[数学]第3章函数逼近和快速傅立叶变换

若函数族 0 (x ),1 (x ) 满,足,关n ( 系x ) ,
(j,k)a b(x)j(x)k(x)dx Ak0, 0,j
k. j
k.
(2.2)
则称{k (是x)} 上[a带, b]权 的正(交x)函数族.
若 Ak，则1称之为标准正交函数族.
三角函数族
1 ,cx o ,ss x i,c n 2 o x ,ss2 ix ,n 区间 [上的,正] 交函数族.
(3 ( u v , w ) ) ( u , w ) ( v , w ) , u , v , w X ;
(4(u ) ,u ) 0 , 当且 u 0 时 仅 (u ,u ) ， 当 0 .
则称 (u, v)为X 上u与 v的内积. 定义了内积的线性空间称为内积空间. 当K为实数域R时 (u,v)(v,u).
带权 (x正) 交，称 n为(x) 上带[a,权b] 的 次正(x交) 多项n式.
➢在C[a,b]中构造正交多项式 [a, b] (x) {1,x,,xn, },
Schemite正交化过程
正交多项式序列 {n(x)} 0
0(x)1,
n(x)xnn j 0 1((x j(n x ,) ,j(jx ()x)) )j(x)
x3
3 5
x
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➢正交多项式的性质
(1若) {n是(x正)}交 0 多项式，则 在 [a , 上b ]是线性无关的.
0 (x ),1 (x ) ,, n (x )
(2) 任何 P(x)均可H表n 示为
的线性组合. 即
n
P(x) cjj(x).
➢插值法是函数逼近的一种重要方法，在插值节点上零误差。
➢选择一种新的近似度量标准，不具体要求哪些点处误差为零 (有误差为零的点)，要求在整个所考虑的区间上误差尽可能的 小，能“均匀的”逼近f(x).
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➢提法 对函数类A中给定的函数f(x)，要求在另一类简单的便于 计算的函数类B中，求函数p(x)BA，使p(x)与f(x)之差（误 差）在某种度量意义下最小。
i 1
i 1
i 1
(2 )C [a ,b ] ,f(x )g ,(x ) R n
(f(x )g ,(x )) bf(x )g (x )d x(bf2(x )d)1 2 x (bg 2(x )d)1 2 x
a
a
a
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定理3ຫໍສະໝຸດ Baidu 0,1是, ,中n 的C线[a性,b无] 关函数族，
n
(x, y) xi yi
（1.12）
i1
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1
n
1
向量2-范数
x (x,x)2 ( 2
xi2)2
若给定实数 i 0(i1 ,2, ,n i)1 ,称{为i } 权系数，
n
R n 上的加权内积为 (x, y) i xi yi
（1.13）
相应的范数为
i1
n
1
x ( 2
A:C[a,b] 连续函数空间 B:代数多项式，有理分式函数，三角多项式.
➢函数空间
1) 、 实数域上的全体 m n 矩阵，对矩阵的加法和数乘 运算构成实数域上的线性空间，记作Rmn． 2)、 实数域上次数不超过n的多项式全体，对多项式的加 法和数乘多项式运算构成线性空间，记作 H n ．
3) 、 在区间[a,b] 上全体实连续函数，对函数的加法与 数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性空间．
为无限维线性空间. C[a,b]是无限维的
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Hn={次数不超过(≤)n的代数多项式}C[a, b],
p(x)Hn表示为 p (x ) a 0 a 1 x a n x n ,
（1.2）
它由 n 个1系数 (a0,a1,唯 一,a确n)定.
1, x,是线, x性n无关的，
它是 H的n 一组基， 故
(1) x1,, xn是线性空间 中S 个n线性无关的元素
(2)对xS都有 x1x 1 nx n
则 x1,称, x为n空间 的一S组基， 记 Ssp{x a 1, n,x n}
并称空间 S为 维n空间， 系数 1,称,为n 在基x
x1,,xn下的坐标，记作 (1,,n).
如果 中S有无限个线性无关元素 x1,,则xn 称,, S
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3.2 正交多项式
3.2.1 正交函数族与正交多项式 ➢正交函数族
定义5 若 f(x )g ,(x ) C [a ,b ],(x) 为 [a , b ]上的权函数且满足
(f(x )g ,(x ) )a b(x )f(x )g (x )d x 0
(2.1)
则称f ( 与x) g在( x ) 上[a带, 权b ] 正交. ( x)
记 u (u,u)
（1.10）
利用 (uv)2u2 2 uvv2
( u ,u ) 2 ( u ,v ) ( v ,v ) (uv,uv)uv2
范数三角不等式 uvuv
（1.11）
➢ 几种线性空间中的内积及其内积范数
1)、R n 与 C的n 内积.
设 x, yRn, x(x1, ,xn)T, y(y1, ,yn)T,
i xi2)2
i1
如果
x, y，Cn
n
带权内积 (x, y) i xi yi
i1
这里 { i仍} 为正实数序列， 为y i 的y共i 轭.
（1.14）
2)、 C[a,b] 上的内积.
设 f(x)g ,(x) C [a,b],(x) 是 [a, b上] 给定的权函数,
带权内积 (f(x )g ,(x ) )a b(x )f(x )g (x )d.x
C[a,b]: 数域R上的线性空间；
Cp[a,b]: 具有p阶连续导数的函数；空间
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② 线性空间的基、维数及向量的坐标
定义1 设集合 S是数域 上P的线性空间，元素 x1, ,xnS,
如果存在不全为零的数 1,,，nP使得
1x 1 nx n0 ,
（1.1）
则称 x1,线,x性n 相关. 否则，则称 x1,线, x性n无关.
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➢ 内积空间 定义3 X 是数域K(R或C)上的线性空间，对 u,vX, 有K中一个数与之对应，记为 (u, v) ，它满足条件
(1(u ),v) (v ,u ), u ,v X ; - (u,的v )共轭
(2 (u , v ) ( u , v ), K ,u , v X ;
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3.1 函数逼近的基本概念
3.1.1 函数逼近与函数空间 ➢函数逼近
在区间 [a, b上] 用简单函数逼近未知或已知复杂函数 1、数值计算中经常要计算函数值，如计算机中计算基本 初等函数及其他特殊函数； 2、当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该点集 的区间上用公式给出函数的简单表达式.
范数
1
f(x)2(f(x),f(x))2
b(x)f
a
2(x)d
1
x2
（1.15） （1.16）
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定义4 设 [a, b是] 有限或无限区间，在 [上a, b的] 非负 函数 (满x) 足条件：
（1）ab xk (x存)d在x 且为有限值
(k0,1, ),
（2）对[a, b]上的非负连续函数 g (，x) 如果
H nsp{1 a ,x ,n ,xn},
且 (a0,a1, 是,an)的坐p标(x)向量， 是 维H 的n . n 1
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3.1.2 范数与赋范线性空间
➢ 赋范线性空间
定义2 设 S为线性空间，xS，若存在唯一实数‖·‖，
满足条件：
（1） x 当0且, 仅当 时x，0 （正x定性0）;
如果 (u,v，)则0称 与 正u 交. v 向量相互垂直概念的推广
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➢ 内积空间的性质
定理2 设X为一个内积空间，对u,v有X,
(u,v)2(u,u)v (,v).
称为柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式.
（1.6）
定理3 设X为一个内积空间，u1,u2, ,unX ,
第3章 函数逼近与快速傅里叶变换
/*Function Approximation and Fast Fourier Transformation */
3.1 函数逼近的基本概念 3.2 正交多项式 3.3 最佳平方逼近 3.4 曲线拟合的最小二乘法 3.5 有理逼近 3.6 三角多项式与快速傅里叶变换
bg(x)(x)dx0, a
则 g(x)0.
则称 (x为) [上a, b的] 一个权函数.
1
(f(x)g ,(x) ) bf(x)g(x)d.xf(x) a
2
b a
f2(x)dx2
➢不同线性空间中的Cauchy-Schwarz不等式
n
n
1n
1
( 1 ) R n , x ,y R n( x ,y )x iy i ( x i2 ) 2 ( y i2 ) 2 x 2y 2
（2） xx, (R 齐次;性)
（3） x yxy (三,角x 不,y 等 式S ).
则称‖·‖为线性空间 上S的范数， 与S‖·‖一起称为赋范 线性空间，记为 X .
➢ 几种常用线性空间的范数
1)、在 R n上的向量 x (x1, ,xn)T R n,三种常用范数为
x
m 1ia n xi
,
范数或最大范数，
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➢ 定正1(义交x)6多设项x 式( n(0 (是x (xx ,) )0 ( ,0 x 上[() ax ,首) ) b ]项 )0系(x数)
的an 次多0 项式n ，
关2 ( (系x x) )式为 x (2[2 .a2 ),上( ，b( ]0 权则x ( 2 x 函称,)数多0 ( 0 ,x ，项( ) x 式)) 序如) 0 ( 列果x ) 多{ ( 项n( (1 x 式( x为2 x ), 序) }在 01 列( 1 ,x () x {) 上) n[(a) 1 ( x, bx )]) } 0 满足
n
n
1
x 1
xi , 1-范数，
x ( 2
xi2)2 ,
i 1
i1
2-范数.
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在 中R，2 满足‖·‖2 =1 ，即
x1 2 的向x2量2 1
为单位圆; 满足‖·‖∞ =1 ，即 maxx 1,的{x向2}量 为1
单位正方形. 2)、连续函数空间 C[a,的b]范数，若
矩阵
(u1,u1)
G
(u1,u2)
(u1,un)
(u2,u1) (u2,u2)
(u2,un)
(un,u1) (un,u2)
(un,un)
（1.7）
称为格拉姆(Gram)矩阵则， 非G奇异的充分必要条件是
u1,u2, ,un线性无关.
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➢ 内积范数 在内积空间X上，由内积定义的范数，即对于 uX,
f(x),C[a,b]
定义三种常用范数如下：
f mafx (x),范数， axb
f b f(x)dx,1-范数，
1
a
f ( b f2(x)d2x )-1 范2,数.
2
a
线性空间 + 赋范数 = 赋范线性空间
3.1.3 内积与内积空间 线性空间 + 赋内积 = 内积空间
R n 中两个向量 x(x1, ,xn)T及 y(y1, ,yn)T 内积 (x ,y ) x 1 y 1 x n y n .（1.5）
x2
1 x2dx
1 1
dx
1 x3dx 11x2dxx
x2
1 3
1
1
p 3 (x ) x 3 ( ( x 1 3 ,1 ,1 ) ) 1 ( ( x x 3 ,,x x ) )x (x ( 2 x 3 ,1 3 x ,2 x 2 1 3 ) 1 3 )(x 2 1 3 )
x3 11 x 11 d 3dx x 1 11 1x x4 2d dx x x 1 1 1 1(x x 52 1 31 3x )2 3d d(x x x21 3)2
最高次项系数为1.
(n1,2, ). （2.3）
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例1 求区间[-1,1]上,权函数(x)=1的正交多项式.
解 按Schemite正交化过程有
1
p0(x)=1,
p1(x)x((1x,,11))1x
xdx
1 1
x
dx
p2(x)x2((x12 ,1 ,1 ))1((xx2,,xx))x 1
sp {a 0 , 1 n , , n }它,的格拉姆矩阵为
G G (0 , 1 , , n )
(0,0)
(1,0)
(n,0)
(0,1) (1,1)
(n,1)
(0,n) (1,n)
(n,n)
（1.17）
由定理3可知 0,1, 线,性n 无关的充要条件是
dG e (t 0 , 1 , , n ) 0 .