反比例函数几何性质(教师版)

k ( x ) x
.
k 2 ，即 x 4 x k 0 x
解得 x1 2 4 k , x2 2 4 k ∴ x1 x2 2 4 k 2 ，解得 k 3 法二：由题意得： A(0,4)，B(4,0) ∴ OA OB 4 ，作 CQ ∥ y 轴， DQ ∥ x 轴 ∴ △ AOB ∽ △CQD ∴
反比例函数几何性质
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反比例函数相关的几何性质【教师版】
1.请用“尽可能多”的方法解决： 如图，直线 y x 交坐标轴于点 A 、 B ，反比例函数 y 图象交直线 AB 于点 C 、 D ，且 AB CD ， 则 k 的值为 解：法一：作 CM x轴于 M，DQ CM于Q 由题意得： A(0,4)，B(4,0) ∴ OA OB 4, AB 4 2 ， ABO 45 ∵ AB 2CD ∴ CD 2 2 ， CQ DQ 2 联立 y x 4和y
图1
图2
图3
答案（1）1：1 （2）1：3 （3）① 1：（n-1） ② 平行 EN=MD 解析：
1
③
连接 OM，OB，ON, s△ AOM
k k ，s△ AOB 1 ， 2 2
k S△ AOM k AM CN k ，同理， 2 CB k1 S△ AOB k1 k1 AB 2 AM CN 1 , AB CB n CN : NB 1（ : n - 1）
CQ DQ CD 1 AO BO AB 2
∴ CQ DQ 2 ,设 C (a, b), D(a 2, b 2) ∵ k ab (a 2)(b 2) ，∴ b a 2 ① ∵ C (a, b) 在直线 AB 上，∴ b a 4 ② ①-②得 a 1 ，∴ b 3 ,∴ k ab 3 法三：作 CE y轴于 E ，设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 ) 由题意得： A(0,4)，B(4,0) ， ABO 45 联立 y x 4和y
k 得 k 1 3 3 x
1
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2.探究： (1)如图，双曲线 y
k 与矩形 OABC 边交于点 M 、 N ，直线 MN 交坐标轴于点 D 、 E . x ①如图 1，若 AM : AB : ，则 CN : NB ； ②如图 2，若 AM : AB : ，则 CN : NB ； ③如图 2，若 AM : AB : n ，则 CN : NB ，直线 MN 与 AC 的位置关 系是 ， EN 与 MD 的大小关系 .
k 交直线 AB 于点 x
C 、 D . 若 CD AB ，则 k 的值为
a b
；
简解：设 C（a， k ）、D（b， k ），则 S△CEF=S△DEF ∴EF∥CD，证明四边形 CEFA、EFDB 是均为平行四边形∴CA=EF=BD ∵CD=2AB，∴AB=2BD， 又直线 AB 的解析式为 y=-x＋2 AB OB ∴OB=2, 由 = 得：FD=3，∴D 点的横坐标为 3， AD FD 将 D 点横坐标代入直线解析式，可得 D（3，-1）；∴k= -3 (2)如图，若直线 y x b 交坐标轴于点 A 、 B ，反比例函数
k 2 ，即 x 4 x k 0 x
∴ x1 x2 4 ，又∵ x A x B 4 ∴ x1 x A x B x2 ，∴ AC BD ∵ AB 2CD ，∴
CE AC 1 OB AB 4
xC 1 ，代入 y x 4 得 C (1,3) 代入 y
∴ MN//AC （2）过 N 作 NP⊥OE 于 P，过 M 作 MQ⊥OD 于 Q，AM，CN 交于 F， ∴△NFM∽△MQD ∴
NF FM = MQ QD
即
（
k k k ）/（ ）=（y-x）/（QD） y y x
∴QD=x=PN ∴EN=MD
∴△EPN≌△MQD
②如图，双曲线 y
k 与直线 EF 交于点 M 、 N ， MA y 轴于 A ， MC y 轴于 C ， x
ND y 轴于 D ， NB x 轴于 B ，请探究直线 MN 与 AB 、 CD 的位置
关系， 线段 ME 与 FN 的大小关系. 解：∵S△ABN=S△BON=
k =S△AOM=S△ABM， 2
∴MN∥AB，同理，MN∥CD； ∵MN∥CD，MC∥OD，DN∥CF， ∴平行四边形 CDEM，平行四边形 CDNF， ∴ME=CD=FN． 3.变式探究： (1)如图，直线 y x 交坐标轴于点 A 、 B ，双曲线 y
② ③ 由①可知 △BNM ~△BCA， NM//AC 由①②可知
CN EN AM DM BN MN BM MN EN DM
(2)①如图，双曲线 y
k 与直线 DE 交于点 M 、 N ， MA y 轴于点 x A ， NC x 轴于点 C ，请探究直线 MN 与 AC 的位置关系，线段 EN 与 MD 的大小
y
. 解：①过点 C、D 作 y 轴的垂线段，垂足分别为 E、F，过 C 点作 x 轴的垂线段，垂足为 G,设 C(x1,y1)，D(x2,y2)，由△ACE∽△ADF 知 CE： DF=AC:AD=1：3，即 x2=3x1, 易证△ADF 等腰直角三角形，DF=x2 =3， x1=，联立 y x b 和 y 可得 x2-bx+k=0，∴x1x2=k，故 k=6 x ②同①，AC= x1 ,AD= x2 ，AC·AD=2 x1x2=2k=8，k=4 ③同①，A(0，b),B(b，0)，AB=
关系. 解：MN∥AC，EN=MD，理由如下： 设 N（x，
k k k ），M（y， ）∴ A（0， ），C（x，0） y y x k k k k k k AC =（ - 0）/（0 - x）=）/（x-y）= = k MN y xy , y xy x
2
∴ k MN =（
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