(完整版)江苏高考数学模拟卷

2010届六合高级中学高考模拟考试
学
刘 明
江苏省特级教师、 教授级中学高级教师 ）
．计算 2
ii ▲ ． 1+i
．函数sin2cos2yxx的最小正周期是 ▲ ．
．命题:p2{|0}aMxxx；命题:q{|||2}aNxx， p是q的 ▲ 条件．

．圆2264120xyxy上一点到直线3420xy的距离的最大值为 ▲ ．4
．已知向量a，b的夹角为60o，|a|＝2，|b|＝1，且(ka＋b)⊥(2a－b)，则实数k＝ ▲ ．1

．已知样本a，b，5，6，7的平均数是5，方差是2，则ab的值为 ▲ ．12
．若命题“x∈R，使x2＋(a－1)x＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为 ▲ ．31a
．一个质地均匀的正四面体（侧棱长与底面边长相等的正三棱锥）骰子四个面上分别标有1，2，3，
这四个数字，抛掷这颗正四面体骰子，观察抛掷后能看到的数字．若连续抛掷两次，两次朝下
6的概率是 ▲ ．3

．已知点A(4, 6)，点P是双曲线C：221
yx上的一个动点，点F是双曲线C的右焦点，则PA
PF的最小值为 ▲ ．8
．设
a是正项数列，其前n项和nS满足条件4(1)(3)nnnSaa,则数列na的通项公式na=
．21n
．函数yfx的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为1, 00, 1，则不等
1fxfx的解集为 ▲ ．1[1,)(0,1]
U
．执行如图所示的程序框图，则输出的n＝ ▲ ．5
开始 n←1，s←1 s>30 输出n 结束 s←s＋2n n←n＋1 Y N
12题图） x y O 1 1 －1 －1 第11题图
．．已知x，y满足约束条件20,0,
xyxyy目标函数z＝4x＋3y的最小值为 ▲ ．－2
．给出以下四个命题：
)(xfy在R上是增函数的充分不必要条件是0)('xf对xR恒成立；
4,16,1}{
51aaaan则中，；
)22sin(xy的图像向左平移1个单位，则得到的图象对应的函数解析式为
y2sin

{a
}是等比数列，则a1＋a2＋a3＋a4，a5＋a6＋a7＋a8，a9＋a10＋a11＋a12也一定成等比数

▲ ．①③
．（本小题满分14分）
2cos(2)sin
fxxx。
fx的最小正周期,并判断奇偶性；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A，B，C为ABC的三个内角，若
1)2(,31cosCfB
且C为锐角，求sinA。
: （1）xxxf2sin)
2cos()(
=1cos213cos2cossin2sinsin2
3222xxxx 。 ………………4分
)(xf的最小正周期，
()(xfxf
)(xf为非奇非偶函数 。 ……………6分
2）∵
1sin2321)2(CCf, ∴3sin
C, ∵C为锐角,∴21cosC， ………9分
ABC 中, cosB =
1, ∴232sinB, ………………………11分
113223
sin()sincoscossin2.
2326ABCBCBC……………14分
．（本小题满分14分）
ABCD-A
B1C1D1切去一个三棱锥B1—A1BC1后得到的几何体．
1） 若点O为底面ABCD的中心，
D
O∥平面A1BC1；
2）
求证：平面A1BC1⊥平面BD1D．
1）将其补成正方体ABCD-A
B1C1D1，设B1D1和A1C1交于点O1，连
O
B，依题意可知，D1O1∥OB，

且D1O1=OB，即四边形D1OB O1为
……………………4分
则D
O∥O1B，因为BO1平面BA1C1，D1O平面BA1C1，
D
O∥平面BA1C1。 ……………………7分
2）在正方体ABCD-A
B1C1D1中，DD1⊥平面A1B1C1D1，
则DD
⊥A1C1， ……………………9分
在正方形A
B1C1D1中，B1D1⊥A1C1， …………12分
又∵DD
∩B1D1= D1，∴A1C1⊥平面BD1D，
A
C1平面A1BC1，则平面A1BC1⊥平面BD1D． …………14分
．（本题满分14分）
M在椭圆x2
2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F．
1）若圆M与y轴相切，求椭圆的离心率；
2）若圆M与y轴相交于A，B两点，且△ABM是边长为2的正三角形，求椭圆的方程．
．（1）解：由题意可知，点M的坐标为(c，c)，∴22
21cc
b， …………2分
即22
221cc
ac，即222
111caa
，即221111ee，即22211eee，
24221eeee，即e4－3e2＋1＝0，∴223562551()
42e，……5分
e＝51
，又e∈(0，1)，∴e＝512。 ………………………………7分
2）解：把x＝c代入椭圆方程x2
2＋y2b2＝1，得yM＝±b2a。
ABM是边长为2的正三角形，
M的半径r＝2．M到y轴的距离d＝3．
r＝b2
，d＝c，
c＝3，b2
＝2． …………………………………………………………………11分
a2－b2＝c2．
a2－b2＝3．
a2－2a－3＝0，a＝3，a＝－1(舍去)．
2＝2a＝6．
x2
＋y26＝1．…………………………………………………14分
．（本小题满分16分）
98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，
50万元.
（1）问第几年开始获利？
（2）若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获
8万元出售该渔船。问哪种方案更合算？
（1）由题设知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列。
f(n)，
9824098)]48(...1612[50)(2nnnnnf， ………………4分
f(n)＞0，得51105110n又∵n∈N*，∴n＝3，4，……17。 ………………6分
3年开始获利。 ………………7分
2）①年平均收入为1214240)49(240)(
nnnf，当且仅当n=7时，年平均获利最
12万元/年。 ………………9分
12×7+26=110（万元）。 ………………11分
f(n)＝－2(n－10)2+102，∵当n＝10时，102)(
nf（万元）。 ………………13分
102+8=110（万元）。 ………………14分
由于这两种方案总收入都为110万元，而方案①只需7年、而方案②需要10年，故方案①更合算。
………………16分
（本题16分）
f(x)＝x3－ax2－bx＋a2，x∈R ，a，b为常数。
1）若函数f

(x)在x＝1处有极值10，求实数a，b的值；
2）若函数f(x)是奇函数，
①方程f(x)＝2在x∈[－2,4]上恰有3个不相等的实数解，求实数b的取值范围；
②不等式f(x)＋2b≥0对x∈[1，4]恒成立，求实数b的取值范围。
1）f’(x)＝3x2－2ax－b，
f(x)在x＝1处有极值10，得f’(1)＝0，f(1)＝10。 …………2分
3－2a－b＝0，1－a－b＋a-2＝10，解得a＝3，b＝－3或a＝－4，b＝11。 ……3分
a＝3，b＝－3不合题意，舍去。
a＝－4，b＝11。 ……………………………………4分
2）由于函数f(x)的定义域为R，由函数f(x)是奇函数，得f(0)＝0，∴a＝0。 ……5分
f(x)＝2，得f(x)－2＝0，令g(x)＝f(x)－2＝x3－bx－2，则方程g(x)＝0在x∈[－2,4]上恰有3个
∵g’(x)＝3x2－b，
（ⅰ）若b≤0，则g’(x)≥0恒成立，且函数g(x)不为常函数，∴g(x)在区间[－2,4]上为增函数，
(0)＝0，所以，g(x)＝0在区间[－2,4]上有且只有一个实数解。不合题意，舍去。
6分
b＞0，则函数g(x)在区间(－∞，－b
)上为增函数，在区间(－b3，b3)上为减函
(b
，＋∞)上为增函数，由方程g(x)＝0在x∈[－2,4]上恰有3个不相等的实数解，
(2)0,()0,
0,fbff ……………………………………9分
5,3,
bbb ∴b∈(3,5] ……………………………………10分
②由不等式f(x)＋2b≥0，得x3－bx＋2b≥0，即(x－2)b≤x3，
x－2＝0即x＝2时，b∈R； ……………………………………11分
若x－2＜0即x∈[1,2)时，b≥x3
－2在区间[1,2)上恒成立，令h(x)＝x3x－2，则b≥h(x)max。
h’(x)＝2x2(x－3)
x－2)2，∴h’(x)＜0在x∈[1,2)上恒成立，所以h(x)在区间[1,2)上是减函数，∴h(x)max
h(1)＝－1，∴b≥－1。 ……………………………………13分
x－2＞0即x∈(2,4]时，b≤x3
－2在区间(2,4]上恒成立，则b≤h(x)min。由（ⅱ）可
h(x)在区间(2,3)上是减函数，在区间(3,4]上是增函数，∴h(x)
＝h(3)＝27，∴
≤27。 ……………………………………15分
b∈[－1，27]。 ……………………………………16分
．（本题16分）
a中，11a，
2nnnaa(n∈N*)，bn＝3an。
1）试证数列n
a2
1是等比数列，并求数列{bn}的通项公式。
2）在数列{b
}中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，

3）①试证在数列{b
}中，一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r，s，使得b1，br，bs成等差数
r，s之间的关系。
{b
}中，是否存在满足条件1＜r＜s＜t的正整数r，s，t，使得b1，br，bs，bt成等
r，s，t之间的关系；若不存在，说明理由。
（1）证

明: 由
2nnnaa，得an＋1＝2n—an，
nnnnnnnaaaa2
123122312311111231231nnnnaa,
n
a2
1是首项为31321a,公比为1的等比数列. ……………2分
∴ 11
1231nnna, 即nnna1231，
21nn
b …………………………………3分
2）解：假设在数列{b
}中，存在连续三项bk
1，bk，bk＋1(k∈N*, k≥2)成等差数列，则bk－1＋bk＋
＝2bk，即1111[21][21]2[21]kkkkkk，
12k＝41(1)k …………………………………4分
k为偶数，则12k＞0，41(1)k＝－4＜0，所以，不存在偶数k，使得b
1，bk，bk＋1成等
…………………………………5分
k为奇数，则k≥3，∴12k≥4，而41(1)k＝4，所以，当且仅当k＝3时，b
1，bk，bk＋1

{b
}中，有且仅有连续三项b2，b3，b4成等差数列。 …………7分
3）①证明：要使b
，br，bs成等差数列，只需b1＋bs＝2 br，即3＋21ss＝2[21rr],
122(1)2(1)3srsr， ①
ⅰ）若s＝r＋1，在①式中，左端122sr＝0，右端(1)2(1)3sr＝
1)2(1)33(1)3sss
s为偶数时成立。又s＞r＞1，且s，r为
s为不小于4的正偶数，且s＝r＋1时，b
，br，bs成等差数列。………9分
s≥r＋2时，在①式中，左端122sr≥2122rr＝12r，由（2）可知，r≥3，∴r
1≥4，∴122sr≥16；右端(1)2(1)3sr≤0（当且仅当s为偶数、r为奇数时取“＝”），
s≥r＋2时，b
，br，bs不成等差数列。
4的正偶数s，且s＝r＋1，使得b
，br，bs成等差数列。 ……11分
1＜r＜s＜t的正整数r，s，t，使得b
，br，bs，bt成等差数列。
3项：由第（3）小题第①问，可知，b
，b2n－1，b2n(n∈N*，且n≥2)成等
d＝b
n－b2n－1＝221221[21][21]nnnn＝2122n， ……12分
b
＝b2n＋d＝2221nn＋2122n＝3212n－3。
b
=21tt，∴3212n－3＝21tt，
2t－3212n＝1t－3。 ② ……………………14分
t＞2n＞2n－1，∴t≥2n＋1，∴②式的左端2t－3212n≥212n－3212n＝212n≥8，而②式
1t－3≤－2，∴②式不成立。
1＜r＜s＜t的正整数r，s，t，使得b
，br，bs，bt成等差数列。
……………………16分
、选做题：
几何证明选讲]如图，ABC是Oe的内接三角形，PA是Oe的切线，PB交于AC于点E，交Oe
D，若,60PEPAABC°，1,8PDBD，求线段CE的长。4
PA是圆O的切线，PDB是圆O的割线，
PA2＝PDPB，又1,8PDBD，
PA＝3， ……………………………3分
PE＝PA，∴PE＝3。
PA是圆O的切线，∴∠PAE＝∠ABC＝60o，
PE＝PA，∴ΔPAE是等边三角形，∴PE＝3。 ……………………………7分
DE＝PE－PD＝2

，∴BE＝BD－DE＝6。
AECE＝BEDE，∴CE＝4。 ……………………………10分
矩阵变换] 求圆C：224xy在矩阵20
1A对应变换作用下的曲线方程，并判断曲线的类型．
P(x,y)是圆C：224xy上的任一点,
)y,x(是P(x,y) 在矩阵20
1A对应变换作用下新曲线上的对应点 ,
xyxyx21002 ， ……………………… 3分

yxx2，所以
yxx2， ……………………… 6分
yxx2代入224xy，得 22''44xy， ……………………… 8分 A P D E B C O
∴方程221
4xy表示的曲线是焦点为(±23 ,0) 长轴为8的椭圆． …………10分
坐标系与参数方程已知直线l经过点P(1，1)，倾斜角
，设l与曲线2cos2sinxy (为参数)
A、B，求点P到A，B两点的距离之积。
l的参数方程为1cos,6
sin
xtyt（t为参数），
31,2
xtyt（t为参数）。 ………………………………3分
x2＋y2＝4。 ………………………………6分

t2＋(3＋1)t－2＝0，
t
t2＝－2， ………………………………8分
P到A，B两点的距离之积为2。 ………………………………10分
不等式选讲] 求证：对于任意不小于3的自然数，2n－1
n＋1＞nn＋1．
要证2n－1
n＋1＞nn＋1，只要证2n＞2n＋1(n≥3)． ……………………………2分
n＝3时，23＝8，2×3＋1＝7，不等式2n＞2n＋1 成立． ……………………………4分
假设n＝k(k≥3，且k∈N*)时，不等式成立，即2k＞2k＋1，则2k＋1＝22k＞2(2k＋1)＝4k＋2＝
k＋1)＋2k＞2(k＋1)＋1，即2k＋1＞2(k＋1)＋1． ……………………………8分
(1)、(2)可知，对于任意不小于3的自然数，2n－1
n＋1＞nn＋1恒成立． ……………10分
．（本题满分10分）
三棱柱
11CBAABC中，
CC底面ABC，
BC
且4AB，2
AAAC．求二面角
BAC
1的余弦值．
1(2,0,2),(0,23,0),(0,23,2),ABB
ABC的一个法向量(1,0,1)mur． …………………3分
1ABC的一个法向量为, , nxyzr，
11
00nCAnCBruuuurruuuur，得(0,1,3)nr． …………………7分
,
mnmn
nurrurrurr， …………………8分
以二面角CBAC
1的余弦值是
． …………………10分
．（本题满分10分）
乙两名乒乓球运动员进行比赛，采用五局三胜制。若每一局比赛甲获胜的概率为2
，乙获胜
1
。现已完成一局比赛，乙暂时以1:0领先。
1）求甲获得这次比赛胜利的概率；
2）设比赛结束时比赛的局数为X，求随机变量X的概率分布列和数学期望。
（1）设甲获胜为事件A，则甲获胜包括甲以3:1获胜（记为事件A
）和甲以3:2获胜（记为
A

），且事件A1，A2为互斥事件，
P(A)＝P(A
＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝322
22128816()()
333272727C。
16
。 …………………4分
2）随机变量X的所有可能取值为3，4，5，
(X＝3)＝211()
9，P(X＝4)＝12812127333C＝49，
(X＝5)＝12
82114()
3339C。
X的概率分布列为
3 4 5
1
49 49
…………………8分
X的数学期望为E(X)＝14413345
993。 …………………10分