第三章投入产出系数及其模型

间接消耗
二、完全消耗系数
定义：第j部门生产单位最终产品对第i部门的产品 或服务的直接消耗量和全部间接消耗量的总和，称 为j部门对i部门产品的完全消耗系数。 完全消耗系数包括了直接消耗和所有的间接消耗， 能更全面、深刻地反映部门间的相互关系。
完全消耗系数的计算
完全消耗系数不能通过统计观测求得，因它包含 所有的间接消耗。 两种计算方法：
20
最终 产品
总产 品 100 200 100
20 0
2 3 20 0 80 30 20 10
练习
求： （1）最终产品
y1, y2 , y3
)
T
（2）直接消耗系数矩阵A （3）如果该系统的最终产品为
Y = (120 140 140
0.2 0.1 0 A = 0.2 0.4 0.3 0 0.1 0.1
上式用矩阵形式表示为：
AX + Y = X
行模型
其中：
a ⋯ an a 11 12 1 a21 a22 ⋯ a2n A= ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ an1 an2 ⋯ ann X1 Y 1 2 X2 Y = Y X= ⋮ ⋮ n Xn Y
即 acj + ad j + avj + asj + amj =1 ：
四、引入价值直接消耗系数的模型
价值型投入产出模型存在如下平衡方程： （一）分配平衡方程组
X1 = x11 + x12 +⋯+ x1n + y1 X = x + x +⋯+ x + y 2 21 22 2n 2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ Xn = xn1 + xn2 +⋯+ xnn + yn
c
(
)
素的倒数。
a 显然， Nj =1−
∑a
i=1
n
ij
的含义为j部门增加值占
其总产出的比重，即增加值率。
列模型
应用1：知总产出，求增加值。
ˆ N = I −A X c
应用2：知增加值，求总产出
(
)
ˆ )−1 N X = (I − A c
五、投入产出模型的求解条件
经济意义上的解释：
1. 在抽象掉进出口的情况下，各部门的最终产品与
第二节
完全消耗系数及其模型
• 一般来说，任何产品在生产过程中，除了各种直接消耗 关系外（直接联系），还有各种间接消耗关系（间接联 系）。完全消耗系数则是这种包括所有直接、间接联系 的全面反映。 • 在国民经济各部门和各产品的生产中，几乎都存在这种 间接消耗和完全消耗的关系，而充分理解各种间接消耗 关系是充分理解宏观经济问题复杂性的有力工具。
dj Xj vj Xj
•定义avj表示第j部门的劳动报酬系数，则
avj =
• 定义asj表示生产税净额系数，则
asj =
sj Xj
增加值率
定义amj表示营业盈余系数，则
amj =
mj Xj
因为
∑x
i=1
n
ij
+ d j + vj + sj + mj = X j
所以
∑a
i=1
n
ij
+ ad j + avj + asj + amj =1
的数学模型-行模型 四、引入bij的数学模型 行模型 引入 的数学模型
只有行模型。 当bij确定后，i产品作为中间产品的总和可描述为： bi1Y1+bi2Y2+……+binYn 则行模型可变为：
∑b Y +Y = X (i =1,2....n)
j =1 ij j i i
n
•矩阵形式：BY+Y=X
引入bij的数学模型 行模型 引入 的数学模型-行模型 的数学模型
一、完全消耗与间接消耗
（一）完全消耗
一种产品对某种产品的直接消耗和全部间接消耗的 总和称为完全消耗。 （二）间接消耗 所谓间接消耗是指一个部门的产品通过消耗其他部 门的产品而间接对某种产品的消耗量。 间接消耗是一种多层次的十分复杂的相互关系。 （三）完全消耗=直接消耗+所有的间接消耗
间接消耗
例如，某些表面上看起来毫无联系的部门或产品， 实际上都有着比较重要的间接联系。如果能将各部 门间、产品间的间接消耗和完全消耗关系计算出来， 则对了解和分析国民经济各部门间、产品间的内在 联系，搞好宏观经济结构的分析和预测是有很大帮 助的。 •下面通过一图形来具体解释一下各种间接消耗关 系的含义。
T
∑a
i=
n
i2
⋯ 0
⋯ 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ acn
N = (N1, N2,⋯, Nn )
列模型
ˆ 则有： A X + N = X c
ˆ 于是： N = I − A X c
ˆ 由于 (I − A ) 是对角矩阵，故其逆矩阵也是一对角 c ˆ 矩阵,且其对角线上的元素为矩阵 (I − A ) 对角线上元
增加值率
增加值Nj 根据其构成要素可分解为： dj Vj Sj Mj 固定资产折旧 劳动者报酬 生产税净额 营业盈余
则aNj可变为： aNj
=
d j +Vj + S j + M j Xj
=
dj Xj
+
Vj Xj
+
Sj Xj
+
Mj Xj
增加值率
定义adj表示第j部门的固定资产折旧系数，则
adj =
实物直接消耗系数和价值直接消耗系 数的关系
实物直接消耗系数
aij =
xij
∗
qij Qj
∗ ij
pi 价值直接消耗系数 aij = = =a X j pjQj pj
pi 其 中 称 为产 对产 的 对 格 之 j 品 i 品 相 价 . pj
pi qij
实物直接消耗系数和价值直接消耗系 数的关系
求总产品价值量。
0.3077 0.2308 0.0769 B = 0.4615 0.8462 0.6154 0.0513 0.2051 0.1795
第二节
完全消耗系数及其模型
主要内容
一、完全消耗与间接消耗 二、完全消耗系数 三、完全消耗系数与直接消耗系数的比较 四、引入bij的数学模型-行模型
总产品都不能出现负值，如果出现负值，则生产 失去意义。
2. 用价值量计算的直接消耗系数应是非负的，而且
小于1，即0≤aij<1.
3. 某消耗部门直接消耗系数之和即中间投入率应小
于1，即：acj<1 。
六、价值表应用举例
1.价值表应用举例
2.练习：已知某一经济系统在一个生产周期内产品的 生产与分配情况如下表： 中间产品 1 生 1 产 2 部 3 门
列模型
简记为：
∑a X
i=1 ij
n
j
+ d j + vj + sj + mj = X j j =1,2,⋯, n
acj= ∑aij
i= 1 n
设： N j = d j + vj + s j + mj 则上式又可写成：
acj X j + Nj = X j
( j =1,2,⋯, n)
列模型
n 上式中，若记 ∑ai1 i=1 ˆ = 0 Ac 0 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 ac1 0 0 0 ac2 = ⋯ 0 0 n ∑ain i=1
1.aij反映了某种产品的生产对另一种产品的直接消耗程 度，利用aij可研究两部门之间的直接经济技术联系。 2.aij数值越大，两部门之间的直接经济技术联系越紧密。 反之，说明两部门之间的直接经济技术联系越松散； aij=0,说明两部门之间没有直接经济技术联系。 3.可以将aij由小到大排列，以反映部门间的直接依存关 系。
投 入 产 出 分 析
统计与数学学院经济统计教研室
本章以价值型投入产出表为基础进行介绍
第三章价值投入产出系数及其模型 主要内容
第一节 价值直接消耗系数及其模型 第二节 完全消耗系数及其模型 第三节 列昂节夫逆矩阵完全需要系数 第四节 分配系数及其模型 第五节 实物型与价值型模型比较
第一节 价值直接消耗系数及其模型
上式说明：价值型直接消耗系数不仅决定于部 门之间的实物直接消耗关系，而且决定于两部门的 相对价格。 进一步可看出： 在主对角线上：即i=j时，a*ij=aij 在主对角线以外：即i≠j时，a*ij ≠ aij
二、中间投入率
中间投入率是第j 生产部门生产单位总产出所直接
消耗的所有的中间消耗价值量，用acj表示。
(三）行模型
将以价值形式表示的各部门直接消耗系数 a 代入分
ij
配方程组，则得 a11X1 + a12X2 +⋯a1n Xn + y1 = X1 a X + a X +⋯a X + y = X 21 1 22 2 2n n 2 2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ an1X1 + an2X2 +⋯ann Xn + yn = Xn
完全消耗系数矩阵
b11 b21 B= ⋯ bn1
b12 ⋯ b1n b22 ⋯ b2n ⋯ ⋯ ⋯ bn2 ⋯ bnn
三、完全消耗系数与直接消耗系数的 比 较
1. aij是相对于总产品而言，bij是相对于最终产品而言。 2. 由于存在间接消耗，bij总大于aij,即使aij为0，bij也 不一定为0。 3. 就价值型投入产出表而言，aij总是小于1，而bij则 可能大于1。 4. aij可直接通过统计观测加以测定，而bij由于包含难 以观测的间接消耗而不能运用统计观测的方法加 以确定。
aij =
xij Xj
(i, j =1,2,⋯, n)
价值直接消耗系数矩阵
各部门之间的消耗系数构成的n阶矩阵
a11 a21 A= ⋯ an1
a12 ⋯ a1n a22 ⋯ a2n ⋯ ⋯ ⋯ an2 ⋯ ann
称为直接消耗系数矩阵。
价值直接消耗系数的意义
引入直接消耗系数的模型
（二）消耗平衡方程组
X1 = x11 + x21 +⋯+ xn1 + d1 + v1 + s1 + m 1 X = x + x +⋯+ x + d + v + s + m 2 12 22 n2 2 2 2 2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ Xn = x1n + x2n +⋯+ xnn + dn + vn + sn + mn
∑bik akj
k =1
n
全部间接消耗量。也称作全部间接消耗 系数。
完全消耗系数的计算
•完全消耗系数与直接消耗系数的关系可 表示为：
bij = aij + ∑bik akj (i, j =1,2⋯n)
k =1
n
•用矩阵表示为：B=A+BA B-BA=A B(I-A)=A 令：A=I-(I-A) 则：B=A(I-A)-1=[I-(I-A)] (I-A)-1 所以，B= (I-A)-1-I 所以
主要内容 一、价值直接消耗系数 二、中间投入率 三、增加值系数 四、引入直接消耗系数的数学模型 五、投入产出模型的求解条件 六、价值表应用举例
一、价值直接消耗系数
定义 :
在价值型投入产出表中，第j部门生产单位产出 直接消耗第i部门的产品量，称为第j部门对第i部门 的价值直接消耗系数，记作 aij，即
行模型
整理可得
Y = (I − A) X
应用1：利用此式知总产出，求最终产品价值。
或者
X = (I − A) Y
−1
应用2：利用此式知最终产品价值，求总产出。
（四）列模型
将以价值形式表示的各部门直接消耗系数代入 消耗 方程组，则得
a11X1 + a21X1 +⋯+ an1X1 + d1 + v1 + s1 + m = X1 1 a X + a X +⋯+ a X + d + v + s + m = X 12 2 22 2 n2 2 2 2 2 2 2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a1n Xn + a2n Xn +⋯+ ann Xn + dn + vn + sn + mn = Xn
1. 2.
根据它与直接消耗系数的关系计算。 完全消耗系数的矩阵幂级数解法。
在此介绍第一种方法
完全消耗系数的计算
K表示j部门对k部门产品的直接消耗； akj是j部门生产单位产品直接消耗k中间产品的数量； bik是k单位产品在生产中直接、间接消耗第i产品的量； bikakj表明通过中间产品k实现的j部门单位产品对i部门产 品的间接消耗量； 表示j部门通过k中间产品对i部门产品的
用公式表示：
acj =
或： acj = ∑aij
i= 1 n
∑x
i =1
n
ij
Xj

acj数值越大，说明某一部门与其他所有部门之间的直 接经济技术联系越密切。
三、增加值率
增加值率 是某部门的增加值占其总产出的比重。 用公式表示：
aNj =
Nj
aij与aNj 具有下面的关系：
n
Xj
∑a
i=1
ij
+ aNj =1 即：acj + aNj =1