高中数学：2等比数列的性质

桑植县贺龙中学集体备课电子教案
高一年级数学备课组（总第课时）主备人：田露时间：年月日
“子数列”性质
【问题导思】
1．将等比数列{a n}中的前k项去掉，剩余各项组成一个新数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
【提示】是．首项为a k＋1，公比为q.
2．取出等比数列{a n}中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
【提示】是．首项为a1，公比为q2.
3．如果取出数列{a n}中所有k的倍数项呢？
【提示】是．首项为a k，公比为q k.
对于无穷等比数列{a n}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为a k＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列为等比数列，首项为a k，公比为q k.
“下标和”性质
【问题导思】
给出以下两个等比数列{a n}：
(1)1,2,4,8，…；
(2)1，－3,9，－27，….
1．在上述每一个数列中，请你计算a2·a6与a3·a5的值，看它们有什么关系？若计算a1·a5与a2·a4呢？
【提示】a2·a6＝a3·a5；a1·a5＝a2·a4.
2．在上述每一个数列中，a2·a6，a3·a5的值与a4的值有什么关系？a1·a5，a2·a4与a3的值呢？
【提示】a2·a6＝a3·a5＝a24，a1·a5＝a2·a4＝a23.
在公比为q的等比数列{a n}中：
若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，
则a m·a n＝a p·a q＝a2k.
等比数列的性质的应用
(1)在等比数列{a n }中，若a 2＝2，a 6＝162，求a 10；
(2)在等比数列{a n }中，a n ＞0，若a 1a 2a 3…a 2012＝2
2012
，求a 2·a 2011.
【思路探究】 (1)由a 2＝2，a 6＝162，能不能建立关于a 1，q 的方程组解出a 1，q 的值进而求出a 10呢？用等比数列的性质能解决吗？(2)考虑性质若“m ＋n ＝p ＋q ，则
a m ·a n ＝a p ·a q ”，你能不能得出a 2·a 2 011的值？
1．本例(1)的解法很多，其通法是用等比数列基本量的运算，但是这种方法有时会很麻烦，遇到此类问题时应优先考虑结合性质，以化繁为简．
2．等比数列的性质中，尤其以“下标和”性质应用最多，最灵活，但使用时一定要区别其与等差数列“下标和”性质的不同，以免混淆致误，比较如下表：
等差数列 等比数列
条件 m ＋n ＝p ＋q ＝2k
结论
a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k
a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k
已知正数等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1·a 2·a 3＝8，求a n .
有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，第一个数与
第四个数之和为16，第二个数与第三个数之和为12，求这四个数．
【思路探究】 (1)如何根据已知条件列出方程组求解问题？(2)怎样使列出的方程组求解简单呢？设未知量时有何技巧？
巧设等差数列、等比数列的方法
1．若三数成等差数列，常设成a －d ，a ，a ＋d .若三数成等比数列，常设成a
q
，a ，
aq 或a ，aq ，aq 2.
2．若四个数成等比数列，可设为a
q
，a ，aq ，aq 2
.若四个正数成等比数列，可设为a q
3，
a
q
，aq，aq3.
三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数
成等差数列，求这三个数．
等差、等比数列的综合问题
已知数列{a n}与等比数列{b n}满足b n＝2a n，n∈N*.
(1)判断{a n}是什么数列，并给予证明；
(2)若a8＋a13＝
1
2
，求b1·b2·…·b20的值．
【思路探究】 (1)怎样判断一个数列是等差数列还是等比数列？若{a n}是等差数
列，需要证明a n－a n－1为常数，由b n＝2a n你能产生a n的表达式吗？
(2)等比数列与等差数列的“下标和”性质是怎样描述的？它在具体题目中应怎
样运用？
等比数列与等差数列的区别与联系：
等差数列等比数列
(1)强调每一项与前一项的差；(2)a1和d可以为
零；(3)等差中项唯一.
(1)强调每一项与前一项的比；(2)a1与q均
(3)等比中项有两个值．
(1)都强调每一项与前一项的关系；
(2)结果都必须是常数；
(3)数列都可以由a1，d或a1，q确定．
(1)若{a n}为正项等比数列，则{log a a n}为等差数
列；
(2){a n}为等差数列，则{ba n}为等比数列.
已知等差数列{a n}中a2＝3,4S2＝S4(S n是{a n}的前n项和)，
(1)求证：数列{2a n}是等比数列；
(2)求使S n＋2>2S n成立的n的集合．
方程思想在等比数列中的应用
(12分)等比数列{a n}是递增数列，若a5－a1＝60，a4－a2＝24，求公比q.
【思路点拨】用a1，q分别表示a2，a4，a5，解方程组求出q，注意所求值是否需要舍去．
将等比数列中的项或前n项和用基本量a1和q来表示得到方程或方程组，然后求解是解决等比问题的基本思想和方法．
小结
1．在准确掌握等比数列的定义及通项公式的前提下认识等比数列的性质，可以提高解题速度与解题的准确率．
2．对于等比数列基本量之间的运算应先考虑是否能用性质解决，然后再考虑是否能列出关于a1，d的方程组.。