人教高中数学B版必修1 待定系数法 精讲精析

2·2·3 待定系数法

一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法.

正比例函数的一般形式：)0(≠=k kx y

一次函数的一般形式：)0(≠+=k b kx y

二次函数的解析式有三种表达方式：

（1）一般式： )0(2≠++=a c bx ax y

（2）交点式：)0)()((21≠--=a x x x x a y

（3）顶点式：)0()(2≠+-=a k h x a y

待定系数法求二次函数解析式的一般方法：

（1）已知图象上三点或三对的对应值，通常选择一般形式.

（2）已知图象的顶点坐标（对称轴和最值），通常选择顶点式

（3）已知图象与x 轴的两个交点的横21,x x ，通常选择交点式.

确定二次函数的解析式时，应根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式，用待定系数法求解.

例1.已知一个二次函数的顶点为（-1，-3），与y 轴交点为（0，-5），求此二次函数的解析式.

解：设所求二次函数的为3)1(2

-+=x a y

由条件得：点（0，-5）在抛物线上， 53-=-a 得2-=a

故所求的二次函数的解析式为3)1(22

-+-=x y

即：5422---=x x y ，

例2.已知二次函数与x 轴交于A （-1，0），B （1，0），并经过点M （0，1），求这个二次函数的解析式.

解：设所求的二次函数为)1)(1(-+=x x a y

由条件得：点M （1，0）在二次函数图象上

所以：1)10)(10(=-+a

得： 1-=a

故所求二次函数的解析式为)1)(1(-+-=x x y 即： 12+-=x y