高考数学复习点拨 命题的否定与否命题
命题的否定和否命题 举例
命题的否定和否命题举例命题的否定和否命题命题是指能够明确判断真假的陈述句，例如“今天是星期一”。
而命题的否定是指对原命题的反向陈述，例如“今天不是星期一”。
而否命题则是指对原命题的完全相反的陈述，例如“今天不是星期二”。
一、命题的否定1.1 否定的定义否定是指对原命题进行反向陈述，即将其真假性质颠倒。
如果原来的命题为真，那么它的否定就为假；如果原来的命题为假，那么它的否定就为真。
1.2 否定的表示方法在逻辑中，常用符号“¬”表示否定。
例如，“¬p”表示对p进行了否定。
1.3 否定与肯定之间的关系在逻辑中，肯定和否定之间存在着互补关系。
即一个命题与其否定只有一个为真，另一个必须为假。
二、否命题2.1 否命题的定义否命题是指对原来的命题进行完全相反的陈述。
如果原来的命题为真，则其否命题为假；如果原来的命题为假，则其否命题为真。
2.2 否命题与否定之间的区别否命题与否定之间的区别在于，否命题是对原来的命题进行了完全相反的陈述，而否定只是对原来的命题进行了反向陈述。
2.3 否命题的表示方法在逻辑中，常用符号“∼”或“~”表示否命题。
例如，“∼p”或“~p”表示对p进行了否命题。
三、举例说明3.1 命题的否定举例原命题：“今天是星期一。
”否定：“今天不是星期一。
”解释：如果原来的命题为真，则其否定为假，即如果今天是星期一，则今天不可能不是星期一。
3.2 否命题举例原命题：“今天是星期一。
”否命题：“今天不是星期二。
”解释：如果原来的命题为真，则其否命题为假，即如果今天是星期一，则今天肯定不可能不是星期二。
结语：通过以上内容可以得知，在逻辑学中，除了肯定和否定之外还有一个重要概念——否命题。
而这些概念在日常生活中也经常被运用到。
因此，掌握这些概念能够帮助我们更好地理解和分析各种事物。
命题的否定和否命题的区别
命题的否定和否命题的区别命题的否定与否命题有什么区别1.命题的否定只否定该命题的结论，而否命题则否定原命题的条件和结论。
比如:“若a>0.则a+b>0”这个命题的否定是“存在a>0,使得a+b<=0”,否命题是“存在a<=0,使得a+b<=0”；在大学阶段，“只否定命题结论”的说法不一定正确，根据真值表（True T able），在A为假命题的情况下，非(A=>B)与A=>非B并不是逻辑相等的。
参考：滑铁卢大学数学教材对于“若A则B”式命题的否定为“A且非B”。
2.一个命题与它的否定形式是完全对立的。
两者之间有且只有一个成立。
数学中常用到反证法，要证明一个命题，只需要证明它的否定形式不成立就可以了。
而对于否命题，它是否成立和原命题是否成立没有直接关系。
举例命题的否定与否命题的易错题1、写出“若a，b都是正数，则a+b大于等于2√ab.”的否命题。
解答：若a，b不都是正数，则a+b大于等于2√ab.。
评注：“都是正数”的否定是“不都是正数”而不是“都不是正数”．如果把“a，b都是正数”理解成“a是正数且b是正数”，则其否定也可写成“a不是正数或b不是正数”。
2、写出“两个奇数的和是偶数”的否命题与命题的否定。
解答：否命题：若两个数不全是奇数，则它们的和不是偶数。
命题的否定：两个奇数的和不是偶数。
评注：(1)“两个奇数的和是偶数”意思是“有两个数全是奇数，则它们的和是偶数”。
(2)“是偶数”的否定是“不是偶数”，而不是“是奇数”。
3、写出下列命题的否定：(1)有些常数数列不是等比数列。
(2)平行四边形是菱形。
解答：(1)任意一个常数数列都是等比数列。
(2)平行四边形不都是菱形。
评注：一般地说，存在性命题的否定可以是全称命题，全称命题的否定可以是存在性命题．所以(1)题的否定是一个全称命题．“平行四边形是菱形”根据意思其实也是一个全称命题，故也可以用“有些平行四边形不是菱形”作为答案，而解答中仅是对结论作否定的，比较简洁，当然也行的。
否命题与命题的否定
否命题与命题的否定一、识别否命题与命题的否定1．命题的否命题：既否定命题的条件又否定命题的结论，命题“若p 则q ”，则其否命题是“若非p ，则非q ”。
2．“非m ”叫做命题m 的否定，对命题怎样否定呢？保留其条件，否定其结论，即命题是“若p，则q ”，那么命题“非m ”是：若p ，则非q 。
由此可知命题的否定与原命题的条件相同，结论相反；命题的否定与原命题的的真假相反；。
二、区别否命题与命题的否定1．注意区分“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念。
命题的否定为“非”，记作，一般只是否定命题的结论，否命题是对原命题“若p 则q ”既否定它的条件，又否它的结论。
2．“非”是否定的意思，一个命题m经过使用逻辑联结词“非”，构成了一个复合命题“非m ”，从集合的角度可以看作是在全集中的补集。
“非”的含义有四条：①“非m ”只否定的结论；②m与“非m ”的真假必须相反；③“非m ”必须包含原结论的所有对立面；④“非m ”必须使用否定词语。
三、实例帮您理解否命题与命题的否定对于这两个问题，有些同学对命题的否定不知如何把握，很容易与否命题混淆，下面以具体实例作一比较。
若m是一个命题，则非m 是m 的否定，它是对整个命题进行否定。
命题“若p 则q ”的否命题是“若非p 则非q ”，即对命题的题设与结论同时否定，例如：①命题：（所有）质数不都是奇数（真）；否定形式：（所有）质数都是奇数（假）；否命题：有些质数是奇数（真）。
②命题：面积相等的三角形一定是全等三角形（假）；否定形式：面积相等的三角形不一定是全等三角形（真）；否命题：面积不相等的三角形一定不是全等三角形（真）。
四、“或”、“且”连结的命题的否定形式“p 或q ”的否定是“非p且非q”；“p且q”的否定形式是“非p 或非q ”。
它类似于集合中的“并、交”，如“实数a与b 均为零”的否定是“实数a 与b中至少有一个不为零”，而不是“实数a与b 都不为零”；“实数a与b中至少有一个为零”的否定是“实数a 与b 均为零”。
否命题与命题的否定和反证法
∴（p+q）2 =p2＋q2+2pq=2+2pq ≤4
∴p+q ≤2，这与命题的条件p＋q＞2相矛盾，
∴假设不成立，即p2＋q2≠2，
故原命题为真命题。
反证法
（同题多解，学会等价法与反证法地灵活应用）
关于反证法
在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来 间接证明原命题为真命题.
否命题与命题的否定 关于反证法
紐绅中学
否命题与命题的否定
否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题。 命题的否定是逻辑联结词“非”作用于判断,只否定结
论不否定条件。 对于原命题: 若 p , 则 q 有
否命题: 若┐p , 则┐q 。 命题的否定: 若 p ，则┐q 。
例.命题：△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角.命
• 证明一：要证“若p＋q＞2，则p2＋q2≠2”
只需证它的逆否命题“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”成立。
∵p2＋q2=2，则2=p2＋q2≥2pq ∴pq≤1
∴（p+q）2 =p2＋q2+2pq=2+2pq ≤4
∴p+q ≤2 ∴逆否命题为真命题，
故原命题也为真命题。
等价法
证明二：假设p2＋q2=2，则2=p2＋q2≥2pq ∴pq≤1
方法一：直接法，从命题的条件p出发，经 推理直接得出结论p，证明其为真命题；
方法二：等价法，证明命题（若p，则q） 的等价命题——逆否命题（若┐q，则┐q） 为真，则原命题也为真；
方法三：反证法，证明命题的否定（若p， 则┐q）为假命题，从而间接地证明了命题 （若p，则q）为真命题。
例1： 证明：若p＋q＞2，则p2＋q2≠2.
高考数学复习点拨 命题的若干否定
命题的假设干否认在形式逻辑中，我们把反映事物具有或不具有某种属性或关系的思维形式叫做判断．表达判断的语句叫命题．在数学中，用语言、符号或式子表示的并且能区别真假的语句叫数学命题．命题按能否分解可分为简单命题和复合命题，按其所判断的是事物的性质或存在的关系可分为性质命题和关系命题．在数学证明中，准确无误地写出一个命题的否认式是十分重要的．一、简单命题的否认1．性质命题的否认每一个性质命题都由主项、谓项、量项、联项四局部组成，其中立项表示被判断的对象；谓项表示主项的性质；量项表示主项的数量，分为全称量项和特称量项，全称量项常用“一切〞、“所有〞、“每一个〞、“任意一个〞等词语表达，特称量项常用“有些〞、“存在〞、“至少有一个〞等词语表达；联项表示主项与谓项的联系，分为肯定联项与否认联项，前者常用“是〞、“有〞表示，后者常用“不是〞。
“没有〞表示．如命题“至少有一个质数不是奇数〞中，“质数〞为主项，“奇数〞为谓项，“至少有一个〞为量项，“不是〞为联项．性质命题除全称命题和特称命题外，还有一种命题叫做单称命题，它的主项的外延不是一类事物，而是单独的个体．单称命题的否认极为简单，只要否认“联项〞即可．例如“2是偶数〞的否认为“二不是偶数〞；“小王不是团员〞的否认为“小王是团员〞．而全称命题和特称命题的否认，一般要对“量项〞和“联项〞同时进行否认，全称与特称互为否认，肯定与否认互为否认．例如，命题“一切矩形是平行四边形〞的否认为“存在一个矩形不是平行四边形〞；命题“至少有一个质数不是奇数〞的否认为“所有的质数都是奇数〞．特别要注意的是，由于全称量项表示主项的全部外延，往往可以省略不写，从而在作命题否认时易将全称命题误当为单称命题处理而出错，如将命题p“实数的绝对值是正数〞否认写成“实数的绝对值不是正数〞这就错了．很显然，这里的“p〞与“〞都是假命题，“〞复合命题的真值表相矛盾．究其原因，命题p为全称命题而不是单称命题，省略了量词“所有〞，正确的否认形式是“存在一个实数的绝对值不是正数〞．事实上由于实数是一个全称概念，命题p应为“实数的绝对值〔都〕是正数〞故其否认形式亦可写成“实数的绝对值不都是正数〞．另外，我们常用“都是〞表示全称肯定，用“不都是〞表示特称否认，这两者互为否认；而用“都不是〞表示全称否认，它的否认形式应特称肯定，可用“至少有一个是〞来表达．2．关系命题的否认关系命题由主项、谓项和量项三局部组成，主项是存在某种关系的对象，谓项是对象之间的某种关系，量项表示主项的数量〔用全称量词和特称量词表示〕．关系命题的否认与性质命题的否认相似，需要对“谓项〞和“量项〞同时进行否认，例如命题“对任意实数x，都有〞的否认是“存在一个实数x，使得〞；命题“至少有一个锐角，使〞的否认是“对所有的锐角，都有〞．和性质命题类似，作命题否认时，不能把省略量词的全称命题当作单称命题去做，例如命题“自然数的平方大于零〞的否认不是“自然数的平方不大于零〞，而是“存在一个自然数的平方不大于零〞．二、复合命题的否认复合命题有五种根本形式，分别用五个逻辑联结词“非〞、“且〞、“或〞、“假设…那么…〞、“等值〞〔〕由命题p或q组成．1．非命题的否认“〞是对命题“p〞的否认，命题“〞与命题“p〞的真假正好相反．对“〞的否认，就是对命题“p〞的否认之否认，因此，命题“p〞与命题“〞具有相同的真值，逻辑学上称为逻辑等价或等价命题．故“p〞可作为“〞的否认〔有特殊要求的除外〕．例如命题“不是有理数〞的否认是“是有理数〞，命题“不是每个人都会开车〞的否认是“并非不是每个人都会开车〞即“每个人都会开车〞．2．联言命题的否认用联结词“且〔〕〞联结两个命题p、q构成的复合命题“〞称为联言命题．当且仅当p、q，p、q皆真时为真．联言命题的否认可根据德摩根律“〞来写，例如命题“2是质数且是偶数〞的否认为“2不是质数或不是偶数〞；命题“某班至少有一个同学既不会唱歌又不会跳舞〞的否认为“某班所有的同学或者会唱歌或者会跳舞〞，即“某班没有一个同学既不会唱歌又不会跳舞．〞3．选言命题〔〕的否认用联结词“或〔〕〞联结两个命题p、q，构成的复合命题“〞称为选言命题．当且仅当p、q皆假时为假．与联言命题类似，选言命题的否认可根据德摩根律“〞来写，例如，命题“123是2的倍数或是3的倍数〞的否认为“123不是2的倍数且不是3的倍数〞；命题“全班同学都是三好生或共青团员〞的否认是“全班同学中至少有一个同学不是三好生且不是共青团员〞．必须说明的是，日常生活中的“或〞有两种意义：可兼的和不可兼的．而在命题中的“或〞是可兼的．4．假言命题〔〕的否认用联结词“假设…那么…〞联结两个命题p、q，构成的复合命题“假设p那么〞称为p、q的蕴含式或称假言命题．当且仅当p真q假时为假．由命题演算定律：，可写出假言命题〔〕的否认．例如，命题“假设，那么〞〔省略量词的全称命题〕的否认是“有在实数x和y，使且；命题“假设a和b是偶数，那么是偶数〞的否认是“存在数a 和b是偶数，且不是偶数〞．必须注意，假言命题的否命题与该命题的否认是两个不同的概念．首先，对象不同，否命题仅针对假言命题而言，而任一命题都可以写出它的否认．其次，命题的否认式是原命题的矛盾命题，两者一真一假，而假言命题的否命题那么木然，与原命题的真假可能相反也可能相同．如上述命题“假设a和b是偶数，那么是偶数〞的否命题是“假设a或b不是偶数，那么不是偶数〞，仍是全称命题，而其否认式“存在数a和b是偶数，且不是偶数〞是一个特称命题．5．等值式命题〔〕的否认用联结词“等值〞联结两个命题p、q，构成的复合命题“p等值〞称为p、q 的等值式．当且仅当p、q具有相同的真假值时为真．等值式“〞的语言表达也有多种形式，如p当且仅当q；p是q的充分必要条件；假设p那么q并且假设q那么p．等值式命题〔〕的否认比拟简单，只要否认“联项〞即可．例如命题是实数一元二次方程有实根的充分必要条件〞否认可写成“不是实系数一元二次方程有实根的充分必要条件〞；命题“等价于的否认为“不等价于〞。
高考数学复习点拨：命题的否定与否命题辨析 (1)
命题的否定与否命题辨析在学习“简易逻辑”时，有些同学对命题的否定不知如何把握且容易与一个命题的否命题混淆，本文想就此作一辩析．一、辨析1、定义区别定义原命题：若p，则q 命题的否定指对结论的否定若p，则非q 否命题指对命题的条件与结论同时否定若非p，则非q2、真假关系表命题的否定形式、否命题与原命题的真假关系表：原命题否定形式否命题真假与原命题的真假无关假真3、常用关键词的否定把握好命题的否定和正确地写出命题的否命题，必须掌握一些关键词语的否定，见下表：正面词语大(小)于是或有全都任何所有的否定词语不大(小)于不是且无不都某些有几个不全正面词语至少有一个任意两个至多有n个任意的都是否定词语一个都没有某两个至少有n+1个某个不都是二、例题讲解[例1]写出命题“相似三角形是全等三角形”的否定形式及否命题，并判断它们的真假．解：原命题：相似三角形是全等三角形(假)．原命题的否定形式：相似三角形不是全等三角形(真)．原命题的否命题：不相似的三角形不是全等三角形(真)．注：原命题与原命题的否定形式的真假相反．[例2]写出下列命题的否命题：⑴若m＞0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根；⑵若x，y都是奇数，则x＋y是奇数；⑶若abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0；⑷当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc．解：原命题的否命题分别是：⑴若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实数根；⑵若x，y不都是奇数，则x＋y不是奇数；⑶若abc≠0，则a，b，c全不为0；⑷当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc．评注：将以上命题的条件与结论中关键词加以否定即可，⑴“＞”、“有”；⑵“都是”、“是”；⑶“＝”、“至少有一个”，⑷“＜”，要注意“c＞0”是大前提，不要对其进行否定．[例3]写出命题“若△ABC是等腰三角形，则它有两个内角相等”的否命题和逆否命题，并判断其真假．解：否命题：若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等(真)；逆否命题：若△ABC的任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形(真)．评注：逆否命题(若┐q则┐p)是否命题(若┐p和┐q)的逆命题．[例4]写出下列命题的“非p形式”的复合命题．⑴p：对顶角相等；⑵p：平行四边形一定是菱形；⑶p：2123x x+-≥0．分析：⑴p：对顶角相等(真)，┐p：对顶角不相等(假)；⑵p：平行四边形一定是菱形(假)，这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”呢?若为“平行四边形一定不是菱形”，仍为假命题，与真值表相违，故原命题的┐p：平行四边形不一定是菱形(真)．⑶若认为┐p：2123x x +-＜0，那就错了．┐p是对p的否定，包括2123x x+-＜0或2123x x+-＝0．或∵p：x＞1或x＜－3，∴┐p：－3≤x≤1．评注：写出命题p的“非p”形式，要注意对命题p进行整体考虑或考虑“p”与“┐p”的真假，不能与真值表相悖．[例5]写出下列命题的“非p”形式的复合命题：⑴x＝0或y＝0；⑵△ABC是等腰直角三角形．分析：命题“p或q”与“p且q”的“非p”形式如下命题p或q p且q非p形式(┐p)且(┐q) (┐p)或(┐q)⑵┐p：△ABC不是等腰三角形或不是直角三角形．[例6]用反证法证明：△ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是锐角．分析：“∠B一定是锐角”的否定是“∠B一定不是锐角”(注意：不能否定为“∠B不一定是锐角”)，即∠B≥90°，则∠C＋∠B≥180°，矛盾．(证明略)评注：反证法与命题的否定形式关系密切，它是从假设“命题结论的否定成立”出发，经过推理得出矛盾从而肯定命题结论正确的一种证明方法．。
高考数学复习点拨：关于逻辑“非”的几点认识
关于逻辑“非"的几点认识江苏李志园在“简易逻辑”的学习中，许多同学对“非”的理解存在一定的困难,下面就如何深刻理解“非”的含义谈几点看法。
1．“非”是否定的意思，必须只否定结论要注意命题的否定与否命题的区别。
对于命题“若p则q"，其命题的否定是“若p则非q”，其否命题则是“若非p则非q”。
例1.命题p：如果两个三角形全等，则它们的面积相等.写出“非p”解：“非p”为：如果两个三角形全等，则它们的面积不相等。
否命题为：如果两个三角形不全等,则它们的面积不相等.2．注意常见词“或”“且”“都”等词语的否定“p或q"、“p且q”的否定分别是“非p且非q”和“非p 或非q"，“都”的否定是“不都”而不是“都不”.另外还有“等于”的否定是“不等于"，“大（小）于”的否定是“不大(小）于",“所有”的否定是“某些"，“任意"的否定是“某个",“至多有一个”的否定是“至少有两个”等等.例2．写出下列命题的“非p”形式（1)菱形的对角线互相垂直且平分（2）李明是篮球运动员或跳高运动员（3）三个角对应相等的三角形都相似解：命题的非p形式是：（1）菱形的对角线不垂直或不平分（2）李明不是篮球运动员且不是跳高运动员（3）三个角对应相等的三角形不都相似3．p与“非p”的真值性必须相反一个命题p经过使用逻辑联结词“非”而构成一个复合命题“非p"，当p为真时，则“非p”为假,当p为假时，则“非p”为真。
例3．写出“四条边都相等的四边形是正方形”的“非p”形式解：非p:四条边都相等的四边形不都是正方形。
很多同学答成：四条边都相等的四边形不是正方形。
认真分析一下：原命题为假，其“非p ”必然为真，“四条边都相等的四边形不是正方形”显然为假，所以不能作为原命题的“非p”形式。
所以要注意，“是”的否定有时为“不是”,有时为“不都是”,所以一个命题的“非p”形式正确与否，可以用真值性加以判断。
命题的否定和否命题的区别
命题的否定和否命题的区别
（1）从定义的角度：
<1>否命题：设原命题是“若p则q”形式，那么“若非p则非q”就叫做原命题的否命题；
<2>命题的否定：设“p”是一个命题，那么“非p”叫做命题p的否定。
（2）从真值的角度：
<1>否命题：
是对原命题的条件和结论都进行否定，“若p则qà若非p则非q”，对于不具有“若p则q”形式的命题，我们应该先改写成“若p则q”形式，再写否命题。
注意：否命题与原命题真值可同真同假。
举例：原命题是“若同位角相等，则两直线平行”。
<2>命题的否定：
如果考虑原命题的条件和结论，则只对命题的结论进行否定，即“若
非p则非q”；
如果不考虑原命题的条件和结论，则对整个命题作否定，也就是在原命题前面加上“并非”即可。
由此看出：命题的否定与原命题必然真值相反。
另外，如果原命题涉及一些关键词，在否定时也要相应地做出改变：
都à不都（而不是都不）；
全是à不全是（而不是都不是）；
且à或，或à且；
任意à存在，存在à任意；
至少有一个à一个也没有；
至多有一个à至少有两个等等。
高考数学复习点拨 分析“若p则q”形式命题
分析“若p则q”形式命题在现行教材有关命题的学习中对“若p则q”形式的命题是这样说的：“若p则q”为⇒,真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作p q ⇐，这时我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。
在教师教学用书上又进或者q p行了这样的补充说明：需要指出，“若p则q”形式的命题，也是一种复合命题。
其中的p 与q，可以是命题，也可以是开语句…；从逻辑的角度看，命题“若p则q”的否定是“p 且非q” …。
这里出现这样一个问题，从初中教材学习命题起，教材中让学生练习将命题写成“如果…那么…”的形式，在教材中让学生练习将命题写成“若p则q”的形式。
如命题“12＞5”，可以改成“如果一个数是12，那么这个数大于5．”；命题“3是12的约数” 可以改成“如果一个数是3，那么这个数是12的约数．”；命题“0.5是整数”可以改成“如果一个数是0.5，那么这个数是整数．”“如果…那么…”和“若p则q”意思相同。
那么对任意一个“若p则q”形式的命题是按简单命题对待还是按复合命题来对待呢？在实际的教学中许多学生问过这样的问题。
如命题“负数的平方是正数”改写成“若一个数是负数，则它的平方是正数”。
这个命题在没改之前是个简单命题，而改了之后按教师教学用书的补充说明应是符合命题。
这样前后就不同了，该怎样对待这个命题呢？对类似的命题有该怎样否定、区分合理呢？一、命题改写成“如果…那么…”或“若p则q”的合理性判断是对事物及其情况断定的一种思维形式，是一种思想.判断的形成和存在，判断的表达都要借助于语句.没有语句的判断是不存在的，这种语句就是我们学习的命题。
这也就有了对命题的一种定义：判断一件事情的句子叫命题。
命题是由条件（题设）和结论两部分组成的，所以从形式上讲命题写成“如果…那么…” 或“若…则…”的形式符合命题的本质含义。
二、简单命题的定义和分类不含有逻辑联结词且在结构上不能再分解成其它命题的命题称作简单命题。
高考数学复习点拨：命题的否定与否命题辨析
命题的否定与否命题辨析在学习“简易逻辑”时，有些同学对命题的否定不知如何把握且容易与一个命题的否命题混淆，本文想就此作一辩析．一、辨析1、定义区别2、真假关系表命题的否定形式、否命题与原命题的真假关系表：3、常用关键词的否定把握好命题的否定和正确地写出命题的否命题，必须掌握一些关键词语的否定，见下表：二、例题讲解[例1]写出命题“相似三角形是全等三角形”的否定形式及否命题，并判断它们的真假．解：原命题：相似三角形是全等三角形(假)．原命题的否定形式：相似三角形不是全等三角形(真)．原命题的否命题：不相似的三角形不是全等三角形(真)．注：原命题与原命题的否定形式的真假相反．[例2]写出下列命题的否命题：⑴若m＞0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根；⑵若x，y都是奇数，则x＋y是奇数；⑶若abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0；⑷当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc．解：原命题的否命题分别是：⑴若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实数根；⑵若x，y不都是奇数，则x＋y不是奇数；⑶若abc≠0，则a，b，c全不为0；⑷当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc．评注：将以上命题的条件与结论中关键词加以否定即可，⑴“＞”、“有”；⑵“都是”、“是”；⑶“＝”、“至少有一个”，⑷“＜”，要注意“c＞0”是大前提，不要对其进行否定．[例3]写出命题“若△ABC是等腰三角形，则它有两个内角相等”的否命题和逆否命题，并判断其真假．解：否命题：若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等(真)；逆否命题：若△ABC的任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形(真)．评注：逆否命题(若┐q则┐p)是否命题(若┐p和┐q)的逆命题．[例4]写出下列命题的“非p形式”的复合命题．⑴p：对顶角相等；⑵p：平行四边形一定是菱形；⑶p：2123x x+-≥0．分析：⑴p：对顶角相等(真)，┐p：对顶角不相等(假)；⑵p：平行四边形一定是菱形(假)，这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”呢?若为“平行四边形一定不是菱形”，仍为假命题，与真值表相违，故原命题的┐p：平行四边形不一定是菱形(真)．⑶若认为┐p：2123x x +-＜0，那就错了．┐p是对p的否定，包括2123x x+-＜0或2123x x+-＝0．或∵p：x＞1或x＜－3，∴┐p：－3≤x≤1．评注：写出命题p的“非p”形式，要注意对命题p进行整体考虑或考虑“p”与“┐p”的真假，不能与真值表相悖．[例5]写出下列命题的“非p”形式的复合命题：⑴x＝0或y＝0；⑵△ABC是等腰直角三角形．分析：命题“p或q”与“p且q”的“非p”形式如下⑵┐p：△ABC不是等腰三角形或不是直角三角形．[例6]用反证法证明：△ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是锐角．分析：“∠B一定是锐角”的否定是“∠B一定不是锐角”(注意：不能否定为“∠B不一定是锐角”)，即∠B≥90°，则∠C＋∠B≥180°，矛盾．(证明略)评注：反证法与命题的否定形式关系密切，它是从假设“命题结论的否定成立”出发，经过推理得出矛盾从而肯定命题结论正确的一种证明方法．友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编辑，期待您的好评与关注！。
高考数学复习点拨全称命题与特称命题的否定
全称命题与特称命题的否认全称命题与特称命题是两类特别的命题，也是两类新式命题，这两类命题的否认又是这两类命题中的重要观点，为使你较全面、较正确的掌握这一特别观点，本文将谈下述四点，或许对你会有帮助.1、书写命题的否认时必定要抓住决定数题性质的量词，从对量词的否认下手，书写命题的否认例 1判断以下命题是全称命题仍是特称命题，并写出它们的否认：（ 1）p :对随意的x R ，x2x 10 都建立；（ 2）p : x R，x22x 5 0 ．剖析：（ 1）因为命题中含有全称量词“随意的”，因此是全称命题；又因为“随意的”的否以为“存在一个” ，所以，p : 存在一个 x R ，使x2x 1 0 建立，即x R ，使 x2 x 1 0建立；（ 2）因为“x R ”表示存在实数中的一个x ，即命题中含有存在量词“存在一个”，因此是特称命题；又因为“存在一个”的否以为“随意一个”，所以，p : 对随意一个x都有 x22x 5≤ 0 ，即x R ，x22x 5≤ 0 ．2．书写命题的否认时，必定要着重理解数学符号的意义有些数学符号，表面看我们已特别熟习，其实不必定；如：x R ，谈到它的否认，很多同学会以为是：x R ，其实否则．我们从一个例子看起：若x R ，则方程x22x 10 有解；这是个真命题，自然，它的逆否命题也是真命题；而它的逆否命题是什么呢？是“若方程x22x 1 0无解，则x R ”吗？这个命题是假命题．明显，它不是我们要的逆否命题．问题出在哪里？出在x R的否认其实不是 x R 上，那么x R 的否认究竟是什么？其实，x R 表示x是随意实数，其否认应当是：x 不是随意实数；例 2 判断命题“x R，则方程x22x 1 0 有解”是全称命题仍是特称命题，并写出它的否认．剖析：因为 x R表示x是随意实数，即命题中含有全称量词“随意的”；因此是全称命题；其否认是：“ x 不是随意实数，则方程x22x 1 0 无解”．3．因为全称量词的否认是存在量词，而存在量词的否认又是全称量词；所以，全称命题的否认必定是特称命题；特称命题的否认必定是全称命题．4．命题的否认与否命题（ 1）命题的否认是针对仅含一个量词的全称命题与特称命题．明显，并不是全部命题都有写出它的否认的必需；如“若x y ，则x2y2x11y01”不含量词；再如“，，，，使 x23xy y2≥ 2 ”含有两个量词；这些命题的否认可能存在，但不在我们学习的范围；而这些命题的否命题都在我们的学习范围内；（ 2）以量词为前提的命题．如命题：“x R，若y 0，则x2y 0 ”的否命题为“x R ，若y≤0，则x2y ≤ 0 ”；而此命题的否以为“x R ，若y0 ，则x2y ≤ 0 ”；明显，二者的差别很大．。
命题的否定和否命题的区别
命题的否定和否命题的区别
命题的否定，就是推翻整个命题，是对这个命题从根子上否定，推翻。
否命题，是一个命题的相反方向，相反结论。
下面我们举例子说明一下。
例一：
原命题——对顶角相等
否命题——不是对顶角就不相等。
原命题的否定——对顶角不相等。
如果我们证明了原命题“对顶角相等”是真命题，那么原命题的否
定“对顶角不相等”就一定是假命题；但是，原命题的否命题，可
能是真命题，可能是假命题。
如“不是对顶角就不相等”，就是假
命题。
例二：
原命题——如果两个角的和等于90度，那么这两个角互为余角。
否命题——如果两个角的和不等于90度，那么这两个角不是互为
余角。
原命题的否定——如果两个角的和等于90度，那么这两个角不是
互为余角。
显然，原命题——“如果两个角的和等于90度，那么这两个角互
为余角。
”是真命题；否命题——“如果两个角的和不等于90度，那么这两个角不是互为余角。
”也是真命题；原命题的否定——
“如果两个角的和等于90度，那么这两个角不是互为余角。
”就是假命题。
2020.10.20。
命题的否定和否命题的区别
命题的否定和否命题的区别【否命题和命题的否定的含义】1.什么是命题的否定命题的否定就是对这个命题的真值进行取反。
命题的否定与原命题真假性相反。
设“p”是一个命题，那么“非p”叫做命题p的否定．“非p”记作“-p”。
2.否命题的概念否命题是数学中的一个概念。
一般的，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
对于两个命题，若其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题互为否命题。
命题是否成立，与它的否命题是否成立没有关系。
得到一个问题的否命题很容易，把条件，结论全部否定就可以了。
如果把其中一个称为原命题，那么另一个就叫做它的否命题。
设“若p则q”为原命题，那么“若非p则非q”就叫做原命题的否命题。
【命题的否定和否命题的区别】1.命题的否定只否定该命题的结论，而否命题则否定原命题的条件和结论。
比如:“若a>0.则a+b>0”这个命题的否定是“存在a>0,使得a+b<=0”,否命题是“存在a<=0,使得a+b<=0”；在大学（尤其是国外的大学）阶段，“只否定命题结论”的说法不一定正确，根据真值表（True Table），在A为假命题的情况下，非(A=>B)与A=>非B并不是逻辑相等的。
参考：滑铁卢大学数学教材对于“若A则B”式命题的否定为“A 且非B”。
2.一个命题与它的否定形式是完全对立的。
两者之间有且只有一个成立。
数学中常用到反证法，要证明一个命题，只需要证明它的否定形式不成立就可以了。
而对于否命题，它是否成立和原命题是否成立没有直接关系。
否命题是对原命题的条件与结论都作否定，否命题与原命题可同真同假，也可一真一假。
而命题的否定是：a.在不考虑命题的条件与结论的情况下对整个命题作否定，此时只需在原命题前加“并非”即可;b.如果考虑命题的条件与结论，则仅仅对命题的结论作否定。
任何一个命题与该命题的否定必定是一真一假（常用这一点来验证写出来的命题的否定是否正确）。
高考数学复习点拨 命题否定的典型错误及制作
命题否定的典型错误及制作在教材的第一章安排了《常用逻辑用语》的内容．从课本内容安排上看，显得较容易，但是由于对逻辑联结词不能做到正确理解，在解决这部分内容涉及的问题时容易出错．下面仅对命题的否定中典型错误及常见制作方法加以叙述．一、典型错误剖析错误1——认为命题的否定就是否定原命题的结论在命题的否定中，有许多是把原命题中的结论加以否定．如命题：2是无理数，其否定是：2不是无理数．但据此就认为命题的否定就是否定原命题的结论就错了．例1写出下列命题的否定：⑴对于任意实数x，使x2＝1；⑵存在一个实数x，使x2＝1．错解：它们的否定分别为⑴对于任意实数x，使x2≠1；⑵存在一个实数x，使x2≠1．剖析：对于⑴是全称命题，要否定它只要存在一个实数x，使x2≠1即可；对于⑵是存在命题，要否定它必须是对所有实数x，使x2≠1．正解：⑴存在一个实数x，使x2≠1；⑵对于任意实数x，使x2≠1．错误2——认为命题的否定就是原命题中的判断词改和其意义相反的判断词在命题的否定中，有许多是把原命题中的判断词改为相反意义的词，如“是”改为“不是”、“等”改为“不等”、“大于”改为“小于或等于”等．但对于联言命题及选言命题，还要把逻辑联结词“且”与“或”互换．例2写出下列命题的否定：⑴线段AB与CD平行且相等；⑵线段AB与CD平行或相等．错解：⑴线段AB与CD不平行且不相等；⑵线段AB与CD不平行或不相等．剖析：对于⑴是联言命题，其结论的含义为：“平行且相等”，所以对原命题结论的否定除“不平行且不相等”外，还应有“平行且不相等”、“不平行且相等”；而⑵是选言命题，其结论包含“平行但不相等”、“不平行但相等”、“平行且相等”三种情况，故否定就为“不平行且不相等”．正解：⑴线段AB与CD不平行或不相等；⑵线段AB与CD不平行且不相等．错误3——认为“都不是”是“都是”的否定例3写出下列命题的否定：⑴a，b都是零；⑵高一(一)班全体同学都是共青团员．错解：⑴a，b都不是零；⑵高一(一)班全体同学都不是共青团员．剖析：要注意“都是”、“不都是”、“都不是”三者的关系，其中“都是”的否定是“不都是”，“不都是”包含“都不是”；“至少有一个”的否定是“一个也没有”．正解：⑴a，b不都是零，即“a，b中至少有一个不是零”．⑵高一(一)班全体同学不都是共青团员，或写成：高一(一)班全体同学中至少有一人共青团员．错误4——认为“命题否定”就是“否命题”根据逻辑学知识，任一命题p都有它的否定(命题)非p(也叫负命题、反命题)；而否命题是就假言命题(若p则q)而言的．如果一个命题不是假言命题，就无所谓否命题，也就是说，我们就不研究它的否命题．我们应清醒地认识到：假言命题“若p则q”的否命题是“若非p则非q”，而“若p则q”的否定(命题)则是“p且非q”，而不是“若p则非q”．例4写出命题“满足条件C的点都在直线F上”的否定．错解：不满足条件C的点不都在直线F上．剖析：对于原命题可表示为“若A，则B”，其否命题是“若┐A，则┐B”，而其否定形式是“若A，则┐B”，即不需要否定命题的题设部分．正解：满足条件C的点不都在直线F上．二、几类命题否定的制作1．简单的简单命题命题的形如“A是B”，其否定为“A不是B”．只要把原命题中的判断词改为与其相反意义的判断词即可．例5写出下列命题的否定：⑴ 3＋4＞6；⑵ 2是偶数．解：所给命题的否定分别是：⑴ 3＋4≤6；⑵ 2不是偶数．2．含有全称量词和存在量词的简单命题全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等，形如“所有A 是B”，其否定为“存在某个A不是B”；存在量词相当于“存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“至多有一个”等，形如“某一个A是B”，其否定是“对于所有的A都不是B”．全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题．例6写出下列命题的否定：⑴不论m取什么实数，x2＋x－m＝0必有实根．⑵存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0．⑶至少有一个整数是自然数．⑷至多有两个质数是奇数．解：⑴原命题相当于“对所有的实数m，x2＋x－m＝0必有实根”，其否定是“存在实数m，使x2＋x－m＝0没有实根”．⑵原命题的否定是“对所有的实数x，x2＋x＋1＞0”．⑶原命题的否定是“没有一个整数是自然数”．⑷原命题的否定是“至少有三个质数是奇数”．3．复合命题“p且q”，“p或q”的否定“p且q”是联言命题，其否定为“非p或非q”(也写成┐p或┐q“；“p或q”是选言命题，其否定为“非p且非q”(也写成┐p且┐q“；例7写出下列命题的否定：⑴他是数学家或物理学家．⑵他是数学家又是物理学家．⑶2123x x+-≥0．解：⑴原命题的否定是“他既不是数学家也不是物理学家”．⑵原命题的否定是“他不能同时是数学家和物理学家”，即“他不是数学家或他不是物理学家”．⑶若认为┐p：2123x x +-＜0，那就错了．┐p是对p的否定，包括2123x x+-＜0或2123x x+-＝0．或∵p：x＞1或x＜－3，∴┐p：－3≤x≤1．。
命题的否定-高中数学知识点讲解
命题的否定
1．命题的否定
【知识点的认识】
命题的否定就是对这个命题的结论进行否认．（命题的否定与原命题真假性相反）命题的否命题就是对这个命题的条件和结论进行否认．（否命题与原命题的真假性没有必然联系）．¬P 不是命题P 的否命题，而是命题P 的否定形式．对命题“若P 则Q“来说，¬P 是“若P 则非Q”；P 的否命题是“若非P 则非Q”
注意两个否定：“不一定是”的否定是“一定是”；
“一定不是”的否定是“一定是”．
【解题方法点拨】若p 则q，那么它的否命题是：若¬p 则¬q，命题的否定是：若p 则¬q．注意两者的区别．
全（特）称命题的否定命题的格式和方法；要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．将量词“∀”与“∃”互换，同时结论否定．
【命题方向】命题存在中学数学的任意位置，因此命题的范围比较广，涉及知识点多，多以小题形式出现，是课改地区常考题型．
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高三数学第二轮复习知识点归纳
高三数学第二轮复习知识点归纳（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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(完整版)“命题的否定”与“否命题”
“命题的否定”与“否命题”“命题的否定（非p 或p ⌝）”与“否命题”是高中数学的难点，准确无误地理解和写出一个命题的否定形式和否命题是解决许多问题的关键.一、 命题“若A ，则B ”的否命题与命题的否定形式设命题 “若A ，则B ”为原命题，那么，“若非A ，则非B ”就叫做原命题的否命题，否命题只是“若……则……”命题的四种形式中的一种，如果一个命题不能化为“若……则……”形式，那么该命题就没有讨论否命题的可能；对于命题p ，非p 叫做命题p 的否定（记作p ⌝），任何一个命题都有否定形式，命题“若A ，则B ”的否定形式为“若A ，则非B ”.显然，“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定，“命题的否定”只是否定命题的结论，即“命题的否定”与原命题的条件相同，结论相反.例1.命题“若122->>b a b a ，则”的否命题为 .分析：本题考查的是由原命题写出其否命题，既要否定命题的条件又要否定其结论. 解：由题意原命题的否命题为“若122-≤≤b a b a ，则”.评注：该命题的否定形式为“若122-≤>ba b a ，则”，只是否定原命题的结论. 例2.写出下列命题的否定形式及其否命题:(1)若3=x 且2=y ，则5=+y x ； (2)若0||||=+y x ，则x ，y 全为0. 解：(1) 命题的否定为：若3=x 且2=y ，则5≠+y x ；否命题为：若3≠x 或2≠y ，则5≠+y x ；(2) 命题的否定为：若0||||=+y x ，则x ，y 不全为0；否命题为：若0||||≠+y x ，则x ，y 不全为0.如果一个命题不是“若……则……”的形式，可以将其改写成“若……则……”形式的命题，使原命题的条件和结论更加明确，便于写出命题的否定形式及其否命题.这种“改写”的形式有时不是惟一的，因此，同一命题的否定形式也可能不一样.例3.将下列命题改写成“若A ，则B ”的形式，并写出它们的否命题与否定形式:(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；(2)0>a 时，函数b ax y +=的值随x 值的增加而增加.解：(1)原命题可改写为：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则它是菱形，否命题为：若一个四边形的两条对角线不互相垂直，则它不是菱形；否定形式（p ⌝）为：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则它不是菱形；(2)原命题可改写为：0>a 时，若x 增加，则函数b ax y +=的值也随着增加，否命题为：0>a 时，若x 不增加，则函数b ax y +=的值也不增加；否定形式（p ⌝）为：0>a 时，若x 增加，则函数b ax y +=的值不增加；原命题也可改写为：当x 增加时，若0>a ，则函数b ax y +=的值也增加，否命题为：当x 增加时，若0≤a ，则函数b ax y +=的值不增加.否定形式（p ⌝）为：当x 增加时，若0>a ，则函数b ax y +=的值不增加.评注：(1)有些命题由三部分组成：大前提、条件和结论，正确地分析命题的结构是解决此类问题的关键；（2）准确把握和正确写出一个命题的否定形式与否命题的关键是能否将命题中的关键词语写成它的否定词语.二、不能转化成“若，则”形式的命题的否定形式除了可以转化为“若A ，则B ”形式的命题外，其它不能转化成“若A ，则B ”形式的命题都有其相应的否定形式，根据命题本身形式的不同，可以分为以下几类：1.简单命题的否定不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题称为简单命题，它应被看作是一个不可再分割的整体，其最简单的命题形式是p ：“A 是B ”，它的否定形式是“A 不是B ”或“并非A 是B ”，其中A 是一个特定对象.例4.写出下列命题的否定(即非p )：(1)2是方程042=-x 的根； (2) 四条边都相等的四边形不是正方形；(3)正数的绝对值是它本身； (4)方程0232=+-x x 有两个相等的实根；(5)a ，b 都是1.解:(1) 命题的否定形式为：2不是方程042=-x 的根；(2) 命题的否定形式为：四条边都相等的四边形不都是正方形；(3) 命题的否定形式为：正数的绝对值不是它本身；(4) 命题的否定形式为：方程0232=+-x x 没有两个相等的实根(5)命题的否定形式为：“a ，b 不都是1”或者“1≠a 或1≠b ”.评注：“是”的否定有时为“不是”，有时为“不都是”，要视“是”的含义而定．2.复合命题的否定由简单命题与逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题．“p 或q ”、 “p 且q ”、“非p ”形式的命题中，p ，q 都是命题，命题“p 或q ”的否定为“p ⌝且q ⌝”；命题“p 且q ”的否定为“p ⌝或q ⌝”；命题“非p ”的否定为“)(p ⌝⌝”就是命题p ，所以，命题“非p ”与命题“p ”互为否定形式.例5.写出下列命题的否定：(1)58≥； (2)5>a 且1>b ；(3)2是6的约数且是8的约数； (4)3是偶数或奇数.解：（1）命题的否定形式为：8不大于5且8不等于5即58<.(原命题属于“p 或q ”型)（2）命题的否定形式为：5≤a 且1≤b .（原命题属于“p 且q ”型）（3）命题的否定形式为：2不是6的约数或2不是8的约数. （原命题属于“p 且q ”型）（4）命题的否定形式为：3不是偶数且3不是奇数. (原命题属于“p 或q ”型)评注：(1)需要说明的是，常用的“或”有两种意义：可兼的和不可兼的。
高考数学复习点拨 命题的否定与否命题
“命题的否定”与“否命题”?p p）”与“否命题”是高中数学的难点，准确无误地理解和或“命题的否定（非写出一个命题的否定形式和否命题是解决许多问题的关键.AB”的否命题与命题的否定形式，则一、命题“若ABAB”就叫做原命题的否命题，“若非，则，则非”为原命题，那么，设命题“若否命题只是“若……则……”命题的四种形式中的一种，如果一个命题不能化为“若……ppp的否，非则……”形式，那么该命题就没有讨论否命题的可能；对于命题叫做命题?ABA p，，任何一个命题都有否定形式，命题“若）”的否定形式为“若定（记作，则B”.显然，则非“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定，“命题的否定”只是否定命题的结论，即“命题的否定”与原命题的条件相同，结论相反.ba1?，则2?2a?b) 江苏高考”的否命题为 . (2005.例1.命题“若. 分析：本题考查的是由原命题写出其否命题，既要否定命题的条件又要否定其结论ba12?a?b，则2?.解：由题意原命题的否命题为“若”ba1b，则2?2?a?”评注：该命题的否定形式为“若，只是否定原命题的结论.:例2.写出下列命题的否定形式及其否命题x3?x00|?|2x?y?5x|?|y?yy. ，，则且全为；，则(1)若(2)若3x?5?y?y?2x，则且解：(1) 命题的否定为：若；3x?5?yy?2x?否命题为：若；，则或x00|?|?|yx|y，则不全为，； (2) 命题的否定为：若x00?|y||x|?y.否命题为：若，不全为，则如果一个命题不是“若……则……”的形式，可以将其改写成“若……则……”形式的“改写”这种使原命题的条件和结论更加明确，便于写出命题的否定形式及其否命题.命题，.的形式有时不是惟一的，因此，同一命题的否定形式也可能不一样BA: ，则例3.将下列命题改写成“若”的形式，并写出它们的否命题与否定形式 (1)对角线互相垂直的四边形是菱形；x0?aby?ax?.的值随(2)时，函数值的增加而增加解：(1)原命题可改写为：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则它是菱形，否命题为：若一个四边形的两条对角线不互相垂直，则它不是菱形；?p否定形式（）为：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则它不是菱形；x0a?b?y?ax时，若原命题可改写为：(2)增加，则函数的值也随着增加，1专心爱心用心．x0?ay?ax?b的值也不增加；不增加，则函数否命题为：时，若?x0?a p y?ax?b的值不增加；否定形式（增加，则函数）为：时，若x a?0y?ax?b的值也增加，，则函数原命题也可改写为：当增加时，若x a?0y?ax?b的值不增加. 否命题为：当，则函数增加时，若?x a?0p y?ax?b的值不增加）为：当.增加时，若否定形式（，则函数评注：(1)有些命题由三部分组成：大前提、条件和结论，正确地分析命题的结构是解决此类问题的关键；（2）准确把握和正确写出一个命题的否定形式与否命题的关键是能否将命题中的关键词语写成它的否定词语.常用词语的否定如下表：AB”形式的命题的否定形式二、不能转化成“若，则ABAB”形式”形式的命题外，其它不能转化成“若除了可以转化为“若，则，则的命题都有其相应的否定形式，根据命题本身形式的不同，可以分为以下几类：1.简单命题的否定不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题称为简单命题，它应被看作是一个不可ABABp”或再分割的整体，其最简单的命题形式是”，它的否定形式是“：“不是是ABA是一个特定对象. “并非”，其中是p)：即非例4.写出下列命题的否定(20??4x2四条边都相等的四边形不是正方形；(1)的根；是方程 (2)20?3x?2x?有两个相等的实根；(3)正数的绝对值是它本身； (4)方程a1b.，都是(5)20?4?x2 :(1) 命题的否定形式为：的根；不是方程解 (2) 命题的否定形式为：四条边都相等的四边形不都是正方形； (3) 命题的否定形式为：正数的绝对值不是它本身；20??3x?2x (4) 命题的否定形式为：方程没有两个相等的实根a1?1?ba1b.”，不都是或”或者“(5)命题的否定形式为：“评注：“是”的否定有时为“不是”，有时为“不都是”，要视“是”的含义而定．复合命题的否定2.pq由简单命题与逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题．“”、或?p ppppqqq且”形式的命题中，，命题“都是命题，且”、“非”的否定为“或“2专心爱心用心．?????pp(qq)ppq”就是命”；命题“”；命题“非且或”的否定为“”的否定为“ppp”互为否定形式.”与命题“题，所以，命题“非例5.写出下列命题的否定：8?5a?5b?1；且 (1) (2)；8362是偶数或奇数.是的约数且是 (4)的约数；(3)85858?5pq”型即（1）命题的否定形式为：原命题属于“不大于) 且或不等于.(解：a?5b?1pq”型）且（2）命题的否定形式为：.（原命题属于“且8226pq”型）不是且（3）命题的否定形式为：的约数不是. 的约数或（原命题属于“33pq”型) 或不是奇数. (（4）命题的否定形式为：原命题属于“不是偶数且评注：(1)需要说明的是，常用的“或”有两种意义：可兼的和不可兼的。
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“命题的否定”与“否命题”
?p p）”与“否命题”是高中数学的难点，准确无误地理解和或“命题的否定（非写出一个命题的否定形式和否命题是解决许多问题的关键.
AB”的否命题与命题的否定形式，则一、命题“若ABAB”就叫做原命题的否命题，“若非，则，则非”为原命题，那么，设命题“若否命题只是“若……则……”命题的四种形式中的一种，如果一个命题不能化为“若……ppp的否，非则……”形式，那么该命题就没有讨论否命题的可能；对于命题叫做命题?ABA p，，任何一个命题都有否定形式，命题“若）”的否定形式为“若定（记作，则B”.显然，则非“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定，“命题的否定”只是否定命题的结论，即“命题的否定”与原命题的条件相同，结论相反.
ba1?，则2?2a?b) 江苏高考”的否命题为 . (2005.例1.命题“若
. 分析：本题考查的是由原命题写出其否命题，既要否定命题的条件又要否定其结论ba12?a?b，则2?.
解：由题意原命题的否命题为“若”ba1b，则2?2?a?”评注：该命题的否定形式为“若，只
是否定原命题的结论.:
例2.写出下列命题的否定形式及其否命题x3?x00|?|2x?y?5x|?|y?yy. ，，则且全为；，则(1)若(2)若3x?5?y?y?2x，则且解：(1) 命题的否定为：若；3x?5?yy?2x?否命题为：若；，则或
x00|?|?|yx|y，则不全为，； (2) 命题的否定为：若x00?|y||x|?y.
否命题为：若，不全为，则如果一个命题不是“若……则……”的形式，可以将其改写成“若……则……”形式的“改写”这种使原命题的条件和结论更加明确，便于写出命题的否定形式及其否命题.命题，.
的形式有时不是惟一的，因此，同一命题的否定形式也可能不一样BA: ，则例3.将下列命题
改写成“若”的形式，并写出它们的否命题与否定形式 (1)对角线互相垂直的四边形是菱形；
x0?aby?ax?.
的值随(2)时，函数值的增加而增加解：(1)原命题可改写为：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则它是菱形，否命题为：若一个四边形的两条对角线不互相垂直，则它不是菱形；?p否定形式（）为：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则它不是菱形；x0a?b?y?ax时，若原命题可改写为：(2)增加，则函数的值也随着增加，1
专心爱心用心．
x0?ay?ax?b的值也不增加；不增加，则函数否命题为：时，若?x0?a p y?ax?b的值不增加；否定形式（增加，则函数）为：时，若
x a?0y?ax?b的值也增加，，则函数原命题也可改写为：当增加时，若x a?0y?ax?b的值不增加. 否命题为：当，则函数增加时，若?x a?0p y?ax?b的值不增加）为：当.
增加时，若否定形式（，则函数评注：(1)有些命题由三部分组成：大前提、条件和结论，正确地分析命题的结构是解决此类问题的关键；
（2）准确把握和正确写出一个命题的否定形式与否命题的关键是能否将命题中的关键词语写成它的否定词语.
常用词语的否定如下表：
AB”形式的命题的否定形式二、不能转化成“若，则ABAB”形式”形式的命题外，其它不能转化成“若除了可以转化为“若，则，则的命题都有其相应的否定形式，根据命题本身形式的不同，可以分为以下几类：
1.简单命题的否定
不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题称为简单命题，它应被看作是一个不可ABABp”或再分割的整体，其最简单的命题形式是”，它的否定形式是“：“不是是ABA是一个特定对象. “并非”，其中是p)：即非例4.写出下列命题的否定(20??4x2四条边都相等的四边形不是正方形；
(1)的根；是方程 (2)
20?3x?2x?有两个相等的实根；(3)正数的绝对值是它本身； (4)方程a1b.
，都是(5)20?4?x2 :(1) 命题的否定形式为：的根；不是方程解 (2) 命题的否定形式为：四条边都相等的四边形不都是正方形； (3) 命题的否定形式为：正数的绝对值不是它本身；20??3x?2x (4) 命题的否定形式为：方程没有两个相等的实根a1?1?ba1b.
”，不都是或”或者“(5)命题的否定形式为：“评注：“是”的否定有时为“不是”，有时为“不都是”，要视“是”的含义而定．复合命题的否定2.pq由简单命题与逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题．“”、或?p ppppqqq且”形式的命题中，，命题“都是命题，且”、“非”的否定为“或“2
专心爱心用心．
?????pp(qq)ppq”就是命”；命题“”；命题“非且或”的否定为“”的否定为“ppp”互为否定形式.”与命题“题，所以，命题“非例5.写出下列命题的否定：
8?5a?5b?1；且 (1) (2)；8362是偶数或奇数.
是的约数且是 (4)的约数；(3)85858?5pq”型即（1）命题的否定形式为：原命题属于“不大于) 且或不等于.(解：a?5b?1pq”型）且（2）命题的否定形式为：.（原命题属于“且8226pq”型）不是且（3）命题的否定形式为：的约数不是. 的约数或（原命题属于“33pq”型) 或不是奇数. (（4）命题的否定形式为：原命题属于“不是偶数且评注：(1)需要说明的是，常用的“或”有两种意义：可兼的和不可兼的。
而在复合命题中的“或”是可兼的；ABpppqq”形式的命题中，该且“，则或”、“非”、“”形式出现在“若(2)
命题的否定或否命题的写法规则相同，例如例2中第(1)小题的解法.
3.含有一个量词的命题的否定
对含有一个量词的命题的否定，应根据命题中所叙述的对象的特征，挖掘其呈现的或隐含的量词.命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别??”与“称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“”来表示）；由这样的量词
构成的命题分别称为全称命题与存在性命题.
?Mx??M??x p(x))p(x”；,存定”的否为“在称全命题“性命题,??x?M?x?M p(x))p(xp中的全称量词改成存,的否定”,“解题时就是把命题“”.在性量词，存在性量词改成全称量词，并把量词的作用范围进行否定.
例6.写出下列命题的否定：
20??1x?xR??x有些三角形是直角三角形；，(1)； (2)2x x?2x?1A?x2?f(x) (4)对任意的；，，都有；不存在实数(3)0.
整除的整数，末位是 (6)可以被5(5)正数的绝对值是它本身；
220?0x?x?1xx??1?Rx?R?x? (1)解：命题的否定为：不存在；，即：，使，（在这(2) 命题的否定为：没有一个三角形是直角三角形，即所有三角形都不是直角三角形里，不是用“不”否定“是”，
而是用“无”否定“有些是”）；22xx x?2xx?1?2x?1；，”，即存在实数，(3)命题的否定为：并非“不存在实数Ax?)(x2(fx)?f抽象函数需要考虑函数的(，使得无意义命题的否定为：总存在(4)
或3
专心爱心用心．
定义范围)；
(5)命题的否定为：有的正数的绝对值不是它本身；
50.
整除的整数，其末位不是(6)命题的否定为：存在可以被评注：(1)解题中遇到省略量词的命题时，
应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的命题的完整形式，再依据规则来写出命题的否定形式；
(2)含量词的命题的否定形式的关键仍然是关键词语的否定.
另外，命题的否定是原命题的矛盾命题，两者的真值必然相反(即要么一真一假，要么一假一真)；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假.
总之，认真理解和分析一个命题的结构，挖掘命题中隐含的所有信息，是解决命题类问题的基础.
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专心爱心用心．。