动力学专题4——质点的运动微分方程

思 考 题 4-4
若不计空气阻力，自由下落的石块与向下仍（即 给以向下的初速）的石块，哪一个加速度较大？
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质点的运动微分方程
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§4-2 质点的运动微分方程
动力学基本方程是矢量方程，为了便于计算，常 将它改写成投影式，并表示为微分形式的方程，称 为质点的运动微分方程。
m a F
2. 力学模型：
(1) 质点：具有一定质量，而其形状和大小对所 研究的问题不起主要作用，可以忽略 不计的物体。
例如： 研究卫星的轨道时，卫星 质点； 刚体作移动时,刚体 质点。
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(2) 质点系：由有限或无限个有着一定联系的质点 组成的系统。
自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的 限制。
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思 考 题 4-3
以下说法是否正确？(a) 质点如有运动则它一定 受力，其运动方向总是与所受力的方向一致；
(b) 质点运动时，如速度大则它所受的力也大，
速度小则所受的力也小，若速度为零则质点不受力
；(c) 机车以某一力牵引车辆加速前进时，车辆给机
车的反力必小于机车对列车的牵引力。
大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的惯性
越大，因此，质量是质点惯性的度量。
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第三定律（作用与反作用定律）
两个质点间相互作用的力，总是大小相等，方 向相反，且沿着同一直线，分别作用在这两个质 点上。
在静力学里，研究物体的平衡用到它。在动力 学里，这一定律依然成立。
4. 动力学的基本问题：大体上可分为两类：
第一类：已知物体的运动情况，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。
综合性问题： 已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。 已知主动力，求运动，再由运动求约束力。
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§4-1 动力学基本定律
1. 动力学基本定律
以牛顿三定律为基础的力学，称为古典力学或 经典力学，在此范畴，质量、空间和时间是“绝对” 的，与运动没有关系，但近代物理已经证明，质量、 时间和空间都与物体的运动速度有关，只是当物体 的运动速度远小于光速时，物体的运动对质量、时 间和空间的影响是微不足道的。
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动力学基本定律是动力学的基础,但它们只能 直接应用于质点。对于质点系,应该将它们分别应 用于每一质点,然后导出质点系的运动规律。
质点是物体最简单、最基本的模型，是构成复 杂物体系统的基础，质点动力学基本方程给出了质 点受力与其运动变化的关系，质点动力学的基础是 三个基本定律，这些定律是牛顿在总结前人研究成 果基础上提出的，称为牛顿三定律。
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第 17章（4） 质点的运动微分方程
§4-1 动力学基本定律 §4-2 质点的运动微分方程
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引言
1. 动力学的研究内容：研究物体的机械运动与它的 质量和受力情况之间的关系。
非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约 束的限制。质点系是力学中普遍 的抽象化模型；包括刚体、弹性 体、流体。
刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保 持距离不变的质点组成。又称为不变质点系。
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3. 动力学分类： 质质点点动系力动学力学
质点动力学是质点系动力学的基础。
(16-2)
mdd2tr2
F
(16-3)
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1. 质点运动微分方程在直角坐标投影
设质量为m的质点M，作平面曲线运动。取直
角坐标系Oxy，将质点受到的力与加速度在直角坐
标轴上投影得：
m
d2x dt2
Fx
m
d2y dt2
Fy
(16-4)
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2. 质点运动微分方程在自然轴上投影
由运动学知
at
dv dt
,
an
v2
动力学基本方程在自然轴系上的投影为：
m
dv dt
Ft
m
v2
Fn
(16-5)
式(16-4) 和(16-5)是两种常用 的质点运动微分方程。可以求 解质点动力学两类问题。
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(1) 第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力 （微分问题）解题步骤和要点：
1) 正确选择研究对象；（一般选择联系已知量和 待求量的质点）。
2) 正确进行受力分析,画出受力图； (应在一般 位置上进行分析)。
3) 正确进行运动分析；（分析质点运动的特征 量）。
4) 选择并列出适当形式的质点运动微分方程； （建立坐标系）。
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第二定律（力与加速度之间关系的定律）
质点受外力作用时，将产生加速度，加速度的 方向与力的方向相同，大小与力的大小成正比。
m a F
(16-1)
上式称为质点动力学基本方程。
当质点受到多个力作用时，该式中的力F 应为 汇交力系的合力；从该式还可以看出，质点质量越
思 考 题 4-1
要使车子在水平直线轨道上匀速前进，为什么 还需不断对它施加水平推力？这与惯性定律有无矛 盾？
思 考 题 4-2
试比较下述几种情况下站在电梯中的人对电梯 地板的压力大小：(a) 电梯静止不动；(b) 电梯 匀速上升；(c) 电梯匀速下降；(d) 电梯加速上 升；(e) 电梯减速下降。
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第一定律（惯性定律） 质点如不受外力作用，则将保持静止或作匀速
直线运动。
质点保持静止或作匀速直线运动，也就是保 持其运动状态不变，这种性质称为惯性。故点的 匀速直线运动，称为惯性运动。所以第一定律也 称为惯性定律。
当质点受到外力作用，而这些作用又不互相 抵消时，它的运动状态将按一定规律发生变化。 第二定律就表明了这一变化规律。
由于作用与反作用，引起了机械运动在相互 作用的两质点（物体）间发生转移。力就是这种 机械运动转移的反映。
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2. 惯性参考系
动力学基本定律在其中能正确成立的参考系称
为惯性参考系,简称惯性系。在一般问题中,与地球
固接的参考系或相对于地面作惯性运动的参考系,
可近似看成惯性系。