高考数学复习点拨：命题的否定与否命题辨析

命题的否定与否命题辨析

在学习“简易逻辑”时，有些同学对命题的否定不知如何把握且容易与一个命题的否命题混淆，本文想就此作一辩析．

一、辨析

1、定义区别

2、真假关系表

命题的否定形式、否命题与原命题的真假关系表：

3、常用关键词的否定

把握好命题的否定和正确地写出命题的否命题，必须掌握一些关键词语的否定，见下表：

二、例题讲解

[例1]写出命题“相似三角形是全等三角形”的否定形式及否命题，并判断它们的真假．

解：原命题：相似三角形是全等三角形(假)．

原命题的否定形式：相似三角形不是全等三角形(真)．

原命题的否命题：不相似的三角形不是全等三角形(真)．

注：原命题与原命题的否定形式的真假相反．

[例2]写出下列命题的否命题：

⑴若m＞0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根；

⑵若x，y都是奇数，则x＋y是奇数；

⑶若abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0；

⑷当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc．

解：原命题的否命题分别是：

⑴若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实数根；

⑵若x，y不都是奇数，则x＋y不是奇数；

⑶若abc≠0，则a，b，c全不为0；

⑷当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc．

评注：将以上命题的条件与结论中关键词加以否定即可，⑴“＞”、“有”；⑵“都是”、“是”；

⑶“＝”、“至少有一个”，⑷“＜”，要注意“c＞0”是大前提，不要对其进行否定．

[例3]写出命题“若△ABC是等腰三角形，则它有两个内角相等”的否命题和逆否命题，并判断其真假．

解：否命题：若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等(真)；

逆否命题：若△ABC的任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形(真)．

评注：逆否命题(若┐q则┐p)是否命题(若┐p和┐q)的逆命题．[例4]写出下列命题的“非p形式”的复合命题．

⑴p：对顶角相等；

⑵p：平行四边形一定是菱形；

⑶p：

21

23

x x

+-

≥0．

分析：⑴p：对顶角相等(真)，┐p：对顶角不相等(假)；

⑵p：平行四边形一定是菱形(假)，这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”呢?若为“平行四边形一定不是菱形”，仍为假命题，与真值表相违，故原命题的┐p：平行四边形不一定是菱形(真)．

⑶若认为┐p：

21

23

x x +-＜0，那就错了．┐p是对p的否定，包括

2

1

23

x x

+-

＜0或

2

1

23

x x

+-

＝0．

或∵p：x＞1或x＜－3，∴┐p：－3≤x≤1．

评注：写出命题p的“非p”形式，要注意对命题p进行整体考虑或考虑“p”与“┐p”的真假，不能与真值表相悖．

[例5]写出下列命题的“非p”形式的复合命题：

⑴x＝0或y＝0；⑵△ABC是等腰直角三角形．

分析：命题“p或q”与“p且q”的“非p”形式如下

⑵┐p：△ABC不是等腰三角形或不是直角三角形．

[例6]用反证法证明：△ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是锐角．

分析：“∠B一定是锐角”的否定是“∠B一定不是锐角”(注意：不能否定为“∠B不一定是锐角”)，即∠B≥90°，则∠C＋∠B≥180°，矛盾．(证明略)

评注：反证法与命题的否定形式关系密切，它是从假设“命题结论的否定成立”出发，经过推理得出矛盾从而肯定命题结论正确的一种证明方法．