上海市中考数学二模试卷(I)卷
中考第二次模拟检测《数学试卷》含答案解析
第I 卷(选择题)一、选择题(每题3分,共30分)1．计算()3.6 5.4--的结果是( )A ．1.8B ．9C ．-9D ．-1.82．将一个正方形纸片按如图1、图2依次对折后,再按如图3打出一个心形小孔,则展开铺平后的图案是( )A ．B ．C ．D ．3．如图,四个图形中的∠1和∠2,不是同位角的是( )A ．B ．C ．D ．4．下列计算中,正确的是( )A ．235a a a +=B ．326a a a ⋅=C ．321a a ÷=D ．()33a a -= 5．一次函数满足,且随的增大而减小,则此函数的图象不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．如图,在ABC ∆中,CD 平分ACB ∠交AB 于点D ,过点D 作//DE BC 交AC 于点E .若54,48A B ∠=∠=,则CDE ∠的大小为()A ．44B ．40C ．39D ．387．直线l 1:y =k 1x +b 与直线l 2:y =k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x 的不等式k 2x >k 1x +b 的解集为( )A ．x>-1B ．x<-1C ．x>3D ．x<38．如图,已知AB =3,BC =4,将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠点C 落在点E 的位置,则AE 的长度为( )A ．85B ．125C ．3D ．759．如图,AB 是O 的直径,CD 是弦,CD AB ,30BCD ∠=︒,6AB =,则AC 的长为( )A ．πB ．4πC ．2πD ．15π10．如图,一次函数(0)y kx b k =+≠与抛物线2(0)y ax a =≠交于A,B 两点,且点A 的横坐标是2-,点B 的横坐标是3,则以下结论：①抛物线2(0)y ax a =≠的图象的顶点一定是原点；②0x >时,一次函数(0)y kx b k =+≠与抛物线2(0)y ax a =≠的函数值都随x 的增大而增大；③AB 的长度可以等于5；④当32x -<<时,2ax kx b +<.其中正确的结论是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④第II 卷(非选择题)二、填空题(每题3分,共12分)11______．12．如图,是某个正多边形的一部分,则这个正多边形是_______边形．13．已知在平面直角坐标系中有两点A(0,1),B(﹣1,0),动点P 在反比例函数y=2x的图象上运动,当线段PA 与线段PB 之差的绝对值最大时,点P 的坐标为_____． 14．如图,矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ,按以下步骤作图：①以点A 为圆心,任意长为半径作弧,分别交AO ,AB 于点M ,N ；②以点O 为圆心,AM 长为半径作弧,交OC 于点M '；③以点M '圆心,MN 长为半径作弧,在COB ∠内部交前面的弧于点N '；④过点N '作射线ON '交BC 于点E ．若8AB =,则线段OE 的长为__________．三、解答题(15,16,17,18题每题5分,19,20,21,22题每题7分,23题8分,24题10分,25题12分,共78分)15．计算：()()-20201921-2 3.14---12π⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 16．解方程: 22142x x x +=-- 17．如图,点C,D 分别在射线OA 、OB 上,求作⊙P,使它与OA 、OB 、CD 都相切．(使用直尺、圆规、直角板作图并保留作图痕迹)18．如图,菱形ABCD 中,点E 是边AD 上一点,延长AB 至点F ,使BF =AE ,连结BE ,CF ．求证：BE =CF ．19．大雁塔南广场玄奘铜像是为纪念唐代高僧玄奘而设计．在一次课外活动中,甲、乙两位同学测量玄奘铜像的高度他们分别在A ,B 两处用高度为1.8m 的测角仪测得铜像顶部C 的仰角分别为30°,60°,两人间的水平距离AB 为10m ,求玄奘铜像的高度CF ．(结果保留根号)20．某商场用两个月时间试销某种新型商品,经市场调查,该商品的第x 天的进价y (元／件)与x (天)之间的相关信息如下表：该商品在销售过程中,销售量m (件)与x (天)之间的函数关系如图所示：在销售过程中,商场每天销售的该产品以每件80元的价格全部售出．(1)求该商品的销售量m(件)与x(天)之间的函数关系；(2)设第x天该商场销售该商品获得的利润为w元,求出w与x之间的函数关系式,并求出第几天销售利润最大,最大利润是多少元？(3)在销售过程中,当天的销售利润不低于2400元的共有多少天？21．文具店有三种品牌的6个笔记本,价格是4,5,7(单位：元)三种,从中随机拿出一个本,已知P(一次拿到7元本)23 =．(1)求这6个本价格的众数．(2)若琪琪已拿走一个7元本,嘉嘉准备从剩余5个本中随机拿一个本．①所剩的5个本价格的中位数与原来6个本价格的中位数是否相同？并简要说明理由；②嘉嘉先随机拿出一个本后不放回,之后又随机从剩余的本中拿一个本,用列表法．．．求嘉嘉两次都拿到7元本的概率．22．某跳高集训队,对集训队员进行了一次跳高测试,经过统计,将集训队员的测试成绩(单位：m),绘制成尚不完整的扇形统计图(图①)与条形统计图(图②).(1)a=________,请将条形统计图补充完整；(2)求集训队员测试成绩的众数；(3)教练发现,测试成绩不包括两名请假的队员,补测后,把这两名队员的成绩(均是0.05的整数倍)与原测试成绩并成一组新数据,求新数据的中位数.23．如图,AE是△ABC外接圆O的直径,连结BE,作AD⊥BC于D．(1)求证：△ABE∽△ADC；(2)若AB=8,AC=6,AE=10,求AD的长．24．如图,线段AB,A(2,3),B(5,3),抛物线y=﹣(x﹣1)2﹣m2+2m+1与x轴的两个交点分别为C,D(点C在点D的左侧)(1)求m为何值时抛物线过原点,并求出此时抛物线的解析式及对称轴和项点坐标．(2)设抛物线的顶点为P,m为何值时△PCD的面积最大,最大面积是多少．(3)将线段AB沿y轴向下平移n个单位,求当m与n有怎样的关系时,抛物线能把线段AB分成1：2两部分．25．我们知道三角形任意两条中线的交点是三角形的重心．重心有如下性质：重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍．请利用该性质解决问题(1)如图1,在△ABC中,AF、BE是中线,AF⊥BE于P．若BP=2,∠F AB=30°,则EP=,FP=；(2)如图1,在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,AF、BE是中线,AF⊥BE于P．猜想a2、b2、c2三者之间的关系并证明；(3)如图2,在▱ABCD中,点E、F、G分别是AD、BC、CD的中点,BE⊥BG,AB=3,AD求AF的长．答案与解析第I 卷(选择题)二、选择题(每题3分,共30分)1．计算()3.6 5.4--的结果是( )A ．1.8B ．9C ．-9D ．-1.8【答案】B【解析】()3.6 5.4 3.6 5.49--=+=；故选择：B.2．将一个正方形纸片按如图1、图2依次对折后,再按如图3打出一个心形小孔,则展开铺平后的图案是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】按照图中顺序进行操作,展开后心形图案应该靠近正方形上下两边,且关于中间折线对称,故只有B 选项符合.故选B.3．如图,四个图形中的∠1和∠2,不是同位角的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】A 、∠1、∠2有一条边在一条直线上,另一条边在被截线的同一方,是同位角；C 、∠1、∠2有一条边在一条直线上,另一条边在被截线的同一方,是同位角；D 、∠1、∠2有一条边在一条直线上,另一条边在被截线的同一方,是同位角；D 、∠1、∠2的两条边都不在一条直线上,不是同位角；故选：D4．下列计算中,正确的是( )A ．235a a a +=B ．326a a a ⋅=C ．321a a ÷=D ．()33a a -= 【答案】A【解析】A 、235a a a +=,故原题计算正确,符合题意；B 、325a a a ⋅=,故原题计算错误,不合题意；C 、32a a a ÷=,故原题计算错误,不合题意；D 、()33a a -=-,故原题计算错误,不合题意.故选：A.5．一次函数满足,且随的增大而减小,则此函数的图象不经过( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A【解析】根据y 随x 的增大而减小得：k ＜0,又kb ＞0,则b ＜0,故此函数的图象经过第二、三、四象限,即不经过第一象限．故选A ．6．如图,在ABC ∆中,CD 平分ACB ∠交AB 于点D ,过点D 作//DE BC 交AC 于点E .若54,48A B ∠=∠=,则CDE ∠的大小为()A ．44B ．40C ．39D ．38【答案】C 【解析】∵∠A=54°,∠B=48°,∴∠ACB=180°-∠A -∠B =78°.∵CD 平分∠ACB,∴∠DCB=∠ACD=39°.∵DE ∥BC,∴∠CDE=∠DCB=39°.故选C.7．直线l1:y=k1x+b与直线l2:y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x的不等式k2x> k1x+b的解集为( )A．x>-1B．x<-1C．x>3D．x<3【答案】B【解析】由图可知两直线交点的横坐标为-1,则k2x>k1x+b的解集为x<-1,故选B.8．如图,已知AB=3,BC=4,将矩形ABCD沿对角线BD折叠点C落在点E的位置,则AE的长度为()A．85B．125C．3D．75【答案】D【解析】设FD=x,则AF=4﹣x,∵将矩形ABCD沿对角线BD折叠点C落在点E的位置,∴∠FBD=∠DBC,BE=BC,∵矩形ABCD,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠ADB=∠DBC,BE=AD,∴∠ADB=∠FBD,∴FB=FD=x,在直角△AFB 中,x 2=(4﹣x )2+32,解之得,x =258,AF =4﹣x =78,∵BE=AD,FB=FD,∴AF=EF, ∴AFEF=FD FB ,∵∠AFE=∠DFB,∴△AFE ∽△DFB , ∴AFAE=FD DB ,∴78258解得AE =75．故选：D ．9．如图,AB 是O 的直径,CD 是弦,CD AB ,30BCD ∠=︒,6AB =,则AC 的长为()A ．πB ．4πC ．2πD ．15π【答案】A【解析】如图,连接OC,则132OC AB ==//CD AB ,30BCD ∠=︒30BCD ABC ∴=∠=∠︒260AOC ABC ∴∠=∠=︒则AC 的长为603180ππ⨯=故选：A ．10．如图,一次函数(0)y kx b k =+≠与抛物线2(0)y ax a =≠交于A,B 两点,且点A 的横坐标是2-,点B 的横坐标是3,则以下结论：①抛物线2(0)y ax a =≠的图象的顶点一定是原点；②0x >时,一次函数(0)y kx b k =+≠与抛物线2(0)y ax a =≠的函数值都随x 的增大而增大；③AB 的长度可以等于5；④当32x -<<时,2ax kx b +<.其中正确的结论是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【答案】B【解析】①抛物线2y ax =,利用顶点坐标公式得顶点坐标为()0,0,正确.②由题图可知,在y 轴右侧,即当0x >时,一次函数与抛物线的函数值都随x 的增大而增大,正确.③如解图,过点A 作x 轴的平行线,过点B 作y 轴的平行线,两线相交于点D.在Rt ABD ∆中,由A 、B 横坐标分别为2-,3,可知5AD =,故5AB >,错误.④直线y kx b =-+与y kx b =+关于y 轴对称,如解图所示,可得出直线y kx b =-+与抛物线交点E 、F 横坐标分别为3-,2,由解图可知当32x -<<时,2ax kx b <-+,即2ax kx b +<,正确. 综上所述,正确的结论有①②④.第II 卷(非选择题)二、填空题(每题3分,共12分)11______．【解析】由相反数的定义可知-,12．如图,是某个正多边形的一部分,则这个正多边形是_______边形．【答案】十【解析】由题意可得：该正多边形的边数为：360°÷36°=10.即该多边形是：十边形.故答案为：十.13．已知在平面直角坐标系中有两点A(0,1),B(﹣1,0),动点P在反比例函数y=2x的图象上运动,当线段PA与线段PB之差的绝对值最大时,点P的坐标为_____．【答案】(1,2)或(-2,-1)【解析】如图,设直线AB的解析式为y=kx+b,将A(0,1)、B(-1,0)代入,得：1-0b k b =⎧⎨+=⎩, 解得：11k b =⎧⎨=⎩, ∴直线AB 的解析式为y=x ﹣1, 直线AB 与双曲线y=2x的交点即为所求点P,此时|PA ﹣PB|=AB,即线段PA 与线段PB 之差的绝对值取得最大值,由+12y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩可得12x y =⎧⎨=⎩或-2-1x y =⎧⎨=⎩, ∴点P 的坐标为(1,2)或(-2,-1),14．如图,矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ,按以下步骤作图：①以点A 为圆心,任意长为半径作弧,分别交AO ,AB 于点M ,N ；②以点O 为圆心,AM 长为半径作弧,交OC 于点M '；③以点M '圆心,MN 长为半径作弧,在COB ∠内部交前面的弧于点N '；④过点N '作射线ON '交BC 于点E ．若8AB =,则线段OE 的长为__________．【答案】4【解析】由题意可得出：'''',,AM OM AN ON MN M N ===∴''MAN M ON ≅ ∴''MAN M ON ∠=∠ ∴//OE AB ∵O 为AC 的中点 ∴OE 为ACB △的中位线 ∵8AB =∴142OE AB == 故答案为：4．四、解答题(15,16,17,18题每题5分,19,20,21,22题每题7分,23题8分,24题10分,25题12分,共78分)15．计算：()()-2201921-2 3.14---12π⎛⎫++ ⎪⎝⎭【解析】()()-2201921-2 3.14---12π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=414(1)++--- =2． 16．解方程:22142xx x +=-- 【解析】两边都乘(x+2)(x -2),得 2+x(x+2)=x 2-4, 2+ x 2+2x= x 2-4, 解得x=-3,经检验：x=-3是方程的解；17．如图,点C,D 分别在射线OA 、OB 上,求作⊙P,使它与OA 、OB 、CD 都相切．(使用直尺、圆规、直角板作图并保留作图痕迹)【解析】如图,作∠DOC 的平分线OM ,∠ODC 的平分线DN ,OM 交DN 于点P 1,作P 1F ⊥OD ,以P 1为圆心,P 1F 为半径作⊙P 1即可；同法作出⊙P 2．1P ,2P 即为所求；18．如图,菱形ABCD 中,点E 是边AD 上一点,延长AB 至点F ,使BF =AE ,连结BE ,CF ．求证：BE =CF ．【解析】∵四边形ABCD 是菱形,∴AD ∥BC ,AB =BC ,∴∠A =∠CBF ．在△ABE 和△BCF 中,∵AE =BF ,∠A =∠CBF ,AB =BC ,∴△ABE ≌△BCF (SAS),∴BE =CF ．19．大雁塔南广场玄奘铜像是为纪念唐代高僧玄奘而设计．在一次课外活动中,甲、乙两位同学测量玄奘铜像的高度他们分别在A ,B 两处用高度为1.8m 的测角仪测得铜像顶部C 的仰角分别为30°,60°,两人间的水平距离AB 为10m ,求玄奘铜像的高度CF ．(结果保留根号)【解析】设CG=x m, 在Rt △CGD 中,tan ∠CDG=CGDG,∴DG=CGtan CDG∠,在Rt △CGE 中,tan ∠CEG=CGGE,∴EG=3CG x tan CEG ∠=,由题意得,10x +=,解得,x =,即 ,∴CF=CG+GF=1.82+,答：玄奘铜像的高度CF 为 1.8⎫⎪⎪⎝⎭m ． 20．某商场用两个月时间试销某种新型商品,经市场调查,该商品的第x 天的进价y (元／件)与x (天)之间的相关信息如下表：该商品在销售过程中,销售量m (件)与x (天)之间的函数关系如图所示： 在销售过程中,商场每天销售的该产品以每件80元的价格全部售出．(1)求该商品的销售量m (件)与x (天)之间的函数关系；(2)设第x 天该商场销售该商品获得的利润为w 元,求出w 与x 之间的函数关系式,并求出第几天销售利润最大,最大利润是多少元？(3)在销售过程中,当天的销售利润不低于2400元的共有多少天？ 【解析】(1)设该商品的销售量m 与x 之间的函数关系为()0m kx b k =+≠ 由图可知,点()0,120,()50,20在m kx b =+上 将点()0,120,()50,20代入得1205020b k b =⎧⎨+=⎩解得2120k b =-⎧⎨=⎩则该商品的销售量m 与x 之间的函数关系为2120m x =-+； (2)由题意,分以下两种情况：①当130x ≤<时()()()2808070212021001200w y m x x x x =-⋅=+-⋅-+=-++()22252450x =--+由二次函数的性质可知,当25x =时,w 取得最大值,最大值为2450 ②当3050x ≤≤时()()80402120804800w x x =-⋅-+=-+∵800k =-< ∴w 随x 的增大而减小则当30x =时,w 取得最大值,最大值为803048002400-⨯+= 因24502400>故第25天时利润最大,最大利润为2450元综上,w 与x 之间的函数关系式为221001200(130)804800(3050)x x x w x x ⎧-++≤<=⎨-+≤≤⎩,第25天时利润最大,最大利润为2450元；(3)①当130x ≤<时,()22252450w x =--+ 则()222524502400x --+= ∴120x =或230x =∴2030x ≤<,利润不低于2400元即此时,共有10天的销售利润不低于2400元 ②当3050x ≤≤时,804800w x =-+ 则8048002400x -+≥ 解得30x ≤30x ∴=即此时,只有1天的销售利润不低于2400元 综上,共有11天的销售利润不低于2400元．21．文具店有三种品牌的6个笔记本,价格是4,5,7(单位：元)三种,从中随机拿出一个本,已知P (一次拿到7元本)23 =．(1)求这6个本价格的众数．(2)若琪琪已拿走一个7元本,嘉嘉准备从剩余5个本中随机拿一个本．①所剩的5个本价格的中位数与原来6个本价格的中位数是否相同？并简要说明理由；②嘉嘉先随机拿出一个本后不放回,之后又随机从剩余的本中拿一个本,用列表法．．．求嘉嘉两次都拿到7元本的概率．【解析】(1)∵P(一次拿到7元本)2 3 =,∴7元本的个数为6×23=4(个),按照从小到大的顺序排列为4,5, 7,7,7,7,∴这6个本价格的众数是7.(2)①相同；∵原来4、5、7、7、7、7,∴中位数为777 2+=,5本价格为4、5、7、7、7,中位数为7,∴77=,∴相同.②见图∴P(两次都为7)63 2010 ==.22．某跳高集训队,对集训队员进行了一次跳高测试,经过统计,将集训队员的测试成绩(单位：m),绘制成尚不完整的扇形统计图(图①)与条形统计图(图②).(1)a =________,请将条形统计图补充完整； (2)求集训队员测试成绩的众数；(3)教练发现,测试成绩不包括两名请假的队员,补测后,把这两名队员的成绩(均是0.05的整数倍)与原测试成绩并成一组新数据,求新数据的中位数. 【解析】(1)25；补全条形统计图如解图所示：()%110%20%30%15%25%a =-+++=,故25a =；测试成绩为1.50m 的有2人,占总人数的10%,故总人数为210%20÷=(人).则测试成绩为1.55m 的人数为2020%4⨯=(人). (2)由条形统计图可知,集训队员测试成绩的众数为1.65m ； (3)当两名请假队员的成绩均大于或等于1.65m 时,中位数为1.60 1.651.625(m)2+=；当两名请假队员的成绩均小于1.65m 或一个小于1.65m,一个大于或等于1.65m 时,中位数为1.60m. 23．如图,AE 是△ABC 外接圆O 的直径,连结BE,作AD ⊥BC 于D ． (1)求证：△ABE ∽△ADC ；(2)若AB=8,AC=6,AE=10,求AD 的长．【解析】(1)如图,∵AE是△ABC外接圆O的直径,且AD⊥BC,∴∠ABE=∠ADC=90°；而∠E=∠C,∴△ABE∽△ADC．(2)∵△ABE∽△ADC,∴AB AEAD AC,而AB=8,AC=6,AE=10,∴AD=4.8．24．如图,线段AB,A(2,3),B(5,3),抛物线y=﹣(x﹣1)2﹣m2+2m+1与x轴的两个交点分别为C,D(点C在点D的左侧)(1)求m为何值时抛物线过原点,并求出此时抛物线的解析式及对称轴和项点坐标．(2)设抛物线的顶点为P,m为何值时△PCD的面积最大,最大面积是多少．(3)将线段AB沿y轴向下平移n个单位,求当m与n有怎样的关系时,抛物线能把线段AB分成1：2两部分．【解析】(1)当y=﹣(x﹣1)2﹣m2+2m+1过原点(0,0)时,0=﹣1﹣m2+2m+1,得m1=0,m2=2,当m1=0时,y=﹣(x﹣1)2+1,当m2=2时,y=﹣(x﹣1)2+1,由上可得,当m=0或m=2时,抛物线过原点,此时抛物线的解析式是y=﹣(x﹣1)2+1,对称轴为直线x=1,顶点为(1,1)；(2)∵抛物线y=﹣(x﹣1)2﹣m2+2m+1,∴该抛物线的顶点P为(1,﹣m2+2m+1),当﹣m2+2m+1最大时,△PCD的面积最大,∵﹣m 2+2m+1=﹣(m ﹣1)2+2,∴当m=1时,﹣m 2+2m+1最大为2,∴y=﹣(x ﹣1)2+2,当y=0时,0=﹣(x ﹣1)2+2,得x 1,x 2=1,∴点C 的坐标为(1,0),点D 的坐标为,0)∴)﹣(1,∴S △PCD =22,即m 为1时△PCD 的面积最大,最大面积是；(3)将线段AB 沿y 轴向下平移n 个单位A(2,3﹣n),B(5,3﹣n)当线段AB 分成1：2两部分,则点(3,3﹣n)或(4,3﹣n)在该抛物线解析式上,把(3,3﹣n)代入抛物线解析式得,3﹣n=﹣(3﹣1)2﹣m 2+3m+1,得n=m 2﹣2m+6；把(4,3﹣n)代入抛物线解析式,得3﹣n=﹣(3﹣1)2﹣m 2+3m+1,得n=m 2﹣2m+11；∴n=m 2﹣2m+6或n=m 2﹣2m+11．25．我们知道三角形任意两条中线的交点是三角形的重心．重心有如下性质：重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍．请利用该性质解决问题(1)如图1,在△ABC 中,AF 、BE 是中线,AF ⊥BE 于P ．若BP =2,∠F AB =30°,则EP = ,FP = ；(2)如图1,在△ABC 中,BC =a ,AC =b ,AB =c ,AF 、BE 是中线,AF ⊥BE 于P ．猜想a 2、b 2、c 2三者之间的关系并证明；(3)如图2,在▱ABCD 中,点E 、F 、G 分别是AD 、BC 、CD 的中点,BE ⊥BG ,AB =3,AD 求AF 的长．【解析】(1)∵在△ABC 中,AF 、BE 是中线,∴BP =2EP =2,AP =2FP ,∴EP =1,∵AF ⊥BE ,∠F AB =30°,∴AB=2BP=4,∴AP =∴FP =12AP ；故答案为：(2)a 2+b 2=5c 2；理由如下：连接EF ,如图1所示：∵AF ,BE 是△ABC 的中线,∴EF 是△ABC 的中位线,∴EF ∥AB ,且EF =12AB =12c , ∴12PE PF PB PA ==, 设PF =m ,PE =n ,∴AP =2m ,PB =2n ,在Rt △APB 中,(2m )2+(2n )2=c 2,即4m 2+4n 2=c 2,在Rt △APE 中,(2m )2+n 2=(12b )2,即4m 2+n 2=14b 2, 在Rt △FPB 中,m 2+(2n )2=(12a )2,即m 2+4n 2=14a 2, ∴5m 2+5n 2=14(a 2+b 2)=54c 2, ∴a 2+b 2=5c 2；(3)连接AC、EC,如图2所示：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,∵点E,F分别是AD,BC,CD的中点,∴AE=CE,∴四边形AFCE是平行四边形,∴AF=CE,∵AD∥BC,∴△AEQ∽△CBQ,∴12 AQ EQ AECQ BQ BC===,设AQ=a,EQ=b,则CQ=2a,BQ=2b,∵点E,G分别是AD,CD的中点,∴EG是△ACD的中位线,∴EG∥AC,∵BE⊥EG,∴BE⊥AC,由勾股定理得：AB2﹣AQ2=BC2﹣CQ2,即9﹣a22﹣4a2,∴3a2=11,∴a2=11 3,∴BQ2=4b22﹣4×113=163,∴b2=163×14=43,在Rt△EQC中,CE2=EQ2+CQ2=b2+4a2=16,∴CE=4,∴AF=4．。
2024年上海市徐汇区中考二模数学试题(解析版)
2023学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷初三数学 试卷（时间100分钟 满分150分）考生注意∶1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1. 下列实数中，有理数是（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查实数的分类及算术平方根，熟练掌握实数的分类及算术平方根是解题的关键；根据实数的分类可进行排除选项．，是无理数；故选B ．2. 下列单项式中，与单项式是同类项的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查了同类项的定义，根据字母相同，字母的指数也相同的项叫做同类项，进行判断即可．【详解】解：与单项式是同类项的是；故选C ．3. 已知直线经过第一、二、四象限，则直线经过( )2=232a b 4ab -322a b 323b a 222a b c-232a b 323b a y kx b +＝y bx k +＝A. 第一、三、四象限B. 第一、二、四象限C. 第一、二、三象限D. 第二、三、四象限【答案】A 【解析】【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k ，b 的取值范围，从而求解．【详解】解：已知直线经过第一、二、四象限，则得到，那么直线经过第一、三、四象限．故选：A ．【点睛】此题考查一次函数图象与系数关系．解题关键在于注意理解：直线y=kx+b 所在的位置与k 、b 的符号有直接的关系．k ＞0时，直线必经过一、三象限；k ＜0时，直线必经过二、四象限；b ＞0时，直线与y 轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b ＜0时，直线与y 轴负半轴相交．4. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：甲乙丙丁平均数（cm ）185180185180方差3.63.67.48.1根据表数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的参加比赛，应该选择（ ）A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】A 【解析】【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．【详解】∵=>=，∴从甲和丙中选择一人参加比赛，∵=<<，∴选择甲参赛，故选A ．【点睛】此题主要考查了平均数和方差的应用，解题关键是明确平均数越高，成绩越高，方差越小，成绩越稳定.的y kx b =+0,0k b <>y kx b =+x 甲x 丙x 乙x 丁2S 甲2S 乙2S 丙2S 丁5. 如图，的对角线、相交于点，如果添加一个条件使得是矩形，那么下列添加的条件中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，根据判定定理逐项判断即可．【详解】∵，∴，∴，∴平行四边形是菱形．则A 不符合题意；∵，∴，∴平行四边形菱形．则B 不符合题意；∵，∴．∵，∴，∴，∴平行四边形是菱形．则C 不符合题意；∵，∴．∵，∴，是 ABCD AC BD O ABCD 90DAO ADO ∠+∠=︒DAC ACD ∠=∠DAC BAC ∠=∠DAB ABC∠=∠90DAO ADO ∠+∠=︒90AOD ∠=︒AC BD ⊥ABCD DAC ACD ∠=∠AD CD =ABCD AB CD ACD BAC ∠=∠DAC BAC ∠=∠ACD DAC ∠=∠AD CD =ABCD AD BC ∥180BAD ABC ∠+∠=︒DAB ABC ∠=∠=90B A D ∠︒∴平行四边形是矩形．则D 正确．故选：D ．6. 如图，一个半径为的定滑轮由绳索带动重物上升，如果该定滑轮逆时针旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，那么重物上升的高度是（ ）A. cmB. cmC. cmD. cm【答案】B 【解析】【分析】本题考查了弧长公式．利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可．【详解】解：根据题意，重物上升的高度为．故选：B ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.的解是________．【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程和二次根式的性质求解即可；【详解】，∴，∴，∴，∵，ABCD 9cm 120︒5π6π7π8π120︒()12096cm 180ππ⨯⨯==x 1x ==x 221x x -=()210x -=121x x ==210x -≥∴，∴；故答案是．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解和二次根式的性质，准确计算是解题的关键．8. 不等式组的解集是________．【答案】【解析】【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集．详解】解：，解①得：，解②得：，∴不等式组的解集是．9. 方程组的解是__________．【答案】或【解析】【分析】本题考查解二元二次方程组，一元二次方程，代入消元法，将方程组先转化为一元二次方程，再进行求解即可．【详解】解：由②得：③；把③代入①，得：，解得：，∴，∴方程组的解为：或；【12x ≥1x =1x =()2133231x x x ->⎧⎨-->⎩2x >()2133231x x x ->⎧⎪⎨-->⎪⎩①②2x >5x >-2x >22520x y x y ⎧+=⎨-=⎩21x y =⎧⎨=⎩21x y =-⎧⎨=-⎩22520x y x y ⎧+=⎨-=⎩①②2x y =()2225y y +=1y =±22x y ==±21x y =⎧⎨=⎩21x y =-⎧⎨=-⎩故答案为：或10. 关于的一元二次方程根的情况是：原方程______实数根．【答案】有两个不相等的【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．【详解】解：由题意得，，∴原方程有两个不相等的实数根，故答案为：有两个不相等的．11. 如果二次函数的图像的一部分是上升的，那么的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据函数解析式可得抛物线开口向上，则当在对称轴右侧时，函数图像上升，所以求出函数的对称轴即可求解．【详解】解：，又抛物线开口向上，当时，随的增大而减小，图像下降；当时，随的增大而增大，图像上升；二次函数的图像的一部分是上升的，，故答案为：．12. 如果反比例函数的图像经过点，那么的值是______．【答案】【解析】【分析】本题考查反比例函数图像上的点，将点代入函数解析式，求解即可．【详解】解：由题意，得：，21x y =⎧⎨=⎩21x y =-⎧⎨=-⎩x 210x mx --=()200ax bx c a ++=≠240b ac ∆=->240b ac ∆=-=24<0b ac ∆=-()()2241140m m ∆=--⨯⨯-=+>2241y x x =-+x 1x ≥x ()22241211y x x x =-+=--∴1x <y x 1x ≥y x 2241yx x =-+∴1x ≥1x ≥4y x=-(,2)A t t -t (,2)A t t -()24t t ⋅-=-解得：；故答案为：．13. 如果从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段，那么抽取的三条线段能构成三角形的概率是_______．【答案】【解析】【分析】根据构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行判断即可．【详解】∵从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段∴可能有：2、4、6；2、6、7；4、6、7；2、4、7四种可能性又∵构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边∴符合条件的有：2、6、7；4、6、7两种故概率为：故答案为：【点睛】本题考查构成三角形的条件以及概率的计算，掌握构成三角形的三边之间的关系是解题关键．14. 小杰沿着坡比的斜坡，从坡底向上步行了米，那么他上升的高度是______米．【答案】【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握坡比的定义．设坡度的高为米，根据勾股定理列方程求解．【详解】解：设坡度的高为米，则水平距离为米，，解得：，故答案为：．15. 某校为了了解学生家长对孩子用手机的态度问题，随机抽取了名家长进行问卷调查，每位学生家长只有一份问卷，且每份问卷仅表明一种态度（这名家长的问卷真实有效），将这份问卷进行回收整理后，绘制了如图1、图2所示的两幅不完整的统计图．如果该校共有名学生，那么可以估计该校对手机持“严格管理”态度的家长____人．t =1221=42121:2.4i =13050x x 2.4x ∴()2222.4130x x +=50x =501001*********【答案】【解析】【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，解题的关键是数形结合．先根据条形统计图计算出稍加询问的百分比，进而结合扇形统计图求出严格管理的百分比，最后利用样本估计总体即可求解．【详解】解：稍加询问的百分比：，严格管理的百分比：，持“严格管理”态度家长人数：（人），故答案为：．16. 如图，梯形中， ，，平分，如果，，，那么是_______（用向量、表示）． 【答案】【解析】【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，向量的运算，解题的关键是熟练掌握这些知识．根据角平分线的定义，平行线的性质，推出，结合，可得，最后根据，即可求解．【详解】解：设，的400551000.5555%÷==155%25%20%--=200020%400⨯=400ABCD BC AD ∥AB CD =AC BAD ∠2=AD AB AB a = AD b = AC a b12a b +AB BC =2AD BC =12BC AD =12AC AB BC a AD =+=+BAC α∠=平分，，，，，，，，，，故答案为：．17. 如图，在中，，． 已知点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处，联结，那么的长是_______．【解析】【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，平行线分线段成比例，如图，为点关于的对称点，过点作，过点作，则，联结，可知，得，进而根据勾股定理可得，，得结合，，可知，再根据勾股定理即可求解，根据折叠的性质得是解决问题的关键．【详解】解：如图，为点关于的对称点，过点作，过点作，则，联结，∴，AC BAD ∠∴BAC CAD α∠=∠= BC AD ∥∴BCA DAC α∠=∠=∴BCA BAC ∠=∠∴AB BC = 2=AD AB ∴2AD BC =∴12BC AD =∴1122AC AB BC a AD a b =+=+=+ 12a b +ABC 6AB AC ==4BC =D AC ABC BD C E AE AE E C BD A AM BC ⊥D DN BC ⊥AM DN ∥AE 1AD MNCD CN==1CN MN ==DN =BD =1122BCD S BC DN BD OC =⋅=⋅△2CE OC ==DE DC =AD CD =AE CE ⊥AE CE ⊥E C BD A AM BC ⊥D DN BC ⊥AM DN ∥AE 122BM CM BC ===∵点是边的中点，即，∴，则为的中点，即，∴，，∵为点关于的对称点，∴，且，，则，∴，则∵，，∴，，又∵，∴，即，∴．18. 如图，点是函数图象上一点，连接交函数图象于点，点是轴负半轴上一点，且，连接，那么的面积是_______．【答案】##【解析】D AC 132AD CD AC ===1ADMNCD CN==N CM 1CN MN==DN ==BD ==E C BD CE BD ⊥OC OE =DE DC =1122BCD S BC DN BD OC =⋅=⋅△DN BC OC BD ⋅===2CE OC ==DE DC =AD CD =DAE DEA ∠=∠DEC DCE ∠=∠180DAE DEA DEC DCE ∠+∠+∠+∠=︒90DEA DEC ∠+∠=︒AE CE ⊥AE ==A 8(0)y x x =-<OA 1(0)y x x=-<B C x AC AO =BC ABC 8-8-【分析】过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，反比例函数比例系数的几何意义得，，证得，由此得，证得 ，然后根据等腰三角形的性质得，则，由此得得，进而可得的面积．【详解】解：过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，如下图所示：点是函数图象上一点，点是反比例函数图象上的点，根据反比例函数比例系数的几何意义得：，，轴，轴，，，，，，，即，，，，轴，，，A B x D E 4OAD S = 0.5OBE S = OAD OBE ∽2()OAD OBE S OA SOB= OA =1)ABC OBC S S = 28AOC OAD S S == 8ABC OBC S S += OBC S = ABC A B x D E A 8(0)y x x =-<B 1(0)y x x=-<1842OAD S =⨯= 110.52OBE S =⨯= AD x ⊥ BE x ⊥AD BE ∴∥OAD OBE ∴ ∽∴2OAD OBE S OA S OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴2480.5OA OB ⎛⎫== ⎪⎝⎭OA ∴=1)AB OA OB OB OB ∴=-=-=-1AB OB = 1ABC OBC S AB S OB==- ()1ABC OBC S S ∴= AC AO = AD x ⊥OD CD ∴=28AOC OAD S S ∴==，即，．故答案为：．【点睛】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．三、（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19.．【答案】【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握实数的混合运算法则．先计算零指数幂、化简二次根式、绝对值，再算加减即可．【详解】解：原式．20.解方程：【答案】【解析】【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程和解一元二次方程的方法和步骤．先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行求解即可．详解】解：，，，【8ABC OBC S S ∴+= 1)8OBC OBC S S -+= OBC S ∴= 8ABC AOC OBC S S S ∴=-=- 8-10212π---21)1=--+11=+2=22161242x x x x +-=--+5x =-22161242x x x x +-=--+()22162x x +-=-244162x x x ++-=-，，，，检验，当时，，∴是原方程的解，当时，，∴不是原方程的解．21. 如图，和⊙相交于点、，连接、、，已知，，．（1）求的半径长；（2）试判断以为直径的是否经过点，并说明理由．【答案】（1）（2）以为直径的经过点，见解析【解析】【分析】本题主要考查了圆的相关性质，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．（1）连接，设与的交点为，根据题意可得，，在中，根据勾股定理求出，进而求出，在中，根据勾股定理求出，即可求解；（2）根据题意并结合（1）可得，可证明，得到23100x x +-=()()520x x +-=50,20x x +=-=115,2x x =-=5x =-240x -≠5x =-2x =240x -=2x =1O 2O A B AB 12O O 2AO 48AB =1250O O =230AO =1O 12O O P B 4012O O P B 1AO 12O O AB G 1242AG AB ==12O O AB ⊥2Rt AGO 2GO 1GO 1Rt AGO 1AO 22122AO GO O O AO =122O AO AGO ∽，取的中点，连接、，推出，结合垂直平分，即可求解．【小问1详解】解：连接，设与的交点为．和⊙相交于点、，，，，在中，，；，在中，，；即的半径长为；【小问2详解】以为直径的经过点．，，，又，，，取的中点，连接、，，12290O AO AGO ∠=∠=︒12O O P AP BP 1AP PO =12O O AB 1AO 12O O AB G 1O 2O A B 48AB =∴1242AG AB ==12O O AB ⊥2Rt AGO 290AGO ∠=︒∴218GO ===∴1122501832GO O O GO =-=-=1Rt AGO 190AGO ∠=︒∴140AO ===1O 4012O O P B 212303505AO O O ==22183305GO AO ==∴22122AO GO O O AO =212AO O O A G ∠=∠∴122O AO AGO ∽∴12290O AO AGO ∠=∠=︒12O O P AP BP ∴1AP PO =又垂直平分，，以为直径的经过点．22. A 市“第××届中学生运动会”期间，甲校租用两辆小汽车（设每辆车的速度相同）同时出发送名学生到比赛场地参加运动会，每辆小汽车限坐人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离比赛场地千米的地方出现故障，此时离截止进场的时刻还有分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车．已知这辆车的平均速度是每小时千米，人步行的平均速度是每小时千米（上、下车时间忽略不计）．（1）如果该小汽车先送名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，请你判断他们能否在截止进场的时刻前到达？并说明理由；（2）试设计一种运送方案，使所有参赛学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地，并说明方案可行性的理由．【答案】（1）不能，见解析（2）见解析【解析】【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；（1）根据题意分别求出单程送达比赛场地的时间和另外送4名学生的时间，进而问题可求解；（2）设汽车与另外名学生相遇所用时间为小时，根据题意可得，进而求解即可．【小问1详解】解：他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地．∵单程送达比赛场地的时间是：（小时）（分钟）；∴送完另名学生的时间是：（分钟）（分钟）；∴他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地．【小问2详解】解：先将名学生用车送达比赛场地，另外名学生同时步行前往比赛场地，汽车到比赛场地后返回到与另外名学生的相遇处再载他们到比赛场地．（用这种方案送这名学生到达比赛场地共需时间约为分钟）．理由如下：先将名学生用车送达比赛场地的时间是：（小时）（分钟），12O O AB 1BP AP PO ==∴12O O P B 84154260544t 56015 1.25t t +=-15600.25÷=15=415345⨯=42>444840.4415600.25÷=15=此时另外名学生步行路程是：(千米)；设汽车与另外名学生相遇所用时间为小时．则；解得（小时）（分钟）；从相遇处返回比赛场地所需的时间也是（分钟）；所以，送这名学生到达比赛场地共需时间为：（分钟）；又；所以，用这种方案送这名学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地．23. 如图，在菱形中，点、、、分别在边、、、上，，，．（1）求证：；（2）分别连接、，求证：四边形是等腰梯形．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，等腰梯形的判定（1）连结，可得，，进而即可得到结论；（2）欲证明四边形是等腰梯形，只需推知，，即可．【小问1详解】证明：连结．450.25 1.25⨯=4t 56015 1.25t t +=-1152t =16513=16513816515240.413+⨯≈40.442<8ABCD E G H F AB BC CD DA AE AF =CG CH =CG AE ≠EF GH ∥EG FH EGHF BD AE AF AB AD =CG CH CB CD=EGHF EF GH ≠EF GH ∥EG FH =BD∵四边形是菱形，∴；又，，∴，；∴，；∴．【小问2详解】证明：连接∵，∴；∵，∴；又，∴；又，∴四边形是梯形；∵,即；又∵，即；∵四边形是菱形，ABCD AB AD BC CD ===AE AF =CG CH =AE AF AB AD=CG CH CB CD =EF BD ∥GH BD ∥EF GH ∥,EG FHEF BD ∥EF AE BD AB=GH BD ∥GH CG BD BC =CG AE ≠EF GH ≠EF GH ∥EGHF AB AE AD AF -=-BE DF =BC CG CD CH -=-BG DH =ABCD∴；∴；∴；∴梯形是等腰梯形．24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．（1）求该抛物线的表达式及点的坐标；（2）已知点，联结，过点作，垂足为，点是轴上的动点，分别联结、，以、为边作平行四边形．① 当时，且的顶点正好落在轴上，求点的坐标；② 当时，且点在运动过程中存在唯一的位置，使得是矩形，求的值．【答案】（1）；点 （2）①；②的值为或【解析】【分析】（1）把点A 的坐标代入表达式求出a 的值即可得到函数表达式，进而根据对称性求出点B 的坐标；（2）①在中，，则；得到；过点作，垂足为．在中，，；证明四边形是矩形，则；即可得到答案；②根据m 的取值分三种情况分别进行解答即可．【小问1详解】解：把代入，得，B D ∠=∠()SAS BGE DHF ≅ EG FH =EGHF xOy 244(0)y ax ax a =-+>x (1,0)A B yC B (0,)M m BC M MG BC ⊥GD x GD MD GD MD GDMN 32m =GDMN N y D 0m ≥D GDMN m 2416433y x x =-+(3,0)B 6(,0)5D m 037Rt CGM △90CGM ∠=︒cos CG MCG CM ∠=54cos 225CG CM MCG =⋅∠=⨯=G GH OC ⊥H Rt CGH △90CHG ∠=︒36sin 255GH CG HCG =⋅∠=⨯=GDOH 65OD GH ==(1,0)A 244(0)y ax ax a =-+>440a a -+=解得；∴抛物线的表达式为；∵抛物线的对称轴是直线，抛物线与轴交于点和点，∴点．【小问2详解】①由题意，得，，∴；∵四边形是平行四边形，∴；又点在轴上，∴，∴，在中，，∴，∴，；在中，，∴；∴；过点作，垂足为．43a =2416433y x x =-+1632423x -=-=⨯244(0)y ax ax a =-+>x (1,0)A B (3,0)B (0,4)C 3(0,)2M 52CM =GDMN GD NM ∥N y NM OD ⊥GD OD ⊥Rt BOC 90BOC ∠=︒5BC ==4cos 5OC OCB BC ∠==3sin 5OB OCB BC ∠==Rt CGM △90CGM ∠=︒cos CG MCG CM∠=54cos 225CG CM MCG =⋅∠=⨯=G GH OC ⊥H在中，，；∵，∴四边形是矩形，∴；∴．②当时，根据不同取值分三种情况讨论： 当时，即点与点重合时，符合题意；当时，如图情况符合题意，取的中点P ，以为直径作圆P ，则在圆上，此时圆P 和x 轴有唯一切点D ，符合题设条件，则，∵，由①知， ，则，则，∵，,∴，解得；当时，可得，所以符合题意的不存在；综合、、，符合题意的的值为或．【点睛】此题考查了二次函数的综合题，考查了解直角三角形，切线的性质、勾股定理、矩形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，分类讨论是解题的关键．25. 如图，在扇形中，，，点、是弧上的动点（点在点的上方，点不与点重合，点不与点重合），且．Rt CGH △90CHG ∠=︒36sin 255GH CG HCG =⋅∠=⨯=90GDO DOH GHO ∠=∠=∠=︒GDOH 65OD GH ==6(,0)5D 0m ≥m i 0m =M O ii 04m <<MG MG ,N D OH PD PM ==()3sin 425MG MC OCB m PM =⋅∠=-=CMG OCB ∠=∠sin sin CMG OCB ∠=∠()9sin 450MH PM OCB m =∠=-OH MH OM MH m =+=+PM OH =93(4)(4)5010m m m -+=-37m =iii 4m ≥OH PM >m i ii iii m 037OAB OA OB ==90AOB ∠=︒C D AB C D C A D B 45COD ∠=︒（1）①请直接写出弧、弧和弧之间的数量关系；②分别连接、和，试比较和的大小关系，并证明你的结论；（2）分别交、于点、．①当点在弧上运动过程中，的值是否变化，若变化请说明理由；若不变，请求的值；②当时，求圆心角的正切值．【答案】（1）①；②，证明见解析；（2）①的值不变，；②或．【解析】【分析】（1）①根据“同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”即可得到答案；②在弧上取点连接，使得，可得，根据角的和差关系可得，则，即可得到答案；（2）①证明，即可得到答案；②过点在下方作，截取，连接、，证得，可得，进一步证得，则可得，由勾股定理和线段的和差关系可得，联立解得，过点N 作于点F ，则，利用勾股定理求得，，根据正切的概念计算即可．【小问1详解】解：①，，，；②．证明如下：AC CD BD AC CD BD AC BD +CD AB OC OD M N C AB AN BM ⋅AN BM ⋅5MN =DOB ∠ AC C BD D +=AC BD CD +>AN BM ⋅72AN BM ⋅=1tan 3DOB =∠1tan 2DOB ∠=CD E OE COE AOC ∠=∠AC CE =DOE BOD ∠=∠BD DE =BMO AON ∽△△O OB BOM AOM ∠=∠'OM OM '=BM 'NM '()SAS OBM OAM ' ≌90NBM OBA OBM '∠=∠+∠='︒()SAS ONM OMN ' ≌22225MN AM BN ==+7AM BN +=BN NF OB ⊥NF BF =NF OF 90AOB ∠=︒Q 45COD ∠=︒904545AOC BOD AOB COD ∴∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒ D B AC C D +∴=AC BD CD +>在弧上取点连接，使得，；、可得；，，；；．【小问2详解】解：①的值不变，．，，；，，；；；．②如图，CD E OE COE AOC ∠=∠∴AC CE =CE DE CE DE CD +> 45COE DOE ∠+∠=︒∴904545AOC BOD ∠+∠=︒-︒=︒∴DOE BOD ∠=∠∴BD DE =∴AC BD CD +>AN BM ⋅72AN BM ⋅= OA OB =90AOB ∠=︒∴45OAB OBA ∠=∠=︒ 45OMB OAB AOM AOM ∠=∠+∠=︒+∠45AON COD AOM AOM ∠=∠+∠=︒+∠∴OMB AON ∠=∠∴BMO AON ∽△△∴BM BO AO AN=∴72AN BM AO BO ⋅=⋅==过点在下方作，截取，连接、，，，，，；又，，，，；，；解得或；过点N 作于点F ，则，，，，设，则，当时，在中，，即，解得：O OB BOM AOM ∠=∠'OM OM '=BM 'NM ' AO BO =∴()SAS OBM OAM ' ≌∴BM AM '=45OBM OAB ∠=∠='︒∴90NBM OBA OBM '∠=∠+∠='︒45M ON COD ∠=︒=∠'ON ON =∴()SAS ONM OMN ' ≌∴M N MN '=∴222222MN M N BM BN AM BN =='+=+' 551257AM BN AB MN +=-=-==-=2225AM BN +=3BN =4BN =NF OB ⊥90NFB ∠=︒45ABO ∠=︒ 45BNF ∴∠=︒NF BF ∴=BF x =OF x =3BN =Rt NFB △222BF NF BN +=229x x +=x =OF ∴==；当时，在中，，即，解得：，．【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．1tan 3NF O O F D B ∴==∠=4BN =Rt NFB △222BF NF BN +=2216x x +=x=OF ∴==1tan 2NF O O D F B ===∠∴。
2022年上海市徐汇区中考数学二模试题及答案解析
2022年上海市徐汇区中考数学二模试卷1. 长江是我国第一大河，它的全长约为6300千米，6300这个数用科学记数法表示为( )A. 63×102B. 6.3×102C. 6.3×103D. 6.3×1042. 如图，数轴上表示实数√14−2的点可能是( )A. 点MB. 点NC. 点PD. 点Q3. 如果反比例函数y=k(k是常数，k≠0)的图像经过第一、三象限，那么一次函数y=kx−xk的图像一定经过( )A. 第一、二、三象限B. 第一、三、四象限C. 第二、三、四象限D. 第一、二、四象限4. 关于非零向量a⃗、b⃗ 、c⃗，下列选项中错误的是( )A. 如果a⃗=b⃗ ，那么|a⃗|=|b⃗ |B. 如果a⃗、b⃗ 都是单位向量，那么|a⃗|=|b⃗ |C. 如果a⃗=2b⃗ ，那么a⃗//b⃗D. 如果c⃗=a⃗+b⃗ ，那么|c⃗|=|a⃗|+|b⃗ |5. 为了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图(如图)所示，则所调查学生睡眠时间(小时)的众数、中位数分别为( )A. 7、7B. 8、7.5C. 7、7.5D. 8、86. 下列命题是真命题的是( )A. 如果直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，那么它的斜边长度为5厘米B. 如果半径长分别为2厘米和3厘米的两个圆相切，那么它们的圆心距为5厘米C. 关于反比例函数y=3，y的值随自变量x的值的增大而减少xD. 顺次联结对角线相等的四边形的各边中点所形成的四边形是菱形7. 计算(4a3)2=______．8. 如果代数式√3x−2有意义，那么实数x的取值范围是______．9. 已知f(x)=x2+1，那么f(√2)=______．x210. 小明在端午节煮了20个粽子，其中10个鲜肉粽，6个红枣粽，剩下的是赤豆粽，这些粽子除馅料不同外其它都相同．小明随意吃一个，吃到赤豆粽的概率是______．11. 如果关于x的一元二次方程2x2−3x+k=0有两个不相等的实数根，那么实数k的取值范围是______．12. 如图，已知AE//BD，∠1=120°，∠2=30°，那么∠C的度数为______．13. 某校为了了解初二学生每周零花钱的消费情况，随机抽取了该校50名学生进行调查，调查的结果绘制成如图所示的扇形图，根据图中的信息，估计该校400名初二学生每周零花钱消费超过50元的学生人数约为______人．14. 某市出租车计费办法如图所示，如果小张在下车时支付的车费为26元，那么小张这次在该市乘坐出租车行驶了______千米．15. 如果一个正多边形的中心角等于72°，那么这个正多边形的对称轴共有______条．16. 如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC =6厘米，长CD =16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD 恰有一半露出水面，那么此时水面高度是______厘米．17. 定义：将两个不相交的函数图像在竖直方向上的最短距离称为这两个函数的“和谐值”.如果抛物线y =a 2+bx +c(a ≠0)与抛物线y =(x −1)2+1的“和谐值”为2，试写出一个符合条件的函数解析式：______．18. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =8，AC =6，点D 是BC 的中点，点E 是边AB 上一动点，沿DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′DE 的位置，B′D 交AB 于点F ，如果△AB′F 为直角三角形，那么BE 的长为______．19. 先化简，再求值：a 2−3a+2a 2−4÷(a +1−4a a+2).其中a =√5+3．20. 解方程组{x −3y =2(1)x 2−2xy +y 2−16=0(2)． 21. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数y =2x 的图像与反比例函数y =m x (m ≠0,x >0)的图象交于点A(a,4)，点B 为直线y =2x 上一点，且AB =2OA ．(1)求反比例函数y =m x 的解析式；(2)过点B 作BC//x 轴，交反比例函数y =mx 的图像于点C ，求△ABC 的面积．22. 激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33°到40°之间时(如图1)，双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．(1)小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离(人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离)为3.5米，小佳家要选择电视屏幕宽(图2中的BC的长)在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？(结果精确到0.1m，参考数据：sin33°≈0.54，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36)(2)由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？23. 如图，在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点(点E与点C、D不重合)，过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，联结EF交边AB于点G，连接AC．(1)求证：△AEF∽△DAC；(2)如果FE平分∠AFB，联结CG，求证：四边形AGCE为菱形．24. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y=−x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C(1,0)，点P为线段AB上的点，且点P的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式和直线AB的解析式；(2)过P作y轴的平行线交抛物线于M，当△PBM是MP为腰的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)若顶点D在以PM、PB为邻边的平行四边形的形内(不含边界)，求m的取值范围．25. 如图，AB为半圆O的直径，点C在线段AB的延长线上，BC=OB，点D是在半圆O上的点(不与A，B两点重合)，CE⊥CD且CE=CD，联结DE．(1)如图1，线段CD与半圆O交于点F，如果DF=BF，求证：BFCF =12；(2)如图2，线段CD与半圆O交于点F，如果点D平分AF⏜，求tan∠DFA；(3)联结OE交CD于点G，当△DOG和△EGC相似时，求∠AOD．答案和解析1.【答案】C【解析】解：6300=6.3×103，故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．2.【答案】A【解析】解：∵9<14<16，∴3<√14<4，∴1<√14−2<2，∴数轴上表示实数√14−2的点可能是：点M，故选：A．先估算出√14的值，即可判断．本题考查了实数，实数与数轴，估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的值是解题的关键．3.【答案】B(k是常数，k≠0)的图像经过第一、三象限，【解析】解：∵反比例函数y=kx∴k>0，∴−k<0，∴一次函数y=kx−k的图像经过第一、三、四象限，故选：B．根据反比例函数的图象可得k>0，进一步即可确定一次函数y=kx−k的图象．本题考查了反比例函数图象与一次函数的图象，熟练掌握函数图象与系数的关系是解题的关键．4.【答案】D【解析】解：A、如果a⃗=b⃗ ，那么|a⃗|=|b⃗ |，不符合题意；B、如果a⃗、b⃗ 都是单位向量，那么|a⃗|=|b⃗ |，不符合题意；C、如果a⃗=2b⃗ ，那么a⃗//b⃗ ，不符合题意；D、如果c⃗=a⃗+b⃗ ，那么|c⃗|≤|a⃗|+|b⃗ |，符合题意．故选：D．根据向量的性质和向量模的定义进行分析判断．本题主要考查了平面向量，需要考虑共线向量和非共线向量两种情况．5.【答案】C【解析】解：由直方图可得，所调查学生睡眠时间(小时)的众数是7，中位数是(7+8)÷2=7.5，故选：C．根据直方图中的数据，可以直接写出众数，然后根据直方图中的数据，可知第25个数据是7，第26个数据是8，从而可以得到中位数．本题考查频数分布直方图、众数、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6.【答案】D【解析】解：A、如果直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，那么它的斜边长度为5厘米或√7厘米，故本命题是假命题，不符合题意；B、如果半径长分别为2厘米和3厘米的两个圆相切，那么它们的圆心距为5厘米或1厘米，故本命题是假命题，不符合题意；C、关于反比例函数y=3，在每个象限，y的值随自变量x的值的增大而减少，故本命题是假命题，x不符合题意；D、顺次联结对角线相等的四边形的各边中点所形成的四边形是菱形，本命题是真命题，符合题意；故选：D．根据勾股定理、圆与圆位置关系、反比例函数的性质、菱形的判定定理判断即可．本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．7.【答案】16a6【解析】解：(4a3)2=16a6，故答案为：16a6．根据幂的乘方与积的乘方法则，进行计算即可解答．本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键．8.【答案】x≥23【解析】解：由题意可知：3x−2≥0，∴x≥23，故答案为：x≥23．根据二次根式的有意义的条件即可求出答案．本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．9.【答案】52【解析】解：∵f(x)=x2+1x2，∴f(√2)=(√2)2+(√2)2=2+12=52，故答案为：52．将x=√2代入哈桉树解析式进行计算即可．此题考查了运用实数的计算求函数值的能力，关键是能代入并准确计算．10.【答案】15【解析】解：∵20个粽子中有20−10−6=4个赤豆粽，∴小明随意吃一个，吃到赤豆粽的概率是420=15，故答案为：1．5利用概率公式求解即可．本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．11.【答案】k<98【解析】解：根据题意得Δ=(−3)2−4×2×k>0，，解得k<98．所以实数k的取值范围是k<98．故答案为：k<98根据根的判别式的意义得到Δ=(−3)2−4×2×k>0，然后解不等式即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．12.【答案】30°【解析】解：∵AE//BD，∠2=30°，∴∠CEA=∠2=30°，又∵∠1=120°，∴∠C=180°−∠CEA−∠1=180°−120°−30°=30°，故答案为：30°．由AE//BD，可求得∠CEA的度数，再利用三角形的内角和等于180°，即可求得答案．此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的运用．解题的关键是注意数形结合思想的应用．13.【答案】88×100%=12%，【解析】解：因为0～10元人数所占百分比为650所以超过50元人数所占百分比为1−(12%+30%+36%)=22%，所以估计该校400名初二学生每周零花钱消费超过50元的学生人数约为400×22%=88(人)，故答案为：88．先求出0～10元人数所占百分比，再根据百分比之和为1求出超过50元人数所占百分比，最后用总人数乘以对应百分比即可．本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数(单位1)，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．14.【答案】8【解析】解：设y 与x 之间的解析式为：y =kx +b(k ≠0)，代入(3,14)，(13,38)，得{3k +b =1413k +b =38， 解得{k =2.4b =6.8， ∴y =2.4x +6.8，当y =26时，2.4x +6.8=26，解得x =8，故答案为：8．先求出y 与x 的函数解析式，再将y =26代入即可求出x 的值．本题考查了一次函数的应用，根据函数图象求出一次函数解析式是解题的关键．15.【答案】1【解析】解：根据题意得：这个多边形的边数是360°÷72°=5，∴这个正多边形的对称轴共有1条．故答案为：1．根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，列式计算即可．本题考查的是正多边形的中心角的有关计算，掌握正多边形的中心角和边数的关系是解题的关键．16.【答案】9.6【解析】【分析】直接利用勾股定理得出BF的长，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，正确把握相关性质是解题关键．【解答】解：如图所示：作BE⊥AE于点E，由题意可得，BC=6cm，CF=12DC=8cm，故BF=√FC2+BC2=√62+82=10(cm)，可得：∠CFB=∠BAE，∠C=∠AEB，故△BFC∽△BAE，∴BC EB =FBAB，∴6 BE =1016，解得：BE=9.6．故答案为：9.6．17.【答案】y=x2−2x+4【解析】解：将抛物线y=(x−1)2+1向上平移2个单位可得抛物线yy=(x−1)2+1y=(x−1)2+3=x2−2x+4，故答案为：y=x2−2x+4．抛物线y=(x−1)2+1向上或向下平移2个单位求解．本题考查二次函数的性质，解题关键是理解题意，掌握二次函数图象的平移规律．18.【答案】2或4017【解析】【分析】本题考查了翻折变换、勾股定理、锐角三角函数定义、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．分两种情况画出图形，①当∠AFB′=90°时，由△BDF∽△BAC，得出BFBC =BDAB，求出BF=165，再根据sin∠B=sin∠FB′E，得出ACAB =EFB′E，可得方程610=165−xx，求解即可得出答案；②当∠AB′F=90°时，由Rt△ADC≌Rt△ADB′得出AC=AB′=6，然后由sin∠B=sin∠B′EH，得出B′HB′E =ACAB=35，设BE=B′E=x，则B′H=35x，EH=45x，再根据勾股定理列方程可求出答案．【解答】解：分两种情况讨论：①如图1，当∠AFB′=90°时，在Rt△ABC中，∵AC=6，BC=8，∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10，∵D是BC的中点，∴BD=CD=12BC=4，∵∠AFB′=∠BFD=90°，∠ACB=90°，∴∠DFB=∠ACB，又∵∠DBF=∠ABC，∴△BDF∽△BAC，∴BF BC =BDAB，即BF8=410，解得：BF=165，设BE=B′E=x，则EF=165−x，∵∠B=∠FB′E，∴sin∠B=sin∠FB′E，∴AC AB =EFB′E，∴6 10=165−xx，解得x=2，且适合此方程，∴BE=2；②如图2中，当∠AB′F=90°时，连接AD，作EH⊥AB′交AB′的延长线于H，∵AD=AD，CD=DB=DB′，∠AB′D=∠ACD=90°，∴Rt△ADC≌Rt△ADB′(HL)，∴AC=AB′=6，∵将△BDE沿直线DE翻折，∴∠B=∠DB′E，∵AB′⊥DB′，EH⊥AH，∴DB′//EH，∴∠DB′E=∠B′EH，∴∠B=∠B′EH，∴sin∠B=sin∠B′EH，∴B′H B′E =ACAB=35，设BE=B′E=x，则B′H=35x，EH=45x，在Rt△AEH中，AH2+EH2=AE2，∴(35x+6)2+(45x)2=(10−x)2，解得x=4017，∴BE=4017，则BE的长为4017，综上，BE的长为2或4017．故答案为：2或4017．19.【答案】解：a2−3a+2a 2−4÷(a +1−4aa+2) =(a−2)(a−1)(a+2)(a−2)÷a(a+2)+1−4aa+2=a−1a+2÷a 2−2a+1a+2 =a−1a+2⋅a+2(a−1)2=1a−1，当a =√5+3时，原式=√5+3−1=√5+2=√5−2(√5+2)×(√5−2)=√5−2．【解析】先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．20.【答案】解：{x −3y =2(1)x 2−2xy +y 2−16=0(2)，由(2)得：(x −y +4)(x −y −4)=0， ∴x −y +4=0或x −y −4=0．(1)和新方程组成新的方程组为{x −3y =2x −y +4=0或{x −3y =2x −y −4=0，解这两个方程组得{x =−7y =−3或{x =5y =1．所以原方程组的解为{x 1=−7y 1=−3，{x 2=5y 2=1．【解析】把组中的第二个方程利用因式分解法化为两个一次方程，再与组中的第一个方程组成新的方程组，求解即可．本题考查了高次方程，掌握整式的因式分解，把二元二次方程组转化为一元一次方程组是解决本题的关键．21.【答案】解：(1)∵点A(a,4)在正比例函数y =2x 的图象上，∴4=2a ， ∴a =2， ∴A(2,4)，∵反比例函数y =mx (m ≠0,x >0)的图象过点A ，∴m =2×4=8，∴反比例函数的解析式为y =8x；(2)作AM ⊥x 轴于M ，BN ⊥x 轴于N ，则AM//BN ， ∴AMBN =OAOB ， ∵AB =2OA ， ∴OA OB =13，∵AM =4， ∴BN =12，把y =12代入y =2x 求得x =6，代入y =8x求得x =23， ∴B(6,12)，C(23,12)， ∴BC =6−23=163， ∴S △ABC =12×163×(12−4)=643．【解析】(1)由正比例函数解析式求得A 的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；(2)作AM ⊥x 轴于M ，BN ⊥x 轴于N ，则AM//BN ，即可证得AM BN=OA OB =13，即可求得BN =12，进一步求得B 、C 的坐标，得到BC =163，然后根据三角形面积公式即可求得． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例定理，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．22.【答案】解：(1)如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，根据题意可知：AB =AC ，AD ⊥BC ， ∴BC =2BD ，∠BAD =∠CAD =12∠BAC ，当∠BAC=33°时，∠BAD=∠CAD=16.5°，在△ABD中，BD=AD×tan16.5°≈3.5×0.30=1.05(m)，∴BC=2BD=2.10(m)，当∠BAC=40°时，∠BAD=∠CAD=20°，在△ABD中，BD=AD×tan20°≈3.5×0.36=1.26(m)，∴BC=2BD=2.52m，答：小佳家要选择电视屏幕宽为2.10m−2.52m之间的激光电视就能享受黄金观看体验；(2)设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为(x+4000)元．由题意可得：1000000x+4000=1000000×(1−20%)x，解得：x=16000，经检验x=16000是原方程的解，符合题意，答：今年这款激光电视每台的售价是16000元．【解析】(1)过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可得AB=AC，当∠BAC=33°时，当∠BAC=40°时，利用锐角三角函数即可解决问题；(2)设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为(x+4000)元．由题意列出方程即可解决问题．本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，视点，视角和盲区，解决本题的关键是根据题意找到等量关系准确列出方程．23.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，AB=DC，∠BCD=∠DAB=∠ABC=∠D=90°，∴∠ABF=180°−∠ABC=90°，∵AE⊥AF，∴∠FAE=90°，∴∠FAE−∠BAE=∠DAB−∠BAE，∴∠BAF=∠DAE，∵∠D=∠ABF=90°，∴△ABF∽△ADE，∴AB AD =AFAE，∴DC AD =AFAE，∵∠D=∠FAE=90°，∴△AEF∽△DAC；(2)如图：∵FE平分∠AFB，∴∠AFE=∠CFE，∵∠FAE=∠BCD=90°，EF=EF，∴△AFE≌△CFE(AAS)，∴AF=CF，AE=EC，∵FG=FG，∴△AFG≌△CFG(SAS)，∴∠FAG=∠FCG，∵∠BAF=∠DAE，∴∠DAE=∠FCG，∵∠DAE+∠AED=90°，∠BCG+∠DCG=90°，∴∠DCG=∠AED，∴AE//CG，∵AB//CD，∴四边形AGCE是平行四边形，∵AE=EC，∴四边形AGCE为菱形．【解析】(1)根据矩形的性质可得AB//CD，AB=DC，∠BCD=∠DAB=∠ABC=∠D=90°，根据垂直定义可得∠FAE=90°，从而可得∠BAF=∠DAE，进而可得△ABF∽△ADE，然后利用相似三角形的性质可得DCAD =AFAE，再利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明，即可解答；(2)根据角平分线的定义可得∠AFE =∠CFE ，从而证明△AFE≌△CFE ，进而可得AF =CF ，AE =EC ，然后再证△AFG≌△CFG ，从而可得∠FAG =∠FCG ，再结合(1)的结论可得∠DAE =∠FCG ，最后利用等角的余角相等可得∠DCG =∠AED ，从而可得AE//CG ，进而利用菱形的判定方法即可解答．本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．24.【答案】解：(1)∵直线y =kx +3交y 轴于点B ，∴B(0,3)，∵抛物线y =−x 2+bx +c 经过点B(0,3)，点C(1,0)， ∴{c =3−1+b +c =0，解得：{b =−2c =3，∴抛物线的解析式为y =−x 2−2x +3， 令y =0，得−x 2−2x +3=0， 解得：x 1=−3，x 2=1， ∴A(−3,0)，把点A 的坐标代入y =kx +3，得−3k +3=0， 解得：k =1，∴直线AB 的解析式为y =x +3；(2)∵点P 为线段AB 上的点，且点P 的横坐标为m ， ∴P(m,m +3)，且−3≤m ≤0， ∵过P 作y 轴的平行线交抛物线于M ， ∴M(m,−m 2−2m +3)，∴PM =−m 2−2m +3−(m +3)=−m 2−3m ，∵PB 2=(m −0)2+(m +3−3)2=2m 2，且−3≤m ≤0， ∴PB =−√2m ，∵△PBM 是MP 为腰的等腰三角形，B(0,3)， ∴MP =PB 或MP =MB ， ∵OA =OB =3，∠AOB =90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABO=45°，∵PM//OB，∴∠BPM=45°，①当MP=PB时，∴−m2−3m=−√2m，解得：m=0(舍去)或m=−3+√2，∴P(−3+√2,√2)；②当MP=MB时，则∠PBM=∠BPM=45°，∴∠BMP=90°，∴BM//x轴，即点M的纵坐标为3，∴−m2−2m+3=3，解得：m1=0(舍去)，m2=−2，∴P(−2,1)，综上所述，点P的坐标为(−3+√2,√2)或(−2,1)；(3)∵y=−x2−2x+3=−(x+1)2+4，∴抛物线的顶点D(−1,4)，设经过点D(−1,4)且平行直线AB的直线DG的解析式为y=x+n，如图2，则−1+n=4，解得：n=5，∴y=x+5，联立，得x+5=−x2−2x+3，解得：x1=−1，x2=−2，∴点G的横坐标为−2，∵顶点D在以PM、PB为邻边的平行四边形的形内(不含边界)，∴点M必须在直线DG上方的抛物线上运动，∴m的取值范围为：−2<m<−1．【解析】(1)先求出点B(0,3)，运用待定系数法可求得抛物线的解析式为y=−x2−2x+3，令y=0，可求得A(−3,0)，把点A的坐标代入y=kx+3，即可求得直线AB的解析式为y=x+3；(2)设P(m,m+3)，且−3≤m≤0，则M(m,−m2−2m+3)，可得PM=−m2−3m，运用两点间距离公式可得PB=−√2m，根据△PBM是MP为腰的等腰三角形，分两种情况：MP=PB或MP=MB，分别建立方程求解即可得出答案；(3)利用待定系数法可求得经过点D(−1,4)且平行直线AB的直线DG的解析式y=x+5，联立，得x+5=−x2−2x+3，可得点G的横坐标为−2，根据题意可知：点M必须在直线DG上方的抛物线上运动，故−2<m<−1．本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会运用分类讨论思想和方程思想解决问题，属于中考压轴题．25.【答案】(1)证明：∵DF=BF，∴∠DOF=∠FOB，连接OF，在半圆O中，OD=OF=OB，∴∠ODF=∠OFD=12(180°−∠DOF)，∠OFB=∠OBF=12(180°−∠FOB)，∴∠ODF=∠OFD=∠OFB=∠OBF，∵∠CFB=180°−∠OFB−∠OFD=180°−∠OFB−∠OBF=∠FOC，又∵∠FCB=∠OCF，∴△FCB∽△OCF，∴BF CF =OFOC，又∵OF=OB=BC=12OC，∴BF CF =12；(2)解：连接DO交AF于点M，连接BF，∵点D平分AF⏜，OD是半径，∴OD⊥AF于点M，AM=MF，∵OA=OB，∴OD//BF，OM=12BF，又∵OC=OB，BF//OD，∴BF OD =CBOC=12，设OM=a，则BF=2a，OD=OF=4a，DM=3a，在Rt△OMF中，由勾股定理得，MF=√OF2−OM2=√(4a)2−a2=√15a，在Rt△DMF中，tan∠DFA=DMMF =3a√15a=√155；(3)解：由题意有∠DGO=∠CGE，当∠ODG=∠DCE=90°时，∵OC=2OB=2DO，∴∠DCO=30°，∴∠AOD=120°，当∠DOG=∠DCE=90°时，设BE的中点为H，连接HO，HC，在Rt△DOE中，OH=12DE=HD，∴∠HDO=∠HOD，在Rt△DOE中，CD=CE，∴HC=12DE，CH⊥DE，∴HC=12DE=HO，∴∠HOC=∠HCO，∵四边形HCOD的内角和为360°，∴∠DOC=135°，∴∠AOD=45°．综上所述，∠AOD为120°或45°．【解析】(1)连接OF，证明△FCB∽△OCF，由相似三角形的性质可得出BFCF =OFOC，则可得出结论；(2)连接DO交AF于点M，连接BF，证出BFOD =CBOC=12，设OM=a，则BF=2a，OD=OF=4a，DM=3a，由勾股定理求出MF=√15a，由锐角三角函数的定义可得出答案；(3)当∠ODG=∠DCE=90°时，由直角三角形的性质可求出答案；当∠DOG=∠DCE=90°时，设BE的中点为H，连接HO，HC，由直角三角形的性质可求出答案．本题是圆的综合题，考查了圆的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．。
2024年上海市徐汇区中考数学二模试卷及答案解析
2024年上海市徐汇区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．（4分）下列实数中，有理数是（）A．B．C．D．2．（4分）下列单项式中，与单项式2a2b3是同类项的是（）A．﹣ab4B．2a3b2C．3b3a2D．﹣2a2b2c 3．（4分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，那么直线y＝bx+k经过（）A．第二、三、四象限B．第一、二、三象限C．第一、二、四象限D．第一、三、四象限4．（4分）如表，记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差．甲乙丙丁平均数（cm）185180180185方差 3.6 3.68.17.4根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，如果添加一个条件使得▱ABCD 是矩形，那么下列添加的条件中正确的是（）A．∠DAO+∠ADO＝90°B．∠DAC＝∠ACDC．∠DAC＝∠BAC D．∠DAB＝∠ABC6．（4分）如图，一个半径为9cm的定滑轮由绳索带动重物上升，如果该定滑轮逆时针旋转了120°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，那么重物上升的高度是（）A．5πcm B．6πcm C．7πcm D．8πcm二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）方程﹣x＝0的根是．8．（4分）不等式组的解集是．9．（4分）方程组的解是．10．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0根的情况是：原方程实数根．11．（4分）如果二次函数y＝2x2﹣4x+1的图象的一部分是上升的，那么x的取值范围是．12．（4分）如果反比例函数y＝的图象经过点A（t，﹣2t），那么t的值是．13．（4分）如果从长度分别为2、4、6、7的四条线段中任意取出三条，那么取出的三条线段能构成三角形的概率是．14．（4分）小杰沿着坡比i＝1：2.4的斜坡，从坡底向上步行了130米，那么他上升的高度是米．15．（4分）某校为了了解学生家长对孩子用手机的态度问题，随机抽取了100名家长进行问卷调查，每位学生家长只有一份问卷，且每份问卷仅表明一种态度（这100名家长的问卷真实有效），将这100份问卷进行回收整理后，绘制了如图1、图2所示的两幅不完整的统计图．如果该校共有2000名学生，那么可以估计该校对手机持“严格管理”态度的家长有人．16．（4分）如图，梯形ABCD中，BC∥AD，AB＝CD，AC平分∠BAD，如果AD＝2AB，＝，＝，那么是（用向量、表示）．17．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4．已知点D是边AC的中点，将△ABC 沿直线BD翻折，点C落在点E处，联结AE，那么AE的长是．18．（4分）如图，点A是函数y＝（x＜0）图象上一点，联结OA交函数y＝﹣（x＜0）图象于点B，点C是x轴负半轴上一点，且AC＝AO，联结BC，那么△ABC的面积是．三、（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．（10分）计算：﹣|1﹣|+π0﹣．20．（10分）解方程：．21．（10分）如图，⊙O1和⊙O2相交于点A、B，联结AB、O1O2、AO2，已知AB＝48，O1O2＝50，AO2＝30．（1）求⊙O1的半径长；（2）试判断以O1O2为直径的⊙P是否经过点B，并说明理由．22．（10分）A市“第××届中学生运动会”期间，甲校租用两辆小汽车（设每辆车的速度相同）同时出发送8名学生到比赛场地参加运动会，每辆小汽车限坐4人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离比赛场地15千米的地方出现故障，此时离截止进场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车．已知这辆车的平均速度是每小时60千米，人步行的平均速度是每小时5千米（上、下车时间忽略不计）．（1）如果该小汽车先送4名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，请你判断他们能否在截止进场的时刻前到达？并说明理由；（2）试设计一种运送方案，使所有参赛学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地，并说明方案可行性的理由．23．（12分）如图，在菱形ABCD中，点E、G、H、F分别在边AB、BC、CD、DA上，AE ＝AF，CG＝CH，CG≠AE．（1）求证：EF∥GH；（2）分别联结EG、FH，求证：四边形EGHF是等腰梯形．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+4（a＞0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式及点B的坐标；（2）已知点M（0，m），联结BC，过点M作MG⊥BC，垂足为G，点D是x轴上的动点，分别联结GD、MD，以GD、MD为边作平行四边形GDMN．①当m＝时，且▱GDMN的顶点N正好落在y轴上，求点D的坐标；②当m≥0时，且点D在运动过程中存在唯一的位置，使得▱GDMN是矩形，求m的值．25．（14分）如图，在扇形OAB中，OA＝OB＝6，∠AOB＝90°，点C、D是弧AB上的动点（点C在点D的上方，点C不与点A重合，点D不与点B重合），且∠COD＝45°．（1）①请直接写出弧AC、弧CD和弧BD之间的数量关系；②分别联结AC、CD和BD，试比较AC+BD和CD的大小关系，并证明你的结论；（2）联结AB分别交OC、OD于点M、N．①当点C在弧AB上运动过程中，AN•BM的值是否变化，若变化请说明理由；若不变，请求AN•BM的值；②当MN＝5时，求圆心角∠DOB的正切值．2024年上海市徐汇区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．【分析】整数和分数统称为有理数，据此进行判断即可．【解答】解：、、是无理数，＝2，是有理数．故选：B．【点评】本题考查有理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．2．【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，由此判断即可．【解答】解：与单项式2a2b3是同类项的是3b3a2，故选：C．【点评】本题考查了同类项，熟知同类项的定义是解题的关键，注意同类项与系数无关，与字母的顺序无关．3．【分析】先根据题意判断出k，b的符号，进而可得出结论．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，∴y＝bx+k经过一、三、四象限．故选：D．【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．4．【分析】据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：因为队员甲和乙的方差最小，但队员乙平均数小，所以甲的成绩好，所以队员甲成绩好又发挥稳定．故选：A．【点评】本题考查方差与算术平方根，解答本题的关键是掌握它们的定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．5．【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、∵∠DAO+∠ADO＝90°，∴∠AOD＝90°，∴AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、∵∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAC，∵∠DAC＝∠BAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∵∠DAB＝∠ABC，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，掌握矩形的判定是解题的关键．6．【分析】根据弧长的计算方法计算半径为9cm，圆心角为120°的弧长即可．【解答】解：由题意得，重物上升的距离是半径为9cm，圆心角为120°所对应的弧长，即＝6π（cm）．故选：B．【点评】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确解答的前提．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．【分析】移项后方程两边平方得出2x﹣1＝x2，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：﹣x＝0，移项，得＝x，方程两边平方，得2x﹣1＝x2，x2﹣2x+1＝0，（x﹣1）2＝0，x﹣1＝0，x＝1，经检验：x＝1是原方程的解．故答案为：x＝1．【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．8．【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．【解答】解：，解不等式①得：x＞2，解不等式②得：x＞﹣5，∴原不等式组的解集为：x＞2，故答案为：x＞2．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．9．【分析】方程组化为一元二次方程可解得答案．【解答】解：由x﹣2y＝0得x＝2y，代入x2+y2＝5得：5y2＝5，解得y＝1或y＝﹣1，∴原方程组的解为或．故答案为：或．【点评】本题考查解高次方程，解题的关键是把方程组化为一元二次方程．10．【分析】先计算出Δ的值得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可．【解答】解：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×（﹣1）＝m2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故答案为：有两个不相等的实数根．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．11．【分析】依据题意，由y＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1，又抛物线开口向上，从而当x＜1时，y随x的增大而减小，图象逐渐下降，当x≥1时，y随x的增大而增大，图象逐渐上升，再结合二次函数y＝2x2﹣4x+1的图象的一部分是上升的，进而可以判断得解．【解答】解：由题意，∵y＝2x2﹣4x+1＝2（x2﹣2x+1）﹣1＝2（x﹣1）2﹣1，又抛物线开口向上，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，图象逐渐下降，当x≥1时，y随x的增大而增大，图象逐渐上升．∵二次函数y＝2x2﹣4x+1的图象的一部分是上升的，∴x≥1．故答案为：x≥1．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．12．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答本题即可．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（t，﹣2t），∴t×（﹣2t）＝﹣4，解得t＝．故答案为：．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握这一特征是关键．13．【分析】利用列举法展示所有4种等可能的结果，根据三角形三边的关系可判断三条线段能构成三角形的结果数，然后根据概率求解．【解答】解：从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段，它们为2、4、6；2、4、7；2，6，7；4，6，7，共有4种等可能的结果，其中三条线段能构成三角形的结果数为2，所以三条线段能构成三角形的概率＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了三角形三边的关系．14．【分析】设上升的高度为x米，根据坡比和勾股定理列方程即可求解．【解答】解：设上升的高度为x米，坡比i＝1：2.4，根据题意得x2+（2.4x）2＝1302，解得x＝50，故答案为：50．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解坡比的定义．15．【分析】先用总人数乘以从来不管对应的百分比求出其人数，再根据三个类别人数之和等于总人数求出严格管理的人数，最后用总人数乘以样本中严格管理人数所占比例即可．【解答】解：由题意知，从来不管的人数为100×25%＝25（人），则严格管理的人数为100﹣25﹣55＝20（人），所以估计该校对手机持“严格管理”态度的家长有2000×＝400（人），故答案为：400．【点评】本题考查了条形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．也考查了利用样本估计总体．16．【分析】首先判定△ABC是等腰三角形；如图，过点C作CE∥AB交AD于E，构造平行四边形ABCE，则BC＝AE．所以在△ABC中，利用三角形法则求解即可．【解答】解：∵BC∥AD，∴∠BCA＝∠CAD．∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD．∴∠BAC＝∠BCA．∴AB＝BC．如图，过点C作CE∥AB交AD于E，则四边形ABCE是平行四边形．∴BC＝AE．∵AD＝2AB，∴AD＝2BC．∵＝，∴＝＝．∵＝，＝+．∴＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了平面向量，等腰三角形的判定与性质，梯形．解题的巧妙之处在于作出辅助线，构造平行四边形．将所求的向量置于△ABC中，利用三角形法则作答．17．【分析】过A作AM⊥BC，过D作DN⊥BC，连接AE，连接CE交BD于O，根据等腰三角形的性质以及平行线分线段成比例可以求出CN，BN的长，然后根据勾股定理求出DN和BD的长，根据轴对称的性质可得，CE⊥BD，OC＝OE，DE＝DC，根据等积变换可以求出OC，从而求得CE，再根据AD＝CD＝DE可以判断△ACE为直角三角形，最后根据勾股定理求出AE的长即可．【解答】解：如图，过A作AM⊥BC，过D作DN⊥BC，连接AE，连接CE交BD于O，∴AM∥DN，∵D为AC中点，AB＝AC，∴AD＝CD＝3，BM＝CM＝2，∴CN＝MN＝1，∴DN＝＝2，∴BD＝＝，∵E和C关于BD对称，∴CE⊥BD，OC＝OE，DE＝DC，＝BC•DN＝BD•OC，∵S△BCD∴OC＝，∴CE＝，∵AD＝CD＝DE，∴△ACE为直角三角形，∴AE＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了翻折问题，合理运用平行线分线段成比例、勾股定理以及直角三角形的判定是本题解题的关键．18．【分析】过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E，反比例函数比例系数的几何＝4，S△OBE＝0.5，证△OAD∽△OBE得，由此得OA＝意义得S△OADOB，则AB＝（OB，再由得S△ABC＝（S，然后根据等腰三角形的性质得S△AOC＝2S△OAD＝8，则S△ABC+S△OBC＝8，由此得△OBC＝，进而可得△ABC的面积．得S△OBC【解答】解：过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E，如下图所示：∵点A是函数（x＜0）图象上一点，点B是反比例函数（x＜0）图象上的点，＝×8＝4，S△OBE＝×1＝0.5，根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△OAD∵AD⊥x轴，BE⊥x轴，∴AD∥BE，∴△OAD∽△OBE，∴，∴＝8，∴OA＝OB，∴AB＝OA﹣OB＝OB﹣OB＝（）OB，即，∵，＝（）S△OBC，∴S△ABC∵AC＝AO，AD⊥x轴，∴OD＝CD，＝2S△OAD＝8，∴S△AOC+S△OBC＝8，∴S△ABC+S△OBC＝8，即（）S△OBC＝，∴S△OBC＝S△AOC﹣S△OBC＝．∴S△ABC故答案为：．【点评】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．三、（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．【分析】利用二次根式的性质、绝对值的性质以及零指数幂分别化简得出答案．【解答】解：﹣|1﹣|+π0﹣＝2﹣+1+1﹣＝2．【点评】本题考查了实数的运算，掌握正确化简各数是关键．20．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：（x+2）2﹣16＝x﹣2，整理得：x2+4x+4﹣16＝x﹣2，即x2+3x﹣10＝0，分解因式得：（x﹣2）（x+5）＝0，解得：x＝2或x＝﹣5，检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0，当x＝﹣5时，（x+2）（x﹣2）≠0，∴x＝2是增根，分式方程的解为x＝﹣5．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．21．【分析】（1）连接AO1，由勾股定理求出CO2，再求出CO1，再由勾股定理求出AO1即可；（2）由勾股定理逆定理判断∠O1BO2是否为直角即可．【解答】解：（1）连接AO1，AB和O1O2交于点C，如图：∵AB是⊙O1和⊙O2的公共弦，∴AB⊥O1O2，AC＝BC＝24，∴CO2＝＝18，∴CO1＝O1O2﹣CO2＝32，∴AO1＝＝40．（2）经过．证明：∵BO1＝AO1＝40，BO2＝AO2＝30，O1O2＝50，∴+＝O1，∴∠O1BO2＝90°，∴B在以O1O2为直径的圆上．【点评】本题主要考查了相交圆的性质，合理运用勾股定理及其逆定理是本题解题的关键．22．【分析】（1）根据题意，若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，则根据故障地点距考场的距离即可求出小汽车运动的总路程，又已知小汽车的平均速度，即可求得小汽车运动的总时间，随后与距截止进考场的时间进行比较，即可判断能否在截止进考场的时刻前到达考场；（2）由（1）知，若停留在原地等待则无法在截止进考场的时刻前到达考场，所以让在小汽车运送4人去考场的同时，留下的4人需步行前往考场，可节省一些时间，根据路程与速度的关系可分别求出小汽车运送第一批4人到达考场的时间、小汽车接到步行的4人的时间、小汽车从接到第二批4人到运送至考场的时间，三个时间相加后与距截止进考场的时间进行比较，即可判断方案的可行性．【解答】解：（1）他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地，小汽车先送4名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，总路程为：15×3＝45（千米），第二次到达考场所需时间为：45÷60＝0.75（小时），0.75小时＝45分钟，∵45＞42，∴他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地；（2）先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回接到步行的4人的后再载他们前往考场，先将4人用车送到考场所需时间为15÷60＝0.25（h）＝15（分钟），5×0.25＝1.25（km），∴此时他们与考场的距离为15﹣1.25＝13.75（km），设汽车返回t（h）后与步行的4人相遇，则：5t十60t＝13.75，解得t＝，此时汽车与考场的距离为13.75﹣5×＝＝（km），∴汽车由相遇点再去考场所需时间为（h），用这一方案送这8人到考场共需15≈40.4（分钟）．∴40.4＜42，∴采取此方案能使8个人在截止进考场的时刻前到达考场．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．23．【分析】（1）连接BD．根据菱形的性质得到AB＝AD＝BC＝CD，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到＝，同理＝，又CG≠AE，得到EF≠GH，根据梯形的判定定理得到四边形EGHF是梯形；根据全等三角形的性质得到EG＝FH，于是得到梯形EGHF是等腰梯形．【解答】证明：（1）连接BD．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∵AE＝AF，CG＝CH，∴＝，＝，∴EF∥BD，GH∥BD，∴EF∥GH；（2）∵EF∥BD，∴△AEF∽△ABD，∴＝，同理＝，又CG≠AE，∴EF≠GH，∵EF∥GH，∴四边形EGHF是梯形；∵AB﹣AE＝AD﹣AF，即BE＝DF，∴BC﹣CG＝CD﹣CH，即BG＝DH，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC＝∠ADC，∴△BGE≌△DHF（SAS），∴EG＝FH，∴梯形EGHF是等腰梯形．【点评】本题考查了等腰梯形的判定，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．24．【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；（2）①在Rt△CGM中，cos∠MCG＝，则CG＝CM•cos∠MCG＝×＝2，在Rt △CGH中，GH＝CG•sin∠HCG＝2×＝，即可求解；②当m＝0时，即点M与点O重合时，符合题意；当0＜m＜4时，如图所示，取MG的中点P，以MG为直径作圆P，则点N、D在圆上，由PM＝OH，即可求解；当m≥4时，可得：OH＞PM，所以符合题意的m不存在．【解答】解：（1）由题意，得：a﹣4a+4＝0，解得：a＝，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣x+4；则抛物线的对称轴是直线x＝2，∴点B（3，0）；（2）①由题意，得C（0，4）、M（0，），则CM＝，∵四边形GDMN是平行四边形，∴DG∥MN，又点N在y轴上，∴NM⊥OD，∴GD⊥OD，在Rt△OBC中，BC＝＝5，则cos∠OCB＝＝，则sin∠OCB＝，在Rt△CGM中，cos∠MCG＝，则CG＝CM•cos∠MCG＝×＝2，过点G作GH⊥CO，垂足为H，在Rt△CGH中，GH＝CG•sin∠HCG＝2×＝，则OD＝GH＝，故点D（，0）；②当m≥0时，根据m不同取值分三种情况讨论：当m＝0时，即点M与点O重合时，符合题意；当0＜m＜4时，如图所示，取MG的中点P，以MG为直径作圆P，则点N、D在圆上，此时圆P和x轴有唯一切点D，符合题设条件，则OH＝PD＝PM，∵MG＝MC•sin∠OCB＝（4﹣m）＝2PM，由①知，∠CMG＝∠OCB，则sin∠CMG＝sin∠OCB，则MH＝PM•sin∠OCB＝（4﹣m），而OH＝MH+OM＝MH+m，由PM＝OH得：（4﹣m）+m＝（4﹣m），解得：m＝；当m≥4时，可得：OH＞PM，所以符合题意的m不存在，综上，符合题意的m的值为0或．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、圆的切线的性质等知识，分类求解是解题的关键．25．【分析】（1）①根据弧长与圆心角之间的关系求解即可；②在弧CD上取点E，使得∠COE＝∠AOC，然后根据圆心角、弧长、弦长之间的关系以及三角形的三边关系证明即可；（2）①利用相似三角形的判定与性质，先证明△OMB∽△AON，即可得出AN•BM的值；②过点O在OB下方作∠BOM′＝∠AOM，截取OM′＝OM，利用全等三角形的判定与性质，以及勾股定理可以求出BN的长，过N作OB垂线，根据三角函数的定义求解tan∠BOD即可．【解答】解：（1）①设∠AOC＝α，∴∠BOD＝90°﹣45°﹣α＝45°﹣α，∵＝•2πOA，＝•2πOA，＝•2πOA，∴＝+；②AC+BD＞CD．证明：在上取点E，连接OE，使得∠COE＝∠AOC，连接CE，DE，如图：∴AC＝CE，在△CDE中，CE+DE＞CD，∵∠COE+∠DOE＝45°，∠AOC+∠BOD＝45°，∴∠DOE＝∠BOD，∴BD＝DE，∴AC+BD＞CD．（2）①AN•BM的值不变，AN•BM＝72．∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∵∠OMB＝∠OAB+∠AOM＝45°+∠AOM，又∵∠AON＝∠COD+∠AOM＝45°+∠AOM，∴∠OMB＝∠AON，∴△OMB∽△AON，∴＝，∴AN•BM＝AO•BO＝72；②过点O在OB下方作∠BOM′＝∠AOM，截取OM′＝OM，连接BM′，NM′，如图：∵AO＝BO，∴△OBM′≌△OAM（SAS），∴BM′＝AM，∠OBM′＝∠OAB＝45°，∴∠NBM′＝90°，又∵∠M′ON＝45°＝∠COD，ON＝ON，∴△ONM′≌△OMN（SAS），∴M′N＝MN，∴MN2＝M′N＝BM′2+BN2＝AM2+BN2，又∵AM+BN＝12﹣5＝7，∴BN＝3或4，过N作NG⊥OB于G，当BN＝3时，NG＝BG＝，∴OG＝，∴tan∠BOD＝＝，当BN＝4时，NG＝BG＝2，∴OG＝4，∴tan∠BOD＝＝，∴tan∠BOD＝或．【点评】本题主要考查了圆的综合题，综合运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、圆心角与弦和弧的关系以及锐角三角函数的定义是本题解题的关键。
上海中考二模数学试题及答案
上海中考二模数学试题及答案一、选择题1. 若集合A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，B = {2, 4, 6, 8,10}，则A ∩ B = （）A. {2, 4, 6}B. {1, 2, 3}C. {8, 10}D. {1, 3, 5, 7}2. 已知直线l与x轴交于点A，直线l与y轴交于点B，则下列说法中正确的是（）A. 点(0, 0)在l上B. 点(0, 1)在l上C. A与B的横坐标之积小于0D. A、B的横坐标之积大于03. 方程（x-2）²-4 = 0的根是（）A. 0B. 2C. 4D. 64. a1, a2, a3, ...是等差数列，若a1+a9=28，a5+a11=24，则该数列首项为（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 在Rt△ABC中，AB=12，AC=16，则BC的长度为（）A. 4B. 8C. 12D. 16答案：1. A 2. D 3. B 4. C 5. B二、填空题1. 若a:b=2:3，且a:b:c=3:5:7，求c。
2. 设二次函数f(x)=-2x²+3x+4，若f(x)的图像与x轴交于点A、B，且AB=4，则A、B的横坐标分别为___。
3. 已知平行四边形ABCD中，AB=2a，AD=a+3，AC=4a-3，则BD 等于___。
4. 已知函数y=f(x)的图像关于原点对称，则f(-x)=___。
5. 若函数y=f(x)=ax²+x-1在区间[0, 1]上是增函数，则a的取值范围是___。
答案：1. 7 2. (-1, 3) 3. 2a-3 4. f(x) 5. a>0三、解答题1. 已知等差数列S的首项为a，公差为d，且S1 + S2 + S3 = 15，求S6的值。
解答：设等差数列的第n项是Sn，则有Sn = a + (n-1)d。
根据等差数列和公式，可以得到：S1 = aS2 = a + dS3 = a + 2dS6 = a + 5d给出条件S1 + S2 + S3 = 15，代入上面的式子可以得到：a + (a + d) + (a + 2d) = 153a + 3d = 15再考虑到S6 = a + 5d，将3a + 3d = 15带入可以得到：3a + 3d = 153(a + d) = 15a + d = 5将a + d = 5带入S6 = a + 5d：S6 = 5 + 5dS6 = 5(d + 1)所以S6的值为5(d + 1)。
2023年上海市静安区中考数学二模试卷(含解析)
2023年上海市静安区中考数学二模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 化简(−x3)2的结果是( )A. −x6B. −x5C. x6D. x52. 下列无理数中，在−2与0之间的数是( )A. −1−2B. 1−2C. −1+2D. 1+23. 下列关于9的算术平方根的说法正确的是( )A. 9的算术平方根是3与−3B. 9的算术平方根是−3C. 9的算术平方根是3D. 9的算术平方根不存在4. 甲、乙两名射击运动员分别进行了相同次数的射击训练，如果将甲、乙两人射击环数的平均数分别记作−x甲和−x乙，方差分别记作S2甲和S2乙，那么下列描述能说明甲运动员成绩较好且更稳定的是( )A. −x甲>−x乙且S2甲<S2乙B. −x甲>−x乙且S2甲>S2乙C. −x甲<−x乙且S2甲<S2乙D. −x甲<−x乙且S2甲>S2乙5. 某种型号油电混合动力汽车计划从甲地开往乙地，如果纯用电行驶，则电费为25元，如果纯燃油行驶，则燃油费为75元.已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元.如果设每行驶1千米纯用电的费用为x元，那么下列方程正确的是( )A. B. C. D. ．6. 下面是“作∠AOB的平分线”的尺规作图过程：①在OA、OB上分别截取OD、OE，使OD=OE；②分别以点D、E为圆心，以大于1DE的同一长度为半径作弧，两弧交于∠AOB内的一点C；2③作射线OC．OC就是所求作的角的平分线．该尺规作图可直接利用三角形全等说明，其中三角形全等的依据是( )A. 三边对应相等的两个三角形全等B. 两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等C. 两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等D. 两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 1的倒数是______ ．58. 计算：______ ．9. 已知f(x)=x−1，那么f(3)=______ ．10. 方程2x−1=x的解是______ ．11. 如果关于x的一元二次方程x2−3x+c=0有两个不相等的实数根，那么c的取值范围为______ ．12. 我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”其意思就是：100个和尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个.那么大和尚有______ 人. 13. 毕业典礼上，李明、王红、张立3位同学合影留念，3人随机站成一排，那么王红恰好站在中间的概率是______ ．14. 已知半径分别是2和6的两圆的圆心距为6，那么这两个圆有______ 个公共点．15.如图，已知四边形ABCD中，点P、Q、R分别是对角线AC、BD和边CD的中点.如果设A D=a，B C=b，那么向量PQ=______ (用向量a、b表示)．16.某旅游风景区为满足不同游客的需求，推出了100、150、200(单位：元)三种价格的套票.景区统计了这三种套票一年的销售情况，并将销售量数据绘制成扇形统计图(如图所示).那么这一年销售的套票的平均价格是______ 元.17.如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕着点B旋转后，点C落在AC边上的点E处，点A落在点D处，DE与AB相交于点F，如果BE=BF，那么∠DBC的大小是______ ．18. 在平面直角坐标系xOy中，我们定义点A(x,y)的“关联点”为，如果已知点A在直线y=x+3上，点B在⊙O的内部，⊙O的半径长为32(如图所示)，那么点A的横坐标x的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。
2023年上海市闵行区中考二模数学试题(含答案解析)
2023年上海市闵行区中考二模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【分析】根据一次函数的图像经过第一、二、三象限可知0,0k b >>，然后问题可求解．【详解】解：由一次函数()0y kx b k =+≠的图像经过第一、二、三象限可知0,0k b >>，所以符合题意的只有A 选项；故选A ．【点睛】本题主要考查一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．4．下列命题是真命题的是（）A ．平行四边形的邻边相等；B ．平行四边形的对角线互相平分；C ．平行四边形内角都相等；D ．平行四边形是轴对称图形．【答案】B【分析】根据平行四边形的性质可进行求解．【详解】解：由平行四边形的性质可知：平行四边形的两组对边相等；平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的对角相等；平行四边形是中心对称图形；故选B ．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及真命题，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．5．在平面直角坐标系中，如果把抛物线22y x =向下平移3个单位得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中不正确的是（）A ．开口方向相同；B ．对称轴相同；C ．顶点的横坐标相同；D ．顶点的纵坐标相同．【答案】D【分析】根据二次函数的平移及性质可进行求解．【详解】解：把抛物线22y x =向下平移3个单位得到新的二次函数解析式为223y x =-，∴这两条抛物线的开口方向都是向上，对称轴都为直线0x =，顶点的横坐标都为0，顶点的纵坐标一个为0，一个为3-；故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移及性质，熟练掌握二次函数的平移及性质是解题的关键．6．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒．用尺规作图的方法作出直角三角形斜边上的中线CP ，那么下列作法一定正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据线段垂直平分线的作图、角平分线的作图及直角三角形斜边中线定理可进行求解．【详解】解：A 、由作图可知CP BC =，不满足点P 是AB 的中点，故不符合题意；B 、由作图可知BP BC =，不满足点P 是AB 的中点，故不符合题意；C 、由作图可知点P 是AB 的中点，故符合题意；D 、由作图可知CP 平分ACB ∠，故不符合题意；故选C ．【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线定理及线段垂直平分线的作图、角平分线的作图，熟练掌握尺规作图是解题的关键．二、填空题7．计算：23a a +=______．【答案】5a【分析】直接运用合并同类项法则进行计算即可得到答案．【详解】解：23a a +(23)a =+5a =．故答案为：5a ．【点睛】本题主要考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解答本题的关键．【答案】500【分析】根据该校喜欢③太空趣味饮水实验的初中学生有【详解】解：由题意知，该校喜欢③太空趣味饮水实验的初中学生有故答案为：500．【答案】8-【分析】当1x =，22y x ==，即于C ，则2AC =，1OC =，D 是∴2AC =，1OC =，∵四边形OAPB 是矩形，∴D 是AB 中点，【答案】3【分析】如图，旋转、菱形的性质可知，由旋转、菱形的性质可知，∴80DEA A ∠=∠=︒，ABD ∠∴180ADE DEA ∠=︒-∠-∠【答案】253【分析】由题意可分：①设种情况不符合题意；②设∴A ADC ∠=∠，∵4tan 3A =，∴4tan 3ADC ∠=，∵ABC 是特征三角形，即∴2ABE ABC ∠=∠，∴BC 平分ABE ∠，三、解答题【答案】31x -≤<，数轴见详解【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，(1)求线段CD的长；(2)求CDDE的值．(1)求隧道两端B 、C 之间的距离（精确到个位）（参考数据：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan (2)原计划单向开挖，但为了加快施工进度，从作效率提高了20%，结果提前2天完工．问原计划单向开挖每天挖多少米？【答案】(1)1200米(2)原计划单向开挖每天挖100米=；(1)求证：DE CF(2)设点Р为 CD的中点，连接CD∥，求证：四边形MNED 果PO DE【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】（1）由题意易得 AC=进而问题可求证；（2）由（1）可知： AC BD=，DE CF =，然后可得扇形AOB 关于OP 对称，则有EF CD ，进而问题可求证．【详解】（1）证明：∵ AD CB=， CD 是公共弧，∴ AC BD=，∴FOC EOD ∠=∠，∵OF OE =，OC OD =，∴()SAS FOC EOD ≌，∴DE CF =；（2）解：如图所示：由（1）可知： AC BD=，DE CF =，∵点Р为 CD的中点，∴ ,PCPD OP CD =⊥，∴扇形AOB 关于OP 对称，∴90ONE OMD ∠=∠=︒，∴EF CD ，∵PO DE ∥，∴四边形MNED 是平行四边形，∵90OMD ∠=︒，∴平行四边形MNED 是矩形．【点睛】本题主要考查垂径定理、圆的基本性质及矩形的判定，熟练掌握垂径定理、圆的基本性质及矩形的判定是解题的关键．24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x mx n =-++经过点()3,0A 、()0,3B ，与x 轴的负半轴交于点C ．(1)求该抛物线的表达式及点C的坐标；(2)设点D在该抛物线上（位于对称轴右侧部分），连接CD．∠的正切值；①如果CD与线段AB交于点E，且2BE AE=，求ACD，与以DB为半径的②如果CD与y轴交于点F，以CF为半径的C的坐标．()1,0C-过点E 作EG AC ⊥于点G ，∴EG OB ，∴AEG ABO △△∽，∴EG AE =，∵以CF 为半径的C 与以DB 为半径的(1)求证：A ABD∠=∠；(2)设点E为边BC的中点，连结求边AC的长；(3)设AB x=，CD y=，求【答案】(1)见详解∵点E为边BC的中点，且=，∴CD BD=，∵BD BC==，∴BD BC CD是等边三角形，∴BDC过点C 作CH AB ⊥于点H ，∴90BHC DFB ∠=∠=︒，EF 由（1）可知A ABD ∠=∠，∵A ABC HCB ABC ∠+∠=∠+∠∴A HCB FBD ∠=∠=∠，由（1）可知A ABD ∠=∠，∴ACB BMD ∽，∴,DB DM ABC BDM AB BC∠=∠=∵1BD BC ==，AB x =，1DM =。
上海市 中考数学试卷
2023年上海市中考数学二模试卷一、选择题（每小题4分）.1．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．2．将抛物线y＝（x﹣2）2+1向上平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标是（）A．（2，4）B．（﹣1，1）C．（5，1）D．（2，﹣2）3．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k＞4B．k≤4C．k＜4且k≠0D．k≤4且k≠0 4．下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（）A．平均数B．众数C．方差D．频数5．已知三角形两边的长分别是4和9，则此三角形第三边的长可以是（）A．4B．5C．10D．156．已知⊙O的半径OA长为3，点B在线段OA上，且OB＝2，如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r的取值范围是（）A．r≥1B．r≤5C．1＜r＜5D．1≤r≤5二、填空题（每小题4分）.7．计算：＝．8．分解因式：a2﹣4b2＝．9．方程＝1的解是．10．数0.00035用科学记数法表示为．11．用换元法解方程＝3时，设＝y，那么原方程化成关于y的整式方程是．12．已知反比例函数的图象在每个象限内y的值随x的值增大而减小，则k的取值范围是．13．布袋中装有4个红球和5个白球，它们除颜色不同外其他都相同．如果从布袋中随机摸出一个球，那么摸到的球恰好为红球的概率是．14．一次数学测试后，某班40名学生按成绩分成5组，第1、2、3、4组的频数分别为13、10、6、7，则第5组的频率为．15．如图，已知▱ABCD，E是边CD的中点，联结AE并延长，与BC的延长线交于点F．设，用表示为．16．已知正三角形ABC外接圆的半径为2，那么正三角形ABC的面积为．17．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔塔尖点P的仰角为60°，沿山坡向上走200米到达B处，在B处测得点P的仰角为15°．已知山坡AB的坡度i＝1：，且H、A、B、P在同一平面内，那么电视塔的高度PH为米．（结果保留根号形式）18．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．将△ABC翻折，使点C落在AB边上的点D处，折痕EF交边AC于点E，交边BC于点F，如果DE∥BC，则线段EF的长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．先化简，再求值：，其中x＝﹣．20．解方程组：．21．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，cot∠BAC＝2，BC＝4，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．（1）求⊙O的半径；（2）点P是劣弧的中点，求tan∠PAB的值．22．一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米．设行驶的时间为t（小时），两车之间的距离为s（千米），图中线段AB表示从两车发车至两车相遇这一过程中s与t之间的函数关系，根据图象提供的信息回答下列问题：（1）求s关于t的函数关系式；（不必写出定义域）（2）求两车的速度．23．如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AE⊥BD，垂足为E，联结CE，作EF⊥CE，交边AB于点F．（1）求证：△AEF∽△BEC；（2）若AB＝BC，求证：AF＝AD．24．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝ax2+bx ﹣5a经过点A．将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线的顶点在△OBC的内部，求a的取值范围．25．如图，已知在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交边AC于点D，E是BC边上一点，且BE＝BA，过点A作AG∥DE，分别交BD、BC于点F、G，联结FE．（1）求证：四边形AFED是菱形；（2）求证：AB2＝BG•BC；（3）若AB＝AC，BG＝CE，联结AE，求的值．参考答案一、选择题（每小题4分）.1．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．解：A、＝2，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；B、不能化简，是最简二次根式，符合题意；C、＝，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；故选：B．2．将抛物线y＝（x﹣2）2+1向上平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标是（）A．（2，4）B．（﹣1，1）C．（5，1）D．（2，﹣2）解：将抛物线y＝（x﹣2）2+1向上平移3个单位，得y＝（x﹣2）2+1+3，即y＝（x﹣2）2+4，顶点坐标为（2，4），故选：A．3．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k＞4B．k≤4C．k＜4且k≠0D．k≤4且k≠0解：∵方程有两个实数根，∴根的判别式△＝b2﹣4ac＝16﹣4k≥0，即k≤4，且k≠0．故选：D．4．下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（）A．平均数B．众数C．方差D．频数解：能反映一组数据波动程度的是方差或标准差，故选：C．5．已知三角形两边的长分别是4和9，则此三角形第三边的长可以是（）A．4B．5C．10D．15解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得9﹣3＜x＜9+3，即6＜x＜12．因此，本题的第三边应满足6＜x＜12，只有10符合不等式，故选：C．6．已知⊙O的半径OA长为3，点B在线段OA上，且OB＝2，如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r的取值范围是（）A．r≥1B．r≤5C．1＜r＜5D．1≤r≤5解：如图，当⊙B内切于⊙O时，⊙B的半径为3﹣2＝1，当⊙O内切于⊙B时，⊙B的半径为3+2＝5，∴如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r的取值范围是1≤r≤5，故选：D．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．计算：＝2．解：\;84{\frac{1}{3}}＝\root{3}{8}$＝2．故答案为2．8．分解因式：a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）．解：a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）．故答案为：（a+2b）（a﹣2b）．9．方程＝1的解是x＝2．解：，两边平方得，2x﹣3＝1，解得，x＝2；经检验，x＝2是方程的根；故答案为x＝2．10．数0.00035用科学记数法表示为 3.5×10﹣4．解：数0.00035用科学记数法表示为3.5×10﹣4．故答案为：3.5×10﹣4．11．用换元法解方程＝3时，设＝y，那么原方程化成关于y的整式方程是y2﹣3y+2＝0．解：设＝y，则．所以原方程可变形为：．方程的两边都乘以y，得y2+2＝3y．即y2﹣3y+2＝0．故答案为：y2﹣3y+2＝0．12．已知反比例函数的图象在每个象限内y的值随x的值增大而减小，则k的取值范围是k＞2．解：∵反比例函数的图象在每个象限内y的值随x的值增大而减小，∴k﹣2＞0，解得k＞2．故答案为k＞2．13．布袋中装有4个红球和5个白球，它们除颜色不同外其他都相同．如果从布袋中随机摸出一个球，那么摸到的球恰好为红球的概率是．解：∵一个布袋里装有4个红球和5个白球，∴摸出一个球摸到红球的概率为：＝．故答案为：．14．一次数学测试后，某班40名学生按成绩分成5组，第1、2、3、4组的频数分别为13、10、6、7，则第5组的频率为0.1．解：第5组的频数为：40﹣13﹣10﹣6﹣7＝4，第5组的频率为：＝0.1，故答案为：0.1．15．如图，已知▱ABCD，E是边CD的中点，联结AE并延长，与BC的延长线交于点F．设，用表示为+2．解：在▱ABCD中，CD∥AC，则CE∥AB．∵E是边CD的中点，∴CE是△ABF的中位线，∴BC＝CF．在四边形ABCD中，AD＝BC，＝，则＝2＝2＝2．∵＝，∴＝+＝+2．故答案是：+2．16．已知正三角形ABC外接圆的半径为2，那么正三角形ABC的面积为3．解：如图所示：连接OA、OB、OC，过O作OD⊥BC于D，∵正三角形ABC外接圆的半径为2，∴OA＝OB＝OC＝2，∠ABC＝60°，∴∠OBD＝30°，∵OD⊥BC，∴∠ODB＝90°，OD＝OB＝×2＝1，∴BD＝OD＝，∴BC＝2BD＝2，＝BC×AD＝BC×（AO+OD）＝×2×（2+1）＝×2×3＝3，∴S△ABC故答案为：3．17．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔塔尖点P的仰角为60°，沿山坡向上走200米到达B处，在B处测得点P的仰角为15°．已知山坡AB的坡度i＝1：，且H、A、B、P在同一平面内，那么电视塔的高度PH为100米．（结果保留根号形式）解：过B作BM⊥HA于M，过B作BN∥AM，如图所示：则∠AMB＝90°，∠ABN＝∠BAM，由题意得：AB＝200米，∠PBN＝15°，∠PAH＝60°，∵山坡AB的坡度i＝1：，∴tan∠BAM＝1：＝，∴∠BAM＝30°，∴∠ABN＝30°，∴∠PAB＝180°﹣∠PAH﹣∠BAM＝90°，∠ABP＝∠ABN+∠PBN＝45°，∴△PAB是等腰直角三角形，∴PA＝AB＝200米，在Rt△PAH中，sin∠PAH＝＝sin60°＝，∴PH＝PA＝100（米），故答案为：100．18．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．将△ABC翻折，使点C落在AB边上的点D处，折痕EF交边AC于点E，交边BC于点F，如果DE∥BC，则线段EF的长为．解：如图，由折叠可知，EC＝ED，FC＝FD，∠CEF＝∠DEF，EF是CD的垂直平分线，∵DE∥BC，∠ACB＝90°，∴∠AED＝∠ACB＝90°，∴∠CEF＝∠DEF＝45°，∴∠CED＝∠ECF＝∠EDF＝90°∴四边形CEDF是正方形，设CF＝x，则AE＝6﹣x，BF＝8﹣x，由△AED∽△DFB得，＝，即，＝，解得，x＝，在Rt△CEF中，EF＝CF＝，故答案为：．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．先化简，再求值：，其中x＝﹣．解：＝＝＝＝，当x＝﹣时，原式＝＝．20．解方程组：．解：由②，得（x+5y）（x﹣y）＝0，所以x+5y＝0③或x﹣y＝0④．由①③、①④组成新的方程组为：，．解这两个方程组，得，．所以原方程组的解为；，．21．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，cot∠BAC＝2，BC＝4，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．（1）求⊙O的半径；（2）点P是劣弧的中点，求tan∠PAB的值．解：（1）如图1，连接OB，在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，cot∠BAC＝2，BC＝4，∴＝2，∴＝2，∴AC＝8，设⊙O的半径为r，则OB＝r，oc＝8﹣r，在Rt△OCB中，由勾股定理得：OB2＝OC2+BC2，∴r2＝（8﹣r）2+42，解得：r＝5，∴⊙O的半径为5；（2）如图2，连接OP，OB，OP交AB于E，Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝3，Rt△ACB中，AB＝＝＝4，∵点P是劣弧的中点，∴OP⊥AB，∴AE＝BE＝2，∴OE＝＝＝，∴EP＝OP﹣OE＝5﹣，Rt△AEP中，tan∠PAB＝＝＝＝．22．一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米．设行驶的时间为t（小时），两车之间的距离为s（千米），图中线段AB表示从两车发车至两车相遇这一过程中s与t之间的函数关系，根据图象提供的信息回答下列问题：（1）求s关于t的函数关系式；（不必写出定义域）（2）求两车的速度．解：（1）设s关于t的函数关系式为s＝kt+b，根据题意，得：，解得，∴s＝﹣150t+450；（2）由s＝﹣150t+450，可知甲、乙两地之间的距离为450千米，设两车相遇时，设轿车和货车的速度分别为v1千米/小时，v2千米/小时，根据题意，得：，解得，故轿车和货车速度分别为90千米/小时，60千米/小时．23．如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AE⊥BD，垂足为E，联结CE，作EF⊥CE，交边AB于点F．（1）求证：△AEF∽△BEC；（2）若AB＝BC，求证：AF＝AD．解：（1）证明：∵AE⊥BD，EF⊥CE，∴∠AEB＝∠CEF＝∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠EAF＝∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠EAF＝∠CBE，∵∠AEF+∠BEF＝∠BEC+∠BEF＝90°，∴∠AEF＝∠BEC，∴△AEF∽△BEC；（2）证明：∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝90°，∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°＝∠BAD，∵∠ABE＝∠DBA，∴△ABE∽△DBA，∴＝，∵△AEF∽△BEC，∴＝，∴＝，∵AB＝BC，∴AF＝AD．24．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝ax2+bx ﹣5a经过点A．将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线的顶点在△OBC的内部，求a的取值范围．解：（1）在y＝3x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（0，3），∵点B向右平移5个单位长度，得到点C．∴C（5，3）；（2）∵A（﹣1，0），抛物线y＝ax2+bx﹣5a经过点A，∴0＝a﹣b﹣5a，即b＝﹣4a，∴抛物线y＝ax2+bx﹣5a对称轴为x＝＝﹣＝2；（3）对称轴x＝2与BC交于D，与OC交于E，如图：设OC解析式为y＝kx，∵（5，3），∴3＝5k，∴k＝，∴OC解析式为y＝x，令x＝2得y＝，即E（2，），由（1）知b＝﹣4a，∴抛物线为y＝ax2﹣4ax﹣5a，∴顶点坐标为（2，﹣9a），抛物线的顶点在△OBC的内部，则顶点在D和E之间，而D（2，3），∴＜﹣9a＜3，∴﹣＜a＜﹣．25．如图，已知在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交边AC于点D，E是BC边上一点，且BE＝BA，过点A作AG∥DE，分别交BD、BC于点F、G，联结FE．（1）求证：四边形AFED是菱形；（2）求证：AB2＝BG•BC；（3）若AB＝AC，BG＝CE，联结AE，求的值．解：（1）证明：如图，∵BD平分∠ABC，∴∠ABF＝∠EBF，∵BA＝BE，BF＝BF，∴△ABF≌△EBF（SAS），∴AF＝EF，同理可得△ABD≌△EBD（SAS），∴AD＝ED，∠ADB＝∠EDB，∵AG∥DE，∴∠AFD＝∠EDF，∴∠AFD＝∠ADF，∴AF＝AD，∴AF＝FE＝ED＝DA，∴四边形AFED是菱形．（2）证明：由（1）得△ABF≌△EBF，∴∠BAG＝∠BEF，∵四边形AFED是菱形，∴AD∥FE，∴∠BEF＝∠C，∴∠BAG＝∠C，∵∠ABG＝∠CBA，∴△ABG∽△CBA，∴，即AB2＝BG•BC．（3）由（2）得，△ABG∽△CBA，AB＝AC，∴AG＝BG，∴∠GAB＝∠GBA，∴∠AGC＝2∠GAB，∵BG＝CE，∴BE＝CG，∴CG＝CA，∴∠CAG＝∠CGA，∵∠CAG＝2∠DAE，∴∠DAE＝∠ABC，∴∠DEA＝∠ACB，∴△DAE∽△ABC，∴＝（）2，∵AB2＝BG•BC，AB＝BE，BG＝EC，∴BE2＝EC•BC，∴点E是BC的黄金分割点，∴＝，∴＝，∵∠EAC＝∠C，∴CE＝AE，∴＝，∴＝．。
真题汇总：2022年上海市普陀区中考数学第二次模拟试题(含答案详解)
2022年上海市普陀区中考数学第二次模拟试题 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组 考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分） 一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分） 1、若菱形的周长为8，高为2，则菱形的面积为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 2、下列判断错误的是（ ） A ．若a b =，则33a b -=- B ．若a b c c =，则a b = C ．若2x =，则22x x =D ．若22ac bc =，则a b = 3、下列计算错误的是（ ） A2=- B2 C2= D．2(2= 4、若3a =，1=b ，且a ，b 同号，则a b +的值为（ ）A ．4B ．-4C ．2或-2D ．4或-4 5、截至2021年12月31日，我国已有11.5亿人完成了新冠疫苗全程接种，数据11.5亿用科学记数法表示为（ ） A ．11.5×108B ．1.15×108C ．11.5×109D ．1.15×109 ·线○封○密○外6、某公园改造一片长方形草地，长增加30%，宽减少20%，则这块长方形草地的面积（ ）A ．增加10%B ．增加4%C ．减少4%D ．大小不变7、有依次排列的3个数：2，9，7，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，7，9，-2，7，这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生一个新数串：2，5，7，2，9，-11，-2，9，7，继续操作下去，从数串2，9，7开始操作第2022以后所产生的那个新数串的所有数之和是（ ）A ．20228B ．10128C ．5018D ．25098、若关于x 的不等式组231232x m x x-⎧≤⎪⎨⎪->-⎩无解，则m 的取值范围是（ ）A ．1mB ．m 1≥C ．1m <D ．1m9、已知关于x 的不等式组15x a x b-≥⎧⎨+≤⎩的解集是3≤x ≤4，则a +b 的值为（ ） A ．5 B ．8 C ．11 D ．910、甲、乙两地相距s 千来，汽车从甲地匀速行驶到乙地，行驶的时间t （小时）关于行驶速度v （千米时）的函数图像是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转，使点C 落在边AB 上的点E 处，点B 落在点D 处，联结BD ，如果∠DAC ＝∠DBA ，那么∠BAC ＝___度．2、中午放学后，有a 个同学在学校一食堂门口等侯进食堂就餐，由于二食堂面积较大，所以配餐前二食堂等待就餐的学生人数是一食堂的2倍，开始配餐后，仍有学生续前来排队等候就餐，设一食堂排队的学生人数按固定的速度增加，且二食堂学生人数增加的速度是一食堂的2倍，两个食堂每个窗口阿姨配餐的速度是一样的，一食堂若开放12个配餐窗口，则需10分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕；二食堂若开放2个配餐窗口，则14分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕；若需要在15分钟内配餐完毕，则两个食堂至少需要同时一共开放___个配餐窗口．3、己知等腰三角形两条边长分别是4和10，，则此三角形的周长是___________________4、小河的两条河岸线a ∥b ，在河岸线a 的同侧有A 、B 两个村庄，考虑到施工安全，供水部门计划在岸线b 上寻找一处点Q 建设一座水泵站，并铺设水管PQ ，并经由PA 、PB 跨河向两村供水，其中QP ⊥a 于点P .为了节约经费，聪明的建设者们已将水泵站Q 点定好了如图位置（仅为示意图），能使三条水管长PQ PA PB ++的和最小.已知 1.6km PA =， 3.2km PB =，0.1km PQ =，在A 村看点P 位置是南偏西30°，那么在A 村看B 村的位置是_________．5、已知点 P （m + 2, 3）和点 Q （2, n - 4）关于原点对称，则 m + n =_____． 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分） 1、观察以下等式： ()()111122-⨯=-+，()()222233-⨯=-+，()()333344-⨯=-+，()()444455-⨯=-+， （1）依此规律进行下去，第5个等式为______，猜想第n 个等式为______； （2）请利用分式的运算证明你的猜想．·线○封○密·○外2、已知顶点为D 的抛物线()()230y a x a =-≠交y 轴于点()0,3C ，且与直线l 交于不同的两点A 、B （A 、B 不与点D 重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）若90ADB ∠=︒，①试说明：直线l 必过定点；②过点D 作DF l ⊥，垂足为点F ，求点C 到点F 的最短距离．3、某店以一共500元进价购得甲、乙两件商品，然后将甲、乙两件商品分别按50%和40%的利润标定出售价．（1）如果按上述进价和售价进行交易，那么该店买卖这两件商品能否盈利260元？为什么？（2）如果该店按原定售价八折促销，某顾客同时购买了甲、乙两种商品，实际付款584元，那么甲、乙两商品原进价各多少元？4、点C 在直线AB 上，点D 为AC 的中点，如果CB ＝32CD ，AB ＝10.5cm ．求线段BC 的长度．5、已知：如图，在ABC 中，AD 是边BC 边上的高，CE 是中线，F 是CE 的中点，DF CE ⊥．求证：12CD AB =．-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据周长求出边长，利用菱形的面积公式即可求解．【详解】∵菱形的周长为8，∴边长=2，∴菱形的面积=2×2=4，故选：B ．【点睛】此题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的面积=底×高是解题的关键．2、D 【分析】 根据等式的性质解答． 【详解】解：A . 若a b =，则33a b -=-，故该项不符合题意；B. 若a b c c =，则a b =，故该项不符合题意； C . 若2x =，则22x x =，故该项不符合题意； D . 若22ac bc =，则a b =（20c ≠），故该项符合题意； 故选：D ． 【点睛】 此题考查了等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立． 3、A 【分析】 ·线○封○密○外直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则化简，进而判断即可．【详解】解：A2，故此选项计算错误，符合题意；B2，故此选项计算正确，不合题意；C2=，故此选项计算正确，不合题意；D．2=，故此选项计算正确，不合题意；(2故选：A．【点睛】此题考查了二次根式的性质及二次根式的乘法运算法则，熟记乘法法则是解题的关键．4、D【分析】根据绝对值的定义求出a，b的值，根据a，b同号，分两种情况分别计算即可．【详解】解：∵|a|=3，|b|=1，∴a=±3，b=±1，∵a，b同号，∴当a=3，b=1时，a+b=4；当a=-3，b=-1时，a+b=-4；故选：D．【点睛】本题考查了绝对值，有理数的加法，考查分类讨论的数学思想，知道a，b同号分两种：a，b都是正数或都是负数是解题的关键．5、D【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解：11.5亿＝1150000000＝1.5×109． 故选：D ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 6、B 【分析】 设长方形草地的长为x ，宽为y ，则可求得增加后长及减少后的宽，从而可求得现在的面积，与原面积比较即可得到答案． 【详解】 设长方形草地的长为x ，宽为y ，则其面积为xy ；增加后长为(1+30%)x ，减少后的宽为(1-20%)y ，此时的面积为(1+30%)x ×(1-20%)y =1.04xy ，1.04xy −xy =0.04xy ，0.04xy ÷xy ×100%=4%．即这块长方形草地的面积比原来增加了4%． 故选：B 【点睛】 本题考查了列代数式，根据题意设长方形草地的长与宽，进而求得原来的面积及长宽变化后的面积是关键． 7、B ·线○封○密○外根据题意分别求得第一次操作，第二次操作所增加的数，可发现是定值5，从而求得第101次操作后所有数之和为2+7+9+2022×5=10128．【详解】解：∵第一次操作增加数字：-2，7，第二次操作增加数字：5，2，-11，9，∴第一次操作增加7-2=5，第二次操作增加5+2-11+9=5，即，每次操作加5，第2022次操作后所有数之和为2+7+9+2022×5=10128．故选：B ．【点睛】此题主要考查了数字变化类，关键是找出规律，要求要有一定的解题技巧，解题的关键是能找到所增加的数是定值5．8、D【分析】解两个不等式，再根据“大大小小找不着”可得m 的取值范围．【详解】 解：解不等式23x m -≤得：32x m ≤+， 解不等式1232x x ->-得：5x >，∵不等式组无解，∴325m +≤， 解得：1m ， 故选：D ．·线此题主要考查了解不等式组，根据求不等式的无解，遵循“大大小小解不了”原则是解题关键．9、C【分析】分别求出每一个不等式的解集，结合不等式组的解集求出a、b的值，代入计算即可．【详解】解：解不等式x-a≥1，得：x≥a+1，解不等式x+5≤b，得：x≤b-5，∵不等式组的解集为3≤x≤4，∴a+1=3，b-5=4，∴a=2，b=9，则a+b=2+9=11，故选：C．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．10、B【分析】直接根据题意得出函数关系式，进而得出函数图象．【详解】解：由题意可得：t=sv，是反比例函数，故只有选项B符合题意．【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．二、填空题1、36【分析】设∠BAC=x，依据旋转的性质，可得∠DAE=∠BAC=x，∠ADB=∠ABD=2x，再根据三角形内角和定理即可得出x．【详解】解：设∠BAC=x，由旋转的性质，可得∠DAE=∠BAC=x，∴∠DAC=∠DBA=2x，又∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD=2x，△ABD中，∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，即∠BAC=36°，故答案为：36．【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及三角形内角和定理，解题时注意：旋转前、后的图形全等． 2、29 【分析】 设每分钟来一食堂就餐的人数为x 人，食堂每个窗口阿姨配餐的速度为每分钟y 人，则每分钟来二食堂就餐的人数为2x 人，根据“一食堂若开放12个配餐窗口，则需10分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕；二食堂若开放20个配餐窗口，则14分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕”，即可得出关于x ，y ，a 的三元一次方程组，解之即可用含y 的代数式表示出a ，x ，设设两个食堂同时一共开放m 个配餐窗口，根据需要在15分钟内配餐完毕，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】 解：设每分钟来一食堂就餐的人数为x 人，食堂每个窗口阿姨配餐的速度为每分钟y 人，则每分钟来二食堂就餐的人数为2x 人， 依题意得：10101221421420a x y a x y +=⨯⎧⎨+⨯=⨯⎩， ∴570x y a y =⎧⎨=⎩， 设两个食堂同时一共开放m 个配餐窗口， 依题意得：15my ≥a +2a +15×（x +2x ）， 解得：m ≥29． ·线○封○密○外故答案为：29．【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．3、24【分析】分两种情考虑：腰长为4，底边为10；腰长为10，底边为4．根据这两种情况即可求得三角形的周长．【详解】当腰长为4，底边为10时，因4+4<10，则不符合构成三角形的条件，此种情况不存在；当腰长为10，底边为4时，则三角形的周长为：10+10+4=24．故答案为：24【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及周长，要注意分类讨论．4、北偏西60°【分析】根据题意作出图形，取BP 的中点D ，连接AD ，过点A 作AC a ⊥，过点B 作BE AC ⊥，交CA 的延长线于点E ，作A 关于a 的对称点A '，平移A P '至A Q ''处，则A Q PQ PB ''++最小，即三条水管长PQ PA PB ++的和最小，进而找到B 村的位置，根据方位角进行判断即可．【详解】解：如图，取BP 的中点D ，连接AD ，过点A 作AC a ⊥，过点B 作BE AC ⊥，交CA 的延长线于点E作A 关于a 的对称点A '，平移A P '至A Q ''处，则A Q PQ PB ''++最小，即三条水管长PQ PA PB ++的和最小，此时,,B P A '三点共线， ∴B 点在A P '的延长线上， 在A 村看点P 位置是南偏西30°， 30CAP ∴∠=︒ 60APC ∴∠=︒,2120APA APC '∠=∠=︒ 60APB ∴∠=︒ 1.6, 3.2AP PB == 1.6PD ∴= AP PD ∴= APD ∴是等边三角形 60DAP APC ∴∠=∠=︒, 1.6AD DP PA === DA a ∴∥ 1 1.62BD BP ∴== DA DB ∴= ·线○封○密·○外60ADP ∠=︒120BDA ∴∠=︒30DAB DBA ∴∠=∠=︒9060EAB BAD ∴∠=︒-∠=︒即在A 村看B 村的位置是北偏西60°故答案为：北偏西60°【点睛】本题考查了轴对称的性质，方位角的计算，等边三角形的性质与判定，等边对等角，根据题意作出图形是解题的关键．5、-3【分析】220340m n ++=⎧⎨+-=⎩求解m n ，的值，然后代入求解即可． 【详解】解：由题意知220340m n ++=⎧⎨+-=⎩解得41m n =-=，∴3m n +=-故答案为：3-．【点睛】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征．解题的关键在于明确关于原点对称的点坐标的横、纵坐标均互为相反数．三、解答题1、（1）55(5)(5)66-⨯=-+，()()11n n n n n n -⨯=-+++ （2）见解析 【分析】 （1）根据题目中给出的等式，即可写出第5个等式，并写出第n 的等式； （2）根据分式的乘法和加法可以证明猜想的正确性． （1） 解：由题目中的等式可得，第5个等式为：55(5)(5)66-⨯=-+，第n 个等式是()()11n n n n n n -⨯=-+++， 故答案为：55(5)(5)66-⨯=-+，()()11n n n n n n -⨯=-+++； （2） 证明：左边21n n -=+， 右边22()(1)111n n n n n n n n n n -++--+-===+++， 左边=右边， 故猜想()()11n nn n n n -⨯=-+++正确． 【点睛】 本题考查分式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，写出相应的等式，并证明猜想的正确性．2、（1）21233y x x =-+·线○封○密○外（2【分析】 （1）将点()0,3C 代入()()230y a x a =-≠即可求得a 的值，继而求得二次函数的解析式； （2）①设直线l 的解析为y kx b =+，设11(,)A x y ，()22,B x y ，则123,3MD x NF x =-=-，联立直线解析式和抛物线解析式，根据根与系数的关系求得2112,x x x x +进而求得12y y ,证明AMD DNB ∽，根据相似比求得12y y ，进而根据两个表达式相等从而得出b 与k 的关系式，代入直线解析式，根据直线过定点与k 无关，进而求得定点坐标；②设P (3,3)，由①可知l 经过点P ，则3DP =, 90DFP ∠=︒，进而根据90°圆周角所对的弦是直径，继而判断F 的轨迹是以DP 的中点G 为圆心，PD 为直径的圆，根据点与圆的位置即可求得CF 最小值．（1）解：∵抛物线()()230y a x a =-≠交y 轴于点()0,3C ， ∴39a = 解得13a = ∴抛物线为()221132333y x x x =-=-+ （2）①如图，过点,A B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为,M N ，设直线l 的解析为y kx b =+，设11(,)A x y ，()22,B x y ，则123,3MD x ND x =-=-，则,A B 的坐标即为21233y kx b y x x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩的解 即23(2)930x k x b -++-= ∴()()2236493936120k b k k b ∆=+--=++>， 121236,93x x k x x b +=+=- ()()2212121212()y y kx b kx b k x x kb x x b ∴=++=+++ ()()229336k b kb k b =-+++ 2296k kb b =++ ()23k b =+ 90,ADB AM x ∠=︒⊥轴，BN x ⊥轴 90AMD BND ∴∠=∠=︒ ADM MAD ADM BDN ∴∠+∠=∠+∠ MAD NDB ∴∠=∠ AMD DNB ∴∽ AM MD DN NB ∴= 112233y x x y -∴=- ()()121233y y x x ∴=--()121239x x x x =+-- ·线○封○密○外()()336(93)99333k b k b k b =+---=+=+∴()23k b +()33k b =+ ()()3330k b k b ∴++-=∴30k b +=或330k b +-=3b k ∴=-或33b k =-y kx b =+当3b k =-时，3(3)y kx k k x =-=-则l 过定点()3,0A 、B 不与点D 重合则此情况舍去；当33b k =-时，33(3)3y kx b kx k k x =+=+-=-+即过定点()33，l ∴必过定点(3,3)②如图，设P (3,3)，DF l ⊥，90DFP ∠=︒,3DP =F ∴在以DP 的中点G 为圆心，PD 为直径的圆上运动 3(3,0),(3,3),(3,)2D P G ∴PG =1322DP =CG ∴==CF CG FG ∴≥-=CF ∴【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根与系数的关系，点与圆的位置关系求最值，勾股定理，二次函数与直线交点问题，掌握以上知识是解题的关键． 3、 （1）该店买卖这两件商品不可能盈利260元，原因见解析 （2）甲商品的原进价为300元，乙商品的原进价为200元 【分析】（1）利用获得的总利润=两件商品的进价之和×50%，可求出两件商品均按50%的利润销售可获得的利润，由该值小于260即可得出结论；（2）设甲商品的原进价为x 元，则乙商品的原进价为(500-x )元，根据某顾客按八折购买共付款584元，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论． （1）50050%250⨯=（元)，250260<，∴该店买卖这两件商品不可能盈利260元． ·线○封○密○外（2）设甲商品的原进价为x 元，则乙商品的原进价为(500)x -元，依题意得：()()()80%150%140%500584x x ⎡⎤⨯+++-=⎣⎦，解得：300x =，500200x ∴-=．答：甲商品的原进价为300元，乙商品的原进价为200元．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 4、4.5cm【分析】根据题意画出图形，由线段中点定义得到AC=2CD ，进而得到3210.52CD CD +=，求出CD ，AC ，即可求出段BC 的长度．【详解】解：如图，∵点D 为AC 的中点，∴AC=2CD ，∵AB ＝10.5cm ，CB ＝32CD ，AC+BC=AB ， ∴3210.52CD CD +=，解得CD =3cm ，∴AC=6cm ，∴BC=AB-AC =4.5cm ．． 【点睛】此题考查了线段的和差计算，正确掌握线段中点定义，依据题意作出图形辅助解决问题是解题的关键．5、见详解． 【分析】 连接DE ，由中垂线的性质可得DE =DC ，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DE =BE ，进而得到CD 12AB ． 【详解】 证明：如图，连接DE ， ∵F 是CE 的中点，DF ⊥CE ， ∴DF 垂直平分CE ， ∴DE =DC ∵AD ⊥BC ，CE 是边AB 上的中线， ∴DE 是Rt△ABD 斜边上的中线，即DE =BE =12AB ， ∴CD =DE =12AB ． 【点睛】·线○封○密○外本题考查了中垂线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，推出DE=CD是解决本题的关键．。
上海市宝山区中考数学二模试卷(解析版)
上海市宝山区中考数学二模试卷(解析版)上海市宝山区中考数学二模试卷(解析版)第一部分选择题1. 题目解析这题是一道选择题，要求考生在给出的选项中选择正确答案，并解析出答案的原因或过程。
2. 题目解析这题是另一道选择题，同样要求考生选择正确答案，并解析出答案的原因或过程。
3. 题目解析这题是一道涉及数学知识点的选择题，要求考生运用所学知识解决问题，并解析出答案的原因或过程。
第二部分计算题1. 题目解析这题是一道计算题，要求考生运用所学的数学运算法则进行计算，并解析出答案的步骤和思路。
2. 题目解析这题是另一道计算题，同样要求考生进行数学运算，并解析出答案的计算过程和思维方法。
第三部分应用题1. 题目解析这题是一道应用题，要求考生将所学的数学知识应用到实际问题中，并解析出解题的思路和方法。
2. 题目解析这题是另一道应用题，同样要求考生结合实际情境进行数学问题的求解，并解析出解题的过程和思考方式。
第四部分证明题1. 题目解析这题是一道证明题，要求考生运用所学的数学理论和推理能力进行证明，并解析出证明的思路和步骤。
2. 题目解析这题是另一道证明题，同样要求考生进行数学推理和证明，并解析出证明的过程和思维方式。
总结：在上海市宝山区中考数学二模试卷中，题目类型包括选择题、计算题、应用题和证明题。
选择题要求考生选择正确答案并解析出答案的原因或过程，形式为非常数选择；计算题要求考生进行数学运算并解析出计算过程和思路；应用题要求考生将数学知识应用到实际问题中并解析出解题思路和方法；证明题要求考生进行数学推理和证明并解析出证明的思路和步骤。
考生在解答这些题目时，需要灵活运用所学知识和技巧，严谨思考并合理解释答案。
通过阅读解析版试卷，考生能够更好地理解题目要求，提高解题能力。
上海市 中考数学二模试卷(含解析)
中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）1．的倒数是（）A． B．2 C． D．﹣ 22．下列算式的运算结果为m的是（） 4﹣263﹣1242A．m•m B．m÷m C．（m） D．m﹣m 3．直线y=（3﹣π）x经过的象限是（） A．一、二象限B．一、三象限C．二、三象限D．二、四象限4．李老师用手机软件记录了某个月（30天）每天走路的步数（单位：万步），她将记录的结果绘制成了如图所示的统计图，在李老师每天走路的步数这组数据中，众数与中位数分别为（） A．1.2与1.3 B．1.4与1.35 C．1.4与1.3 D．1.3与1.3 5．小明用如图所示的方法画出了与△ABC全等的△DEF，他的具体画法是：①画射线DM，在射线DM上截取DE=BC；②以点D为圆心，BA长为半径画弧，以点E为圆心，CA长为半径画弧，画弧相交于点F；③联结FD，FE；这样△DEF就是所要画的三角形，小明这样画图的依据是全等三角形判定方法中的（） A．边角边 B．角边角 C．角角边 D．边边边 6．已知两圆相交，它们的圆心距为3，一个圆的半径是2，那么另一个圆的半径长可以是 1（） A．1 B．3 C．5 D．7 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）201207．计算：（﹣1）+2﹣= ．8．函数的定义域是．9．方程的解是．210．如果抛物线y=ax﹣3的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是．211．若关于x的方程x﹣kx+4=0有两个相等的实数根，则k的值为．12．如果点P（m﹣3，1）在反比例函数y=的图象上，那么m的值是．13．学校组织“中华经典诗词大赛”，共设有20个试题，其中有关“诗句理解”的试题10个，有关“诗句作者”的试题6个，有关“诗句默写”的试题4个，小杰从中任选一个试题作答，他选中有关“诗句作者”的试题的概率是．14．为了解某区3600名九年级学生的体育训练情况，随机抽取了区内200名九年级学生进行了一次体育模拟测试，把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格，并将测试结果绘成了如图所示的统计图，由此估计全区九年级体育测试成绩可以达到优秀的人数约为人．15．在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，设=， =，那么等于（结果用、的线性组合表示） 16．如果正n边形的内角是它中心角的两倍，那么边数n的值是．17．在等腰三角形ABC中，当顶角A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也确定了，我们把这个比值记作T（A），即T（A）==．例：T（60°）=1，那么T= ．18．如图，矩形ABCD，点E是边AD上一点，过点E作EF⊥BC，垂足为点F，将△BEF绕着点E逆时针旋转，使点B落在边BC上的点N处，点F落在边DC上的点M处，如果点M恰好 2是边DC的中点，那么的值是．三、解答题（本大题共7小题，共78分）19．先化简，再求值：（﹣）÷，其中a=．20．解不等式组将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解．21．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=4，AD=8，sin∠BCD=，CE平分∠BCD，交边AD于点E，联结BE并延长，交CD的延长线于点P．（1）求梯形ABCD的周长；（2）求PE的长． 22．王阿姨销售草莓，草莓成本价为每千克10元，她发现当销售单价为每千克至少10元，但不高于每千克20元时，销售量y（千克）与销售单价x（元）的函数图象如图所示：（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当王阿姨销售草莓获得的利润为800元时，求草莓销售的单价． 323．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AC上，点E是BD的中点，CE的延长线交边AB于点F，且∠CED=∠A．（1）求证：AC=AF；（2）在边AB的下方画∠GBA=∠CED，交CF的延长线于点G，联结DG，在图中画出图形，并证明四边形CDGB是矩形．224．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x+bx+c经过点A（3，0）和点B （2，3），过点A的直线与y轴的负半轴相交于点C，且tan∠CAO=．（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；（2）联结AB、BC，求∠ABC的正切值；（3）若点D在x轴下方的对称轴上，当S=S时，求点D的坐标．△DBC△ADC 25．已知：如图，选段AB=4，以AB为直径作半圆O，点C为弧AB的中点，点P为直径AB上一点，联结PC，过点C作CD∥AB，且CD=PC，过点D作DE∥PC，交射线PB于点E，PD 4与CE相交于点Q．（1）若点P与点A重合，求BE的长；（2）设PC=x，=y，当点P在线段AO上时，求y与x的函数关系式及定义域；（3）当点Q在半圆O上时，求PC的长．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）1．的倒数是（）A．B．2 C． D．﹣【考点】76：分母有理化．【分析】的倒数是，再分母有理化即可．，．【解答】解：的倒数是故选：C．22．下列算式的运算结果为m的是（）4﹣263﹣1242A．m•m B．m÷m C．（m） D．m﹣m 【考点】48：同底数幂的除法；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；6F：负整数指数幂．【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法底数不变指数相减，幂的乘方底数不变指数相乘，可得答案．4﹣22【解答】解：m•m=m，故A符合题意；633B、m÷m=m，故B不符合题意； 5﹣12C、（m）=，故C不符合题意；422D、m﹣m≠m，故D不符合题意；故选：A． 3．直线y=（3﹣π）x经过的象限是（）A．一、二象限B．一、三象限C．二、三象限D．二、四象限【考点】F6：正比例函数的性质．【分析】先根据正比例函数的解析式判断出k的值，再根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．【解答】解：∵直线y=（3﹣π）x中，k＜0，∴此直线经过二、四象限．故选D． 4．李老师用手机软件记录了某个月（30天）每天走路的步数（单位：万步），她将记录的结果绘制成了如图所示的统计图，在李老师每天走路的步数这组数据中，众数与中位数分别为（）A．1.2与1.3 B．1.4与1.35 C．1.4与1.3 D．1.3与1.3 【考点】W5：众数；W4：中位数．【分析】中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的两个数；对于众数可由条形统计图中出现频数最大或条形最高的数据写出．【解答】解：由条形统计图中出现频数最大条形最高的数据是在第四组，1.4万步，故众数是1.4（万步）； 6因图中是按从小到大的顺序排列的，最中间的步数都是1.3（万步），故中位数是1.3（万步）．故选C．5．小明用如图所示的方法画出了与△ABC全等的△DEF，他的具体画法是：①画射线DM，在射线DM上截取DE=BC；②以点D为圆心，BA长为半径画弧，以点E为圆心，CA长为半径画弧，画弧相交于点F；③联结FD，FE；这样△DEF就是所要画的三角形，小明这样画图的依据是全等三角形判定方法中的（）A．边角边B．角边角 C．角角边 D．边边边【考点】N3：作图—复杂作图；KB：全等三角形的判定．【分析】根据画法可得，DE=BC，BA=DF，CA=EF，依据SSS可判定△ABC≌△FDE．【解答】解：根据画法可得，DE=BC，BA=DF，CA=EF，在△ABC和△FDE 中，，∴△ABC≌△FDE（SSS），∴这样画图的依据是全等三角形判定方法中的SSS，故选：D．6．已知两圆相交，它们的圆心距为3，一个圆的半径是2，那么另一个圆的半径长可以是（）A．1 B．3 C．5 D．7 【考点】MJ：圆与圆的位置关系．【分析】本题直接告诉了大圆的半径及两圆位置关系，圆心距，求小圆半径的取值范围，据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．相交，则R﹣r＜P＜R+r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）． 7【解答】解：因为两圆相交，圆心距P满足：R﹣r＜P＜R+r，即3＜P＜7，满足条件的圆心距只有B，故选B．二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）201207．计算：（﹣1）+2﹣= 0 ．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂．【分析】原式利用乘方的意义，零指数幂，以及算术平方根定义计算即可得到结果．【解答】解：原式=1+1﹣2=0．故答案为：0 8．函数的定义域是x≥ ．【考点】E4：函数自变量的取值范围．【分析】根据二次根式的性质的意义，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：2x﹣1≥0，解得：x≥．故答案为x≥．9．方程的解是 x=0 ．【考点】AG：无理方程．【分析】把方程两边平方去根号后求解．2【解答】解：两边平方得：x=x，解方程的：x=0，x=1，12检验：当x=0时，方程的左边=右边=0，1∴x=0为原方程的根当x=1时，原方程无意义，故舍去．2故答案为：x=0．210．如果抛物线y=ax﹣3的顶点是它的最低点，那么a 的取值范围是 a＞0 ． 8【考点】H3：二次函数的性质；H7：二次函数的最值．2【分析】由于原点是抛物线y=ax﹣3的最低点，这要求抛物线必须开口向上，由此可以确定a的范围．2【解答】解：∵原点是抛物线y=ax﹣3的最低点，∴a＞0．故答案为a＞0．211．若关于x的方程x﹣kx+4=0有两个相等的实数根，则k的值为±4 ．【考点】AA：根的判别式．2【分析】因为方程有两个相等的实数根，说明根的判别式△=b﹣4ac=0，由此可以得到关于k的方程，解方程即可求出k的值．【解答】解：∵方程有两个相等的实数根，而a=1，b=﹣k，c=4，22∴△=b﹣4ac=（﹣k）﹣4×1×4=0，解得k=±4．故填：k=±4．12．如果点P（m﹣3，1）在反比例函数y=的图象上，那么m的值是4 ．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】直接把点P （m﹣3，1）代入反比例函数y=，求出m的值即可．【解答】解：∵点P（m﹣3，1）在反比例函数y=的图象上，∴1=，解得m=4．故答案为：4． 13．学校组织“中华经典诗词大赛”，共设有20个试题，其中有关“诗句理解”的试题10个，有关“诗句作者”的试题6个，有关“诗句默写”的试题4个，小杰从中任选一个试题作答，他选中有关“诗句作者”的试题的概率是．【考点】X4：概率公式． 9【分析】根据共设有20道试题，其中有关“诗句作者”的试题6个，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：∵共设有20个试题，其中有关“诗句理解”的试题10个，有关“诗句作者”的试题6个，有关“诗句默写”的试题4个，∴小杰从中任选一个试题作答，他选中有关“诗句作者”的试题的概率是：=．故答案为：．14．为了解某区3600名九年级学生的体育训练情况，随机抽取了区内200名九年级学生进行了一次体育模拟测试，把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格，并将测试结果绘成了如图所示的统计图，由此估计全区九年级体育测试成绩可以达到优秀的人数约为360 人．【考点】V5：用样本估计总体．【分析】根据题意和扇形统计图中的数据可以解答本题．【解答】解：由题意可得，九年级体育测试成绩可以达到优秀的人数约为：3600×（1﹣30%﹣35%﹣25%）=360（人），故答案为：360．15．在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，设=，=，那么等于 2﹣2 （结果用、的线性组合表示）【考点】LM：*平面向量；LH：梯形．【分析】过点A作AE∥DC，证四边形AECD是平行四边形得AE=DC、AD=EC，从而得BC=2BE，由=﹣=﹣=﹣可得答案．【解答】解：如图， 10过点A作AE∥DC交BC于点E，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴AE=DC、AD=EC，∵AD=BC，∴EC=BE=BC，即BC=2BE，∵=，=，∴=﹣=﹣=﹣，则=2（﹣）=2﹣2，故答案为：2﹣2． 16．如果正n边形的内角是它中心角的两倍，那么边数n的值是 6 ．【考点】L3：多边形内角与外角．【分析】根据正n边形的内角是它中心角的两倍，列出方程求解即可．【解答】解：依题意有（n﹣2）•180°=360°×2，解得n=6．故答案为：6． 17．在等腰三角形ABC中，当顶角A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也确定了，我们把这个比值记作T （A），即T（A）==．例：T（60°）=1，那么T= ．【考点】T7：解直角三角形．【分析】根据T（A）的定义解答即可．【解答】解：∠BAC=90°，AB=AC，作AD⊥BC于D，则∠BAD=60°， 11∴BD=AB，∴BC=AB，∴T=．．故答案是： 18．如图，矩形ABCD，点E是边AD上一点，过点E作EF⊥BC，垂足为点F，将△BEF绕着点E逆时针旋转，使点B落在边BC上的点N 处，点F落在边DC上的点M处，如果点M恰好是边DC的中点，那么的值是．【考点】R2：旋转的性质；LB：矩形的性质．【分析】根据旋转的性质得到BE=EN，EM=EF，MN=BF，得到BF=FN=NM，推出四边形EFCD是矩形，根据矩形的性质得到EF=CD，由点M恰好是边DC的中点，得到DM=CD=EM，设CN=x，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：如图，将△BEF绕着点E逆时针旋转得到△EMN，∴BE=EN，EM=EF，MN=BF，∵EF⊥BC，∴BF=FN，∴BF=FN=NM，∵EF⊥BC，∴四边形EFCD是矩形，∴EF=CD，∵点M恰好是边DC的中点，12∴DM=CD=EM，∴∠DEM=30°，∴∠DME=60°，∵∠NME=90°，∴∠CMN=30°，设CN=x，∴MN=2x，CM=x，∴CD=2x，∴BF=FN=NM=2x，∴BC=5x，∴===，故答案为：．三、解答题（本大题共7小题，共78分）19．先化简，再求值：（﹣）÷，其中a=．【考点】6D：分式的化简求值．【分析】先化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（﹣）÷ = = = = 13= =，当a=时，原式===．20．解不等式组将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解．【考点】CC：一元一次不等式组的整数解；C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式①，得：x＞3，解不等式②，得：x≤4，∴不等式组的解集为3＜x≤4，解集表示在数轴上如下：则其整数解为4．21．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=4，AD=8，sin∠BCD=，CE平分∠BCD，交边AD于点E，联结BE并延长，交CD的延长线于点P．（1）求梯形ABCD的周长；（2）求PE的长． 14【考点】S9：相似三角形的判定与性质；LH：梯形；T7：解直角三角形．【分析】（1）过D作DF⊥BC于F，根据矩形的性质得到DF=AB=4，BF=AD=8，根据三角函数的定义得到CD=5，于是得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠DEC=∠BCE，根据角平分线的定义得到∠DCE=∠BCE，等量代换得到∠DEC=∠DCE，于是得到DE=CD=5，由勾股定理得到BE==5，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）过D作DF⊥BC于F，则四边形ABFD是矩形，∴DF=AB=4，BF=AD=8，∵sin∠BCD==，∴CD=5，∴CF=3，∴梯形ABCD的周长=4+8+3+5+8=27；（2）∵AD∥BC，∴∠DEC=∠BCE，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE=∠BCE，∴∠DEC=∠DCE，∴DE=CD=5，∴AE=3，∴BE==5，∵DE∥BC，∴△PED∽△PBC， 15∴，即，∴PE=． 22．王阿姨销售草莓，草莓成本价为每千克10元，她发现当销售单价为每千克至少10元，但不高于每千克20元时，销售量y（千克）与销售单价x（元）的函数图象如图所示：（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当王阿姨销售草莓获得的利润为800元时，求草莓销售的单价．【考点】HE：二次函数的应用；AD：一元二次方程的应用．【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）利用利润=销量×每千克利润，进而求出答案．【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式为：y=kx+b，将（15，90），（10，100），代入得：，解得：，故y关于x的函数解析式为：y=﹣2x+120（10≤x≤20）；（2）由题意可得：800=（﹣2x+120）（x﹣10）， 16解得：x=20，x=50（不合题意舍去），12答：王阿姨销售草莓获得的利润为800元时，草莓销售的单价为20元． 23．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AC上，点E是BD的中点，CE的延长线交边AB于点F，且∠CED=∠A．（1）求证：AC=AF；（2）在边AB的下方画∠GBA=∠CED，交CF的延长线于点G，联结DG，在图中画出图形，并证明四边形CDGB是矩形．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；LC：矩形的判定．【分析】（1）只要证明∠CDE=∠ECD，∠CDE=∠AFC即可解决问题．（2）只要证明CG=BD，CE=EG，DE=EB即可．【解答】（1）证明：∵∠BCD=90°，DE=EB，∴EC=ED=EB，∴∠EDC=∠ECD，∵∠CED+∠CDE+∠DCE=180°，∠A+∠DCE+∠AFC=180°，又∵∠CED=∠A，∴∠CDE=∠AFC，∴∠AFC=∠ACF，∴AC=AF．（2）解：图象如图所示． 17 ∵∠CED=∠ABG，∠CED=∠A，∴∠A=∠ABG，∴AC∥BG，∴∠ECD=∠BGE，在△CED和△GEB中，，∴△CED≌△GEB，∴CE=EG，∴CE=DE=EB，∴CG=BD，CE=EG，DE=EB，∴四边形CDGB是平行四边形，∵BD=CG，∴四边形CDGB是矩形．224．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x+bx+c经过点A（3，0）和点B（2，3），过点A的直线与y 轴的负半轴相交于点C，且tan∠CAO=．（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；（2）联结AB、BC，求∠ABC的正切值；（3）若点D在x轴下方的对称轴上，当S=S时，求点D的坐标．△DBC△ADC 18【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H8：待定系数法求二次函数解析式；T7：解直角三角形．2【分析】（1）把A（3，0）和点B（2，3）代入y=﹣x+bx+c，解方程组即可解决问题．（2）如图，作BE⊥OA于E．只要证明△AOC≌△BEA，推出△ABC 是等腰直角三角形，即可解决问题．（3）如图过点C作CD∥AB交对称轴于D，则S=S，先求出直线AC的解析式，再求出△DBC△ADC直线CD的解析式即可解决问题．2【解答】解：（1）把A（3，0）和点B（2，3）代入y=﹣x+bx+c得到，解得，2∴抛物线的解析式为y=﹣x+2x+3，对称轴x=1．（2）如图，作BE⊥OA于E．∵A（3，0），B（2，3），tan∠CAO=，∴OC=1，∴BE=OA=3，AE=OC=1，∵AEB=∠AOC，∴△AOC≌△BEA，∴AC=AB，∠CAO=∠BAE，∵∠ABE+∠BAE=90°，∴∠CAO+∠BAE=90°，∴∠CAB=90°，∴△ABC是等腰直角三角形， 19∴∠ABC=45°，∴tan∠ABC=1．（3）如图过点C作CD∥AB 交对称轴于D，则S=S，△DBC△ADC∵AB⊥AC，AB∥CD，∴AC⊥CD，∵直线AC的解析式为y=x﹣1，∴直线CD的解析式为y=﹣3x﹣1，当x=1时，y=﹣4，∴点D的坐标为（1，﹣4）． 25．已知：如图，选段AB=4，以AB为直径作半圆O，点C为弧AB的中点，点P为直径AB上一点，联结PC，过点C 作CD∥AB，且CD=PC，过点D作DE∥PC，交射线PB于点E，PD与CE相交于点Q．（1）若点P与点A重合，求BE的长；（2）设PC=x， =y，当点P在线段AO上时，求y与x的函数关系式及定义域；（3）当点Q在半圆O上时，求PC的长． 20【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）如图1中，连接OC．只要证明△AOC是等腰直角三角形即可．（2）由PC=x，OC=2，可得OP=，OE=x﹣，由四边形PCDE是菱形，推出PD ⊥EC，CQ=QE，PQ=QD，由==y，推出tan∠PEQ==，由此即可解决问题．（3）由点Q在⊙O上，∠CQP=90°，推出∠CQP所以对的弦CM是直径，由∠M+∠OPM=90°，∠QPE+∠QEP=90°，∠OPM=∠QPE，推出∠M=∠QEP，易知∠PCM=∠M，∠PCQ=∠PEQ，推出∠PCO=∠PCQ=∠CEO=30°，由此即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，连接OC．∵=，OC=2，∴CO⊥AB，△AOC是等腰直角三角形，AC=∵四边形ACDE是菱形，∴AE=AC=2，．∴BE=AB﹣AE=4﹣2 （2）如图2中，∵PC=x，OC=2，∴OP=，OE=x﹣，∵四边形PCDE是菱形， 21∴PD⊥EC，CQ=QE，PQ=QD，∵==y，∴tan∠PEQ==，∴y=（2≤x≤2）．（3）如图3中，∵点Q在⊙O上，∠CQP=90°，∴∠CQP所以对的弦CM是直径，∵∠M+∠OPM=90°，∠QPE+∠QEP=90°，∠OPM=∠QPE，∴∠M=∠QEP，易知∠PCM=∠M，∠PCQ=∠PEQ，∴∠PCO=∠PCQ=∠CEO=30°，在Rt△POC中，PC=OC÷cos30°=． 22。
2022年上海市普陀区中考二模数学试卷含详解
初中数学学科适应性随堂练习考生注意：1．本试卷共25题．2．试卷满分150分．考试时间100分钟．3．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．4．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.下列各数在数轴上所对应的点与原点的距离最远的是A.2B.1C. 1.5- D.3-2.）A. B. C. D.3.关于函数2y x =-，下列说法中正确的是（）A.图像位于第一、三象限B.图像与坐标轴没有交点C.图像是一条直线D.y 的值随x 的值增大而减小4.某公司有9个子公司，某年各子公司所创年利润的情况如下表所示．根据表中的信息，下列统计量中，较为适宜表示该年各子公司所创年利润的平均水平的是（）A.方差 B.众数 C.平均数 D.中位数5.知1O 和2O ，1O 的半径长为10厘米，当两圆外切时，两圆的圆心距为25厘米，如果两圆的圆心距为15厘米时，那么此时这两圆的位置关系是（）A.内含 B.内切 C.相交 D.外离6.如图，已知点D 、E 、F 、G 、H 、I 分别在ABC 的三边上，如果六边形DEFGHI 是正六边形，下列结论中不正确的是（）A.60A ∠=︒B.31DE BC =C.35=六边形△DEFGHI ABC C CD.23DEFGHI ABC S S = 六边形二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.计算：23-=____________.8.已知()26=m a a ，那么m =___________．9.方程x =的根是___________．10.如果关于x 的方程2(1)-=x m 没有实数根，那么实数m 的取值范围是__________．11.将直线21y x =-+沿着y 轴向下平移4个单位，所得直线的表达式是___________．12.如果二次函数2(1)y a x =-的图像在y 轴的右侧部分是下降的，写出符合条件的一个a 的值是________．13.从-1，0，π，13这五个数中任意抽取一个，抽取到无理数的概率是____．14.如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在边BC 上，AD BD =，如果102∠=︒DAC °，那么BAD ∠=___________度．15.如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，2AO =，4=AD ，6OC =，8BC =，如果DAO CBO ∠=∠，那么AB CD ∶的值是___________．16.如图，已知梯形ABCD 中，AD BC ∥，3BC AD =，设AB a = ，DC b = ，那么向量AD 用向量a 、b表示为___________．17.如图，小明和小亮进行赛跑，小亮的起跑点在小明前方10米，1l 、2l ，分别表示小亮、小明在赛跑中的路程与时间的关系．可知起跑后6秒时，小明领先小亮___________米．18.如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =．矩形ABCD 绕着点A 旋转，点B 、C 、D 的对应点分别是点B '、C '、D ¢，如果点B '恰好落在对角线BD 上，连接DD '，DD '与B C ''交于点E ，那么DE =___________．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.先化简，再求值：223112-⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭a a a a，其中a =20.解不等式组：()52226118x x x x ⎧-≤+⎪⎨+-<⎪⎩，，并把解集在数轴上表示出来．21.如图，在ABC 中，2cos ,8,93∠===ABC BC AB ．分别以点B 、C 为圆心、大于12BC 的同样长为半径作弧，两弧相交于点M 、N ，直线MN 分别交AB BC 、于点D 、E ．（1）直线MN 是线段BC 的___________，BE =___________；（2）求点A 到直线MN 的距离．22.2021年1月1日起《中华人民共和国民法典》正式施行．某社区为了解本社区的居民对该部法典的关注状况，在4000名居民中作随机抽样调查，把收集到的居民对法典的关注状况分为以下四种情况：A ．十分清楚；B ．清楚；C ．不太清楚；D ．不清楚．图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．（1）此次接受随机抽样调查的人数是___________人；（2）由样本估计总体可得，该社区居民中“十分清楚”和“清楚”的人数共有___________人；（3）根据本次调查结果，为促进居民对《中华人民共和国民法典》的了解，做好普法工作，计划两年后将该社区居民中“十分清楚”和“清楚”的总人数增加到3600人，如果这两年的年增长率相同，求年增长率，23.已知如图，四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，E 为对角线BD 的中点，点F 在边AD 上，CF 交BD 于点G ，1,2=∥CF AE CF BD ．（1）求证：四边形AECF 为菱形；（2）如果DCG DEC ∠=∠，求证：2=⋅AE AD DC ．24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线28y ax bx =++与x 轴交于点(2,0)A -、(4,0)B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）求抛物线的表达式和点D 的坐标；（2）点E 是第一象限内抛物线的一个动点，其横坐标为m ，直线AE 交y 轴于点F ．①用m 的代数式表示直线AE 的截距；②在ECF △的面积与EAD 的面积相等的条件下探究：在y 轴右侧存在这样一条直线，满足：以该直线上的任意一点及点C 、F 三点为顶点的三角形的面积都等于EAD 面积，试用规范、准确的数学语言表达符合条件的直线．25.如图，已知矩形ABCD 中，5AD =，以AD 上的一点E 为圆心，EA 为半径的圆，经过点C ，并交边BC 于点F （点F 不与点C 重合）．（1）当4AE =时，求矩形对角线AC 的长；（2）设边,==AB x CF y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）设点G 是 AC 的中点，且45GEF ∠=︒，求边AB 的长．初中数学学科适应性随堂练习一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.下列各数在数轴上所对应的点与原点的距离最远的是A.2B.1C. 1.5- D.3-【答案】D【分析】根据到原点距离最远的点就是绝对值最大的数，对每个数作出判断，即可求出答案．【详解】2到原点的距离是2个长度单位，1到原点的距离是1个长度单位，-1.5到原点的距离是1.5个长度单位，-3到原点的距离是3个长度单位，即到原点的距离最远的点是﹣3．故选：D．【点睛】本题考查绝对值的几何意义，绝对值就是一个数在数轴上到原点的距离，求出每一个数的绝对值就是到原点的距离．2.的是（）A.B. C. D.【答案】A【分析】根据同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．求解即可．【详解】解：A.原式=33，符合题意；B.不是同类二次根式，不符合题意；C.不是同类二次根式，不符合题意；D.原式=故选：A．【点睛】本题考查了同类二次根式，以及二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握同类二次根式的概念．3.关于函数2yx=-，下列说法中正确的是（）A.图像位于第一、三象限B.图像与坐标轴没有交点C.图像是一条直线D.y的值随x的值增大而减小【答案】B【分析】根据反比例函数的图像和性质即可判断．【详解】解：在y=-2x中，k=-2＜0，∴图像位于第二、四象限，图像是双曲线，在每一象限内，y 随着x 增大而增大，故A ，C ，D 选项不符合题意，∵x ≠0，y ≠0，∴函数图像与坐标轴没有交点，故B 选项符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的性质与系数的关系是解题的关键．4.某公司有9个子公司，某年各子公司所创年利润的情况如下表所示．年利润（千万元）50431子公司个数1224根据表中的信息，下列统计量中，较为适宜表示该年各子公司所创年利润的平均水平的是（）A.方差B.众数C.平均数D.中位数【答案】D【分析】先分别求出平均数和中位数，再进行分析即可得．【详解】解：平均数为5014232146899⨯+⨯+⨯+⨯=（千万元），将数据按从小到大进行排序后，第5个数即为中位数，则中位数为3千万元，由此可知，平均数比8个子公司所创年利润都高，所以平均数不适宜表示该年各子公司所创年利润的平均水平；而中位数为3千万元，适宜表示该年各子公司所创年利润的平均水平，故选：D ．【点睛】本题考查了平均数和中位数，熟练掌握平均数和中位数的计算方法是解题关键．5.知1O 和2O ，1O 的半径长为10厘米，当两圆外切时，两圆的圆心距为25厘米，如果两圆的圆心距为15厘米时，那么此时这两圆的位置关系是（）A.内含B.内切C.相交D.外离【答案】C【分析】根据圆心距在两圆半径差和两圆半径和之间，故判断出两圆相交．【详解】解：1O 的半径长为10厘米，当两圆外切时，两圆的圆心距为25厘米，2O ∴ 的半径为15厘米，1510151510-<<+ ，∴两圆的位置关系是相交.故选：C ．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，熟练掌握两圆的圆心距大小和两圆的位置之间的关系是解题的关键．6.如图，已知点D 、E 、F 、G 、H 、I 分别在ABC 的三边上，如果六边形DEFGHI 是正六边形，下列结论中不正确的是（）A.60A ∠=︒B.31DE BC =C.35=六边形△DEFGHI ABC C CD.23DEFGHI ABC S S = 六边形【答案】C 【分析】由题意可以得到△ABC 是正三角形，从而对A 作出判断，然后根据正三角形和正六边形的性质可以对其他选项作出判断．【详解】解：∵六边形DEFGHI 是正六边形，∴∠IDE =∠FED =120°，∴∠ADE =∠AED =60°，∴∠A =60°，A 正确；∴△ADE 、△IBH 、△FGC 都是正三角形，∴三个正三角形的边长都等于正六边形的边长，∴31DE BC =，B 正确；6293DEFGHI ABC C C == 六边形，C 不正确；如图，分别连接DG 、IF 、HE，则六边形被分成和△ADE 全等的六个三角形，∴6239DEFGHI ABC S S == 六边形，∴D 正确，故选C ．【点睛】本题考查正六边形的综合应用，熟练掌握正六边形的性质、正三角形的判定和性质是解题关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.计算：23-=____________.【答案】19【详解】解：22113=39-=故答案为19.8.已知()26=m a a ，那么m =___________．【答案】3【分析】根据幂的乘方进行计算即可求解．【详解】解：∵()26=m a a ，∴26m =，解得3m =．故答案为：3．【点睛】本题考查了幂的乘方运算，掌握幂的乘方，底数不变指数相乘是解题的关键．9.方程x =的根是___________．【答案】x =1【分析】先根据二次根式的性质两边同时平方，得到一个一元二次方程，解出x 的值，再根据原方程中x 的取值范围进行取舍即可得出结果．x =，∴3-2x ≥0且x ≥0，解得0≤x ≤32．原方程两边同时平方，整理得，x 2+2x -3=0，∴(x -1)(x +3)=0，∴x 1=1，x 2=-3．又0≤x ≤32，∴x =1．故答案为：x =1．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质以及解一元二次方程，掌握基本概念和解法是解题的关键．10.如果关于x 的方程2(1)-=x m 没有实数根，那么实数m 的取值范围是__________．【答案】0m <【分析】根据直接开平方法定义即可求得m 的取值范围．【详解】解：∵关于x 的方程2(1)-=x m 没有实数根，∴0m <，故答案为：0m <．【点睛】考查了解一元二次方程的直接开平方法，解决本题的关键是掌握直接开平方法．11.将直线21y x =-+沿着y 轴向下平移4个单位，所得直线的表达式是___________．【答案】23y x =--【分析】根据一次函数沿着y 轴平移的变换规律：上加下减，即可求出直线表达式．【详解】解：根据题意可得，平移后的直线解析式：y =-2x +1-4=-2x -3，故答案为：y =-2x -3．【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数沿着y 轴平移的变换规律“上加下减”是解题的关键．12.如果二次函数2(1)y a x =-的图像在y 轴的右侧部分是下降的，写出符合条件的一个a 的值是________．【答案】0（答案不唯一）【分析】由图像在y 轴的右侧部分是下降的可得10a -<，进而求解．【详解】解：2(1)y a x =- 图像在y 轴右侧部分下降，∴抛物线开口向下，10a ∴-<，解得1a <，故答案为：0（答案不唯一）．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系．13.从-1，0，π，13这五个数中任意抽取一个，抽取到无理数的概率是____．【答案】【分析】先确定无理数的个数，再根据概率的含义求值即可.【详解】因为无限不循环小数是无理数，所以此题所给5个数中，有两个无理数，是π，，故抽取到无理数的概率是．【点睛】本题考查无理数的概念，求随机事件的概率．正确确定无理数的个数是解题的关键.14.如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在边BC 上，AD BD =，如果102∠=︒DAC °，那么BAD ∠=___________度．【答案】26【分析】根据等腰三角形两个底角相等、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得到B BADC ∠=∠=∠，2ADC C ∠=∠，再根据三角形内角和等于180︒建立方程即可得到答案．【详解】解：设B x ∠=，∵AB AC =，∴B C x ∠=∠=，∴AD BD =，∴B BAD x ∠=∠=，∵2ADC B BAD x ∠=∠+∠=，180ADC DAC C ︒∠+∠+∠=，∴2102180x x ︒︒++=，∴26x ︒=，∴26BAD ︒∠=，故答案为：26．【点睛】本题考查三角形内角和定理、等腰三角形的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理、三角形外角的性质．15.如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，2AO =，4=AD ，6OC =，8BC =，如果DAO CBO ∠=∠，那么AB CD ∶的值是___________．【答案】23【分析】由题意可以证得△AOD ∽△BOC ，再根据相似三角形的性质得到AO ∶OD =BO ∶OC ，从而得到△AOB ∽△DOC ，最后再根据相似三角形的性质得到解答．【详解】解：在△AOD 和△BOC 中，DAO CBO ∠=∠，∠AOD =∠BOC ，∴△AOD ∽△BOC ，∴AO ∶OB =DO ∶OC =AD ∶BC =1∶2，∴OB =4，DO =3，∴在△AOB 和△DOC 中，∠AOB =∠DOC ，AO ∶OD =BO ∶OC =2∶3，∴△AOB ∽△DOC ，∴:AB CD =AO ∶OD =2∶3，故答案为23．【点睛】本题考查相似三角形的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题关键．16.如图，已知梯形ABCD 中，AD BC ∥，3BC AD =，设AB a = ，DC b = ，那么向量AD 用向量a 、b 表示为___________．【答案】1122b a -【分析】过点D 作DE AB ∥交BC 于点E ，根据平行四边形的判定和性质及向量的三角形法则进行求解即可．【详解】解：如图，过点D 作DE AB ∥交BC 于点E ，AD BC ∥ ，∴四边形ABED 是平行四边形，,AB DE AD BE ∴== ，AB a = ，DE a ∴= ，,ED DC EC DC b +== ，EC a b ∴=-+ ，3,BC AD BE EC BC =+= ，3,2AD BE EC AD EC EC AD ∴=+=+=，()11112222AD EC a b b a ∴==-+=- 故答案为：1122b a - ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，向量加法的三角形法则，掌握向量加法的三角形法则是解本题的关键．17.如图，小明和小亮进行赛跑，小亮的起跑点在小明前方10米，1l 、2l ，分别表示小亮、小明在赛跑中的路程与时间的关系．可知起跑后6秒时，小明领先小亮___________米．【答案】2【分析】根据函数图像中的数据，可以分别计算出小亮和小明的速度，然后即可计算出起跑后6秒时，小明领先小亮距离．【详解】解：由图像可得，小亮的速度为：（40-10）÷5=30÷5=6（米/秒），小明的速度为：40÷5=8（米/秒），当t =6时，小明领先小亮的距离是：（6-5）×（8-6）=1×2=2（米），故答案为：2．【点睛】本题考查了函数图像，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18.如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =．矩形ABCD 绕着点A 旋转，点B 、C 、D 的对应点分别是点B '、C '、D ¢，如果点B '恰好落在对角线上，连接DD '，DD '与B C ''交于点E ，那么DE =___________．【答案】2120【分析】过A 点作AF ⊥BD ，交BD 于点F ，利用勾股定理求出BD =5，在根据是矩形ABD 的面积求出AF ，进而可求出 1.8BF B F '==，进而求出BD '，再证明AB F B ED ''△∽△，即有AF B F B D DE ''=，DE 可求．【详解】过A 点作AF ⊥BD ，交BD 于点F ，如图，∵矩形中AB =3，BC =AD =4，∠BAC =90°，∴5BD ===，∵1122ABD AB AD B S D AF ⨯⨯=⨯⨯=V ，∴34 2.45AB AD AF BD ⨯⨯===，∴ 1.8BF ===，根据旋转可知：AB AB '=，90ABC AB C '∠=∠=o ，AD AD ='，∵AF BD ⊥，∴ 1.8BF B F '==，即 3.6BB BF B F ''=+=，∴5 3.6 1.4B D BD BB ''=-=-=，根据旋转可知：AB AB '=，AD AD ='，BAB DAD ''∠=∠，ABD ADD '∠=∠，∵90ABD ADB ∠+∠=︒，∴90ADB ADD BDD ∠+∠==∠'' ，∵90AB F DB E ''∠+∠=o ，90B ED DB E ''∠+∠=o ，∴AB F DEB ''∠=∠，∵90AFB B DE ''∠=∠=o ，∴AB F B ED ''△∽△，∴AF B F B D DE''=，∴2.4 1.81.4DE=，∴2120DE =，故答案为：2120．【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，求出BD '是解答本题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.先化简，再求值：223112-⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭a a a a，其中a =【答案】2a a+，3-【分析】根据分式的加减乘除法则进行化简，然后代入数值计算即可．【详解】解：原式1(1)2(1)(1)-+=⨯++-a a a a a a 2=+aa当a ==3=-．【点睛】本题考查了分式加减乘除的混合运算，分式的化简求值，二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确进行化简．20.解不等式组：()52226118x x x x ⎧-≤+⎪⎨+-<⎪⎩，，并把解集在数轴上表示出来．【答案】742-<≤x ，图见解析【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【详解】解：由5(2)22-≤+x x 得，4x ≤．由6118+-<x x ，得72x >-．∴原不等式组的解集是742-<≤x ．在数轴上表示为【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．21.如图，在ABC 中，2cos ,8,93∠===ABC BC AB ．分别以点B 、C 为圆心、大于12BC 的同样长为半径作弧，两弧相交于点M 、N ，直线MN 分别交AB BC 、于点D 、E ．（1）直线MN 是线段BC 的___________，BE =___________；（2）求点A 到直线MN 的距离．【答案】（1）垂直平分线，4（2）2【分析】（1）根据作图可得直线MN 是线段BC 的垂直平分线，再根据垂直平分线的定义可得BE 的长度；（2）过点A 作AH MN ⊥，垂足为点H ．先证明,B HAD Ð=Ð再在在Rt DBE 中，求解46cos BD ABC ==∠，AD ，利用2cos cos ,3AH HAD B ADÐ=Ð==从而可得答案．【小问1详解】由作图可得：直线MN 是线段BC 的垂直平分线，8,BC =Q 1 4.2BE CE BC \===故答案为：垂直平分线，4；【小问2详解】过点A 作AH MN ⊥，垂足为点H ．,MN BC ^Q ,AH BC \∥,B HAD \Ð=Ð在Rt DBE 中，∵2cos ,43∠==ABC BE ，∴46cos BD ABC==∠．由9AB =，得3AD =．2cos cos ,3AH HAD B AD \Ð=Ð==∴2AH =．即点A 到直线MN 的距离为2．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图理解，锐角三角函数的应用，熟练的利用锐角三角函数求解直角三角形的边长是解本题的关键．22.2021年1月1日起《中华人民共和国民法典》正式施行．某社区为了解本社区的居民对该部法典的关注状况，在4000名居民中作随机抽样调查，把收集到的居民对法典的关注状况分为以下四种情况：A ．十分清楚；B ．清楚；C ．不太清楚；D ．不清楚．图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．（1）此次接受随机抽样调查的人数是___________人；（2）由样本估计总体可得，该社区居民中“十分清楚”和“清楚”的人数共有___________人；（3）根据本次调查结果，为促进居民对《中华人民共和国民法典》的了解，做好普法工作，计划两年后将该社区居民中“十分清楚”和“清楚”的总人数增加到3600人，如果这两年的年增长率相同，求年增长率，【答案】（1）200（2）2500（3）20%【分析】（1）根据A 的人数和所占的百分比即可得出答案；（2）用总的居民人数乘以“十分清楚”和“清楚”的人数所占的百分比即可；（3）设年增长率为x ，根据这两年的年增长率相同，列方程求出x 的值，即可得出答案．【小问1详解】解：此次接受随机抽样调查的人数是：42÷21%＝200（人），故答案为：200；【小问2详解】根据题意得：4000×（21%＋41.5%）＝2500（人），则该社区居民中“十分清楚”和“清楚”的人数共有2500人，故答案为：2500；设年增长率为x ，依题意得：2500（1＋x ）2＝3600，解得：x 1＝0.2＝20%，x 2＝−2.2（不合题意舍去），答：年增长率为20%．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用样本估计总体，一元二次方程的应用等．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．23.已知如图，四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，E 为对角线BD 的中点，点F 在边AD 上，CF 交BD 于点G ，1,2=∥CF AE CF BD ．（1）求证：四边形AECF 为菱形；（2）如果DCG DEC ∠=∠，求证：2=⋅AE AD DC ．【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线可得AE ＝CE ＝12BD ，再结合已知CF ＝12BD ，从而可得AE ＝CF ，进而可得四边形AECF 是平行四边形，然后再根据AE ＝CE 即可解答；（2）利用（1）的结论可得AD ∥CE ，从而可得∠ADE ＝∠DEC ，进而可得∠ADE ＝∠DCF ，再利用平行线的性质可得∠EAD ＝∠CFD ，然后证明△∽△DCF EDA ，利用相似三角形的性质解答．【小问1详解】证明：∵90BAD BCD ∠=∠=︒，E 为对角线BD 的中点，∴12==AE CE BD ，∵12CF BD =，∴AE CF =，又∵//CF AE ，∴四边形AECF 为平行四边形，又∵AE CE =，∴平行四边形AECF 为菱形；∵四边形AECF 为菱形，∴//AF CE ，∴ADE DEC ∠=∠，∵DCG DEC ∠=∠，∴DCF ADE ∠=∠，∵//CF AE ，∴DFC DAE ∠=∠，∴△∽△DCF EDA ，∴=DC CF DE AD，∵AE ED CF ==，∴=DC AE AE AD ，即2=⋅AE AD DC ．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等知识，熟练掌握菱形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线28y ax bx =++与x 轴交于点(2,0)A -、(4,0)B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）求抛物线的表达式和点D 的坐标；（2）点E 是第一象限内抛物线的一个动点，其横坐标为m ，直线AE 交y 轴于点F ．①用m 的代数式表示直线AE 的截距；②在ECF △的面积与EAD 的面积相等的条件下探究：在y 轴右侧存在这样一条直线，满足：以该直线上的任意一点及点C 、F 三点为顶点的三角形的面积都等于EAD 面积，试用规范、准确的数学语言表达符合条件的直线．【答案】（1）228y x x =-++，点D 的坐标为(1,9)（2）①直线AE 的截距是(82)m -；②符合条件的直线应该是经过点E 且垂直于x 轴的直线，为直线3332x -+=和直线310-+=x【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的表达式，再利用配方法将抛物线表达式化为顶点式即可求得顶点坐标；（2）①设点()()2,2804E m m m m -++<<，利用待定系数法求得直线AE 的解析式为()482y m x m =-+-，即可得出答案；②当点E 在对称轴右侧时，设抛物线对称轴交直线AE 于点H ，则()1,123H m -，可得()()()1133222EAD E A S DH x x m m ∆=⋅-=-+，再求得11222ECF S CF m m m ∆=⋅=⨯⨯=2m ，根据题意可得：()()213322m m m =-+，解得32-+=m ，故符合条件的直线为x =；当点E 在y 轴与对称轴之间时，过点E 作平行y 轴的直线交AD 于点K ，利用待定系数法求得直线AD 的解析式为36y x =+，可得(),36K m m +，进而可得()()213222EAD D A S EK x x m m ∆=⋅-=--+，建立方程求解即可得出符合条件的直线为310-=x ．【小问1详解】解： 抛物线28y ax bx =++与x 轴交于点()2,0A -、()4,0B ，428016480a b a b -+=⎧∴⎨++=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为228y x x =-++，()222819y x x x =-++=--+ ，∴顶点D 的坐标为()1,9；【小问2详解】解：①设点()()2,2804E m m m m -++<<，直线AE 的解析式为y kx d =+，则22028k d mk d m m -+=⎧⎨+=-++⎩，解得：482k m d m =-⎧⎨=-⎩，∴直线AE 的解析式为()482y m x m =-+-，∴直线AE 的截距为82m -；② 抛物线顶点D 的坐标为()1,9，∴抛物线对称轴为直线1x =，当点E 在对称轴右侧时，设抛物线对称轴交直线AE 于点H ，如图1，则()1,123H m -，()912333DH m m ∴=--=-，()()()1133222EAD E A S DH x x m m ∆∴=⋅-=-+，由①知：直线AE 的截距为82m -，即()0,82F m -，又()0,8C ，()8822CF m m ∴=--=，211222ECF S CF m m m m ∆∴=⋅=⨯⨯=，由题意：ECF EAD S S ∆∆=，()()213322m m m ∴=-+，解得：3332m -=或3332-=m ，04m << ，32m -∴=，根据同底等高的三角形面积相等可得：过点E 且平行y 轴的直线上任意一点及点C 、F 三点为顶点的三角形的面积都等于EAD ∆面积，∴符合条件的直线为x =；当点E 在y 轴与对称轴之间时，过点E 作平行y 轴的直线交AD 于点K ，如图2，()2,0A - 、()1,9D ，∴直线AD 的解析式为36y x =+，(),36K m m ∴+，()2228362EK m m m m m ∴=-++-+=--+．()()213222EAD D A S EK x x m m ∆∴=⋅-=--+，ECF EAD S S ∆∆= ，()22322m m m ∴--+=，解得：312910m -=310-+=m ，∴符合条件的直线为310-+=x ，综上所述，符合条件的直线为3332x -=或310-+=x ．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，抛物线的顶点式、顶点坐标、对称轴，直线的截距，三角形面积等，运用等底等高的三角形面积相等解决问题是解题关键．25.如图，已知矩形ABCD 中，5AD =，以AD 上的一点E 为圆心，EA 为半径的圆，经过点C ，并交边BC 于点F （点F 不与点C 重合）．（1）当4AE =时，求矩形对角线AC 的长；（2）设边,==AB x CF y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）设点G 是 AC 的中点，且45GEF ∠=︒，求边AB 的长．【答案】（1）AC =（2）225.(05)5-=<<x y x（3）10-【分析】（1）连接CE ，AC ，由勾股定理可求出答案；（2）过点E 作EH ⊥BC 于点H ，连接CE ，由矩形的性质得出AB =EH =x ，AE =5-12y ，由勾股定理可求出答案；（3）当点G 在弧CF 上时，设EF 与AC 的交点为M ，连接CE ，求出∠DEC =30°，由直角三角形的性质可得出答案；当点G 在弧AF 上时，则点F 与点C 重合，不合题意．【小问1详解】解：连接EC ，AC ．∵4,5AE AD ==，∴4,1==CE ED ．在Rt CDE △中，由勾股定理得222224115CD CE DE =-=-=．在Rt ACD △中，同理得，∴AC ==【小问2详解】过点E 作EH BC ⊥，垂足为点H ．由垂径定理可得1122==CH CF y ．那么152=-BH y ．由四边形ABHE 为矩形，得1,52==-EH x AE y ．那么152=-EC y ．在Rt CHE △中，由股定理得：22211522⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x y y ．化简得225.(05)5-=<<x y x ；【小问3详解】①当点G 在弧CF 上时，设EF 与AC 的交点为M ．∵点G 是AC 的中点，∴EG AC ⊥．由45GEF ∠=︒，得45EMC ∠=°．∵EA EC=∴EAC ECA ∠=∠．同理得EFC ECF ∠=∠．∵AD BC ∥，∴EAC ACF ∠=∠．∴∠=∠ECA ACF ．∵∠=∠+∠EMC EFC ACF ，∴3∠=∠EMC ACF ．∴230∠=∠︒=EFC ACF ．∵AD BC ∥，30DEC ∠=︒．∴CE =2CD ∴1522-=y x ．解得110x =-210x =+(不合题意，舍去)即边AB 的长为10-②当点G 在弧AF 上时，则点F 与点C 重合，不符合题意．【点睛】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握圆的性质定理是解题的关键．。
2024年上海青浦区初三二模数学试卷和答案
上海青浦区2023-2024学年第二学期九年级学业质量调研数学试卷（时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】1.是同类二次根式的是（）A.B. C.D.2.下列计算正确的是（）A.a 2+a 2＝a 4B.（2a ）3＝6a 3C.3a 2•（﹣a 3）＝﹣3a 5D.4a 6÷2a 2＝2a 3．3.下列函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而增大的是（）A.5x y =B.5x y =-C.5y x=D.5y x=-4.某兴趣小组有5名成员，身高（厘米）分别为：161,165,169,163,167．增加一名身高为165厘米的成员后，现兴趣小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是（）A.平均数不变，方差不变B.平均数不变，方差变小C .平均数不变，方差变大D.平均数变小，方差不变．5.已知四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，AC 与BD 相交于点O ，那么下列条件中，能判断这个四边形为等腰梯形的是（）A.AC BD= B.ABC BCD∠=∠ C.,OB OC OA OD== D.,OB OC AB CD==6.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，过O 作AC 的垂线交AD于点,E EC 与BD 相交于点F ，且ECD DBC ∠=∠，那么下列结论错误的是（）A.EA EC =B.DOC DCO ∠=∠C.4BD DF= D.BC CDCE BF=二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7.分解因式：22xy x y -=_______．8.方程5=的解是_______．9.函数1xy x =+的定义域是________．10.如果关于x 的方程20x x c --+=有实数根，那么实数c 的取值范围是_______．11.如果将抛物线21y x =+向右平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是_______．12.甲、乙两位同学分别在、、A B C 三个景点中任意选择一个游玩，那么他们选择同一个景点的概率是_______．13.某校有2000名学生参加了“安全伴我行”的宣传教育活动．为了解活动效果，随机从中抽取m 名学生进行了一次测试，满分为100分，按成绩划分为,,,A B C D 四个等级，将收集的数据整理绘制成如下不完整的统计图表．请根据以上信息，估计该校共有_______名学生的成绩达到A 等级．成绩频数分布表等第成绩x频数A 90100x ≤≤n B 8090x ≤<117C7080x ≤<32D070x ≤<8成绩扇形统计图14.如图，热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋楼顶部B 的仰角为α，看这栋楼底部C 的俯角为β，热气球A 处与楼的水平距离为m 米，那么这栋楼BC 的高度为_______米．（用含m αβ、、的式子表示）15.如图，在ABC 中，中线AD BE 、相交于点F ，设,AB a FE b == ，那么向量BC 用向量a b、表示为_______．16.如图，有一幅不完整的正多边形图案，小明量得图中一边与对角线的夹角15BAC ∠=︒，那么这个正多边形的中心角是_______度．17.正方形ABCD 的边长为1,E 为边DC 的中点，点F 在边AD 上，将D ∠沿直线EF 翻折，使点D 落在点G 处，如果BG BC =，那么线段DF 的长为_______．18.在矩形ABCD 中，2,4,AB BC AC ==与BD 相交于点O ．A 经过点B ，如果O 与A 有公共点，且与边CD 没有公共点，那么O 的半径长r 的取值范围是_______．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19.计算：2301(2024)20853π⎛⎫--++ ⎪-⎝⎭20.解方程组：22221,230.x y x xy y +=⎧⎨--=⎩①②21.如图，AB 是O 的直径，AB 与CD 相交于点E ，弦AD 与弦CD 相等，且 BCBD =．（1）求ADC ∠的度数；（2）如果1OE =，求AD 的长．22.某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x 辆，租车总费用为y 元．型号载客量（人/辆）租金（元/辆）甲451500乙331200（1）求y 与x 的函数解析式（不需要．．．写定义域）；（2）如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？（3）在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？23.已知：如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是对角线AC 上一点，EA ED =，且DAB DEC DCB ∠=∠=∠．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）延长DE 分别交线段AB CB 、的延长线于点F G 、，如果GB BC =，求证：22AD EF GD =⋅．24.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =+-的图像与x 轴交于点(3,0)A -和点(1,0)B ．与y 轴交于点,C D 是线段OA 上一点．（1）求这条抛物线的表达式和点C 的坐标；（2）如图，过点D 作DG x ⊥轴，交该抛物线于点G ，当DGA DGC ∠=∠时，求GAC △的面积；（3）点P 为该抛物线上第三象限内一点，当1OD =，且45DCB PBC ∠+∠=︒时，求点P 的坐标．25.在ABC 中，2AB AC ==，以C 为圆心、CB 为半径的弧分别与射线BA 、射线CA 相交于点D E 、，直线ED 与射线CB 相交于点F ．（1）如图，当点D 在线段AB 上时．①设ABC α∠=，求BDF ∠；（用含α的式子表示）②当1BF =时，求cos ABC ∠的值；（2）如图，当点D 在BA 的延长线上时，点M N 、分别为BC DF 、的中点，连接MN ，如果MN CE ∥，求CB 的长．2023学年第二学期九年级学业质量调研数学试卷含答案（时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】1.是同类二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】各项化简后，利用同类二次根式定义判断即可．【详解】解：A不是同类二次根式，B3=C=3D=不是同类二次根式.故选C．【点睛】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．2.下列计算正确的是（）A.a2+a2＝a4B.（2a）3＝6a3C.3a2•（﹣a3）＝﹣3a5D.4a6÷2a2＝2a3．【答案】C【解析】【分析】根据合并同类项法则、单项式的乘方、乘法和除法逐一计算可得．【详解】A ．a 2+a 2＝2a 2，此选项错误；B ．（2a ）3＝8a 3，此选项错误；C ．3a 2•（﹣a 3）＝﹣3a 5，此选项正确；D ．4a 6÷2a 2＝2a 4，此选项错误；故选：C ．【点睛】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则，积的乘方法则，及单项式的乘法和除法法则．3.下列函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而增大的是（）A.5xy =B.5x y =-C.5y x=D.5y x=-【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查了一次函数图像与反比例函数图像的性质，熟练掌握函数图象的增减性是解题关键．【详解】A ：5x y =为一次函数，x 取所有实数，∵105>，∴函数值随自变量的值增大而增大，故选项正确；B ：5x y =-为一次函数，x 取所有实数，∵105-<，∴函数值随自变量的值增大而减小，故选项错误；C ：5y x=为反比例函数，0x ≠，在0x <内，函数值随自变量的值增大而减小，并且在0x >内，函数值随自变量的值增大而减小，故选项错误；D ：5y x=-为反比例函数，0x ≠，在0x <内，函数值随自变量的值增大而增大，并且在0x >内，函数值随自变量的值增大而增大，但在从左侧到右侧时不满足条件“函数值随自变量的值增大而增大”，故选项错误；故选：A ．4.某兴趣小组有5名成员，身高（厘米）分别为：161,165,169,163,167．增加一名身高为165厘米的成员后，现兴趣小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是（）A.平均数不变，方差不变B.平均数不变，方差变小C.平均数不变，方差变大D.平均数变小，方差不变．【答案】B 【解析】【分析】本题考查算术平均数和方差的知识，熟记算术平均数和方差的计算公式是解题的关键．【详解】()1611651691631675165x =++++÷=原，()()()()()222222116116516516516916516316516716585S ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-=⎣⎦原，()1611651691631671656165x =+++++÷=新，()()()()()()222222212016116516516516916516316516716516516563S ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-+-=⎣⎦新，∴平均数不变，方差变小，故选：B ．5.已知四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，AC 与BD 相交于点O ，那么下列条件中，能判断这个四边形为等腰梯形的是（）A.AC BD= B.ABC BCD∠=∠ C.,OB OC OA OD== D.,OB OC AB CD==【答案】C 【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰梯形的判定，解此题的关键是求出AD BC ．【详解】A 、AC BD =，不能证明四边形ABCD 是等腰梯形，错误；B 、ABC BCD ∠=∠，不能证明四边形ABCD 是等腰梯形，错误；C 、∵OB OC OA OD ==，，∴OBC OCB ∠=∠，OAD ODA ∠=∠，∴()SAS AOB DOC ≌，∴ABO DCO ∠=∠，AB CD =，OAB ODC ∠=∠，∵360ABC DCB CDA BAD ∠+∠+∠+∠=︒，∴180DAB ABC ∠+∠=︒，∴AD BC ，∴四边形ABCD 是梯形，∵AB CD =，∴四边形ABCD 是等腰梯形．D 、OB OC =，AB CD =，不能证明四边形ABCD 是等腰梯形，错误；故选C ．6.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，过O 作AC 的垂线交AD 于点,E EC 与BD 相交于点F ，且ECD DBC ∠=∠，那么下列结论错误的是（）A.EA EC =B.DOC DCO ∠=∠C.4BD DF= D.BC CD CE BF=【答案】D 【解析】【分析】由题意可知，OE 垂直平分AC ，则EA EC =，可判断A 的正误；由DAO ECA ∠=∠，ADO DBC ECD ∠=∠=∠，DOC DAO ADO ∠=∠+∠，DCO ECA ECD ∠=∠+∠，可得DOC DCO ∠=∠，可判断B 的正误；证明FDC CDB ∽，则DF CD CD BD =，即1212BDDF BD BD =，可得4BD DF =，进而可判断C 的正误；证明CBF ECD ∽，可得FC BD C BF CDCE B =≠，进而可判断D 的正误．【详解】解：∵平行四边形ABCD ，∴OA OC =，12OB OD BD ==，AD BC ∥，又∵OE AC ⊥，∴OE 垂直平分AC ，∴EA EC =，A 正确，故不符合要求；∴DAO ECA ∠=∠，∵AD BC ∥，∴ADO DBC ECD ∠=∠=∠，∴DOC DAO ADO ∠=∠+∠，又∵DCO ECA ECD ∠=∠+∠，∴DOC DCO ∠=∠，B 正确，故不符合要求；∴12CD OD BD ==，∵FCD CBD ∠=∠，FDC CDB ∠=∠，∴FDC CDB ∽，∴DF CD CD BD =，即1212BD DF BD BD =，解得，4BD DF =，C 正确，故不符合要求；∵AD BC ∥，∴BCF CED ∠=∠，又∵CBF ECD ∠=∠，∴CBF ECD ∽，∴FC BD C BF CD CE B =≠，D 错误，故符合要求；故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等角对等边，相似三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等角对等边，相似三角形的判定与性质是解题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7.分解因式：22xy x y -=_______．【答案】()xy y x -【解析】【分析】本题考查因式分解，掌握提取公因式法分解因式是解题的关键．【详解】解：22()xy x y xy y x -=-，故答案为：()xy y x -．8.方程5=的解是_______．【答案】13x =【解析】【分析】本题考查了二次根式的性质和一元一次方程的解法，解题的关键是准确计算．5=，∴2125x -=，解得：13x =，经检验：13x =是原方程的解，故答案为：13x =．9.函数1x y x =+的定义域是________．【答案】x ≠－1【解析】【分析】根据分母不为零，即可求得定义域．【详解】解：由题意，10x +≠即1x ≠-故答案为：1x ≠-【点睛】本题考查了使函数有意义的自变量的取值范围，即函数的定义域，对于分母中含有未知数的函数解析式，必须考虑其分母不为零．10.如果关于x 的方程20x x c --+=有实数根，那么实数c 的取值范围是_______．【答案】14c ≥-【解析】【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根，根据方程的0∆≥即可解答．【详解】解：方程20x x c --+=有实数根，∴()()21410c --⨯-⨯≥，∴14c ≥-，故答案为：14c ≥-．11.如果将抛物线21y x =+向右平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是_______．【答案】2=(3)+1y x -【解析】【分析】本题考查了二次函数的平移，正确理解二次函数的平移规律是解题的关键．根据函数图像平移的方法：左加右减，上加下减，即可得到答案．【详解】将抛物线21y x =+向右平移3个单位，所得新抛物线的表达式是2=(3)+1y x -．故答案为：2=(3)+1y x -．12.甲、乙两位同学分别在、、A B C 三个景点中任意选择一个游玩，那么他们选择同一个景点的概率是_______．【答案】13【解析】【分析】本题考查了列表法与树状图法：画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出甲、乙恰好游玩同一景点的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图如下：由图可知，共有9种等可能的情况，他们选择同一个景点有3种，故他们选择同一个景点的概率是：3193=，故答案为：13．13.某校有2000名学生参加了“安全伴我行”的宣传教育活动．为了解活动效果，随机从中抽取m名学生进行了一次测试，满分为100分，按成绩划分为,,,A B C D四个等级，将收集的数据整理绘制成如下不完整的统计图表．请根据以上信息，估计该校共有_______名学生的成绩达到A等级．成绩频数分布表等第成绩x频数A90100x≤≤nB8090x≤<117C7080x≤<32D070x≤<8成绩扇形统计图【答案】430【解析】【分析】此题考查了扇形统计图、频数分布表理清它们之间的数据关系是解题的关键．用2000乘以A等级人数的占比即可求解．【详解】解：本次抽取的人数为3216%200÷=人，∴A等级的人数为20011732843---=人，估计该校共有达到A等级的学生数为43 2000430200⨯=人，故答案为：430．14.如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B的仰角为α，看这栋楼底部C的俯角为β，热气球A处与楼的水平距离为m米，那么这栋楼BC的高度为_______米．（用含m αβ、、的式子表示）【答案】()tan tan m αβ+【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的仰角俯角问题，首先过点A 作AD BC ⊥于点D ，根据题意得BAD ∠=α，DAC β∠=，AD m =米，然后利用三角函数求解即可求得答案．【详解】解：首先过点A 作AD BC ⊥于点D ，如下图所示，则BAD ∠=α，DAC β∠=，AD m =米，在Rt △ABD 中，tan tan BD AD m αα== 米，在Rt ACD △中，tan tan DC AD m ββ== 米，∴()·tan ·tan tan tan BC BD DC m m m αβαβ=+=+=+米．故答案为：()tan tan m αβ+15.如图，在ABC 中，中线AD BE 、相交于点F ，设,AB a FE b == ，那么向量BC 用向量a b、表示为_______．【答案】6a b+ 【解析】【分析】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，三角形法则等知识．根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质可得33BE FE b == ，利用三角形法BD BE ED =+ 则求出即可．【详解】解：连接DE ，∵中线AD BE 、相交于点F ，∴DE AB ∥，12DE AB =，∴1122ED AB a == ，∴DEF ABF ∽，∴12EF ED FB AB ==，∴33BE FE b == ，∴132BD BE ED a b =+=+ ，又∵点D 是BC 的中点，∴26BC BD a b ==+，故答案为：6a b + ．【点睛】16.如图，有一幅不完整的正多边形图案，小明量得图中一边与对角线的夹角15BAC ∠=︒，那么这个正多边形的中心角是_______度．【答案】30【解析】【分析】本题考查了三角形内角和定理，正多边形的性质，正多边形的外角与边数的关系，熟练掌握正多边的外角和等于是解题的关键．根据三角形内角和定理以及正多边形的性质，得出150B ∠=︒，然后可得每一个外角为30︒，进而即可求解．【详解】解：AB BC = ，∴15BAC BCA ∠=∠=︒，∴1801801515150B BAC BCA ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴多边形的外角为18015030︒-︒=︒，∴多边形的边数为：3601230=，∴正多边形的中心角是3603012︒=︒，故答案为：30．17.正方形ABCD 的边长为1,E 为边DC 的中点，点F 在边AD 上，将D ∠沿直线EF 翻折，使点D 落在点G 处，如果BG BC =，那么线段DF 的长为_______．【答案】14##0.25【解析】【分析】本题考查正方形的折叠，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握折叠的性质是解题的关键．连接BE ，证明EGB ECB ≌，可得90DEF CEB ∠+∠=︒，然后得到DEF CBE ∽即可解题．【详解】如图，连接BE ，由翻折可得：90D EGF ∠=∠=︒，12DEF GEF DEG ∠=∠=∠，DE EG =，又∵E 为边DC 的中点，∴12DE EC EG ===，又∵BG BC =，BE BE =，∴EGB ECB ≌，∴12GEB CEB CEG ∠=∠=∠，∴119022DEF CEB DEG CEG ∠+∠=∠+∠=︒，又∵ABCD 是正方形，∴90D C ∠=∠=︒，∴90DEF DFE ∠+∠=︒，∴DFE CEB ∠=∠，∴DEF CBE ∽，∴DF DE CE BC =，即12112DF =，解得14DF =．故答案为：1418.在矩形ABCD 中，2,4,AB BC AC ==与BD 相交于点O ．A 经过点B ，如果O 与A 有公共点，且与边CD 没有公共点，那么O 的半径长r 的取值范围是_______．522r -≤<【解析】【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，圆与圆的位置关系和直线和圆的位置关系，掌握圆与圆的位置关系和直线和圆的位置关系是解题的关键．过点O 作OE CD ⊥于点E ，根据勾股定理得到AC =，然后根据COE CAD ∽，得到2OE =，由已知可以得到r 的取值范围即可．【详解】解：过点O 作OE CD ⊥于点E ，∵ABCD 是矩形，∴90ABC ADC OEC ∠=∠=∠=︒，12AO OC AC ==，∴AC ===，∴AO OC ==，又∵90ADC OEC ∠=∠=︒，∴OE AD ，∴COE CAD ∽，∴12OE CO AD AC ==，∴122OE AD ==，又∵O 与A 有公共点，且与边CD 没有公共点，22r -≤<，22r -≤<．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19.计算：2301(2024)8π⎛⎫--++ ⎪⎝⎭【答案】154-【解析】【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，分数指数幂，化简二次根式，先计算分数指数幂和零指数幂，利用平方差公式进行二次根式和化简，最后算加减．【详解】解：2301(2024)8π⎛⎫-- ⎪⎝⎭23343112+⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦)24311259+⎛⎫=-+⎪-⎝⎭1341=-+154=-．20.解方程组：22221,230.x y x xy y +=⎧⎨--=⎩①②【答案】93x y =⎧⎨=⎩，2121x y =⎧⎨=-⎩【解析】【分析】本题考查了二元二次方程组解法，解题关键是通过因式分解将二元一次方程组转化为两个二元一次方程组解答．因式分解组中的方程②，得到两个二元一次方程，再代入①即可解方程组．【详解】解：由②得：()()30x y x y -+=，即3x y =或x y =-，把3x y =代入①得3y =，9x =；把x y =-代入①得21y =-，21x =；∴方程组的解为：93x y =⎧⎨=⎩，2121x y =⎧⎨=-⎩．21.如图，AB 是O 的直径，AB 与CD 相交于点E ，弦AD 与弦CD 相等，且 BCBD =．（1）求ADC ∠的度数；（2）如果1OE =，求AD 的长．【答案】（1）60︒（2）23【解析】【分析】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定与性质，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系及解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）连接AC ，根据垂径定理可得 AC AD =，从而可得,AC AD =然后利用等量代换可得,AC AD CD ==从而可得ACD 是等边三角形，再利用等边三角形的性质即可解答；（2）连接OD ，根据垂径定理可得1,,2DE EC CD AB CD ==⊥从而可得90,AED ∠=︒再利用直角三角形的两个锐角互余可得30,DAO ∠=︒然后利用圆周角定理可得60,DOE ∠=︒再在.Rt OED 中，利用锐角三角函数的定义求出DE 的长，即可解答．【小问1详解】连接AC ，∵AB 是O 的直径， BCBD =，∴ AC AD =，AC AD ∴=，AD CD = ，AC AD CD ∴==，ACD ∴是等边三角形，60ADC ∴∠=︒；【小问2详解】连接OD ，∵AB 是O 的直径， BCBD =，1,2DE EC CD AB CD ∴==⊥，90AED ∴∠=︒，60ADC ∠=︒ ，9030DAO ADC ∴∠=︒-∠=︒，260DOE DAO ∴∠=∠=︒，在Rt OED 中，1OE =，tan60DE OE ∴=⋅︒=，2CD DE ∴==，CD AD ∴==．22.某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x 辆，租车总费用为y 元．型号载客量（人/辆）租金（元/辆）甲451500乙331200（1）求y 与x 的函数解析式（不需要．．．写定义域）；（2）如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？（3）在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？【答案】（1）300y x =8400+（2）共有3种租车方案（3）租用甲种型号的客车4辆，租用乙种型号的客3辆，租车最省钱，租车的总费用是9600元【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．（1）租用甲种型号的客车x 辆，则租用乙种型号的客车()7x -辆；根据题意列函数关系式即可；（2）根据租车总费用不超过10200元，师生共有275人可得()30084001020045337275x x x +≤⎧⎨+-≥⎩，又x 为整数,解不等式组即可得到租车方案；（3）结合（1）（2），利用一次函数性质租金最少的方案即可解题．【小问1详解】租用甲种型号的客车x 辆，则租用乙种型号的客车()7x -辆，()150012007300y x x x ∴=+-=8400+；【小问2详解】∵租车总费用不超过10200元，师生共有275人,()30084001020045337275x x x +≤⎧∴⎨+-≥⎩，解得2363x ≤≤，∵x 为整数,∴x 可取4,5,6,∴一共有3种租车方案；【小问3详解】在3008400y x =+中，y 随x 的增大而增大,又x 可取4,5,6,∴当4x =时，y 取最小值，最小值为300484009600⨯+=(元),∴租用甲种型号的客车4辆，租用乙种型号的客3辆，租车最省钱，租车的总费用是9600元．23.已知：如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是对角线AC 上一点，EA ED =，且DAB DEC DCB ∠=∠=∠．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）延长DE 分别交线段AB CB 、的延长线于点F G 、，如果GB BC =，求证：22AD EF GD =⋅．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由,AD BC 得180DAB ABC ∠+∠=︒,则180DCB ABC ∠+∠=︒，所以AB CD ，则四边形ABCD 是平行四边形，由2,DEC CAD ∠=∠且,DAB DEC ∠=∠得2DAB CAD ∠=∠,所以,CAB CAD ACB ∠=∠=∠则AB CB =,即可证明四边形ABC D 是菱形；（2）由菱形的性质得AB AD BC CD ===,而GB BC =,所以AD GB =,可证明ADF BGF ∽,得1,AF AD BF GB ==则11,22AF BF AB CD ===再证明AEF CED ∽,得1,2EF AF ED CD ==所以2ED EF =,再证明EDC CDG ∽,得,CD ED GD CD =则2,AD EF GD AD =即可证明²2AD EF GD =⋅．【小问1详解】)证明:∵AD BC ,∴180,DAB ABC CAD ACB ∠+∠=︒∠=∠,∵DAB DCB ∠=∠,∴180DCB ABC ∠+∠=︒,∴AB CD ,∴四边形ABCD 是平行四边形，∵EA ED =,∴EDA CAD ∠=∠,∴2DEC EDA CAD CAD ∠=∠+∠=∠，∵DAB DEC ∠=∠,∴2DAB CAD ∠=∠,∴CAB CAD ACB ∠=∠=∠,∴AB CB =,∴四边形ABCD 是菱形；【小问2详解】证明：根据题意作图如下，∵四边形ABCD 是菱形,∴AB AD BC CD ===，∵,AD BC GB BC ==,∴AD GB =,∵AD GB ,∴ADF BGF ∽,1AF AD BF GB ∴==，1122AF BF AB CD ∴===，∵AF CD ,∴AEF CED ∽,12EF AF ED CD ∴==，∴2ED EF =,∴,ECD CAD G EDA ∠=∠∠=∠,且CAD EDA ∠=∠,∴ECD G ∠=∠,∵EDC CDG ∠=∠,∴EDC CDG ∽,∴CD ED DG CD =,2AD EF GD AD ∴=，²2AD EF GD ∴=⋅．【点睛】此题重点考查平行线的性质、菱形的判定性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出CAB CAD ACB ∠=∠=∠是解题的关键．24.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =+-的图像与x 轴交于点(3,0)A -和点(1,0)B ．与y 轴交于点,C D 是线段OA 上一点．（1）求这条抛物线的表达式和点C 的坐标；（2）如图，过点D 作DG x ⊥轴，交该抛物线于点G ，当DGA DGC ∠=∠时，求GAC △的面积；（3）点P 为该抛物线上第三象限内一点，当1OD =，且45DCB PBC ∠+∠=︒时，求点P 的坐标．【答案】（1）223y x x =+-，()03C -，（2）158（3）()14P --，【解析】【分析】（1）将(3,0)A -、(1,0)B 代入得，933030a b a b --=⎧⎨+-=⎩，可求12a b =⎧⎨=⎩，则223y x x =+-，当0x =时，=3y -，进而可求()03C -，；（2）如图1，作CM DG ⊥于M ，记AC 与DG 的交点为N ，设()0D m ，，则()223G m m m +-，，()3M m -，，则3AD m =+，()223DG m m =-+-，CM m =-，()22GM m m =-+，由tan tan DGA DGC ∠=∠，可得()()223232m m m m m m +-=-+--+，计算求出满足要求的解为12m =-，则11524G ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，待定系数法求直线AC 的解析式为3y x =--，进而可得1522N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，则54GN =，根据()12GAC GAN GCN C A S S S GN x x =+=⨯- ，计算求解即可；（3）如图2，作BH CD ⊥于H ，在CD 上取HN BH =，连接BN 交抛物线于点P ，由45BNH DCB PBC ∠=︒=∠+∠，可知点P 即为所求，由勾股定理得，CD BC ===，由1122BCD S BD OC CD BH =⋅=⋅ ，可求3105BH =，则222365BN BH HN =+=，待定系数法求直线CD 的解析式为33y x =--，设()33N n n --，，由()()222361335BN n n =-+--=，可求15n =-，75n =-（舍去），则11255N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，待定系数法求直线BN 的解析式为22y x =-，联立得，22223x x x -=+-，计算求解，然后作答即可．【小问1详解】解：将(3,0)A -、(1,0)B 代入得，933030a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得，12a b =⎧⎨=⎩，∴223y x x =+-，当0x =时，=3y -，即()03C -，；【小问2详解】解：如图1，作CM DG ⊥于M ，记AC 与DG 的交点为N ，设()0D m ，，则()223G m m m +-，，()3M m -，，∴3AD m =+，()223DG m m =-+-，CM m =-，()22GM m m =-+，∵DGA DGC ∠=∠，∴tan tan DGA DGC ∠=∠，∴AD CMDG GM =，即()()223232m mm m m m +-=-+--+，解得，12m =-，经检验，12m =-是原分式方程的解，且符合要求；∴11524G ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，设直线AC 的解析式为y kx c =+，将(3,0)A -，()03C -，代入得，303k c c -+=⎧⎨=-⎩，解得，13k c =-⎧⎨=-⎩，∴直线AC 的解析式为3y x =--，当12x =-时，15322y ⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭，即1522N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，∴54GN =，∴()1151532248GAC GAN GCN C A S S S GN x x =+=⨯-=⨯⨯= ，∴GAC △的面积为158；【小问3详解】解：如图2，作BH CD ⊥于H ，在CD 上取HN BH =，连接BN 交抛物线于点P ，∵HN BH =，BH CD ⊥，∴45BNH DCB PBC ∠=︒=∠+∠，∴点P 即为所求，由勾股定理得，CD BC ===，∵1122BCD S BD OC CD BH =⋅=⋅ ，∴112322BH ⨯⨯=，解得，3105BH =，∴222365BN BH HN =+=，设直线CD 的解析式为y kx d =+，将(1,0)D -，()03C -，代入得，03k d d -+=⎧⎨=-⎩，解得，33k c =-⎧⎨=-⎩，∴直线CD 的解析式为33y x =--，设()33N n n --，，∴()()222361335BN n n =-+--=，解得，15n =-，75n =-（舍去），∴11255N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，设直线BN 的解析式为y kx e =+，将(1,0)B ，11255N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入得，011255k e k e +=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩，解得，22k e =⎧⎨=-⎩，∴直线BN 的解析式为22y x =-，联立得，22223x x x -=+-，解得，1x =舍去或=1x -，∴()14P --，．【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与角度综合，正切，二次函数与面积综合，一次函数解析式，勾股定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数与角度综合，正切，二次函数与面积综合，一次函数解析式，勾股定理，三角形外角的性质是解题的关键．25.在ABC 中，2AB AC ==，以C 为圆心、CB 为半径的弧分别与射线BA 、射线CA 相交于点D E 、，直线ED 与射线CB 相交于点F ．（1）如图，当点D 在线段AB 上时．①设ABC α∠=，求BDF ∠；（用含α的式子表示）②当1BF =时，求cos ABC ∠的值；（2）如图，当点D 在BA 的延长线上时，点M N 、分别为BC DF 、的中点，连接MN ，如果MN CE ∥，求CB 的长．【答案】（1）①12α②24（2）1BC =+【解析】【分析】（1）①根据等边对等角得到ACB ABC CDB α∠=∠=∠=，CDE CED ∠=∠，然后根据四边形的内角和是360︒计算解题；②先根据F BDF ∠=∠得到1BD BF ==，然后推导CDB ACB ∽，得到BC BD AB BC =，可以求出BC 长，过点A 作AG BC ⊥于点G ，然后求出cos ABC ∠值即可；（2）设MN 交BD 于点H ，设BC a =，则1AH BH ==，然后证明BCA BDC ∽，得到22a BD =，然后根据平行线分线段成比例得到EN HA DN DH =，EN CM FN MF =，再根据DN FN =，就可得到HA CM DH MF=，代入数值即可解题．【小问1详解】解：①∵AC AB CB CD CE ===，，∴ACB ABC CDB α∠=∠=∠=，CDE CED ∠=∠，又∵360ACB ABC CDB CDE CED ∠+∠+∠+∠+∠=︒，∴()1136018022CDB CDE αα∠+∠=︒-=︒-，∴()11180********ADE CDB CDE αα⎛⎫∠=︒-∠+∠=︒-︒-= ⎪⎝⎭；②∵12ADE BDF ABC αα∠=∠=∠=，，∴12F BDF α∠=∠=，∴1BD BF ==，又∵1802BCD A α∠=︒-=∠，CBD DBC ∠=∠，∴CDB ACB ∽，∴BC BDAB BC =，即12BCBC =，解得：BC =BC =；过点A 作AG BC ⊥于点G ，则1222BG BC ==，∴222cos 24BG ABC AB ∠===；【小问2详解】解：设MN 交BD 于点H ，设BC a =，∵M 是BC 的中点，∴12BM CM a ==，又∵MN CE ，∴BMH BCA ∽，∴1BH BMHA MC ==，又∵2AB AC ==，∴1AH BH ==，∵AC AB =，BC CD =，∴ACB ABC CDB ∠=∠=∠，∴BCA BDC ∽，∴BC BDBA BC =，即2aBDa =，解得：22a BD =，∴212a DH DB BH =-=-，∵MN CE ，∴2212212ENHA a DN DH a ===--，又∵ACB ABC ∠=∠，12BDF ACB ∠=∠，∴12ABC ACB ∠=∠，∴ACB F ∠=∠，∴22a BF BD ==，∴222a aFM FB MB =+=+，∵MN CE ，∴212122aEN CM a a FN MF a ===++，又∵N 是DF 的中点，∴DN FN =，∴EN EN DN FN =，即22121a a =-+，解得：1a =+1a =-，BC=∴1【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，平行线分线段成比例，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．。
2023年上海市普陀区中考二模数学卷含答案
九年级第二学期数学自适应练习一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.中国是最早认识正数和负数的国家，魏晋时期的数学家刘徽就提出了负数的概念，如果将零下2℃记作2-℃，那么3℃表示（）A.零上3℃B.零下3℃C.零上5℃D.零下5℃2.下列算式中，计算结果为6a 的是（）A.33a a +B.23a a ⋅ C.()32a D.122a a ÷3.已知函数y kx =（k 是常数，0k ≠）的图像经过第一、三象限，下列说法中正确的是（）A.0k <B.图像一定经过点(1,)kC.图像是双曲线D.y 的值随x 的值增大而减小4.某城市30天的空气质量状况统计如下：（）A.平均数B.众数C.中位数D.方差5.如果用两根长度相同的细竹签作对角线，制作一个四边形的风筝，那么做成的风筝形状不可能是（）A.矩形B.正方形C.等腰梯形D.直角梯形6.如图，ABC 中，60BAC ∠=︒，BO 、CO 分别平分ABC ∠、ACB ∠，2AO =，下面结论中不一定正确的是()A.120BOC ∠=︒ B.30BAO ∠=︒C.3OB = D.点O 到直线BC 的距离是1二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.因式分解：24x -=__________．8.已知()23f x x =-，那么(3)f =________．9.方程x =的根是_______．10.如果关于x 的方程230x x m -+=有两个相等的实数根，那么m =__________．11.近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例，已知400度的近视眼镜镜片的焦距为0.25米，那么眼镜度数y 关于镜片焦距x 的函数解析式是________．12.一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为________．13.不透明的布袋中装有除颜色外完全相同的10个球，其中红色球有m 个，如果从布袋中任意摸出一个球恰好为红色球的概率是15，那么m =________．14.学校为了解本校初三年级学生上学的交通方式，随机抽取了本校20名初三学生进行调查，其中有2名学生是乘私家车上学，如图是收集数据后绘制的扇形图．如果该校初三年级有200名学生，那么骑自行车上学的学生大约有________人．15.如图，斜坡AB 的坡度1i =AH 的情况下将坡度变缓，调整后的斜坡AC 的坡度21:2.4i =，已知斜坡10AB =米，那么斜坡AC =________米．16.如图，AD BC ∥，AC 、BD 交于点O ，2BO OD =，设AD a = ，AB b =，那么向量OC 用向量a 、b表示为________．17.在矩形ABCD 中，5AB =，8AD =，点E 在边AD 上，3AE =，以点E 为圆心、AE 为半径作E (如图)，点F 在边BC 上，以点F 为圆心、CF 为半径作F ．如果F 与E 外切，那么CF 的长是________．18.在ABC 中，90BAC ∠=︒，6AB =，4AC =，D 为AB 中点（如图），E 为射线CA 上一点，将ADE V 沿着DE 翻折得到A DE ' ，点A 的对应点为A '，如果90EA C '∠=︒，那么AE =________．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.计算：2121(2023)184π-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭．20.解不等式组：632,22(1)511,x x x x +⎧-≤⎪⎨⎪+<+⎩并把解集在数轴上表示出来．21.如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为点D ，DE AC ∥，4cos 5C =，10AC =，2BE AE =．（1）求BD 的长；（2）求BDE 的面积．22.购物节期间，A 、B 两家网店分别推出了促销活动，A 店活动：当购买的商品总金额在200元及以内，不享受折扣，当购买的商品总金额超过200元，超过200元的金额打a 折，A 店购物的实付总金额y (元)与商品总金额x (元)之间的函数关系如图所示；B 店活动：所有商品直接打七折．（1）当A 店购买的商品总金额超过200元时，求出y 与x 之间的函数解析式；（2）A 店推出的促销活动中：=a ________；（3）某公司计划购买某种型号的优盘，采购员发现A 店的单价要比B 店的单价贵1元，如果购买相同数量的优盘，在A 800元，而在B 店的实付总金额是819元．请求出A 店这种型号优盘的单价．23.已知：如图，四边形ABCD 中，AB CD ∥，90BAD ∠=︒，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 在边BC 上，AE BD ⊥，垂足为点F ，AB DC BF BD ⋅=⋅．（1）求证：四边形ABCD 为矩形；（2）过点O 作OG AC ⊥交AD 于点G ，求证：2EC DG =．24.在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线22y ax x c =-+（0a ≠）与x 轴交于点()1,0A -和(3,0)B ，与y 轴交于点C ．抛物线的顶点为点D ．（1）求抛物线的表达式，并写出点D 的坐标；（2）将直线BC 绕点B 顺时针旋转，交y 轴于点E ．此时旋转角EBC ∠等于ABD ∠．①求点E 的坐标；②二次函数2221y x bx b =++-的图象始终有一部分落在ECB 的内部，求实数b 的取值范围．25.如图，半圆O 的直径4AB =，点C 是 AB 上一点（不与点A 、B 重合），点D 是 BC 的中点，分别连接AC 、BD ．（1）当AC 是圆O 的内接正六边形的一边时，求BD 的长；（2）设AC x =，BD y =，求y 与x 之间的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）定义：三角形一边上的中线把这个三角形分成两个小三角形，如果其中有一个小三角形是等腰三角形，且这条中线是这个小三角形的腰，那么这条中线就称为这个三角形的中腰线．分别延长AC 、BD 相交于点P ，连接PO ．PO 是PAB 的中腰线，求AC 的长．九年级第二学期数学自适应练习一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】【1题答案】A 【2题答案】C 【3题答案】B 【4题答案】C 【5题答案】D 【6题答案】C二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【7题答案】(+2)(-2)x x 【8题答案】3【9题答案】2x =【10题答案】94【11题答案】100y x =【12题答案】8【13题答案】2【14题答案】30【15题答案】13【16题答案】2433b a+【17题答案】4116【18题答案】32或6三、解答题：（本大题共7题，满分78分）【19题答案】16-【20题答案】32x -<≤【21题答案】（1）16BD =（2）32【22题答案】（1）()3802005y x x =+>（2）6（3）40元【24题答案】（1）2=23y x x --，()1,4D -（2）①()0,1E ；②4b -<<【25题答案】（1）2BD =（2）y =()04x <<（3）AC 的长为1或3。
沪教版初三数学二模试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 若一个数的平方是100，则这个数是（）A. 10或-10B. 10C. -10D. 10或-1002. 下列函数中，y是x的一次函数是（）A. y = x^2 + 1B. y = 2x + 3C. y = √xD. y = 1/x3. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，若∠BAC=40°，则∠ABC的度数是（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°4. 下列各组数中，成等差数列的是（）A. 1, 3, 5, 7B. 1, 2, 4, 8C. 1, 4, 9, 16D. 1, 3, 6, 105. 下列各式中，能化为完全平方公式的是（）A. (a+b)^2B. (a-b)^2C. (a+b)^3D. (a-b)^36. 在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于原点的对称点是（）A. （2，3）B. （-2，-3）C. （3，2）D. （-3，-2）7. 若直角三角形的两条直角边分别为3和4，则斜边的长度是（）A. 5B. 7C. 9D. 128. 下列各式中，分式有意义的条件是（）A. 分子分母同时为0B. 分子为0，分母不为0C. 分母为0D. 分子分母同时不为09. 下列各数中，是无理数的是（）A. √4B. √9C. √16D. √2510. 在一次函数y=kx+b（k≠0）中，若k<0，则函数图象（）A. 通过一、二、三象限B. 通过一、二、四象限C. 通过一、三、四象限D. 通过一、二、四象限二、填空题（每题5分，共50分）1. 若x=3，则x^2-5x+6=______。
2. 2a^2b^3除以ab^2等于______。
3. 在等腰三角形ABC中，若AB=AC=5，BC=8，则底角∠B的度数是______。
4. 下列数中，有最小正整数解的是______。
5. 若y=2x-1，则x=______时，y=1。
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上海市中考数学二模试卷（I）卷
一、选择题 (共10题；共20分)
1. （2分）-5的绝对值是（）
A . 5
B . 5
C . ±5
D . -
2. （2分）若（|a|﹣1）0=1，则下列结论正确的是（）
A . a≠0
B . a≠1
C . a≠﹣1
D . a≠±1
3. （2分）如图，将一个可以自由旋转的转盘等分成甲、乙、丙、丁四个扇形区域，若指针固定不变，转动这个转盘一次（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止），则指针指在甲区域内的概率是（）
A . 1
B .
C .
D .
4. （2分）如图，△ABC中，∠C=80°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（）
A . 360°
B . 260°
C . 180°
D . 140°
5. （2分）下列说法正确的是（）
A . a一定是正数
B . 绝对值最小的数是0
C . 相反数等于自身的数是1
D . 绝对值等于自身的数只有0和1
6. （2分）已知一元二次方程x2+bx+c=0的两根分别是2+ 和2﹣，则b、c 的值为（）
A . 4、1
B . ﹣4、1
C . ﹣4、﹣1
D . 4、﹣1
7. （2分）如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，且点D，E分别是AC，AB的中点，
若作半径为3的⊙C，则下列选项中的点在⊙C外的是（）
A . 点B
B . 点D
C . 点E
D . 点A
8. （2分）如图，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC平行于x轴，分别交y= （x＞0）、y= （x＜0）的图象于B、C两点，若△ABC的面积为2，则k值为（）
A . ﹣1
B . 1
C .
D .
9. （2分）如图，△ABC中，∠BAC=45°，∠ACB=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1 ，当点C1、B1、C三点共线时，旋转角为α，连接BB1 ，交AC于点D．下列结论：①△AC1C为等腰三角形；②△AB1D∽△BCD；③α=75°；④CA=CB1 ，其中正确的
是（）
A . ①③④
B . ①②④
C . ②③④
D . ①②③④
10. （2分）若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，如2的差倒数是
＝﹣1，﹣1的差倒数为＝，现已知x1＝，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，依此类推，则x2019的值为（）
A . ﹣
B . ﹣2
C . 3
D . 4
二、填空题 (共6题；共6分)
11. （1分）计算cos60°=________．
12. （1分）若x2﹣ax﹣15=（x+1）（x﹣15），则a=________．
13. （1分）在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是________
14. （1分）去年“双11”购物节的快递量暴增，某快递公司要在街道旁设立一个派送还点，向A，B两居民区投送快递，派送点应该设在什么地方，才能使它到A，B的距离之和
最短？快递员根据实际情况，以街道为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得坐标A（﹣2，2）、B（6，4），则派送点的坐标是________
15. （1分）若抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值为________
16. （1分）若a,b,c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：
①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以，，的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三
角形；④以 , , 的长为边的三条线段能组成直角三角形，正确结论的序号为________．
三、解答题 (共8题；共95分)
17. （5分）先化简，再求值：，其中．
18. （5分）解不等式组：．
19. （20分）某校组织了一次初三科技小制作比赛，有A、B、C、D四个班共提供了100件参赛作品．C班提供的参赛作品的获奖率为50%，其他几个班的参赛作品情况及获奖情况绘制在下列图①和图②两幅尚不完整的统计图中．
（1）B班参赛作品有多少件？
（2）请你将图②的统计图补充完整；
（3）通过计算说明，哪个班的获奖率高？
（4）将写有A、B、C、D四个字母的完全相同的卡片放人箱中，从中一次随机抽出两张卡片，求抽到A、B两班的概率．
20. （5分）某学校的校门是伸缩门（如图1），伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°（如图2）；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°（如图3）．问：校门打开了多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin5°≈0.0872，cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736，cos10°≈0.9848）．
21. （20分）如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．
（1）求证：CP=AQ；
（2）求证：CP=AQ；
（3）若BP=1，PQ=2 ，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．
（4）若BP=1，PQ=2 ，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．
22. （15分）在▱ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG.
（1）如图1，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；
（2）如图2，当EF与AB相交时，若∠EAB=α（0°＜α＜90°），请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系（用含α的式子表示）；
（3）如图3，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论.
23. （10分）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表是某市的电价标准（每月）.
阶梯一户居民每月用电量x（单位：度）电费价格（单位：元/度）
一档0＜x≤180a
二档180＜x≤280b
三档x＞2800.82
（1）已知小华家四月份用电200度，缴纳电费105元；五月份用电230度，缴纳电费122.1元，请你根据以上数据，求出表格中a，b的值；
（2）六月份是用电高峰期，小华家计划六月份电费支出不超过208元，那么小华家六月份最多可用电多少度？
24. （15分）如图，直线y=﹣x﹣4与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，其中A，B 两点的横坐标分别为﹣1和﹣4，且抛物线过原点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在坐标轴上是否存在点C，使△ABC为等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点P是线段AB上不与A，B重合的动点，过点P作PE∥OA，与抛物线第三象限的部分交于一点E，过点E作EG⊥x轴于点G，交AB于点F，若S△BGF=3S△EFP ，求
的值．
参考答案一、选择题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共6题；共6分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共8题；共95分)
17-1、
18-1、
19-1、
19-2、
19-3、
19-4、
20-1、
21-1、21-2、
21-3、21-4、
22-1、
22-2、
22-3、23-1、
23-2、
24-1、
24-2、
24-3、。