三.布朗运动2

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冯海林
Introduction to Stochastic Process
随机过程引论
2014秋季学期
σ = 1 时，称为带有漂移系数 µ 的布朗运动.
带漂移的布朗运动可用质点在直线上的非对称随机 游动逼近. 带漂移的布朗运动可以刻画工程、物理以及金融领 域的诸多现象。
+x
= ∫ ϕt ( y )dy
−x
1 e 其中ϕt ( y ) = 2πt
y2 − 2t
, 即N (0,t )分布的密度函数
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tσ 2 µt 2
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相关函数 R Bge ( s ,t ) = [E[e µs +σWs e µt +σWt ]
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可以用二维和三维标准布朗运动描述平面和空间中的布 朗运动的质点。 问题：设 (W1 W2 ) = {W1t, W2t，t≥0}是二维标准布朗运动. 试计算当第一个过程首次达到给定水平z>0时，第 二个过程的一维分布.
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对逐渐劣化的系统来说，其劣化过程可以用一个带 漂移参数的布朗运动描述：
n →∞
若令α n (s)
n(Fn (s)-s), 则当n → ∞时，
{α n (s)，0 ≤ s ≤ 1}的极限过程为布朗桥.
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与布朗运动相关的随机过程 1. n-维标准布朗运动 设Wk= {Wkt,t≥0}是标准布朗运动，k=1,2,…n. 如果W1,…,Wn, 相互独立,则称 (W1, … ,Wn) 是n-维标准布朗运动.
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4. 几何布朗运动
设µ ∈ R, 其中B
µ ,σ 2 t
σ > 0,
ge t
µ ,σ 2 Bt
定义 ,
Btµ ,σ
2
= B e
t ≥0
,t ≥ 0}为几何布朗运动
是(µ ,σ 2 )-布朗运动,
ge
则称随机过程 = B {e
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也可以用过程的n维特征函数
ϕt ,,t (u1 , u2 ,..., un ) = E[e
1 n
j
∑
k =1
n
Bta→b uk
k
]
注意到：正态过程X的特征函数为
ϕt ,,t (u1 , u2 ,..., un ) = e
a →b a →b (1)验证 B 0 =a,B1 = b.
t ∈[0,1]
(2)计算从a到b的布朗桥的均值函数和协方差函数. (3)验证从a到b的布朗桥也是正态过程.
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3. 布朗桥
对任意的t ∈[0,1],定义 B = Wt − tW1
br t
则称随机过程 B ={B , t ∈[0,1] }为0到0的
d X t f (X t , Yt ) dt − Yt dWt XT = Z
此为带漂移的布朗运 动的微分形式.
其中，f (X t , Yt ) = rX t + (b − r) Yt + (R − r )(X t − Yt ) r > 0为债券利率，R为市场贷款利率，一般R>r.
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2. ( µ , σ ) − 布朗运动
设µ ∈ R, σ > 0，定义 Bt = µ t + σ Wt 则称随机过程 B
2
µ ,σ 2
µ ,σ 2
={Bt
µ ,σ 2
, t ≥ 0}为
( µ , σ ) − 布朗运动.
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br br t
布朗桥.
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例3.3.3 计算布朗桥的均值函数和相关函数. 例3.3.4 验证布朗桥是正态过程.
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例3.3.7 计算反射布朗运动的一维分布函数、均值函数 和方差函数.
解： x ≥ 0时，有 F(= t ; x ) P(Btre ≤ x )
= P( Wt ≤ x ) = P( −x ≤ Wt ≤ x )
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例3.3.5 设常数a,b ∈ R,定义从a到b的布朗桥： Bta →b = a + (b − a)t + Bbr t
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例3.3.1 计算 ( µ , σ ) − 布朗运动的均值函数和 相关函数.
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⇒ ln X n =∑ lnYk + ln X 0
k =1 n
由中心极限定理{ln X n }近似为 布朗运动，因此{X n }近似为 几何布朗运动.
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解：均值函数 m Bre (t ) = E[ Wt ]
= ∫= y ϕt ( y )dy 2 ∫ y ϕt ( y )dy
−∞ 0 +∞ +∞
= 2∫
+∞
0
1 y e 2πt
y2 − 2t
dy
y (令 z= ) t
2 = 2π
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5. 反射布朗运动
定义 = Btre Wt ,
re re t
t ≥0
则称随机过程 = B {B ,t ≥ 0}为反射布朗运动
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Xt = µ t + σ Wt ,
t ≥0
1.预防维修策略问题 当过程的状态为b时系统失效，此时可通过费用为 R的维修返回良好状态0. 若在该过程的状态为x(x<b)时采用费用为C的预防维 修，则此时系统能回到良好状态的概率为px, 仍然 转为失效的概率为1-px. 2.剩余寿命预测问题
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= e µ ( s +t ) E[e 2σWs e σ (Wt −Ws ) ] = e µ ( s +t ) E[e 2σWs ]E[e σ (Wt −Ws ) ] =e
σ2 ( t −s ) µ ( s +t ) 2σ 2s 2
e
e
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例3.3.6 计算几何布朗运动的均值函数和相关函数.
解：均值函数 m Bge (t ) = E[Btge ]
= E[e
Btµ ,σ
2
]=E[e µt +σWt ]
=e µt E[e σWt ]
=e e
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几何布朗运动在股票价格建模中的应用：
若X n 表示某种股票在n时刻的价格，通常认为价格 百分比是独立同分布的，即令
Yn = Xn X n −1 , n ≥1
X n =Yn X n −1 =Yn Yn −1X n −= = Yn Yn −1 Y1X 0 2
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例3.3.2 验证 ( µ , σ ) − 布朗运动是正态过程.
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提示：考虑增量 B tk
µ ,σ 2
− Btk −1 , (k=1,2, ,n)
µ ,σ 2
相互独立且服从正态分布： N(µ(tk − tk −1 ),σ 2(tk − tk −1 ))
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1 n
1 ( jm X ( tk ) uT − uCuT ) 2
=e
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1 j uk m X ( tk ) − 2= = k 1 k
∑
n
∑∑ uk ul C X (tk ,tl )
1= l 1
n
n
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设有一自融资金且无消费的单身汉计划T时结婚，他在 [0,T]期间的t时刻将财产Xt中的Yt用于买股票， Xt –Yt用 于买债券.若要在T时财产达到Xt =Z, 则在[0,T] 做怎样的 投资策略？ 该问题转化为求解下列倒向参数随机微分方程.
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布朗桥在统计中的应用
设X1 , ,X n 独立同服从U[0，分布 1] ,对0<s<1,记
N n(s)=∑ I(Xi ≤ s )
i =1 n
Fn (s) = N n(s) n , 则有 P(lim Fn (s) = s) = 1