上海市长宁区2017年中考数学二模试卷(Word版,带答案)
长宁区2017二模
长宁区2017二模一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．已知集合{}1A x x x =>-∈R ，，集合，则______．2．已知复数满足（为虚数单位），则._________||=z3．函数的最小正周期是___________．4．已知双曲线的一条渐近线方程为，则________． 5．若圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则圆柱的体积为_______（结果精确到）．6．已知满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则的最大值是_________．7．直线12x t y t=-⎧⎨=-⎩（为参数）与曲线3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（为参数）的交点个数是_______．8．已知函数的反函数是，则________.9．设多项式的展开式中项的系数为，则_________.10．生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为和，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是，则=________.{}2B x x x =<∈R ，A B =Iz (23i)32i z -=+i sin 2cos ()2cos sin x x f x xx=22221(0)(3)x y a a a -=>+2y x =a =4cm 3cm 30.1cm x y ，2z x y =+t θ220,()log 01x x f x x x ⎧≤=⎨<≤⎩，，1()f x -11()=2f -23*1(1)(1)(1)(0nx x x x x n ++++++++≠∈N )L ，x n T 2lim nn T n→∞=0.01p 0.9603pB 1DA 1C 1D 1A BP C第15题图11．已知函数，若对任意，，，恒有，则实数的取值范围为___________．12．对于给定的实数，函数xkx f =)(的图像上总存在点C ，使得以C 为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为1，则k 的取值范围是_________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．设，则“”是“且”的（ ）．（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件14．如图，P 为正方体1111D C B A ABCD -中与1BD 的交点，则Δ在该正方体各个面上的射影可能是（ ）．① ② ③ ④ （A ）①②③④（B ）①③（C ）①④（D ）②④15．如图，为圆的直径且，为圆上不同于、的任意一点，若P 为半径上的动点，则的最小值是（ ）． （A ）（B ）（C ）（D ）16．设为的一个排列，则满足对任意 正整数，且，都有成立的不同排列的个数为（ ）．（A ）512 （B ）256 （C ）255 （D ）64三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）如图，在正方体中，分别是线段的中点．()f x x x a =-[]12,3x ∈[]22,3x ∈12x x ≠1212()()()22x x f x f x f ++>a 0k >ab ∈R ，4a b +>1a >3b >1AC PAC AB O 4AB =C A B OC ()PA PB PC +⋅u u u r u u u r u u u r 4-3-2-1-1210x x x L ，，，1210L ，，，m n ，110m n ≤<≤m n x m x n +≤+1111ABCD A B C D -E F 、1BC CD 、ABC（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求直线与平面所成角的大小．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为（即），墙的长度为6米（已有两面墙的可利用长度足够大），记θ=∠ABC ．（1）若，求Δ的周长（结果精确到米）； （2）为了使小动物能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室面积即ABC ∆的面积尽可能大．问当θ为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知抛物线px y 22=（0>p ），其准线方程为01=+x ，直线l 过点)0,(t T （0>t ）EF 1AA EF 11AA B B π3π3ACB ∠=AB π4θ=ABC 0.01且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关； （2）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数)(t d ，求)(t d 的解析式． 20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）对于定义域为D 的函数)(x f y =，如果存在区间，其中，同时满足：①)(x f 在],[n m 内是单调函数；②当定义域是],[n m 时，)(x f 的值域也是],[n m ．则称函数)(x f 是区间],[n m 上的“保值函数”，区间],[n m 称为“保值区间”．（1）求证：函数x x x g 2)(2-=不是定义域]1,0[上的“保值函数”； （2）若函数xa a x f 2112)(-+=（）是区间],[n m 上的“保值函数”，求a 的取值范围；（3）对（2）中函数)(x f ，若不等式x x f a 2|)(|2≤对1≥x 恒成立，求实数a 的取值范围．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知数列}{n a 中，11=a ，a a =2，)(21+++=n n n a a k a 对任意*N ∈n 成立，数列}{n a 的前n 项和为n S ．（1）若}{n a 是等差数列，求k 的值； （2）若1=a ，21-=k ，求n S ； （3）是否存在实数k ，使数列}{n a 是公比不为1的等比数列且任意相邻三项m a ，1+m a ，2+m a 按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．[,]m n D ⊆m n <,0a a ∈≠R长宁区答案一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1．(1,2)-； 2．1； 3．π； 4．3； 5．5.1； 6．3； 7．2；8．1-；9.12；10.0.03；11．[)3,+∞；12.()0,2.二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.B ；14.C ； 15．C ；16.A .三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题8分，第（2）小题6分.解：（1）设正方体棱长为2，以D 为原点，直线DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，1(0,0,2)D ， 故(1,2,0)E ，(0,1,1)F ，{1,1,1}EF =--u u u r，1{0,0,2}AA =u u u r ………………………………………4分设异面直线EF 与1AA 所成角的大小为α，向量EF u u u r 与1AA u u ur 所成角为β，则 11cos cos EF AA EF AA αβ==u u u r u u u r g u u u r u u u r g …………………………………………6分==⇒α=即异面直线EF 与1AA所成角的大小为……………………………8分 （2）由（1）可知，平面11AA B B 的一个法向量是(1,0,0)n =r，…………10分设直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小是θ，向量EF u u u r 与n r所成角为γ，则s cos EF nin EF nθγ==u u u r r g u u u r r g ，…………………………………………………12分s in θ=arcs θ=，解：（1）在△ABC 中，由正弦定理得ππππsin sin sin π3434AB AC BC==⎛⎫--⎪⎝⎭，…………………………………………2分 化简得，AC =，7π12BC ==，…………………4分 所以，17.59c AC BC AB =++=≈米，即ΔABC 的周长为17.59米；…………………………………………6分（2）1πsin 23ABC S AC BC ∆=⋅⋅…………………………………………8分πsin3θθ⎛⎫+⎪⎝⎭………………………………………………10分1sin22θθθ⎛⎫=+⎪⎪⎝⎭21cos2cos)222θθθθθ⎫-==+⎪⎪⎭π26θ⎛⎫=-+⎪⎝⎭12分因为2πθ<<，所以当ππ2θ-=，19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.解：（1）由题意，2=p，所以抛物线的方程为xy42=．…………………2分当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为tx=，则)2,(ttA，)2,(ttB-，tt42-=⋅．…………………………………………………………3分当直线l的斜率k存在时，则0≠k，设l的方程为)(txky-=，),(11yxA，),(22yxB，由⎩⎨⎧-==,)(,42txkyxy消去x，得0442=--ktyky，故⎪⎩⎪⎨⎧-==+,4,42121tyykyy所以，ttyyyyyyxxOBOA41622122212121-=+=+=⋅．……………………5分综上，OBOA⋅的值与直线l倾斜角的大小无关．……………………………6分（2）设),(yxP，则24xy=，44)]2([)(||222-+--=+-=ttxytxPT，…………………………………………8分因为0≥x，所以⎩⎨⎧<<≥-=.2,,2,12)(tttttd……………………………………14分20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.解：（1）函数xxxg2)(2-=在]1,0[∈x时的值域为]0,1[-，……………2分不满足“保值函数”的定义，因此函数x x x g 2)(2-=不是定义域]1,0[上的“保值函数”．………………4分 （2）因为函数xa a x f 2112)(-+=在],[n m 内是单调增函数， 因此n n f m m f ==)(,)(，…………………………………………6分 因此n m ,是方程x xa a =-+2112的两个不相等的实根， 等价于方程01)2(222=++-x a a x a 有两个不相等的实根…………………8分 由04)2(222>-+=∆a a a 解得23-<a 或21>a ．…………………………10分 （3）xa a x f a 12)(22-+=，22212()|()|2222a a a f x x a f x x x x+-≤⇔≤⇔-≤≤，即为⎪⎩⎪⎨⎧-≥++≤+,212,12222x x a a x x a a 对1≥x 恒成立．…………………………………………12分令x x x h 12)(+=，易证)(x h 在),1[+∞单调递增，同理x xx g 21)(-=在),1[+∞单调递减．因此，1)1()(,3)1()(max min -====g x g h x h ．…………………………………14分所以⎩⎨⎧-≥+≤+,12,3222a a a a 解得123≤≤-a ．…………………………………………15分又23-<a 或21>a ，所以a 的取值范围是112a <≤．……………………16分21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.解：（1）若}{n a 是等差数列，则对任意*N ∈n ，121+++-=-n n n n a a a a ，即212+++=n n n a a a ，故21=k ．………………………………………………………………4分 （2）21-=k 时，)(2121+++-=n n n a a a ，即212++--=n n n a a a ，)(112n n n n a a a a +-=++++，故n n n n n n a a a a a a +=+-=++++++11223)(．……5分所以，当n 是偶数时，n a a na a a a a a S n n n =+=++++++=-)(22114321Λ；………………………7分 当n 是奇数时，2)(2132-=+-=+a a a a ，)()()(15432114321n n n n n a a a a a a a a a a a a a S +++++++=++++++=--ΛΛn n -=-⨯-+=2)2(211．…………………………………………………………8分 综上，⎩⎨⎧=-=-=kn n k n n S n 2,,12,2(*N ∈k )．………………………………………10分（3）若}{n a 是等比数列，则公比a a a q ==12，由题意1≠a ， 故1-=m m a a ，m m a a =+1，12++=m m a a ．……………………………………11分① 若1+m a 为等差中项，则212+++=m m m a a a ，即112+-+=m m m a a a ，212a a +=， 解得1=a （舍去）；…………………………………………………………13分 ② 若m a 为等差中项，则212+++=m m m a a a ，即112+-+=m m m a a a ，22a a +=，因为1≠a ，解得2-=a ，52121121-=+=+=+=+-++a a a a a a a a k m m m m m m ；…15分 ③ 若2+m a 为等差中项，则122+++=m m m a a a ，即112-++=m m m a a a ，122+=a a ，因为1≠a ，解得21-=a ，5212-=+=a a k ．………………………………17分 综上，存在实数k 满足题意，52-=k ．………………………………18分。
(完整)上海市长宁区2017年中考二模数学试卷--附答案
2017学年第二学期初三数学教学质量检测试卷（考试时间：100分钟 满分:150分）考生注意:1.本试卷含三个大题,共25题.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效。
2。
除第一、二大题外，其余各题如无特别说明,都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤. 一、选择题（本大题共6题， 每题4分, 满分24分）【每题只有一个正确选项， 在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】 1．函数12-=x y 的图像不经过( ▲ ）（A ） 第一象限; （B ） 第二象限； （C) 第三象限； （D ） 第四象限． 2．下列式子一定成立的是（ ▲ ）（A) a a a 632=+； （B ）428x x x =÷； (C ） aa 121=； (D ）6321)(aa -=--． 3．下列二次根式中，2的同类二次根式是（ ▲ ） （A ）4； （B)x 2; （C ）92; （D ）12． 4．已知一组数据2、x 、8、5、5、2的众数是2,那么这组数据的中位数是（ ▲ ） （A ） 3。
5； （B ） 4； （C ） 2； （D)6.5．5．已知圆A 的半径长为4，圆B 的半径长为7，它们的圆心距为d ，要使这两圆没有公共点，那么d 的值可以取（ ▲ ）（A ） 11； （B) 6; （C ） 3; （D)2．6．已知在四边形ABCD 中,AD //BC ，对角线AC 、BD 交于点O ,且AC =BD ，下列四个命题中真命题是（ ▲ ）(A ） 若AB =CD ,则四边形ABCD 一定是等腰梯形； （B) 若∠DBC =∠ACB ,则四边形ABCD 一定是等腰梯形； （C ） 若ODCOOB AO =,则四边形ABCD 一定是矩形； (D ） 若AC ⊥BD 且AO =OD ，则四边形ABCD 一定是正方形． 二、填空题(本大题共12题, 每题4分, 满分48分)【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7． 计算：=--︒0)3(30sin ▲ ． 8． 方程6+=-x x 的解是 ▲ ．9． 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+-1)12(303x x 的解集是 ▲ ．10．已知反比例函数xky =的图像经过点（-2017，2018)，当0>x 时，函数值y 随 自变量x 的值增大而 ▲ ．(填“增大”或“减小”）11．若关于x 的方程032=--m x x 有两个相等的实数根，则m 的值是 ▲ ． 12．在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是 ▲ ．13．抛物线522++=mx mx y 的对称轴是直线 ▲ ． 14．小明统计了家里3月份的电话通话清单,按通话时间画出频数分布直方图（如图所示），则通话时间不足10分钟的 通话次数的频率是 ▲ ．15．如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，BC =15,CD =9，EF =6,∠AFE =50°，则∠ADC 的度数为 ▲ ．16．如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ,∠C=90°,BC =CD =4,52=AD ，若a AD =,b DC =，用a 、b 表示=DB ▲ ．17．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边5=AB ，则它的周长等于 ▲ ．18．如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的长为1，点P 是线段BD上的一点,联结CP ，将△BCP 沿着直线CP 翻折，若点B 落在 边AD 上的点E 处，且EP //AB ，则AB 的长等于 ▲ ．三、解答题（本大题共7题， 满分78分）【将下列各题的解答过程， 做在答题纸的相应位置上】第14题图 ABCDE F第15题图第16题图DCBA第18题图ABCD19．（本题满分10分）先化简，再求值：12341311222+-++÷-+-+x x x x x x x ，其中121+=x ．20．（本题满分10分)解方程组：⎩⎨⎧=-=-+②12①06522 ． ，y x y xy x21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第(2）小题6分）如图，在等腰三角形ABC 中,AB =AC ，点D 在BA 的延长线上，BC =24,135sin =∠ABC ．（1）求AB 的长；（2)若AD =6.5，求DCB ∠的余切值．22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第(2）小题5分）某旅游景点的年游客量y （万人）是门票价格x （元）的一次函数，其函数图像如下图． （1）求y 关于x 的函数解析式；（2)经过景点工作人员统计发现:每卖出一张门票所需成本为20元．那么要想获得年利润11500万元，且门票价格不得高于230元，该年的门票价格应该定为多少元？23．（本题满分12分,第(1）小题5分,第（2)小题7分）如图，在四边形ABCD 中,AD //BC ，E 在BC 的延长线，联结AE 分别交BD 、CD 于点G 、F ,且AGGF BE AD =．(1）求证：AB //CD ；（2）若BD GD BC ⋅=2，BG =GE ,求证:四边形ABCD 是菱形．24．(本题满分12分,第（1）小题4分,第（2）小题3分，第(3)小题5分）如图在直角坐标平面内，抛物线32-+=bx ax y 与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于点B （—1，0）、点C (3，ACDB第21题图第22题图AC DEF GB第23题图0），点D 是抛物线的顶点.（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； (2）联结AD 、DC ，求ACD ∆的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第(3)小题6分）在圆O 中,C 是弦AB 上的一点，联结OC 并延长，交劣弧AB 于点D ，联结AO 、BO 、AD 、BD . 已知圆O 的半径长为5 ，弦AB 的长为8．(1）如图1,当点D 是弧AB 的中点时,求CD 的长; （2）如图2,设AC =x ，y S S OBDACO=∆∆，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域； （3）若四边形AOBD 是梯形，求AD 的长．长宁区2017学年第二学期初三数学参考答案和评分建议2018.3一、选择题：（本大题共6题，每题4分,满分24分) 1．B ； 2．D; 3．C ； 4．A; 5．D ； 6．C ．备用图第24题图OAC DB图1 O BA C D图2 BAO备用图第25题图二．填空题：（本大题共12题，满分48分）7．21-； 8．2-=x ； 9．3>x ； 10．增大； 11．43-=m ； 12．53;13．1-=x ;14．7.0；15．︒140; 16．→→-a b 21； 17．255或535++； 18．215-．三、（本大题共7题，第19、20、21、22每题10分，第23、24每题12分，第25题14分，满分78分）19。
上海市长宁区2017届初三第二学期教学质量检测数学试卷
第3题图2017年长宁区初三数学教学质量检测试卷（考试时间100分钟，满分150分） 2017.4考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、单项选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1.已知3=4x y ，那么下列各式中正确的是( ) A.74=+y x y ； B. 3-=y x x ； C.3102=+x y x ； D. x －y y ＝14 . 2.把不等式组⎩⎨⎧<-≥+02,132x x 的解集表示在数轴上，正确的表示为( )3.在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则cos ∠B 的 值为( ) A ．12； B； C；D. 4.如图，在四边形ABCD 中，动点P 从点A 开始沿A →B →C →D 的路径匀速前进到点D 为止.在这个过程中，△APD 的面积S 随时 间t 的变化关系用图像表示正确的是( )SDCBA5.已知P 为线段AB 的黄金分割点，且AP ＜PB ，则( ) A. AP 2＝AB ·PB ； B. AB 2＝AP ·PB ； C. PB 2＝AP ·AB ； D. AP 2＋BP 2＝AB 2.6.下列说法中，正确的是( )A. B. C.D.第4题图第16题图第18题图A. 一组数据-2，-1，0，1，1，2的中位数是0；B. 质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用普查的调查方式；C. 购买一张福利彩票中奖是一个确定事件；D. 分别写有三个数字-1，-2，4的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为13.二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.计算：313a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭_________．8.在实数范围内因式分解：23x -=_________．9.已知函数x x x f 1)(+=，那么）（1-2f =_________． 10.已知反比例函数xk y 1-=的图象经过一、三象限，则实数k 的取值范围是_________．11.抛物线a x x y ++=2-2的对称轴是_________． 12.1=的解为_________．13.已知关于x 的方程02-2=+k kx x 有两个相等的实数根，那么实数k =_________．14.某物流仓储公司用Ａ、Ｂ两种型号的机器人搬运物品，已知A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20千克物品，A 型机器人搬运1000千克物品所用时间与B 型机器人搬运800千克物品所用时间相等，设A 型机器人每小时搬运物品x 千克，列出关于x 的方程为_________．15.化简：=-)313-2b a a （________. 16.如图，在菱形ABCD 中，EF ∥BC ，31=BE AE ，EF ＝3， 则CD 的长为________.17.在△ABC 中，已知BC =4 cm ，以边AC 的中点P 为圆心1 cm 为半径画⊙P ，以边AB 的中点Q 为圆心x cm 长为半径画⊙Q ，如果⊙P 与⊙Q 相切，那么x =_________ cm ． 18.如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且 ∠DAE =45°.设BE =a ，DC =b ，那么AB =_________．（用含a 、b 的式子表示AB ）三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：01)2017(45tan 33)21(++--- ．第22题图20．（本题满分10分）解方程组：⎩⎨⎧=+++=062-30-4222y x xy x y x ，.21．（本题满分10分） 已知直线321-+=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，设O 为坐标原点. （1）求∠ABO 的正切值；（2）如果点A 向左平移12个单位到点C ，直线l 过点C 且与直线1-32y x =+平行，求直线l 的解析式.22．（本题满分10分）小明在海湾森林公园放风筝.如图所示，小明在A 处，风筝飞到C 处，此时绳长BC 为40米，若小明双手牵住绳子的底端B 距离地面1.5米，从B 处测得C 处的仰角为60°，求此时风筝离地面的高度CE . (计算结果精确到0.11.732≈)23．（本题满分12分）如图，在△ABC 中，点P 是AC 边上的一点，过点P 作与BC 平行的直线PQ ，交AB 于点Q ，点D 在 BC 边上，联结AD 交PQ 于点E ，且CP QECD BD=，点G 在BC 的延长线上，∠ACG 的平分线CF 交直线PQ 于点F ． （1）求证：PC =PE ；（2）当P 是边AC 的中点时，求证：四边形AECF 是矩形.24.（本题满分12分）已知△OAB 在直角坐标系中的位置如图，点A 在第一象限，点B 在x 轴正半轴上，OA =OB =6， ∠AOB =30°.第23题图D第24题图（1）求点A 、B 的坐标；（2）开口向上的抛物线经过原点O 和点B ，设其顶点为E 等腰直角三角形时，求抛物线的解析式；（3）设半径为2的⊙P 与直线OA 交于M 、N 两点，已知MN =P (m ，2）（m>0),求m 的值.25.（本题满分14分）如图，△ABC 的边AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，已知AC =6 cm ，BC =8 cm ，点P 、Q 分别在边AB 、BC 上，且点P 不与点A 、B 重合，BQ =k ·AP （k >0），连接PC 、PQ ． （1）求⊙O 的半径长；（2）当k =2时，设AP =x ，△CPQ 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （3）如果△CPQ ∽△ABC ，且∠ACB =∠CPQ ，求k 的值.第25题图。
2017学年长宁区九年级第二学期数学试卷(二模)
2017学年第二学期初三数学教学质量检测试卷（考试时间：100分钟 满分：150分）考生注意:1.本试卷含三个大题,共25题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效.2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤. 一、选择题（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）【每题只有一个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】 1．函数12-=x y 的图像不经过（ ▲ ）（A ） 第一象限； （B ） 第二象限； （C ） 第三象限； （D ） 第四象限． 2．下列式子一定成立的是（ ▲ ）（A ） a a a 632=+； （B ）428x x x =÷；（C ） aa 121=； （D ）6321)(aa-=--． 3．下列二次根式中，2的同类二次根式是（ ▲ ） （A ）4； （B ）x 2； （C ）92； （D ）12． 4．已知一组数据2、x 、8、5、5、2的众数是2，那么这组数据的中位数是（ ▲ ） （A ） 3.5； （B ） 4； （C ） 2； （D ）6.5．5．已知圆A 的半径长为4，圆B 的半径长为7，它们的圆心距为d ，要使这两圆没有公共点， 那么d 的值可以取（ ▲ ）（A ） 11； （B ） 6； （C ） 3； （D ）2．6．已知在四边形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，且AC =BD ， 下列四个命题中真命题是（ ▲ ）（A ） 若AB =CD ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形； （B ） 若∠DBC =∠ACB ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形； （C ） 若ODCOOB AO =，则四边形ABCD 一定是矩形； （D ） 若AC ⊥BD 且AO =OD ，则四边形ABCD 一定是正方形．二、填空题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7． 计算：=--︒0)3(30sin ▲ ． 8． 方程6+=-x x 的解是 ▲ ．9． 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+-1)12(303x x 的解集是 ▲ ．10．已知反比例函数xky =的图像经过点（-2017，2018），当0>x 时，函数值y 随 自变量x 的值增大而 ▲ ．（填“增大”或“减小”）11．若关于x 的方程032=--m x x 有两个相等的实数根，则m 的值是 ▲ ． 12．在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是 ▲ ．13．抛物线522++=mx mx y 的对称轴是直线 ▲ ． 14．小明统计了家里3月份的电话通话清单，按通话时间画出频数分布直方图（如图所示），则通话时间不足10分钟的 通话次数的频率是 ▲ ．15．如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，BC =15，CD =9，EF =6，∠AFE =50°，则∠ADC 的度数为 ▲ ． 16．如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，∠C=90°，BC =CD =4，52=AD ，若a AD =，b DC =，用、表示= ▲ ． 17．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边5=AB ，则它的周长等于 ▲ ． 18．如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的长为1，点P 是线段BD上的一点，联结CP ，将△BCP 沿着直线CP 翻折，若点B 落在 边AD 上的点E 处，且EP //AB ，则AB 的长等于 ▲ ．第14题图AB CDE F第15题图第16题图DCBA第18题图AB CD三、解答题（本大题共7题, 满分78分）【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】 19．（本题满分10分）先化简，再求值：12341311222+-++÷-+-+x x x x x x x ，其中121+=x ．20．（本题满分10分）解方程组：⎩⎨⎧=-=-+②12①06522 ． ，y x y xy x21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点D 在BA 的延长线上，BC =24，135sin =∠ABC ．（1）求AB 的长；（2）若AD =6.5，求DCB ∠的余切值．22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）某旅游景点的年游客量y （万人）是门票价格x （元）的一次函数，其函数图像如下图． （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）经过景点工作人员统计发现：每卖出一张门票所需成本为20元．那么要想获得年利润11500万元，且门票价格不得高于230元，该年的门票价格应该定为多少元？23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，E 在BC 的延长线，联结AE 分别交BD 、CD 于点 G 、F ，且AG GF BE AD =．（1）求证：AB //CD ；（2）若BD GD BC ⋅=2，BG =GE ，求证：四边形ABCD 是菱形．ACDB第21题图第22题图ACDEF GB第23题图24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）如图在直角坐标平面内，抛物线32-+=bx ax y 与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于点B （-1，0）、点C （3，0），点D 是抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）联结AD 、DC ，求ACD ∆的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）在圆O 中，C 是弦AB 上的一点，联结OC 并延长，交劣弧AB 于点D ，联结AO 、BO 、AD 、BD . 已知圆O 的半径长为5 ，弦AB 的长为8．（1）如图1，当点D 是弧AB 的中点时，求CD 的长； （2）如图2，设AC =x ，y S S OBDACO=∆∆，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域； （3）若四边形AOBD 是梯形，求AD 的长．备用图第24题图OAC BO BA C DBAO长宁区2017学年第二学期初三数学参考答案和评分建议2018.3一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B ； 2．D ； 3．C ； 4．A ； 5．D ； 6．C ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分） 7．21-； 8．2-=x ； 9．3>x ； 10．增大； 11．43-=m ； 12．53； 13．1-=x ；14．7.0；15．︒140； 16．→→-a b 21； 17．255或535++； 18．215-．三、（本大题共7题，第19、20、21、22每题10分，第23、24每题12分，第25题14分，满分78分）19. （本题满分10分）解：原式= )1)(3()1()1)(1(3112++-⨯-++-+x x x x x x x (3分) =2)1(111+--+x x x (2分) =2)1(11++-+x x x (1分) =2)1(2+x (1分)当12121-=+=x 时，原式=2)1(2+x =2)112(2+- =2)2(2=1 (3分) 20．（本题满分10分）解：方程①可变形为0))(6(=-+y x y x得06=+y x 或0=-y x （2分）将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+1206y x y x 或（Ⅱ）⎩⎨⎧=-=-120y x y x （2分）解方程组（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧-==131136y x ， 解方程组（Ⅱ）⎩⎨⎧==11y x （4分） 所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧-==13113611y x ， ⎩⎨⎧==1122y x . （2分）另解：由②得12-=x y ③ （1分） 把③代入①，得0)12(6)12(522=---+x x x x （1分）整理得：0619132=+-x x （2分）解得：1,13621==x x （2分）分别代入③，得1,13121=-=y y （2分）所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧-==13113611y x ，⎩⎨⎧==1122y x . （2分）21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分） 解：（1）过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E又∵AB =AC ∴BC BE 21= ∵BC =24 ∴ BE =12 （1分）在ABE Rt ∆中，︒=∠90AEB ，135sin ==∠AB AE ABC （1分）设AE=5k,AB=13k ∵222BE AE AB += ∴1212==k BE∴1=k ， ∴55==k AE ， 1313==k AB （2分） （2）过点D 作DF ⊥BC ，垂足为点F∵AD=6.5,AB=13 ∴BD=AB+AD=19.5∵AE ⊥BC ，DF ⊥BC ∴ ︒=∠=∠90DFB AEB ∴ DF AE //∴BDABBF BE DF AE == 又 ∵ AE =5，BE =12，AB =13， ∴18,215==BF DF （4分） ∴BF BC CF -= 即61824=-=CF （1分）在DCF Rt ∆中，︒=∠90DFC ，5426cot ===∠DF CF DCB （1分）22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）设)0(≠+=k b kx y ，函数图像过点（200,100）， （50,250） （1分）代入解析式得：⎩⎨⎧=+=+25050100200b k b k （2分）解之得：⎩⎨⎧=-=3001b k （1分）所以y 关于x 的解析式为：300+-=x y （1分） （2）设门票价格定为x 元，依题意可得：11500)300)(20(=+--x x （2分） 整理得： 0175003202=+-x x 解之得：x =70或者x =250（舍去） （2分）答：门票价格应该定为70元. （1分） 23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分） 证明：（1）∵BC AD // ∴BG DG BE AD = （2分）∵AG GFBE AD =∴AGGF BG DG = （1分） ∴ CD AB // （2分） （2）∵BC AD //，CD AB //∴四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC=AD （1分） ∵ BD GD BC ⋅=2∴ BD GD AD ⋅=2即ADGDBD AD =又 ∵BDA ADG ∠=∠ ∴ADG ∆∽BDA ∆ （1分） ∴ABD DAG ∠=∠∵CD AB // ∴BDC ABD ∠=∠ ∵BC AD // ∴E DAG ∠=∠∵BG =GE ∴E DBC ∠=∠ ∴DBC BDC ∠=∠ （3分） ∴BC=CD （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴平行四边形ABCD 是菱形. （1分） 24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分） 解：（1） 点B （-1，0）、C （3，0）在抛物线32-+=bx ax y 上∴⎩⎨⎧=-+=--033903b a b a ，解得⎩⎨⎧-==21b a （ 2分）∴抛物线的表达式为322--=x x y ，顶点D 的坐标是（1，-4） （ 2分） （2）∵A （0，-3），C （3，0），D （1，-4） ∴23=AC ，52=CD ，2=AD∴222AD AC CD += ∴︒=∠90CAD （ 2分）∴.32232121=⨯⨯=⋅⋅=∆AD AC S ACD （1分） （3）∵︒=∠=∠90AOB CAD ，2==AOACBO AD ， ∴△CAD ∽△AOB ，∴OAB ACD ∠=∠∵OA =OC ，︒=∠90AOC ∴︒=∠=∠45OCA OAC∴ACD OCA OAB OAC ∠+∠=∠+∠，即BCD BAC ∠=∠ （ 1分）若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似 ，且△ABC 为锐角三角形 则POC ∆也为锐角三角形，点P 在第四象限由点C （3，0），D （1，-4）得直线CD 的表达式是62-=x y ，设)62,(-t t P （30<<t ） 过P 作PH ⊥OC ，垂足为点H ，则t OH =，t PH 26-=①当ABC POC ∠=∠时,由ABC POC ∠=∠tan tan 得BO AO OH PH =，∴326=-t t ，解得56=t ， ∴)518,56(1-P （2分） ②当ACB POC ∠=∠时,由145tan tan tan =︒=∠=∠ACB POC 得1=OHPH ，∴126=-tt，解得2=t ，∴)2,2(2-P （ 2分） 综上得)518,56(1-P 或)2,2(2-P 25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分） 解：（1）∵OD 过圆心，点D 是弧AB 的中点，AB =8，∴OD ⊥AB ，421==AB AC （2分） 在Rt △AOC 中，︒=∠90ACO ，AO =5，∴322=-=AC AO CO （1分）5=OD ，2=-=∴OC OD CD （1分） （2）过点O 作OH ⊥AB ，垂足为点H ，则由（1）可得AH =4，OH =3∵AC =x ，∴|4|-=x CH在Rt △HOC 中，︒=∠90CHO ，AO =5， ∴258|4|322222+-=-+=+=x x x HC HO CO ， （1分）∴525882+-⋅-=⋅=⋅==∆∆∆∆∆∆x x x x OD OC BC AC S S S S S S y OBD OBC OBC ACO OBD ACO xx x x 5402582-+-= （80<<x ） （3分）（3）①当OB //AD 时， 过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AD ,垂足为点F ，则OF =AE ， AE OB OH AB S ABO ⋅=⋅=∆2121 ∴OF OB OH AB AE ==⋅=524 在Rt △AOF 中，︒=∠90AFO ，AO =5，∴5722=-=OF AO AF ∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，∴5142==AF AD . （3分）②当OA //BD 时， 过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ，则由①的方法可得524==BM DG ， 在Rt △GOD 中，︒=∠90DGO ，DO =5， ∴5722=-=DG DO GO ，518575=-=-=GO AO AG ，在Rt △GAD 中，︒=∠90DGA ，∴622=+=DG AG AD （ 3分）综上得6514或=AD。
长宁区2017二模
长宁区2017二模一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．已知集合{}1A x x x =>-∈R ，，集合，则______．2．已知复数满足（为虚数单位），则._________||=z3．函数的最小正周期是___________．4．已知双曲线的一条渐近线方程为，则________． 5．若圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则圆柱的体积为_______（结果精确到）．6．已知满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则的最大值是_________．7．直线12x t y t=-⎧⎨=-⎩（为参数）与曲线3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（为参数）的交点个数是_______．8．已知函数的反函数是，则________.9．设多项式的展开式中项的系数为，则_________.{}2B x x x =<∈R ，A B =Iz (23i)32i z -=+i sin 2cos ()2cos sin x x f x xx=22221(0)(3)x y a a a -=>+2y x =a =4cm 3cm 30.1cm x y ，2z x y =+t θ220,()log 01x x f x x x ⎧≤=⎨<≤⎩，，1()f x -11()=2f -23*1(1)(1)(1)(0nx x x x x n ++++++++≠∈N )L ，x n T 2limnn T n →∞=B 1DA 1C 1D 1A BP C10．生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为和，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是，则=________.11．已知函数，若对任意，，，恒有，则实数的取值范围为___________． 12．对于给定的实数，函数xkx f =)(的图像上总存在点C ，使得以C 为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为1，则k 的取值范围是_________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．设，则“”是“且”的（ ）．（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件14．如图，P 为正方体1111D C B A ABCD -中与1BD 的交点，则Δ在该正方体各个面上的射影可能是（ ）．① ② ③ ④ （A ）①②③④（B ）①③（C ）①④（D ）②④15．如图，为圆的直径且，为圆上不同于、0.01p 0.9603p ()f x x x a=-[]12,3x ∈[]22,3x ∈12x x ≠1212()()()22x x f x f x f ++>a 0k >a b ∈R ，4a b +>1a >3b >1AC PAC AB O 4AB =C A B的任意一点，若P 为半径上的动点，则的最小值是（）．（A）（B）（C）（D）16．设为的一个排列，则满足对任意正整数，且，都有成立的不同排列的个数为（）．（A）512 （B）256 （C）255 （D）64三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）如图，在正方体中，分别是线段的中点．（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求直线与平面所成角的大小．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）OC()PA PB PC+⋅u u u r u u u r u u u r4-3-2-1-1210x x xL，，，1210L，，，m n，110m n≤<≤m nx m x n+≤+1111ABCD A B C D-E F、1BC CD、EF1AAEF11AA B BABC某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为（即），墙的长度为6米（已有两面墙的可利用长度足够大），记θ=∠ABC ．（1）若，求Δ的周长（结果精确到米）； （2）为了使小动物能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室面积即ABC ∆的面积尽可能大．问当θ为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知抛物线px y 22=（0>p ），其准线方程为01=+x ，直线l 过点)0,(t T （0>t ）且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关；（2）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数)(t d ，求)(t d 的解析式．π3π3ACB ∠=AB π4θ=ABC 0.0120．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）对于定义域为D 的函数)(x f y =，如果存在区间，其中，同时满足：①)(x f 在],[n m 内是单调函数；②当定义域是],[n m 时，)(x f 的值域也是],[n m ．则称函数)(x f 是区间],[n m 上的“保值函数”，区间],[n m 称为“保值区间”．（1）求证：函数x x x g 2)(2-=不是定义域]1,0[上的“保值函数”；（2）若函数xa a x f 2112)(-+=（）是区间],[n m 上的“保值函数”，求a 的取值范围；（3）对（2）中函数)(x f ，若不等式x x f a 2|)(|2≤对1≥x 恒成立，求实数a 的取值范围．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知数列}{n a 中，11=a ，a a =2，)(21+++=n n n a a k a 对任意*N ∈n 成立，数列}{n a 的前n 项和为n S ．（1）若}{n a 是等差数列，求k 的值；（2）若1=a ，21-=k ，求n S ； （3）是否存在实数k ，使数列}{n a 是公比不为1的等比数列且任意相邻三项m a ，1+m a ，2+m a 按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．[,]m n D ⊆m n <,0a a ∈≠R长宁区答案一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1．(1,2)-；2．1； 3．π； 4．3； 5．5.1； 6．3； 7．2；8．1-；9.12；10.0.03；11．[)3,+∞；12.()0,2.二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.B ；14.C ； 15．C ；16.A .三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题8分，第（2）小题6分.解：（1）设正方体棱长为2，以D 为原点，直线DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，1(0,0,2)D ，故(1,2,0)E ，(0,1,1)F ，{1,1,1}EF =--u u u r，1{0,0,2}AA =u u u r ………………………………………4分 设异面直线EF 与1AA 所成角的大小为α，向量EF u u u r 与1AA u u ur 所成角为β，则 11cos cos EF AA EF AA αβ==u u u r u u u r g u u u r u u u r g …………………………………………6分==⇒arccos 3α=即异面直线EF 与1AA 所成角的大小为……………………………8分 （2）由（1）可知，平面11AA B B 的一个法向量是(1,0,0)n =r，…………10分设直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小是θ，向量EF u u u r 与n r所成角为γ，则s cos EF nin EF nθγ==u u u r r g u u u r r g ，…………………………………………………12分s 3in θ=arcs θ=，(不用建立空间直角坐标来解相应给分)18．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分. 解：（1）在△ABC 中，由正弦定理得ππππsin sin sin π3434AB AC BC==⎛⎫-- ⎪⎝⎭，…………………………………………2分化简得，AC =，7π12BC ==，…………………4分所以，17.59c AC BC AB =++=≈米，即ΔABC 的周长为17.59米；…………………………………………6分 （2）1πsin 23ABC S AC BC ∆=⋅⋅…………………………………………8分 πsin 3θθ⎛⎫+⎪⎝⎭………………………………………………10分1sin 2θθθ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭21cos 2cos )222θθθθθ⎫-==+⎪⎪⎭π26θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭12分因为2π03θ<<，所以当ππ262θ-=，19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.解：（1）由题意，2=p ，所以抛物线的方程为x y 42=．…………………2分当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为t x =，则)2,(t t A ，)2,(t t B -，t t OB OA 42-=⋅．…………………………………………………………3分当直线l 的斜率k 存在时，则0≠k ，设l 的方程为)(t x k y -=，),(11y x A ，),(22y x B ，由⎩⎨⎧-==,)(,42t x k y x y 消去x ，得0442=--kt y ky ，故⎪⎩⎪⎨⎧-==+,4,42121t y y k y y 所以，t t y y y y y y x x 41622122212121-=+=+=⋅．……………………5分 综上，⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关．……………………………6分（2）设),(00y x P ，则0204x y =，44)]2([)(||202020-+--=+-=t t x y t x PT ，…………………………………………8分因为00≥x ，所以⎩⎨⎧<<≥-=.20,,2,12)(t t t t t d ……………………………………14分20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.解：（1）函数x x x g 2)(2-=在]1,0[∈x 时的值域为]0,1[-，……………2分 不满足“保值函数”的定义，因此函数x x x g 2)(2-=不是定义域]1,0[上的“保值函数”．………………4分（2）因为函数xa a x f 2112)(-+=在],[n m 内是单调增函数，因此n n f m m f ==)(,)(，…………………………………………6分因此n m ,是方程x xa a =-+2112的两个不相等的实根， 等价于方程01)2(222=++-x a a x a 有两个不相等的实根…………………8分由04)2(222>-+=∆a a a 解得23-<a 或21>a ．…………………………10分 （3）xa a x f a 12)(22-+=，22212()|()|2222a a a f x x a f x x x x+-≤⇔≤⇔-≤≤，即为⎪⎩⎪⎨⎧-≥++≤+,212,12222x x a a x x a a 对1≥x 恒成立．…………………………………………12分 令x x x h 12)(+=，易证)(x h 在),1[+∞单调递增，同理x xx g 21)(-=在),1[+∞单调递减． 因此，1)1()(,3)1()(max min -====g x g h x h ．…………………………………14分所以⎩⎨⎧-≥+≤+,12,3222a a a a 解得123≤≤-a ．…………………………………………15分又23-<a 或21>a ，所以a 的取值范围是112a <≤．……………………16分21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.解：（1）若}{n a 是等差数列，则对任意*N ∈n ，121+++-=-n n n n a a a a ，即212+++=n n n a a a ，故21=k ．………………………………………………………………4分（2）21-=k 时，)(2121+++-=n n n a a a ，即212++--=n n n a a a ， )(112n n n n a a a a +-=++++，故n n n n n n a a a a a a +=+-=++++++11223)(．……5分 所以，当n 是偶数时，n a a n a a a a a a S n n n =+=++++++=-)(22114321Λ；………………………7分 当n 是奇数时，2)(2132-=+-=+a a a a ，)()()(15432114321n n n n n a a a a a a a a a a a a a S +++++++=++++++=--ΛΛ n n -=-⨯-+=2)2(211．…………………………………………………………8分 综上，⎩⎨⎧=-=-=kn n k n n S n 2,,12,2(*N ∈k )．………………………………………10分 （3）若}{n a 是等比数列，则公比a a a q ==12，由题意1≠a ， 故1-=m m a a ，m m a a =+1，12++=m m a a ．……………………………………11分 ① 若1+m a 为等差中项，则212+++=m m m a a a ，即112+-+=m m m a a a ，212a a +=， 解得1=a （舍去）；…………………………………………………………13分 ② 若m a 为等差中项，则212+++=m m m a a a ，即112+-+=m m m a a a ，22a a +=，因为1≠a ，解得2-=a ，52121121-=+=+=+=+-++a a a a a a a a k m m m m m m ；…15分 ③ 若2+m a 为等差中项，则122+++=m m m a a a ，即112-++=m m m a a a，122+=a a ， 因为1≠a ，解得21-=a ，5212-=+=a a k ．………………………………17分2k．………………………………18分=-综上，存在实数k满足题意，5。
上海市长宁区2017年中考二模数学试卷有答案AlUqqK
2017学年第二学期初三数学教学质量检测试卷（考试时间：100分钟 满分：150分）考生注意:1.本试卷含三个大题,共25题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效.2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤. 一、选择题（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）【每题只有一个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】 1．函数12-=x y 的图像不经过（ ▲ ）（A ） 第一象限； （B ） 第二象限； （C ） 第三象限； （D ） 第四象限． 2．下列式子一定成立的是（ ▲ ）（A ） a a a 632=+； （B ）428x x x =÷； （C ） aa 121=； （D ）6321)(aa-=--． 3．下列二次根式中，2的同类二次根式是（ ▲ ） （A ）4； （B ）x 2； （C ）92； （D ）12． 4．已知一组数据2、x 、8、5、5、2的众数是2，那么这组数据的中位数是（ ▲ ） （A ） 3.5； （B ） 4； （C ） 2； （D ）6.5．5．已知圆A 的半径长为4，圆B 的半径长为7，它们的圆心距为d ，要使这两圆没有公共点， 那么d 的值可以取（ ▲ ）（A ） 11； （B ） 6； （C ） 3； （D ）2．6．已知在四边形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，且AC =BD ， 下列四个命题中真命题是（ ▲ ）（A ） 若AB =CD ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形； （B ） 若∠DBC =∠ACB ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形； （C ） 若ODCOOB AO =，则四边形ABCD 一定是矩形； （D ） 若AC ⊥BD 且AO =OD ，则四边形ABCD 一定是正方形． 二、填空题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7． 计算：=--︒0)3(30sin ▲ ． 8． 方程6+=-x x 的解是 ▲ ．9． 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+-1)12(303x x 的解集是 ▲ ．10．已知反比例函数xky =的图像经过点（-2017，2018），当0>x 时，函数值y 随 自变量x 的值增大而 ▲ ．（填“增大”或“减小”）11．若关于x 的方程032=--m x x 有两个相等的实数根，则m 的值是 ▲ ． 12．在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是 ▲ ．13．抛物线522++=mx mx y 的对称轴是直线 ▲ ． 14．小明统计了家里3月份的电话通话清单，按通话时间画出频数分布直方图（如图所示），则通话时间不足10分钟的 通话次数的频率是 ▲ ．15．如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，BC =15，CD =9，EF =6，∠AFE =50°，则∠ADC 的度数为 ▲ ． 16．如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，∠C=90°，BC =CD =4，52=AD ， 若a AD =，b DC =，用a 、b 表示=DB ▲ ． 17．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC 是半高三角形，且斜边5=AB ，则它的周长等于 ▲ ． 18．如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的长为1，点P 是线段BD上的一点，联结CP ，将△BCP 沿着直线CP 翻折，若点B 落在 边AD 上的点E 处，且EP //AB ，则AB 的长等于 ▲ ．三、解答题（本大题共7题, 满分78分）【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】 19．（本题满分10分）先化简，再求值：12341311222+-++÷-+-+x x x x x x x ，其中121+=x ．20．（本题满分10分）解方程组：⎩⎨⎧=-=-+②12①06522 ． ，y x y xy x21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点D 在BA 的延长线上，BC =24，135sin =∠ABC ．（1）求AB 的长；（2）若AD =6.5，求DCB ∠的余切值．ACDB第21题图第14题图 A BCD EF第15题图 第16题图 D CBA 第18题图ABCD22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）某旅游景点的年游客量y （万人）是门票价格x （元）的一次函数，其函数图像如下图． （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）经过景点工作人员统计发现：每卖出一张门票所需成本为20元．那么要想获得年利润11500万元，且门票价格不得高于230元，该年的门票价格应该定为多少元？23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，E 在BC 的延长线，联结AE 分别交BD 、CD 于点 G 、F ，且AG GF BE AD =．（1）求证：AB //CD ；（2）若BD GD BC ⋅=2，BG =GE ，求证：四边形ABCD 是菱形．24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）如图在直角坐标平面内，抛物线32-+=bx ax y 与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于点B （-1，0）、点C （3，0），点D 是抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）联结AD 、DC ，求ACD ∆的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）在圆O 中，C 是弦AB 上的一点，联结OC 并延长，交劣弧AB 于点D ，联结AO 、BO 、AD 、BD . 已知圆O 的半径长为5 ，弦AB 的长为8． （1）如图1，当点D 是弧AB 的中点时，求CD 的长；第22题图ACDEF GB第23题图备用图第24题图（2）如图2，设AC =x ，y S S OBDACO=∆∆，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域； （3）若四边形AOBD 是梯形，求AD 的长．学年第二学参考答案议2018.3一、选择题：（本大题共6题，每题41．B ； 2．D ； 3．C ； 4．A ； 5．D ； 6．C ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分） 7．21-； 8．2-=x ； 9．3>x ； 10．增大； 11．43-=m ； 12．53； 13．1-=x ；14．7.0；15．︒140； 16．→→-a b 21； 17．255或535++； 18．215-．三、（本大题共7题，第19、20、21、22每题10分，第23、24每题12分，第25题14分，满分78分）19. （本题满分10分）解：原式= )1)(3()1()1)(1(3112++-⨯-++-+x x x x x x x (3分) =2)1(111+--+x x x (2分) =2)1(11++-+x x x (1分)=2)1(2+x (1分) 当12121-=+=x 时，原式=2)1(2+x =2)112(2+- =2)2(2=1 (3分) 20．（本题满分10分）解：方程①可变形为0))(6(=-+y x y x得06=+y x 或0=-y x （2分） 将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+1206y x y x 或（Ⅱ）⎩⎨⎧=-=-120y x y x （2分）解方程组（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧-==131136y x ， 解方程组（Ⅱ）⎩⎨⎧==11y x （4分） 所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧-==13113611y x ， ⎩⎨⎧==1122y x . （2分）另解：由②得12-=x y ③ （1分）把③代入①，得0)12(6)12(522=---+x x x x （1分）O A C DBO BA C DBAO整理得：0619132=+-x x （2分）解得：1,13621==x x （2分）分别代入③，得1,13121=-=y y （2分）所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧-==13113611y x ，⎩⎨⎧==1122y x . （2分）21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分） 解：（1）过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E又∵AB =AC ∴BC BE 21= ∵BC =24 ∴ BE =12 （1分）在ABE Rt ∆中，︒=∠90AEB ，135sin ==∠AB AE ABC （1分）设AE=5k,AB=13k ∵222BE AE AB += ∴1212==k BE ∴1=k ， ∴55==k AE ， 1313==k AB （2分） （2）过点D 作DF ⊥BC ，垂足为点F∵AD=6.5,AB=13 ∴BD=AB+AD=19.5∵AE ⊥BC ，DF ⊥BC ∴ ︒=∠=∠90DFB AEB ∴ DF AE // ∴BDABBF BE DF AE == 又 ∵ AE =5，BE =12，AB =13， ∴18,215==BF DF （4分）∴BF BC CF -= 即61824=-=CF （1分）在DCF Rt ∆中，︒=∠90DFC ，542156cot ===∠DF CF DCB （1分）22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 解：（1）设)0(≠+=k b kx y ，函数图像过点（200,100）， （50,250） （1分）代入解析式得：⎩⎨⎧=+=+25050100200b k b k （2分）解之得：⎩⎨⎧=-=3001b k （1分）所以y 关于x 的解析式为：300+-=x y （1分）（2）设门票价格定为x 元，依题意可得：11500)300)(20(=+--x x （2分）整理得： 0175003202=+-x x 解之得：x =70或者x =250（舍去） （2分）答：门票价格应该定为70元. （1分） 23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分） 证明：（1）∵BC AD // ∴BGDG BE AD = （2分）∵AG GF BE AD = ∴AGGF BG DG = （1分） ∴ CD AB // （2分） （2）∵BC AD //，CD AB //∴四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC=AD （1分）∵ BD GD BC ⋅=2∴ BD GD AD ⋅=2即ADGDBD AD =又 ∵BDA ADG ∠=∠ ∴ADG ∆∽BDA ∆ （1分） ∴ABD DAG ∠=∠∵CD AB // ∴BDC ABD ∠=∠ ∵BC AD // ∴E DAG ∠=∠∵BG =GE ∴E DBC ∠=∠ ∴DBC BDC ∠=∠ （3分） ∴BC=CD （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴平行四边形ABCD 是菱形. （1分） 24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）解：（1） 点B （-1，0）、C （3，0）在抛物线32-+=bx ax y 上∴⎩⎨⎧=-+=--033903b a b a ，解得⎩⎨⎧-==21b a （ 2分）∴抛物线的表达式为322--=x x y ，顶点D 的坐标是（1，-4） （ 2分） （2）∵A （0，-3），C （3，0），D （1，-4） ∴23=AC ，52=CD ，2=AD∴222AD AC CD += ∴︒=∠90CAD （ 2分）∴.32232121=⨯⨯=⋅⋅=∆AD AC S ACD （1分）（3）∵︒=∠=∠90AOB CAD ，2==AOACBO AD ， ∴△CAD ∽△AOB ，∴OAB ACD ∠=∠∵OA =OC ，︒=∠90AOC ∴︒=∠=∠45OCA OAC∴ACD OCA OAB OAC ∠+∠=∠+∠，即BCD BAC ∠=∠ （ 1分） 若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似 ，且△ABC 为锐角三角形 则POC ∆也为锐角三角形，点P 在第四象限 由点C （3，0），D （1，-4）得直线CD 的表达式是62-=x y ，设)62,(-t t P （30<<t ） 过P 作PH ⊥OC ，垂足为点H ，则t OH =，t PH 26-=①当ABC POC ∠=∠时,由ABC POC ∠=∠tan tan 得BOAO OH PH =，∴326=-t t ，解得56=t ， ∴)518,56(1-P （2分） ②当ACB POC ∠=∠时,由145tan tan tan =︒=∠=∠ACB POC 得1=OHPH ，∴126=-tt，解得2=t ，∴)2,2(2-P （ 2分） 综上得)518,56(1-P 或)2,2(2-P 25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分） 解：（1）∵OD 过圆心，点D 是弧AB 的中点，AB =8， ∴OD ⊥AB ，421==AB AC （2分） 在Rt △AOC 中，︒=∠90ACO Θ，AO =5，∴322=-=AC AO CO （1分） 5=OD Θ，2=-=∴OC OD CD （1分）（2）过点O 作OH ⊥AB ，垂足为点H ，则由（1）可得AH =4，OH =3 ∵AC =x ，∴|4|-=x CH在Rt △HOC 中，︒=∠90CHO Θ，AO =5， ∴258|4|322222+-=-+=+=x x x HC HO CO ， （1分）∴525882+-⋅-=⋅=⋅==∆∆∆∆∆∆x x x x OD OC BC AC S S S S S S y OBD OBC OBC ACO OBD ACOxx x x 5402582-+-= （80<<x ） （3分）（3）①当OB //AD 时， 过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AD ,垂足为点F ，则OF =AE ， AE OB OH AB S ABO ⋅=⋅=∆2121Θ ∴OF OB OH AB AE ==⋅=524 在Rt △AOF 中，︒=∠90AFO Θ，AO =5，∴5722=-=OF AO AF ∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，∴5142==AF AD . （3分）②当OA //BD 时， 过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ，则由①的方法可得524==BM DG ， 在Rt △GOD 中，︒=∠90DGO Θ，DO =5， ∴5722=-=DG DO GO ，518575=-=-=GO AO AG ，在Rt △GAD 中，︒=∠90DGA Θ，∴622=+=DG AG AD （ 3分）综上得6514或=AD。
上海市长宁区中考数学二模试卷(含解析)
2017年上海市长宁区中考数学二模试卷一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．已知=，那么下列各式中正确的是（）A． = B． =3 C． =D． =2．不等式组的解集在数轴上可表示为（）A．B．C．D．3．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（）A．B．C．D．4．如图，在四边形ABCD中，动点P从点A开始沿A→B→C→D的路径匀速前进到D为止．在这个过程中，△APD的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（）A．B．C．D．5．已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，则（）A．AP2=AB•PB B．AB2=AP•PB C．PB2=AP•AB D．AP2+BP2=AB26．下列说法中，正确的是（）A．一组数据﹣2，﹣1，0，1，1，2的中位数是0B．质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用普查的调查方式C．购买一张福利彩票中奖是一个确定事件D．分别写有三个数字﹣1，﹣2，4的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：（a b）3= ．8．在实数范围内分解因式：x2﹣3= ．9．已知函数f（x）=，那么f（﹣1）= ．10．已知反比例函数y=的图象经过一、三象限，则实数k的取值范围是．11．抛物线y=﹣x2+2x+a的对称轴是．12．方程=1的解为．13．已知关于x的方程x2﹣2kx+k=0有两个相等的实数根，那么实数k= ．14．某物流仓储公司用A、B两种型号的机器人搬运物品，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克物品，A型机器人搬运1000千克物品所用时间与B型机器人搬运800千克物品所用时间相等，设A型机器人每小时搬运物品x千克，列出关于x的方程为．15．化简：2﹣3（﹣）= ．16．如图，在菱形ABCD中，EF∥BC， =，EF=3，则CD的长为．17．在△ABC中，已知BC=4cm，以边AC的中点P为圆心1cm为半径画⊙P，以边AB的中点Q为圆心x cm长为半径画⊙Q，如果⊙P与⊙Q相切，那么x= cm．18．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE=45°．设BE=a，DC=b，那么AB= （用含a、b的式子表示AB）．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：（）﹣1﹣|﹣3+tan45°|+（）0．20．（10分）解方程组：．21．（10分）已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，设O为坐标原点．（1）求∠ABO的正切值；（2）如果点A向左平移12个单位到点C，直线l过点C且与直线y=﹣x+3平行，求直线l的解析式．22．（10分）小明在海湾森林公园放风筝．如图所示，小明在A处，风筝飞到C处，此时线长BC为40米，若小明双手牵住绳子的底端B距离地面1.5米，从B处测得C处的仰角为60°，求此时风筝离地面的高度CE．（计算结果精确到0.1米，≈1.732）23．（12分）如图，在△ABC 中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ，交AB于点Q，点D在线段 BC上，联接AD交线段PQ于点E，且=，点G在BC延长线上，∠ACG的平分线交直线PQ于点F．（1）求证：PC=PE；（2）当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形．24．（12分）已知△OAB在直角坐标系中的位置如图，点A在第一象限，点B在x轴正半轴上，OA=OB=6，∠AOB=30°．（1）求点A、B的坐标；（2）开口向上的抛物线经过原点O和点B，设其顶点为E，当△OBE为等腰直角三角形时，求抛物线的解析式；（3）设半径为2的⊙P与直线OA交于M、N两点，已知MN=2，P（m，2）（m＞0），求m的值．25．（14分）如图，△ABC的边AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，已知AC=6cm，BC=8cm，点P、Q分别在边AB、BC上，且点P不与点A、B重合，BQ=k•AP（k＞0），联接PC、PQ．（1）求⊙O的半径长；（2）当k=2时，设AP=x，△CPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△CPQ与△ABC相似，且∠ACB=∠CPQ，求k的值．2017年上海市长宁区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．已知=，那么下列各式中正确的是（）A． = B． =3 C． =D． =【考点】S1：比例的性质．【分析】根据比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积）作出选择．【解答】解：∵ =的两内项是y、3，两外项是x、4，∴x=y，y=x，3y=4x．A、由原式得，4（x+y）=7y，即3y=4x，故本选项正确；B、由原式得，3（x﹣y）=x，即2x=3y，故本选项错误；C、由原式得，10x=3（x+2y），即6y=7x，故本选项错误；D、由原式得，4（x﹣y）=y，即3x=5y，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查了比例的基本性质．难度不大，是基础题．2．不等式组的解集在数轴上可表示为（）A．B．C．D．【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案．【解答】解：解不等式2x+3≥1，得：x≥﹣1，解不等式x﹣2＜0，得：x＜2，∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2，故选：B．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．3．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（）A．B．C．D．【考点】T1：锐角三角函数的定义．【分析】作AD⊥BC，可得AD=BD=5，利用勾股定理求得AB，再由余弦函数的定义求解可得．【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，则AD=5，BD=5，∴AB===5，∴cos∠B===，故选：B．【点评】本题主要考查余弦函数的定义和勾股定理，构建直角三角形是解题的关键．4．如图，在四边形ABCD中，动点P从点A开始沿A→B→C→D的路径匀速前进到D为止．在这个过程中，△APD的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（）A．B．C．D．【考点】E7：动点问题的函数图象．【分析】根据点P的运动过程可知：△APD的底边为AD，而且AD始终不变，点P到直线AD 的距离为△APD的高，根据高的变化即可判断S与t的函数图象．【解答】解：设点P到直线AD的距离为h，∴△APD的面积为： ADh，当P在相等AB运动时，此时h不断增大，当P在线段BC上运动时，此时h不变，当P在线段CD上运动时，此时h不断减小，故选（C）【点评】本题考查函数图象，解题的关键是根据点P到直线AD的距离来判断s与t的关系，本题属于基础题型．5．已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，则（）A．AP2=AB•PB B．AB2=AP•PB C．PB2=AP•AB D．AP2+BP2=AB2【考点】S3：黄金分割．【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．【解答】解：∵P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，∴PB2=AP•AB．故选C．【点评】本题考查了黄金分割的概念，熟记定义是解题的关键．6．下列说法中，正确的是（）A．一组数据﹣2，﹣1，0，1，1，2的中位数是0B．质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用普查的调查方式C．购买一张福利彩票中奖是一个确定事件D．分别写有三个数字﹣1，﹣2，4的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为【考点】X6：列表法与树状图法；V2：全面调查与抽样调查；W4：中位数；X1：随机事件．【分析】根据中位数、全面调查和抽样调查、事件的分类以及概率的求法分别对每一项进行分析，即可得出答案．【解答】解：A、数据﹣2，﹣1，0，1，1，2的中位数是=，故本选项错误；B、质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用抽样调查方式，故本选项错误；C、购买一张福利彩票中奖是一个不确定事件，故本选项错误；D、分别写有三个数字﹣1，﹣2，4的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为，故本选项正确；故选D．【点评】此题考查了中位数、全面调查和抽样调查、事件的分类以及概率的求法．用到的知识点为：可能发生，也可能不发生的事件叫做随机事件；概率=所求情况数与总情况数之比．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：（a b）3= ab3．【考点】2F：分数指数幂．【分析】根据积的乘方等于乘方的积，可得答案．【解答】解：原式=a b3=ab3，故答案为：ab3．【点评】本题考查了积的乘方，利用积的乘方是解题关键．8．在实数范围内分解因式：x2﹣3= （x+）（x﹣）．【考点】58：实数范围内分解因式；54：因式分解﹣运用公式法．【分析】把3写成的平方，然后再利用平方差公式进行分解因式．【解答】解：x2﹣3=x2﹣（）2=（x+）（x﹣）．【点评】本题考查平方差公式分解因式，把3写成的平方是利用平方差公式的关键．9．已知函数f（x）=，那么f（﹣1）= 2+．【考点】E5：函数值；76：分母有理化．【分析】把x=﹣1直接代入函数f（x）=即可求出函数值．【解答】解：因为函数f（x）=，所以当x=﹣1时，f（x）==2+．【点评】本题比较容易，考查求函数值．（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．10．已知反比例函数y=的图象经过一、三象限，则实数k的取值范围是k＞1 ．【考点】G4：反比例函数的性质．【分析】根据反比例函数y=的图象经过一、三象限得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过一、三象限，∴k﹣1＞0，即k＞1．故答案为：k＞1．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．11．抛物线y=﹣x2+2x+a的对称轴是直线x=1 ．【考点】H3：二次函数的性质．【分析】先根据抛物线的解析式得出a、b的值，再根据二次函数的对称轴方程即可得出结论．【解答】解：∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+a，∴a=﹣1，b=2，∴其对称轴是直线x=﹣=﹣=1．故答案为：x=1【点评】本题考查的是二次函数的性质，即二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴直线x=﹣．12．方程=1的解为x=2 ．【考点】AG：无理方程．【分析】方程两边平方转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到无理方程的解．【解答】解：方程两边平方得：x﹣1=1，解得：x=2，经检验x=2是原方程的解，故答案为：x=2【点评】此题考查了无理方程，无理方程注意要检验．13．已知关于x的方程x2﹣2kx+k=0有两个相等的实数根，那么实数k= k=0或k=1 ．【考点】AA：根的判别式．【分析】由方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4k2﹣4k=0，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2kx+k=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣2k）2﹣4k=4k2﹣4k=0，解得：k=0或k=1．故答案为：k=0或k=1．【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．14．某物流仓储公司用A、B两种型号的机器人搬运物品，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克物品，A型机器人搬运1000千克物品所用时间与B型机器人搬运800千克物品所用时间相等，设A型机器人每小时搬运物品x千克，列出关于x的方程为=．【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．【分析】根据A、B两种机器人每小时搬运物品间的关系可得出B型机器人每小时搬运物品（x﹣20）千克，再根据A型机器人搬运1000千克物品所用时间与B型机器人搬运800千克物品所用时间相等即可列出关于x的分式方程，由此即可得出结论．【解答】解：设A型机器人每小时搬运物品x千克，则B型机器人每小时搬运物品（x﹣20）千克，∵A型机器人搬运1000千克物品所用时间与B型机器人搬运800千克物品所用时间相等，∴=．故答案为： =．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是根据数量关系列出关于x 的分式方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程是关键．15．化简：2﹣3（﹣）= +3．【考点】LM：*平面向量．【分析】根据向量的加减运算法则进行计算即可得解．【解答】解：2﹣3（﹣），=2﹣+3，=+3．故答案为： +3．【点评】本题考查了平面向量，熟记向量的加减运算法则是解题的关键．16．如图，在菱形ABCD中，EF∥BC， =，EF=3，则CD的长为12 ．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L8：菱形的性质．【分析】要求CD的长，只要求出菱形的任意一条边长即可，根据题意可以求得△AEF∽△ABC，从而可以求得BC的长，本题得以解决．【解答】解：∵在菱形ABCD中，EF∥BC， =，EF=3，∴△AEF∽△ABC，AB=BC=CD=DA，，∴，∴，解得，BC=12，∴CD=12，故答案为：12．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似解答．17．在△ABC中，已知BC=4cm，以边AC的中点P为圆心1cm为半径画⊙P，以边AB的中点Q为圆心x cm长为半径画⊙Q，如果⊙P与⊙Q相切，那么x= 1或3 cm．【考点】MK：相切两圆的性质．【分析】根据三角形的中位线的性质得到PQ=BC=2cm，①当⊙P与⊙Q相外切时，②当⊙P 与⊙Q相内切时，列方程即可得到结论．【解答】解：∵BC=4cm，点P是AC的中点，点Q是AB的中点，∴PQ=BC=2cm，①当⊙P与⊙Q相外切时，PQ=1+x=2，∴x=1cm，②当⊙P与⊙Q相内切时，PQ=|x﹣1|=2，∴x=3cm（负值舍去），∴如果⊙P与⊙Q相切，那么x=1cm或3cm，故答案为：1或3．【点评】本题考查了相切两圆的性质，三角形的中位线的性质，注意相切两圆的两种情况．18．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE=45°．设BE=a，DC=b，那么AB= （a+b+）（用含a、b的式子表示AB）．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，只要证明△FAE≌△DAE，推出EF=ED，∠ABF=∠C=45°，由∠EBF=∠ABF+∠ABE=90°，推出ED=EF=，可得BC=a+b+，根据AB=BC•cos45°即可解决问题．【解答】解：将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB．证明：∵△DAC≌△FAB，∴AD=AF，∠DAC=∠FAB，∴∠FAD=90°，∵∠DAE=45°，∴∠DAC+∠BAE=∠FAB+∠BAE=∠FAE=45°，在△FAE和△DAE中，，∴△FAE≌△DAE，∴EF=ED，∠ABF=∠C=45°，∵∠EBF=∠ABF+∠ABE=90°，∴ED=EF=，∴BC=a+b+，∴AB=BC•cos45°=（a+b+）．故答案为（a+b+）．【点评】本题考查旋转变换、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2017•长宁区二模）计算：（）﹣1﹣|﹣3+tan45°|+（）0．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果．【解答】解：原式=2﹣3++1=．【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（10分）（2017•长宁区二模）解方程组：．【考点】AF：高次方程．【分析】由①得：2x﹣y=0，2x+y=0，这样原方程组化成两个二元二次方程组，求出每个方程组的解即可．【解答】解：由①得：2x﹣y=0，2x+y=0，原方程组化为：①，②，解方程组①得：，，方程组②无解，所以原方程组的解为：，．【点评】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元二次方程组（降次）是解此题的关键．21．（10分）（2017•长宁区二模）已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，设O为坐标原点．（1）求∠ABO的正切值；（2）如果点A向左平移12个单位到点C，直线l过点C且与直线y=﹣x+3平行，求直线l的解析式．【考点】FF：两条直线相交或平行问题；Q3：坐标与图形变化﹣平移；T7：解直角三角形．【分析】（1）根据已知条件得到A（6，0），B（0，3），求得OA=6，OB=3，根据三角函数的定义即可得到结论；（2）将点A向左平移12个单位到点C，于是得到C（﹣6，0），设直线l的解析式为y=﹣x+b，把C（﹣6，0）代入y=﹣x+b即可得到结论．【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（6，0），B（0，3），∴OA=6，OB=3，∵∠AOB=90°，∴tan∠ABO===2；（2）将点A向左平移12个单位到点C，∴C（﹣6，0），∵直线l过点C且与直线y=﹣x+3平行，设直线l的解析式为y=﹣x+b，把C（﹣6，0）代入y=﹣x+b得0=﹣（﹣6）+b，∴b=﹣3，∴直线l的解析式为y=﹣x﹣3．【点评】本题考查了两直线平行或相交问题，坐标与图形变换﹣平移，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键．22．（10分）（2017•长宁区二模）小明在海湾森林公园放风筝．如图所示，小明在A处，风筝飞到C处，此时线长BC为40米，若小明双手牵住绳子的底端B距离地面1.5米，从B 处测得C处的仰角为60°，求此时风筝离地面的高度CE．（计算结果精确到0.1米，≈1.732）【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】过点B作BD⊥CE于点D，由锐角三角函数的定义求出CD的长，根据CE=CD+DE即可得出结论．【解答】解：过点B作BD⊥CE于点D，∵AB⊥AE，DE⊥AE，BD⊥CE，∴四边形ABDE是矩形，∴DE=AB=1.5米．∵BC=40米，∠CBD=60°，∴CD=BC•sin60°=40×=20，∴CE=CD+DE=20+1.5≈20×1.73+1.5≈36.1（米）．答：此时风筝离地面的高度CE是36.1米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．23．（12分）（2017•长宁区二模）如图，在△ABC 中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ，交AB于点Q，点D在线段 BC上，联接AD交线段PQ于点E，且=，点G在BC延长线上，∠ACG的平分线交直线PQ于点F．（1）求证：PC=PE；（2）当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；LC：矩形的判定．【分析】（1）根据相似三角形的性质得到=，，等量代换得到=，推出=，于是得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠PFC=∠FCG，根据角平分线的性质得到∠PCF=∠FCG，等量代换得到∠PFC=∠FCG，根据等腰三角形的性质得到PF=PC，得到PF=PE，由已知条件得到AP=CP，推出四边形AECF是平行四边形，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵PQ∥BC，∴△AQE∽△ABD，△AEP∽△ADC，∴=，，∴=，∵=，∴=，∴PC=PE；（2）∵PF∥DG，∴∠PFC=∠FCG，∵CF平分∠PCG，∴∠PCF=∠FCG，∴∠PFC=∠FCG，∴PF=PC，∴PF=PE，∵P是边AC的中点，∴AP=CP，∴四边形AECF是平行四边形，∵PQ∥CD，∴∠PEC=∠DCE，∴∠PCE=∠DCE，∴∠PCE+∠PCF=（∠PCD+∠PCG）=90°，∴∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．24．（12分）（2017•长宁区二模）已知△OAB在直角坐标系中的位置如图，点A在第一象限，点B在x轴正半轴上，OA=OB=6，∠AOB=30°．（1）求点A、B的坐标；（2）开口向上的抛物线经过原点O和点B，设其顶点为E，当△OBE为等腰直角三角形时，求抛物线的解析式；（3）设半径为2的⊙P与直线OA交于M、N两点，已知MN=2，P（m，2）（m＞0），求m的值．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）根据30°的角所对的直角边是斜边的一半，可得AC的长，再根据锐角三角函数，可得OC，根据点的坐标，可得答案；（2）根据等腰直角三角形，可得E点坐标，再根据待定系数法，可得答案；（3）根据30°的角所对的直角边是斜边的一半，可得∠CNP=30°，再根据勾股定理OE的长，根据点的坐标，可得N点坐标，根据点的左右平移，可得P点坐标．【解答】解：（1）如图1，作 AC⊥OB于C点，由OB=OA=6，得B点坐标为（6，0），由OB=OA=6，∠AOB=30°，得AC=OA=3，OC=OA•cos∠AOC=OA=3，∴A点坐标为（3，3）；（2）如图2，由其顶点为E，当△OBE为等腰直角三角形，得OC=BC=CE=OB=3，即E点坐标为（3，﹣3）．设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2﹣3，将B点坐标代入，解得a=，抛物线的解析式为y=（x﹣3）2﹣3化简得y=x2﹣2x；（3）如图3，PN=2，CN=，PC=1，∠CNP=∠AOB=30°，NP∥OB，NE=2，得ON=4，由勾股定理，得OE==2，即N（2，2）．N向右平移2个单位得P（2+2，2），N向左平移2个单位，得P（2﹣2，2），m的值为2+2或2﹣2．【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用直角三角形的性质得出AC的长，又利用了锐角三角函数；解（2）的关键是利用等腰直角三角形得出E点的坐标，又利用了待定系数法；解（3）的关键是利用直角三角形的性质得出∠CNP=∠AOB=30°，又利用了勾股定理得出OE的长，要分类讨论：N左右平移得P点，以防遗漏．25．（14分）（2017•长宁区二模）如图，△ABC的边AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，已知AC=6cm，BC=8cm，点P、Q分别在边AB、BC上，且点P不与点A、B重合，BQ=k•AP（k＞0），联接PC、PQ．（1）求⊙O的半径长；（2）当k=2时，设AP=x，△CPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△CPQ与△ABC相似，且∠ACB=∠CPQ，求k的值．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）首先证明∠ACB=90°，然后利用勾股定理即可解决问题．（2）如图2中，作PH⊥BC于H．由PH∥AC，推出=，推出=，推出PH=（10﹣x），根据y=•CQ•PH计算即可．（3）因为△CPQ与△ABC相似，∠CPQ=∠ACB=90°，又因为∠CQP＞∠B，所以只有∠PCB=∠B，推出PC=PB，由∠B+∠A=90°，∠ACP+∠PCB=90°，推出∠A=∠ACP，推出PA=PC=PB=5，由△COQ∽△BCA，推出=，推出=，即可解决问题．【解答】解：（1）∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵AC=6，BC=8，∴AB===10，∴⊙O的半径为5．（2）如图2中，作PH⊥BC于H．∵PH∥AC，∴=，∴=，∴PH=（10﹣x），∴y=•CQ•PH=•（8﹣2x）•（10﹣x）=x2﹣x+24（0＜x＜4）．（3）如图2中，∵△CPQ与△ABC相似，∠CPQ=∠ACB=90°，又∵∠CQP＞∠B，∴只有∠PCB=∠B，∴PC=PB，∵∠B+∠A=90°，∠ACP+∠PCB=90°，∴∠A=∠ACP，∴PA=PC=PB=5，∴△COQ∽△BCA，∴=，∴=，∴k=．【点评】本题考查圆综合题、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确应用相似三角形的性质解决问题，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考压轴题．。
2017学年长宁区九年级第二学期数学试卷(二模)
2017学年第二学期初三数学教学质量检测试卷（考试时间：100分钟 满分：150分）考生注意:1.本试卷含三个大题,共25题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效.2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤. 一、选择题（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）【每题只有一个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】 1．函数12-=x y 的图像不经过（ ▲ ）（A ） 第一象限； （B ） 第二象限； （C ） 第三象限； （D ） 第四象限． 2．下列式子一定成立的是（ ▲ ）（A ） a a a 632=+； （B ）428x x x =÷；（C ） aa 121=； （D ）6321)(aa-=--． 3．下列二次根式中，2的同类二次根式是（ ▲ ） （A ）4； （B ）x 2； （C ）92； （D ）12． 4．已知一组数据2、x 、8、5、5、2的众数是2，那么这组数据的中位数是（ ▲ ） （A ） 3.5； （B ） 4； （C ） 2； （D ）6.5．5．已知圆A 的半径长为4，圆B 的半径长为7，它们的圆心距为d ，要使这两圆没有公共点， 那么d 的值可以取（ ▲ ）（A ） 11； （B ） 6； （C ） 3； （D ）2．6．已知在四边形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，且AC =BD ， 下列四个命题中真命题是（ ▲ ）（A ） 若AB =CD ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形； （B ） 若∠DBC =∠ACB ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形； （C ） 若ODCOOB AO =，则四边形ABCD 一定是矩形； （D ） 若AC ⊥BD 且AO =OD ，则四边形ABCD 一定是正方形．二、填空题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7． 计算：=--︒0)3(30sin ▲ ． 8． 方程6+=-x x 的解是 ▲ ．9． 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+-1)12(303x x 的解集是 ▲ ．10．已知反比例函数xky =的图像经过点（-2017，2018），当0>x 时，函数值y 随 自变量x 的值增大而 ▲ ．（填“增大”或“减小”）11．若关于x 的方程032=--m x x 有两个相等的实数根，则m 的值是 ▲ ． 12．在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是 ▲ ．13．抛物线522++=mx mx y 的对称轴是直线 ▲ ． 14．小明统计了家里3月份的电话通话清单，按通话时间画出频数分布直方图（如图所示），则通话时间不足10分钟的 通话次数的频率是 ▲ ．15．如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，BC =15，CD =9，EF =6，∠AFE =50°，则∠ADC 的度数为 ▲ ． 16．如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，∠C=90°，BC =CD =4，52=AD ，若a AD =，b DC =，用、表示= ▲ ． 17．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边5=AB ，则它的周长等于 ▲ ． 18．如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的长为1，点P 是线段BD上的一点，联结CP ，将△BCP 沿着直线CP 翻折，若点B 落在 边AD 上的点E 处，且EP //AB ，则AB 的长等于 ▲ ．第14题图AB CDE F第15题图第16题图DCBA第18题图AB CD三、解答题（本大题共7题, 满分78分）【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】 19．（本题满分10分）先化简，再求值：12341311222+-++÷-+-+x x x x x x x ，其中121+=x ．20．（本题满分10分）解方程组：⎩⎨⎧=-=-+②12①06522 ． ，y x y xy x21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点D 在BA 的延长线上，BC =24，135sin =∠ABC ．（1）求AB 的长；（2）若AD =6.5，求DCB ∠的余切值．22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）某旅游景点的年游客量y （万人）是门票价格x （元）的一次函数，其函数图像如下图． （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）经过景点工作人员统计发现：每卖出一张门票所需成本为20元．那么要想获得年利润11500万元，且门票价格不得高于230元，该年的门票价格应该定为多少元？23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，E 在BC 的延长线，联结AE 分别交BD 、CD 于点 G 、F ，且AG GF BE AD =．（1）求证：AB //CD ；（2）若BD GD BC ⋅=2，BG =GE ，求证：四边形ABCD 是菱形．ACDB第21题图第22题图ACDEF GB第23题图24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）如图在直角坐标平面内，抛物线32-+=bx ax y 与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于点B （-1，0）、点C （3，0），点D 是抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）联结AD 、DC ，求ACD ∆的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）在圆O 中，C 是弦AB 上的一点，联结OC 并延长，交劣弧AB 于点D ，联结AO 、BO 、AD 、BD . 已知圆O 的半径长为5 ，弦AB 的长为8．（1）如图1，当点D 是弧AB 的中点时，求CD 的长； （2）如图2，设AC =x ，y S S OBDACO=∆∆，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域； （3）若四边形AOBD 是梯形，求AD 的长．备用图第24题图OAC BO BA C DBAO长宁区2017学年第二学期初三数学参考答案和评分建议2018.3一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B ； 2．D ； 3．C ； 4．A ； 5．D ； 6．C ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分） 7．21-； 8．2-=x ； 9．3>x ； 10．增大； 11．43-=m ； 12．53； 13．1-=x ；14．7.0；15．︒140； 16．→→-a b 21； 17．255或535++； 18．215-．三、（本大题共7题，第19、20、21、22每题10分，第23、24每题12分，第25题14分，满分78分）19. （本题满分10分）解：原式= )1)(3()1()1)(1(3112++-⨯-++-+x x x x x x x (3分) =2)1(111+--+x x x (2分) =2)1(11++-+x x x (1分) =2)1(2+x (1分)当12121-=+=x 时，原式=2)1(2+x =2)112(2+- =2)2(2=1 (3分) 20．（本题满分10分）解：方程①可变形为0))(6(=-+y x y x得06=+y x 或0=-y x （2分）将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+1206y x y x 或（Ⅱ）⎩⎨⎧=-=-120y x y x （2分）解方程组（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧-==131136y x ， 解方程组（Ⅱ）⎩⎨⎧==11y x （4分） 所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧-==13113611y x ， ⎩⎨⎧==1122y x . （2分）另解：由②得12-=x y ③ （1分） 把③代入①，得0)12(6)12(522=---+x x x x （1分）整理得：0619132=+-x x （2分）解得：1,13621==x x （2分）分别代入③，得1,13121=-=y y （2分）所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧-==13113611y x ，⎩⎨⎧==1122y x . （2分）21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分） 解：（1）过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E又∵AB =AC ∴BC BE 21= ∵BC =24 ∴ BE =12 （1分）在ABE Rt ∆中，︒=∠90AEB ，135sin ==∠AB AE ABC （1分）设AE=5k,AB=13k ∵222BE AE AB += ∴1212==k BE∴1=k ， ∴55==k AE ， 1313==k AB （2分） （2）过点D 作DF ⊥BC ，垂足为点F∵AD=6.5,AB=13 ∴BD=AB+AD=19.5∵AE ⊥BC ，DF ⊥BC ∴ ︒=∠=∠90DFB AEB ∴ DF AE //∴BDABBF BE DF AE == 又 ∵ AE =5，BE =12，AB =13， ∴18,215==BF DF （4分） ∴BF BC CF -= 即61824=-=CF （1分）在DCF Rt ∆中，︒=∠90DFC ，5426cot ===∠DF CF DCB （1分）22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）设)0(≠+=k b kx y ，函数图像过点（200,100）， （50,250） （1分）代入解析式得：⎩⎨⎧=+=+25050100200b k b k （2分）解之得：⎩⎨⎧=-=3001b k （1分）所以y 关于x 的解析式为：300+-=x y （1分） （2）设门票价格定为x 元，依题意可得：11500)300)(20(=+--x x （2分） 整理得： 0175003202=+-x x 解之得：x =70或者x =250（舍去） （2分）答：门票价格应该定为70元. （1分） 23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分） 证明：（1）∵BC AD // ∴BG DG BE AD = （2分）∵AG GFBE AD =∴AGGF BG DG = （1分） ∴ CD AB // （2分） （2）∵BC AD //，CD AB //∴四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC=AD （1分） ∵ BD GD BC ⋅=2∴ BD GD AD ⋅=2即ADGDBD AD =又 ∵BDA ADG ∠=∠ ∴ADG ∆∽BDA ∆ （1分） ∴ABD DAG ∠=∠∵CD AB // ∴BDC ABD ∠=∠ ∵BC AD // ∴E DAG ∠=∠∵BG =GE ∴E DBC ∠=∠ ∴DBC BDC ∠=∠ （3分） ∴BC=CD （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴平行四边形ABCD 是菱形. （1分） 24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分） 解：（1） 点B （-1，0）、C （3，0）在抛物线32-+=bx ax y 上∴⎩⎨⎧=-+=--033903b a b a ，解得⎩⎨⎧-==21b a （ 2分）∴抛物线的表达式为322--=x x y ，顶点D 的坐标是（1，-4） （ 2分） （2）∵A （0，-3），C （3，0），D （1，-4） ∴23=AC ，52=CD ，2=AD∴222AD AC CD += ∴︒=∠90CAD （ 2分）∴.32232121=⨯⨯=⋅⋅=∆AD AC S ACD （1分） （3）∵︒=∠=∠90AOB CAD ，2==AOACBO AD ， ∴△CAD ∽△AOB ，∴OAB ACD ∠=∠∵OA =OC ，︒=∠90AOC ∴︒=∠=∠45OCA OAC∴ACD OCA OAB OAC ∠+∠=∠+∠，即BCD BAC ∠=∠ （ 1分）若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似 ，且△ABC 为锐角三角形 则POC ∆也为锐角三角形，点P 在第四象限由点C （3，0），D （1，-4）得直线CD 的表达式是62-=x y ，设)62,(-t t P （30<<t ） 过P 作PH ⊥OC ，垂足为点H ，则t OH =，t PH 26-=①当ABC POC ∠=∠时,由ABC POC ∠=∠tan tan 得BO AO OH PH =，∴326=-t t ，解得56=t ， ∴)518,56(1-P （2分） ②当ACB POC ∠=∠时,由145tan tan tan =︒=∠=∠ACB POC 得1=OHPH ，∴126=-tt，解得2=t ，∴)2,2(2-P （ 2分） 综上得)518,56(1-P 或)2,2(2-P 25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分） 解：（1）∵OD 过圆心，点D 是弧AB 的中点，AB =8，∴OD ⊥AB ，421==AB AC （2分） 在Rt △AOC 中，︒=∠90ACO ，AO =5，∴322=-=AC AO CO （1分）5=OD ，2=-=∴OC OD CD （1分） （2）过点O 作OH ⊥AB ，垂足为点H ，则由（1）可得AH =4，OH =3∵AC =x ，∴|4|-=x CH在Rt △HOC 中，︒=∠90CHO ，AO =5， ∴258|4|322222+-=-+=+=x x x HC HO CO ， （1分）∴525882+-⋅-=⋅=⋅==∆∆∆∆∆∆x x x x OD OC BC AC S S S S S S y OBD OBC OBC ACO OBD ACO xx x x 5402582-+-= （80<<x ） （3分）（3）①当OB //AD 时， 过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AD ,垂足为点F ，则OF =AE ， AE OB OH AB S ABO ⋅=⋅=∆2121 ∴OF OB OH AB AE ==⋅=524 在Rt △AOF 中，︒=∠90AFO ，AO =5，∴5722=-=OF AO AF ∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，∴5142==AF AD . （3分）②当OA //BD 时， 过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ，则由①的方法可得524==BM DG ， 在Rt △GOD 中，︒=∠90DGO ，DO =5， ∴5722=-=DG DO GO ，518575=-=-=GO AO AG ，在Rt △GAD 中，︒=∠90DGA ，∴622=+=DG AG AD （ 3分）综上得6514或=AD。
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2017年上海市长宁区中考数学二模试卷一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．已知=，那么下列各式中正确的是（）A． = B． =3 C． =D． =2．不等式组的解集在数轴上可表示为（）A．B．C．D．3．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（）A．B．C．D．4．如图，在四边形ABCD中，动点P从点A开始沿A→B→C→D的路径匀速前进到D为止．在这个过程中，△APD的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（）A．B．C．D．5．已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，则（）A．AP2=AB•PB B．AB2=AP•PB C．PB2=AP•AB D．AP2+BP2=AB26．下列说法中，正确的是（）A．一组数据﹣2，﹣1，0，1，1，2的中位数是0B．质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用普查的调查方式C．购买一张福利彩票中奖是一个确定事件D．分别写有三个数字﹣1，﹣2，4的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：（a b）3= ．8．在实数范围内分解因式：x2﹣3= ．9．已知函数f（x）=，那么f（﹣1）= ．10．已知反比例函数y=的图象经过一、三象限，则实数k的取值范围是．11．抛物线y=﹣x2+2x+a的对称轴是．12．方程=1的解为．13．已知关于x的方程x2﹣2kx+k=0有两个相等的实数根，那么实数k= ．14．某物流仓储公司用A、B两种型号的机器人搬运物品，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克物品，A型机器人搬运1000千克物品所用时间与B型机器人搬运800千克物品所用时间相等，设A型机器人每小时搬运物品x千克，列出关于x的方程为．15．化简：2﹣3（﹣）= ．16．如图，在菱形ABCD中，EF∥BC， =，EF=3，则CD的长为．17．在△ABC中，已知BC=4cm，以边AC的中点P为圆心1cm为半径画⊙P，以边AB的中点Q为圆心x cm长为半径画⊙Q，如果⊙P与⊙Q相切，那么x= cm．18．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE=45°．设BE=a，DC=b，那么AB= （用含a、b的式子表示AB）．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：（）﹣1﹣|﹣3+tan45°|+（）0．20．（10分）解方程组：．21．（10分）已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，设O为坐标原点．（1）求∠ABO的正切值；（2）如果点A向左平移12个单位到点C，直线l过点C且与直线y=﹣x+3平行，求直线l的解析式．22．（10分）小明在海湾森林公园放风筝．如图所示，小明在A处，风筝飞到C处，此时线长BC为40米，若小明双手牵住绳子的底端B距离地面1.5米，从B处测得C处的仰角为60°，求此时风筝离地面的高度CE．（计算结果精确到0.1米，≈1.732）23．（12分）如图，在△ABC 中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ，交AB于点Q，点D在线段 BC上，联接AD交线段PQ于点E，且=，点G在BC延长线上，∠ACG的平分线交直线PQ于点F．（1）求证：PC=PE；（2）当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形．24．（12分）已知△OAB在直角坐标系中的位置如图，点A在第一象限，点B在x轴正半轴上，OA=OB=6，∠AOB=30°．（1）求点A、B的坐标；（2）开口向上的抛物线经过原点O和点B，设其顶点为E，当△OBE为等腰直角三角形时，求抛物线的解析式；（3）设半径为2的⊙P与直线OA交于M、N两点，已知MN=2，P（m，2）（m＞0），求m的值．25．（14分）如图，△ABC的边AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，已知AC=6cm，BC=8cm，点P、Q分别在边AB、BC 上，且点P不与点A、B重合，BQ=k•AP（k＞0），联接PC、PQ．（1）求⊙O的半径长；（2）当k=2时，设AP=x，△CPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△CPQ与△ABC相似，且∠ACB=∠CPQ，求k的值．2017年上海市长宁区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．已知=，那么下列各式中正确的是（）A． = B． =3 C． =D． =【考点】S1：比例的性质．【分析】根据比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积）作出选择．【解答】解：∵ =的两内项是y、3，两外项是x、4，∴x=y，y=x，3y=4x．A、由原式得，4（x+y）=7y，即3y=4x，故本选项正确；B、由原式得，3（x﹣y）=x，即2x=3y，故本选项错误；C、由原式得，10x=3（x+2y），即6y=7x，故本选项错误；D、由原式得，4（x﹣y）=y，即3x=5y，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查了比例的基本性质．难度不大，是基础题．2．不等式组的解集在数轴上可表示为（）A．B．C．D．【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案．【解答】解：解不等式2x+3≥1，得：x≥﹣1，解不等式x﹣2＜0，得：x＜2，∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2，故选：B．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．3．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（）A．B．C．D．【考点】T1：锐角三角函数的定义．【分析】作AD⊥BC，可得AD=BD=5，利用勾股定理求得AB，再由余弦函数的定义求解可得．【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，则AD=5，BD=5，∴AB===5，∴cos∠B===，故选：B．【点评】本题主要考查余弦函数的定义和勾股定理，构建直角三角形是解题的关键．4．如图，在四边形ABCD中，动点P从点A开始沿A→B→C→D的路径匀速前进到D为止．在这个过程中，△APD的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（）A．B．C．D．【考点】E7：动点问题的函数图象．【分析】根据点P的运动过程可知：△APD的底边为AD，而且AD始终不变，点P到直线AD的距离为△APD的高，根据高的变化即可判断S与t的函数图象．【解答】解：设点P到直线AD的距离为h，∴△APD的面积为： ADh，当P在相等AB运动时，此时h不断增大，当P在线段BC上运动时，此时h不变，当P在线段CD上运动时，此时h不断减小，故选（C）【点评】本题考查函数图象，解题的关键是根据点P到直线AD的距离来判断s与t的关系，本题属于基础题型．5．已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，则（）A．AP2=AB•PB B．AB2=AP•PB C．PB2=AP•AB D．AP2+BP2=AB2【考点】S3：黄金分割．【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．【解答】解：∵P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，∴PB2=AP•AB．故选C．【点评】本题考查了黄金分割的概念，熟记定义是解题的关键．6．下列说法中，正确的是（）A．一组数据﹣2，﹣1，0，1，1，2的中位数是0B．质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用普查的调查方式C．购买一张福利彩票中奖是一个确定事件D．分别写有三个数字﹣1，﹣2，4的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为【考点】X6：列表法与树状图法；V2：全面调查与抽样调查；W4：中位数；X1：随机事件．【分析】根据中位数、全面调查和抽样调查、事件的分类以及概率的求法分别对每一项进行分析，即可得出答案．【解答】解：A、数据﹣2，﹣1，0，1，1，2的中位数是=，故本选项错误；B、质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用抽样调查方式，故本选项错误；C、购买一张福利彩票中奖是一个不确定事件，故本选项错误；D、分别写有三个数字﹣1，﹣2，4的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为，故本选项正确；故选D．【点评】此题考查了中位数、全面调查和抽样调查、事件的分类以及概率的求法．用到的知识点为：可能发生，也可能不发生的事件叫做随机事件；概率=所求情况数与总情况数之比．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：（a b）3= ab3．【考点】2F：分数指数幂．【分析】根据积的乘方等于乘方的积，可得答案．【解答】解：原式=a b3=ab3，故答案为：ab3．【点评】本题考查了积的乘方，利用积的乘方是解题关键．8．在实数范围内分解因式：x2﹣3= （x+）（x﹣）．【考点】58：实数范围内分解因式；54：因式分解﹣运用公式法．【分析】把3写成的平方，然后再利用平方差公式进行分解因式．【解答】解：x2﹣3=x2﹣（）2=（x+）（x﹣）．【点评】本题考查平方差公式分解因式，把3写成的平方是利用平方差公式的关键．9．已知函数f（x）=，那么f（﹣1）= 2+．【考点】E5：函数值；76：分母有理化．【分析】把x=﹣1直接代入函数f（x）=即可求出函数值．【解答】解：因为函数f（x）=，所以当x=﹣1时，f（x）==2+．【点评】本题比较容易，考查求函数值．（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．10．已知反比例函数y=的图象经过一、三象限，则实数k的取值范围是k＞1 ．【考点】G4：反比例函数的性质．【分析】根据反比例函数y=的图象经过一、三象限得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过一、三象限，∴k﹣1＞0，即k＞1．故答案为：k＞1．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．11．抛物线y=﹣x2+2x+a的对称轴是直线x=1 ．【考点】H3：二次函数的性质．【分析】先根据抛物线的解析式得出a、b的值，再根据二次函数的对称轴方程即可得出结论．【解答】解：∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+a，∴a=﹣1，b=2，∴其对称轴是直线x=﹣=﹣=1．故答案为：x=1【点评】本题考查的是二次函数的性质，即二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴直线x=﹣．12．方程=1的解为x=2 ．【考点】AG：无理方程．【分析】方程两边平方转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到无理方程的解．【解答】解：方程两边平方得：x﹣1=1，解得：x=2，经检验x=2是原方程的解，故答案为：x=2【点评】此题考查了无理方程，无理方程注意要检验．13．已知关于x的方程x2﹣2kx+k=0有两个相等的实数根，那么实数k= k=0或k=1 ．【考点】AA：根的判别式．【分析】由方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4k2﹣4k=0，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2kx+k=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣2k）2﹣4k=4k2﹣4k=0，解得：k=0或k=1．故答案为：k=0或k=1．【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．14．某物流仓储公司用A、B两种型号的机器人搬运物品，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克物品，A型机器人搬运1000千克物品所用时间与B型机器人搬运800千克物品所用时间相等，设A型机器人每小时搬运物品x千克，列出关于x的方程为=．【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．【分析】根据A、B两种机器人每小时搬运物品间的关系可得出B型机器人每小时搬运物品（x﹣20）千克，再根据A型机器人搬运1000千克物品所用时间与B型机器人搬运800千克物品所用时间相等即可列出关于x的分式方程，由此即可得出结论．【解答】解：设A型机器人每小时搬运物品x千克，则B型机器人每小时搬运物品（x﹣20）千克，∵A型机器人搬运1000千克物品所用时间与B型机器人搬运800千克物品所用时间相等，∴=．故答案为： =．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是根据数量关系列出关于x的分式方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程是关键．15．化简：2﹣3（﹣）= +3．【考点】LM：*平面向量．【分析】根据向量的加减运算法则进行计算即可得解．【解答】解：2﹣3（﹣），=2﹣+3，=+3．故答案为： +3．【点评】本题考查了平面向量，熟记向量的加减运算法则是解题的关键．16．如图，在菱形ABCD中，EF∥BC， =，EF=3，则CD的长为12 ．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L8：菱形的性质．【分析】要求CD的长，只要求出菱形的任意一条边长即可，根据题意可以求得△AEF∽△ABC，从而可以求得BC的长，本题得以解决．【解答】解：∵在菱形ABCD中，EF∥BC， =，EF=3，∴△AEF∽△ABC，AB=BC=CD=DA，，∴，∴，解得，BC=12，∴CD=12，故答案为：12．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似解答．17．在△ABC中，已知BC=4cm，以边AC的中点P为圆心1cm为半径画⊙P，以边AB的中点Q为圆心x cm长为半径画⊙Q，如果⊙P与⊙Q相切，那么x= 1或3 cm．【考点】MK：相切两圆的性质．【分析】根据三角形的中位线的性质得到PQ=BC=2cm，①当⊙P与⊙Q相外切时，②当⊙P与⊙Q相内切时，列方程即可得到结论．【解答】解：∵BC=4cm，点P是AC的中点，点Q是AB的中点，∴PQ=BC=2cm，①当⊙P与⊙Q相外切时，PQ=1+x=2，∴x=1cm，②当⊙P与⊙Q相内切时，PQ=|x﹣1|=2，∴x=3cm（负值舍去），∴如果⊙P与⊙Q相切，那么x=1cm或3cm，故答案为：1或3．【点评】本题考查了相切两圆的性质，三角形的中位线的性质，注意相切两圆的两种情况．18．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE=45°．设BE=a，DC=b，那么AB= （a+b+）（用含a、b的式子表示AB）．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，只要证明△FAE≌△DAE，推出EF=ED，∠ABF=∠C=45°，由∠EBF=∠ABF+∠ABE=90°，推出ED=EF=，可得BC=a+b+，根据AB=BC•cos45°即可解决问题．【解答】解：将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB．证明：∵△DAC≌△FAB，∴AD=AF，∠DAC=∠FAB，∴∠FAD=90°，∵∠DAE=45°，∴∠DAC+∠BAE=∠FAB+∠BAE=∠FAE=45°，在△FAE和△DAE中，，∴△FAE≌△DAE，∴EF=ED，∠ABF=∠C=45°，∵∠EBF=∠ABF+∠ABE=90°，∴ED=EF=，∴BC=a+b+，∴AB=BC•cos45°=（a+b+）．故答案为（a+b+）．【点评】本题考查旋转变换、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2017•长宁区二模）计算：（）﹣1﹣|﹣3+tan45°|+（）0．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果．【解答】解：原式=2﹣3++1=．【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（10分）（2017•长宁区二模）解方程组：．【考点】AF：高次方程．【分析】由①得：2x﹣y=0，2x+y=0，这样原方程组化成两个二元二次方程组，求出每个方程组的解即可．【解答】解：由①得：2x﹣y=0，2x+y=0，原方程组化为：①，②，解方程组①得：，，方程组②无解，所以原方程组的解为：，．【点评】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元二次方程组（降次）是解此题的关键．21．（10分）（2017•长宁区二模）已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，设O为坐标原点．（1）求∠ABO的正切值；（2）如果点A向左平移12个单位到点C，直线l过点C且与直线y=﹣x+3平行，求直线l的解析式．【考点】FF：两条直线相交或平行问题；Q3：坐标与图形变化﹣平移；T7：解直角三角形．【分析】（1）根据已知条件得到A（6，0），B（0，3），求得OA=6，OB=3，根据三角函数的定义即可得到结论；（2）将点A向左平移12个单位到点C，于是得到C（﹣6，0），设直线l的解析式为y=﹣x+b，把C（﹣6，0）代入y=﹣x+b即可得到结论．【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（6，0），B（0，3），∴OA=6，OB=3，∵∠AOB=90°，∴tan∠ABO===2；（2）将点A向左平移12个单位到点C，∴C（﹣6，0），∵直线l过点C且与直线y=﹣x+3平行，设直线l的解析式为y=﹣x+b，把C（﹣6，0）代入y=﹣x+b得0=﹣（﹣6）+b，∴b=﹣3，∴直线l的解析式为y=﹣x﹣3．【点评】本题考查了两直线平行或相交问题，坐标与图形变换﹣平移，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键．22．（10分）（2017•长宁区二模）小明在海湾森林公园放风筝．如图所示，小明在A处，风筝飞到C处，此时线长BC为40米，若小明双手牵住绳子的底端B距离地面1.5米，从B处测得C处的仰角为60°，求此时风筝离地面的高度CE．（计算结果精确到0.1米，≈1.732）【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】过点B作BD⊥CE于点D，由锐角三角函数的定义求出CD的长，根据CE=CD+DE即可得出结论．【解答】解：过点B作BD⊥CE于点D，∵AB⊥AE，DE⊥AE，BD⊥CE，∴四边形ABDE是矩形，∴DE=AB=1.5米．∵BC=40米，∠CBD=60°，∴CD=BC•sin60°=40×=20，∴CE=CD+DE=20+1.5≈20×1.73+1.5≈36.1（米）．答：此时风筝离地面的高度CE是36.1米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．23．（12分）（2017•长宁区二模）如图，在△ABC 中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ，交AB于点Q，点D在线段 BC上，联接AD交线段PQ于点E，且=，点G在BC延长线上，∠ACG的平分线交直线PQ于点F．（1）求证：PC=PE；（2）当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；LC：矩形的判定．【分析】（1）根据相似三角形的性质得到=，，等量代换得到=，推出=，于是得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠PFC=∠FCG，根据角平分线的性质得到∠PCF=∠FCG，等量代换得到∠PFC=∠FCG，根据等腰三角形的性质得到PF=PC，得到PF=PE，由已知条件得到AP=CP，推出四边形AECF是平行四边形，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵PQ∥BC，∴△AQE∽△ABD，△AEP∽△ADC，∴=，，∴=，∵=，∴=，∴PC=PE；（2）∵PF∥DG，∴∠PFC=∠FCG，∵CF平分∠PCG，∴∠PCF=∠FCG，∴∠PFC=∠FCG，∴PF=PC，∴PF=PE，∵P是边AC的中点，∴AP=CP，∴四边形AECF是平行四边形，∵PQ∥CD，∴∠PEC=∠DCE，∴∠PCE=∠DCE，∴∠PCE+∠PCF=（∠PCD+∠PCG）=90°，∴∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．24．（12分）（2017•长宁区二模）已知△OAB在直角坐标系中的位置如图，点A在第一象限，点B在x轴正半轴上，OA=OB=6，∠AOB=30°．（1）求点A、B的坐标；（2）开口向上的抛物线经过原点O和点B，设其顶点为E，当△OBE为等腰直角三角形时，求抛物线的解析式；（3）设半径为2的⊙P与直线OA交于M、N两点，已知MN=2，P（m，2）（m＞0），求m的值．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）根据30°的角所对的直角边是斜边的一半，可得AC的长，再根据锐角三角函数，可得OC，根据点的坐标，可得答案；（2）根据等腰直角三角形，可得E点坐标，再根据待定系数法，可得答案；（3）根据30°的角所对的直角边是斜边的一半，可得∠CNP=30°，再根据勾股定理OE的长，根据点的坐标，可得N点坐标，根据点的左右平移，可得P点坐标．【解答】解：（1）如图1，作 AC⊥OB于C点，由OB=OA=6，得B点坐标为（6，0），由OB=OA=6，∠AOB=30°，得AC=OA=3，OC=OA•cos∠AOC=OA=3，∴A点坐标为（3，3）；（2）如图2，由其顶点为E，当△OBE为等腰直角三角形，得OC=BC=CE=OB=3，即E点坐标为（3，﹣3）．设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2﹣3，将B点坐标代入，解得a=，抛物线的解析式为y=（x﹣3）2﹣3化简得y=x2﹣2x；（3）如图3，PN=2，CN=，PC=1，∠CNP=∠AOB=30°，NP∥OB，NE=2，得ON=4，由勾股定理，得OE==2，即N（2，2）．N向右平移2个单位得P（2+2，2），N向左平移2个单位，得P（2﹣2，2），m的值为2+2或2﹣2．【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用直角三角形的性质得出AC的长，又利用了锐角三角函数；解（2）的关键是利用等腰直角三角形得出E点的坐标，又利用了待定系数法；解（3）的关键是利用直角三角形的性质得出∠CNP=∠AOB=30°，又利用了勾股定理得出OE的长，要分类讨论：N左右平移得P点，以防遗漏．25．（14分）（2017•长宁区二模）如图，△ABC的边AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，已知AC=6cm，BC=8cm，点P、Q分别在边AB、BC上，且点P不与点A、B重合，BQ=k•AP（k＞0），联接PC、PQ．（1）求⊙O的半径长；（2）当k=2时，设AP=x，△CPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△CPQ与△ABC相似，且∠ACB=∠CPQ，求k的值．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）首先证明∠ACB=90°，然后利用勾股定理即可解决问题．（2）如图2中，作PH⊥BC于H．由PH∥AC，推出=，推出=，推出PH=（10﹣x），根据y=•CQ•P H 计算即可．（3）因为△CPQ与△ABC相似，∠CPQ=∠ACB=90°，又因为∠CQP＞∠B，所以只有∠PCB=∠B，推出PC=PB，由∠B+∠A=90°，∠ACP+∠PCB=90°，推出∠A=∠ACP，推出PA=PC=PB=5，由△COQ∽△BCA，推出=，推出=，即可解决问题．【解答】解：（1）∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵AC=6，BC=8，∴AB===10，∴⊙O的半径为5．（2）如图2中，作PH⊥BC于H．∵PH∥AC，∴=，∴=，∴PH=（10﹣x），∴y=•CQ•PH=•（8﹣2x）•（10﹣x）=x2﹣x+24（0＜x＜4）．（3）如图2中，∵△CPQ与△ABC相似，∠CPQ=∠ACB=90°，又∵∠CQP＞∠B，∴只有∠PCB=∠B，∴PC=PB，∵∠B+∠A=90°，∠ACP+∠PCB=90°，∴∠A=∠ACP，∴PA=PC=PB=5，∴△COQ∽△BCA，∴=，∴=，∴k=．【点评】本题考查圆综合题、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确应用相似三角形的性质解决问题，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考压轴题．。