02级数学分析试题(A卷)及参考答案

数学分析(上）试题

(适用数学系２0０2级，120分钟,２003年１月１５日)

班级＿__＿__＿____＿姓名_＿______＿＿＿_序号____＿＿_成绩____＿＿

___＿_＿

一、求解下列各题(每题4分共4０分)

1.!

lim n n c n

∞→(0>c 为常数） 2．x

x x x x sin tan )

sin(sin )tan(tan lim

0--→

3．x x x

x )1

cos 1(sin

lim +∞

→ ４.求b a ,使⎩⎨

⎧<-≥+=0

120

)(x e x b ax x f x

在点0=x 可导。 5.求1553

4

5

++-=x x x y 在]2,1[-上的最大值与最小值。

6．⎰

+dx x x

x 2

21arctan 7．1

1)1ln(lim

4

sin 0

2-++⎰→x dt

t x

x

8．])1(cos 2cos cos 1[1lim n n

x n n x n x n -++++∞→ （R x ∈) 9.

⎰

∞

+-0

dx e x x n (+∈N n )

10．

⎰

--b

a

x b a x dx )

)((（b a <）

二(１0分)、设)(x f 在区间I 上有界，记

)(inf ,)(sup x f m x f M I

x I

x ∈∈==

称m M I f -=ω),(为函数f 在区间I 上振幅。证明

)()(sup ),(,x f x f I f I

x x ''-'=ω∈'''

三（10分）、设)(x f 在有限开区间),(b a 上连续，证明)(x f 在),(b a 上一致连续的充要条件是)(lim x f a x +

→与)(lim x f b x -

→都存在且有限。（提示使用一致连续性定

理）

四（１0分）、证明：方程033

=+-c x x （c 为常数）在区间]1,0[内不可能有两个不同的实根。

五（10分）、设)(x f 在)(0x U 连续，在)(00

x U 可导，证明：如果)

0(0+'x f 存在，则)(0x f +'也存在，且)0()(00+'='+x f x f 。并由此结论证明，如果)(x f 在区间I 上可导,则)(x f '不存在第一类间断点。

六（1０分)、设)(x f 为],[b a 上的非负连续函数，证明：如果0)(=⎰

b a

dx x f ，

则0)(≡x f 。

七(1０分)、设f 在],[b a 上有界,{}],[b a a n ⊂，c a n =∞

→n lim ，证明：若f 在

],[b a 上只有),2,1( =n a n 为其间断点,则f 在],[b a 上可积。

附加题(１０分,仅作参考)、 设)(x f 是区间I 上的凸函数，证明f 在I 的任一内点（非区间端点）上连续。

数学分析(上)试题参考答案

(适用数学系2０02级，1２0分钟,２003年1月15日）

一、求解下列各题(每题4分共40分）

1.!

lim n n c n ∞→（0>c 为常数） 【解】记!

n c a n

n =,显然0>n a ,说明{}n a 有下界。又由于

)(01

!)!1(11∞→→+=⨯+=++n n c

c n n c a a n n n n 所以n 充分大时（从某一项以后）有11

<+n

n a a ，说明{}n a 单调下降。由单调有界定理知，{}n a 有极限，记它为A 。

在递推关系式n n a n c

a 1

1+=+两边取极限得00=⋅=A A ，即0!lim n =∞→n c n 2.x

x x x x sin tan )

sin(sin )tan(tan lim

0--→

【解】Taylor 展开

)(3

tan 33

x o x x x ++=， )(3

2)(33)tan(tan 333

33x o x x x o x x x x ++=+++=

)(6

sin 33

x o x x x +-= )(3

)(66)sin(sin 333

33x o x x x o x x x x +-=+--= 2)(2

1)

(lim sin tan )sin(sin )tan(tan lim

3

33300=++=--→→x o x x o x x x x x x x 3.x x x

x )1cos 1(sin

lim +∞

→ 【解】当∞→x 时,01

cos 1sin

>+x

x ,故 e e x x x

x x

x

x

x x x x

x ==⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛+=+=+∞→∞→∞

→11

22

222

sin 2sin )2sin 1(lim )2sin 1(lim )1cos 1(sin

lim

4.求b a ,使⎩

⎨⎧<-≥+=0120

)(x e x b ax x f x 在点0=x 可导。

【解】首先)(x f 在点0=x 要连续。由b x f x =+

→)(lim 0和1)(lim 0=-

→x f x 得1=b 。

当0≠x 时,⎩⎨

⎧<>='0

20)(x e

x a

x f x 。由a x f x ='+

→)(lim 0和2)(lim 0='-

→x f x ，根据

导数极限定理,令2=a ，此时)(x f 在点0=x 可导，且有2)0(='f 。

综上,⎩⎨⎧<-≥+=0

120

12)(x e x x x f x

5.求1553

4

5

++-=x x x y 在]2,1[-上的最大值与最小值。 【解】)3)(1(5152052

2

3

4

--=+-='x x x x x x y 令0='y 得驻点3,1,0=x ，计算