专题63 事件的关系与概率运算-备战2019年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展(解析版)

专题63 事件的关系与概率运算

【热点聚焦与扩展】

纵观近几年的高考试题，概率是高考热点之一，以实际问题为背景，考查概率的计算以及分析、推理能力.难度控制在中等以下．

本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明. 1、事件的分类与概率：

（1）必然事件：一定会发生的事件，用Ω表示，必然事件发生的概率为100% （2）不可能事件：一定不会发生的事件，用∅表示，不可能事件发生的概率为0%

（3）随机事件：可能发生也可能不发生的事件，用字母,,A B C 进行表示，随机事件的概率[]0,1P ∈ 2、事件的交并运算：

（1）交事件：若事件C 发生当且仅当事件A 与事件B 同时发生，则称事件C 为事件A 与事件B 的交事件，记为A

B ，简记为AB

多个事件的交事件：12n A A A ：事件12,,,n A A A 同时发生

（2）并事件：若事件C 发生当且仅当事件A 与事件B 中至少一个发生（即A 发生或B 发生），则称事件C 为事件A 与事件B 的并事件，记为A B

多个事件的并事件：1

2n A A A ：事件12,,,n A A A 中至少一个发生

3、互斥事件与概率的加法公式：

（1）互斥事件：若事件A 与事件B 的交事件A

B 为不可能事件，则称,A B 互斥，即事件A 与事件B 不

可能同时发生.例如：投掷一枚均匀的骰子，设事件“出现1点”为事件A ，“出现3点”为事件B ，则两者不可能同时发生，所以A 与B 互斥 （2）若一项试验有n 个基本事件：12,,

,n A A A ，则每做一次实验只能产生其中一个基本事件，所以

12,,,n A A A 之间均不可能同时发生，从而12,,,n A A A 两两互斥

（3）概率的加法公式（用于计算并事件）：若,A B 互斥，则有 例如在上面的例子中，事件A B 为“出现1点或出现3点”由均匀的骰子可得()()1

6

P A P B ==

，所以根据加法公式可得：()()()13

P A

B P A P B =+=

（4）对立事件：若事件A 与事件B 的交事件A B 为不可能事件，并事件A

B 为必然事件，则称事件B

为事件A 的对立事件，记为B A =，也是我们常说的事件的“对立面”，对立事件概率公式：

()()

1P A P A =-，关于对立事件有几点说明：

① 公式的证明：因为,A A 对立，所以A

A =∅，即,A A 互斥，而A A =Ω，所以

()(

)()()P P A

A P A P A Ω==+，因为()1P Ω=，从而()()

1P A P A =-

② 此公式也提供了求概率的一种思路：即如果直接求事件A 的概率所讨论的情况较多时，可以考虑先求其对立事件的概率，再利用公式求解 学科：网

③ 对立事件的相互性：事件B 为事件A 的对立事件，同时事件A 也为事件B 的对立事件

④ 对立与互斥的关系：对立关系要比互斥关系的“标准”更高一层.由对立事件的定义可知：,A B 对立，则,A B 一定互斥；反过来，如果,A B 互斥，则不一定,A B 对立（因为可能A B 不是必然事件）

4、独立事件与概率的乘法公式：

（1）独立事件：如果事件A （或B ）发生与否不影响事件B （或A ）发生的概率，则称事件A 与事件B 相互独立.例如投掷两枚骰子，设“第一个骰子的点数是1”为事件A ，“第二个骰子的点数是2”为事件B ，因为两个骰子的点数不会相互影响，所以,A B 独立

（2）若,A B 独立，则A 与B ，B 与A ，A 与B 也相互独立

（3）概率的乘法公式：若事件,A B 独立，则,A B 同时发生的概率()()()P AB P A P B =⋅ ，比如在上面那个例子中，()()11

,66

P A P B =

=，设“第一个骰子点数为1，且第二个骰子点数为2”为事件C ，则()()()()1

36

P C P AB P A P B ==⋅=.

（4）独立重复试验：一项试验，只有两个结果.设其中一个结果为事件A （则另一个结果为A ），已知事件

A 发生的概率为p ，将该试验重复进行n 次（每次试验结果互不影响），则在n 次中事件A 恰好发生k 次的

概率为()

1n k

k k

n P C p p -=-

① 公式的说明：以“连续投掷3次硬币，每次正面向上的概率为1

3

”为例，设i A 为“第i 次正面向上”，由均匀的硬币可知()1

2

i P A =

，设B 为“恰好2次正面向上”，则有：()()()()

123123123P B P A A A P A A A P A A A =++

而()()()

2

1231231231122P A A A P A A A P A A A ⎛⎫⎛⎫

=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

② k

n C 的意义：是指在n 次试验中事件A 在哪k 次发生的情况总数，例如在上面的例子中“3次投掷硬币，两次正面向上”，其中23C 代表了符合条件的不同情况总数共3种

5、条件概率及其乘法公式： （1）条件概率：

（2）乘法公式：设事件,A B ，则,A B 同时发生的概率()()()|P AB P A P B A =⋅ （3）计算条件概率的两种方法：（以计算()|P B A 为例）

① 计算出事件A 发生的概率()P A 和,A B 同时发生的概率()P AB ，再利用()()()

|P AB P B A P A =

即可计算

② 按照条件概率的意义：即B 在A 条件下的概率为事件A 发生后，事件B 发生的概率.所以以事件A 发生后的事实为基础，直接计算事件B 发生的概率 6、两种乘法公式的联系：

独立事件的交事件概率：()()()P AB P A P B =⋅ 含条件概率的交事件概率：()()()|P AB P A P B A =⋅

通过公式不难看出，交事件的概率计算与乘法相关，且事件,A B 通常存在顺承的关系，即一个事件发生在另一事件之后.所以通过公式可得出这样的结论：交事件概率可通过乘法进行计算，如果两个事件相互独立，则直接作概率的乘法，如果两个事件相互影响，则根据题意分出事件发生的先后，用先发生事件的概率乘以事件发生后第二个事件的概率（即条件概率）

【经典例题】

例1.【2018年全国卷Ⅲ文】若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 【答案】B

【解析】分析：由公式

计算可得

详解：设设事件A 为只用现金支付，事件B 为只用非现金支付，

则

因为

所以

故选B.