基于GARDNER位定时同步算法

x(t ) x(mTs ) sin c[ (t mTs ) / Ts ]
k

(3-7)
其中
sin c(t / Ts )
它的频域表达式为
sin(t / Ts ) t / Ts 1 f Ts 2 1 f Ts 2
(3-8)
Ts , H( f ) 0,
(3-5)
式中，τ(n)为定时误差检测值；y(n)为信号的采样值；n 为第 n 个符号，输出 信号的周期为 Ti。由(3-5)式可以看出，Gardner 算法只需要每个符号周期内的两 个采样值， 因此取 Ti=T/2 即可满足算法要求。 定时误差检测算法示意图如图 3-13 所示。
图 3-13
定时误差检测
准则逼近最佳性能。内插滤波器可以通过不同的截断函数得出无穷多种内插函 数，但都必须遵守线性相位的条件，即参与插值的采样点数为偶数。常用的内插 滤波器包括：两点线性内插滤波器、立方内插滤波器、分段抛物线内插滤波器。 这里主要讨论立方插值滤波器的原理和实现结构 立方插值滤波器是多项式的插值滤波器的一种， 它是基于 4 点样值的拉格朗 日函数
从而得到分数倍插值位置 uk 为：
Байду номын сангаас
uk
(mk ) (mk ) 1 (mk 1) (mk ) W (mk )
通过精确的除法运算，就可以实时的得到分数间隔值 uk，这样，内插滤波器 的控制参数也就通过 NCO 完全提取出来。
1.1.4
插值滤波器设计
Gardner 定时恢复算法中的插值滤波器主要作用就是通过输入信号 x(mTs)与 采样点 mk 与分数插值点 uk 来实时生成与本地时钟相位相同的信号。插值滤波器 输入信号 x(mTs)与输出信号 y(kTi)的关系可表示为：
[43] [44]
a)
b)
c) 图 3-10 位同步算法模型 Fig.3-10 Bit Synchronous Algorithm Model
图 3-10(a)模型为全模拟位同步实现技术，通过在模拟域计算出输入信号的 位同步定时控制信号去控制本地时钟，对信号进行同步采样。图 3-10(b)模型为 半模拟同步模型， 该模型的主要思想是通过将采样后的信号经过一系列的数字化 处理， 提取出输入信号与本地时钟的偏差值，通过这个偏差来改变本地时钟的相 位达到位同步。(a)(b)两种方式都需要适时改变本地时钟的相位，不利于高速数 字信号的实现且集成化程度较低。图 3-10(c)为全数字方式的位同步是目前比较 常用方法， 全数字方式的位同步算法十分适用于软件无线电的实现。该方法通过
kTi Ts (k
Ti ) (mk u k )Ts Ts
(3-4)
mk 为比值的整数部分，可看做一个基本指针，表示了本地重采样时钟 Ti 对采样 率为 Ts 的输入信号的整数倍重采样时刻，而 uk 为比值的分数部分，指示了滤波 器对输入信号的插值时刻。 一种典型的 Gardner 定时恢复算法结构框图如图 3-12 所示。

(3-9)
因而，内插后的序列 x(kTi)可表示为：
x(kTi ) x(mTs ) sin c[(kTi mTs ) / Ts ]
k
(3-10)
由于理想的内插滤波器是非因果系统，它需要无穷多个信号样值点，物理上 具有不可实现性。因而，将理想插值滤波器的脉冲响应进行截断，并根据最优化
NCO 用于对以 Ts 为采样时钟的输入信号进行抽样。因而 NCO 的工作时钟 与输入信号的工作时钟一致也为 Ts， 而生成的重采样周期应该与输入信号的符号 率同步为 Ti。 每次 NCO 寄存器溢出一次则表示要执行一次重采样操作。 每次 NCO 寄存器过零点的时刻(mk+1)Ts 便是内插滤波器进行一次运算的时刻 （总是位于内 插估计点位置的后一个 Ts 整点采样时刻） 。NCO 寄存器深度为 1，假设当前样点 mkTs 时刻 NCO 寄存器的值为η(mk)，环路滤波器输出的控制字为 W(mk)，表示每 次递减的步进为 W(mk)，用差分公式可表示为
(mk 1) [ (mk ) W (mk )] mod[1]
当η(mk)<W(mk)时，就表示下一个符号周期即将到来，NCO 也将产生一次过
零点，寄存器的值模 1 后的值设为下一个符号周期 NCO 的初始值。从图 3-14 经 过几何分析不难得出：
uk (1 uk ) (mk ) 1 (mk 1)
图 3-12 Gardner 定时恢复算法模型 Fig.3-12 Gardner Timing Recovery Model
符号速率为 T 的模拟输入信号 x(t)经过本地固定时钟周期 Ts 采样后变为离散 信号 x(mTs)（Ts 与 T 满足奈奎斯特基本采样定律） 。经过插值滤波器得出的值送 入定时误差检测器得出输入信号与本地时钟的相位误差τ(n)，再通过一个环路滤 波器滤除其中的噪声及高频成分， 将得到的值 e(n)送入数控振荡器计算出整数采 样时刻 mk 和插值滤波器插值点位置 uk 从而得到定时输出 y(kTi)。 从图 3-12 中可以看出一个完整的定时恢复算法主要由定时误差检测器、环 路滤波器、 数控振荡器和插值滤波器组成。其中环路滤波器与前一章中载波同步 算法的环路滤波器设计方法相同。这里主要介绍其他模块的设计方法。
y (kTi ) y[(mk uk )Ts ] x[(mk i )Ts ]hI [(i uk )Ts ]
i I1
I2
(3-6)
式中，I1、I2 决定插值滤波器的抽头系数，hI 为插值滤波器的冲激响应。mk、 uk 由数控振荡器(NCO)提供，mk 决定内插器的整数倍插值位置，它以重采样时钟 触发方式体现。uk 控制小数倍插值位置直接送给插值滤波器,控制插值点的位置。 输出的定时恢复信号的性能主要与插值滤波器的设计方式有很大的关系， 下面就 来具体分析插值滤波器的实现方法。 插值滤波器的实质是对信号经过低通滤波器后再重采样的过程。 考虑理想插 值情况，根据 Shannon 定理，采用理想插值可以由带限的输入信号 x(t)的抽样值 x(mTs)精确得到 x(t)在任意时刻的值，即
1.1.2
定时误差检测器
定时误差检测器采用一种非数据辅助的误差检测算法 (Gardner 定时误差检 测算法)，内插后的信号每个符号内需要两个重采样点，一个点对应信号的最佳 采样点；另一个为最佳采样点中间时刻的内插值。定时误差计算公式为：
(n) y (n 1/ 2) [ y (n) y (n 1)]
1.1.3
NCO 模块设计
对于数控振荡器 NCO 的设计，由于 NCO 只是用于计算插值点的有效位置， 也就不需要采用在 ROM 表中预存输出波形的采样值。可以根据输入信号来实时 产生输出信号脉冲和差值点。NCO 计算原理如下图所示
图 3-14 NCO 原理图 Fig.3-14 NCO Schematic Diagram
归一化令 t=(i+u)Ts,则可得 h(t)的系数 Ci(u)为：
2Ts t Ts Ts t 0 0 t Ts 2Ts t Ts 其他
(3-12)
对多项式滤波器的实现结构，可采用 Farrow 结构实现 。该结构不必实时 计算抽头系数，只需要根据当前时偏 u，经过如公式(3-13)的少量计算，就可以 得到内插滤波器的系数实现内插。表 3-2 给出了立方插值滤波器的系数表。
一个固定的本地时钟对输入的模拟信号进行采样， 将采样后的信号经过全数字化 的处理实现同步；采用此种方法，实现简单，且便于数字化实现，对本地时钟的 要求大大降低。本次设计主要分析了基于内插方式的 Gardner 定时恢复算法。
1.1.1
Gardner 定时恢复算法原理
Gardner 定时恢复算法是基于内插的位同步方式，全数字方式的位同步算法 模型中， 固定的本地采样时钟不能保证能在信号的极值点处实现采样，所以需要 Gardner 定时恢复算法就 通过改变重采样时钟或输入信号来实现极值处采样 。 是通过改变输入信号的方式实现， 利用内插滤波器恢复出信号的最大值再进行重 采样，算法原理如图 3-11 所示。
Fig.3-13
Timing Error Detecter
该算法具有明显的物理含义。在没有定时误差时，如果有符号转换，则平均 的中间采样点应该为零。反之，中间采样点的值不为零，其大小取决于定时误差 的大小， 或者说中间采样点的值表示了定时误差的大小，但它不能表示定时误差 的方向（超前或滞后） 。为了表示定时误差的方向，算法考虑中间采样点两边判 决点的差值。如果有符号转换，则该差值的符号就表示了定时误差的方向。这样 两者的乘积就完全确定了定时误差的大小和方向。如果没有符号转换，则两边采 样点的差为零，此时不能获取定时信息。图 3-13(a)中表示了当本地采样时钟与 插值滤波器输出值同步时，定时误差检测器的采样值；同步时，两个极值采样点 均为最大值，中间采样点的值为 0，这时环路滤波器的输出值为 0 表示本地时钟 已经与信号同步。(b)图中，表示本地时钟超前的情况，本地时钟超前，则在中 间采样点的值为正，表示本地时钟比信号超前，需要内插滤波器向后插值。(c) 图中，表示本地时钟比信号滞后，滞后的结果是中间时刻采样点的值为负，需要 内插滤波器向前进行插值处理。
y (t ) Ci x( N 2 N 1 i )
i N1
N2
(3-11)
这里 Ci
j N1 , j i

N2
t tj ti t j
，这 里 N=4 ，那么 N1=N/2=2，N2=N/2-1=-1 从而得出
立方插值滤波器的时域表达式为：
(t / Ts ) 3 / 6 (t / Ts ) 2 11(t / Ts ) / 6 1, (t / Ts ) 3 / 2 (t / Ts ) 2 (t / Ts ) / 2 1, h(t ) (t / Ts ) 3 / 2 (t / Ts ) 2 (t / Ts ) / 2 1, (t / T ) 3 / 6 (t / T ) 2 11(t / T ) / 6 1, s s s 0,
1.1
位同步算法
在软件无线电接收机中， 要正确的恢复出发送端所携带的信号，接收端必须 知道每个码元的起止时刻， 以便在每个码元的中间时刻进行周期性的采样判决恢 复出二进制信号 。信号在传播过程中的延时一般是未知的，而且由于传输过程 中噪声、多径效应等影响，造成接收到的信号与本地时钟信号不同步，这就需要 位同步算法， 恢复出与接收码元同频同相的时钟信号。正确的同步时钟是接收端 正确判断的基础，也是影响系统误码率的重要因素；没有准确的位同步算法，就 不可能进行可靠的数据传输，位同步性能的好坏直接影响整个通信系统的性能 。实现位同步算法的种类很多，按照处理方式的不同可分为模拟方式、半数字 方式和全数字方式如图 3-10 所示。
[45-46]
图 3-11 Gardner 定时恢复算法原理 Fig.3-11 Gardner Timing Recovery Theory
输入信号为离散信号 x(mTs)， 采样率为 Ts，符号周期为 T，重采样时钟为 Ti， 这里的重采样时钟周期 Ti=n*T(n 为一小整数)。Gardner 定时恢复算法的基本思 想就是，输入信号 x(mTs)经过一个 D/A 器件和一个模拟滤波器 h(t)，将数字信号 恢复为模拟信号 y(t)进行重采样，得到同步的输出信号 y(kTi)。插值滤波器模型 中包含了虚拟的 D/A 变换和模拟滤波器，但是只要具备下面三个条件，则内插 完全可以通过数字方式实现。 1 输入采样序列 x(mTs) 2 内插滤波器脉冲响应 h(t) 3 输入采样时间 Ts 和输出采样时间 Ti 也就是说，图中的 D/A 以及模拟滤波器都可以通过设计数字内插滤波器的方式 实现。这里 Ts 和 Ti 为固定的两个变量，Ts/Ti 不一定为整数，为表示出它们之间 的变换过程，通过换算得到 Ti 和 Ts 的关系如公式(3-4)所示