(人教版B版2017课标)高中数学必修第一册 全册综合测试卷三(附答案)

（人教版B 版2017课标）高中数学必修第
一册 全册综合测试卷三（附答案）
第一章综合测试
一、单选题（本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合{}|13A x x =-＜＜，{}|2B x x =＞，则A B =U （ ）
A .(1,3)-
B .(2,3)
C .(1,)-+∞
D .(2,)+∞
2.下列全称量词命题中真命题的个数是（ ）
①2[2,)20x x x ∀∈+∞--，＞；
②210x x ∀∈+R ，…； ③所有的梯形都有一组对边平行；
④{}{}{},,,,x a b c x a b c ∀∈，Þ. A .1 B .2
C .3
D .4 3.设集合{}{}|12|A x x B x x a ==＜＜，＜，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）
A .{}|2a a ≥
B .{}|1a a ≤
C .{}|1a a ≥
D .{}|2a a ≤
4.命题“20,210x x x ∀-+＞＞”的否定是（ ）
A .20210x x x ∃-+＞，≤
B .20210x x x ∀-+＞，≤
C .20210x x x ∃-+≤，≤
D .20210x x x ∀-+≤，≤
5.记全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,81,2,3,52,4,6U M N ===，，，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A .{}4,6,7,8
B .{}2
C .{}7,8
D .{}1,2,3,4,5,6
6.已知集合{1,1,4}B =-，则满足条件M B ∅⊆Þ的集合M 的个数为（ ）
A .3
B .6
C .7
D .8
7.设集合{(,)|,}{(,)|20}{(,)|0}U x y x y M x y x y m N x y x y n =∈∈=-+=+-R R ，＞，≤，那么点()()2,3U M N ∈I ð的充要条件是（ ）
A .1,5m n -＞＜
B .1,5m n -＜＜
C .1,5m n -＞＞
D .1,5m n -＜＞
8.已知全集U =R ，集合{|23}M x x =-≤≤，{|24}N x x x =-＜或＞，那么集合()()U U M N I 痧等于（ ）
A .{|34}x x ＜≤
B .{|34}x x x ≤或≥
C .{|34}x x ≤＜
D .{|13}x x -≤≤
9.已知,M N 为集合I 的非空真子集，且,M N 不相等，若()I N M =∅I ð，则M N U 等于（ ）
A .M
B .N
C .I
D .∅
二、多选题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
10.已知集合,{|(2)0}A B x x x ==-Z ≤，则下列元素是集和合A B I 中元素的有（ ）
A .1
B .0
C .2
D .2-
E .1-
11.设全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3,4}S =，则U S ⊇ð（ ）
A .{}5
B .{}1,2,5
C .{2,3,4}
D .∅
E .{}3,4
12.定义集合运算：{|()()}
A B z z x y x y x A y B ⊗==+⨯-∈∈，，，设
{A B ==，，则（ ）
A .当x y 时，1z =
B .x 可取两个值，y 可取两个值，()()z x y x y =+⨯-对应4个式子
C .A B ⊗中有4个元素
D .A B ⊗中所有元素之和为4
E .A B ⊗的真子集有7个
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）
13.设集合{}
2{0,1,2,3}|0U A x U x mx ==∈+=，，若{1,2}U A =ð，则实数m =________. 14.设:2p x ＞或2,:23
x q x ＜＞或1x -＜，则p ⌝是q ⌝的________条件. 15.已知集合{|260,}{|,}{|5}A x x x B x x a x R C x x =-∈=∈=R ＞，≥，≤，若(){|45}A B C x x =≤≤I I ，则实数a 的值是________.
16.若命题“对于任意实数x ，都有240x ax a +-＞且2210x ax -+＞”是假命题，则实数a
的取值范围是________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）设集合{|4}{|12}{|13}U x x A x x B x x ==-=≤，≤≤，≤≤.求：
（1）()U A B ⋃ð；
（2）()(
)U U A B ⋂痧.
18.（12分）已知集合{}
223,1,{3,21,+1}{3}A a a B a a a A B =-+=--=-，，I .
（1）求实数a 的值；
（2）写出集合A 的所有非空真子集.
19.（12分）已知集合{|24},{|0}A x x B x x m =-=-＜＜＜.
（1）若3m =，全集U A B =U ，试求()U A B I ð；
（2）若A B =∅I ，求实数m 的取值范围；
（3）若A B A =I ，求实数m 的取值范围.
20.（12分）已知m ∈R ，命题:[0,1]22p x m x ∀∈-，≥，命题:[1,1]q x m x ∃∈-，≤.
（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；
（2）若命题p 与q 一真一假，求实数m 的取值范围.
21.（12分）设集合{}{
222|280|120}A x x x B x x ax a =--==++-=，，且A B A =U ，求满足条件的a 组成的集合.
22.（12分）设,x y ∈R ，求证||||||x y x y +=+成立的充要条件是0xy ≥. 第一章综合测试
答案解析
一、单选题
1.【答案】C
【解析】Q 集合{13}{|2}A x B x x =-=＜＜，＞，{}|1A B x x ∴=-＞U ，故选C .
2.【答案】C
【解析】①中，2x =时，220x x --=，故220x x --＞不成立，为假命题；易知②③④均
为真命题.
故选C .
3.【答案】A
【解析】若A B ⊆，则利用数轴可知2a ≥.故选A .
4.【答案】A
【解析】含有量词的命题的否定，一改量词：将“∀”改为“∃”，二否结论将：“＞”改为“≤”，条件不变，故选A .
5.【答案】C
【解析】题图中阴影部分可表示为()U M N U ð，且{
1,2,3,4,5,6}M N =U ，所以(){7,8}U M N =U ð.故选C .
6.【答案】C
【解析】由题意可知集合M 是集合B 的非空子集，集合B 中有3个元素，因此非空子集有7个.故选C .
7.【答案】A
【解析】()(2,3)U M N ∈Q I ð，
(2,3)M ∴∈，且(2,3)N ∉，则2230230m n ⨯-+⎧⎨+-⎩＞，＞，解得15.m n -⎧⎨⎩
＞，＜故选A . 8.【答案】A
【解析】{| 2 3}U M x x x =-Q ＜或＞ð，{|24}U N x x =-≤≤ð，
()(){|34}U U M N x x ∴=＜≤I 痧.
故选A .
9.【答案】A 【解析】()U N M =∅I ð，所以N M ⊆（如图）
，所以M N M =U ，故选A .
二、多选题
10.【答案】ABC
【解析】由(2)0x x -≤得02x ≤≤，即{|02}B x x =≤≤，所以{0,1,2}A B =I .故选ABC .
11.【答案】AD
【解析】易得}S {5U =ð，其子集为{5}和∅.故选AD .
12.【答案】BE
【解析】当x y ==0z =⨯=，A 错误；由于A =，{
B =，则()()z x y x y =+-对应1)1)1+⨯=，0⨯=，
1)1)2+⨯=，1⨯=四个式子，B 正确；由集合中元素的互异性，得集合A B ⊗有3个元素，元素之和为3，C 、D 错误；集合A B ⊗中的真子集个数为3217-=，E 正确.故选BE .
三、填空题
13.【答案】3-
【解析】{0,1,2,3},{
1,2}U U A ==Q ð，{0,3}A ∴=，即方程20x mx +=的两根为0和3，3m ∴=-.
14.【答案】充分不必要 【解析】由题意得2:2,:123
p x q x ⌝⌝-≤≤≤≤，p q ∴⌝⇒⌝，但q p ⌝⌝¿，p ∴⌝是q ⌝的充分不必要条件.
15.【答案】4
【解析】由题意得集合{}|3A x x =＞，{|,}B x x a x =∈R ≥，而(){|45}A B C x x =≤≤I I ，所以4a =.
16.【答案】(,1][0,)-∞-+∞U
【解析】若对于任意实数x ，都有240x ax a +-＞，则2160a a =+△＜，即160a -＜＜；若
对于任意实数x ，都有2210x ax -+＞，则2440a =-△＜，即11a -＜＜，故命题“对于任
意实数x ，都有240x ax a +-＞且2210x ax -+＞”是真命题时，(1,0)a ∈-，而命题“对于
任意实数x ，都有240x ax a +-＞且2210x ax -+＞”是假命题，故(,1][0,)a ∈-∞-+∞U .
四、解答题
17.【答案】（1）{|4},{|12}U x x A x x ==-Q ≤≤≤，{| 1 24}U A x x x ∴=-＜或＜≤ð.{}|13B x x =Q ≤≤()A B {| 1 14}U x x x ∴=<-或≤≤U ð.
（2）{|4},{|13}U x x B x x ==Q ≤≤≤，
{| 1 34}U B x x x ∴=＜
或＜≤ð，
()(){| 1 34}U U A B x x x ∴=-＜或＜≤I 痧
18.【答案】（1）{3}A B =-Q I ，3B ∴-∈
33a ∴-=-或213a -=-或213a +=-（无解）
，解得0a =或1a =-. 当0a =时， {3,1,0},{3,1,1}A B =-=--，{3,1}A B =-I ，不合题意，舍去；
当1a =-时，{3,0,1}A =-，{4,3,2}B =--，{3}A B =-I ，符合题意.
∴实数a 的值为1-.
（2）由（1）知集合{3,0,1}A =-，∴集合A 的所有非空真子集有：{}{}{}{}{}{}3103,13,01,0---，，，，，.
19.【答案】当3m =时，由于0x m -＜得3x ＜，
{|3}B x x ∴=＜.
{|4}U A B x x ∴==＜U ，
{|34}U B x x ∴=≤＜ð
(){|34}U A B x x ∴=≤＜I ð.
（2）{|24}A x x =-Q ＜＜，{|}B x x m =＜，又A B =∅I ，
2m ∴-≤，∴实数m 的取值范围是2m -≤.
（3）{|24},{|}A x x B x x m =-=Q ＜＜＜，
由A B A =I ，得A B ⊆，4m ∴≥
∴实数m 的取值范围是4m ≥.
20.【答案】（1）[0,1],22x m x ∀∈-Q ≥，22m x ∴-≥在[0,1]x ∈上恒成立，max (22)0m x ∴-=≥，
即p 为真命题时，实数m 的取值范围是0m ≥.
（2）[1,1],,1x m x m ∃∈-∴Q ≤≤，即命题q 为真命题时，1m ≤.
Q 命题p 与q 一真一假，
∴p 真q 假或p 假q 真.
当p 真q 假时，0,1,
m m ⎧⎨⎩≥＞即1m ＞； 当p 假q 真时，0,1,m m ⎧⎨⎩
＜≤，即0m ＜. 综上所述，命题p 与q 一真一假时，实数m 的取值范围为0m ＜或1m ＞.
21.【答案】由题意得{4,2}A =-，A B A =Q U ，
B A ∴⊆
B ∴可能为∅或{4}或{}2-或{4,2}-.
①当B =∅时，方程22120x ax a ++-=无实数根，
()2224123480a a a ∴=--=-+△＜，即2160a -＞，4a ∴-＜或4a ＞；
②当{4}B =时，方程22
120x ax a ++-=有两个相等的根4，223480164120a a a ⎧=-+=⎪∴⎨++-=⎪⎩△，，无解； ③当{2}B =-时，方程22120x ax a ++-=有两个相等的根2-，
223480,42120,
a a a ⎧=-+=⎪∴⎨-+-=⎪⎩△解得4a =； ④当{4,2}B A =-=时，方程22120x ax a ++-=与2280x x --=是同一个方程， 22,128,
a a =-⎧⎪∴⎨-=-⎪⎩解得2a =-. 综上所述，满足条件的a 组成的集合为{|442}a a a a -=-＜或≥或.
22.【答案】①充分性：若0xy ≥，则有0xy =和0xy ＞两种情况，当0xy =时，不妨设0x =，则x y y +=，x y y +=，∴等式成立.
当0xy ＞时，00x y ＞，＞或00x y ＜，＜，
当00x y ＞，＞时，x y x y +=+，x y x y +=+.等式成立.
当00x y ＜，＜时，()x y x y +=-+，x y x y +=+，∴.等式成立.
综上，当0xy ≥时，x y x y +=+成立. ②必要性：若x y x y +=+，且,x y ∈R . 则2
2()x y x y +=+，即222222||x xy y x y x y ++=++⋅， xy xy ∴=，
0xy ∴≥
综上可知，0xy ≥是等式x y x y +=+成立的充要条件.
第二章综合测试
一、单选题（本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.二次三项式22x bx c ++分解因式为2(3)(1)x x -+，则,b c 的值分别为（ ）
A .3,1
B .62--，
C .64--，
D .4,6--
2.不等式(1)0x -的解集是（ ）
A .{|1}x x ＞
B .{|1}x x ≥
C .{|12}x x x =-≥或
D .{| 2 1}x x x -=≤或
3.已知a b c 、、是ABC △的三条边，且满足22a bc b ac +=+，则ABC △一定是（
）
A .等腰三角形
B .等边三角形
C .直角三角形
D .等腰直角三角形
4.已知13a b -+＜＜且24a b -＜＜，则23a b +的取值范围是（ ）
A .13
17,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
B .711,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
C .713,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
D . 913,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
5.已知01b a <+＜，若关于x 的不等式22()()x b ax -＞的解集中的整数恰有3个，则（ ）
A .10a -＜＜
B .01a ＜＜
C .13a ＜＜
D .36a ＜＜
6.在R 上定义运算：(1)x y x y ⊗=-，若x ∃∈R 使得()()1x a x a -⊗+＞成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A .13,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U B .13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
C .31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
D .31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U 7.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元若每批生产x 件，则平均仓储时间为8
x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（ ）
A .60件
B .80件
C .100件
D .120件
8.若两个正实数,x y 满足
141x y +=，且不等式234
y x m m +-＜有解，则实数m 的取值范围是（ ）
A .(1,4)-
B .(,1)(4,)-∞-+∞U
C .(4,1)-
D .(,0)(3,)-∞+∞U 9.已知不等式20x bx c ++＞的解集为|21{}x x x ＞或＜ ，则不等式210cx bx ++≤的解集为
（ ）
A .1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
B .1,(1,)2⎛
⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U
C .1,[1,)2⎛
⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U
D .1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
二、多选题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 10.下列不等式推理正确的是（ ） A .若x y z ＞＞，则xy yz ＞
B .若11
0a b
＜＜，则2ab b ＞
C .若,a b c d ＞＞，则ac bd ＞
D .若22a x a y ＞，则x y ＞
E .若0a b ＞＞，0c ＞，则a c b c --＞ 11.已知a b a ＜＜，则（ ）
A 11a b
＞ B .1ab ＜
C .1a b
＞ D .22a b ＞ E .2a ab ＞
12.若正实数,a b 满足1a b +=，则下列说法正确的是（ ）
A .1
4
ab ≥
B C .
114a b
+≥
D .221
2
a b +≥
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

将答案填在题中横线上） 13.关于x 的不等式0ax b -＜的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +-＞的解集是________. 14.阅读理解：
（1）特例运算：①(1)(2)x x ++=________， ②(3)(1)x x +-=________；
（2）归纳结论：2()()x a x b x ++=+（________）x +________； （3）尝试运用：直接写出计算结果(99)(100)m m +-=________； （4）解决问题：根据你的理解，把下列多项式因式分解： ①256x x -+=________， ②2310x x --=________；
（5）拓展延伸：若28x px +-可分解为两个一次因式的积，则整数p 的所有可能值是________.
15.某辆汽车以km /h x 的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求
60120x ≤≤）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为号14500L 5x k x ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
，其中k 为常
数.当汽车以120km /h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L ，欲使每小时的油耗不超过
9L ，则速度x 的取值范围为________.
16.在实数集R 中定义一种运算“*”，具有性质： （1）对任意,,**a b a b b a ∈=R ； （2）对任意,0a a a ∈≠=R ；
（3）对任意,,(*)**()(*)(*)5a b a b c c ab a c b c c ∈=++-R .
则函数1
*(0)y x x x
=＞的最小值为________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（10分）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积.例如，由图1可得等式：
22(2)()32a b a b a ab b ++=++.
图1
图2
图3
（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为()a b c ++的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来； （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知11a b c ++=，38ab bc ac ++=，求222a b c ++的值；
（3）如图3，将两个边长分别为a 和b 的正方形拼在一起，,,B C G 三点在同一直线上，连接BD 和BF .这两个正方形的边长满足10a b +=，20ab =，请求出阴影部分的面积.
18.（12分）解关于x 的不等式2(2)20x a x a +--≥.
19.（12分）已知不等式2320ax x -+＜的解集为{}|1A x x b =＜＜.. （1）求,a b 的值； （2）求函数9
(2)()()y a b x x A a b x
=+-∈-的最小值.
20.（12分）已知方程20x px q ++=的两个根是12,x x ，那么1212,x x p x x q +=-=，反过来，
如果1212,x x p x x q +=-=，那么以12,x x 为两根的一元二次方程是20x px q ++=.请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x 的方程20(0)x mx n n ++=≠，求一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；
（2）已知a b 、满足221550,1550a a b b --=--=，求
a b
b a
+的值； （3）已知a b c 、、均为实数，且0a b c ++=，16abc =，求正数c 的最小值.
21.（12分）问题情境：我们知道，若一个矩形的周长固定，当其相邻两边相等，即为正方形时，面积是最大的，反过来，若一个矩形的面积固定，它的周长是否会有最值呢？ 用两条直角边边长分别为a b 、的四个全等的直角三角形可以拼成一个正方形.若a b ≠，可以拼成如图①
的正方形，从而得到221
42a b ab +⨯＞，即222a b ab +＞；若a b =，可以拼成如图②的正方
形，从而得到221
42
a b ab +=⨯，即222a b ab +=.于是我们可以得到结论：a b 、为正数时，
总有222a b ab +≥，且当a b =时，代数式22a b +取得最小值2ab .
图①
图②
另外，我们也可以通过代数式运算得到类似上面的结论.
222()20a b a ab b -=-+Q ≥，222a b ab ∴+≥.对于任意实数,a b ，总有222a b ab +≥，且
当a b =时，代数式22a b +取得最小值2ab . （1）探究方法：
仿照上面的方法，对于正数,a b ，试比较a b +和
（2）类比应用：
利用上面所得到的结论，完成填空：
（i ）221x x +≥________，代数式2
2
1x x
+有最值，为________； （ii ）当0x ＞时，9x x +≥________，代数式9
x x +有最________值，为________；
（iii ）当x ＞2时，52x x +-________，代表式5
2
x x -有最________值，为________；
（3）问题解决：
若一个矩形的面积固定为n ，则它的周长是否会有最值呢？若有，求出周长的最值及此时矩形的长和宽；若没有，请说明理由，由此你能得到怎样的结论？
22.（12分）某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为2900m 的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m 宽的通道，如图.设矩形温室的室内长为x （单位：m ），三块种植植物的矩形区域的总面积为S （单位：2m ）.
（1）求S 关于x 的函数关系式； （2）求S 的最大值
第二章综合测试
答案解析
一、 1.【答案】D
【解析】22(3)(1)246,4,6x x x x b c -+=--∴=-=-Q ，故选C . 2.【答案】C
【解析】当2x =-时，00≥成立；当2x -＞时，原不等式等价与10x -≥，即1x ≥.∴原不
等式的解集为{| 1 2}x x x =-≥
或.
【
解
析
】
等
式
变
形
为
()()()0a b a b c a b +---=，即
()()0,0,0a b a b c a b c a b -+-=+-≠∴-=Q ，即a b =，∴ABC △为等腰三角形.故选A .
4.【答案】D
【解析】用特定系数法，设23()()a b m a b n a b +=++-，则2,3,m n m n +=⎧⎨-=⎩解得5,21,
2m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
所以
513(2)()22b a b b a a =+--+，因为13a b -+＜＜，24a b -＜＜，所以5515
()222
a b -+＜＜，
1
22
--＜.()1a b --＜，所以95113()()2222a b a b -+--＜＜.故选D .
5.【答案】C
【解析】由22()()x b ax -＞，整理可得()
222120a x bx b --+＞，由于该不等式的解集中的整
数恰有3个，则有210a -＜，此时21a ＞，而01b a +＜＜，故1a ＞，由不等式
()
2
22120a
x bx b -+-＜解得
()
()
22222221
21
b ab b ab x a a ---+--＜＜
，即
11b b x a a --+＜＜，而011
b
a +＜＜，
要使该不等式的解集中的整数恰有3个，那么321b a ----≤
＜，由21
b
a ---＜得()1
b a --＜-2，则有12b a +＜，即11122
b a
a +++＜＜，解得3a <，由31
b a ---≤
得330a b -≥＞，解得1a ＞
，则13a ＜＜. 6.【答案】A 【
解
析
】
由
题知
2
2
2
211()()()[1()]24x a x a x a x a x x a a x a a ⎛
⎫-⊗+=--+=-++-=--+-+ ⎪⎝
⎭.
∴若x ∃∈R ，使得不等式()()1x a x a -⊗+>成立，则需函数2
21124y x a a ⎛
⎫=--+-+ ⎪⎝
⎭的
最大值大于1，即12x =时，2114y a a =-+＞成立，解得12a -＜或3
2
a ＞.故选A .
7.【答案】B
【解析】若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是
800x 元，仓储费用是8
x
元，总x
的费用是
800208x x +≥元，当且仅当8008
x
x =，即80x =时取等号。

∵不等式234y x m m +-＜有解，234y x m m ⎛
⎫∴+- ⎪⎝
⎭＜，0,0x y Q ＞＞，且141x y +=，
144224444y y x y x x x y y x ⎛⎫⎛⎫∴+
=++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当44x y
y x
=，即2,8x y ==时取等号，
min 44y x ⎛
⎫∴+= ⎪⎝
⎭，234m m ∴-＞，即(1)(4)0m m +-＞.解得1m -＜或4m ＞，故实数m 的取值范围是(,1)(4,)-∞-+∞U .
9.【答案】D
【解析】不等式20x bx c ++＞的解集为{|21}x x x ＞或＜
，所以与之对应的二次方程20x bx c ++=的两个根为1,2，由根与系数的关系得3b =-，2c =，所以不等式210cx bx ++≤化为22310x x -+≤，即(1)(21)0x x --≤，解得1
12x ≤≤，所以所求不等式
的解集为1|12x x ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
≤≤.
二、
10.【答案】DE
【解析】A 中，例如123--＞＞，此时1(2)1(2)(3)⨯--⨯-＜，所以A 不正确；B 中，若
11
0a b
＜＜，则0b a ＜＜，则2b ab ＞，所以B 不正确；C 中，例如1
2,34----＞＞，此时1(3)2(4)-⨯--⨯-＜，所以C 不正确；D 中，若22a x a y ＞，则2()0a x y -＞，则0x y -＞，
则x y ＞，所以D 正确；E 中，根据不等式的可加性可知E 正确.故选DE . 11.【答案】DE
【解析】由a b a ＜＜，可知0b a ≤＜，由不等式的性质可知2
2
b a ＜，所以22a b ＞，故D 正确；2,0,,a a a a b a ab ∴∴Q Q ＜＜＜＞，故E 正确.故选DE . 12.【答案】CD
【解析】0,0a b Q ＞＞，且1a b +=，1a b ∴=+≥，1
4
ab ∴≤
，∴A 错误；
2112a b =++++=，，∴B 错误；
1114a b a b ab ab ++==≥，∴C 正确；22211()2121242
a b a b ab ab +=+-=--⨯=≥，∴D 正确.故选CD . 三、
13.【答案】(1,3)-
【解析】由于不等式0ax b -＜的解集是(1,)+∞，所以0a ＜且1b
a
=，故0a b =＜.所求不等式可化为(1)(3)0x x +-＜，解得13x -＜＜. 14.【答案】（1）①232x x ++ ②2223x x +- （2）a b + ab （3）29900m m --
（4）①(2)(3)x x -- ②(5)(2)x x -+ （5）7,2,2,7--
【解析】（1）特例运算：①2(1)(2)32x x x x ++=++， ②2(3)(1)23x x x x +-=+-.
（2）归纳结论：2()()()x a x b x a b x ab ++=+++.
（3）尝试运用：直接写出计算结果2(99)(100)9900m m m m +⋅-=--. （4）解决问题：根据你的理解，把下列多项式因式分解： ①256(2)(3)x x x x -+=--， ②2310(5)(2)x x x x --=-+.
（5）拓展延伸：若28x px +-可分解为两个一次因式的积，则整数p 的所有可能值是
7,2,2,7--.
15.【答案】[60,100]
【解析】解析因为“汽车以120km h ／的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L ”，所以
1450012011.55120k ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.解得100k =.故汽车以km /h x 的速度在高速公路上匀速行使时，每小时的油耗为14500205x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭.依题意号145002095x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭
≤，解得45100x ≤≤
，因为60120x ≤≤，所以60100x ≤≤，所以欲使每小时的油耗不超过9L ，速度x 的取值范围为
[60,100].
16.【答案】3
【解析】对任意,,(*)**()(*)(*)5a b a b c c ab a c b c c ∈=++-R ，令0c =， 代入得(*)*00*()(*0)(*0)a b ab a b =++.
由**a b b a =可得()(*)*0()*0(*0)*0a b ab a b =++，由*0a a =可得*a b ab a b =++，
所以11*1y x x x x ==++，
因为0x ＞，由均值不等式可得113y x x =++≥（当且仅当1
x x
=，即1x =时，等号成立）.所以1
*(0)y x x x
=＞的最小值为3.
四、
17.【答案】（1）2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++. （2）11a b c ++=Q ，38ab bc ac ++=，
2222()2()1217645a b c a b c ab ac bc ∴++=++-++=-=.
（3）10,20a b ab +==Q ，
22211()22
S a b a b b a ∴=+-+-阴影g
22111222a b ab =+- 213()22a b ab =+- 213
102022
=⨯-⨯ 5030=- 20=
18.【答案】2(2)20x a x a +--≥可化为()(2)0x a x +-≥.当2a -=，即2a =-时，
2(2)0x -≥，此时x ∈R ；当2a -＞，即2a -＜时，解得x a -≥或2x ≤；当2a -＜，即2a -＞时，解得
2x ≥或x a -≤.
综上所述，当2a -＞时，(,)[2,)x a ∈-∞-⋃+∞；当2a =-时，x ∈R ；当2a -＜时，
(,2][,)x a ∈-∞-+∞U .
19.【答案】（l ）：不等式2320ax x -+＜的解集为{|1}A x x b =＜＜， ∴1和b 是方程2320ax x -+=的两根，
∴23203201
a a
b b b -+=⎧⎪-+=⎨⎪⎩
＞，解得1,2.a b =⎧⎨=⎩
（2）由（1
）得9412y x x =+=≥，当且仅当94x x =，即3
2
x A =∈时，等号成立，∴
函数y 的最小值为12.
20.【答案】（1）设方程20(0)x mx n n ++=≠，的两个根分别是12,x x ，则12x x m +=-，
12x x n =，∴
12121211x x m
x x x x n
++==-，若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，则这个一元二次方程式21
0m y y n n
+
+=，整理得210ny my ++=. （2）分两种情况讨论：①当a b ≠时，∵a b 、满足221550,1550a a b b --=--=， ∴a b 、是21550x x --=的两个根，∴15a b +=，5ab =-，
∴2222()2152(5)
475
a b a b a b ab b a ab ab ++--⨯-+====--. ②当a b =时，2a b
b a
+=.
（3）∵0,16,a b c abc ++== 16,a b c ab c
∴+=-=
， ∴a b 、是方程216
0x cx c
++
=的两个根. ∴2
1640c c
=-△≥g ，即32
40c c -≥.
∵c 是正数，∴333340,4,4c c c -∴∴≥≥≥， ∴正数c 的最小值是4.
21.【答案】（1）∵当,a b
均为正数时，20a b =+-，
∴a b +≥a b =时，取等号. （2）（i ）结合探究方法中得出的结论可知，221122x x x x +=≥g ，所以代数式2
2
1x x
+，有最小值，为2.
故答案为1
2x x
⋅；小；2.
（ii ）结合探究方法中得出的结论可知，当0x ＞
时96x x +≥，代数式9
x x
+有最小
值，为6.
故答案为；小；6.
（ii ）结合探究方法中得出的结论可知，当2x ＞时5222x x +=-≥，
代数式52
x x +-有最小值为，故答案为2；小；2.
（3）设该矩形的长为a ，宽为(0)b a b ≥＞，根据题意知：周长2()C a b =+=≥
且当a b =时，代数式2()a b +取得最小值为，此时a b ==
故若一个矩形的面积固定为n ，则它的周长有最小值，周长的最小值为，此时矩形的
22【答案】（1）由题得9007200(8)22916S x x x x ⎛⎫=--=--+ ⎪⎝⎭
，(8,450)x ∈
（2）因为8450x ＜＜，所以72002240x x +
≥，当且仅当60x =时，等号成立，所以676S ≤.
故当矩形温室的室内长为60m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，为2676m . 第三章综合测试
一、单选题（本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知函数3()4f x ax bx =++（,a b 不为零），且(5)10f =，则(5)f -等于（ ）
A .10-
B .2-
C .6-
D .14
2.已知函数(1)y f x =+的定义域为[2,0]-，若(0,1)k ∈，则函数()()()F x f x k f x k =-++的定义域为（ ）
A .[1,1]k k --
B .[1,1]k k --+
C .[1,1]k k -+
D .[1,1]k k ---
3.已知函数2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝
⎭，则(3)f 等于（ ） A .8
B .9
C .11
D .10
4.已知函数222,0,()2,0,
x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-⎪⎩＜≥若()()0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是（ ） A .[1,1]-
B .[2,0]-
C .[0,2]
D .[2,2]-
5.若函数2()(2)1f x ax a b x a =+-+-是定义在(,0)(0,22)a a --U 上的偶函数，则225a b f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
（ ） A .1
B .3
C .52
D .72
6.某工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外，每生产1件该产品还需要增加投资1万元，已知年产量为()+x x ∈N 件，当20x ≤时，年销售总收入为()
233x x -万元；当
20x ＞时，
年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，要使年利润最大，则该工厂的年产量为（=-年利润年销售总收入年总投资）（ ）
A .14件
B .15件
C .16件
D .17件
7.设集合10,2A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭，1,12B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，函数1,,()22(1),,
x x A f x x x B ⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩若0x A ∈，且()0f f x A ⎡⎤∈⎣⎦，则0x 的取值范围是（ ）
A .10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦
B .11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C .11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
D .30,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦
8.已知二次函数2()(1)2f x x m x m =--+在[0,1]上有且只有一个零点，则实数m 的取值范围为（ ）
A .(2,0)-
B .(2,0]-
C .[2,0)-
D .[2,0]-
9.已知函数()f x 是R 上的偶函数，且满足(5)(5)f x f x +=-，在[0,5]上只有(1)0f =，则()f x 在[2018,2018]-上的零点的个数为（ ）
A .808
B .806
C .805
D .804
二、多选题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
10.下列各组函数表示的是同一个函数的是（ ）
A
.()f x
()g x x =
B .()f x x =
与()g x C .()1f x x =+与0()g x x x =+
D .()x f x x
=与0()g x x =
E
.()f x =
()g x
11.下列函数既是定义域上的减函数又是奇函数的是（ ）
A .()f x x =
B .1()f x x
= C .3()f x x =-
D .()f x x x =
E
.()f x =12.
已知函数()f x =，则（ ）
A .()f x 的定义域为[3,1]-
B .()f x 为定义域上的增函数
C .()f x 为非奇非偶函数
D .()f x 的最大值为8
E .()f x 的最小值为2
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）
13.若,1,()3,1,
a x f x x x a x ⎧⎪=⎨⎪-+⎩≥＜是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为________.
14.设()f x 是定义在R 上的函数，且(2)()f x f x +=，在区间[1,1)-上，
,10,()2,01,5x a x f x x x +-⎧⎪=⎨-⎪⎩≤＜≤＜其中a ∈R ，若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则(5)f a 的值是________. 15.已知函数()y f x =在(,0)(0,)-∞+∞U 上为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，(2)0f -=，则不等式()0xf x ＜的解集为________.
16.下列说法：
①若方程2(3)0x a x a +-+=有一个正实根，一个负实根，则0a ＜；
②函数()f x 是偶函数，但不是奇函数；
③若函数()f x 的值域是[2,2]-，则函数(1)f x +的值域为[3,1]-； ④曲线23y x =-和直线()y a a =∈R 的公共点个数是m ，则m 的值不可能是1.
其中正确的为________（填序号）
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）已知函数2
1()1mx f x x +=
+是R 上的偶函数. （1）求实数m 的值；
（2）判断并用定义法证明函数()y f x =在(,0)-∞上的单调性.
18.（12分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，2()2f x x x =+.现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图像，如图所示，请根据图像解答下列问题.
（1）写出函数()()f x x ∈R 的增区间；
（2）写出函数()()f x x ∈R 的解析式；
（3）若函数()()22([1,2])g x f x ax x =-+∈，求函数()g x 的最小值.
19.（12分）已知函数2()x a f x x
+=，且(1)2f =. （1）判断并证明函数()f x 在其定义域上的奇偶性；
（2）证明函数()f x 在(1,)+∞上是增函数；
（3）求函数()f x 在区间[2,5]上的最大值和最小值.
20.（12分）近年来，雾霾日益严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题.某空气净化器制造厂决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x （百台），其总成本为()P x （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（=+总成本固定成本生产成本）.销售收入()Q x （万元）满足
20.522(016),()224(16),x x x Q x x ⎧-+⎪=⎨⎪⎩≤≤＞
假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：
（1）求利润()y f x =的函数解析式（=-利润销售收入总成本）；
（2）工厂生产多少台产品时，可使利润最多？
21.（12分）若非零函数()f x 对任意实数,a b 均有()()()f a b f a f b +=g ，且当0x ＜时，()1f x >.
（1）求证：()0f x ＞；
（2）求证：()f x 为减函数；
（3）当1(4)16f =
时，解不等式()()221354f x x f x +--≤g .
22.（12分）已知函数()f x 对任意的实数,m n 都有()()()1f m n f m f n +=+-，且当0x ＞时，有()1f x ＞.
（1）求()0f ；
（2）求证：()0f 在R 上为增函数；
（3）若()12f =，且关于x 的不等式()
2(2)3f ax f x x -+-＜对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，
求实数a 的取值范围.第三章综合测试
答案解析
一、
1.【答案】B
【解析】(5)1255410f a b =++=Q ，12556a b ∴+=
(5)12554(1255)4642f a b a b ∴-=--+=-++=-+=-.故选B .
2.【答案】A
(1)f x +Q 的定义域为[2,0]-，
1[1,1]x ∴+∈-
11,11,x k x k --⎧∴⎨-+⎩≤≤≤≤解得1111k x k k x k -+⎧⎨---+⎩
≤≤≤≤ 即1
1(01)k x k k --≤≤＜＜ 3.【答案】C 【解析】222111C 2f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+=-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭Q 22()2,(3)3211.44f x x f ∴=+∴=+=
4.【答案】D
【解析】当0a ＞时，2()()240f a f a a a -+=-≤，解得02a ＜≤；当0a =时，()()0f a f a -+=，符合条件；
当0a ＜时，2()()240f a f a a a -+=+≤，解得20a -≤＜.综上，[2,2]a ∈-，故选D .
5.【答案】B
【解析】∵偶函数的定义域关于原点对称，
220a a ∴-+-=，解得2a =.
由()()f x f x -=可得20a b -=，∴1b =.
∴2()21f x x =+，
22(1)35a b f f ⎛⎫+∴== ⎪⎝⎭
，故选B .
6.【答案】C
【解析】由题意得，
2++32100,020,160,2,,
0,x x x x y x x x ⎧-+-∈⎪=⎨-∈⎪⎩N N ＜≤＞ 当020x ＜≤时，2232100(16)156y x x x =-+-=--+，16x =时，max 156y =；而当20x ＞时，160140x -＜，所以16x =时，所得年利润最大，故选C .
7.【答案】C 【解析】0102
x Q ≤＜， ()0011,122f x x ⎡⎫∴=+∈⎪⎢⎣⎭
， ()()0000112121222f f x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤∴=⨯-=⨯-+=⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝
⎭⎝⎭⎣⎦， ()0011,0222
f f x A x ⎛⎫⎡⎤∈∴⨯- ⎪⎣⎦⎝⎭Q ≤＜， 01142
x ∴＜≤， 又001110,242
x x ∴Q ＜＜≤＜.故选C . 8.【答案】D
【解析】当方程2(1)20x m x m --+=在[0,1]上有两个相等的实数根时，有2(1)80,101,2m m m ⎧=--=⎪⎨-⎪⎩
△≤≤此时无解. 当方程2(1)20x m x m --+=有两个不相等是实数根时，分下列三种情况讨论.
①有且只有一根在[0,1]上时，有()()000f f ＜g ，即2(2)0m m +＜，解得20m -＜＜； ②当(0)0f =时，0m =，方程化为20x x +=，解得10x =，21x =-，满足题意； ③当(1)0f =时，2m =-，方程可化为2340x x +-=，解得11x =，24x =-，满足题意综上所述，实数m 的取值范围为[2,0]-.故选D .
9.【答案】B
【解析】由题意可得(5)(5)(5)f x f x f x +=-=-，
(10)()f x f x ∴+=.
Q 当[0,5]x ∈时，()y f x =仅有1x =一个零点，且()f x 是偶函数，
()f x ∴在[5,0]-上仅有1x =-一个零点，
()f x ∴在[0,10]上有两个零点，即1x =与9x =.
2018201108=⨯+Q ，(2011)(1)0f f ==，
∴所求零点的个数为201222806⨯⨯+=，故选B .
二、
10.【答案】BD
【解析】对于A
，()f x
()g x x =()f x 与()g x 表示的不是同一个函数；
对于B ，()f x x =
与()g x =()f x 与()g x 表示事同一个函数；
对于C ，()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为{}|0x x ≠，故()f x 与()g x 表示的不是同一个函数；
对于D ，()x f x x =
与0()g x x =的对应关系x 和定义域均相同，故()f x 与()g x 表示的是同一个函数；
对于E
，()f x =的定义域是{}|0x x ＞
，()g x 的定义域是{}|01x x x -＞或＜，故()f x 与()g x 表示的不是同一个函数.故选BD .
11.【答案】CE
【解析】对于A ，()f x x =是定义域R 上的偶函数，.不满足题意；对于B ，1()f x x
=在定义域(,0)(0,)-∞+∞U 上是奇函数，且在每一个区间上是减函数，不能说函数在定义域上是减函数.不满足题意；对于C ，3()f x x =-在定义域R 上是奇函数，且是减函数，满足题意；
对于D ，22,0,(),0,
x x f x x x x x ⎧⎪==⎨-⎪⎩≥＜在定义域R 上是奇函数，且是增函数.不满足题意；对于E
，()f x =R 上是奇函数，且是减函数，∴满足题意.故选CE .
12.【答案】ACE
【解析】由题设可得函数的定义域为[31]-，
，
2()4242f x =++
而02，即2()8f x 4≤≤
，()0,2()f x f x ∴Q ＞≤≤，()f x ∴
的最大值为2，故选ACE .
三、
13.【答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】()3f x x a =-+Q 在(,1)x ∈-∞上是单调递减的，且()f x 在R 上是单调函数，()f x ∴在R 上一定单调递减，
0,13,
a a a ⎧∴⎨-+⎩＞≤解得12a ≥， 1,2a ⎡⎫∴∈+∞⎪⎢⎣⎭
. 14.【答案】25
【解析】(2)()f x f x +=Q ，
5122f f ⎛⎫⎛⎫∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，9122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 又5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 1122f f ⎛⎫⎛⎫∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 121252a ∴-+=-， 35
a ∴=， 32(5)(3)(1)(1)155f a f f f ∴===-=-+
=-. 15.【答案】(2,0)(0,2)-U
【解析】()f x Q 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，(2)(2)0f f ∴=--=.
()f x Q 为奇函数且在(0,)+∞上单调递增，()f x ∴在(,0)-∞上单调递增.由数形结合解对()0xf x ＜可得20x -＜＜或02x ＜＜，即不等式()0xf x ＜的解集为(2,0)(0,2)-U .
16.【答案】答案①④
【解析】①方程2
(3)0x a x a +-+=有一正一根，则有212(3)40,0,a a x x a ⎧=--⎪⎨=⎪⎩△＞＜解得0a ＜，故①正确；
②定义域为{1,1}-，此时()0f x =，
()f x ∴既是奇函数也是偶函数，故②不正确：
③函数()f x 的值域与函数(1)f x +的值域相同，故③不正确； ④画出曲线23y x =-，如图所示，
∴曲线23y x =-和直线()y a a =∈R 的公共点的个数可能为0，2，3，4，故m 的值不可能
是1，故④正确.故填①④. 四、
17.【答案】（1）因为函数2
1
()1mx f x x +=
+是R 上的偶函数，所以()()f x f x -=，即22
()11
1()1m x mx x x -++=
+-+对任意实数x 恒成立，解得0m =. （2）由（1）得2
1
()1f x x =
+，此函数在(,0)-∞上为增函数. 证明：任取12,(,0)x x ∈-∞，且12x x ＜，则()()()()
2221122222
1212
11
1111x x f x f x x x x x --=-=++++()()()()
21212
21
2
11x x x x x x +-=
++，
因为12,(,0)x x ∈-∞，且12x x ＜，
所以()()
22
12110x x ++＞，210x x +＜，210x x -＞，
所以()()120f x f x -＜，即()()12f x f x ＜.
所以函数2
1
()1f x x =
+在(,0)-∞上为增函数. 18.【答案】（1）根据偶函数的性质及已知条件，将题中()f x 的图像补充完整（图略），由
函数图像知，()f x 的增区间为[1,0]-和[1,)+∞.
（2）当0x ＞时，0x -＜，22()()2()2f x x x x x -=-+-=-，又函数()f x 是定义在R 上的偶
函数，所以2
()()2f x f x x x =-=-，所以函数()f x 的解析式为2
22,0,
()2,0.
x x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+⎪⎩＞≤
（3）由（2）知，2()(22)2([1,2])g x x a x x =-++∈.因为函数2(22)2y x a x =-++，x ∈R 的图像的对称轴为直线(22)
12
a x a -+=-
=+，所以 ①当11a +≤，即0a ≤时，函数()g x 的最小值为(1)12g a =-； ②当12a +≥，即1a ≥时，函数()g x 的最小值为(2)24g a =-；
③当112a +＜＜，即01a ＜＜时，函数()g x 的最小值为2(1)21g a a a +=--+. 19.【答案】（1）()f x 在其定义域上为奇函数. 证明如下：
()(0),(1)12a
f x x x f a x
=+≠=+=Q ，
1
1,()a f x x x ∴=∴=+，
1
()()f x x f x x
-=--=-Q ，且函数()f x 的定义域关于原点对称，
()f x ∴在定义域上称为奇函数.
（2）证明：任取12,(1,)x x ∈+∞，且12x x ＜，
()()21212111f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()122121211211x x x x x x x x x x ⎛⎫
-=-+=-- ⎪⎝⎭，
21121212
110,1,
1,10x x x x x x x x --Q ＞＞＜＞ ()()210f x f x ∴-＞，即()()21f x f x ＞，
()f x ∴在(1,)+∞为增函数.
（3）由（2）可知()f x 在(1,)+∞上单调递增，
()f x ∴在[2,5]上的最小值和最大值分别min 15
()(2)222
f x f ==+=， max 126
()(5)555
f x f ==+
=. 20.【答案】（1）由题意得()1210P x x =+， 则20.5221210,016,()()()2241210,16x x x x f x Q x P x x x ⎧-+--⎪
=-=⎨--⎪⎩
≤≤＞,
即2
0.51212,016,
()21210,16.x x x f x x x ⎧-+-⎪=⎨-⎪⎩≤≤＞
（2）当16x ＞时，函数()f x 在定义域内递减，所以()(16)21216052f x f =-=＜；
当016x ≤≤时，22()0.512120.5(12)60f x x x x =-+-=--+，所以当12x =时，()f x 有最大值，最大值为60.
综上，当工厂生产1 200台产品时，可使利润最多，利润最多为60万元。

21.【答案】（1）证明：2()0222x x x f x f f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
≥，又()0,()0f x f x ≠∴Q ＞.
（2）证明：任取1212,,x x x x ∈R ＜，则12x x -＜0，又()f x Q 为非零函数，
()()()
()122122f x x f x f x x f x -∴-=
g ，
()()
()()
1221221f x x x f x f x f x -+=
=＞，
()()12()0,f x f x f x ∴Q ＞＞，
()f x ∴为减函数.
（3）21
(4)(2),()016
f f f x ==
Q ＞, 1(2)4
f ∴=
, ∴原不等式转化为()
2235(2)f x x x f +-+-≤，由（2）可知()f x 为减函数，22x ∴+≥，0x ∴≥，故所求不等式的解集为{}|0x x ≥.
22.【答案】（1）令0m n ==，则(0)2(0)1f f =-，
(0)1f ∴=.
（2）证明：任取12,x x ∈R ，且12x x ＜， 则210x x -＞，()211f x x -＞.
()()()1f m n f m f n +=+-Q ，
()()()()()()221121111111f x f x x x f x x f x f x f x ∴=⎡-+⎤=-+-+-=⎣⎦＞， ()()21f x f x ∴>， ()f x ∴在R 上为增函数.
（3）()
2(2)3f ax f x x -+-Q ＜
()
2(2)12f ax f x x -+--＜
()
222f ax x x ∴-+-＜
(1)2f =Q
()
22(1)f ax x x f ∴-+-＜.
又()f x Q 在R 上为增函数，
221ax x x ∴-+-＜
2(1)30x a x ∴-++＞对任意的[1,)x ∈+∞恒成立.
令2()(1)3(1)g x x a x x =-++≥， 只需满足min ()0g x ＞即可. 当
1
12
a +≤，即1a ≤
时， ()g x 在[1,)+∞上递增，因此min ()(1)g x g =，由(1)0g ＞得3a ＜，此时1a ≤；
当
112a +＞，即1a ＞时，min 1()2a g x g +⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
由102a g +⎛⎫ ⎪⎝⎭
＞得11a -＜＜，此时11a ＜＜.
综上，实数a 的取值范围为(1)-∞.。