第5章点的合成运动习题解答080814讲课稿

第5章点的合成运动习题解答080814

第五章 点的合成运动

本章要点

一、绝对运动、相对运动和牵连运动

一个动点，

两个参照系： 定系，动系；

三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动， 包括三种速度：绝对速度、相对速度和牵连速度； 三种加速度：绝对加速度、相对加速度和牵连加速度；

牵连点：动参考系上瞬时与动点相重合的那一点称为动参考系上的牵连点。 二、速度合成定理

动点的绝对速度，等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和，即

r e a v v v +=

解题要领

1 定系一般总是取地面，相对定系运动的物体为动系，动点不能在动系上.

2 牵连速度是牵连点的速度.

3 速度合成定理中的三个速度向量，涉及大小方向共六个因素，能且只能存在两个未知数方能求解，因此，至少有一个速度向量的大小方向皆为已知的.

4 作速度平行四边形时，注意作图次序：一定要先画大小方向皆为已知的速度向量，然后再根据已知条件画上其余两个速度向量，特别注意，绝对速度处于平行四边形的对角线位置.

5 用解三角形的方法解速度合成图. 三、加速度合成定理

1 牵连运动为平移时的加速度合成定理

当牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和，即

r e a a a a +=，

当点作曲线运动时，其加速度等于切向加速度和法向加速度的矢量和，因此上式还可进一步写成

n r t r n

e t e n a t a a a a a a a +++=+

其中 t v a d d a t a

=，a 2a n a ρv a =，t v a d d e t e =，e

2e n

e ρv a =，t v a d d r t r =，r 2r n r ρv a =，r e a ,,ρρρ依次

为绝对轨迹、牵连轨迹和相对轨迹的曲率半径。 解题要领

1牵连运动为平移时的加速度合成定理只对“牵连运动为平移时”成立，因此，判定牵连运动是否为平移至关重要.

2 牵连运动为平移时的加速度合成定理涉及的三个加速度，每一加速度都可能有切向和法向加速度。但是，法向加速度只与速度有关，因此，可以通过速度分析予以求解，从而在此处是作为已知的。剩下的三个切向加速度的大小方向共有六个因素，能且只能有2个未知量时方可求解。

3 因加速度合成定理涉及的矢量较多，一般不用几何作图的方法求解，而是列投影式计算，千万不能写成“平衡方程”的形式。

4 在加速度分析中，因动点和动系的选择不当而出现了一种似是而非的分析过程。教材中例5.3.5的一个典型错误解法如下：

例：半径为r 的半圆凸轮移动时，推动靠在凸轮上的杆OA 绕O 轴转动，凸轮底面直径DE 的延长线通过O 点，如图所示。若在 30=ϕ的图示瞬时位置，已知凸轮向左的移动速度为u ，加速度为a 且与u 反向，求此瞬时OA 杆的角速度ω与角加速度α。

（a ）

(b)

“解”：取OA 杆上与凸轮相接触的B 点为动点，动系固结在凸轮上。设OA 杆的角 速度和角加速度分别为ω 和α。

1）速度分析：

根据速度合成定理，可画出速度平行四边形如图所a 示。由几何关系可得

u v v 2

1

30sin e a == , u v v 2330cos e r == 方向如图所示。由此可求得OA 杆在图示瞬时的角速度为

r

u u r OB v ω63230ctg 1a =

==

， 转向如图所示。

2） 加速度分析：

根据牵连运动为平移时的加速度合成定理，有

n r t r e

n a

t

a a a a a a ++=

+

大小： αOB ？ 2

ωOB a ？ BC

v 2

r

方向： OA ⊥ 指向O 点 ← BC ⊥ 指向C 点

加速度矢量关系图如图b 所示。在这个矢量关系式中，各加速度分量的大小、方向共有十个要素，已知八个要素，可以求解。将图示的加速度矢量关系向CB 方向投影，得

(

)

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=-

-=--=--=r u a r u/a BC v a a a a 4322

32

30sin 30sin 22

2r n r e t a

， t a a 为负值说明τa a 的真实指向应与图设的指向相反。由此，可求得OA 杆在图示瞬时

的角加速度的大小为

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+=+===r u a r r

r /u a/BC a OB a α2323343230ctg 22t

a t

a ， 转向如图所示（由t a a 的真实指向决定）。

上述解法是“避免 ”了取OA 杆为动系时出现的科氏加速度，错在何处？这不难从杆OA 的转动方程

x

R =

ϕsin ， 对时间求导求得OA 杆的角速度和角加速度值得到验证，式中OA x =。可以看到，速度分析的结果是正确的，而加速度分析结果是错误的。原因是“取OA 杆上与凸轮相接触的B 点为动点”，此动点只在此瞬时与凸轮相接触，随后就分道扬镳了，其相对轨迹不是凸轮轮廓线，相对轨迹不清楚，因此，上面分析中n r a 用凸轮轮廓线的半径作为相对轨迹的曲率半径的计算是错误的。

2 牵连运动为转动时的加速度合成定理

牵连运动为转动时点的加速度合成定理：当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度，等于该瞬时动点的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和

c r e a a a a a ++=，

其中科氏加速度为r e c ω2v a ⨯=，当相对速度矢量与牵连角速度矢量垂直时，相对速度顺着牵连角速度转 90的方向就是科氏加速度的方向，大小为r e ω2v a c =.当点作曲线运动时，其加速度等于切向加速度和法向加速度的矢量和，因此上式还可进一步写成

c n r t r n

e t e n a t a a a a a a a a ++++=+.

解题要领：

1 在加速度分析中要特别注意动系是否有角速度，如果有，就要考虑科氏加速度。

2 牵连运动为转动时的加速度合成定理涉及的矢量较多，最多有7个矢量，分析和列投影式时不要遗漏了。

3 法向加速度和科氏加速度只与速度和角速度有关，因此，在加速度分析时应作为是已知的。

4 牵连运动为转动时的加速度合成定理只可以解2个未知量。