口是直径为a 5
2
厘米的圆，求右图立体的表面积的体积．
（取14.3=π）
11．AOMEN和MACAO分别是澳门的汉语拼音和英文名字，如果它们分别代表两个5位数，其中不同的字母代表从1到9不同的数字，相同的字母代表相同的数字，而且它们的和仍是一个5位数，求这个和可能的最大值是多少？
12．用10个边长分别为3，5，6，11，17，19，22，23，24，25的正方形，可以拼接一个长方形，（1）求：这个长方形的长和宽各是多少？（2）请画出拼接图．
第七届“华杯赛”初一组复赛试题答案
1．
解：这是一道有理数的混合运算试题，且含有小数和分数，其中有一个小数还是循环小数．根据题意，这道运算题最后求的是商，所以，先将题中的小数转化为分数，然后再根据有理数的运算运法则进行计算． 8
1
2125.2-=-
3
219616.1== （纯循环小数化成分数，分子是一个循环节表示的数，分母的各位数都是9，而9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分）． 所以 原式=)6
5()]2478
(812321[-÷--- 根据有理数减去法则，“减去一个数，等于加上这个数的相反数”；有理数乘法法则，
“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”；还根据有理数除法法则，“除以一个数等于乘上这个数的倒数”，就可以得到结果
原式=)56
(]2478
8123
21[-⨯+-
=)56(657-⨯5
2
9)56647(-=⨯-=
有关有理数的运算，掌握有理数运算法则是关键，而在掌握有理数运算法则的过程
中，要特别注意符号问题，然后才是绝对值的计算．为了突出确定符号的训练，在进行有理数的运算时，绝对值就不必选择过大． 2．5
解：根据题意，
52||3
1y x m +和3||33+n y x 是同类项，就是说它们不仅所含字母相同，并且相同字母的次数也相同，即|m |+2=3， 也就是|m |=1， |n |+3=5，也就是|n |=2 又根据题意，一个数的平方等于这个数的绝对值的平方，所以 22||m m =， 22||n n =．
因此，521||||222222=+=+=+n m n m ． 答：22n m +的值是5． 3．a+b+c 减-0.125的负倒数是
13
25
52100=
解：根据题意，a -2b 的相反数是0.685，而根据数a 的相反数是-a ，那么，a -2b 就是
200
137
685.0-
=-．
又根据题意，3b+c 的倒数是25，而根据乘积是1的两个数互为倒数，那么
200
8
2513=
=
+c b ． 所以，a+b+c 减-0.125的负倒数是
)125.0()(--++c b a 的负倒数，根据去括号法则，也就是125.0)(+++c b a 的负倒数．
又因为c b a c b b a ++=++-)3()2(，所以， c b a ++减-0.125的负倒数，即
20025
2008700137+
+-
的负倒数，即200
104-的负倒数， 也就是1325
104200200
1041=
=--． 答：a+b+c 减-0.125的负倒数是13
25
52100=
. 4.3
21-
解：根据题意，04)(=++x m k 和01)2(=--x m k 是关于x 的同解方程，那么，
4)(-=+x m k 和1)2(=-x m k 同样是关于x 的同解方程．
根据等式性质“等式两边都乘以（或除以，除数不能是0）的数，所得结果仍是等式．所
以
14)2()(-=-+x m k x m k 1
4
2-=
-+m k m k m k m k +=+-48 k m 93= m k =93 3
1=m k 因此，32
12312-=-=-m k
答：3
2
12--的值是m k ．
5．348
解：根据题意，abc 为三位数，且
a b
c
b =+， a +1=b ，那么， 0≠b （零不能作分母）
， a=b -1，所以 a b c
b =+，也就是
12-=+b b
b b 则 b b b -=23即0)4(=-b b ，4=b 将b =4代入
c =2b ， 则c =2×4=8 4=b ， 8=c 代入a b c b =+，则34
8
4=+=a ． 这样abc =348
答：小明假期打工挣了348元． 6．23
解：根据题意，糖果、饼干和苹果是平均分给全班同学的，所以，糖果、饼干和苹果减
去余下的数量，也就是被平均分给全班同学的糖果、饼干和苹果的数量，一定是全班学生人数的整数倍．
又根据题意，将糖果、饼干和苹果平均分给全班同学后，余下的糖果、饼干和苹果数量比是1∶3∶2，如果假设余下的糖果、饼干和苹查果的数为1份、3份、2份，甚至更直接的设余下的糖果、饼干和苹果的数量，分别是1粒、3块、2个，那么，被平均分给全班的糖果、饼干和苹果的数量，分别为300-1=299（粒），210-3=207（块），163-2=161（个）．
因为，299=23×13； 207=23×9； 161=23×7． 所以，该班有23名同学． 答：该班有23名同学． 7．86
解：根据题意，要求陈述数列的一个规律，而帕多瓦数列蕴含有若干规律，可以通过
该数列前后项之间的和、差、积、商，各自所具有的特征，归纳出规律，如： （1） 从第4项开始，每一项均是前面第2项和第3项的和．如
（2
） 从
第6项开始，第一项均是前面第1项与第5项的和．如
（3）以5项为一组，从第二组开始，每一组的5项，均是前一组的末项依次加上前一组各项的和．如
……
根据
规律（1）可知：
这串数的第14个数是第11个数与第12个数的和，即12+16=28；第18个数是第15个数与第16数的和，而第15个数是第12个数与第13个数的和，即16+21=37，第16个数是13个数与第14个数的和，即21+28=49，所以，第18个数即37+49=86． 8．5121.6
解：根据题意，下列等量关系很明显：
(1)出售物品的收入-服务费=购置设备费用+服务费
(出售物品) (购置设备)
即：出售物品收入-购置设备费用=总服务费
(出售物品、购置设备) (2)
服务费出售物品的 + 服务费
购置设备的
=总服务费
即：
收入
出售物品 ×30%+
费用
购置设备 ×2%=264 (元)
所以，本题如果设出售物品的收入用x 元，购置设备的费用用y 元表示，那么，用二元一次方程组来分析解答就比较容易了.
⎩
⎨⎧=+=-264%2%3264
y x y x )2()1(
将(2)化简，得3x +2y =26400 (3)
由(1)得 y=x -264 (4) 用(4)代入(3)，得
3x +2(x -264)=26400 (5) 化简(5)，得 5x -528=26400 5x =26928 x =5385.6
将x =5385.6代入(1)，得y =5121.6 答：购置的新设备花费了5121.6元. 9.11
52000
解：根据题意，结合如图所示可知，A 车的速度虽然是B 车的速度的
73
170100=(倍)，但A 车在高速公路上行驶的路程却是B 车在普通公路上行驶路程的23
1
32=÷(倍)，所以，
当A 、B 两车分别从甲乙两地相向行驶，B 车已经行驶完普通公路的路程时，A 车还在高速公路上行驶，因此，A 、B 两车在高速公路上距丙地20千米处相遇.
又根据相向运动的主要特征——运动的时间相等，可知：
A 车所用时间=
B 车所用时间
因为，A 车从出发到相遇，全都在高速公路上行驶，而B 车除了行驶完普通公路外，还在高速公路上行驶了20千米，因此：
高速路上时间车行驶在
A = 普通公路上时间车行驶在
B + 高速公路的时间
千米
车行驶20B
千米
千米
高速公路路程10020- 千米普通公路路程70 千米千米11020
也就是110
207031
1002032+⨯=-⨯
甲乙全程甲乙全程 因此，只要设甲乙两地之间的路程为x 千米，那么本题就可以用方程解答.
1102070311002032+=-x x 110
2010020703110032+
=-x
x 11251)21011501(
+=-x 271505521⨯⨯
=x 11
5
200=x 答：甲乙两地之间距离是11
5
200千米.
10.28512.7a ，366864.0a
解：根据题意，所求图形的总表面积包括外侧表面积和内侧表面积;所求图形的体积是由原正方体积减去被挖去部分的体积.那么，外侧表面积、内侧表面积和被挖去部分的体积分别指哪些部分呢?如果将被挖去的部分完整地表示出来，就比较容易理解了. 结合图示可右，外侧表面积是原正方体的表面积减去前后左右4个边长为a 5
2
厘米的正形面积和两个直径为
a 5
2
厘米的圆面积，即 外侧表面积=表面积原正方体 -
洞口面积挖去的正方形 -洞口面积
挖去的圆
62⨯a 4)52(2⨯a 2)2
152(2⨯⨯a π
22
221088.525
225166a a a a S =--
=π外侧表 结合图示可知，内侧表面积是由16个长
a 52厘米，宽a ]2
1
)521[(⨯-厘米的长方形面积，加上2个边长为a 52厘米的正方形减去直径为a 52
厘米的圆形后的环形面积，再加
上2个底面直径为a 5
2
厘米的圆柱侧面积，即
])2152()52[(16]21)521[(5
2
222⨯-+⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯-⨯=a a a S π内侧表
]2
1
)521)[(5
2(22a a ⨯⨯-⨯+⨯π =222256
2]25254[1610352a a a ⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯ππ
=2
2225625)4(22548a a a ππ+-⨯+
22
7424.225
456a a =+=π
所以，所求图形的立体表面积为：
内侧表外侧表总表S S S +=2228512.77424.21088.5a a a =+=
根据题意，所求图形的立体的体积是原正方体体积减去挖去部分的体积，而挖去部分的体积如图，可以看作两底面为正方形，边长为a 5
2
厘米，高a 厘米的长方体，减去中间交叉部分的体积，交叉部分恰好是棱长为
a 5
2
厘米的正方体，再加上2个同样的圆柱体的体积，这个圆柱的底面直径为a 5
2厘米，高为a a 5321)521(=⨯-厘米，即a a 53
21)521(=⨯-
即
交叉圆柱长方体挖V V V V -⨯+⨯=22
a a ⋅2)52( a a 53
)2152(2⨯⨯π 3)5
2(a
333125
81253258a a a -+=π
3125
842.940a -+=333136.0a =（立方厘米） 所以，所求立体的体积为：
挖原V V V -=33366864.033136.0a a a =-=
答：所以图形的立体的表面积是28512.7a 平方厘米，体积是366864.0a 立方厘米． 11．99782
解：根据题意，设这两个五位数的和为WUVXY ，则 WUVXY
MACAO AOMEN
虽然最大的五位数为99999，但W U V X Y 不可能为99999．如果A+M =9， O+A =9， 那
么M -O =0， 则M 与O 所代表的数字相同，与题意矛盾．但是当A+M =9， O+A =8时，只要M+C 能够进位，O+A 的和仍可能为9，所以，为了使和的值尽可能大，那么，M+C =17
时最好，故必须取如下和式：甲： ⎝
⎛=+=+=+,17,8,9C M A O M A
此时， W =9， U =9， V =7．
如果A+M =8，那么O+A 必须是17，那么W =9，但这样 U ≤8，因此，A+M =8时，和的最大值不是最大，而依甲式取值所得的和最大。

根据题意，A ≥1，那么根据A+M =9可知M ≤9-1，且M+C =17，因此解得
C =9， M =8， A =1， O =7 这样，在WUVXY
EN
81917178中，和的值尽可能大时，根据题意，不同字母代表1到9中不同的数字，故取E =6， N =5． 所以997828191717865=+=WUVXY
答：这个和可能的最大值是99782
12．65，47
解：根据题意，这个所求的长方形是由10个小正方形拼接而成，它的面积是 222222222225242322191711653+++++++++
=305562557652948436128912136259=+++++++++
根据长方形面积计算公式可知，长方形面积3055是这个长方形的长与宽的乘积，那么，长和宽一定是3055的约数．因此，将3055分解质因数：3055=5×13×47
可知3055的约数有：5，13，47，65，235，611，1和3055
．根据题
意，可能取的值为65，235，611．再根据题意可知，接拼一个长方形的十个正方形的边长是3，5，6，11，17，19，22，23，24，25，且其和是229，可知这个长方形的长只能是65，也就是说3055=65×47，并且从中可知：长65，宽47是惟一的一种拼接方式．
因此，23+17+25=24+19+22=65
23+24=22+25=47
所以，拼接成的长方形如下：。