常微分答案

常微分答案

参考答案以及评分标准

一．填空题：

1．⎪

⎭⎫ ⎝⎛⎰+⎰-⎰

=c dx dx

x P e x Q dx x P e y )()()(

2. .

],[,0)

()()

()

(')(')

(')

()()

()](,),([)1()1(2)1(121211b a x x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y W n n n n n n n ∈∀≠=

---

3. t

e t e t t sin ,

cos 22

4. ()x D Cx x B Ax e x

2sin )(2cos )(3+++

5. ds s f S t t

t )()()(0

1⎰-ΦΦ

二．计算题：

1. 解：原方程不是未知函数y 的线性方程，但可以将它改写为

,22

y

y x dy dx -=

即

.2

y x y

dy dx -= 3分

于是所求得的通解为

|).

|ln ()()()(2

y c y c dy dy y P e y Q dy y P e x -=⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎰+⎰-⎰

= 6分

2．解 由于x

N xy y

M

∂∂=

=∂∂2，所以原方程是全微

分方程． 2分

取)0,0(),(0

=y x ，原方程的通积分为

1

30

2

3d d )(C y y x xy x y

x

=++⎰⎰

5分 即

C

y y x x =++42242.

6分

3．解 令t y ='，则原方程的参数形式为

⎩⎨

⎧='+=t

y t x t e

2分

由基本关系式

t t x y y t

d )

e 1(d d +='=

积分有

C t t y t +-+=

)1(e 2

12

4分

得原方程参数形式通解 ⎪

⎩

⎪⎨⎧+-+=+=C t t y t x t t )1(e 21e 2 . 6

分

4．解：令z y ='直接计算可得dy

dz z

y ="，于是原方

程化为

02=+z dy

dz

yz

， 2分

得到0=z 或

0=+z dx

dz

y

， 4分

积分后得到y c z =

，即y

c dx dy =，

所以)21(212

c c c x c y =+=，这就是原方程的通解. 6分

5．解 方程的特征根为01=λ，52

=λ，

齐次方程的通解为

x

C C y 521e +=. 4分

因为i i 5±=±βα不是特征根。所以，设非齐次方

程的特解为

x

B x A x y 5cos 5sin )(1+= 6分

代入原方程，比较系数得

⎩⎨

⎧=--=+-025*******B A B A

确定出

50

1

-

=A ， 50

1=

B 。 8分

原方程的通解为 )5sin 5(cos 50

1

e 521x x C C y x -+

+= 。

10分

6. 解：齐次方程.1,0,0-==+λx x

通解为

t

e c c x -+=21

4分

t x x

sin =+ ，设x

b x a x

sin cos 1

+=，

2

1

-=

=b a ， 6

分

t x x

2cos -=+ ，设x

d x c x

2sin 2cos 2

+=，

10

22=

-=b a ， 8

分 故

x

x x x e c c x t 2sin 101

2cos 102)sin (cos 2121-++-+=-

1

2

10分 7. 存在区间为.4

141≤≤-x 3分 下面求二次近似解： 7分 由于 且

故 12

1

41!328.|)()(|3

22=

⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯≤-x x ϕϕ

8．解：3

,0,

0)3(40

1

410

0112-==+-=------λλλλ

λλ（二重根）

2分

,

8),(),(==∈y x f Max M R

y x 这里y

y

f 2=∂∂,

0)(0=x ϕ⎰+=x dx x x x 0

2021)]([)(ϕϕ3

3

x

=⎰+=x

dx

x x x 0

2

122)]([)(ϕϕ⎰+=x

dx x x 062

]9[6337

3x x +=L

=≤21

)!

1()()(++≤-n n n h

n ML x x ϕϕ