7.2 命题与充要条件(命题的否定)
四种命题及充要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇒/ p
p是q的必要不充分条件
p⇒/ q且q⇒p
p是q的既不充分也不必要条件 p⇒/ q且q⇒/ p
集合法:A={x|p(x)},B={x|q(x)} ⑨ A⊆B A⊇B A=B ⑩ A⫋B A⫌B A⊈B且A⊉B
拓展延伸
1.否命题与命题的否定的区别:
(1)否命题是对原命题的条件和结论同时否定;
词语 (=)
(>)
(<)
都是
任意的 所有的 至多有 至少有 一个 一个
否定 词语
不等于 不大于 不小于 不是
(≠)
(≤)
(≥)
不都是 某个
某些
至少有 一个也 两个 没有
方法技巧
方法 1 四种命题及其真假的判定方法
1.命题真假的判定 给出一个命题,要判定它是真命题,需经过严格的推理证明;而要说明它 是假命题,只需举一反例即可. 2.四种命题的关系的应用 掌握原命题和逆否命题,否命题和逆命题的等价性,当直接判断一个命 题的真假不易进行时,可以判断其逆否命题的真假. 例1 (2017广东肇庆一模,5)原命题:设a、b、c∈R,若“a>b”,则“ac2> bc2”,以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题共有 ( C ) A.0个 B.1个 C.2个 D.4个
例5 设命题p:|4x-3|≤1,命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若¬p是¬q的必要
不充分条件,则实数a的取值范围是 ( A )
A. 0, 12
C.(-∞,0]∪ 12 ,
解题导引
B. 0, 12
D.(-∞,0)∪ 12 ,
命题及其关系、充分条件与必要条件
命题及其关系、充分条件与必要条件1.命题2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系:(2)四种命题中真假性的等价关系:原命题等价于逆否命题,原命题的否命题等价于逆命题.在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3.充要条件p ⇒q 且q ppq 且q ⇒p p ⇔qpq 且qp1.下列命题是真命题的为( ) A .若1x =1y ,则x =y B .若x 2=1,则x =1 C .若x =y ,则x =yD .若x <y ,则x 2<y 2解析:选A 由1x =1y 易得x =y ;由x 2=1,得x =±1;若x =y <0,则x 与y 均无意义; 若x =-2,y =1,虽然x <y ,但x 2>y 2. 所以真命题为A.2.已知集合A ={1,m 2+1},B ={2,4},则“m =3”是“A ∩B ={4}”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A A ∩B ={4}⇒m 2+1=4⇒m =±3,故“m =3”是“A ∩B ={4}”的充分不必要条件.3.已知命题:若m >0,则方程x 2+x -m =0有实数根.则其逆否命题为________________________________________________________________________.答案:若方程x 2+x -m =0无实根,则m ≤01.易混淆否命题与命题的否定:否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是只否定命题的结论.2.易忽视A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B ⇒/A )与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且A ⇒/B )两者的不同.[小题纠偏]1.设x ∈R ,则“x >1”是“x 3>1”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选C ∵x >1,∴x 3>1,又x 3-1>0,即(x -1)(x 2+x +1)>0,解得x >1,∴“x >1”是“x 3>1”的充要条件.2.“在△ABC 中,若∠C =90°,则∠A ,∠B 都是锐角”的否命题为:________________.解析:原命题的条件:在△ABC 中,∠C =90°, 结论:∠A ,∠B 都是锐角.否命题是否定条件和结论. 即“在△ABC 中,若∠C ≠90°,则∠A ,∠B 不都是锐角”. 答案:在△ABC 中,若∠C ≠90°,则∠A ,∠B 不都是锐角考点一 命题及其相互关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.命题“若a2>b2,则a>b”的否命题是()A.若a2>b2,则a≤b B.若a2≤b2,则a≤bC.若a≤b,则a2>b2D.若a≤b,则a2≤b2解析:选B根据命题的四种形式可知,命题“若p,则q”的否命题是“若綈p,则綈q”.该题中,p为a2>b2,q为a>b,故綈p为a2≤b2,綈q为a≤b.所以原命题的否命题为:若a2≤b2,则a≤b.2.命题“若x2+3x-4=0,则x=-4”的逆否命题及其真假性为()A.“若x=4,则x2+3x-4=0”为真命题B.“若x≠4,则x2+3x-4≠0”为真命题C.“若x≠4,则x2+3x-4≠0”为假命题D.“若x=4,则x2+3x-4=0”为假命题解析:选C根据逆否命题的定义可以排除A,D,因为x2+3x-4=0,所以x=4或-1,故原命题为假命题,即逆否命题为假命题.3.(易错题)给出以下四个命题:①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若q≤-1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题;④若ab是正整数,则a,b都是正整数.其中真命题是________.(写出所有真命题的序号)解析:①命题“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,显然①为真命题;②不全等的三角形的面积也可能相等,故②为假命题;③原命题正确,所以它的逆否命题也正确,故③为真命题;④若ab是正整数,但a,b不一定都是正整数,例如a=-1,b=-3,故④为假命题.答案:①③[谨记通法]1.写一个命题的其他三种命题时的2个注意点(1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;(2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.如“题组练透”第3题②易忽视.2.命题真假的2种判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断.(2)利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题的等价关系进行判断.考点二充分必要条件的判定(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1.设a,b是非零向量,“a·b=|a||b|”是“a∥b”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A a·b=|a||b|cos〈a,b〉.而当a∥b时,〈a,b〉还可能是π,此时a·b=-|a||b|,故“a·b=|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件.2.设x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A|x-2|<1⇔1<x<3,x2+x-2>0⇔x>1或x<-2.由于{x|1<x<3}是{x|x>1或x<-2}的真子集,所以“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的充分而不必要条件.3.已知条件p:x+y≠-2,条件q:x,y不都是-1,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A因为p:x+y≠-2,q:x≠-1,或y≠-1,所以綈p:x+y=-2,綈q:x=-1,且y=-1,因为綈q⇒綈p但綈p⇒/綈q,所以綈q是綈p的充分不必要条件,即p是q的充分不必要条件.[由题悟法]充要条件的3种判断方法(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断;(2)集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断;(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件,即可转化为判断“x=1且y=1”是“xy=1”的某种条件.[即时应用]1.若p:|x|=x,q:x2+x≥0.则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A设p:{x||x|=x}={x|x≥0}=A,q:{x|x2+x≥0}={x|x≥0或x≤-1}=B,∵A B,∴p是q的充分不必要条件.2.设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A当四边形ABCD为菱形时,必有对角线互相垂直,即AC⊥BD;当四边形ABCD中AC⊥BD时,四边形ABCD不一定是菱形,还需要AC与BD互相平分.综上知,“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.考点三充分必要条件的应用………………………(题点多变型考点——纵引横联) [典型母题]已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S 的必要条件,求m的取值范围.[解]由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,∴P={x|-2≤x≤10},由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P.则{1-m≤1+m,1-m≥-2,1+m≤10,∴0≤m≤3.所以当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件,即所求m的取值范围是[0,3].[类题通法]根据充要条件求参数的值或取值范围的关键:先合理转化条件,常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等,得到关于参数的方程或不等式(组),再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围.[越变越明][变式1] 母题条件不变,问是否存在实数m ,使x ∈P 是x ∈S 的充要条件. 解:若x ∈P 是x ∈S 的充要条件,则P =S ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1-m =-2,1+m =10,∴⎩⎪⎨⎪⎧m =3,m =9,即不存在实数m ,使x ∈P 是x ∈S 的充要条件.[变式2] 母题条件不变,若綈P 是綈S 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围. 解:由母题知P ={x |-2≤x ≤10}, ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件, ∴P ⇒S 且S ⇒/P .∴[-2,10][1-m,1+m ].∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1-m ≤-2,1+m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1-m <-2,1+m ≥10.∴m ≥9,即m 的取值范围是[9,+∞).本题运用等价法求解,也可先求綈P ,綈S ,再利用集合法列出不等式,求出m 的范围.的必要不充分条件,求m 的取值范围.解:记P ={x |(x -m )2>3(x -m )}={x |(x -m )(x -m -3)>0}={x |x <m 或x >m +3},S ={x |x 2+3x -4<0}={x |(x +4)(x -1)<0}={x |-4<x <1},p 是s 成立的必要不充分条件,即等价于SP .所以m +3≤-4或m ≥1,解得m ≤-7或m ≥1. 即m 的取值范围为(-∞,-7]∪[1,+∞).一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1.“(2x -1)x =0”是“x =0”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件[破译玄机]解析:选B 若(2x -1)x =0,则x =12或x =0,即不一定是x =0;若x =0,则一定能推出(2x -1)x =0.故“(2x -1)x =0”是“x =0”的必要不充分条件.2.命题“若α=π4,则tan α=1”的逆否命题是( )A .若α≠π4,则tan α≠1B .若α=π4,则tan α≠1C .若tan α≠1,则α≠π4D .若tan α≠1,则α=π4解析:选C 命题“若α=π4,则tan α=1”的逆否命题是“若tan α≠1,则α≠π4”.3.原命题p :“设a ,b ,c ∈R ,若a >b ,则ac 2>bc 2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )A .0B .1C .2D .4解析:选C 当c =0时,ac 2=bc 2,所以原命题是错误的;由于原命题与逆否命题的真假一致,所以逆否命题也是错误的;逆命题为“设a ,b ,c ∈R ,若ac 2>bc 2,则a >b ”,它是正确的;由于否命题与逆命题的真假一致,所以逆命题与否命题都为真命题.综上所述,真命题有2个.4.已知p :|x |<2;q :x 2-x -2<0,则p 是q 的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选B 由x 2-x -2<0,得(x -2)(x +1)<0,解得-1<x <2;由|x |<2得-2<x <2.注意到由-2<x <2不能得知-1<x <2,即由p 不能得知q ;反过来,由-1<x <2可知-2<x <2,即由q 可得知p .因此,p 是q 的必要不充分条件.5.已知集合A ,B ,全集U ,给出下列四个命题: ①若A ⊆B ,则A ∪B =B ; ②若A ∪B =B ,则A ∩B =B ; ③若a ∈(A ∩∁U B ),则a ∈A ; ④若a ∈∁U (A ∩B ),则a ∈(A ∪B ) 其中真命题的个数为( ) A .1B .2C.3D.4解析:选B①正确;②不正确,由A∪B=B可得A⊆B,所以A∩B=A;③正确;④不正确.二保高考,全练题型做到高考达标1.已知复数z=a+3ii(a∈R,i为虚数单位),则“a>0”是“z在复平面内对应的点位于第四象限”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选C z=a+3ii=-(a+3i)i=3-a i,若z位于第四象限,则a>0,反之也成立,所以“a>0”是“z在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件.2.命题“a,b∈R,若a2+b2=0,则a=b=0”的逆否命题是()A.a,b∈R,若a≠b≠0,则a2+b2=0B.a,b∈R,若a=b≠0,则a2+b2≠0C.a,b∈R,若a≠0且b≠0,则a2+b2≠0D.a,b∈R,若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0解析:选D a=b=0的否定为a≠0或b≠0;a2+b2=0的否定为a2+b2≠0.3.如果x,y是实数,那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析:选C设集合A={(x,y)|x≠y},B={(x,y)|cos x≠cos y},则A的补集C={(x,y)|x=y},B的补集D={(x,y)|cos x=cos y},显然C D,所以B A.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件.4.下列说法正确的是()A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题是“若x2=1,则x≠1”B.“x=-1”是“x2-x-2=0”的必要不充分条件C.命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题是真命题D.“tan x=1”是“x=π4”的充分不必要条件解析:选C由原命题与否命题的关系知,原命题的否命题是“若x2≠1,则x≠1”,即A不正确;因为x2-x-2=0,所以x=-1或x=2,所以由“x=-1”能推出“x2-x-2=0”,反之,由“x 2-x -2=0”推不出“x =-1”,所以“x =-1”是“x 2-x -2=0”的充分不必要条件,即B 不正确;因为由x =y 能推得sin x =sin y ,即原命题是真命题,所以它的逆否命题是真命题,故C 正确;由x =π4能推得tan x =1,但由tan x =1推不出x=π4,所以“tan x =1”是“x =π4”的必要不充分条件,即D 不正确. 5.若条件p :|x |≤2,条件q :x ≤a ,且p 是q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是( )A .a ≥2B .a ≤2C .a ≥-2D .a ≤-2解析:选A 因为|x |≤2,则p :-2≤x ≤2,q :x ≤a ,由于p 是q 的充分不必要条件,则p 对应的集合是q 对应的集合的真子集,所以a ≥2.6.在命题“若m >-n ,则m 2>n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数是________.解析:若m =2,n =3,则2>-3,但22<32,所以原命题为假命题,则逆否命题也为假命题,若m =-3,n =-2,则(-3)2>(-2)2,但-3<2,所以逆命题是假命题,则否命题也是假命题.故假命题的个数为3.答案:37.设等比数列{a n }的公比为q ,前n 项和为S n ,则“|q |=1”是“S 4=2S 2”的________条件.解析:∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ,又S 4=2S 2, ∴a 1+a 2+a 3+a 4=2(a 1+a 2),∴a 3+a 4=a 1+a 2,∴q 2=1⇔|q |=1,∴“|q |=1”是“S 4=2S 2”的充要条件. 答案:充要8.已知p (x ):x 2+2x -m >0,若p (1)是假命题,p (2)是真命题,则实数m 的取值范围为________.解析:因为p (1)是假命题,所以1+2-m ≤0,解得m ≥3;又p (2)是真命题,所以4+4-m >0,解得m <8.故实数m 的取值范围是[3,8).答案:[3,8)9.已知α:x ≥a ,β:|x -1|<1.若α是β的必要不充分条件,则实数a 的取值范围为________. 解析:α:x ≥a ,可看作集合A ={x |x ≥a }, ∵β:|x -1|<1,∴0<x <2, ∴β可看作集合B ={x |0<x <2}. 又∵α是β的必要不充分条件, ∴B A ,∴a ≤0. 答案:(-∞,0]10.已知集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y =x 2-32x +1,x ∈⎣⎡⎦⎤34,2,B ={x |x +m 2≥1}.若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件,求实数m 的取值范围.解:y =x 2-32x +1=⎝⎛⎭⎫x -342+716, ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34,2,∴716≤y ≤2, ∴A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x +m 2≥1,得x ≥1-m 2, ∴B ={x |x ≥1-m 2}.∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件, ∴A ⊆B ,∴1-m 2≤716, 解得m ≥34或m ≤-34,故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤-∞,-34∪⎣⎡⎭⎫34,+∞. 三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1.下列结论错误的是( )A .命题“若x 2-3x -4=0,则x =4”的逆否命题为“若x ≠4,则x 2-3x -4≠0”B .“x =4”是“x 2-3x -4=0”的充分条件C .命题“若m >0,则方程x 2+x -m =0有实根”的逆命题为真命题D .命题“若m 2+n 2=0,则m =0且n =0”的否命题是“若m 2+n 2≠0,则m ≠0或n ≠0”解析:选C C 项命题的逆命题为“若方程x 2+x -m =0有实根,则m >0”. 若方程有实根,则Δ=1+4m ≥0,即m ≥-14,不能推出m >0,所以不是真命题.2.函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,x >0,-2x+a ,x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A .a <0 B .0<a <12C.12<a <1 D .a ≤0或a >1解析:选A 因为函数f (x )过点(1,0),所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y =-2x+a (x ≤0)没有零点⇔函数y =2x (x ≤0)与直线y =a 无交点.数形结合可得,a ≤0或a >1,即函数f (x )有且只有一个零点的充要条件是a ≤0或a >1,应排除D ;当0<a <12时,函数y =-2x +a (x ≤0)有一个零点,即函数f (x )有两个零点,应排除B ;同理,排除C.3.已知集合A ={x |x 2-4mx +2m +6=0},B ={x |x <0},若命题“A ∩B =∅”是假命题,求实数m 的取值范围.解:因为“A ∩B =∅”是假命题,所以A ∩B ≠∅.设全集U ={m |Δ=(-4m )2-4(2m +6)≥0},则U =⎩⎨⎧⎭⎬⎫m | m ≤-1或m ≥32. 假设方程x 2-4mx +2m +6=0的两根x 1,x 2均非负,则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ,x 1+x 2≥0,x 1x 2≥0即⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ,4m ≥0,2m +6≥0解得m ≥32.又集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m | m ≥32关于全集U 的补集是{m |m ≤-1},所以实数m 的取值范围是(-∞,-1].。
命题及其关系、充要条件
6.写出下列命题的否定形式和否命题: (1)若xy=0,则x,y中至少有一个为零; (2)若a+b=0,则a,b中最多有一个大于零; (3)若四边形是平行四边形,则其相邻两个内角相等; (4)有理数都能写成分数.
答案 解析
略 (1)否定形式:若 xy=0,则 x,y 都不为零.
否命题:若 xy≠0,则 x,y 都不为零. (2)否定形式:若 a+b=0,则 a,b 都大于零. 否命题:若 a+b≠0,则 a,b 都大于零.
A.充要条件 C.必要而不充分条件
B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】 当x>1时,x+2>3>1,又y=log1x是减函数, 2 ∴log 1 (x+2)<log 1 1=0,则x>1⇒log 1 (x+2)<0;当log 1 (x+ 2 2 2 2 2)<0时,x+2>1,x>-1,则log 1 (x+2)<0⇒/ 2 “log1(x+2)<0”的充分而不必要条件.故选B. 2 【答案】 B x>1.故“x>1”是
(4)已知集合 A,B,则 A∪B=A∩B 的充要条件是 A=B. (5)p 是 q 的充分不必要条件等价于綈 q 是綈 p 的充分不必要
条件.
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
2.(2015· 山东卷改编)设 m∈R,命题“若 m>0,则方程 x2 +x-m=0 有实根”的逆否命题是________.
命题及其关系、充要条件
…2018 考纲下载… 1.理解命题的概念. 2.了解“若 p,则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆 否命题,会分析四种命题的相互关系. 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 请注意 以选择题或填空题为主要题型,一般为容易题或中等题,近 两年的新课标高考题多为对充要条件的考查,少数涉及到四种命 题及其真假的判断.
命题及充分条件和必要条件
命题及其关系(学生版)高考明方向1.理解命题的概念,了解“若P,则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系。
2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义。
知识点一命题及四种命题1、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.注意:命题必须是陈述句,疑问句、祈使句、感叹句都不是命题。
2.四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系.(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; 逆命题与否命题互为逆否命题。
②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性无关.注意: 1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题2、常见词语的否定原词语例1. 命题“若x, y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是( )A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数变式训练1.下列命题中正确的是( )①"若a≠0,则ab≠0”的否命题;②“正多边形都相似”的逆命题;③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题;④“若x- 312是有理数,则x是无理数”的逆否命题.A.①②③④B.①③④C.②③④D.①④例2.原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则”,关于其逆命题,否命题,逆否命题的真假性的判断依次如下,正确的是()A.真,假,真B. 假,假,真C. 真,真,假D. 假,假,假变式训练2.已知,原命题是“若,则m,n中至少有一个不小于0”,那么原命题与其逆命题依次是()A:真命题、假命题B:假命题、真命题C:真命题、真命题D:假命题、假命题例3.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是()A. 若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3B. 若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3C. 若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3D. 若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3变式训练3.命题:“若xy=0,则x=0或y=0”的否定是:知识点二充分条件与必要条件1、充分条件与必要条件的概念(1)充分条件: 则p是q的充分条件即只要有条件p就能充分地保证结论q的成立,亦即要使q成立,有p成立就足够了,即有它即可。
(完整版)常用逻辑用语知识点总结
常用逻辑用语—、命题1、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题•其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.2、四种命题及其关系(1) 、四种命题(2) 、四种命题间的逆否关系(3) 、四种命题的真假关系**两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;*两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.、充分条件与必要条件1、定义1 .如果p? q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.2•如果p? q, q? p,则p是q的充要条件.2、四种条件的判断1.如果若p则q ”为真,记为p q,如果若p则q ”为假,记为p q .2.若p q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件3.判断充要条件方法:p q p q(1 )定义法:①p是q的充分不必要条件p q ②p是q的必要不充分条件p qp q p q③p是q的充要条件q p ④p是q的既不充分也不必要条件p q(2)集合法:设P={p}, Q={q},①若P Q,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件②若P=Q,则p是q的充要条件(q也是p的充要条件).③若P g.Q且Q ^ P,则p是q的既不充分也不必要条件.(3)逆否命题法:①q是p的充分不必要条件p是q的充分不必要条件②q是p的必要不充分条件p是q的充分不必要条件③q是p的充分要条件p是q的充要条件④q是p的既不充分又不必要条件p是q的既不充分又不必要条件三、简单的逻辑联结词⑴命题中的且”或”非”叫做逻辑联结词.①用联结词且”联结命题p和命题q,记作p A q,读作p且q”.②用联结词或”联结命题p和命题q,记作p V q,读作p或q”.③对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作?p,读作非p”或p的否定(2)简单复合命题的真值表:*p A q:p、q有一假为假, *p V q:一真为真, .四、量词1、全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有:任意一个” 一切”每一个”任给”所有的”等.(2)常见的存在量词有:存在一个”至少有一个”有些”有一个”某个”有的”等.(3)全称量词用符号?”表示;存在量词用符号? ”表示.2全称命题与特称命题(1) 含有全称量词的命题叫全称命题:对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为?x€ M, p(x),读作对任意x属于M,有p(x)成立”.(2) 含有存在量词的命题叫特称命题:存在M中的一个x o,使p(x o)成立"可用符号简记为?x o€ M , P(x o),读作存在M中的兀素x o,使p(x o)成立”3 命题的否定(1) 含有量词命题的否定全称命题p:x M , p(x) 的否定p:x M, p x ;全称命题的否定为存在命题存在命题p:x M, p x 的否定p:x M , p x ;存在命题的否定为全称命题其中p x p (x)是一个关于x的命题.(2) 含有逻辑连接词命题的否定“p 或q ”的否定:“ p 且q” ;p且q ”的否定:“ p或q”(3) “若p则q “命题的否定:只否定结论特别提醒:命题的“否定”与“否命题”是不同的概念,命题的否定:只否定结论;否命题:全否对命题p的否定(即非p)是否定命题p所作的判断,而否命题”是若p则q ”。
充分条件必要条件与命题的四种形式
若 原 命 题 为 “ 若 p , 则 q” , 则 其 逆 命 题 是 __若__q_,__则__p_____;否命题是 _若__非__p_,__则__非__q__;逆 否命题是__若__非__q_,__则__非__p___.
(2)四种命题间的关系
思考感悟 “否命题”与“命题的否定”有何不同? 提示: “否命题”与“命题的否定”是两个不 同的概念,如果原命题是“若p,则q”,那么这 个原命题的否定是“若p,则非q”,即只否定结 论,而原命题的否命题是“若非p,则非q”,即 既否定命题的条件,又否定命题的结论.
考点探究•挑战高考
考点突破
考点一 四种命题及其关系
在判断四种命题之间的关系时,首先要分清命题的 条件与结论,再比较每个命题的条件与结论之间的 关系,要注意四种命题关系的相对性,一旦一个命 题定为原命题,也就相应地有了它的“逆命题”、“ 否命题”和“逆否命题”.
例1 分别写出下列命题的逆命题、否命题、
.
∴这样的 m 不存在.
(2)由题意“x∈P”是“x∈S”的必要条件,则 S⊆P. ∴11- +mm≥ ≤-102 ,∴m≤3. 综上,可知 m≤3 时,x∈P 是 x∈S 的必要条 件.
【误区警示】 (2)中“x∈P”是“x∈S”的必 要条件,是由S⇒P即S是P的子集,并不一定是 真子集.
互 动 探 究 本 例 中 条 件 不 变 , 若 (2) 小 题 中 “x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件,如 何求解? 解:∵“x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件,
(3)∵ff-xx=1,
∴f(-x)=f(x),
∴y=f(x)是偶函数.
∴p⇒q.
取 f(x)=x2 为 R 上的偶函数,
但f-x在 fx
命题及其关系、充分条件与必要条件
题组二:走进教材 1.(选修1-1P8T2改编)命题“若x,y都是偶数,则x+y也 是偶数”的逆否命题是 ( ) A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数 B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数 C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数 D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数
【解析】选C.若命题为“若p,则q”,命题的逆否命题 为“若非q,则非p”,所以原命题的逆否命题是“若x+y 不是偶数,则x与y不都是偶数”.
【解析】选B.根据原命题和其逆否命题的条件和结论
的关系,得命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是“若
x≤y,则x2≤y2”.
3.“在△ABC中,若C=90°,则A,B都是锐角”的否命题 为________. 【解析】原命题的条件:在△ABC中,C=90°, 结论:A,B都是锐角.否命题是否定条件和结论,即“在 △ABC中,若C≠90°,则A,B不都是锐角”. 答案:在△ABC中,若C≠90°,则A,B不都是锐角
【解析】①若a>b>0,则 1 1 成立;
ab
②若a>0>b,则, 1 >0, 1 <0,所以 1 1 不成立;
a
b
ab
③若0>a>b,则 1 1 <0成立.
ab
综上,只需选取符合“a>0>b”的一组a,b,就能说明原
命题是假命题.
例如,a=1,b=-1;a=2,b=-1等. 答案:1,-1(答案不唯一)
“ad=bc”等价于“ b d ”,
ac
“a,b,c,d成等比数列”等价于“ b c d ”,
abc
所以“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的必要而不
充分条件、必要条件与命题的四种形式
第一章充分条件、必要条件与命题的四种形式(总12页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--§充分条件、必要条件与命题的四种形式2014高考会这样考 1.考查对充分条件、必要条件、充要条件的理解应用,主要以客观题形式出现;2.和其他数学知识相结合,考查充要条件的推理判断和命题的等价性.复习备考要这样做 1.在解与命题有关的问题时,要理解命题的含义,准确地分清命题的条件与结论;2.注意条件之间关系的方向性、充分条件与必要条件方向正好相反;3.注意等价命题的应用.1.充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p,则q”形式的命题为真时,记作p⇒q,称p是q的充分条件,q是p的充要条件.(2)如果既有p⇒q,又有q⇒p,记作p⇔q,则p是q的充要条件,q也是p的充要条件.p是q的充要条件又常说成q当且仅当p,或p与q等价.2.命题的四种形式及真假关系互为逆否的两个命题等价(同真或同假);互逆或互否的两个命题不等价.[难点正本疑点清源]1.等价命题和等价转化(1)逆命题与否命题互为逆否命题;(2)互为逆否命题的两个命题同真假;(3)当判断原命题的真假比较困难时,可以转化为判断它的逆否命题的真假.2.集合与充要条件设集合A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q},则有(1)若A⊆B,则p是q的充分条件,若A B,则p是q的充分不必要条件;(2)若B⊆A,则p是q的必要条件,若B A,则p是q的必要不充分条件;(3)若A=B,则p是q的充要条件;(4)若A ⃘B ,且B ⃘A ,则p 是q 的既不充分也不必要条件.1.下列命题:①“全等三角形的面积相等”的逆命题; ②“若ab =0,则a =0”的否命题;③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题.其中真命题的序号是________.(把所有真命题的序号填在横线上) 答案 ②③解析 ①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”,显然该命题为假命题;②“若ab =0,则a =0”的否命题为“若ab ≠0,则a ≠0”,而由ab ≠0,可得a ,b 都不为零,故a ≠0,所以该命题是真命题;③因为原命题“正三角形的三个角均为60°”是一个真命题,故其逆否命题也是一个真命题. 2.“x >2”是“1x <12”的________条件.答案 充分不必要 解析 ①x >2⇒2x >0⇒x 2x >22x ⇒1x <12, ∴“x >2”是“1x <12”的充分条件.②1x <12⇒x <0或x >2D ⇒/x >2. ∴“x >2”是“1x <12”的不必要条件.3.已知a ,b ∈R ,则“a =b ”是“a +b2=ab ”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案 B解析 因为若a =b <0,则a +b2≠ab ,所以充分性不成立;反之,因为a +b2=ab⇔a =b ⇔a =b ≥0,所以必要性成立,故“a =b ”是“a +b2=ab ”的必要不充分条件.4.(2011·天津)设集合A ={x ∈R |x -2>0},B ={x ∈R |x <0},C ={x ∈R |x (x -2)>0},则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析因为A={x|x-2>0}={x|x>2}=(2,+∞),B={x|x<0}=(-∞,0),所以A∪B=(-∞,0)∪(2,+∞),C={x|x(x-2)>0}={x|x<0或x>2}=(-∞,0)∪(2,+∞).即A∪B=C.故“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.5.(2012·天津)设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析由条件推结论和结论推条件后再判断.若φ=0,则f(x)=cos x是偶函数,但是若f(x)=cos(x+φ)是偶函数,则φ=π也成立.故“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件.题型一命题的四种形式及其关系例1已知命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是( )A.否命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”是真命题B.逆命题“若m≤1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数”是假命题C.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是减函数”是真命题D.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题思维启迪:根据定义判断一个原命题的逆命题、否命题、逆否命题的表达格式.当命题较简单时,可直接判断其真假,若命题本身复杂或不易直接判断时,可利用其等价命题——逆否命题进行真假判断.答案D解析 命题“若函数f (x )=e x-mx 在(0,+∞)上是增函数,则m ≤1”是真命题,所以其逆否命题“若m >1,则函数f (x )=e x-mx 在(0,+∞)上不是增函数”是真命题.探究提高 (1)熟悉概念是正确书写或判断命题的四种形式真假的关键;(2)根据“原 命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假;(3)认真仔细读题,必要时举特 例.命题“若x ,y 都是偶数,则x +y 也是偶数”的逆否命题是( )A .若x +y 是偶数,则x 与y 不都是偶数B .若x +y 是偶数,则x 与y 都不是偶数C .若x +y 不是偶数,则x 与y 不都是偶数D .若x +y 不是偶数,则x 与y 都不是偶数 答案 C解析 由于“x ,y 都是偶数”的否定表达是“x ,y 不都是偶数”,“x +y 是偶数”的否定表达是“x +y 不是偶数”,故原命题的逆否命题为“若x +y 不是偶数,则x ,y 不都是偶数”,故选C. 题型二 充要条件的判断例2 已知下列各组命题,其中p 是q 的充分必要条件的是( )A .p :m ≤-2或m ≥6;q :y =x 2+mx +m +3有两个不同的零点 B .p :f -xf x=1;q :y =f (x )是偶函数C .p :cos α=cos β;q :tan α=tan βD .p :A ∩B =A ;q :A ⊆U ,B ⊆U ,∁U B ⊆∁U A思维启迪:首先要分清条件和结论,然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题,做出判断. 答案 D解析 对于A ,由y =x 2+mx +m +3有两个不同的零点,可得Δ=m 2-4(m +3)>0,从而可得m <-2或m >6.所以p 是q 的必要不充分条件; 对于B ,由f -xf x=1⇒f (-x )=f (x )⇒y =f (x )是偶函数,但由y =f (x )是偶函数不能推出f -xf x=1,例如函数f (x )=0,所以p 是q 的充分不必要条件;对于C ,当cos α=cos β=0时,不存在tan α=tan β,反之也不成立,所以p 是q 的既不充分也不必要条件;对于D ,由A ∩B =A ,知A ⊆B ,所以∁U B ⊆∁U A ; 反之,由∁U B ⊆∁U A ,知A ⊆B ,即A ∩B =A . 所以p ⇔q .综上所述,p 是q 的充分必要条件的是D.探究提高 判断p 是q 的什么条件,需要从两方面分析:一是由条件p 能否推得条件q ;二是由条件q 能否推得条件p .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题.给出下列命题:①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n +1}为等比数列”的充分不必要条件; ②“a =2”是“函数f (x )=|x -a |在区间[2,+∞)上为增函数”的充要条件; ③“m =3”是“直线(m +3)x +my -2=0与直线mx -6y +5=0互相垂直”的充要条件;④设a ,b ,c 分别是△ABC 三个内角A ,B ,C 所对的边,若a =1,b =3,则“A =30°”是“B =60°”的必要不充分条件. 其中真.命题的序号是________. 答案 ①④解析 对于①,当数列{a n }为等比数列时,易知数列{a n a n +1}是等比数列,但当数列{a n a n +1}为等比数列时,数列{a n }未必是等比数列,如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列,而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列,因此①正确;对于②,当a ≤2时,函数f (x )=|x -a |在区间[2,+∞)上是增函数,因此②不正确;对于③,当m =3时,相应的两条直线互相垂直,反之,这两条直线垂直时,不一定有m=3,也可能m =0.因此③不正确;对于④,由题意得b a =sin B sin A=3,若B =60°,则sin A =12,注意到b >a ,故A =30°,反之,当A =30°时,有sin B =32,由于b >a ,所以B =60°或B =120°,因此④正确.综上所述,真命题的序号是①④. 题型三 充要条件的应用例3 已知集合M ={x |x <-3或x >5},P ={x |(x -a )·(x -8)≤0}. (1)求实数a 的取值范围,使它成为M ∩P ={x |5<x ≤8}的充要条件;(2)求实数a 的一个值,使它成为M ∩P ={x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件. 思维启迪:解决此类问题一般是先把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,再根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解. 解 (1)由M ∩P ={x |5<x ≤8},得-3≤a ≤5, 因此M ∩P ={x |5<x ≤8}的充要条件是{a |-3≤a ≤5}.(2)求实数a 的一个值,使它成为M ∩P ={x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件,就是在集合{a |-3≤a ≤5}中取一个值,如取a =0,此时必有M ∩P ={x |5<x ≤8};反之,M ∩P ={x |5<x ≤8}未必有a =0,故“a =0”是“M ∩P ={x |5<x ≤8}”的一个充分但不必要条件.探究提高 利用充要条件求参数的值或范围,关键是合理转化条件,准确地将每个 条件对应的参数的范围求出来,然后转化为集合的运算,一定要注意区间端点值的 检验.已知p :x 2-4x -5≤0,q :|x -3|<a (a >0).若p 是q 的充分不必要条件,求a 的取值范围.解 设A ={x |x 2-4x -5≤0}={x |-1≤x ≤5},B ={x |-a +3<x <a +3},因为p 是q 的充分不必要条件,从而有AB .故⎩⎪⎨⎪⎧-a +3<-1,a +3>5, 解得a >4.等价转化思想在充要条件关系中的应用典例:(12分)已知p :⎪⎪⎪⎪⎪⎪1-x -13≤2,q :x 2-2x +1-m 2≤0 (m >0),且綈p 是綈q 的必要而不充分条件,求实数m 的取值范围.审题视角 (1)先求出两命题的解集,即将命题化为最简.(2)再利用命题间的关系列出关于m 的不等式或不等式组,得出结论. 规范解答解 方法一 由q :x 2-2x +1-m 2≤0, 得1-m ≤x ≤1+m ,[2分]∴綈q :A ={x |x >1+m 或x <1-m ,m >0},[3分]由p :⎪⎪⎪⎪⎪⎪1-x -13≤2,解得-2≤x ≤10,[5分]∴綈p :B ={x |x >10或x <-2}.[6分]∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件.∴A B ,∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0,1-m <-2,1+m ≥10,或⎩⎪⎨⎪⎧m >0,1-m ≤-2,1+m >10,即m ≥9或m >9.∴m ≥9.[12分]方法二 ∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件, ∴p 是q 的充分而不必要条件,[2分]由q :x 2-2x +1-m 2≤0,得1-m ≤x ≤1+m , ∴q :Q ={x |1-m ≤x ≤1+m },[4分]由p :⎪⎪⎪⎪⎪⎪1-x -13≤2,解得-2≤x ≤10, ∴p :P ={x |-2≤x ≤10}.[6分]∵p 是q 的充分而不必要条件,∴P Q ,∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0,1-m <-2,1+m ≥10,或⎩⎪⎨⎪⎧m >0,1-m ≤-2,1+m >10,即m ≥9或m >9.∴m ≥9.[12分]温馨提醒 本例涉及参数问题,直接解决较为困难,先用等价转化思想,将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决.一般地,在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中,常常要利用集合的包含、相等关系来考虑,这是破解此类问题 的关键.方法与技巧1.当一个命题有大前提而要写出命题的其他三种形式时,必须保留大前提,也就是大前提不动;对于由多个并列条件组成的命题,在写其它三种命题时,应把其中一个(或几个)作为大前提.2.数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命题与定理是有区别的;命题有真假之分,而定理都是真的. 3.命题的充要关系的判断方法(1)定义法:直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假.(2)等价法:利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ,B ⇒A 与綈A ⇒綈B ,A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断:若A ⊆B ,则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件;若A =B ,则A 是B 的充要条件. 失误与防范1.判断命题的真假及写命题的四种形式时,一定要明确命题的结构,可以先把命题改写成“若p 则q ”的形式.2.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,正确理解“p 的一个充分而不必要条件是q ”等语言.A 组 专项基础训练 (时间:35分钟,满分:57分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2012·湖南)命题“若α=π4,则tan α=1”的逆否命题是( )A .若α≠π4,则tan α≠1B .若α=π4,则tan α ≠1C .若tan α≠1,则α≠π4D .若tan α≠1,则α=π4答案 C解析 由原命题与其逆否命题之间的关系可知,原命题的逆否命题:若tanα≠1,则α≠π4.2.(2012·福建)已知向量a =(x -1,2),b =(2,1),则a ⊥b 的充要条件是( )A .x =-12B .x =-1C .x =5D .x =0答案 D解析 ∵a =(x -1,2),b =(2,1),∴a ·b =2(x -1)+2×1=2x . 又a ⊥b ⇔a ·b =0,∴2x =0,∴x =0.3.已知集合M ={x |0<x <1},集合N ={x |-2<x <1},那么“a ∈N ”是“a ∈M ”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件 答案 B解析 因为M N ,所以a ∈M ⇒a ∈N ,反之,则不成立,故“a ∈N ”是“a ∈M ”的必要而不充分条件.故选B. 4.下列命题中为真命题的是( )A .命题“若x >y ,则x >|y |”的逆命题B .命题“若x >1,则x 2>1”的否命题 C .命题“若x =1,则x 2+x -2=0”的否命题 D .命题“若x 2>0,则x >1”的逆否命题 答案 A解析 对于A ,其逆命题:若x >|y |,则x >y ,是真命题,这是因为x >|y |=⎩⎪⎨⎪⎧y y ≥0-y y <0,必有x >y ;对于B ,否命题:若x ≤1,则x 2≤1,是假命题.如x =-5,x 2=25>1;对于C ,其否命题:若x ≠1,则x 2+x -2≠0,因为x =-2时,x 2+x -2=0,所以是假命题;对于D ,若x 2>0,则x >0或x <0,不一定有x >1,因此原命题的逆否命题是假命题,故选A.二、填空题(每小题5分,共15分) 5.下列命题:①若ac 2>bc 2,则a >b ;②若sin α=sin β,则α=β;③“实数a =0”是“直线x -2ay =1和直线2x -2ay =1平行”的充要条件; ④若f (x )=log 2x ,则f (|x |)是偶函数. 其中正确命题的序号是________. 答案 ①③④解析 对于①,ac 2>bc 2,c 2>0,∴a >b 正确;对于②,sin 30°=sin 150°D ⇒/30°=150°,所以②错误;对于③,l 1∥l 2⇔A 1B 2=A 2B 1,即-2a =-4a ⇒a =0且A 1C 2≠A 2C 1,所以③对;对于④显然对.6.已知p (x ):x 2+2x -m >0,如果p (1)是假命题,p (2)是真命题,则实数m 的取值范围为________. 答案 [3,8)解析 因为p (1)是假命题,所以1+2-m ≤0, 解得m ≥3;又因为p (2)是真命题,所以4+4-m >0, 解得m <8.故实数m 的取值范围是3≤m <8.7.(2011·陕西)设n ∈N +,一元二次方程x 2-4x +n =0有整数..根的充要条件是n =________. 答案 3或4解析 ∵x 2-4x +n =0有整数根, ∴x =4±16-4n 2=2±4-n ,∴4-n 为某个整数的平方且4-n ≥0,∴n =3或n =4. 当n =3时,x 2-4x +3=0,得x =1或x =3; 当n =4时,x 2-4x +4=0,得x =2. ∴n =3或n =4. 三、解答题(共22分)8.(10分)判断命题“若a ≥0,则x 2+x -a =0有实根”的逆否命题的真假. 解 原命题:若a ≥0,则x 2+x -a =0有实根. 逆否命题:若x 2+x -a =0无实根,则a <0. 判断如下:∵x 2+x -a =0无实根,∴Δ=1+4a <0,∴a <-14<0,∴“若x 2+x -a =0无实根,则a <0”为真命题.9.(12分)已知p :|x -3|≤2,q :(x -m +1)(x -m -1)≤0,若綈p 是綈q 的充分而不必要条件,求实数m 的取值范围. 解 由题意得p :-2≤x -3≤2,∴1≤x ≤5. ∴綈p :x <1或x >5.q :m -1≤x ≤m +1,∴綈q :x <m -1或x >m +1.又∵綈p 是綈q 的充分而不必要条件,∴⎩⎪⎨⎪⎧m -1>1,m +1≤5或⎩⎪⎨⎪⎧m -1≥1m +1<5,解得2<m ≤4或2≤m <4,∴2≤m ≤4.B 组 专项能力提升(时间:25分钟,满分:43分)一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2012·上海)对于常数m 、n ,“mn >0”是“方程mx 2+ny 2=1的曲线是椭圆”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件答案 B解析 ∵mn >0,∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0,n >0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0,n <0,当m >0,n >0且m ≠n 时,方程mx 2+ny 2=1的曲线是椭圆, 当m <0,n <0时,方程mx 2+ny 2=1不表示任何图形, 所以条件不充分;反之,当方程mx 2+ny 2=1表示的曲线是椭圆时有mn >0,所以“mn >0”是“方程mx 2+ny 2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件. 2.已知p :1x -2≥1,q :|x -a |<1,若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围为( ) A .(-∞,3] B .[2,3] C .(2,3]D .(2,3)答案 C 解析 由1x -2≥1,得2<x ≤3; 由|x -a |<1,得a -1<x <a +1.若p 是q 的充分不必要条件,则⎩⎪⎨⎪⎧a -1≤2a +1>3,即2<a ≤3.所以实数a 的取值范围是(2,3],故选C.3.集合A ={x ||x |≤4,x ∈R },B ={x |x <a },则“A ⊆B ”是“a >5”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案 B解析 A ={x |-4≤x ≤4},若A ⊆B ,则a >>4D /⇒a >5,但a >5⇒a >4.故“A ⊆B ”是“a >5”的必要不充分条件.二、填空题(每小题5分,共15分)4.设有两个命题p 、q .其中p :对于任意的x ∈R ,不等式ax 2+2x +1>0恒成立;命题q :f (x )=(4a -3)x 在R 上为减函数.如果两个命题中有且只有一个是真命题,那么实数a 的取值范围是____________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫34,1∪(1,+∞) 解析 当a =0时,不等式为2x +1>0,显然不能恒成立,故a =0不适合; 当a ≠0时,不等式ax 2+2x +1>0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0,Δ=22-4a <0,解得a >1.即p :{ a |a >1}.由f (x )在R 上为减函数,得0<4a -3<1,解得34<a <1.即q :{a |34<a <1},由题意,可知p ,q 一真一假.当p 真q 假时,a 的取值范围是 {a |a >1}∩{a |a ≤34或a ≥1}={a |a >1};当p 假q 真时,a 的取值范围是 {a |a ≤1}∩{a |34<a <1}={a |34<a <1};所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫34,1∪(1,+∞).5.若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题,则x 的取值范围是________. 答案 [1,2)解析 x ∉[2,5]且x ∉{x |x <1或x >4}是真命题.由⎩⎪⎨⎪⎧x <2或x >5,1≤x ≤4,得1≤x <2.6.“m <14”是“一元二次方程x 2+x +m =0有实数解”的____________条件.答案 充分不必要解析 x 2+x +m =0有实数解等价于Δ=1-4m ≥0, 即m ≤14,∵m <14⇒m ≤14,反之不成立.故“m <14”是“一元二次方程x 2+x +m =0有实数解”的充分不必要条件.三、解答题7.(13分)已知全集U =R ,非空集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x -2x -3a +1<0,B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x -a 2-2x -a <0.(1)当a =12时,求(∁U B )∩A ;(2)命题p :x ∈A ,命题q :x ∈B ,若q 是p 的必要条件,求实数a 的取值范围. 解 (1)当a =12时,A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x -2x -52<0=⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2<x <52, B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x -94x -12<0=⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <94, ∴∁U B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12或x ≥94.∴(∁U B )∩A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |94≤x <52.(2)∵a 2+2>a ,∴B ={x |a <x <a 2+2}. ①当3a +1>2,即a >13时,A ={x |2<x <3a +1}.∵p 是q 的充分条件,∴A ⊆B .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤23a +1≤a 2+2,即13<a ≤3-52.②当3a +1=2,即a =13时,A =∅,不符合题意;③当3a +1<2,即a <13时,A ={x |3a +1<x <2},由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a +1a 2+2≥2,∴-12≤a <13.综上所述,实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫-12,13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13,3-52.。
专题02 常用逻辑用语--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【原卷版】
【热点聚焦】常用逻辑用语主要从三个方面考查,分别为充分必要条件的判断、充要条件的探求、由充分条件和必要条件探求参数的取值范围以及全称量词与存在量词.由于充要条件知识载体丰富,因此题目往往具有一定综合性.【重点知识回眸】一、充要条件1.充分条件、必要条件与充要条件的概念p⇒q p是q的充分条件,q是p的必要条件p⇒q,且q p p是q的充分不必要条件p q,且q⇒p p是q的必要不充分条件p⇔q p是q的充要条件p q,且q p p是q的既不充分也不必要条件提醒:A是B的充分不必要条件是指:A⇒B且B A,A的充分不必要条件是B是指:B⇒A且A B,弄清它们区别的关键是分清谁是条件,谁是结论.2.等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件.其他情况依次类推.3.充分、必要条件与集合的子集之间的关系设A={x|p(x)},B={x|q(x)}.(1)若A⊆B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.(2)若A B,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件.(3)若A=B,则p是q的充要条件.二、全称量词和存在量词1.全称量词:短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“∀”表示.2.存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“∃”表示.3.全称命题、特称命题及含有一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x,有p(x)成立∀x∈M,p(x)∃x0∈M,p(x0)特称命题存在M中的一个x0,使p(x0)成立∃x0∈M,p(x0)∀x∈M,p(x)提醒:含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词,否结论”. 三、简单的逻辑联结词【新教材地区不含此内容!】 1.命题中的或、且、非叫做逻辑联结词. 2.命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断pqp 且q p 或q 非p真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假假真3.提醒:“命题的否定”与“(1)命题的否定只是否定命题的结论,而否命题既否定其条件,也否定其结论.(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的,即一真一假,而否命题与原命题的真假无必然联系.4.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p ∨q :“有真则真,全假才假”,即p ,q 中只要有一个真命题,则p ∨q 为真命题,只有p ,q 都是假命题时,p ∨q 才是假命题.(2)p ∧q :“有假则假,全真才真”,即p ,q 中只要有一个假命题,则p ∧q 为假命题,只有p ,q 都是真命题时,p ∧q 才是真命题. (3) p : p 与p 的真假相反.【典型考题解析】热点一 充分、必要条件的判定【典例1】(2022·天津·高考真题) “x 为整数”是“21x +为整数”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不允分也不必要条件【典例2】(2022·浙江·高考真题)设x ∈R ,则“sin 1x =”是“cos 0x =”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件【典例3】(2019·天津·高考真题(文))设x ∈R ,则“05x <<”是“11x -<”的 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件【典例4】(2018·北京·高考真题(理))设向量,a b 均为单位向量,则“|3||3|a b a b -=+”是“a b ⊥”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件 【规律方法】充要条件的三种判断方法:(1)定义法:根据p ⇒q ,q ⇒p 进行判断;(2)集合法:根据由p ,q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断;(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题. 热点二 充分条件、必要条件的探求与应用【典例5】(2023·全国·高三专题练习)“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的充要条件是( ) A .14m >B .14m <C .1m <D . 1m【典例6】(2017·上海·高考真题)已知a 、b 、c 为实常数,数列{}n x 的通项2n x an bn c =++,*n ∈N ,则“存在*k ∈N ,使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是( )A .0a ≥B .0b ≤C .0cD .20a b c -+=【典例7】【多选题】(2023·全国·高三专题练习)“关于x 的不等式220x ax a -+> 对R x ∀∈恒成立”的一个必要不充分条件是( ) A .01a << B .01a ≤≤C .103a <<D .0a ≥【总结提升】充分、必要条件的探求方法(与范围有关)先求使结论成立的充要条件,然后根据“以小推大”的方法确定符合题意的条件. 热点三 利用充分、必要条件求参数的取值范围【典例8】(2023·全国·高三专题练习)若“2340x x -->”是“223100x ax a -->”的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是_________. 【总结提升】利用充要条件求参数的两个关注点(1)巧用转化求参数:把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)端点取值慎取舍:在求参数范围时,要注意边界或区间端点值的检验,从而确定取舍. 热点四 全称命题、特称命题的否定与真假判断【典例9】(2020·山东·高考真题)下列命题为真命题的是( ) A .10>且34> B .12>或45> C .x R ∃∈,cos 1x >D .x R ∀∈,20x ≥【典例10】(2016·浙江·高考真题(理))命题“*,x R n N ∀∈∃∈,使得2n x ≥”的否定形式是 A .*,x R n N ∀∈∃∈,使得2n x < B .*,x R n N ∀∈∀∈,使得2n x < C .*,x R n N ∃∈∃∈,使得2n x <D .*,x R n N ∃∈∀∈,使得2n x <【典例11】(2022·全国·高三专题练习)已知命题p :0x R ∃∈,01x =-或02x =,则( ) A .p ⌝:x R ∀∈,1x ≠-或2x ≠ B .p ⌝:x R ∀∈,1x ≠-且2x ≠ C .p ⌝:x R ∀∈,1x =-且2x =D .p ⌝:0x R ∃∉,01x =-或02x =【典例12】(2021·全国·高考真题(理))已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥,则下列命题中为真命题的是( ) A .p q ∧B .p q ⌝∧C .p q ∧⌝D .()p q ⌝∨【典例13】(2023·全国·高三专题练习)已知命题p :[]21,2,1x x a ∀∈+≥,命题q :[]1,1x ∃∈-,使得210x a +->成立,若p 是真命题,q 是假命题,则实数a 的取值范围为 _____. 【总结提升】1.全称命题与特称命题的否定(1)改量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写.(2)否结论:对原命题的结论进行否定. 2.全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题 真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题真存在一个对象使命题真否定为假3.根据全(特)称命题的真假求参数的思路与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题.解决此类问题时,一般先利用等价转化思想将条件合理转化,得到关于参数的方程或不等式(组),再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围.【精选精练】一、单选题1.(2020·山东·高考真题)已知a ∈R ,若集合{}1,M a =,{}1,0,1N =-,则“0a =”是“M N ⊆”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件2.(2023·全国·高三专题练习)已知命题p :∀x >0,总有(x +1)ln x >1,则¬p 为( ) A .∃x 0≤0,使得(x 0+1)ln x 0≤1 B .∃x 0>0,使得(x 0+1)ln x 0≤1 C .∃x 0>0,总有(x 0+1)ln x 0≤1 D .∃x 0≤0,总有(x 0+1)ln x 0≤13.(2023·全国·高三专题练习)已知()sin f x x x =-,命题P : 0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭,()0f x <,则( )A .P 是假命题,()0,02P x f x π⎛⎫∀∈≥ ⎪⎝⎭¬:,B .P 是假命题,()000,02P x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭¬:,C .P 是真命题,()0,02P x f x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭¬:,>D .P 是真命题,()000,02P x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭¬:,4.(2021·天津·高考真题)已知a ∈R ,则“6a >”是“236a >”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.(2021·北京·高考真题)已知()f x 是定义在上[0,1]的函数,那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件6.(2021·浙江·高考真题)已知非零向量,,a b c ,则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件7.(2021·全国·高考真题(理))等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,设甲:0q >,乙:{}n S 是递增数列,则( ) A .甲是乙的充分条件但不是必要条件 B .甲是乙的必要条件但不是充分条件 C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.(2022·北京·高考真题)设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列,则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ,当0n N >时,0n a >”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件9.(2020·浙江·高考真题)已知空间中不过同一点的三条直线m ,n ,l ,则“m ,n ,l 在同一平面”是“m ,n ,l 两两相交”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件10.(2017·山东·高考真题(文))已知命题p :x R ∃∈,210x x -+≥;命题q :若22a b <,则.a b <下列命题为真命题的是( ) A .p q ∧B .p q ∧⌝C .p q ⌝∧D .p q ⌝∧⌝11.(2021·陕西·西安中学高三期中)已知命题“R x ∃∈,使212(1)02x a x +-+≤”是假命题,则实数a 的取值范围是( ) A .(,1)-∞- B .(1,3)- C .(3,)-+∞D .(3,1)-12.(2023·全国·高三专题练习)“2log (1)0x +<”成立的一个必要而不充分条件是( ) A .112x -<<-B .0x >C .10x -<<D .0x <二、多选题13.(2023·全国·高三专题练习)若“2340x x +-<”是“222()330x k x k k -+++≥”的充分不必要条件,则实数k 可以是( ) A .8- B .5- C .1 D .4三、填空题14.(2018·北京·高考真题(理))能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立,则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是__________.15.(2023·全国·高三专题练习)若“对任意实数02,π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ,sin ≤x m ”是真命题,则实数m 的最小值为__.16.(2023·全国·高三专题练习)若命题“∃x ∈R ,使得x 2﹣(a +1)x +4≤0”为假命题,则实数a 的取值范围为__.17.(2020·全国·高考真题(理))设有下列四个命题: p 1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2:过空间中任意三点有且仅有一个平面. p 3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行. p 4:若直线l ⊂平面α,直线m ⊥平面α,则m ⊥l . 则下述命题中所有真命题的序号是__________. ①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝ 四、解答题18.(2023·全国·高三专题练习)已知不等式102x x+≥-的解集为条件p ,关于x 的不等式222310x mx m m +---<(23m >-)的解集为条件q . (1)若p 是q 的充分不必要条件,求实数m 的取值范围; (2)若p 的充分不必要条件是q ,求实数m 的取值范围.。
命题与命题的四种形式充分条件与必要条件
[题组集训]
1.命题“若 a<0,则一元二次方程 x2+x+a=0 有实根”
与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是( )
A.0
B.2
C.4
D.不确定
[解析] 当 a<0 时,Δ=1-4a>0,所以方程 x2+x+a=0 有实根,故原命题为真;根据原命题与逆否命题真假一致,可 知其逆否命题为真;逆命题为:“若方程 x2+x+a=0 有实根, 则 a<0”,因为方程有实根,所以判别式 Δ=1-4a≥0,所以 a≤14,显然 a<0 不一定成立,故逆命题为假;根据否命题与逆 命题真假一致,可知否命题为假.故正确的命题有 2 个.
有关向量之间的推理
常见题型
求解策略
熟练掌握三角的相关概念、运算公式、 与三角相关的充分必
三角函数的图象和性质以及正、余弦定 要条件的判断
理是解决该类问题的关键
熟练掌握等差数列与等比数列的定义、
与数列相关的充分必
要条件的判断
性质及数列的单调性、周期性、an 与 Sn
的关系
常见题型
求解策略
可把问题转化为线线、线面、面面之间 与立体几何相关的充
角度二 与平面向量相关的充分必要条件的判断
2.(2016·福建质检)已知向量 a=(m2,4),b=(1,1),则“m
=-2”是“a∥b”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[解析] 依题意,当 m=-2 时,a=(4,4),b=(1,1),所以 a=4b,a∥b,即由 m=-2 可以推出 a∥b;当 a∥b 时,m2=4, 得 m=±2,所以不能推得 m=-2,即“m=-2”是“a∥b” 的充分而不必要条件.
命题及其关系和充分条件与必要条件
命题及其关系、充分条件与必要条件1.命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.2.四种命题及相互关系3.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.4.充分条件与必要条件(1)如果p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.(2)如果p⇒q,q⇒p,则p是q的充要条件.1.易混否命题与命题的否定:否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是只否定命题的结论.2.注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B ⇒/A);与A的充分不必要条件是B(B ⇒A且A⇒/B)两者的不同.[试一试]1.(2013·福建高考)设点P(x,y),则“x=2且y=-1”是“点P在直线l:x+y-1=0上”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A“x=2且y=-1”满足方程x+y-1=0,故“x=2且y=-1”可推出“点P在直线l:x+y-1=0上”;但方程x+y-1=0有无数多个解,故“点P在直线l:x+y -1=0上”不能推出“x=2且y=-1”,故“x=2且y=-1”是“点P在直线l:x+y-1=0上”的充分不必要条件.2.“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A、∠B都是锐角”的否命题为:____________________.解析:原命题的条件:在△ABC中,∠C=90°,结论:∠A、∠B都是锐角.否命题是否定条件和结论.即“在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A、∠B不都是锐角”.答案:“在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A、∠B不都是锐角”1.判断充分条件和必要条件的方法(1)命题判断法:设“若p,则q”为原命题,那么:①原命题为真,逆命题为假时,p是q的充分不必要条件;②原命题为假,逆命题为真时,p是q的必要不充分条件;③原命题与逆命题都为真时,p是q的充要条件;④原命题与逆命题都为假时,p是q的既不充分也不必要条件.(2)集合判断法:从集合的观点看,建立命题p,q相应的集合:p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立},那么:①若A⊆B,则p是q的充分条件;若A B时,则p是q的充分不必要条件;②若B⊆A,则p是q的必要条件;若B A时,则p是q的必要不充分条件;③若A⊆B且B⊆A,即A=B时,则p是q的充要条件.(3)等价转化法:p是q的什么条件等价于綈q是綈p的什么条件.2.转化与化归思想由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,因而当判断一个命题的真假比较困难时,可转化为判断它的逆否命题的真假.[练一练]1.(2014·济南模拟)设x∈R,则“x2-3x>0”是“x>4”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:选B由x2-3x>0得x>3或x<0,此时得不出x>4,但当x>4时,不等式x2-3x>0恒成立,所以正确选项为B.2.与命题“若a∈M,则b∉M”等价的命题是________.解析:原命题与其逆否命题为等价命题.答案:若b∈M,则a∉M考点一 命题及其相互关系1.命题“若α=π4,则tan α=1”的逆否命题是( ) A .若α≠π4,则tan α≠1 B .若α=π4,则tan α≠1 C .若tan α≠1,则α≠π4 D .若tan α≠1,则α=π4解析:选C 命题“若α=π4,则tan α=1”的逆否命题是“若tan α≠1,则α≠π4”. 2.以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号).①“若log 2a >0,则函数f (x )=log a x (a >0,a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题; ②命题“若a =0,则ab =0”的否命题是“若a ≠0,则ab ≠0”;③命题“若x ,y 都是偶数,则x +y 也是偶数”的逆命题为真命题;④命题“若a ∈M ,则b ∉M ”与命题“若b ∈M ,则a ∉M ”等价.解析:对于①,若log 2a >0=log 21,则a >1,所以函数f (x )=log a x 在其定义域内是增函数,故①不正确;对于②,依据一个命题的否命题的定义可知,该说法正确;对于③,原命题的逆命题是“若x +y 是偶数,则x 、y 都是偶数”,是假命题,如1+3=4是偶数,但3和1均为奇数,故③不正确;对于④,不难看出,命题“若a ∈M ,则b ∉M ”与命题“若b ∈M ,则a ∉M ”是互为逆否命题,因此二者等价,所以④正确.综上可知正确的说法有②④.答案:②④[类题通法]在判断四个命题之间的关系时,首先要分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条件与结论之间的关系.要注意四种命题关系的相对性,一旦一个命题定为原命题,也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”;判定命题为真命题时要进行推理,判定命题为假命题时只需举出反例即可.对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手.考点二 充分必要条件的判定[典例] (1)(2013·山东高考)给定两个命题p ,q .若綈p 是q 的必要而不充分条件,则p 是綈q 的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件(2)(2013·北京高考)“φ=π”是“曲线y =sin(2x +φ)过坐标原点”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[解析](1)由q⇒綈p且綈p ⇒/q可得p⇒綈q且綈q ⇒/p,所以p是綈q的充分而不必要条件.(2)由sin φ=0可得φ=kπ(k∈Z),此为曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点的充要条件,故“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的充分而不必要条件.[答案](1)A(2)A[类题通法]充要条件的判断,重在“从定义出发”,利用命题“若p,则q”及其逆命题的真假进行区分,在具体解题中,要注意分清“谁是条件”“谁是结论”,如“A是B的什么条件”中,A是条件,B是结论,而“A的什么条件是B”中,A是结论,B是条件.有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分.[针对训练]下列各题中,p是q的什么条件?(1)在△ABC中,p:A=B,q:sin A=sin B;(2)p:|x|=x,q:x2+x≥0.解:(1)若A=B,则sin A=sin B,即p⇒q.又若sin A=sin B,则2R sin A=2R sin B,即a=b.故A=B,即q⇒p.所以p是q的充要条件.(2)p:{x||x|=x}={x|x≥0}=A,q:{x|x2+x≥0}={x|x≥0,或x≤-1}=B,∵A B,∴p是q的充分不必要条件.考点三充分必要条件的应用[典例]已知P={x|x2-8x-20≤0},S={x|1-m≤x≤1+m}.(1)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件,若存在,求出m的范围;(2)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的必要条件,若存在,求出m的范围.[解](1)由x2-8x-20≤0得-2≤x≤10,∴P={x|-2≤x≤10},∵x∈P是x∈S的充要条件,∴P=S,∴⎩⎪⎨⎪⎧1-m =-2,1+m =10,∴⎩⎪⎨⎪⎧ m =3,m =9, 这样的m 不存在. (2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件,则S ⊆P .∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1-m ≥-2,1+m ≤10,∴m ≤3. 综上,可知m ≤3时,x ∈P 是x ∈S 的必要条件.保持本例条件不变,若綈P 是綈S 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.解:由例题知P ={x |-2≤x ≤10},∵綈P 是綈S 的必要不充分条件,∴P ⇒S 且S ⇒/P . ∴[-2,10][1-m,1+m ].∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1-m ≤-2,1+m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1-m <-2,1+m ≥10. ∴m ≥9,即m 的取值范围是[9,+∞).[类题通法]利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围,其依据是充分、必要条件的定义,其思维方式是:(1)若p 是q 的充分不必要条件,则p ⇒q 且q ⇒/ p ;(2)若p 是q 的必要不充分条件,则p ⇒/q ,且q ⇒p ; (3)若p 是q 的充要条件,则p ⇔q .[针对训练](2013·浙江名校联考)一次函数y =-m n x +1n的图像同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )A .m >1,且n <1B .mn <0C .m >0,且n <0D .m <0,且n <0解析:选B 因为y =-m n x +1n 经过第一、三、四象限,故-m n >0,1n<0,即m >0,n <0,但此为充要条件,因此,其必要不充分条件为mn <0.[课堂练通考点]1.(2013·安徽高考)“(2x -1)x =0”是“x =0”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析:选B 由(2x -1)x =0可得x =12或0,因为“x =12或0”是“x =0”的必要不充分条件.2.(2013·九江一模)命题“若x 2>y 2,则x >y ”的逆否命题是( )A .“若x <y ,则x 2<y 2”B .“若x >y ,则x 2>y 2”C .“若x ≤y ,则x 2≤y 2”D .“若x ≥y ,则x 2≥y 2”解析:选C 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x 2>y 2,则x >y ”的逆否命题是“若x ≤y ,则x 2≤y 2”.3.(2014·福建质检)已知向量a =(m 2,4),b =(1,1),则“m =-2”是“a ∥b ”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 依题意,当m =-2时,a =(4,4),b =(1,1),所以a =4b ,a ∥b ,即由m =-2可以推出a ∥b ;当a ∥b 时,m 2=4,得m =±2,所以不能推得m =-2,即“m =-2”是“a ∥b ”的充分而不必要条件.4.(2013·聊城期末)设集合A ,B 是全集U 的两个子集,则A B 是(∁U A )∪B =U 的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 如图所示,A B ⇒(∁U A )∪B =U ;但(∁U A )∪B =U ⇒/A B ,如A =B ,因此A B 是(∁U A )∪B =U 的充分不必要条件.5.命题“若a >b ,则a -1>b -1”的否命题是________.答案:若a ≤b ,则a -1≤b -16.(创新题)已知集合A ={x |y =lg(4-x )},集合B ={x |x <a },若P :“x ∈A ”是Q :“x ∈B ”的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是________.解析:A ={x |x <4},由题意得A B 结合数轴易得a >4.答案:(4,+∞)。
高中数学命题及其关系_充分条件与必要条件
3.反证法证明命题的一般步骤 (1)否定结论,(2)从假设出发,经过推理论证得出矛盾,(3)断定
假设错误,肯定结论成立. 反证法属于间接证法,当证明一个结论成立,已知条件较少,或
结论的情况较多,或结论是以否定形式出现,如某些结论中 含有“至多”、“至少”、“惟一”、“不可能”、“不都” 等指示性词语时往往考虑采用反证法证明结论成立.
四种命题的结构不明致误
【典例2】 写出命题“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”的逆 命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假.
[剖析] 解本题易出现的错误有两个:一是对一个命题的逆命 题、否命题、逆否命题的结构认识模糊出错;二是在否定一 个结论时出错,如对“a,b都是偶数”的否定应该是“a,b 不都是偶数”,而不应该是“a,b都是奇数”.
[正解] 逆命题:“若a+b是偶数,则a,b都是偶数.”它是假命 题;
否命题:“若a,b不都是偶数,则a+b不是偶数.”它是假命题; 逆否命题:“若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数.”它是真命题.
[评析]四种命题的结构与等价关系
如果原命题是“若A,则B”,则这个命题的逆命题是“若B,则 A”,否命题是“若¬A,则¬B”,逆否命题是“若¬B,则¬A”. 这里面有两组等价的命题,即“原命题和它的逆否命题等 价,否命题与逆命题等价”.在解答由一个命题写出该命题 的其他形式的命题时,一定要明确四种命题的结构以及它 们之间的等价关系.
x2
x2
1,
2,
m m
2, 3
1,
m
2;
又≥0,即: m2 4m 12≥0;解之得m 6或m≤ 2;
高中数学专题复习(2)充要条件
高中数学专题复习(2)充要条件一、高考要求:充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念,主要用来区分命题的条件p 和结论q 之间的关系.本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义,让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系.重难点归纳:(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念:当“若p 则q ”形式的命题为真时,就记作p ⇒q ,称p 是q 的充分条件,同时称q 是p 的必要条件,因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.(2)要理解“充要条件”的概念,对于符号“⇔”要熟悉它的各种同义词:“等价于”,“当且仅当”,“必须并且只需”,“……,反之也真”等.(3)数学概念的定义具有相称性,即数学概念的定义都可以看成是充要条件,既是概念的判断依据,又是概念所具有的性质.(4)从集合观点看,若A ⊆B ,则A 是B 的充分条件,B 是A 的必要条件;若A =B ,则A 、B 互为充要条件.(5)证明命题条件的充要性时,既要证明原命题成立(即条件的充分性),又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).二、题例示范:例1.已知p :|1-31-x |≤2,q :x 2-2x +1-m 2≤0(m >0),若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件,求实数m 的取值范围.命题意图:本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象,同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用,强调了知识点的灵活性.知识依托:本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化,使考生对充要条件的难理解变得简单明了.错解分析:对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点,对否命题,学生本身存在着语言理解上的困难.技巧与方法:利用等价命题先进行命题的等价转化,搞清晰命题中条件与结论的关系,再去解不等式,找解集间的包含关系,进而使问题解决.解:由题意知:命题:若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为:p 是q 的充分不必要条件.p :|1-31-x |≤2⇒-2≤31-x -1≤2⇒-1≤31-x ≤3⇒-2≤x ≤10 q :x 2-2x +1-m 2≤0⇒[x -(1-m )][x -(1+m )]≤0:*∵p 是q 的充分不必要条件,∴不等式|1-31-x |≤2的解集是x 2-2x +1-m 2≤0(m >0)解集的子集. 又∵m >0∴不等式*的解集为1-m ≤x ≤1+m ∴⎩⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≥+-≤-9110121m m m m ,∴m ≥9,∴实数m 的取值范围是[9,+∞).例2.已知数列{a n }的前n 项S n =p n +q (p ≠0,p ≠1),求数列{a n }是等比数列的充要条件.命题意图:本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性 知识依托:以等比数列的判定为主线,使本题的闪光点在于抓住数列前n 项和与通项之间的递推关系,严格利用定义去判定.错解分析:因为题目是求的充要条件,即有充分性和必要性两层含义,考生很容易忽视充分性的证明.技巧与方法:由a n =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n关系式去寻找a n 与a n +1的比值,但同时要注意充分性的证明.解:a 1=S 1=p +q .当n ≥2时,a n =S n -S n -1=p n -1(p -1)∵p ≠0,p ≠1,∴)1()1(1---p p p p n n =p 若{a n }为等比数列,则nn a a a a 112+==p ∴qp p p +-)1(=p , ∵p ≠0,∴p -1=p +q ,∴q =-1这是{a n }为等比数列的必要条件.下面证明q =-1是{a n }为等比数列的充分条件.当q =-1时,∴S n =p n -1(p ≠0,p ≠1),a 1=S 1=p -1当n ≥2时,a n =S n -S n -1=p n -p n -1=p n -1(p -1)∴a n =(p -1)p n -1:(p ≠0,p ≠1) 211)1()1(-----=n n n n p p p p a a =p 为常数 ∴q =-1时,数列{a n }为等比数列.即数列{a n }是等比数列的充要条件为q =-1.例3.已知关于x 的实系数二次方程x 2+ax +b =0有两个实数根α、β,证明:|α|<2且|β|<2是2|a |<4+b 且|b |<4的充要条件.证明:(1)充分性:由韦达定理,得|b |=|α·β|=|α|·|β|<2×2=4.设f (x )=x 2+ax +b ,则f (x )的图象是开口向上的抛物线.又|α|<2,|β|<2,∴f (±2)>0.即有⇒⎩⎨⎧>+->++024024b a b a 4+b >2a >-(4+b ) 又|b |<4⇒4+b >0⇒2|a |<4+b(2)必要性:由2|a |<4+b ⇒f (±2)>0且f (x )的图象是开口向上的抛物线.∴方程f (x )=0的两根α,β同在(-2,2)内或无实根.∵α,β是方程f (x )=0的实根,∴α,β同在(-2,2)内,即|α|<2且|β|<2.例4.写出下列各命题的否定及其否命题,并判断它们的真假.(1)若x 、y 都是奇数,则x +y 是偶数;(2)若xy =0,则x =0或y =0;(3)若一个数是质数,则这个数是奇数.解:(1)命题的否定:x 、y 都是奇数,则x +y 不是偶数,为假命题.原命题的否命题:若x 、y 不都是奇数,则x +y 不是偶数,是假命题.(2)命题的否定:xy =0则x ≠0且y ≠0,为假命题.原命题的否命题:若xy ≠0,则x ≠0且y ≠0,是真命题.(3)命题的否定:一个数是质数,则这个数不是奇数,是假命题.原命题的否命题:若一个数不是质数,则这个数不是奇数,为假命题.例5.有A 、B 、C 三个盒子,其中一个内放有一个苹果,在三个盒子上各有一张纸条.A 盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内”,B 盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内”,C 盒子上的纸条写的是“苹果不在A 盒内”.如果三张纸条中只有一张写的是真的,请问苹果究竟在哪个盒子里?解:若苹果在A 盒内,则A 、B 两个盒子上的纸条写的为真,不合题意.若苹果在B 盒内,则A 、B 两个盒子上的纸条写的为假,C 盒子上的纸条写的为真,符合题意,即苹果在B 盒内.同样,若苹果在C 盒内,则B 、C 两盒子上的纸条写的为真,不合题意.综上,苹果在B 盒内.三、巩固练习:1.函数f (x )=x |x +a |+b 是奇函数的充要条件是( )A .ab =0 B.a +b =0 C .a =b .D .a 2+b 2=02.“a =1”是函数y =cos 2ax -sin 2ax 的最小正周期为“π”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既非充分条件也不是必要条件3.a =3是直线ax +2y +3a =0和直线3x +(a -1)y =a -7平行且不重合的___.4.命题A :两曲线F (x ,y )=0和G (x ,y )=0相交于点P (x 0,y 0),命题B :曲线F (x ,y )+λG (x ,y )=0(λ为常数)过点P (x 0,y 0),则A 是B 的__________条件.5.设α,β是方程x 2-ax +b =0的两个实根,试分析a >2且b >1是两根α、β均大于1的什么条件?6.已知数列{a n }、{b n }满足:b n =nna a a n +++++++ 321221,求证:数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列.7.已知抛物线C :y =-x 2+mx -1和点A (3,0),B (0,3),求抛物线C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件.8.p :-2<m <0,0<n <1;q :关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根,试分析p 是q 的什么条件.(充要条件)四、参考答案:1.解析:若a 2+b 2=0,即a =b =0,此时f (-x )=(-x )|x +0|+0=-x ·|x |=-(x |x +0|+b )=-(x |x +a |+b )=-f (x ).∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的充分条件,又若f (x )=x |x +a |+b 是奇函数,即f (-x )=(-x )|(-x )+a |+b =-f (x ),则必有a =b =0,即a 2+b 2=0.∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的必要条件.答案:D2.解析:若a =1,则y =cos 2x -sin 2x =cos2x ,此时y 的最小正周期为π.故a =1是充分条件,反过来,由y =cos 2ax -sin 2ax =cos2ax .故函数y 的最小正周期为π,则a =±1,故a =1不是必要条件.答案:A3.解析:当a =3时,直线l 1:3x +2y +9=0;直线l 2:3x +2y +4=0.∵l 1与l 2的A 1∶A 2=B 1∶B 2=1∶1,而C 1∶C 2=9∶4≠1,即C 1≠C 2,∴a =3⇔l 1∥l 2.答案:充要条件4.解析:若P (x 0,y 0)是F (x ,y )=0和G (x ,y )=0的交点,则F (x 0,y 0)+λG (x 0,y 0)=0,即F (x ,y )+λG (x ,y )=0,过P (x 0,y 0);反之不成立.答案:充分不必要5.解:根据韦达定理得a =α+β,b =αβ.判定的条件是p :⎩⎨⎧>>12b a ,结论是q :⎩⎨⎧>>11βα (注意p 中a 、b 满足的前提是Δ=a 2-4b ≥0)(1)由⎩⎨⎧>>11βα,得a =α+β>2,b =αβ>1,∴q ⇒p (2)为证明p q ,可以举出反例:取α=4,β=21,它满足a =α+β=4+21>2,b =αβ=4×21=2>1,但q 不成立. 综上讨论可知a >2,b >1是α>1,β>1的必要但不充分条件.6.证明:①必要性:设{a n }成等差数列,公差为d ,∵{a n }成等差数列.1212(12)[1223(1)]1231n n a a na a n d n n b nn n +++++++⋅+⋅++-∴==+++++++12(1)3a n d =+-⋅ 从而b n +1-b n =a 1+n ·32d -a 1-(n -1).32d =32d 为常数. 故{b n }是等差数列,公差为32d . ②充分性:设{b n }是等差数列,公差为d ′,则b n =(n -1)d ′∵b n (1+2+…+n )=a 1+2a 2+…+na n① b n -1(1+2+…+n -1)=a 1+2a 2+…+(n -1)a n② ①-②得:na n =2)1(2)1(--+n n b n n n b n -1 111111113[(1)][(2)](1)22222n n n n n n n a b b b n d b n d b n d -+-+-'''=-=+--+-=+-⋅ 从而得a n +1-a n =23d ′为常数,故{a n }是等差数列. 综上所述,数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列.7.解:①必要性:由已知得,线段AB 的方程为y =-x +3(0≤x ≤3)由于抛物线C 和线段AB 有两个不同的交点, 所以方程组⎩⎨⎧≤≤+-=-+-=)30(312x x y mx x y *有两个不同的实数解. 消元得:x 2-(m +1)x +4=0(0≤x ≤3)设f (x )=x 2-(m +1)x +4,则有2(1)440(0)40(3)93(1)401032m f f m m ⎧∆=+-⨯>⎪=≥⎪⎪⎨=-++≥⎪+⎪<<⎪⎩ 1033m ⇒<≤ ②充分性:当3<x ≤310时, x 1=2)1(1216)1(122+-+>-+-+m m m m >0 3216)1310(1310216)1(1222=-+++≤-+-+=m m x ∴方程x 2-(m +1)x +4=0有两个不等的实根x 1,x 2,且0<x 1<x 2≤3,方程组*有两组不同的实数解.因此,抛物线y =-x 2+mx -1和线段AB 有两个不同交点的充要条件是3<m ≤310. 8.解:若关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根,设为x 1,x 2.则0<x 1<1,0<x 2<1,有0<x 1+x 2<2且0<x 1x 2<1,根据韦达定理:⎩⎨⎧<<<-<⎩⎨⎧=-=+10202121n m n x x m x x 得 有-2<m <0;0<n <1即有q ⇒p .反之,取m =-21491,02131,21,312⨯-=∆=+-=x x n <0方程x 2+mx +n =0无实根,所以p q综上所述,p 是q 的必要不充分条件.课前后备注:1.已知p 是r 的充分不必要条件,s 是r 的必要条件,q 是s 的必要条件,那么p 是q 成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:依题意有p ⇒r ,r ⇒s ,s ⇒q ,∴p ⇒r ⇒s ⇒q .但由于r p ,∴q p . 答案:A2..“cos2α=-23”是“α=k π+12π5,k ∈Z ”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件 解析:cos2α=-23⇔2α=2k π±6π5⇔α=k π±12π5. 答案:A3.在△ABC 中,“A >B ”是“cos A <cos B ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:在△ABC 中,A >B ⇔cos A <cos B (余弦函数单调性).答案:C4.命题A :两曲线F (x ,y )=0和G (x ,y )=0相交于点P (x 0,y 0),命题B :曲线F (x ,y )+λG (x ,y )=0(λ为常数)过点P (x 0,y 0),则A 是B 的__________条件.答案:充分不必要5.函数f (x )=x 2-2ax -3在区间[1,2]上存在反函数的充分必要条件是A.a ∈(-∞,1]B.a ∈[2,+∞)C.α∈[1,2]D.a ∈(-∞,1]∪[2,+∞)解析:∵f (x )=x 2-2ax -3的对称轴为x =a ,∴y =f (x )在[1,2]上存在反函数的充要条件为[1,2]⊆(-∞,a ]或[1,2]⊆[a ,+∞),即a ≥2或a ≤1.答案:D6.已知数列{a n }的前n 项和S n =p n +q (p ≠0且p ≠1),求数列{a n }成等比数列的充要条件. 分析:先根据前n 项和公式,导出使{a n }为等比数列的必要条件,再证明其充分条件. 解:当n =1时,a 1=S 1=p +q ;当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(p -1)·p n -1.由于p ≠0,p ≠1,∴当n ≥2时,{a n }是等比数列.要使{a n }(n ∈N *)是等比数列,则12a a =p ,即(p -1)·p =p (p +q ),∴q =-1,即{a n }是等比数列的必要条件是p ≠0且p ≠1且q =-1.再证充分性:当p ≠0且p ≠1且q =-1时,S n =p n -1,a n =(p -1)·p n -1,1-n n a a =p (n ≥2),∴{a n}是等比数列.。
四种命题与充要条件
常用逻辑用语与充要条件【高考考情解读】 1.本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否定,常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查.2.试题以选择题、填空题方式呈现,考查的基础知识和基本技能,题目难度中等偏下.1.命题的定义用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.2.四种命题及其关系(1)原命题为“若p则q”,则它的逆命题为若q则p ;否命题为若┐p则┐q ;逆否命题为若┐q则┐p .(2)原命题与它的逆否命题等价;逆命题与它的否命题等价.四种命题中原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假,遇到复杂问题正面解决困难的,采用转化为反面情况处理,即,可以转化为判断它的逆否命题的真假.命题真假判断的方法:(1)对于一些简单命题,若判断其为真命题需推理证明.若判断其为假命题只需举出一个反例.(2)对于复合命题的真假判断应利用真值表.(3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性,判断其逆否命题的真假.3.充分条件与必要条件的定义(1)若p⇒q且q p,则p是q的充分非必要条件.(2)若q⇒p且p q,则p是q的必要非充分条件.(3)若p⇒q且q⇒p,则p是q的充要条件.(4)若p q且q p,则p是q的非充分非必要条件.设集合A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q},则有(1)若A⊆B,则p是q的充分条件,若A⊇B,则p是q的充分不必要条件;(2)若B⊆A,则p是q的必要条件,若B⊇A,则p是q的必要不充分条件;(3)若A=B,则p是q的充要条件;(4)若A⃘B,且B⃘A,则p是q的既不充分也不必要条件.2.充分、必要条件的判定方法(1)定义法,直接判断若p则q、若q则p的真假.(2)传递法.(3)集合法:若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则①若A⊆B,则p是q的充分条件;②若B⊆A,则p是q的必要条件;③若A=B,则p是q 的充要条件.(4)等价命题法:利用A⇒B与┐B⇒┐A,B⇒A与┐A⇒┐B,A⇔B与┐B⇔┐A的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法,利用原命题和逆否命题是等价的这个结论,有时可以准确快捷地得出结果,是反证法的理论基础.1.简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词.(2)简单复合命题的真值表:p q ┐p ┐q p或q p且q┐(p或q)┐(p且q)┐p或┐q┐p且┐q真真假假真真假假假假真假假真真假假真真假假真真假真假假真真假假假真真假假真真真真2.(1)常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.(2)常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.3.全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题.(2)含有存在量词的命题叫特称命题.4.命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题.(2)p或q的否定:非p且非q;p且q的否定:非p或非q.注:1.逻辑联结词“或”的含义逻辑联结词中的“或”的含义,与并集概念中的“或”的含义相同.如“x∈A或x∈B”,是指:x∈A且x∉B;x∉A且x∈B;x∈A且x∈B三种情况.再如“p真或q真”是指:p 真且q假;p假且q真;p真且q真三种情况.2.命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p,则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题,它既否定其条件,又否定其结论;“命题的否定”即“非p”,只是否定命题p的结论.命题的否定与原命题的真假总是对立的,即两者中有且只有一个为真,而原命题与否命题的真假无必然联系.3.含一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.1.(2013·皖南八校)命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是()A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数”B.“若一个数的平方是正数,则它是负数”C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”解析依题意得原命题的逆命题是:若一个数的平方是正数,则它是负数.选B. 2.(2012·湖北)命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是()A.任意一个有理数,它的平方是有理数B.任意一个无理数,它的平方不是有理数C.存在一个有理数,它的平方是有理数D.存在一个无理数,它的平方不是有理数答案 B解析这是一个特称命题,特称命题的否定不仅仅要否定结论而且要将相应的存在量词“存在一个”改为全称量词“任意一个”,故选B。
02总复习:四种命题、充要条件知识梳理
数学高考总复习:四种命题、充要条件【考纲要求】1、理解命题的概念.2、了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系。
3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.【知识网络】四种命题、充要条件充要条件四种命题及其关系互为逆否关系的命题等价充分、必要、充要、既不充分也不必要【考点梳理】一、命题:可以判断真假的语句。
二、四种命题原命题:若p 则q ;原命题的逆命题:若q 则p ;原命题的否命题:若p ⌝,则q ⌝;原命题的逆否命题:若q ⌝,则p⌝三、四种命题的相互关系及其等价性1、四种命题的相互关系互逆⌝⌝否命题若p则q 原命题若p则q逆命题若q则p ⌝⌝逆否命题若q则p互逆互逆否为互逆否为否否互互2、互为逆否关系的命题同真同假,即原命题与逆否命题的真假性相同,原命题的逆命题和否命题的真假性相同。
所以,如果某些命题(特别是含有否定概念的命题)的真假性难以判断,一般可以判断它的逆否命题的真假性。
四、充分条件、必要条件和充要条件1、判断充要条件,首先必须分清谁是条件,谁是结论,然后利用定义法、转换法和集合法来判断。
如:命题p 是命题q 成立的××条件,则命题p 是条件,命题q 是结论。
又如:命题p 成立的××条件是命题q ,则命题q 是条件,命题p 是结论。
又如:记条件,p q 对应的集合分别为A,B 则A B ⊂,则p 是q 的充分不必要条件;A B ⊃,则p 是q 的必要不充分条件。
2、“⇒”读作“推出”、“等价于”。
p q ⇒,即p 成立,则q 一定成立。
3、充要条件已知命题p 是条件,命题q 是结论(1)充分条件:若p q ⇒,则p 是q 充分条件.所谓“充分”,意思是说,只要这个条件就够了,就很充分了,不要其它条件了。
如:3x <是4x <的充分条件。
(2)必要条件:若q p ⇒,则p 是q 必要条件.所谓“必要”,意思是说,这个条件是必须的,必要的,当然,还有可能需要其它条件。
命题及其关系、充要条件
演绎推理、归纳推理、类比推理。
推理的规则和形式
规则
必须遵守形式逻辑的规则,确保推理 的正确性。
形式
包括前提、结论和推理形式,如"如果 P,则Q"等。
推理的方法和技巧
方法
包括直接推理、间接推理、反证法等。
技巧
如排除法、归纳法、演绎法等,有助于简化推理过程。
05
命题的否定与等价
命题的否定
命题的否定是指将一个命题的真假性取反。例如,如果一个命题是 “所有动物都是哺乳动物”,那么它的否定就是“存在一个动物不 是哺乳动物”。
利用充要条件可以简化证明过 程,提高证明效率。
在逻辑推理中的应用
充要条件是逻辑推理中的重要 概念,用于判断推理的正确性 。
在日常生活中的应用
充要条件可以帮助我们更好地 理解事物之间的联系,做出正 确的决策。
03
命题逻辑
命题逻辑的基本概念
命题
一个具有真假意义的陈述句。
真值
命题所表达的实际情况。
复合命题
由简单命题通过逻辑联结词组合而成的命题。
简单命题
不包含其他命题作为其组成部分的命题。
命题逻辑的推理规则
演绎推理
从一般到特殊的推理方式,即从普遍性前提推出特殊 性结论的推理。
归纳推理
从特殊到一般的推理方式,即从个别性前提推出普遍 性结论的推理。
类比推理
根据两个或两类对象在某些属性上相同,推断出它们 在其他属性上也相同的推理。
命题组公理或基本命题,通过逻辑推理得出结论 的方法。
反证法
通过假设与已知事实相矛盾的命题,进而推出矛盾 ,从而证明原命题正确的方法。
直接证明
直接利用已知条件和推理规则,逐步推导到结论的 方法。
正确理解与区分命题的否定与否命题
正确理解与区分命题的否定与否命题命题的否定与否命题是逻辑学的难点之一,为了突破这一难点,本文试图全面而又详细地阐述之,以飨读者.一、命题的否定与否命题的相关概念1.定义:设“若p 则q ”为原命题,那么“若非p 则非q ”就叫做原命题的否命题.设“p ”是一个命题,那么“非p ”叫做命题p 的否定.“非p ”记作“p ⌝”2.区别:否命题是对原命题的条件与结论都作否定,否命题与原命题可同真同假,也可一真一假.而命题的否定是(1)在不考虑命题的条件与结论的情况下对整个命题作否定,此时只需在原命题前加“并非”即可.(2)如果考虑命题的条件与结论,则仅仅对命题的结论作否定.任何一个命题与该命题的否定必定是一真一假(常用这一点来验证写出来的命题的否定是否正确).二、命题的否定中的关键词剖析1.一般命题中“都…”对应于“不都…”,而不是对应于“都不…”; “全…”对应于“不全…”,而不是对应于“全不…”.“…且…”对应于“…或…”;“…或…”对应于“…且…”,2.全称命题与存在性命题中“任意…” 对应于“有些…”等;“存在…” 对应于“所有…”等.“至少有一个” 对应于“一个都没有”等;“至多有一个” 对应于“至少有两个”等.三、否命题的改写说明:原命题如果是“若p 则q ”或“如果…,那么…”的形式,则按照否命题的定义改写即可,原命题如果不是上面的形式,则先改写成上面的形式后,再去写它的否命题.四、命题的否定与否命题的易错题举例.1.写出“若a ,b 都是正数,则ab b a 2≥+.”的否命题.解答:若a ,b 不都是正数,则ab b a 2<+.评注: “都是正数”的否定是“不都是正数”而不是“都不是正数”.如果把“a ,b 都是正数”理解成“a 是正数且b 是正数”,则其否定也可写成“a 不是正数或b 不是正数”.2.写出“两个奇数的和是偶数”的否命题与命题的否定.解答:否命题:若两个数不全是奇数,则它们的和不是偶数.命题的否定:两个奇数的和不是偶数评注:(1)“两个奇数的和是偶数”意思是“有两个数全是奇数,则它们的和是偶数”.(2) “是偶数”的否定是“不是偶数”,而不是 “是奇数”(为什么?).3.写出下列命题的否定:(1)有些常数数列不是等比数列. (2)平行四边形是菱形.解答:(1) 任意一个常数数列都是等比数列.(2) 平行四边形不都是菱形.评注:一般地说,存在性命题的否定可以是全称命题,全称命题的否定可以是存在性命题.所以(1)题的否定是一个全称命题.“平行四边形是菱形”根据意思其实也是一个全称命题,故也可以用“有些平行四边形不是菱形”作为答案,而解答中仅是对结论作否定的,比较简洁,当然也行的.4.已知“p :不等式022>--x x 的解集是{}12|-<>x x x 或”,那么“非p ”为 . 解答:不等式022>--x x 的解集不是{}12|-<>x x x 或. 评注:命题p 是一个简单命题,而不是复合命题,故不能认为“非p ”为“不等式022>--x x 的解集是{}21|≤≤-x x ”.类似地:命题“方程012=-x 的解是1±=x ”也是一个(没有使用逻辑联结词的)简单命题.5.已知p :0212>--x x ,则“非p ”对应的x 值的集合是 . 解答:由于0212>--x x ⇔022>--x x ⇔21>-<x x 或,即p :21>-<x x 或;所以“非p ”对应的x 值的集合是{}21|≤≤-x x .评注:不能错误认为“非p ”为0212<--x x 而解得为{}21|<<-x x . 6.设p :062≥-+x x ,q :02||12<-+x x ,则p 是q ⌝的 条件. 解答:由02||12<-+x x ⇔22<<-x 知q ⌝:22≥-≤x x 或. 062≥-+x x ⇔23≥-≤x x 或知p :23≥-≤x x 或而23≥-≤x x 或⇒22≥-≤x x 或且反之不成立,所以p 是q ⌝的充分不必要条件.评注:出错之处是:认为q ⌝为02||12≥-+x x ,进而得到q ⌝:22>-<x x 或,从而导致错误答案为p 是q ⌝的既不充分也不必要条件.命题的否定形式与否命题的区别是什么?命题的否定就是将原来的命题的结论否定比如,原命题是:三角形有三个角,否定就是三角形没有三个角;而否命题是将假设和结论都否定,比如上例的否命题就是:不是三角形的没有三个角(此文档部分内容来源于网络,如有侵权请告知删除,文档可自行编辑修改内容,供参考,感谢您的配合和支持)。
集合的运算、命题与充要条件
教学目标
重点、难点
考点及考试要求
集合的三种运算及集合的思想会判断命题的真假和充分条件,必要条件和充要条件
教学内容
一、基础知识点:
知识点复习: 1、交集的运算性质
A B B A;A B A ;A B B ;A U A;A A A;A
2、并集的运算性质:
例4
p 是 q 的充要条件的是 [ A.p:3x+2>5,q:-2x-3>-5 B.p:a>2,b<2,q:a>b C.p:四边形的两条对角线互相垂直平分,q:四边形是正方形 D.p:a≠0,q:关于 x 的方程 ax=1 有惟一解 ]
练习:若 A 是 B 成立的充分条件,D 是 C 成立的必要条件,C 是 B 成立的充要条件,则 D 是 A 成立的 [ A.充分条件 C.充要条件 B.必要条件 D.既不充分也不必要条件 ]
判断充判断充判断充分条件必要条件和充要条件分条件必要条件和充要条件分条件必要条件和充要条件集合的三种运算及集合的思想会判断命题的真假和充分条件必要条件和充要条件集合的三种运算及集合的思想会判断命题的真假和充分条件必要条件和充要条件集合的三种运算及集合的思想会判断命题的真假和充分条件必要条件和充要条件知识点复习
(
)
10.已知全集 I=N,集合 A={x|x=2n,n∈N},B={x|x=4n,n∈N},则 A.I=A∪B 11.设集合 M= { x | x A.M =N
k 2
(
)
B.I= C I A ∪B
ห้องสมุดไป่ตู้ 1 4
C.I=A∪ C I B
k 4 1 2
D.I= C I A ∪ C I B ( )
A B B A;A B A ;A B B ;A U U ;A A A;A A。
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7.2 命题与充要条件(命题的否定)
一、基础知识
1. 命题的概念
2. 充分条件与必要条件
3. 含有一个量词的命题的否定
二、课前自测
1. 下列四个命题中的真命题为
A. ,
B. ,
C. ,
D. ,
2. 若命题:,,则该命题的否定是
A. ,
B. ,
C. ,
D. ,
3. 已知命题:,,则是
A. ,
B. ,
C. ,
D. ,
4. 在中,“”是“”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5. “”是“函数在区间上为增函数”的
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分又不必要条件
6. 设,是两个实数,则使“,中至少有一个大于”成立的一个充分条件是
A. B. C. D.
三、典型例题
1. 下列命题:
① ,;
② ,;
③ ,;④ ,;
⑤ ,;
⑥ ,.
其中是真命题的序号为.
2.(1)“”是“”的
A. 充要条件
B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
(2). 设,则“”是“”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
(3). 设,是实数,则“”是“”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. (1)已知,非空集合.若是
的必要条件,则的取值范围为.
(2)把(1)中的“非空”去掉,求的取值范围.
(3)把(1)中的“必要条件”改为“充分条件”,求的取值范围.
(4)(1)中条件不变,问是否存在实数,使是的充要条件?并说明理由.
基础知识
1.命题:可以判断真假的语句。
2.当命题“若p则q”为真时,p称为q的充分条件,q称为p的必要条件。
3.命题“”的否定是“”
命题“”的否定是“”
课前自测
1. D
2. C
3. A
4. B
5. B
6. B
典型例题
1. ①③
2.(1) . B
(2). B
(3). D
3. (1)
【解析】由,得,
所以,
由是的必要条件,知.
则
所以当时,是的必要条件,即所求的取值范围是.(2)(,]
(3)由是的充分条件,知,
则
解得,
即的取值范围是.
(4)不存在.
理由:若是的充要条件,则,
所以
所以无解,
所以不存在实数,使是的充要条件.
一、选择题
1. 设命题平面向量和,,则为
A. 平面向量和,
B. 平面向量和,
C. 平面向量和,
D. 平面向量和,
2. 已知命题“,”为假命题,则实数的取值范围为
A. B. C. D.
3. 设函数,,则“”是“函数为奇函数”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 已知,为第一象限的角,则“”是“”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5. 若“”是“不等式成立”的必要不充分条件,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
6. 设,是两个不同的平面,是直线且,“”是“”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
7. 已知,‘‘函数有零点”是“函数在上为减函数”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
二、填空题
8. 已知命题,,则该命题的否定是.
9. 已知:,若是假命题,是真命题,则实数的取值范围
为.
10. 设命题:实数满足,其中;命题:实数满足
,且是的必要不充分条件,则实数的取值范围是.
三、解答题
11. 已知;.若是的必要不充分条件,求实数的取值范围.
答案
第一部分
1. D 【解析】先改换量词,再否定结论,为平面向量和,.
2. A 【解析】由题意可知“,”为真命题,
所以,解得.
3. C 【解析】当时,为奇函数,充分性成立;
若是奇函数,则有,恒成立,即,即
,对于恒成立,则,必要性成立,所以“”是“函数为奇函数”的充要条件.4. D 【解析】易知角,的终边在第一象限,若当,时,满足,但
,则不成立,即充分性不成立;
若当,时,满足,但不成立,即必要性不成立,故“”是“”的既不充分也不必要条件.
5. A
【解析】因为“”是“不等式成立”的必要不充分条件,
所以,即的解集是的子集,
令,易知为上的增函数,
则,所以.
6. B 【解析】由两平面平行的判定定理可知,
当一个平面内的两条相交直线均平行于另一平面时,
两平面平行,
所以“”不能推出“”;
若两平面平行,
则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面,
所以“”可以推出“”,
因此“”是“”的必要而不充分条件.
7. B 【解析】函数有零点,则,即,函数在
上为减函数,所以.所以应为必要不充分条件.
第二部分
8. ,
【解析】对于含有全称量词或存在量词的命题,求其否定时,应先改变量词,再否定结论.
9.
【解析】因为是假命题,所以,解得;
又是真命题,所以,解得,
故实数的取值范围是.
10.
【解析】不等式的解集为,不等式的解集为或,因为是的必要不充分条件,则,故实数的取值范围是.
11. 易知:或.
由是的必要不充分条件,得,.
当时,显然有,.
当时,:或.
若,则
解得,这时显然有.
当时,:或.
若,则
解得,这时显然有.
综上,当时,是的必要不充分条件.。