中考数学中考最后压轴题训练---折叠旋转问题 完整 优质 新颖

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---折叠旋转问题

一．折叠类

1. （13江苏徐州卷）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 中，边2AB =，边1AD =，且AB 、AD 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点A 与坐标原点重合．将矩形折叠，使点A 落在边DC 上，设点A '是点A 落在边DC 上的对应点．

（1）当矩形ABCD 沿直线12

y x b =-+折叠时（如图1）， 求点A '的坐标和b 的值；

（2）当矩形ABCD 沿直线y kx b =+折叠时， ① 求点A '的坐标（用k 表示）；求出k 和b 之间的关系式；

② 如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分 为如图2、3、4所示的三种情形，

请你分别写出每种情形时k 的取值范围．

（将答案直接填在每种情形下的横线上）

（——当如图1、2折叠时，求D A '的取值范围？）

k 的取值范围是

； k 的取值范围是 ；k 的取值范围是 ；

[解] （1）如图答5，设直线12y x b =-+与OD 交于点E ，与OB 交于点F ，连结A O '，则 OE = b ，OF = 2b ，设点A '的坐标为（a ，1）

因为90DOA A OF ''∠+∠=︒，90OFE A OF '∠+∠=︒，

所以DOA OFE '∠=∠，所以△DOA '∽△OFE ．

所以DA DO OE OF '=，即12a b b =，所以12

a =． 所以点A '的坐标为（12

，1）． 连结A E '，则A E OE b '==．

在R t △DEA '中，根据勾股定理有222A E A D DE ''=+ ，

即2221()(1)2b b =+-，解得58

b =．

第 2 页 共 34 页 （2）如图答6，设直线y kx b =+与OD 交于点E ，与OB 交于点F ，连结A O '，则

OE = b ，b OF k

=-，设点A '的坐标为（a ，1）． 因为90DOA A OF ''∠+∠=︒，90OFE A OF '∠+∠=︒．

所以DOA OFE '∠=∠，所以△DOA '∽△OFE ． 所以DA DO OE OF

'=，即1a b b k

=-，所以a k =-． 所以A '点的坐标为（k -，1）．

连结A E '，在Rt △DEA '中，DA k '=-，1DE b =-，A E b '=．

因为222A E A D DE ''=+，

所以222

()(1)b k b =-+-．所以212k b +=． 在图答6和图答7中求解参照给分．

（3）图13﹣2中：21k -≤≤-；

图13﹣3中：1-≤k

≤2-+

图13﹣4

中：20k -≤

[点评]这是一道有关折叠的问题，主要考查一次函数、四边形、相似形等知识，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会。

2. （13广西钦州卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 为原点，E 为AB 上一点，把CBE △沿CE 折叠，使点B 恰好落在

OA 边上的点D 处，点A D ，的坐标分别为(50)，和(30)，．

（1）求点C 的坐标；

（2）求DE 所在直线的解析式；

（3）设过点C 的抛物线22(0)y x c b =+<与直线BC 的另一个交点为M ，问在该抛物线上是否存在点G ，使得CMG △为等边三角形．若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由． [解] （1）根据题意，得5

3CD CB OA OD ====，， 90COD =∠，4OC ∴=．

∴点C 的坐标是(04)，；