2017年上海市普陀区中考数学二模试卷(解析版)

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【全国区级联考】上海市普陀区2017届高三下学期质量调研(二模)数学试题(解析版)

2016-2017年上海市普陀区高三下学期质量调研（二模）数学一、填空题：共12题1. 计算：.【答案】【解析】由题意，得；故答案为1.2. 函数的定义域为.【答案】【解析】要使有意义，须，即，解得或，即函数的定义域为；故答案为.3. 若，则.【答案】【解析】因为，所以，即，即，解得或，又因为，所以；故答案为3.4. 若复数表示虚数单位)，则.【答案】【解析】因为，所以；故答案为.5. 曲线为参数)的两个顶点之间的距离为.【答案】【解析】因为，则，即曲线的两个顶点为，即两个顶点之间的距离为2；故答案为2.6. 若从一副张的扑克牌中随机抽取张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是的概率为.(结果用最简分数表示).【答案】【解析】由题意，得从一副张的扑克牌中随机抽取张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K的概率为；故答案为.7. 若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是.【答案】【解析】将化成，即，因为，所以，，即；故答案为.8. 若一个圆锥的母线与底面所成的角为,体积为,则此圆锥的高为.【答案】【解析】设圆锥的高为，底面圆的半径为，因为圆锥的母线与底面所成的角为，体积为，所以，解得；故答案为5.9. 若函数)的反函数为，则= .【答案】【解析】令，即，解得或，即或（舍）；故答案为.10. 若三棱锥的所有的顶点都在球的球面上，平面，，，则球的表面积为.【答案】【解析】由题意，得三棱锥是长方体的一部分（如图所示）球是该长方体的外接球，其中，设球的半径为，则，则球O的表面积为；故答案为.11. 设，若不等式对于任意的恒成立，则的取值范围是.【答案】【解析】因为不等式对于任意的恒成立，所以不等式对于任意的恒成立，令，即对于任意的恒成立，因为，所以，则，即，解得或（舍）；故答案为.【方法点晴】本题主要考查三角函数的有界性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.本题是利用方法③求得的最大值.12. 在△中，、分别是、的中点，是直线上的动点.若△的面积为，则的最小值为.【答案】【解析】因为、分别是、的中点，且是直线上的动点，所以到直线的距离等于到直线的距离的一半，所以，则，所以，则，由余弦定理，得，显然，都为正数，所以，，，令，则，令，则，当时，，当时，，即当时，取得最小值为；故答案为.二、选择题：共4题13. 动点在抛物线上移动，若与点连线的中点为，则动点的轨迹方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】设，因为与点连线的中点为，所以，又因为点在抛物线上移动，所以，即；故选B.14. 若、，则“”是“”成立的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】D【解析】因为，所以“”不是“”成立的充分条件，若，则不存在，所以“若,，则”为真命题，即“”不是“”成立的必要条件，所以“”是“”成立的既非充分也非必要条件；故选D.15. 设、是不同的直线，、是不同的平面，下列命题中的真命题为A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】若，则相交或平行，故A错误，若，则相交或平行，故B错误，若，则由面面垂直的判定定理得，故D错误、C正确；故选C.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.16. 关于函数的判断，正确的是A. 最小正周期为，值域为，在区间上是单调减函数B. 最小正周期为，值域为，在区间上是单调减函数C. 最小正周期为，值域为，在区间上是单调增函数D. 最小正周期为，值域为，在区间上是单调增函数【答案】C............三、解答题：共5题17. 在正方体中，、分别是、的中点.(1)求证：四边形是菱形；(2)求异面直线与所成角的大小 (结果用反三角函数值表示) .【答案】(1)证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）建立空间直角坐标系，如图所示：先证其是平行四边形，再根据空间向量模相等说明邻边相等即可；（2）可得，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.试题解析：（1）设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，如图所示：则,,,,所以,即且,故四边形是平行四边形又因为,所以故平行四边形是菱形(2)因为设异面直线与所成的角的大小为所以, 故异面直线与所成的角的大小为.【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角以及空间向量的应用，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.18. 已知函数、为常数且).当时，取得最大值.(1)计算的值；(2)设，判断函数的奇偶性，并说明理由.【答案】(1)；（2）偶函数.【解析】试题分析：首先，根据辅助角公式得到，然后根据最值建立等式，得到，再化简函数.（1）将代入解析式求值；（2）求出解析式，利用奇偶函数定义判断奇偶性.试题解析：(1)，其中根据题设条件可得，即化简得，所以即，故所以(2)由(1)可得，，即故所以)对于任意的)即，所以是偶函数.19. 某人上午7时乘船出发，以匀速海里/小时从港前往相距50海里的港，然后乘汽车以匀速千米/小时()自港前往相距千米的市，计划当天下午4到9时到达市.设乘船和汽车的所要的时间分别为、小时，如果所需要的经费(单位：元)(1)试用含有、的代数式表示；(2)要使得所需经费最少，求和的值，并求出此时的费用.【答案】(1)；（2）.【解析】试题分析：（1）分析题意，先用表示，先用表示，代入，化简即可；（2）求出满足的约束条件，由约束条件画出可行域，要求走得最经济，即求可行域中的最优解，将目标函数看成是一条直线，分析目标函数与直线截距的关系，进而求出最优.试题解析：(1)，得，得所以(其中)(2)其中，令目标函数, 可行域的端点分别为则当时，所以(元),此时答：当时，所需要的费用最少，为元.【方法点晴】本题主要考查线性规划的应用及求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.20. 已知曲线，直线经过点与相交于、两点.(1)若且，求证：必为的焦点；(2)设，若点在上，且的最大值为，求的值；(3)设为坐标原点，若，直线的一个法向量为，求面积的最大值.【答案】(1)证明见解析；（2）或；（3）.【解析】试题分析：（1）利用两点之间距离公式，即可求得的值，由椭圆的方程，即可求得焦点坐标，即可证必为的焦点；（2）利用两点之间距离公式，根据二次函数的单调性，当时，取最大值，代入即可求得的值；（3）求得直线的方程，代入方程，由韦达定理，弦长公式及点到直线的距离公式，利用基本不等式的性质，即可求得面积的最大值.试题解析：(1)，解得，所以点由于，故的焦点为，所以在的焦点上.(2)设，则(其中)对称轴，所以当时，取到最大值，故，即，解得或因为，所以.(3),,将直线方程与椭圆方程联立，消去得，其中恒成立。

上海普陀中考数学二模试卷及答案(图片版)

上海普陀中考数学二模试卷及答案（图片
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(完整word版)2017届上海市普陀区高三二模数学卷(含答案),推荐文档

2017届第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科2017．4一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 设全集{}1,2,3,4U =，集合{}2|540,A x x x x Z =-+<∈，则U C A =____________．2. 参数方程为22x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）的曲线的焦点坐标为____________．3. 已知复数z 满足1z =，则2z -的取值范围是____________．4. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*21()3n n S a n N =-∈，则lim n n S →∞=____________．5. 若*1()(4,)2nx n n N x+≥∈的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n =_____． 6. 把12345678910、、、、、、、、、分别写在10张形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为____________．（结果用最简分数表示）7. 若行列式124cossin 022sin cos822x xx x 中元素4的代数余子式的值为12，则实数x 的取值集合为____________．8. 满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是____________．9. 已知函数2log 02()25()239x x x f x x <<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，，．若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k的取值范围是____________．10. 某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为____________元．11. 如图：在ABC ∆中，M 为BC 上不同于,B C 的任意一点，点N 满足2AN NM =u u u r u u u u r ．若AN x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则229x y +的最小值为____________．12. 设单调函数()y p x =的定义域为D ，值域为A ，如果单调函数()y q x =使得函数(())y p q x =的值域也是A ，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”．已知定义域为[],a b 的函数2()3h x x =-，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是()f x 的一个“保值域函数”，()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a -=___________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. “1x >”是“11x<”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件 14. 《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（）（A ）21斛（B ）34斛（C ）55斛（D ）63斛15. 将函数1y x=-的图像按向量(1,0)a =r 平移，得到的函数图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像的所有交点的横坐标之和等于（）（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）816. 过椭圆221(4)4x y m m m +=>-右焦点F 的圆与圆22:1O x y +=外切，则该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹是（）（A ）一条射线（B ）两条射线（C ）双曲线的一支（D ）抛物线N A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图：在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PA AD ==．（1）求异面直线PC 与AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）若点E 、F 分别是棱AD 和PC 的中点，求证：EF ⊥平面PBC ．18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数41()2x xm f x ⋅+=是偶函数．（1）求实数m 的值；（2）若关于x 的不等式22()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，求实数k 的取值范围．19. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A 点处，乙船在中间的B 点处，丙船在最后面的C 点处，且:3:1BC AB =．一架无人机在空中的P 点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得030APB ∠=，090BPC ∠=．（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；（2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离．（精确到1米）FEBA P20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分5分）如图：椭圆2212x y +=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点12F F 、，它们在y 轴右侧有两个交点A 、B ，满足220F A F B +=u u u u r u u u u r r．将直线AB 左侧的椭圆部分（含A ,B 两点）记为曲线1W ，直线AB 右侧的双曲线部分（不含A ,B 两点）记为曲线2W ．以1F 为端点作一条射线，分别交1W 于点(,)p p P x y ，交2W 于点(,)M M M x y (点M 在第一象限),设此时F 1=1m F P ⋅u u u r.（1）求2W 的方程; （2）证明:1p x m=，并探索直线2MF 与2PF 斜率之间的关系; （3）设直线2MF 交1W 于点N ，求1MF N ∆的面积S 的取值范围.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）现有正整数构成的数表如下：第一行： 1 第二行： 1 2 第三行： 1 1 2 3第四行： 1 1 2 1 1 2 3 4第五行： 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5 …… …… ……第k 行：先抄写第1行,接着按原序抄写第2行,然后按原序抄写第3行,⋯,直至按原序抄写第1k -行,最后添上数k .（如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数4）.将按照上述方式写下的第n 个数记作n a (如11a =,21a =,32a =,41a =,⋯,73a =,⋯,14153,4,a a ==L )．（1）用k t 表示数表第k 行的数的个数，求数列{}k t 的前k 项和k T ；（2）第8行中的数是否超过73个？若是，用0n a 表示第8行中的第73个数，试求0n 和0n a 的值；若不是，请说明理由；（3）令123n n S a a a a =++++L ，求2017S 的值．参考答案一、填空题：(共54分，第1~6题每题4分；第7~12题每题5分)1. {}1,42. (1,0)3. []1,34. 15. 86. 7107. |2,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭8. 2- 9. 5(,1)9 10. 8800 11. 25 12. 1二、选择题：(共20分，每题5分)13. A 14. A 15. D 16. C 三、解答题 17、解：（1）以点A 为原点，以AB 方向为x 轴正方向，AD 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0)P A B C D ,--------2分所以，(2,2,2),(2,0,0)PC AB =-=u u u r u u u r,--------4分设,PC AB u u u r u u ur的夹角为α，则cos 3PC AB PC AB α⋅===⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 分所以，,PC AB u u u r u u u r 的夹角为arccos 3，即异面直线PC 与AB 所成角的大小为分（2）因为点E 、F 分别是棱AD 和PC 的中点，可得(0,1,0)E ，(1,1,1)F ，所以(1,0,1)EF =u u u r，--------8分又(0,2,0)BC =u u u r ，(2,2,2)PC =-u u u r，--------10分计算可得0,0EF PC EF BC ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，--------12分所以，,EF PC EF BC ⊥⊥，又PC BC C =I ，所以EF ⊥平面PBC .--------14分18、(1) 因为函数41()2x xm f x ⋅+=是定义域为R 的偶函数，所以有()()f x f x -=，-2分即414122x x x xm m --⋅+⋅+=，即44122x x x xm m +⋅+=， ------------------------------4分故m =1. -----------------------------------------6分(2)241()0,3102x xf x k +=>+>，且22()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，故原不等式等价于22131()k k f x >+在(,0)-∞上恒成立，--------------------8分又x ∈(,0)-∞，所以()()2,f x ∈+∞， -------------------------------------10分所以110,()2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，----------------------------11分从而221312k k ≥+，----------------------------12分因此，1,13k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. -------------------------------------------------------------------14分19、(1)在APB ∆中，由正弦定理，得1sin sin 2AP AB ABABP APB==∠∠，-----------2分在BPC ∆中，由正弦定理，得sin sin 1CP BC BCCBP CPB ==∠∠，-----------4分又31BC AB =，sin sin ABP CBP ∠=∠，--------------------------------------------6分故23AP CP =.即无人机到甲、丙两船的距离之比为23.-----------------------7分C B A P(2)由:3:1BC AB =得AC =400，且0120APC ∠=， ------------------------------9分由(1)，可设AP =2x ，则CP =3x ， ---------------------------------------------10分在APC ∆中，由余弦定理，得160000=(2x )2+(3x )2-2(2x )(3x )cos1200，------12分解得x19=，即无人机到丙船的距离为CP =3x275≈米. ----14分 20、解：（1）由条件，得2(1,0)F ，根据220F A F B +=u u u u r u u u u r r知，F 2、A 、B 三点共线，且由椭圆与双曲线的对称性知，A 、B 关于x 轴对称，故AB 所在直线为x =1，从而得(1,2A，(1,2B -.--------------2分所以，221112a b-=,又因为2F 为双曲线的焦点，所以221a b +=，解得2212a b ==. ---------------------------------------------------------------3分因此，2W 的方程为2211122x y -=(1x >). ------------4分 (2) 由P (x p ,y p )、M (x M ,y M )，得1F P u u u r =(x p +1,y p )，1F M u u u u r=(x M +1,y M )，由条件，得1(1)M p M p x m x y my +=+⎧⎪⎨=⎪⎩，即1M p Mp x mx m y my =+-⎧⎪⎨=⎪⎩， ---------------5分由P (x p ,y p )、M (x M ,y M )分别在曲线1W 和2W 上，有2222122(1)2()1p p p p x y mx m my ⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩，消去y p ，得2234(1)140p p m x m m x m +-+-= (*) ---------------7分将1m 代入方程(*)，成立，因此(*)有一根1p x m=,结合韦达定理得另一根为143p m x m -=，因为1m >,所以143p mx m-=<-1，舍去. 所以，1p x m=. -----------------------------------------------------8分从而P 点坐标为(1m)，所以，直线2PF的斜率2PF k =，-------------------------------------9分由1M p x mx m m =+-=,得M (m所以，直线2MF的斜率2MF k =.--------------------10分因此，2MF 与2PF 斜率之和为零. ---------------------------------11分（3）由(2)知直线2PF 与2NF 关于x 轴对称，结合椭圆的对称性知点P 与点N 关于x 轴对称，故N (m 1,1m-212-m ), -----------------------------12分因此，S=21⨯|F 1F 2|(|y M |+|y N |)=21⨯2(212-m +m 1212-m ) =212-m +2211m -，-----------14分因为S 在()1,+∞上单调递增, ----------------------------------15分所以,S的取值范围是)+∞.----------------------------------------------------16分21、解：（1）当2k ≥时，1211k k t t t t -=+++L ，----------------------------------------------------------------2分 1121k k t t t t +=+++L ，于是1k k k t t t +-=，即12k k t t +=，又2112,1t t t ==， ---------------------3分所以12k k t -=，故21122221k kk T -=++++=-L . ---------------4分（2）由12k k t -=得第8行中共有27=128个数，所以，第8行中的数超过73个，-------6分70773*******n T =+=-+=，-----7分从而，020073n a a a ==，由26-1=63<73，27-1=127>73，所以，按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第73-63=10个数，同上过程知7310a a ==2，--------------------------------------------------------9分所以，02n a =.--------------------------------------------------------------10分（3）由于数表的前n 行共有21n -个数，于是，先计算21n S -.方法一：在前21n-个数中，共有1个n ，2个1n -，22个2n -，……，2n -k个k ，……，2n-1个1， ---------------------------------------------------12分因此21n S -=n ×1+(n -1)×2+…+ k ×2n -k +…+2×2n -2+1×2n -1 则2×21n S -=n ×2+(n -1)×22+…+ k ×2n-k+1+…+2×2n-1+1×2n两式相减，得21n S -=n -+2+22+…+2n-1+2n ＝2n+1-n -2. ------------15分方法二：由此数表构成的过程知，121212n n S S n ---=+，---------------12分则21n S -+n +2=2(121n S --+n +1)，即数列{21n S -+n +2}是以S 1+1+2=4为首项，2为公比的等比数列, 所以21n S -+n +2＝4×2n-1，即21n S -=2n+1-n -2. ------------------------------15分 S 2017=1021S -+S 994 -----------------------------------------------------------------16分=1021S -+921S -+S 483=1021S -+921S -+821S -+S 228＝1021S -+921S -+821S -+721S -+S 101 =1021S -+921S -+821S -+721S -+621S -+S 38 =1021S -+921S -+821S -+721S -+621S -+521S -+S 7=(211-12)+(210-11)+(29-10)+(28-9)+(27-8)+(26-7)+(24-5)=3986. ------------------------------------------------------------------------18分。

2017年上海市普陀区高考数学二模试卷含详解

2017年上海市普陀区高考数学二模试卷一、填空题（共12小题，每小题4分，满分54分）1．（4分）计算：（1+）3=．2．（4分）函数f（x）=log2（1﹣）的定义域为．3．（4分）若＜α＜π，sinα=，则tan=．4．（4分）若复数z=（1+i）•i2（i表示虚数单位），则=．5．（4分）曲线C：（θ为参数）的两个顶点之间的距离为．6．（4分）若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K的概率为（结果用最简分数表示）．7．（5分）若关于x 的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，则实数m 的取值范围是．8．（5分）若一个圆锥的母线与底面所成的角为，体积为125π，则此圆锥的高为．9．（5分）若函数f（x）=log22x﹣log2x+1（x≥2）的反函数为f﹣1（x）．则f﹣1（3）=．10．（5分）若三棱锥S﹣ABC的所有的顶点都在球O的球面上．SA⊥平面ABC．SA=AB=2，AC=4，∠BAC=，则球O的表面积为．11．（5分）设a＜0，若不等式sin2x+（a﹣1）cosx+a2﹣1≥0对于任意的x∈R恒成立，则a的取值范围是．12．（5分）在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，M是直线DE上的动点，若△ABC的面积为1，则•+2的最小值为．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）动点P在抛物线y=2x2+1上移动，若P与点Q（0，﹣1）连线的中点为M，则动点M的轨迹方程为（）A．y=2x2B．y=4x2C．y=6x2D．y=8x2 14．（5分）若α、β∈R，则“α≠β”是“tanα≠tanβ”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件15．（5分）设l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为（）A．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥βB．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α∥βC．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α⊥βD．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α∥β16．（5分）关于函数y=sin2x的判断，正确的是（）A．最小正周期为2π，值域为[﹣1，1]，在区间[﹣，]上是单调减函数B．最小正周期为π，值域为[﹣1，1]，在区间[0，]上是单调减函数C．最小正周期为π，值域为[0，1]，在区间[0，]上是单调增函数D．最小正周期为2π，值域为[0，1]，在区间[﹣，]上是单调增函数三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BC、A1D1的中点．（1）求证：四边形B1EDF是菱形；（2）求异面直线A1C与DE所成的角（结果用反三角函数表示）．18．（14分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b为常数且a≠0，x∈R）．当x=时，f（x）取得最大值．（1）计算f（）的值；（2）设g（x）=f（﹣x），判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．19．（14分）某人上午7时乘船出发，以匀速v海里/小时（4≤v≤20）从A港前往相距50海里的B地，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（30≤ω≤100）自B港前往相距300千米的C市，计划当天下午4到9时到达C市．设乘船和汽车的所要的时间分别为x、y小时，如果所需要的经费P=100+3（5﹣x）+（8﹣y）（单位：元）（1）试用含有v、ω的代数式表示P；（2）要使得所需经费P最少，求x和y的值，并求出此时的费用．20．（16分）已知椭圆T：+=1，直线l经过点P（m，0）与T相交于A、B 两点．（1）若C（0，﹣）且|PC|=2，求证：P必为Γ的焦点；（2）设m＞0，若点D在Γ上，且|PD|的最大值为3，求m的值；（3）设O为坐标原点，若m=，直线l的一个法向量为=（1，k），求△AOB 面积的最大值．21．（18分）已知数列{a n}（n∈N*），若{a n+a n+1}为等比数列，则称{a n}具有性质P．（1）若数列{a n}具有性质P，且a1=a2=1，a3=3，求a4、a5的值；（2）若b n=2n+（﹣1）n，求证：数列{b n}具有性质P；（3）设c1+c2+…+c n=n2+n，数列{d n}具有性质P，其中d1=1，d3﹣d2=c1，d2+d3=c2，若d n＞102，求正整数n的取值范围．2017年上海市普陀区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题4分，满分54分）1．（4分）计算：（1+）3=1．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．【分析】根据题意，对（1+）3变形可得（1+）3=（+++1），由极限的意义计算可得答案．【解答】解：根据题意，（1+）3==（+++1）=1，即（1+）3=1；故答案为：1．【点评】本题考查极限的计算，需要牢记常见的极限的化简方法．2．（4分）函数f（x）=log2（1﹣）的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞）．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据对数函数的性质得到关于x的不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：1﹣＞0，解得：x＞1或x＜0，故答案为：（﹣∞，0）∪（1，+∞）．【点评】本题考查了函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．3．（4分）若＜α＜π，sinα=，则tan=3．【考点】GW：半角的三角函数．【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cosx的值，再利用半角公式求得tan的值．【解答】解：若＜α＜π，sinα=，则cosα=﹣=﹣，∴tan==3，故答案为：3．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，半角公式的应用，属于基础题．4．（4分）若复数z=（1+i）•i2（i表示虚数单位），则=﹣1+i．【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】先化简，再根据共轭复数的定义即可求出【解答】解：z=（1+i）•i2=﹣1﹣i，∴=﹣1+i，故答案为：﹣1+i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算以及共轭复数，是基础的计算题．5．（4分）曲线C：（θ为参数）的两个顶点之间的距离为2．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】11：计算题；34：方程思想；5S：坐标系和参数方程．【分析】根据题意，将曲线的参数方程变形为普通方程，分析可得曲线C为双曲线，且两个顶点的坐标为（±1，0），由两点间距离公式计算可得答案．【解答】解：曲线C：，其普通方程为x2﹣y2=1，则曲线C为双曲线，且两个顶点的坐标为（±1，0），则则两个顶点之间的距离为2；故答案为：2．【点评】本题考查参数方程与普通方程的互化，涉及双曲线的几何性质，关键是将曲线的参数方程化为普通方程．6．（4分）若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K的概率为（结果用最简分数表示）．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】先求出基本事件总数n=52×52，再求出两张牌都是K包含的基本事件个数m=4×4，由此能求出两张牌都是K的概率．【解答】解：从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，在放回抽取的情形下，基本事件总数n=52×52，两张牌都是K包含的基本事件个数m=4×4，∴两张牌都是K的概率为p===．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归转化思想，是基础题．7．（5分）若关于x 的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，则实数m 的取值范围是[1，] ．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】33：函数思想；4R：转化法．【分析】由题意，关于x 的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，转化为函数y=sin（x+）与函数y=m的图象有交点问题．【解答】解：由题意，sinx+cosx﹣m=0，转化为：sinx+cosx=m，设函数y=sin （x+）x∈[0，]上，则x+∈[，]∴sin（x+）∈[]∴函数y=sin（x+）的值域为[1，]关于x 的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，则函数y=m的值域为[1，]，即m∈[1，]故答案为：[1，]．【点评】本题考查了方程有解问题转化为两个函数的交点的问题．属于基础题．8．（5分）若一个圆锥的母线与底面所成的角为，体积为125π，则此圆锥的高为5．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；5F：空间位置关系与距离．【分析】设圆锥的高为h，则底面圆的半径为h，利用体积为125π，建立方程，即可求出此圆锥的高．【解答】解：设圆锥的高为h，则底面圆的半径为h，∵体积为125π，∴=125π，∴h=5．故答案为：5．【点评】本题考查圆锥体积的计算，考查方程思想，比较基础．9．（5分）若函数f（x）=log22x﹣log2x+1（x≥2）的反函数为f﹣1（x）．则f﹣1（3）=4．【考点】4R：反函数．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；51：函数的性质及应用．【分析】由题意，log22x﹣log2x+1=3，根据x≥2，即可得出结论．【解答】解：由题意，log22x﹣log2x+1=3，∵x≥2，∴x=4，故答案为4．【点评】本题考查对数方程，考查反函数的概念，正确转化是关键．10．（5分）若三棱锥S﹣ABC的所有的顶点都在球O的球面上．SA⊥平面ABC．SA=AB=2，AC=4，∠BAC=，则球O的表面积为20π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】由余弦定理求出BC=2，利用正弦定理得∠ABC=90°．从而△ABC截球O所得的圆O′的半径r=AC=2，进而能求出球O的半径R，由此能求出球O 的表面积．【解答】解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC．SA=AB=2，AC=4，∠BAC=，∴BC==2，∴AC2=BC2+AB2，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r=AC=2，∴球O的半径R==，∴球O的表面积S=4πR2=20π．故答案为：20π．【点评】本题考查三棱锥、球、勾股定理等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想，是中档题．11．（5分）设a＜0，若不等式sin2x+（a﹣1）cosx+a2﹣1≥0对于任意的x∈R恒成立，则a的取值范围是a≤﹣2．【考点】3R：函数恒成立问题．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】不等式进行等价转化为关于cosx的一元二次不等式，利用二次函数的性质和图象列不等式组求得答案．【解答】解；不等式等价于1﹣cos2x+acosx+a2﹣1﹣cosx≥0，恒成立，整理得﹣cos2x+（a﹣1）cosx+a2≥0，设cosx=t，则﹣1≤t≤1，g（t）=﹣t2+（a﹣1）t+a2，要使不等式恒成立需：求得a≥1或a≤﹣2，而a＜0故答案为：a ≤﹣2．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，二次函数的性质．注重了对数形结合思想的运用和问题的分析．12．（5分）在△ABC 中，D 、E 分别是AB ，AC 的中点，M 是直线DE 上的动点，若△ABC 的面积为1，则•+2的最小值为．【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】35：转化思想；41：向量法；5A ：平面向量及应用．【分析】由三角形的面积公式，S △ABC =2S △MBC ，则S △MBC =，根据三角形的面积公式及向量的数量积，利用余弦定理，即可求得则•+2，利用导数求得函数的单调性，即可求得则•+2的最小值；方法二：利用辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得•+2的最小值．【解答】解：∵D 、E 是AB 、AC 的中点，∴A 到BC 的距离=点A 到BC 的距离的一半， ∴S △ABC =2S △MBC ，而△ABC 的面积1，则△MBC 的面积S △MBC =，S △MBC =丨MB 丨×丨MC 丨sin ∠BMC=，∴丨MB 丨×丨MC 丨=． ∴•=丨MB 丨×丨MC 丨cos ∠BMC=．由余弦定理，丨BC 丨2=丨BM 丨2+丨CM 丨2﹣2丨BM 丨×丨CM 丨cos ∠BMC ，显然，BM 、CM 都是正数，∴丨BM 丨2+丨CM 丨2≥2丨BM 丨×丨CM 丨，∴丨BC 丨2=丨BM 丨2+丨CM 丨2﹣2丨BM 丨×丨CM 丨cos ∠BMC=2×﹣2×．．∴•+2≥+2×﹣2×=，方法一：令y=，则y′=，令y′=0，则cos∠BMC=，此时函数在（0，）上单调减，在（，1）上单调增，∴cos∠BMC=时，取得最小值为，•+2的最小值是，方法二：令y=，则ysin∠BMC+cos∠BMC=2，则sin（∠BMC+α）=2，tanα=，则sin（∠BMC+α）=≤1，解得：y≥，•+2的最小值是，故答案为：．【点评】本题考查了向量的线性运算、数量积运算、辅助角公式，余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）动点P在抛物线y=2x2+1上移动，若P与点Q（0，﹣1）连线的中点为M，则动点M的轨迹方程为（）A．y=2x2B．y=4x2C．y=6x2D．y=8x2【考点】J3：轨迹方程．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先设PQ中点为（x，y），进而根据中点的定义可求出M点的坐标，然后代入到曲线方程中得到轨迹方程．【解答】解：设PQ中点为M（x，y），则P（2x，2y+1）在抛物线y=2x2+1上，即2（2x）2=（2y+1）﹣1，∴y=4x2．故选：B．【点评】本题主要考查轨迹方程的求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．14．（5分）若α、β∈R，则“α≠β”是“tanα≠tanβ”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】38：对应思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．【分析】根据正切函数的性质以及充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：若“α≠β”，则“tanα≠tanβ”不成立，不是充分条件，反之也不成立，比如α=，β=，故选：D．【点评】本题考查了充分必要条件，考查正切函数的性质，是一道基础题．15．（5分）设l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为（）A．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥βB．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α∥βC．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α⊥βD．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α∥β【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5F：空间位置关系与距离．【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，α与β相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，知：在A中，若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若l∥α，m⊥β，l∥m，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若l∥α，m⊥β，l∥m，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系的应用，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查化归转化思想、数形结合思想，是中档题．16．（5分）关于函数y=sin2x的判断，正确的是（）A．最小正周期为2π，值域为[﹣1，1]，在区间[﹣，]上是单调减函数B．最小正周期为π，值域为[﹣1，1]，在区间[0，]上是单调减函数C．最小正周期为π，值域为[0，1]，在区间[0，]上是单调增函数D．最小正周期为2π，值域为[0，1]，在区间[﹣，]上是单调增函数【考点】GS：二倍角的三角函数；H7：余弦函数的图象．【专题】15：综合题；35：转化思想；4O：定义法；57：三角函数的图像与性质．【分析】先化简函数，再利用余弦函数的图象与性质，即可得出结论．【解答】解：y=sin2x=（1﹣os2x）=﹣cos2x+∴函数的最小正周期为π，值域为[0，1]，在区间[0，]上是单调增函数，故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简，考查余弦函数的图象与性质，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BC、A1D1的中点．（1）求证：四边形B1EDF是菱形；（2）求异面直线A1C与DE所成的角（结果用反三角函数表示）．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；5G：空间角．【分析】（1）由题意画出图形，取AD中点G，连接FG，BG，可证四边形B1BGF 为平行四边形，得BG∥B1F，再由ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，且E，G分别为BC，AD的中点，可得BEDG为平行四边形，得BG∥DE，BG=DE，从而得到B1F∥DE，且B1F=DE，进一步得到四边形B1EDF为平行四边形，再由△B1BE≌△B1A1F，可得B1E=B1F，得到四边形B1EDF是菱形；（2）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，然后利用空间向量求异面直线A1C与DE所成的角．【解答】（1）证明：取AD中点G，连接FG，BG，可得B1B∥FG，B1B=FG，∴四边形B1BGF为平行四边形，则BG∥B1F，由ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，且E，G分别为BC，AD的中点，可得BEDG为平行四边形，∴BG∥DE，BG=DE，则B1F∥DE，且B1F=DE，∴四边形B1EDF为平行四边形，由△B1BE≌△B1A1F，可得B1E=B1F，∴四边形B1EDF是菱形；（2）解：以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1（0，0，1），C（1，1，0），D（0，1，0），E（1，，0），∴，，∴cos＜＞==．∴异面直线A1C与DE所成的角为arccos．【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求异面直线所成角，是中档题．18．（14分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b为常数且a≠0，x∈R）．当x=时，f（x）取得最大值．（1）计算f（）的值；（2）设g（x）=f（﹣x），判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】首先，根据已知得到f（x）=sin（x+θ），然后根据最值建立等式，得到a=b，再化简函数f（x）=asin（x+），（1）将代入解析式求值；（2）求出g（x）解析式，利用奇偶函数定义判断奇偶性．【解答】解：由已知得到f（x）=sin（x+θ），又x=时，f（x）取得最大值．所以a=b，f（x）=asin（x+），所以（1）f（）=asin（3π）=0；（2）g（x）为偶函数．理由：设g（x）=f（﹣x）=asin（﹣x）=acosx，所以函数g（﹣x）=g（x），为偶函数．【点评】本题考查了三角函数的性质以及奇偶性的判定；属于基础题．19．（14分）某人上午7时乘船出发，以匀速v海里/小时（4≤v≤20）从A港前往相距50海里的B地，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（30≤ω≤100）自B港前往相距300千米的C市，计划当天下午4到9时到达C市．设乘船和汽车的所要的时间分别为x、y小时，如果所需要的经费P=100+3（5﹣x）+（8﹣y）（单位：元）（1）试用含有v、ω的代数式表示P；（2）要使得所需经费P最少，求x和y的值，并求出此时的费用．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）分析题意，找出相关量之间的不等关系，（2）求出x，y满足的约束条件，由约束条件画出可行域，要求走得最经济，即求可行域中的最优解，将目标函数看成是一条直线，分析目标函数p与直线截距的关系，进而求出最优．【解答】解：（1）由题意得：x=，4≤v≤20，y=，30≤ω≤100，∴P=100+3（5﹣）+（8﹣）=123﹣﹣，其中，4≤v≤20，30≤ω≤100，（2）由（1）可得2.5≤x≤12.5，3≤y≤10，①由于汽车、乘船所需的时间和应在9至14小时之间，∴9≤x+y≤14 ②因此满足①②的点（x，y）的存在范围是图中阴影部分目标函数p=100+3（5﹣x）+（8﹣y）=123﹣3x﹣y，当x=11，y=3时，p 最小，此时，p=123﹣33﹣3=87【点评】本题考查不等式关系的建立，考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（16分）已知椭圆T：+=1，直线l经过点P（m，0）与T相交于A、B两点．（1）若C（0，﹣）且|PC|=2，求证：P必为Γ的焦点；（2）设m＞0，若点D在Γ上，且|PD|的最大值为3，求m的值；（3）设O为坐标原点，若m=，直线l的一个法向量为=（1，k），求△AOB 面积的最大值．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用两点之间距离公式，即可求得m的值，由椭圆的方程，即可求得焦点坐标，即可求证P必为Γ的焦点；（2）利用两点之间的距离公式，根据二次函数的单调性，当x0=﹣2时，取最大值，代入即可求得m的值；（3）求得直线AB的方程，代入方程，由韦达定理，弦长公式及点到直线的距离公式，利用基本不等式的性质，即可求得△AOB面积的最大值．【解答】解：（1）证明：由椭圆焦点F（±1，0），由|PC|==2，解得：m=±1，∴P点坐标为（±1，0），∴P必为Γ的焦点；（2）设D（x0，y0），y02=3（1﹣），|PD|2=（x0﹣m）2+y02=﹣2mx0+m2+3，﹣2≤x0≤2，有函数的对称轴x0=4m＞0，则当x0=﹣2时，取最大值，则|PD|2=1+4m+m2+3=9，m2+4m﹣5=0，解得：m=1或m=﹣5（舍去），∴m的值1；（3）直线l的一个法向量为=（1，k），则直线l的斜率﹣，则直线l方程：y﹣0=﹣（x﹣），整理得：ky+x﹣=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（3k2+4）y2﹣6ky﹣3=0，则y1+y2=，y1y2=﹣，丨AB丨=•=，则O到直线AB的距离d=，则△AOB面积S=×丨AB丨×d=××==≤=，当且仅当=，即k2=，取等号，∴△AOB面积的最大值．【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．21．（18分）已知数列{a n}（n∈N*），若{a n+a n+1}为等比数列，则称{a n}具有性质P．（1）若数列{a n}具有性质P，且a1=a2=1，a3=3，求a4、a5的值；（2）若b n=2n+（﹣1）n，求证：数列{b n}具有性质P；（3）设c1+c2+…+c n=n2+n，数列{d n}具有性质P，其中d1=1，d3﹣d2=c1，d2+d3=c2，若d n＞102，求正整数n的取值范围．【考点】8B：数列的应用．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）{a n+a n+1}为等比数列，由a1=a2=1，a3=3，可得{a n+a n+1}的公比为2，可得a n+a n+1=2n，进而得出a4、a5的值；（2）证明{b n+b n+1}是以公比为2的等比数列，即可得出结论；（3）求出d n+d n+1=2n，利用d n＞102，求正整数n的取值范围．【解答】解：（1）{a n+a n+1}为等比数列，∵a1=a2=1，a3=3，∴a1+a2=1+1=2，a2+a3=1+3=4，∴{a n+a n+1}的公比为2，∴a n+a n+1=2n，∴a3+a4=23=8，即a4=5，∴a4+a5=24=16，即a5=11；（2）∵b n=2n+（﹣1）n，∴b n+b n+1=2n+（﹣1）n+2n+1+（﹣1）n+1=3•2n，∴{b n+b n+1}是以公比为2的等比数列，∴数列{b n}具有性质P．（3）∵c1+c2+…+c n=n2+n，∴c1+c2+…+c n﹣1=（n﹣1）2+n﹣1，∴c n=2n，∵d1=1，d3﹣d2=c1=2，d2+d3=c2=4，∴d2=1，d3=3，∵数列{d n}具有性质P，由（1）可得，d n+d n+1=2n，∴d4=5，d5=11，d6=21，d7=43，d8=85，d9=171，∵d n＞102，∴正整数n的取值范围是[9，+∞）．【点评】本题考查新定义，考查等比数列的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

【上海市普陀区】2017届高三下学期质量调研(二模)数学试卷-答案

,0)(1,)+∞17．设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，如图所示：则11,()0,1B ，1(1,,0)2E ，(0,1,0)D ，1(0,,1)2F1(1,,0)2DE =-，11(1,,0)2FB =-所以1DE FB =，即1DE FB ∥且1DE FB =，故四边形1B EDF 是平行四边形又因为11(0,,1)2B E =-，所以15||||B E DE == 故平行四边形1B EDF 是菱形（2）因为11(1,1,0)(0,0,1)(1,1,1),(1,,0)2AC DE =-=--=-设异面直线1A C 与DE 所成的角的大小为θ121111(1)()10cos ||||||11(|2|A C DE A C DEθ-⨯+-⨯-+⨯===+-所以θ=，故异面直线1A C 与DE 所成的角的大小为． 18．（1）()sin cos )f x a x b x x ϕ=+=+，其中arctan baϕ=根据题设条件可得，π()4f =)2a b +=化简得2222())(a b a b +=+，所以2220a ab b -+=即2()0a b -=，故0a b -=所以11π11π11π()sin cos)0444f a b a b =+-=（2）由（1）可得，a b =，即π()(sin cos )sin()4f x a x x x =++ 故ππππ()()sin()sin()cos 4442g x f x x x x =-=-+=- 所以()cos ()g x x x =∈R对于任意的x ∈R ，()cos()cos (0)g x x x a -=-=≠ 即()()g x g x -=，所以()g x 是偶函数． 19．（1）50x v =，420v ≤≤，得25102x ≤≤300y ω=，30100ω≤≤，得310y ≤≤503001003(5)(8)1003(5)(8)P x y v ω=+-+-=+-+- 所以150300123P v ω=--（其中420,30100v ω≤≤≤≤）（2）1003(5)(8)123(3)P x y x y =+-+-=-+ 其中91425102310x y x y ≤+≤⎧⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪⎩，令目标函数3k x y =+，可行域的端点分别为5513(11,3),(4,10),(,10),(,),(6,3),222则当11,3x y ==时，max 33336k =+=所以min 1233687P =-=（元），此时505011v x ==，3001003ω== 答：当11,3x y ==时，所需要的费用最少，为87元．20．（1）||2PC =，解得1m =±，所以点(1,0)P ±由于1c ==，故Γ的焦点为()1,0±，所以P 在Γ的焦点上．（2）设(,)D x y ，则223(1)4xy =-222221()234||PD x m y x mx m =-+=-++（其中22x -≤≤）对称轴40x m =>，所以当2x =-时，||PD 取到最大值3，故2449m m ++=，即2450m m +-=，解得5m =-或1m = 因为0m >，所以1m =．（3）:0l x ky =，将直线方程与椭圆方程联立220143x ky x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去x得，22(34)30k y +--= 其中0∆>恒成立设1122(,),(,)A x y B x y，则12122334y y y y k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩121||2AOBS y y =-==△设231u k =+，令2423192416k t k k +=++，则211969126u t u u u u==≤++++ 当且仅当3u =时，等号成立，即k =max 112t = 故AOB △面积的最大值为6 21．（1）由1231,3a a a ===得，122a a +=，234a a += 根据题意，数列{}n a 具有性质P ，可得1{}n n a a ++为等比数列．23122a a a a +=+，所以348a a +=，4516a a +=，故45a =，511a =（2）121,5b b ==，故126b b +=1122121112(1)2(1)6222(1)2(1)32n n n n nn n n n n n nn n b b b b +++++++++++-++-===++-++-（常数）所以数列1{}n n b b ++是以6为首项，2为公比的等比数列，故数列{}n b 具有性质P （3）122,4c c ==，所以32232,4d d d d -=+=，得2323121,3,2d d d d d d +===+数列{}n d 具有性质P ，所以1{}n n d d ++成等比数列，故12nn n d d ++=于是11112222n n n n d d ++=-+，即11111()23223n n n n d d ++-=--，其中111236d -= 1111()2362n n nd -=+⨯-，即12(1)3n n n d -+-= 31102(1)3000m m m d ->⇔+->①若m 为偶数，则2log 3001m >，即12m ≥； ②若m 为奇数，则2log 2099m >，即13m ≥；综上①②可得，m 的取值范围是13m ≥且*m ∈N ．上海市普陀区2017届高三下学期质量调研（二模）数学试卷解析一、填空题1．【解析】本题考查极限的计算；由题意，得（）；故填1．2．【解析】本题考查函数的定义域；要使（）有意义，须，即，解得或，即函数（）的定义域为（）（）；故填（）（）．3．【解析】本题考查二倍角公式和同角三角函数基本关系式；因为，所以，即，即，解得或，又因为，所以；故填3．4．【解析】本题考查复数的运算；因为，所以；故填．5．【解析】本题考查同角三角函数基本关系式和参数方程；因为，则，即曲线的两个顶点为（），即两个顶点之间的距离为2；故填2．6．【解析】本题考查古典概型；由题意，得从一副张的扑克牌中随机抽取张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K的概率为；故填．7．【解析】本题考查三角函数的图象和性质；将化成，即（），因为，所以，（），即；故填．8．【解析】本题考查旋转体的体积；设圆锥的高为，底面圆的半径为，因为圆锥的母线与底面所成的角为，体积为，所以，解得；故填5．9．【解析】本题考查反函数、对数方程的解法；令，即，解得或，即或（舍）；故填．10．【解析】本题考查多面体和球的组合问题；由题意，得三棱锥是长方体的一部分（如图所示）球是该长方体的外接球，其中，，设球的半径为，则，则球O的表面积为；故填．11．【解析】本题考查三角函数的值域、二次函数的最值和不等式恒成立问题；因为不等式（）对于任意的恒成立，所以不等式（）对于任意的恒成立，令，即对于任意的恒成立，因为，所以，则，即，解得或（舍）；故填．12．【解析】本题考查平面向量的线性运算和数量积运算、余弦定理的应用；因为、分别是、的中点，且是直线上的动点，所以到直线的距离等于到直线的距离的一半，所以，则，所以，则，由余弦定理，得，显然，都为正数，所以，（），，令，则，令，则，当时，，当时，，即当时，取得最小值为；故填．A二、选择题13．【解析】本题考查动点的轨迹方程；设（）（），因为与点（）连线的中点为，所以，又因为点在抛物线上移动，所以（），即；故选B．14．【解析】本题考查充分条件和必要条件的判定；因为，所以“”不是“”成立的充分条件，若，则不存在，所以“若,，则”为真命题，即“”不是“”成立的必要条件，所以“”是“”成立的既非充分也非必要条件；故选D．15．【解析】本题考查空间中线面、面面间的位置关系的判定；若，，，则相交或平行，故A错误，若，，，则相交或平行，故B错误，若，，，则由面面垂直的判定定理得，故D错误、C正确；故选C16．【解析】本题考查二倍角公式和三角函数的性质；显然，的值域为，故排除选项A、B，因为的最小正周期为，故排除选项D；故选C．三、解答题17．【解析】本题考查利用空间向量判定平行、求异面直线所成的角；（1）设出正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量相等判定四边形的对边平行且相等，再证明邻边对应的向量模相等；（2）求出有关直线的对应方向向量，利用空间向量的夹角公式进行求解．18．【解析】本题考查配角公式、三角函数的性质；（1）先利用配角公式化简函数解析式，再利用最值得到，再代入进行求值；（2）代入化简得到函数（）的解析式，利用奇偶性的定义进行判定．19．【解析】本题考查函数模型的应用和简单的线性规划问题的应用；（1）利用题意，提取数学信息，得到有关关系式；（2）列出所需经费的关系式和有关变量的限制条件，作出对应的可行域，利用简单的线性规划问题进行求解．20．【解析】本题考查椭圆的几何性质、直线和椭圆的位置关系、基本不等式；（1）利用两点间的距离公式和椭圆的基本量间的关系进行判定；（2）利用两点间的距离公式和椭圆的范围进行求解；（3）联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和三角形的面积公式得到表达式，再利用基本不等式进行求解21．【解析】本题考查等比数列、新定义数列的性质；（1）由所给的起始项和等比数列进行求解；（2）利用数列的性质进行判定；（3）先利用数列的通项和前项和的关系得到，的值，再利用新定义数列的性质和分类讨论思想进行求解．。

上海市普陀区2017届高三数学下学期质量调研(二模)试卷(含解析)

.
【答案】
【解析】本题考查旋转体的体积；设圆锥的高为，底面圆的半径为，因为圆锥的母线与
底面所成的角为，体积为，所以
，解得；故填 5.
9．若函数
)的反函数为
，
则
=
.
【答案】
【解析】本题考查反函数、对数方程的解法；令
，即
，解得
或
，即或（舍）；故填 .
4
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，则
距离为 2；故填 2.
，即曲线的两个顶点为
，即两个顶点之间的
6．若从一副张的扑克牌中随机抽取张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是 K 的概率
为
.(结果用最简分数表示).
【答案】
【解析】本题考查古典概型；由题意，得从一副张的扑克牌中随机抽取张，则在放回抽
取的情形下，两张牌都是 K 的概率为
所以
,即
且
,故四边形
是平行四边形
又因为
,所以
故平行四边形
是菱形
(2)因为
设异面直线与所成的角的大小为
所以
, 故异面直线与所成的角的大小为
【解析】本题考查利用空间向量判定平行、求异面直线所成的角；(1)设出正方体的棱长为 1，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量相等判定四边形的对边平行且相等，再证明邻边对应的向量模相等；(2)求出有关直线的对应方向向量，利用空间向量的夹角公式进行求解.
；故填 1.
2．函数
的定义域为
.
【答案】
【解析】本题考查函数的定义域；要使
有意义，须
，即
，解
得或，即函数 .
的定义域为

【全国区级联考】上海市普陀区2017届高三下学期质量调研(二模)数学试题(解析版)

2017届上海市普陀区高三下学期质量调研(二模)考试理科数学试题及答案

上海市普陀区2017届高三教学质量调研（二模）数学理试题考生注意： 41.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.3.本试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位．．．．．．．．．．．置，本卷上任何解答都不作评分依据．．．．．．．．．．．．．．．．. 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题， 1．若复数ii i z 1=（i 是虚数单位），则=z . 2．若集合}40,tan |{π≤<==x x y y A ，}02|{2<--=x x x B ，则=B A .3．【理科】方程1)4(log )1(log 42=+-+x x 的解=x . 4．【理科】若向量),1(x a =，)1,2(=b ，且b a ⊥，则=+||b a . 5．【理科】若0>a ，在极坐标系中，直线2)3cos(=+⋅πθρ与曲线a =ρ相切，则实数=a .6．【理科】若偶函数)(x f y =(R x ∈)满足条件：)1()(x f x f +=-，则函数)(x f 的一个周期为 .7．【理科】若P 为曲线⎩⎨⎧==ααtan sec y x （α为参数）上的动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是 .8．【理科】某质量监测中心在一届学生中随机抽取39人，对本届学生成绩进行抽样分析.统计分析的一部分结果，见下表:根据上述表中的数据，可得本届学生方差的估计值为 (结果精确到1.0).9．【理科】等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数k ，均有)(lim k n nk S S a -=∞→成立，则公比=q . 10．【理科】在一个质地均匀的小正方体六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续掷两次，若向上的数字的乘积为偶数ξ，则=ξE .11．【理科】如图所示，在一个)12()12(-⨯-n n (N n ∈且2≥n )的正方形网格内涂色,要求两条对角线的网格涂黑色，其余网格涂白色.若用)(n f 表示涂白色网格的个数与涂黑色网格的个数的比值，则)(n f 的最小值为 .12．【理科】若三棱锥ABC S -的底面是边长为2的正三角形，且⊥AS 平面SBC ，则三棱锥ABC S -的体积的最大值为 .第11题图13．若ij a 表示n n ⨯阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn a25191410181396128537421中第i 行、第j 列的元素（i 、n j ,,3,2,1 =），【理科】则=nn a （结果用含有n 的代数式表示）.14．【理科】已知函数⎩⎨⎧>≤+-=0,ln 0,2)(2x x x x x x f ，若不等式1|)(|-≥ax x f 恒成立，则实数a 的取值范围是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分. 15. 下列命题中，是假命题．．．的为…………………………………………………………………………（）)(A 平行于同一直线的两个平面平行. )(B 平行于同一平面的两个平面平行.)(C 垂直于同一平面的两条直线平行. )(D 垂直于同一直线的两个平面平行.16.【理科】已知曲线1C :122=+y m x （1>m ）和2C :122=-y nx （0>n ）有相同的焦点，分别为1F 、2F ,点M 是1C 和2C 的一个交点,则△21F MF 的形状是………………………………………（）)(A 锐角三角形. )(B 直角三角形. )(C 钝角三角形.)(D 随m 、n 的值的变化而变化.【17. 若函数a x x x f -+=2)(，则使得“函数)(x f y =在区间)1,1(-内有零点”成立的一个必要非充分条件是…………………………………………………………………………………………………………（）)(A 241≤≤-a . )(B 241<≤-a . )(C 20<<a . )(D 041<<-a .18. 对于向量i PA （n i ,2,1=），把能够使得||||||21n PA PA PA +++ 取到最小值的点P 称为i A （n i ,2,1=）的“平衡点”. 如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ,延长BC 至E ,使得CE BC =，联结AE ,分别交BD 、CD 于F 、G 两点.下列结论中，正确的是……………………………………（）)(A A 、C 的“平衡点”必为O . )(B D 、C 、E 的“平衡点”为D 、E 的中点.)(C A 、F 、G 、E 的“平衡点”存在且唯一. )(D A 、B 、E 、D 的“平衡点”必为F .三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19、 (本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图，在xoy 平面上，点)0,1(A ，点B 在单位圆上，θ=∠AOB（πθ<<0）（1）【理科】若点)54,53(-B ，求)42tan(πθ+的值；（2）若OC OB OA =+，四边形OACB 的面积用θS 表示，求OC OA S ⋅+θ的取值范围.20、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分小题满分8分．如图，已知AB 是圆柱1OO 底面圆O 的直径，底面半径1=R ，圆柱的表面积为π8；点C 在底面圆O 上，且直线C A 1与下底面所成的角的大小为︒60.（1）【理科】求点A 到平面CB A 1的距离；（2）【理科】求二面角C B A A --1的大小（结果用反三角函数值表示）.第20题图21、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数12)(-=x x f 的反函数为)(1x f y -=，记)1()(1-=-x f x g . （1）求函数)()(21x g x f y -=-的最小值；（2）【理科】若函数)()(2)(1x g m x f x F -+=-在区间),1[+∞上是单调递增函数，求实数m 的取值范围.22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分．已知曲线Γ:x y 42=，直线l 经过点)2,0(且其一个方向向量为),1(k =.（1）若曲线Γ的焦点F 在直线l 上，求实数k 的值；（2）当1-=k 时，直线l 与曲线Γ相交于A 、B 两点，求||AB 的值；（3）当k （0>k ）变化且直线l 与曲线Γ有公共点时，是否存在这样的实数a ,使得点)0,(a P 关于直线l 的对称点),(00y x Q 落在曲线Γ的准线上. 若存在,求出a的值；若不存在，请说明理由.第22题图23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.用记号∑=ni i a 0表示n a a a a a +++++ 3210，∑==ni i n a b 02，其中N i ∈，*N n ∈.（1）设n n n n nk k x a x a x a x a a x 221212221021)1(+++++=+--=∑ （R x ∈），求2b 的值；（2）若0a ，1a ，2a ，…，n a 成等差数列，求证：()∑==ni i n i C a 0102)(-⋅+n n a a ；（3）【理科】在条件（1）下，记∑=-+=ni i n i i n C b d 1])1[(1，且不等式n n b d t ≤-⋅)1(恒成立，求实数t 的取值范围.数学理答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1.i +-1；2.]1,0(；3.【理科】5；4. 【理科】10；5. 【理科】2；6. 【理科】1等；7. 【理科】4122=-y x ；；8.【理科】.56； 9.【理科】21；10. 【理科】83；； 11. 【理科】 54； 12. 【理科】21； 13. 【理科】1222+-n n ； 14、5二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19、 (本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．【解】（1）【理科】由于)54,53(-B ，θ=∠AOB ，所以53cos -=θ，54sin =θ253154cos 1sin 2tan =-=+=θθθ 于是)42tan(πθ+321212tan12tan1-=-+=-+=θθ（2）θS θθsin sin 11=⨯⨯=由于)0,1(=,)sin ,(cos θθ=……7分，所以)sin ,cos 1(θθ+=+=OB OA OCθθθcos 1sin 0)cos 1(1+=⨯++⨯=⋅OC OA …………9分OC OA S ⋅+θ1)4sin(21cos sin ++=++=πθθθ（πθ<<0）由于4544ππθπ<+<，所以1)4sin(22≤+<-πθ，所以120+≤⋅+<OC OA S θ20、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．【解】（1）【理科】设圆柱的母线长为l ，则根据已知条件可得，πππ8222=+⋅=Rl R S 全，1=R ，解得3=l因为⊥A A 1底面ACB ，所以AC 是C A 1在底面ACB 上的射影，所以CA A 1∠是直线C A 1与下底面ACB 所成的角，即CA A 1∠=︒60在直角三角形AC A 1中，31=AA ，CA A 1∠=︒60，3=AC .AB是底面直径，所以6π=∠CAB .以A 为坐标原点，以AB 、1AA 分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系如图所示：第20题图y则)0,0,0(A 、)0,23,23(C 、 )3,0,0(1A 、)0,2,0(B ,于是)0,23,23(=,)3,2,0(1=A ,)0,21,23(-= 设平面CB A 1的一个法向量为),,(z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅03202123001z y y x A CB n ，不妨令1=z ，则)1,23,23(=n ，所以A 到平面CB A 1的距离232|4943|||=+==n d 所以点A 到平面CB A 1的距离为23。

上海市普陀区高三下学期质量调研(二模)数学试卷有答案

2i)i（i表示虚数单位）θ（θ为参数）的两个顶点之间的距离为θ2+的最小值为MB MC BC二、选择题：共．动点P在抛物线17．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是BC 、11A D 的中点．（1）求证：四边形1B EDF 是菱形；（2）求异面直线1A C 与DE 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 18．已知函数()sin cos f x a x b x =+(a b 、为常数且0a ≠，x ∈R ）．当π4x =时，()f x 取得最大值．（1）计算11π()f 的值；19．某人上午7时乘船出发，以匀速海里/小时（45v ≤≤）从A 港前往相距50海里的B 港，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（30100ω≤≤）自B 港前往相距300千米的C 市，计划当天下午4到9时到达C 市设乘船和汽车的所要的时间分别为x 、y 小时，如果所需要的经费1003(5)(8)P x y =+-+-（单位：元）（1）试用含有v 、ω的代数式表示P ；（2）要使得所需经费P 最少，求x 和y 的值，并求出此时的费用．20．已知曲线22:143x y Γ+=，直线l 经过点(,0)P m 与相交于A 、B 两点．（1）若(0,C 且||2PC =，求证：P 必为Γ的焦点；（2）设0m >，若点D 在Γ上，且||PD 的最大值为3，求m 的值；21．已知数列*){}(n a n ∈N ，若1{}n n a a ++为等比数列，则称{}n a 具有性质P ．（1）若数列{}n a 具有性质P ，且1231,3a a a ===，求4a 、5a 的值；（2）若2(1)n nn b =+-，求证：数列{}n b 具有性质P ；（3）设212n c c c n n +++=+，数列{}n d 具有性质P ，其中1321232,1,d d d c d d c =-=+=，若310m d >，求正整数m 的取值范围．,0)(1,)+∞17．设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，如图所示：则11,()0,1B ，1(1,,0)2E ，(0,1,0)D ，1(0,,1)2F1(1,,0)2DE =-，11(1,,0)2FB =-所以1DE FB =，即1DE FB ∥且1DE FB =，故四边形1B EDF 是平行四边形又因为11(0,,1)2B E =-，所以15||||B E DE == 故平行四边形1B EDF 是菱形（2）因为11(1,1,0)(0,0,1)(1,1,1),(1,,0)2AC DE =-=--=-设异面直线1A C 与DE 所成的角的大小为θ121111(1)()10cos ||||||11(|2|A C DE A C DEθ-⨯+-⨯-+⨯===+-所以θ=，故异面直线1A C 与DE 所成的角的大小为． 18．（1）()sin cos )f x a x b x x ϕ=+=+，其中arctan baϕ=根据题设条件可得，π()4f =)2a b +=化简得2222())(a b a b +=+，所以2220a ab b -+=即2()0a b -=，故0a b -=所以11π11π11π()sin cos)0444f a b a b =+-=（2）由（1）可得，a b =，即π()(sin cos )sin()4f x a x x x =++ 故ππππ()()sin()sin()cos 4442g x f x x x x =-=-+=- 所以()cos ()g x x x =∈R对于任意的x ∈R ，()cos()cos (0)g x x x a -=-=≠ 即()()g x g x -=，所以()g x 是偶函数． 19．（1）50x v =，420v ≤≤，得25102x ≤≤300y ω=，30100ω≤≤，得310y ≤≤503001003(5)(8)1003(5)(8)P x y v ω=+-+-=+-+- 所以150300123P v ω=--（其中420,30100v ω≤≤≤≤）（2）1003(5)(8)123(3)P x y x y =+-+-=-+ 其中91425102310x y x y ≤+≤⎧⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪⎩，令目标函数3k x y =+，可行域的端点分别为5513(11,3),(4,10),(,10),(,),(6,3),222则当11,3x y ==时，max 33336k =+=所以min 1233687P =-=（元），此时505011v x ==，3001003ω== 答：当11,3x y ==时，所需要的费用最少，为87元．20．（1）||2PC =，解得1m =±，所以点(1,0)P ±由于1c ==，故Γ的焦点为()1,0±，所以P 在Γ的焦点上．（2）设(,)D x y ，则223(1)4xy =-222221()234||PD x m y x mx m =-+=-++（其中22x -≤≤）对称轴40x m =>，所以当2x =-时，||PD 取到最大值3，故2449m m ++=，即2450m m +-=，解得5m =-或1m = 因为0m >，所以1m =．（3）:0l x ky =，将直线方程与椭圆方程联立220143x ky x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去x得，22(34)30k y +--= 其中0∆>恒成立设1122(,),(,)A x y B x y，则12122334y y y y k ⎧+⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩121||2AOBS y y =-==△设231u k =+，令2423192416k t k k +=++，则211969126u t u u u u==≤++++ 当且仅当3u =时，等号成立，即k =max 112t = 故AOB △面积的最大值为6 21．（1）由1231,3a a a ===得，122a a +=，234a a += 根据题意，数列{}n a 具有性质P ，可得1{}n n a a ++为等比数列．23122a a a a +=+，所以348a a +=，4516a a +=，故45a =，511a =（2）121,5b b ==，故126b b +=1122121112(1)2(1)6222(1)2(1)32n n n n nn n n n n n nn n b b b b +++++++++++-++-===++-++-（常数）所以数列1{}n n b b ++是以6为首项，2为公比的等比数列，故数列{}n b 具有性质P （3）122,4c c ==，所以32232,4d d d d -=+=，得2323121,3,2d d d d d d +===+数列{}n d 具有性质P ，所以1{}n n d d ++成等比数列，故12nn n d d ++=于是11112222n n n n d d ++=-+，即11111()23223n n n n d d ++-=--，其中111236d -= 1111()2362n n nd -=+⨯-，即12(1)3n n n d -+-= 31102(1)3000m m m d ->⇔+->①若m 为偶数，则2log 3001m >，即12m ≥； ②若m 为奇数，则2log 2099m >，即13m ≥；综上①②可得，m 的取值范围是13m ≥且*m ∈N ．上海市普陀区2017届高三下学期质量调研（二模）数学试卷解析一、填空题1．【解析】本题考查极限的计算；由题意，得（）；故填1．2．【解析】本题考查函数的定义域；要使（）有意义，须，即，解得或，即函数（）的定义域为（）（）；故填（）（）．3．【解析】本题考查二倍角公式和同角三角函数基本关系式；因为，所以，即，即，解得或，又因为，所以；故填3．4．【解析】本题考查复数的运算；因为，所以；故填．5．【解析】本题考查同角三角函数基本关系式和参数方程；因为，则，即曲线的两个顶点为（），即两个顶点之间的距离为2；故填2．6．【解析】本题考查古典概型；由题意，得从一副张的扑克牌中随机抽取张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K的概率为；故填．7．【解析】本题考查三角函数的图象和性质；将化成，即（），因为，所以，（），即；故填．8．【解析】本题考查旋转体的体积；设圆锥的高为，底面圆的半径为，因为圆锥的母线与底面所成的角为，体积为，所以，解得；故填5．9．【解析】本题考查反函数、对数方程的解法；令，即，解得或，即或（舍）；故填．10．【解析】本题考查多面体和球的组合问题；由题意，得三棱锥是长方体的一部分（如图所示）球是该长方体的外接球，其中，，设球的半径为，则，则球O的表面积为；故填．11．【解析】本题考查三角函数的值域、二次函数的最值和不等式恒成立问题；因为不等式（）对于任意的恒成立，所以不等式（）对于任意的恒成立，令，即对于任意的恒成立，因为，所以，则，即，解得或（舍）；故填．12．【解析】本题考查平面向量的线性运算和数量积运算、余弦定理的应用；因为、分别是、的中点，且是直线上的动点，所以到直线的距离等于到直线的距离的一半，所以，则，所以，则，由余弦定理，得，显然，都为正数，所以，（），，令，则，令，则，当时，，当时，，即当时，取得最小值为；故填．A二、选择题13．【解析】本题考查动点的轨迹方程；设（）（），因为与点（）连线的中点为，所以，又因为点在抛物线上移动，所以（），即；故选B．14．【解析】本题考查充分条件和必要条件的判定；因为，所以“”不是“”成立的充分条件，若，则不存在，所以“若,，则”为真命题，即“”不是“”成立的必要条件，所以“”是“”成立的既非充分也非必要条件；故选D．15．【解析】本题考查空间中线面、面面间的位置关系的判定；若，，，则相交或平行，故A错误，若，，，则相交或平行，故B错误，若，，，则由面面垂直的判定定理得，故D错误、C正确；故选C16．【解析】本题考查二倍角公式和三角函数的性质；显然，的值域为，故排除选项A、B，因为的最小正周期为，故排除选项D；故选C．三、解答题17．【解析】本题考查利用空间向量判定平行、求异面直线所成的角；（1）设出正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量相等判定四边形的对边平行且相等，再证明邻边对应的向量模相等；（2）求出有关直线的对应方向向量，利用空间向量的夹角公式进行求解．18．【解析】本题考查配角公式、三角函数的性质；（1）先利用配角公式化简函数解析式，再利用最值得到，再代入进行求值；（2）代入化简得到函数（）的解析式，利用奇偶性的定义进行判定．19．【解析】本题考查函数模型的应用和简单的线性规划问题的应用；（1）利用题意，提取数学信息，得到有关关系式；（2）列出所需经费的关系式和有关变量的限制条件，作出对应的可行域，利用简单的线性规划问题进行求解．20．【解析】本题考查椭圆的几何性质、直线和椭圆的位置关系、基本不等式；（1）利用两点间的距离公式和椭圆的基本量间的关系进行判定；（2）利用两点间的距离公式和椭圆的范围进行求解；（3）联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和三角形的面积公式得到表达式，再利用基本不等式进行求解21．【解析】本题考查等比数列、新定义数列的性质；（1）由所给的起始项和等比数列进行求解；（2）利用数列的性质进行判定；（3）先利用数列的通项和前项和的关系得到，的值，再利用新定义数列的性质和分类讨论思想进行求解．。

2017年普陀区二模数学试卷压轴题

【17普陀】
18.如图，将△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△EBD，点E、点D分别与点A、点C对应，且点D在边AC上，边DE交边AB与点F，△BDC∽△ABC，已知BC=10，AC=5，那么△DBF 的面积为。

23.已知，如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，E是边AD上的一点，BE垂直AC，交AC与F，BE、CD的延长线交与点G，且∠ABE=∠CAD。

（1）求证：四边形ABC D是矩形；
（2）如果AE=EG，求证：AC2=BC×BG.
24.二次函数y=x2-2x+m(m>0)的对称轴与比例系为5的反比例函数图像交于点A，与x轴交于点B，抛物线图像与y轴交于点C，且OC=3OB.
（1）求点A坐标；
（2）求直线AC的表达式；
（3）点E是直线AC上的一个动点，点F在x轴上方的平面内，且使以A、B、E、F为顶点的四边形是矩形，直接写出点F坐标.
25.如图，半圆O的直径是AB=10，有一条定长为6的动弦CD在弧AB上滑动（点C、点D 分别不与A、B重合），点E、F在边AB上，EC垂直CD，FD垂直CD.
（1）求证：EO=FO；
（2）联结OC，如哦△ECO中有一个角炜450，求线段EF的长；
（3）当动弦CD在弧AB上滑动时，设CE=x，四边形CDFE的面积为S，周长为L，问：S与L是否分别随着x的变化而变化？求函数关系式和定义域。

2017年上海市普陀区高三二模数学试卷

2017年上海市普陀区⾼三⼆模数学试卷2017年上海市普陀区⾼三⼆模数学试卷⼀、填空题（共12⼩题；共60分）1. 计算：．2. 函数的定义域为．3. 若，，则．4. 若复数（表⽰虚数单位），则．5. 曲线（为参数）的两个顶点之间的距离为．6. 若从⼀副张的扑克牌中随机抽取张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是的概率为（结果⽤最简分数表⽰）．7. 若关于的⽅程在区间上有解，则实数的取值范围是．8. 若⼀个圆锥的母线与底⾯所成的⾓为，体积为，则此圆锥的⾼为．9. 若函数的反函数为．则．10. 若三棱锥的所有的顶点都在球的球⾯上．平⾯．，，，则球的表⾯积为．11. 设，若不等式对于任意的恒成⽴，则实数的取值范围是．12. 在中，，分别是，的中点，是直线上的动点，若的⾯积为，则的最⼩值为．⼆、选择题（共4⼩题；共20分）13. 动点在抛物线上移动，若点与点连线的中点为，则动点的轨迹⽅程为A. B. C. D.14. 若，则“”是“”成⽴的A. 充分⾮必要条件B. 必要⾮充分条件C. 充要条件D. 既⾮充分也⾮必要条件15. 设，是不同的直线，，是不同的平⾯，下列命题中的真命题为A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，则16. 关于函数的判断，正确的是A. 最⼩正周期为，值域为，在区间上是单调减函数B. 最⼩正周期为，值域为，在区间上是单调减函数C. 最⼩正周期为，值域为，在区间上是单调增函数D. 最⼩正周期为，值域为，在区间上是单调增函数三、解答题（共5⼩题；共65分）17. 在正⽅体中，，分别是，的中点．（1）求证：四边形是菱形；（2）求异⾯直线与所成的⾓（结果⽤反三⾓函数表⽰）．18. 已知函数（，为常数且，）．当时，取得最⼤值．（1）计算的值；（2）设，判断函数的奇偶性，并说明理由．19. 某⼈上午时乘船出发，以匀速海⾥/⼩时从港前往相距海⾥的地，然后乘汽车以匀速千⽶/⼩时⾃地前往相距千⽶的市，计划当天下午到时到达市．设乘船和汽车所要的时间分别为，⼩时，如果所需要的经费（单位：元）．（1）试⽤含有，的代数式表⽰；（2）要使得所需经费最少，求和的值，并求出此时的费⽤．20. 已知椭圆，直线经过点与相交于，两点．（1）若且，求证：必为的焦点；（2）设，若点在上，且的最⼤值为，求实数的值；（3）设为坐标原点，若，直线的⼀个法向量为，求⾯积的最⼤值．21. 已知数列，若为等⽐数列，则称具有性质．（1）若数列具有性质，且，，求，的值；（2）若，求证：数列具有性质；（3）设，数列具有性质，其中，，，若，求正整数的取值范围．答案第⼀部分1.【解析】根据题意，，即．2.【解析】由题意得：，解得：或．3.【解析】若，，则，所以．4.【解析】，所以．5.【解析】曲线（为参数），其普通⽅程为，则曲线为双曲线，且两个顶点的坐标为，则两个顶点之间的距离为．6.【解析】从⼀副张的扑克牌中随机抽取张，在放回抽取的情形下，基本事件总数为，两张牌都是包含的基本事件个数为，所以两张牌都是的概率为．7.【解析】由题意，，转化为：，设函数，，则，所以，所以函数的值域为，因为关于的⽅程在区间上有解，则函数的值域为，即．8.【解析】设圆锥的⾼为，则底⾯圆的半径为，因为体积为，所以，所以．9.【解析】由题意，，因为，所以．10.【解析】如图，三棱锥的所有顶点都在球的球⾯上，因为平⾯，，，，所以，所以，所以．所以截球所得的圆的半径为，所以球的半径为，所以球的表⾯积为．11.【解析】不等式等价于恒成⽴，整理得，设，则，设，要使不等式恒成⽴需：求得或，⽽，所以的取值范围为．12.【解析】因为，是，的中点，所以到的距离点到的距离的⼀半，所以，⽽的⾯积为，则的⾯积，所以，所以，所以，由余弦定理，，显然，，都是正数，所以，所以所以⽅法⼀：令，则，令，则，，此时函数在上单调减，在上单调增，所以当时，取得最⼩值为，所以的最⼩值是．⽅法⼆：令，则，则，，则，解得，所以的最⼩值是．第⼆部分13. B 【解析】设中点为，则在抛物线上，即，所以．14. B 【解析】若“”，则“”不成⽴，不是充分条件，⽐如，，不相等，但有，反之成⽴．15. C【解析】由，是不同的直线，，是不同的平⾯，知：在A中，若，，，则与相交或平⾏，故 A 错误；在B中，若，，，则与相交或平⾏，故 B 错误；在C中，若，，，则由⾯⾯垂直的判定定理得，故 C正确；在D中，若，，，则由⾯⾯垂直的判定定理得，故D错误．16. C 【解析】所以函数的最⼩正周期为，值域为，在区间上是单调增函数．第三部分17. （1）取中点，连接，，可得，，所以四边形为平⾏四边形，则，由为正⽅体，且，分别为，的中点，可得四边形为平⾏四边形，所以，，则，且，所以四边形为平⾏四边形，由，可得，所以四边形是菱形．（2）以为原点建⽴如图所⽰空间直⾓坐标系，设正⽅体的棱长为，则，，，，所以，，所以，所以异⾯直线与所成的⾓为． 18. （1）由已知得到，⼜当时，取得最⼤值．所以，则，．（2）为偶函数．理由：因为所以函数，所以为偶函数．19. （1）由题意得：，，，，所以，其中，，．（2）由（）可得，由于汽车、乘船所需的时间和应在⾄⼩时之间，所以因此满⾜的点的存在范围是图中阴影部分，⽬标函数，即，因为，所以当直线经过点时，最⼩，由得即，所以当，时，最⼩，此时，．20. （1）由已知得椭圆焦点为，由，解得：，所以点坐标为，所以必为的焦点．（2）设，，所以，，即函数的对称轴为，则当时，取最⼤值，则，即，解得或（舍去），所以的值为．（3）由直线的⼀个法向量为，得直线的斜率为，则直线的⽅程：，整理得：，设，，。

【精选3份合集】2017-2018学年上海市普陀区中考数学第二次阶段模拟试题

中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是( )A．121x yx y-=⎧⎨-=⎩B．121x yx y-=-⎧⎨-=-⎩C．121x yx y-=-⎧⎨-=⎩D．121x yx y-=⎧⎨-=-⎩【答案】C【解析】两条直线的交点坐标应该是联立两个一次函数解析式所组成的方程组的解．因此本题需先根据两直线经过的点的坐标，用待定系数法求出两直线的解析式．然后联立两函数的解析式可得出所求的方程组．【详解】直线l1经过（2，3）、（0，-1），易知其函数解析式为y=2x-1；直线l2经过（2，3）、（0，1），易知其函数解析式为y=x+1；因此以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是：1 21 x yx y-=-⎧⎨-=⎩．故选C．【点睛】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．2．分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（）A．15B．25C．35D．45【答案】B【解析】试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 因此，从0，﹣1，﹣2，1，3中任抽一张，那么抽到负数的概率是2 5 .故选B.考点：概率.3．甲、乙两人加工一批零件，甲完成240个零件与乙完成200个零件所用的时间相同，已知甲比乙每天多完成8个零件．设乙每天完成x个零件，依题意下面所列方程正确的是（）A．2402008x x=-B．2402008x x=+C ．2402008x x =+D ．2402008x x=- 【答案】B【解析】根据题意设出未知数，根据甲所用的时间＝乙所用的时间，用时间列出分式方程即可.【详解】设乙每天完成x 个零件，则甲每天完成(x+8)个.即得，2402008x x +＝，故选B. 【点睛】找出甲所用的时间＝乙所用的时间这个关系式是本题解题的关键.4．甲、乙两人同时分别从A ，B 两地沿同一条公路骑自行车到C 地．已知A ，C 两地间的距离为110千米，B ，C 两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C 地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（）A ．1101002x x =+B ．1101002x x =+C ．1101002x x =-D ．1101002x x =- 【答案】A【解析】设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时，则甲骑自行车的平均速度为（x+2）千米/时，根据题意可得等量关系：甲骑110千米所用时间=乙骑100千米所用时间，根据等量关系可列出方程即可．解：设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时，由题意得：1102x +=100x，故选A ．5．已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，顶点为（4，6），则下列说法错误的是（）A ．b 2＞4acB ．ax 2+bx+c≤6C ．若点（2，m ）（5，n ）在抛物线上，则m ＞nD ．8a+b=0【答案】C【解析】观察可得，抛物线与x 轴有两个交点，可得240b ac - ，即24b ac > ，选项A 正确；抛物线开口向下且顶点为（4，6）可得抛物线的最大值为6，即26ax bx c ++≤，选项B 正确；由题意可知抛物线的对称轴为x=4，因为4-2=2，5-4=1，且1<2，所以可得m<n ，选项C 错误；因对称轴42b x a=-= ，即可得8a+b=0，选项D 正确，故选C.点睛：本题主要考查了二次函数y=ax 2+bx+c 图象与系数的关系，解决本题的关键是从图象中获取信息，利用数形结合思想解决问题，本题难度适中．6．一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y （千米）与快车行驶时间t （小时）之间的函数图象是A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】分三段讨论：①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小；②相遇后向相反方向行驶至特快到达甲地，这段时间两车距迅速增加；③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大；结合图象可得C 选项符合题意．故选C ．7．关于x 的不等式21x a --的解集如图所示，则a 的取值是( )A ．0B ．3-C ．2-D ．1- 【答案】D【解析】首先根据不等式的性质，解出x≤12a -，由数轴可知，x≤-1，所以12a -=-1，解出即可；【详解】解：不等式21x a -≤-，解得x<12a -，由数轴可知1x <-，所以112a -=-，解得1a =-；故选：D ．【点睛】本题主要考查了不等式的解法和在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．8．如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC＝3，AC＝4，AD＝1．M是BD的中点，则CM的长为（）A．32B．2 C．52D．3【答案】C【解析】延长BC 到E 使BE＝AD，利用中点的性质得到CM＝12DE＝12AB，再利用勾股定理进行计算即可解答.【详解】解：延长BC 到E 使BE＝AD，∵BC//AD，∴四边形ACED是平行四边形，∴DE=AB，∵BC＝3，AD＝1，∴C是BE的中点，∵M是BD的中点，∴CM＝12DE＝12AB，∵AC⊥BC，∴AB＝22AC BC＝224+3=5，∴CM＝52，故选：C．【点睛】此题考查平行四边形的性质，勾股定理，解题关键在于作辅助线.9．如图，已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以B，C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN 交AB 于点D，连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB 的度数为（）A．90°B．95°C．105°D．110°【答案】C【解析】根据等腰三角形的性质得到∠CDA=∠A=50°，根据三角形内角和定理可得∠DCA=80°，根据题目中作图步骤可知，MN垂直平分线段BC，根据线段垂直平分线定理可知BD=CD，根据等边对等角得到∠B=∠BCD，根据三角形外角性质可知∠B+∠BCD=∠CDA，进而求得∠BCD=25°，根据图形可知∠ACB=∠ACD+∠BCD，即可解决问题.【详解】∵CD=AC，∠A=50°∴∠CDA=∠A=50°∵∠CDA+∠A+∠DCA=180°∴∠DCA=80°根据作图步骤可知，MN垂直平分线段BC∴BD=CD∴∠B=∠BCD∵∠B+∠BCD=∠CDA∴2∠BCD=50°∴∠BCD=25°∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°故选C【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、线段垂直平分线定理以及三角形外角性质，熟练掌握各个性质定理是解题关键.10．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A．360元B．720元C．1080元D．2160元【答案】C【解析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．【详解】3m×2m=6m2，∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则面积扩大为原来的9倍，∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m 2，∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080元，故选C ．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，在△PAB 中，PA ＝PB ，M 、N 、K 分别是PA ，PB ，AB 上的点，且AM ＝BK ，BN ＝AK ．若∠MKN ＝40°，则∠P 的度数为___【答案】100°【解析】由条件可证明△AMK ≌△BKN ，再结合外角的性质可求得∠A ＝∠MKN ，再利用三角形内角和可求得∠P ．【详解】解：∵PA ＝PB ，∴∠A ＝∠B ，在△AMK 和△BKN 中，AM BK A B AK BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AMK ≌△BKN （SAS ），∴∠AMK ＝∠BKN ，∵∠A+∠AMK ＝∠MKN+∠BKN ，∴∠A ＝∠MKN ＝40°，∴∠P ＝180°﹣∠A ﹣∠B ＝180°﹣40°﹣40°＝100°，故答案为100°【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理，利用条件证得△AMK ≌△BKN 是解题的关键．12．如图，在边长为1正方形ABCD 中，点P 是边AD 上的动点，将△PAB 沿直线BP 翻折，点A 的对应点为点Q ，连接BQ 、DQ ．则当BQ+DQ 的值最小时，tan ∠ABP ＝_____．【答案】2﹣1【解析】连接DB，若Q点落在BD上，此时和最短，且为2，设AP＝x，则PD＝1﹣x，PQ＝x．解直角三角形得到AP＝2﹣1，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】如图：连接DB，若Q点落在BD2，设AP＝x，则PD＝1﹣x，PQ＝x．∵∠PDQ＝45°，∴PD2PQ，即1﹣x＝2，∴x2﹣1，∴AP21，∴tan∠ABP＝AP＝2﹣1，AB2﹣1．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，正确的理解题意是解题的关键．13．若a2+3＝2b，则a3﹣2ab+3a＝_____．【答案】1【解析】利用提公因式法将多项式分解为a(a2+3)-2ab，将a2+3=2b代入可求出其值．【详解】解：∵a2+3=2b，∴a3-2ab+3a=a(a2+3)-2ab=2ab-2ab=1，故答案为1．【点睛】本题考查了因式分解的应用，利用提公因式法将多项式分解是本题的关键．14．为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼_____条．【答案】20000【解析】试题分析：1000÷10200=20000（条）．考点：用样本估计总体．15．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，已知AD ＝2，DB ＝4，DE ＝1，则BC ＝_____．【答案】1【解析】先由DE ∥BC ，可证得△ADE ∽△ABC ，进而可根据相似三角形得到的比例线段求得BC 的长．【详解】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE ：BC ＝AD ：AB ，∵AD ＝2，DB ＝4，∴AB ＝AD+BD ＝6，∴1：BC ＝2：6，∴BC ＝1，故答案为：1．【点睛】考查了相似三角形的性质和判定，关键是求出相似后得出比例式，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．16．关于x 的一元二次方程2210ax x -+=有实数根，则a 的取值范围是 __________.【答案】a≤1且a≠0【解析】∵关于x 的一元二次方程2210ax x -+=有实数根，∴()20240a a ≠⎧⎪⎨=--≥⎪⎩ ，解得：a 1≤，∴a 的取值范围为：a 1≤且0a ≠ .点睛：解本题时，需注意两点：（1）这是一道关于“x”的一元二次方程，因此0a ≠ ；（2）这道一元二次方程有实数根，因此()2240a =--≥ ；这个条件缺一不可，尤其是第一个条件解题时很容易忽略.17．把小圆形场地的半径增加5米得到大圆形场地，此时大圆形场地的面积是小圆形场地的4倍，设小圆形场地的半径为x 米，若要求出未知数x ，则应列出方程（列出方程，不要求解方程）．【答案】π（x+5）1=4πx 1．【解析】根据等量关系“大圆的面积=4×小圆的面积”可以列出方程．【详解】解：设小圆的半径为x 米，则大圆的半径为（x+5）米，根据题意得：π（x+5）1=4πx 1，故答案为π（x+5）1=4πx 1.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，本题等量关系比较明显，容易列出． 18．若关于x 的分式方程2233x m x x -=--有增根，则m 的值为_____．【答案】【解析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x-3=0，所以增根是x=3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m 的值．【详解】方程两边都乘x-3，得x-2（x-3）=m 2，∵原方程增根为x=3，∴把x=3代入整式方程，得【点睛】解决增根问题的步骤：①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．三、解答题（本题包括8个小题）19．为更精准地关爱留守学生，某学校将留守学生的各种情形分成四种类型：A ．由父母一方照看；B ．由爷爷奶奶照看；C ．由叔姨等近亲照看；D ．直接寄宿学校．某数学小组随机调查了一个班级，发现该班留守学生数量占全班总人数的20%，并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图．该班共有名留守学生，B 类型留守学生所在扇形的圆心角的度数为；将条形统计图补充完整；已知该校共有2400名学生，现学校打算对D 类型的留守学生进行手拉手关爱活动，请你估计该校将有多少名留守学生在此关爱活动中受益？【答案】（1）10，144；（2）详见解析；（3）96【解析】（1）依据C 类型的人数以及百分比，即可得到该班留守的学生数量，依据B 类型留守学生所占的百分比，即可得到其所在扇形的圆心角的度数；（2）依据D 类型留守学生的数量，即可将条形统计图补充完整；（3）依据D 类型的留守学生所占的百分比，即可估计该校将有多少名留守学生在此关爱活动中受益．【详解】解：（1）2÷20%＝10（人），410×100%×360°＝144°，故答案为10，144；（2）10﹣2﹣4﹣2＝2（人），如图所示：（3）2400×210×20%＝96（人），答：估计该校将有96名留守学生在此关爱活动中受益．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．20．观察规律并填空.21133(1)2224-=⨯=221113242(1)(1)2322333--=⨯⨯⨯=2221111324355(1)(1)(1)2342233448---=⨯⨯⨯⨯⨯=⋯⋯ 2222211111(1)(1)(1)(1)(1)2345n -----=______（用含n 的代数式表示，n 是正整数，且 n ≥ 2）【答案】12n n + 【解析】由前面算式可以看出：算式的左边利用平方差公式因式分解，中间的数字互为倒数，乘积为1，只剩下两端的（1﹣12）和（1+1n ）相乘得出结果．【详解】2222211111111112345n -----（）（）（）（）（） =1111111111111111223344n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯⨯-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =132431...22334n n+⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =12n n+．故答案为：12n n+．【点睛】本题考查了算式的运算规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，解决问题．21．某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x/(元/千克)50 60 70 销售量y/千克 100 80 60(1)求y 与x 之间的函数表达式；设商品每天的总利润为W(元)，求W 与x 之间的函数表达式(利润＝收入－成本)；试说明(2)中总利润W 随售价x 的变化而变化的情况，并指出售价为多少时获得最大利润，最大利润是多少？【答案】 (1)y ＝－2x ＋200(4080)x ≤≤ (2)W ＝－2x 2＋280x －8 000(3)售价为70元时，获得最大利润，这时最大利润为1 800元．【解析】（1）用待定系数法求一次函数的表达式；（2）利用利润的定义，求与之间的函数表达式；（3）利用二次函数的性质求极值.【详解】解：(1)设y kx b =+，由题意，得501006080k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得2200k b =-⎧⎨=⎩，∴所求函数表达式为2200y x =-+.(2)2(40)(2200)22808000W x x x x =--+=-+-.(3)22228080002(70)1800W x x x =-+-=--+，其中4080x ≤≤，∵20-<，∴当时，随的增大而增大，当7080x <≤时，随的增大而减小，当售价为70元时，获得最大利润，这时最大利润为1800元.考点：二次函数的实际应用.22．一件上衣，每件原价500元，第一次降价后，销售甚慢，于是再次进行大幅降价，第二次降价的百分率是第一次降价的百分率的2倍，结果这批上衣以每件240元的价格迅速售出，求两次降价的百分率各是多少．【答案】40%【解析】先设第次降价的百分率是x ，则第一次降价后的价格为500（1-x ）元，第二次降价后的价格为500（1-2x ），根据两次降价后的价格是240元建立方程，求出其解即可.【详解】第一次降价的百分率为x ，则第二次降价的百分率为2x ，根据题意得：500（1﹣x ）（1﹣2x ）＝240，解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝1.3＝130%．则第一次降价的百分率为20%，第二次降价的百分率为40%．【点睛】本题考查了一元二次方程解实际问题，读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，求出符合题的解即可．23．先化简代数式：222111a a a a a +⎛⎫-÷⎪---⎝⎭，再代入一个你喜欢的数求值. 【答案】13【解析】先根据分式的运算法则进行化简，再代入使分式有意义的值计算. 【详解】解：原式2211(1)(1)a a a a a a ⎡⎤+-=-⋅⎢⎥-+-⎣⎦ 2(1)21(1)(1)a a a a a a+---=⋅+- 11a =+. 使原分式有意义的a 值可取2，当2a =时，原式11213==+. 【点睛】考核知识点：分式的化简求值.掌握分式的运算法则是关键.24．已知关于x 的方程()22210x k x k --+=有两个实数根12,x x .求k 的取值范围；若12121x x x x +=-，求k 的值；【答案】（1）12k≤；（2）k＝－3【解析】（1）依题意得△≥0，即[－2(k－1)]2－4k2≥0；（2）依题意x1＋x2＝2(k－1)，x1·x2＝k2以下分两种情况讨论：①当x1＋x2≥0时，则有x1＋x2＝x1·x2－1，即2(k－1)＝k2－1；②当x1＋x2＜0时，则有x1＋x2＝－(x1·x2－1)，即2(k－1)＝－(k2－1)；【详解】解：（1）依题意得△≥0，即[－2(k－1)]2－4k2≥0解得12 k≤（2）依题意x1＋x2＝2(k－1)，x1·x2＝k2以下分两种情况讨论：①当x1＋x2≥0时，则有x1＋x2＝x1·x2－1，即2(k－1)＝k2－1解得k1＝k2＝1∵12k≤∴k1＝k2＝1不合题意，舍去②当x1＋x2＜0时，则有x1＋x2＝－(x1·x2－1)，即2(k－1)＝－(k2－1)解得k1＝1，k2＝－3∵12k≤∴k＝－3综合①、②可知k＝－3【点睛】一元二次方程根与系数关系，根判别式.25．今年3月12日植树节期间，学校预购进A，B两种树苗．若购进A种树苗3棵，B种树苗5棵，需2100元；若购进A种树苗4棵，B种树苗10棵，需3800元．求购进A，B两种树苗的单价；若该学校准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵，求A种树苗至少需购进多少棵．【答案】（1）A种树苗的单价为200元，B种树苗的单价为300元；（2）10棵【解析】试题分析：（1）设B种树苗的单价为x元，则A种树苗的单价为y元．则由等量关系列出方程组解答即可；（2）设购买A种树苗a棵，则B种树苗为（30﹣a）棵，然后根据总费用和两种树苗的棵数关系列出不等式解答即可．试题解析：（1）设B种树苗的单价为x元，则A种树苗的单价为y元，可得：352100{4103800y xy x+=+=，解得：300200 xy=⎧⎨=⎩，答：A种树苗的单价为200元，B种树苗的单价为300元.（2）设购买A种树苗a棵，则B种树苗为（30﹣a）棵，可得：200a+300（30﹣a）≤8000，解得：a≥10，答：A种树苗至少需购进10棵．考点：1．一元一次不等式的应用；2．二元一次方程组的应用26．某学校2017年在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元；求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；2018年这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%．如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2910元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？【答案】（1）购买一个甲种足球需要50元，购买一个乙种篮球需要1元（2）这所学校最多可购买2个乙种足球【解析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得这所学校最多可购买多少个乙种足球．【详解】（1）设购买一个甲种足球需要x元，则购买一个乙种篮球需要（x+2）元，根据题意得：20001400220x x=⨯+，解得：x＝50，经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，∴x+2＝1．答：购买一个甲种足球需要50元，购买一个乙种篮球需要1元．（2）设可购买m个乙种足球，则购买（50﹣m）个甲种足球，根据题意得：50×（1+10%）（50﹣m）+1×（1﹣10%）m≤2910，解得：m≤2．答：这所学校最多可购买2个乙种足球．【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解答此类问题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一元一次不等式，注意分式方程要检验，问题（2）要与实际相联系．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列计算正确的是（）A ．（a+2）（a ﹣2）＝a 2﹣2B ．（a+1）（a ﹣2）＝a 2+a ﹣2C ．（a+b ）2＝a 2+b 2D ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab+b 2【答案】D【解析】A 、原式=a 2﹣4，不符合题意；B 、原式=a 2﹣a ﹣2，不符合题意；C 、原式=a 2+b 2+2ab ，不符合题意；D 、原式=a 2﹣2ab+b 2，符合题意，故选D2．把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由（1）得x ＞-1，由（2）得x≤1，所以-1＜x≤1．故选B ．3．如图，已知BD 是ABC △的角平分线，ED 是BC 的垂直平分线，90BAC ∠=︒，3AD =，则CE 的长为（）A ．6B ．5C ．4D ．33【答案】D 【解析】根据ED 是BC 的垂直平分线、BD 是角平分线以及∠A=90°可求得∠C=∠DBC=∠ABD=30°，从而可得CD=BD=2AD=6，然后利用三角函数的知识进行解答即可得.【详解】∵ED 是BC 的垂直平分线，∴DB=DC ，∴∠C=∠DBC ，∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠ABD=∠DBC ，∵∠A=90°，∴∠C+∠ABD+∠DBC=90°，∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，∴BD=2AD=6，∴CD=6，∴，故选D ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，余弦等，结合图形熟练应用相关的性质及定理是解题的关键.4．据中国电子商务研究中心() 发布2017《年度中国共享经济发展报告》显示，截止2017年12月，共有190家共享经济平台获得1159.56亿元投资，数据1159.56亿元用科学记数法可表示为( )A ．81159.5610⨯元B ．1011.595610⨯元C ．111.1595610⨯元D ．81.1595610⨯元【答案】C【解析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．【详解】1159.56亿=115956000000，所以1159.56亿用科学记数法表示为1.15956×1011，故选C ．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．5．下列二次根式，最简二次根式是( )AB C D 【答案】C【解析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【详解】A 、被开方数含开的尽的因数，故A 不符合题意；B 、被开方数含分母，故B 不符合题意；C 、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故C 符合题意；D 、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D 不符合题意.故选C ．本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．6．如图，小明为了测量河宽AB，先在BA延长线上取一点D，再在同岸取一点C，测得∠CAD=60°，∠BCA=30°，AC=15 m，那么河AB宽为（）A．15 m B．53m C．103m D．123m【答案】A【解析】过C作CE⊥AB，Rt△ACE中，∵∠CAD=60°，AC=15m，∴∠ACE=30°，AE=12AC=12×15=7.5m，CE=AC•cos30°=15×32=1532，∵∠BAC=30°，∠ACE=30°，∴∠BCE=60°，∴BE=CE•tan60°=1532×3=22.5m，∴AB=BE﹣AE=22.5﹣7.5=15m，故选A．【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键是构建直角三角形，解直角三角形求出答案．7．如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为A．6cm B．35cm C．8cm D．53【解析】试题分析：∵从半径为9cm 的圆形纸片上剪去13圆周的一个扇形， ∴留下的扇形的弧长=()2293π⨯=12π，根据底面圆的周长等于扇形弧长，∴圆锥的底面半径r=122ππ=6cm ， ∴圆锥的高为2296-=35cm故选B.考点: 圆锥的计算．8．甲、乙两船从相距300km 的A 、B 两地同时出发相向而行，甲船从A 地顺流航行180km 时与从B 地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h ，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h ，则求两船在静水中的速度可列方程为（）A ．1806x +=1206x - B ．1806x -=1206x + C ．1806x +=120x D ．180x =1206x - 【答案】A 【解析】分析：直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．详解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h ，则求两船在静水中的速度可列方程为：1806x +=1206x -．故选A ．点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．9．如图，反比例函数y ＝－的图象与直线y ＝－x 的交点为A 、B ，过点A 作y 轴的平行线与过点B 作的x 轴的平行线相交于点C ，则△ABC 的面积为( )A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】A【解析】试题解析：由于点A 、B 在反比例函数图象上关于原点对称，则△ABC 的面积=2|k|=2×4=1．故选A ．考点：反比例函数系数k 的几何意义．10．函数y=ax2+1与ayx=（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：分a＞0和a＜0两种情况讨论：当a＞0时，y=ax2+1开口向上，顶点坐标为（0，1）；ayx=位于第一、三象限，没有选项图象符合；当a＜0时，y=ax2+1开口向下，顶点坐标为（0，1）；ayx=位于第二、四象限，B选项图象符合．故选B．考点：1.二次函数和反比例函数的图象和性质；2.分类思想的应用．二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为【答案】24m+【解析】因为大正方形边长为4m+，小正方形边长为m，所以剩余的两个直角梯形的上底为m，下底为4m+，所以矩形的另一边为梯形上、下底的和：4m++m=24m+.12．图①是一个三角形，分别连接这个三角形的中点得到图②；再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③．按上面的方法继续下去，第n个图形中有_____个三角形（用含字母n的代数式表示）．【答案】4n﹣1【解析】分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数，可以发现：第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3.如图③中三角形的个数为943 3.=⨯-按照这个规律即可求出第n各图形中有多少三角形．【详解】分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数，图①中三角形的个数为1413=⨯-；。

上海市普陀区中考数学第二次模拟试题

上海市普陀区中考数学第二次模拟试题考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：〔本大题共6题，每题4分，总分值24分〕[以下各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1. 以下计算中，错误的选项是 ······················· 〔▲〕〔A 〕120180=；〔B 〕422=-；〔C 〕2421=；〔D 〕3131=-．2.以下二次根式中，最简二次根式是 ···················· 〔▲〕〔A 〕a 9；〔B 〕35a ；〔C 〕22b a +；〔D 〕21+a ． 3.如果关于x 的方程022=++c x x 没有实数根，那么c 在2、1、0、3-中取值是 · 〔▲〕〔A 〕2；〔B 〕；〔C 〕0；〔D 〕3-．4.如图1，直线CD AB //，点E 、F 分别在AB 、CD 上，CFE ∠:EFB ∠3=:4，如果40B ∠=，那么BEF ∠＝ ······························ 〔▲〕〔A 〕20；〔B 〕40；〔C 〕60；〔D 〕80．5. 自1993年起，联合国将每年的3月22日定为“世界水日〞，宗旨是唤起公众的节水意识，加强水资源保护．某校在开展“节约每一滴水〞的活动中，从初三年级随机选出20名学生统计出各自家庭一个月的节约用水量，有关数据整理如下表．节约用水量〔单位：吨〕 1 2 家庭数46532ABCDF E图1这组数据的中位数和众数分别是······················〔▲〕〔A 〕，；〔B 〕，；〔C 〕，；〔D 〕，．6. 如图2，两个全等的直角三角形纸片的直角边分别为a 、b )(b a ≠，将这两个三角形的一组等边重合，拼合成一个无重叠的几何图形，其中轴对称图形有 ··········· 〔▲〕〔A 〕3个；〔B 〕4个；〔C 〕5个；〔D 〕6个．二、填空题：〔本大题共12题，每题4分，总分值48分〕 7.计算：xy x 3122⋅＝ ▲ ． 8.方程32x x =+的根是 ▲ ．9.大型纪录片?厉害了，我的国?上映25天，累计票房约为402700000元，成为中国纪录电影票房冠军．402700000用科学记数法表示是 ▲ ．10.用换元法解方程312122=+-+x x x x 时，如果设y xx =+21，那么原方程化成以y 为“元〞的方程是 ▲ ．11.正比例函数的图像经过点M (2-)、),(11y x A 、),(22y x B ，如果21x x <，那么1y ▲ 2y ．〔填“＞〞、“＝〞、“＜〞〕12.二次函数的图像开口向上，且经过原点，试写出一个符合上述条件的二次函数的解析式： ▲ ．〔只需写出一个〕13.如果一个多边形的内角和是720，那么这个多边形的边有 ▲ 条．14.如果将“概率〞的英文单词 probability 中的11个字母分别写在11张一样的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母b 的概率是 ▲ ．15.xx 年春节期间，反季游成为出境游的热门，中国游客青睐的目的地仍主要集中在温暖的东南亚地区．据调查发现xx 年春节期间出境游约有700万人，游客目的地分布情况的扇形图如图3所示，从中可知出境游东南亚地区的游客约有 ▲ 万人．16. 如图4，在梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC 3=，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点．设a AD =，b DC =，那么向量EC 用向量a 、b 表示是 ▲ ．图2A东南亚欧美澳新16%港澳台 15%韩日11%其他13%图317. 如图5，矩形ABCD 中，如果以AB 为直径的⊙O 沿着BC 滚动一周，点B 恰好与点C 重合，那么y xO ABC图6ABBC的值等于 ▲ ．〔结果保存两位小数〕18. 如图6，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A 、C 在坐标轴上，点B 的坐标是(22)．将△ABC 沿x 轴向左平移得到△111A B C ，点1B 落在函数6y x=-的图像上．如果此时四边形11AA C C 的面积等于552，那么点1C 的坐标是 ▲ ．三、解答题：〔本大题共7题，总分值78分〕19．〔此题总分值10分〕先化简，再求值：42442222---++÷+x x x x x x x ，其中22x =-.20．〔此题总分值10分〕求不等式组()7153,31>34x x x x ⎧++⎪⎨--⎪⎩≥的整数解.21．〔此题总分值10分〕如图7，在Rt △ABC 中，90C ∠=，点D 在边BC 上，DE ⊥AB ，点E 为垂足，7AB =，45DAB ∠=，3tan 4B =. （1）求DE 的长；（2）求CDA ∠的余弦值．22．〔此题总分值10分〕小张同学尝试运用课堂上学到的方法，自主研究函数21y x =的图像与性质.下面是小张同学在研究过程中遇到的几个问题，现由你来完成：ABCDE 图7ABCDE F图4BC DO A 图5〔1〕函数21y x =的定义域是 ▲ ；〔2〕下表列出了y 与x 的几组对应值：x … 2-32- m34- 12- 12341 32 2… y…14491694416914914…表中m 的值是 ▲ ；〔3〕如图8，在平面直角坐标系xOy 中，描出以表中各组对应值为坐标的点，试由描出的点画出该函数的图像；〔4〕结合函数21y x =的图像，写出这个函数的性质： ▲ .〔只需写一个〕23．〔此题总分值12分〕：如图9，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ∥AB ，DE 与对角线AC 交于点F ，FG ∥AD ，且FG EF =.〔1〕求证：四边形ABED 是菱形；〔2〕联结AE ，又知AC ⊥ED ，求证：212AE EF ED =.24．〔此题总分值12分〕如图10，在平面直角坐标系xOy 中，直线3y kx =+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，并与图8ABC DE F G图9抛物线21742y x bx =-++的对称轴交于点()2,2C ，抛物线的顶点是点D ．〔1〕求k 和b 的值；〔2〕点G 是y 轴上一点，且以点B 、C 、G 为顶点的三角形与△BCD 相似，求点G 的坐标；〔3〕在抛物线上是否存在点E ：它关于直线AB 的对称点F 恰好在y 轴上．如果存在，直接写出点E 的坐标，如果不存在，试说明理由．25．〔此题总分值14分〕P 是O ⊙的直径BA 延长线上的一个动点，P ∠的另一边交O ⊙于点C 、D ，两点位于AB 的上方，AB ＝6，OP m ＝，1sin 3P ＝，如图11所示．另一个半径为6的1O ⊙经过点C 、D ，圆心距1OO n ＝．〔1〕当6m ＝时，求线段CD 的长；〔2〕设圆心1O 在直线AB 上方，试用n 的代数式表示m ；〔3〕△1POO 在点P 的运动过程中，是否能成为以1OO 为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n 的值；如果不能，请说明理由．参考答案及评分说明一、选择题：〔本大题共6题，每题4分，总分值24分〕图10xy1 1OOAB备用图PDOABC 图111．(B)； 2．(C)； 3．(A)； 4．(C)； 5．(D)； 6．(B). 二、填空题：〔本大题共12题，每题4分，总分值48分〕三、解答题〔本大题共7题，其中第19---22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，总分值78分〕19．解：原式()()22+22(2)22x x x x x x x -=-+-+ ··············· 〔3分〕122x x x =-++······················ 〔2分〕 12x x -=+.························· 〔1分〕当2x =-时，原式=················· 〔1分〕··················· 〔1分〕=·················· 〔2分〕 20．解：由①得，2x ≥-. ························ 〔3分〕由②得，x ＜3. ························ 〔3分〕 ∴原不等式组的解集是2<3x -≤． ··············· 〔2分〕所以，原不等式组的整数解是2-、1-、0、、2． ········· 〔2分〕21．解：〔1〕∵DE ⊥AB ，∴︒=∠90DEA又∵45DAB ∠=，∴AE DE =． ················· 〔1分〕7.323x y ； 8. 3x =；9. 810027.4⨯ ； 10. 32=-yy ； 11．>；12. 2y x =等；13．6； 14．112； 15．315； 16．b a212+； 17．；18．(5-211)．在Rt △DEB 中，︒=∠90DEB ，43tan =B ，∴43=BE DE ． ······· 〔1分〕设x DE 3=，那么x AE 3=，x BE 4=．∵7AB =，∴743=+x x ，解得1=x ． ·············· 〔2分〕 ∴3=DE ． ·························· 〔1分〕（2）在Rt △ADE 中，由勾股定理，得23=AD ． ··········· 〔1分〕同理得5=BD ． ························ 〔1分〕在Rt △ABC 中，由43tan =B ，可得54cos =B ．∴528=BC ． ···· 〔1分〕 ∴53=CD ． ·························· 〔1分〕∴102cos ==∠AD CD CDA ． ··················· 〔1分〕即CDA ∠ 22．解：〔1〕0x ≠的实数； ·························· 〔2分〕〔2〕1-； ······························ 〔2分〕〔3〕图(略)； ····························· 〔4分〕〔4〕图像关于y 轴对称；图像在x 轴的上方；在对称轴的左侧函数值y 随着x 的增大而增大，在对称轴的右侧函数值y 随着x 的增大而减小；函数图像无限接近于两坐标轴，但永远不会和坐标轴相交等． ····· 〔2分〕 23．证明：〔1〕∵ AD ∥BC ，DE ∥AB ，∴四边形ABED 是平行四边形． ······ 〔2分〕∵FG ∥AD ，∴FG CFAD CA=． ···················· 〔1分〕同理EF CFAB CA = ． ························ 〔1分〕得FG AD ＝EF AB∵FG EF =，∴AD AB =． ···················· 〔1分〕 ∴四边形ABED 是菱形． ····················· 〔1分〕〔2〕联结BD ，与AE 交于点H ．∵四边形ABED 是菱形，∴12EH AE =，BD ⊥AE ． ········ 〔2分〕得90DHE ∠= ．同理90AFE ∠=．∴DHE AFE ∠∠＝． ······················· 〔1分〕又∵AED ∠是公共角，∴△DHE ∽△AFE ． ············ 〔1分〕∴EH DEEF AE =． ························· 〔1分〕 ∴212AE EF ED =．······················· 〔1分〕 24．解：〔1〕由直线3y kx =+经过点()2,2C ，可得12k =-. ············ 〔1分〕由抛物线21742y x bx =-++的对称轴是直线2x =，可得1b =. ····· 〔1分〕（2） ∵直线132y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，∴点A 的坐标是()6,0，点B 的坐标是()0,3. ············ 〔2分〕 ∵抛物线的顶点是点D ，∴点D 的坐标是92,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. ··········· 〔1分〕 ∵点G 是y 轴上一点，∴设点G 的坐标是()0,m .∵△BCG 与△BCD 相似，又由题意知，GBC BCD ∠=∠，∴△BCG 与△BCD 相似有两种可能情况： ············· 〔1分〕 ①如果BG BC CB CD ＝，解得1m ＝，∴点G 的坐标是()0,1.〔1分〕②如果BG BC CD CB ＝，那么352m -＝，解得12m ＝，∴点G 的坐标是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 〔1分〕综上所述，符合要求的点G 有两个，其坐标分别是()0,1和10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．〔3〕点E 的坐标是91,4⎛⎫- ⎪⎝⎭或92,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. ················· 〔2分+2分〕 25．解：〔1〕过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，联结OC ．在Rt △POH 中，∵1sin 3P ＝，6PO =，∴2OH =． ········· 〔1分〕 ∵AB ＝6，∴3OC ＝． ······················ 〔1分〕由勾股定理得 CH = ····················· 〔1分〕∵OH ⊥DC ，∴2CD CH ==． ··············· 〔1分〕〔2〕在Rt △POH 中，∵1sin 3P ＝， PO m ＝，∴3mOH ＝． ········ 〔1分〕在Rt △OCH 中，2293m CH ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝． ················ 〔1分〕在Rt △1O CH 中，22363m CH n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝． ·············· 〔1分〕可得 2236933m m n ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝，解得23812n m n -＝． ········· 〔2分〕〔3〕△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况：● 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时①1OP OO ＝，即m n ＝，由23812n n n-＝解得9n ＝． ········· 〔1分〕即圆心距等于O ⊙、1O ⊙的半径的和，就有O ⊙、1O ⊙外切不合题意舍去．〔1分〕②11O P OO ＝n ＝，解得23m n ＝，即23n 23812n n-＝，解得n ········· 〔1分〕 ● 当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时,同理可得 28132n m n-＝．∵1POO ∠是钝角，∴只能是m n =，即28132n n n-＝，解得n ． ·· 〔2分〕综上所述，n ．如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

2017普陀二模数学评分标准

普陀区2016学年度第二学期九年级数学期终考试试卷参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．(D)； 2．(C)； 3．(A) ； 4．(C) ； 5．(B)； 6．(B).二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）三、解答题（本大题共7题，其中第19---22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19．解：原式=233)32()1(8⨯-++-+ ··················································· （8分） =239-. ··········································································· （2分） 20．解：方程②可变形为9)2(2=+y x . ······················································· （2分）得：32=+y x 或32-=+y x ， ····················································· （2分）原方程组可化为⎩⎨⎧=+-=-；32,23y x y x ⎩⎨⎧-=+-=-.32,23y x y x ····································· （2分）解得 ⎩⎨⎧==；1,111y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.51,51322y x ····························································· （4分） ∴原方程组的解是⎩⎨⎧==；1,111y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.51,51322y x 21．解：（1）∵反比例函数8y x=的图像经过)4,(m A∴84m=，解得2=m ． ∴点A 的坐标为)4,2(． ·························································· （2分）设正比例函数的解析式为)0(≠=k kx y ，∵正比例函数的图像经过点A ，∴可得 k 24=，解得 2=k ．∴正比例函数的解析式是x y 2=． ············································ （2分）（2）∵正比例函数向下平移6个单位得到直线l ，∴直线l 的表达式为62-=x y ． ·············································· （2分） ∵直线l 与x 轴的交点为B ，∴点B 的坐标是()3,0． ··················· （1分）∴AB = ····································································· （1分）∴sinABO ∠==． ················································ （2分）即：ABO ∠的正弦值等于17．22．解：设早晚高峰时段71路在专用车道内行驶的平均车速x 千米/时． ············· （1分）根据题意，可列方程17.517.522.5660x x -=- ． ······································· （4分）整理得 262800x x --=． ··························································· （1分）解得 120x =，214x =-． ··························································· （2分）经检验 120x =，214x =-都是原方程的解．因为速度不能负数，所以取20x =． ················································ （1分）答：71路在专用车道内行驶的平均车速20千米/时． ··························· （1分）23．证明：（1）∵BE ⊥AC ，∴90AFB ∠= ． ··········································· （1分） ∴90ABE BAF ∠+∠=． ················································· （2分）∵ABE CAD ∠=∠，∴90CAD BAF ∠+∠= ． ··················· （1分）即 90BAD ∠= ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形． ········· （1分）（2）联结AG ．∵AE EG =，∴EAG EGA ∠=∠． ······································· （1分）∵四边形ABCD 是平行四边形，，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ．∵AB ∥CD ，∴ABG BGC ∠=∠．∴CAD BGC ∠=∠． ······ （1分） ∴AGC GAC ∠=∠．∴CA CG =． ······································· （1分） ∵AD ∥BC ，∴CAD ACB ∠=∠．∴ACB BGC ∠=∠． ······ （1分） ∵四边形ABCD 是矩形，∴90BCG ∠= ． ····························· （1分） ∴BCG ABC ∠=∠，∴△BCG ∽△ABC ． ···························· （1分） ∴AC BC BG CG =．∴2AC BC BG = ． ········································ （1分）24．（1）解：由题意得，二次函数图像的对称轴是直线1x =， ························ （1分）反比例函数解析式是5y x =． ·················································· （1分）把1x =代入5y x=，得5y =． ∴点A 的坐标为()1,5． ························································· （1分）（2）由题意得，点B 的坐标为()1,0． ················································· （1分） ∵3OC OB =，∴3OC =． ······················································· （1分） ∵m ＞0，∴3m =．设直线AC 的表达式是3y kx =+，∵点A 在直线AC 上，∴2k =．∴直线AC 的表达式是23y x =+． ····· （1分）（3）点F 坐标是95,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1，()3,2-． ······························· （6分） 25．解：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ． ··································· （1分） ∵OH ⊥CD ，OH 是弦心距，∴CH DH =． ··························· （1分）∵EC ⊥CD ，FD ⊥CD ，OH ⊥CD ，∴EC ∥OH ∥FD ． ····· （1分） ∵CH DH =，∴EO OF =． ················································· （1分）（2）∵ECO COH ∠=∠，∴45ECO ∠≠ ． ··································· （1分） ①当45EOC ∠= 时，过点E 作EM ⊥OC ，垂足为点M ．在Rt △OCH 中，OC ＝5，132CH CD ==，由勾股定理，得OH ＝4． ···················································· （1分）∴::3:4:5CH OH CO =．∵ECM COH ∠=∠，90CME OHC ∠=∠= ，∴△ECM ∽△COH ．在Rt △ECM 中，可设4CM m =， 3EM m =．在Rt △EOM 中，3OM CM m ==，EO = ．∵ CM OM OC +=， ∴435m m +=．解得 57m =．所以EO =， 2EF EO =． ·········· （2分） ②当45CEO ∠= 时，过点O 作ON ⊥EC ，垂足为点N ．在Rt △CON 中，3ON HC ==，4CN HO ==．在Rt △EON 中，EO =所以EF =． ····························································· （2分）综上所述，线段EF ．（3）四边形CDFE 的面积S 不随变量x 的变化而变化，是一个不变量；四边形CDFE 的周长l 随变量x 的变化而变化． ····················· （1分） S ＝24(0＜x ＜8)； ····························································· （1分） (是一个常值函数)l ＝14(0＜x ＜8)． ······································· （1分）说明：定义域2个1分，漏写、写错1个或全错，均扣1分．。

【上海市普陀区】2017届高三下学期质量调研(二模)数学试卷-答案

1) ，其中 d1
3
2
1 1 36
dn 2n

1 3

1 6

(
1 2
)n1
，即
dn

2n
(1)n1 3
dm 103 2m (1)m1 3 000
①若 m 为偶数，则 m log23 001，即 m 12 ；
②若 m 为奇数，则 m log2 2 099 ，即 m 13 ；综上①②可得， m 的取值范围是 m 13 且 m N* ．
P 100 3(5 x) (8 y) 100 3(5 50) (8 300)
v

所以 P 123 150 300 （其中 4 v 20,30 100 ） v
（2） P 100 3(5 x) (8 y) 123 (3x y)
则
B1
(1,
0,1)
，
E
(1,
1 2
,
0)
，
D(0,1,
0)
，
F
(0,
1 2
,1)
DE

(1,
1 2
, 0)
，
FB1

(1,
1 2
, 0)
所以 DE FB1 ，即 DE∥FB1 且 DE FB1 ，故四边形 B1EDF 是平行四边形
又因为
B1E

(0,
1 2
,
1)
，所以
|
B1E
||
1 ��3
=
1
+
0
+
0 + 0 = 1；故填 1．

2017年上海市普陀区中考数学二模试卷

2018年上海市普陀区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共 6题，每题 4分，满分 24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1．下列计算正确的是（）A ．aB ．a ÷a =aC ．3a +3b=3abD ．（a =a 3 2 6 2．如果下列二次根式中有一个与） 2 •a 3 =a 6 3 3 是同类二次根式，那么这个根式是（） A ． a B ． C ． D ．3．在学校举办的“中华诗词大赛”中，有 11名选手进入决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中一名参赛选手想知道自己是否能进入前 6名，他需要了解这 11名学生成绩的（）A ．中位数B ．平均数C ．众数 4．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边 AB 、AC 上，如果∠A=50°，那么∠1+ ∠2的大小为（ D ．方差）A ．130°B ．180°C ．230°D ．260°5．如图，在△ABC 中，中线 AD 、CE 交于点 O ，设 =， =，那么向量用向量、表示为（）A ．+B ． +C ． +D ． +6．在△ABC 中，AB=AC=6，cos ∠B=，以点 B 为圆心，AB 为半径作圆 B ，以点 C 为圆心，半径长为 13作圆 C ，圆 B 与圆 C 的位置关系是（ A ．外切 B ．相交 C ．内切 D ．内含）二、填空题：（本大题共 12题，每题 4分，满分 48分）7．分解因式：a 8．方程 x= 3 ﹣4a= ．的根是．9．不等式组 10．函数 y= 的解集是．的定义域是．2 11．如果关于 x 的方程 x ﹣3x +m=0没有实数根，那么 m 的取值范围是． 12．已知反比例函数 y=（k 是常数，k ≠0）的图象在第二、四象限，点 A （x 1， y 1）和点 B （x 2，y 2）在函数的图象上，当 x 1＜x 2＜0时，可得 y 1 “=”、“＜”）．y 2．（填“＞”、 13．一次抽奖活动设置了翻奖牌（图展示的分别是翻奖牌的正反两面），抽奖时，你只能看到正面，你可以在 9个数字中任意选中一个数字，可见抽中一副球拍的概率是，那么请你根据题意写出一个事件，使这个事件发生的概率是．这个事件是．14．正八边形的中心角等于 15．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边 AB 、AC 上的点，如果 △ADE 与△ABC 周长的比是度．==，那么．16．某班学生参加环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数．把参赛学生的成绩整理后分为 6小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图（如图所示），根据图中的信息，可得成绩高于 60分的学生占全班参赛人数的百分率是．17．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是 10cm ，当滑轮的一条半径 OA 绕轴心 O 按逆时针方向旋转的角度为 120°时，重物上升 cm （结果保留π）．18．如图，将△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转得到△EBD ，点 E 、点 D 分别与点A 、点 C 对应，且点 D 在边 AC 上，边 DE 交边 AB 于点 F ，△BDC ∽△ABC ．已知 BC= ，AC=5，那么△DBF 的面积等于．三、解答题：（本大题共 7题，满分 78分）19．计算：（）﹣3+（﹣1） 20．解方程组： 2018 +﹣3sin60°．．21．在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数的图象与反比例函数y=的图象交于点A（m，4）．（1）求正比例函数的解析式；（2）将正比例函数的图象向下平移6个单位得到直线l，设直线l与x轴的交点为B，求∠ABO的正弦值．22．上海首条中运量公交线路71路已正式开通．该线路西起沪青平公路申昆路，东至延安东路中山东一路，全长17.5千米．71路车行驶于专设的公交车道，又配以专用的公交信号灯．经测试，早晚高峰时段71路车在专用车道内行驶的平均速度比在非专用车道每小时快6千米，因此单程可节省时间22.5分钟．求早晚高峰时段71路车在专用车道内行驶的平均车速．23．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，E是边AD上一点，BE ⊥AC交AC于点F，BE、CD的延长线交于点G，且∠ABE=∠CAD．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）如果AE=EG，求证：AC =BC•BG．224．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x﹣2x+m（m＞0）的对称轴2与比例系数为5的反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，抛物线的图象与y轴交于点C，且OC=3OB．（1）求点A的坐标；（2）求直线AC的表达式；（3）点E是直线AC上一动点，点F在x轴上方的平面内，且使以A、B、E、F 为顶点的四边形是菱形，直接写出点F的坐标．25．如图，半圆O的直径AB=10，有一条定长为6的动弦CD在弧AB上滑动（点C、点D分别不与点A、点B重合），点E、F在AB上，EC⊥CD，FD⊥CD．（1）求证：EO=OF；（2）联结OC，如果△ECO中有一个内角等于45°，求线段EF的长；（3）当动弦CD在弧AB上滑动时，设变量CE=x，四边形CDFE面积为S，周长为l，问：S与l是否分别随着x的变化而变化？试用所学的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域，以说明你的结论．2018年上海市普陀区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 6题，每题 4分，满分 24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1．下列计算正确的是（）A ．aB ．a ÷a =aC ．3a +3b=3ab D ．（a =a 2 •a 3 =a 6 3 3 3 2 6 ）【考点】48：同底数幂的除法；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．【分析】根据幂的运算法则和同类项的定义判断可得．【解答】解：A 、a B 、a ÷a =1，此选项错误； C 、3a 与 3b 不是同类项，不能合并，此选项错误；D 、（a 故选：D ． •a =a2 3 5，此选项错误； 3 3 3 ），此选项正确；=a 2 62．如果下列二次根式中有一个与 A ． B ． C ． D ．【考点】77：同类二次根式．是同类二次根式，那么这个根式是（） a【分析】先化简各式，再根据同类二次根式的定义判断可得．【解答】解：A 、 a 的被开方数是 2，不是同类二次根式；B 、C 、D 、 = |a |，被开方数是 3，不是同类二次根式；，被开方数是 a ，是同类二次根式；2 ，不是同类二次根式， =a =a 故选：C ．3．在学校举办的“中华诗词大赛”中，有 11名选手进入决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中一名参赛选手想知道自己是否能进入前 6名，他需要了解这 11名学生成绩的（）A ．中位数B ．平均数C ．众数【考点】WA ：统计量的选择．D ．方差【分析】11人成绩的中位数是第 6名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前 6名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【解答】解：由于总共有 11个人，且他们的分数互不相同，第 6的成绩是中位数，要判断是否进入前 6名，故应知道中位数的多少．故选：A ．4．如图，在△ABC 中，点 D 、E 分别在边 AB 、AC 上，如果∠A=50°，那么∠1+ ∠2的大小为（）A ．130°B ．180°C ．230°D ．260°【考点】K7：三角形内角和定理．【分析】根据三角形的外角性质可得∠1=∠A +∠ADE ，∠2=∠A +∠AED ，再根据已知和三角形内角和等于 180°即可求解．【解答】解：∵∠1=∠A +∠ADE ，∠2=∠A +∠AED ，∴∠1+∠2=∠A +∠ADE +∠A +∠AED=∠A +（∠ADE +∠A +∠AED ）=50°+180°=230°．故选：C ．5．如图，在△ABC 中，中线 AD 、CE 交于点 O ，设 =， =，那么向量用向量、表示为（）A ．+B ． +C ． +D ． +【考点】K5：三角形的重心；LM ：*平面向量．【分析】利用三角形的重心性质得到：AO= AD ；结合平面向量的三角形法则解答即可．【解答】解：∵在△ABC 中，AD 是中线，∴ = ∴ =+ =+ =，= ．．又∵点 O 是△ABC 的重心，∴AO= AD ，∴ = =+ ．故选：B ． 6．在△ABC 中，AB=AC=6，cos ∠B=，以点 B 为圆心，AB 为半径作圆 B ，以点 C 为圆心，半径长为 13作圆 C ，圆 B 与圆 C 的位置关系是（ A ．外切 B ．相交 C ．内切 D ．内含【考点】MJ ：圆与圆的位置关系．）【分析】解直角三角形得到 BC=8，得到 6+13＞8，于是得到结论．【解答】解：∵AB=AC=6，cos ∠B=，∴BC=8，∵以点 B 为圆心，AB 为半径作圆 B ，以点 C 为圆心，半径长为 13作圆 C ， ∴6+13＞8，∴圆 B 与圆 C 的位置关系是相交，故选 B ．二、填空题：（本大题共 12题，每题 4分，满分 48分）7．分解因式：a ﹣4a= a （a +2）（a ﹣2 ）．3【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】原式提取 a ，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=a （a ﹣4）2 =a （a +2）（a ﹣2）．故答案为：a （a +2）（a ﹣2）8．方程 x= 的根是 x=1．【考点】AG ：无理方程．【分析】先把方程两边同时平方转化为有理方程，然后解得有理方程的解，最后要进行检验，本题得以解决．【解答】解：x==4﹣3x ，解得，x=1或 x=﹣4，两边平方，得x 2 检验：当 x=﹣4不是原方程的根，故原无理方程的解是 x=1，故答案为：x=1 9．不等式组的解集是 0≤x ＜．【考点】CB ：解一元一次不等式组．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式 2x ﹣3＜0，得：x ＜，解不等式 3x ≥0，得：x ≥0，∴不等式组的解集为 0≤x ＜，故答案为：0≤x ＜．10．函数 y= 的定义域是 x ≠5．【考点】E4：函数自变量的取值范围．【分析】根据分母不等于 0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x ﹣5≠0，解得 x ≠5．故答案为：x ≠5．2 11．如果关于 x 的方程 x ﹣3x +m=0没有实数根，那么 m 的取值范围是．【考点】AA ：根的判别式；C6：解一元一次不等式．【分析】根据根的判别式得出 b ﹣4ac ＜0，代入求出不等式的解集即可得到答案．【解答】解：∵关于 x 的方程 x ﹣3x +m=0没有实数根，∴b ﹣4ac=（﹣3）﹣4×1×m ＜0， 2 2 2 2 解得：m ＞，故答案为：m ＞．12．已知反比例函数 y=（k 是常数，k ≠0）的图象在第二、四象限，点 A （x 1， y 1）和点 B （x 2，y 2）在函数的图象上，当 x 1＜x 2＜0时，可得 y 1＜ y 2．（填“＞”、 “=”、“＜”）．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】先根据题意判断出 k 符号，再由反比例函数的增减性即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数 y=（k 是常数，k ≠0）的图象在第二、四象限， ∴k ＜0，且在每一象限内 y 随 x 的增大而增大．∵x 1＜x 2＜0，∴y 1＜y 2．故答案为：＜．13．一次抽奖活动设置了翻奖牌（图展示的分别是翻奖牌的正反两面），抽奖时，你只能看到正面，你可以在 9个数字中任意选中一个数字，可见抽中一副球拍的概率是，那么请你根据题意写出一个事件，使这个事件发生的概率是．这个事件是抽中一张唱片．【考点】X3：概率的意义．【分析】直接利用标有一张唱片的张数除以总数，进而得出答案．【解答】解：∵标有一张唱片的有 3张，总数有 9张，∴抽中一张唱片的概率为：．故答案为：抽中一张唱片．14．正八边形的中心角等于 45度．【考点】MM ：正多边形和圆．【分析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．【解答】解：正八边形的中心角等于 360°÷8=45°；故答案为 45．15．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边 AB 、AC 上的点，如果 △ADE 与△ABC 周长的比是 1：3．==，那么【考点】S9：相似三角形的判定与性质．【分析】根据已知条件可证明△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质即可得到△ADE与△ABC的周长之比．【解答】解：∵AD：DB=AE：EC=1：2，∴AD：AB=AE：AC=1：3，∴∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC；∴△ADE与△ABC的周长之比=1：3．故答案为：1：3．16．某班学生参加环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数．把参赛学生的成绩整理后分为6小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图（如图所示），根据图中的信息，可得成绩高于60分的学生占全班参赛人数的百分率是80%．【考点】V8：频数（率）分布直方图．【分析】根据频数分布直方图可得全班的总人数及成绩高于60分的学生，从而得出答案．【解答】解：∵全班的总人数为3+6+12+11+7+6=45人，其中成绩高于60分的学生有12+11+7+6=36人，∴成绩高于60分的学生占全班参赛人数的百分率是×100%=80%，故答案为：80%．17．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当滑轮的一条半径 OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为120°时，重物上升π cm（结果保留π）．【考点】MN：弧长的计算；R2：旋转的性质．【分析】求得半径为10cm，圆心角为120°的弧长，即可得出答案．【解答】解：l== πcm；故答案为π．18．如图，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△EBD，点E、点D分别与点A、点C对应，且点D在边AC上，边DE交边AB于点F，△BDC∽△ABC．已知BC= ，AC=5，那么△DBF的面积等于．【考点】R2：旋转的性质；S7：相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形的性质得到，∠CBD=∠A，得到CD=2，AD=3，根据旋转的性质得到∠ABC=∠EBD，∠E=∠A，AB=BE，DE=AC，得到∠EBF=∠A，根据平行线的判定和性质得到∠ADF=∠E，等量代换得到∠E=∠EBF=∠A=∠ADF，根据等腰三角形的判定得到EF=BF，AF=DF，得到AB=DE=AC=5，根据相似三角形的性质得到=，过A作AH⊥BC于H，于是得到结论．【解答】解：∵△BDC∽△ABC，∴，∠CBD=∠A，∴CD= ，∵BC= ，AC=5，∴CD=2，∴AD=3，∵将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△EBD，∴∠ABC=∠EBD，∠E=∠A，AB=BE，DE=AC，∴∠EBF=∠CBD，∴∠EBF=∠A，∴BE∥AC，∴∠ADF=∠E，∴∠E=∠EBF=∠A=∠ADF，∴EF=BF，AF=DF，∴AF+BF=EF+DF，即AB=DE=AC=5，∵AD∥BE，∴△ADF∽△BEF，∴∴= =，=，过A作AH⊥BC于H，∴AH= = ，∵S△BDE=S△ABC=××= ，∴△DBF的面积= S△ABC= ．故答案为：．三、解答题：（本大题共 7题，满分 78分）﹣3sin60°．19．计算：（）﹣3+（﹣1） 2018 + 【考点】79：二次根式的混合运算；6F ：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】先利用负整数指数幂和特殊角的三角函数值计算，再分母有理化，然后合并即可．【解答】解：原式=8﹣1+2+﹣3×=9﹣ ．20．解方程组：．【考点】AF ：高次方程．【分析】由完全平方公式，组中②可变形为（x +2y ）=9，即 x +2y=3或 x +2y=﹣3．这 2样原方程组可变形为关于 x 、y 的两个二元一次方程组，这两个二元一次方程组的解就是原方程组的解．【解答】解：由②得：（x +2y ） =9，2 即：x +2y=3或 x +2y=﹣3所以原方程组可化为；；．解方程组；得解方程组．得．∴原方程组的解是得；得．21．在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数的图象与反比例函数y=的图象交于点A（m，4）．（1）求正比例函数的解析式；（2）将正比例函数的图象向下平移6个单位得到直线l，设直线l与x轴的交点为B，求∠ABO的正弦值．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题；T7：解直角三角形．【分析】（1）由于点A经过（m，4）所以可求出m=2，再将A（2，4）代入反比例函数中即可求出k的值．（2）先求平移后的直线l的解析式，然后求出B的坐标，利用勾股定理可求出AB的长度，利用正弦的定义即可求出∠ABO的正弦值．【解答】解：（1）∵反比例函数y=的图象经过A（m，4），∴4=，解得m=2．∴点A的坐标为（2，4）．设正比例函数的解析式为y=kx，∵正比例函数的图象经过点A（2，4），∴可得4=2k，解得k=2．∴正比例函数的解析式是 y=2x（2）∵正比例函数向下平移6个单位得到直线l，∴直线l的表达式为y=2x﹣6∵直l与x轴的交点为B，∴点B的坐标是（3，0）∴由勾股定理可知：AB=∴sin ∠ABO= ．= 22．上海首条中运量公交线路 71路已正式开通．该线路西起沪青平公路申昆路，东至延安东路中山东一路，全长 17.5千米．71路车行驶于专设的公交车道，又配以专用的公交信号灯．经测试，早晚高峰时段 71路车在专用车道内行驶的平均速度比在非专用车道每小时快 6千米，因此单程可节省时间 22.5分钟．求早晚高峰时段 71路车在专用车道内行驶的平均车速．【考点】B7：分式方程的应用．【分析】设早晚高峰时段 71路在专用车道内行驶的平均车速 x 千米/时．则非专用车道内行驶的平均速度是（x ﹣6）千米/时，根据“单程可节省时间 22.5分钟” 列出方程并解答．【解答】解：设早晚高峰时段 71路在专用车道内行驶的平均车速 x 千米/时．根据题意，可列方程 ﹣ = ．整理得 x ﹣6x ﹣280=0．2解得 x 1=20，x 2=﹣14．经检验 x 1=20，x 2=﹣14都是原方程的解．因为速度不能负数，所以取 x=20．答：71路在专用车道内行驶的平均车速 20千米/时．23．已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AC 为对角线，E 是边 AD 上一点，BE ⊥AC 交 AC 于点 F ，BE 、CD 的延长线交于点 G ，且∠ABE=∠CAD ．（1）求证：四边形 ABCD 是矩形；（2）如果 AE=EG ，求证：AC =BC•BG ．2【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质；LD：矩形的判定与性质．【分析】（1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以只要证明∠BAD=90°，即可得到四边形ABCD是矩形；（2）连接AG，由平行四边形的性质和矩形的性质以及结合已知条件可证明△BCG ∽△ABC，再由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可证明AC =BC•BG．2【解答】解：（1）证明：∵BE⊥AC，∴∠AFB=90°．∴∠ABE+∠BAF=90°．∵∠ABE=∠CAD．∴∠CAD+∠BAF=90°．即∠BAD=90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形；（2）连接AG．∵AE=EG，∴∠EAG=∠EGA．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC．∴∠ABG=∠BGC．∴∠CAD=∠BGC．∴∠AGC=∠GAC．∴CA=CG．∵AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB．∴∠ACB=∠BGC．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCG=90°．∴∠BCG=∠ABC，∴△BCG∽△ABC．∴．∴AC=BC•BG．224．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x﹣2x+m（m＞0）的对称轴2与比例系数为5的反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，抛物线的图象与y轴交于点C，且OC=3OB．（1）求点A的坐标；（2）求直线AC的表达式；（3）点E是直线AC上一动点，点F在x轴上方的平面内，且使以A、B、E、F 为顶点的四边形是菱形，直接写出点F的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）可求得抛物线对称轴方程和反比例函数解析式，则可求得A点坐标；（2）可求得B点坐标，再由OC=3OB可求得C点坐标，利用待定系数法可求得直线AC的表达式；（3）当AB为菱形的边时，则BE=AB或AE=AB，设出E点坐标，可表示出BE的长，可得到关于E点坐标的方程，可求得E点坐标，由AB∥EF，则可求得F点的坐标；当AB为对角线时，则EF被AB垂直平分，则可求得E的纵坐标，从而可求得E点坐标，利用对称性可求得F点的坐标．【解答】解：（1）由题意可知二次函数图象的对称轴是直线x=1，反比例函数解析式是y=，把x=1代入y=，得y=5，∴点A的坐标为（1，5）；（2）由题意可得点B的坐标为（1，0），∵OC=3OB，∴OC=3，∵m＞0，∴m=3，可设直线AC的表达式是y=kx+3，∵点A在直线AC上，∴k=2，∴直线AC的表达式是y=2x+3；（3）当 AB 、BE 为菱形的边时，如图 1，设 E （x ，2x +3），则 BE=， ∵四边形 ABEF 为菱形，∴AB=BE=5，∴ =5，解得 x=1（E 、A 重合，舍去）或 x=﹣3，此时 E （﹣3，﹣3），∵EF ∥AB 且 EF=AB ，∴F （﹣3，2），当 AB 、AE 为边时，则 AE=AB=5，同理可求得 AE=， ∴=5，解得x=1﹣（此时F 点在第三象限，舍去）或x=1+ ， ∴E （1+，5+2 ），∵EF ∥AB 且 EF=AB ，∴F （1+，2 当 AB 为对角线时，如图 2，）；则EF过AB的中点，∵A（1，5），B（1，0），∴AB的中点为（1，），∵EF⊥AB，∴EF∥x轴，∴E点纵坐标为，代入y=2x+3可得=2x+3，解得x=﹣，∴E（﹣，），∴F（，）；综上可知F点的坐标为（﹣3，2）或（1+，2）或（，）．25．如图，半圆O的直径AB=10，有一条定长为6的动弦CD在弧AB上滑动（点C、点D分别不与点A、点B重合），点E、F在AB上，EC⊥CD，FD⊥CD．（1）求证：EO=OF；（2）联结OC，如果△ECO中有一个内角等于45°，求线段EF的长；（3）当动弦CD在弧AB上滑动时，设变量CE=x，四边形CDFE面积为S，周长为l，问：S与l是否分别随着x的变化而变化？试用所学的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域，以说明你的结论．【考点】MR ：圆的综合题．【分析】（1）过点 O 作 OH ⊥CD 于 H ，由垂径定理得出 CH=DH ，证得 EC ∥OH ∥ FD ，即可得出结论；（2）由勾股定理求出 OH=45°；分两种情况讨论：4，由平行线的性质得出∠ECO=∠COH ≠ ①当∠EOC=45°时，过点 E 作 EM ⊥OC 于 M ，则△OEM 是等腰直角三角形，得出EM=OM ，证明△ECM ∽△COH ，得出 EM ：CM=CH ：OH=3：4．设 EM=3m ，CM=4m ．则 OM=3m ，EO= OM=3 m ，由 CM +OM=OC ，得出方程 4m +3m=5，解方程得出m=，即可得出 EO=，EF=2EO= ． ②当∠CEO=45°时，过点 O 作 ON ⊥EC 于 N ；．在 Rt △CON 中，ON=CH=3， CN=OH=4．在 Rt △EON 中，EO=3．得出 EF=2OE=6即可．（3）证明 OH 是梯形 EFDC 的中位线，由梯形中位线定理得出 EC +FD=2OH=8，由梯形面积公式得出 S=（EC +FD ）•CD=OH•CD=244×6=24（0＜x ＜8）；作 FG ⊥EC 于 G ，则 GC=FD=8﹣x ，GF=CD=6，求出 EG=EC ﹣GC=2x ﹣8，由勾股定理得出 EF= =2 ，得出四边形CDFE 周长 l=EF +EC +CD +FD=EF +2OH +CD=2+14（0＜x ＜8）．【解答】（1）证明：过点 O 作 OH ⊥CD 于 H ，如图所示：则 CH=DH ，∵EC ⊥CD ，FD ⊥CD ，OH ⊥CD ，∴EC ∥OH ∥FD ，∵CH=DH ，∴EO=FO ；（2）解：∵OH ⊥CD ，OC= AB=5，∴CH= CD=3，∴OH== =4，∵EC ∥OH ，∴∠ECO=∠COH ≠45°；①当∠EOC=45°时，过点 E 作 EM ⊥OC 于 M ，则△OEM 是等腰直角三角形，∴EM=OM ，∵∠ECM=∠COH ，∠CME=∠OHC=90°，∴△ECM ∽△COH ，∴EM ：CM=CH ：OH=3：4．在 Rt △ECM 中，设 EM=3m ，CM=4m ．则 OM=3m ，EO= ∵CM +OM=OC ，OM=3m ， ∴4m +3m=5，解得：m=，∴EO=， EF=2EO= ． ②当∠CEO=45°时，过点 O 作 ON ⊥EC 于 N ；．在 Rt △CON 中，ON=CH=3，CN=OH=4．在 Rt △EON 中，EO=3．∴EF=2OE=6．综上所述，线段 EF 的长等于或 6．（3）解：四边形 CDFE 的面积 S 不随变量 x 的变化而变化，是一个不变量；四边形 CDFE 的周长 l 随变量 x 的变化而变化．理由如下：由①得：EO=FO ，CH=DH ，∴OH 是梯形 EFDC 的中位线，∴EC +FD=2OH=8，∴四边形 CDFE 面积为 S=（EC +FD ）•CD=OH•CD=4×6=24（0＜x ＜8）（是一个常值函数）；作 FG ⊥EC 于 G ，则 GC=FD=8﹣x ，GF=CD=6，∴EG=EC ﹣GC=x ﹣（8﹣x ）=2x ﹣8，∴EF= ∴四边形 CDFE 周长 l=EF +EC +CD +FD=EF +2OH +CD=2即 l ═2 +14（0＜x ＜8）．= =2 ，+14（0＜x ＜8），。

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2017年上海市普陀区中考数学二模试卷

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上] 1．下列计算正确的是（）

A．a2•a3=a6 B．a3÷a3=a C．3a+3b=3ab D．（a3）2=a6 2．如果下列二次根式中有一个与是同类二次根式，那么这个根式是（）

A． a B． C． D．

3．在学校举办的“中华诗词大赛”中，有11名选手进入决赛，他们的决赛成绩各

不相同，其中一名参赛选手想知道自己是否能进入前6名，他需要了解这11名学生成绩的（） A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差

4．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果∠A=50°，那么∠1+

∠2的大小为（）

A．130° B．180° C．230° D．260° 5．如图，在△ABC中，中线AD、CE交于点O，设=， =，那么向量用

向量、表示为（）

A． + B． + C． + D． +

6．在△ABC中，AB=AC=6，cos∠B=，以点B为圆心，AB为半径作圆B，以点

C为圆心，半径长为13作圆C，圆B与圆C的位置关系是（）

A．外切 B．相交 C．内切 D．内含二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．分解因式：a3﹣4a= ．

8．方程x=的根是．

9．不等式组的解集是．

10．函数y=的定义域是．

11．如果关于x的方程x2﹣3x+m=0没有实数根，那么m的取值范围是．

12．已知反比例函数y=（k是常数，k≠0）的图象在第二、四象限，点A（x1，

y1）和点B（x2，y2）在函数的图象上，当x1＜x2＜0时，可得y1 y2．（填“＞”、

“=”、“＜”）．

13．一次抽奖活动设置了翻奖牌（图展示的分别是翻奖牌的正反两面），抽奖时，

你只能看到正面，你可以在9个数字中任意选中一个数字，可见抽中一副球拍的概率是，那么请你根据题意写出一个事件，使这个事件发生的概率是．这个事件是．

14．正八边形的中心角等于度．

15．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，如果==，那么

△ADE与△ABC周长的比是． 16．某班学生参加环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数．把参赛学生的成绩整

理后分为6小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图（如图所示），根据图中的信息，可得成绩高于60分的学生占全班参赛人数的百分率是．

17．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为120°时，重物上升 cm（结果保留π）．

18．如图，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△EBD，点E、点D分别与点

A、点C对应，且点D在边AC上，边DE交边AB于点F，△BDC∽△ABC．已知

BC=，AC=5，那么△DBF的面积等于．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．计算：（）﹣3+（﹣1）2017+﹣3sin60°．

20．解方程组：． 21．在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数的图象与反比例函数y=的图象

交于点A（m，4）．（1）求正比例函数的解析式；（2）将正比例函数的图象向下平移6个单位得到直线l，设直线l与x轴的交点为B，求∠ABO的正弦值． 22．上海首条中运量公交线路71路已正式开通．该线路西起沪青平公路申昆路，

东至延安东路中山东一路，全长17.5千米．71路车行驶于专设的公交车道，又配以专用的公交信号灯．经测试，早晚高峰时段71路车在专用车道内行驶的平均速度比在非专用车道每小时快6千米，因此单程可节省时间22.5分钟．求早晚高峰时段71路车在专用车道内行驶的平均车速． 23．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，E是边AD上一点，BE⊥AC交AC于点F，BE、CD的延长线交于点G，且∠ABE=∠CAD．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）如果AE=EG，求证：AC2=BC•BG．

24．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2﹣2x+m（m＞0）的对称轴

与比例系数为5的反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，抛物线的图象与y轴交于点C，且OC=3OB．

（1）求点A的坐标；（2）求直线AC的表达式；（3）点E是直线AC上一动点，点F在x轴上方的平面内，且使以A、B、E、F为顶点的四边形是菱形，直接写出点F的坐标． 25．如图，半圆O的直径AB=10，有一条定长为6的动弦CD在弧AB上滑动（点

C、点D分别不与点A、点B重合），点E、F在AB上，EC⊥CD，FD⊥CD．

（1）求证：EO=OF；（2）联结OC，如果△ECO中有一个内角等于45°，求线段EF的长；（3）当动弦CD在弧AB上滑动时，设变量CE=x，四边形CDFE面积为S，周长为l，问：S与l是否分别随着x的变化而变化？试用所学的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域，以说明你的结论． 2017年上海市普陀区中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

A．a2•a3=a6 B．a3÷a3=a C．3a+3b=3ab D．（a3）2=a6 【考点】48：同底数幂的除法；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．【分析】根据幂的运算法则和同类项的定义判断可得．【解答】解：A、a2•a3=a5，此选项错误； B、a3÷a3=1，此选项错误；

C、3a与3b不是同类项，不能合并，此选项错误；

D、（a3）2=a6，此选项正确；

故选：D．

2．如果下列二次根式中有一个与是同类二次根式，那么这个根式是（）

A． a B． C． D．

【考点】77：同类二次根式．【分析】先化简各式，再根据同类二次根式的定义判断可得．【解答】解：A、a的被开方数是2，不是同类二次根式； B、=|a|，被开方数是3，不是同类二次根式；

C、=a，被开方数是a，是同类二次根式；

D、=a2，不是同类二次根式，

故选：C．

3．在学校举办的“中华诗词大赛”中，有11名选手进入决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中一名参赛选手想知道自己是否能进入前6名，他需要了解这11名学生成绩的（） A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差

【考点】WA：统计量的选择．【分析】11人成绩的中位数是第6名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【解答】解：由于总共有11个人，且他们的分数互不相同，第6的成绩是中位数，要判断是否进入前6名，故应知道中位数的多少．故选：A．

4．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果∠A=50°，那么∠1+

∠2的大小为（）

A．130° B．180° C．230° D．260° 【考点】K7：三角形内角和定理．【分析】根据三角形的外角性质可得∠1=∠A+∠ADE，∠2=∠A+∠AED，再根据已知和三角形内角和等于180°即可求解．【解答】解：∵∠1=∠A+∠ADE，∠2=∠A+∠AED， ∴∠1+∠2 =∠A+∠ADE+∠A+∠AED =∠A+（∠ADE+∠A+∠AED）

=50°+180° =230°．

故选：C．

5．如图，在△ABC中，中线AD、CE交于点O，设=， =，那么向量用向量、表示为（） A． + B． + C． + D． +

【考点】K5：三角形的重心；LM：*平面向量．【分析】利用三角形的重心性质得到：AO=AD；结合平面向量的三角形法则解答即可．【解答】解：∵在△ABC中，AD是中线， =， ∴==． ∴=+=+．又∵点O是△ABC的重心， ∴AO=AD， ∴==+．故选：B．

6．在△ABC中，AB=AC=6，cos∠B=，以点B为圆心，AB为半径作圆B，以点

C为圆心，半径长为13作圆C，圆B与圆C的位置关系是（）

A．外切 B．相交 C．内切 D．内含

【考点】MJ：圆与圆的位置关系．【分析】解直角三角形得到BC=8，得到6+13＞8，于是得到结论．【解答】解：∵AB=AC=6，cos∠B=， ∴BC=8，