天津市南开中学2020-2021学年高一上学期开学考试数学试题
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16．设 ，若只有一个正的常数 ，使得对于任意的 ，都有 满足方程 ，则 ________.
17．设全集 ，集合 ， 对任意实数 恒成立 ， ，求实数 的范围.
三、解答题
18．已知 ， ，若 ，求 的取值范围.
19．已知 ， .
（1）当 时，求集合 ；
（2）若“ ，使得 ”为真命题，求 的取值范围；
所以 ，故①错误；
从图象观察得，当 时， ，所以 ，
又 ，所以 ，代入得 ，
所以 成立，故②正确；
当 时， ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，故③正确；
综上得结论正确的是②③，
故选：C.
【点睛】
本题考查二次函数的图像与系数的关系，属于基础题.
7．C
【分析】
根据两集合交集不为空集，可直接列出不等式求解，即可得出结果.
2．D
【分析】
根据 得到， 是 的子集，根据选项，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
因为集合 满足 ，所以 ，又 ，
A选项， 显然是集合 的子集，不满足题意，排除；
B选项， 显然是集合 的子集，不满足题意，，排除；
C选项， 不是集合 的子集，且 也不是 的子集，不满足题意，排除；
D选项， 包含集合 ，故满足题意，正确.
【详解】
因为 ， ，
若 ，则只需 ，解得 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查由集合交集的结果求参数，属于基础题型.
8．C
【分析】
根据题意先将抛物线 关于原点作中心对称得到解析式为 ，再将抛物线关于 轴作轴对称得到解析式为 ，最后给出答案即可.
【详解】
解：先将抛物线 关于原点作中心对称变换，得到 ，整理得 ；
a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2都不成立.
故选：D
【点睛】
本题考查了全称命题的否定，属于基础题.
6．C
【分析】
根据图像观察出图像的开口方向，对称轴，特殊点的函数值的正负，以及最小值，逐一判断可得选项.
【详解】
由图象得：图像的开口向上，所以 ，
图象的对称轴在 轴的右侧，所以 ，
又图象与 轴的交点在负半轴，所以 ，
4．D
【分析】
先求出 ，再求出 或 ，最后求 即可.
【详解】
解：因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，则 或 ，
所以 或 ，
故选：D
【点睛】
本题考查求解一元二次不等式、集合的交并补混合运算，是基础题.
5．D
【分析】
将“全称量词”改“存在量词”，“至少有一个成立”改为“都不成立”即可得到.
【详解】
“ a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2至少有一个成立”的否定为：
3．“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知全集 ，设集合 ， ，则 （）
A． B． C． D． 或
5．命题“ a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2至少有一个成立”的否定为（）
A． a，b>0，a＋ <2和b＋ <2至少有一个成立
B． a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2都不成立
天津市南开中学2020-2021学年高一上学期开学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设全集 ，已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知集合 ，集合 满足 ，则 可能为（）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，先将抛物线 关于原点作中心对称变换，再将所得的抛物线关于 轴作轴对称变换，那么经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）
A． B． C． D．
9．菱形 的边长为6， ，如果点 是菱形内一点，且 ，则线段 的长为（）
A． B． C． 或 D． 或
10．设集合 ， ， ， ， 都是 的含两个元素的子集，且满足：对任意的 ， 都有 （ 表示两个数 ， 中的较大者），则 的最大值为（）
再将抛物线 关于 轴作轴对称变换，得到 ，整理得 ；
所以经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为 .
故选：C
【点睛】
本题考查根据函数的图象变换求解析式，是基础题.
9．D
【分析】
先判断点 在对角线 上，再分“点 在线段 上”和“点 在线段 上”两种情况讨论分别求线段 的长.
【详解】
解：因为点 是菱形内一点，且 ，所以点 在对角线 上，设对角线 与 的交点为 ，所以点 可能在线段 上，也有可能在线段 上，
，所以 ， ，
又因为 ，在 中， ，此时 ，
②当点 在线段 上时，如图.
因为菱形 的边长为6， ，所以 ， ，
又因为 ，在 中， ，此时 ，
故选：D.
【点睛】
本题考查几何图形中的计算问题，是基础题.
10．B
【分析】
根据题意，首先分析出M的所有含2个元素的子集数目，进而对其特殊的子集分析排除，注意对“ （ 表示两个数 ， 中的较大者），”的把握，即可得答案．
故选：D.
【点睛】
本题主要考查由交集的结果确定集合，考查集合的包含关系，属于基础题型.
3．D
【分析】
利用取特殊值法判断即可.
【详解】
取特殊值代入，当 时，满足 但 ，所以不充分；
当 时，满足 ，但 ，所以不必要；
故“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了对充分条件和必要条件的判断.属于较易题．
A．8B．9C．10D．11
二、填空题
11．设集合 ，集合 ，若 ，则实数 _____.
12．集合 满足 ，则集合 的个数有________个.
13．设集合 ， ，若 ，则 的取值范围是________.
14．已知 ，则 ________.
15．已知 或 ， ， ，若 是 的必要不充分条件，则 的取值范围是________.
（3）是否存在实数 ，使“ ”是“ ”必要不充分条件，若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．B
【分析】
先求出集合 以及集合 的补集 ，再根据集合的交集运算即可求出．
【详解】
因为 或 ，所以 ，
即有 ．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查集合的交集和补集运算，以及一元二次不等式的解法，属于容易题．
C． a，b>0，a＋ <2和b＋ <2至少有一个成立
D． a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2都不成立
6．二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 .下列结论：① ；② ；③ .其中结论正确的个数为（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
7．已知集合 ， ，若 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
17．设全集 ，集合 ， 对任意实数 恒成立 ， ，求实数 的范围.
三、解答题
18．已知 ， ，若 ，求 的取值范围.
19．已知 ， .
（1）当 时，求集合 ；
（2）若“ ，使得 ”为真命题，求 的取值范围；
所以 ，故①错误；
从图象观察得，当 时， ，所以 ，
又 ，所以 ，代入得 ，
所以 成立，故②正确；
当 时， ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，故③正确；
综上得结论正确的是②③，
故选：C.
【点睛】
本题考查二次函数的图像与系数的关系，属于基础题.
7．C
【分析】
根据两集合交集不为空集，可直接列出不等式求解，即可得出结果.
2．D
【分析】
根据 得到， 是 的子集，根据选项，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
因为集合 满足 ，所以 ，又 ，
A选项， 显然是集合 的子集，不满足题意，排除；
B选项， 显然是集合 的子集，不满足题意，，排除；
C选项， 不是集合 的子集，且 也不是 的子集，不满足题意，排除；
D选项， 包含集合 ，故满足题意，正确.
【详解】
因为 ， ，
若 ，则只需 ，解得 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查由集合交集的结果求参数，属于基础题型.
8．C
【分析】
根据题意先将抛物线 关于原点作中心对称得到解析式为 ，再将抛物线关于 轴作轴对称得到解析式为 ，最后给出答案即可.
【详解】
解：先将抛物线 关于原点作中心对称变换，得到 ，整理得 ；
a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2都不成立.
故选：D
【点睛】
本题考查了全称命题的否定，属于基础题.
6．C
【分析】
根据图像观察出图像的开口方向，对称轴，特殊点的函数值的正负，以及最小值，逐一判断可得选项.
【详解】
由图象得：图像的开口向上，所以 ，
图象的对称轴在 轴的右侧，所以 ，
又图象与 轴的交点在负半轴，所以 ，
4．D
【分析】
先求出 ，再求出 或 ，最后求 即可.
【详解】
解：因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，则 或 ，
所以 或 ，
故选：D
【点睛】
本题考查求解一元二次不等式、集合的交并补混合运算，是基础题.
5．D
【分析】
将“全称量词”改“存在量词”，“至少有一个成立”改为“都不成立”即可得到.
【详解】
“ a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2至少有一个成立”的否定为：
3．“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知全集 ，设集合 ， ，则 （）
A． B． C． D． 或
5．命题“ a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2至少有一个成立”的否定为（）
A． a，b>0，a＋ <2和b＋ <2至少有一个成立
B． a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2都不成立
天津市南开中学2020-2021学年高一上学期开学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设全集 ，已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知集合 ，集合 满足 ，则 可能为（）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，先将抛物线 关于原点作中心对称变换，再将所得的抛物线关于 轴作轴对称变换，那么经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）
A． B． C． D．
9．菱形 的边长为6， ，如果点 是菱形内一点，且 ，则线段 的长为（）
A． B． C． 或 D． 或
10．设集合 ， ， ， ， 都是 的含两个元素的子集，且满足：对任意的 ， 都有 （ 表示两个数 ， 中的较大者），则 的最大值为（）
再将抛物线 关于 轴作轴对称变换，得到 ，整理得 ；
所以经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为 .
故选：C
【点睛】
本题考查根据函数的图象变换求解析式，是基础题.
9．D
【分析】
先判断点 在对角线 上，再分“点 在线段 上”和“点 在线段 上”两种情况讨论分别求线段 的长.
【详解】
解：因为点 是菱形内一点，且 ，所以点 在对角线 上，设对角线 与 的交点为 ，所以点 可能在线段 上，也有可能在线段 上，
，所以 ， ，
又因为 ，在 中， ，此时 ，
②当点 在线段 上时，如图.
因为菱形 的边长为6， ，所以 ， ，
又因为 ，在 中， ，此时 ，
故选：D.
【点睛】
本题考查几何图形中的计算问题，是基础题.
10．B
【分析】
根据题意，首先分析出M的所有含2个元素的子集数目，进而对其特殊的子集分析排除，注意对“ （ 表示两个数 ， 中的较大者），”的把握，即可得答案．
故选：D.
【点睛】
本题主要考查由交集的结果确定集合，考查集合的包含关系，属于基础题型.
3．D
【分析】
利用取特殊值法判断即可.
【详解】
取特殊值代入，当 时，满足 但 ，所以不充分；
当 时，满足 ，但 ，所以不必要；
故“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了对充分条件和必要条件的判断.属于较易题．
A．8B．9C．10D．11
二、填空题
11．设集合 ，集合 ，若 ，则实数 _____.
12．集合 满足 ，则集合 的个数有________个.
13．设集合 ， ，若 ，则 的取值范围是________.
14．已知 ，则 ________.
15．已知 或 ， ， ，若 是 的必要不充分条件，则 的取值范围是________.
（3）是否存在实数 ，使“ ”是“ ”必要不充分条件，若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．B
【分析】
先求出集合 以及集合 的补集 ，再根据集合的交集运算即可求出．
【详解】
因为 或 ，所以 ，
即有 ．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查集合的交集和补集运算，以及一元二次不等式的解法，属于容易题．
C． a，b>0，a＋ <2和b＋ <2至少有一个成立
D． a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2都不成立
6．二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 .下列结论：① ；② ；③ .其中结论正确的个数为（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
7．已知集合 ， ，若 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．