投入产出表的数学模型.
第四章-投入产出系数和模型
农业 轻工业 重工业
其它
农业 1． 109 0． 0464 0． 4114
0．0904
轻工业 × × × ×
重工业 × × × ×
其它 × × × ×
上表的第一列表明：要保证农业部门能提供一亿元的 最终产品，则农业部门的生产量要达到1·109亿元， 轻 工 业 部 门 要 达 到 0·0464 亿 元 ， 重 工 业 部 门 要 达 到 0·4114亿元，其它部门要达到0·0904亿元。其中农业 部门生产总量只超过最终产品的部分（0·0904亿元） 以及引起其它各部门生产的数量，都是因为农业生产
Bv Av (B I )或者是Bv Av (I A)1
（2·7）
其中， Bv ——完全劳动消耗系数行向量， Bv (bv1, bv2 ,, bvn ) ；
Av ——直接劳动消耗系数行向量， Av (a01, a02 ,, a0n ) 。
二、实物型投入产出表的特点
1、实物型投入产出表的实物量作为计量单位，各类 产品的计量单位并不相同，表的纵列不能相加。
产品投入与产出的关系。若用“负”号表示投入，用 “正”号表示产出，则矩阵中每一列的含义说明，为生 产一个单位各种产品，需要消耗（投入）其它产品（包 括自身）的数量。而主对角线上各元素，则表示各种产 品扣除自身消耗后的净产出比重。同时，也可看到，此 矩阵的“行”则没有经济含义，因为每一行的元素不能 运算。
2、实物形态投入产出模型
（1） 实物形态投入产出模型的表式
在实物投入产出表中，是以产品来进行分类的，其计量 单位则是以实物单位来计量的。简化的实物形态投入产 出表如下所示：
上表的简要解释：
从行向看，反映的是各类产品的分配使用情况，其
中一部分作为中间产品供其它产品生产中使用（消 耗），另一部分则作为最终产品供投资和消费使用， 两部分相加就是一定时期内各类产品的生产总量。从 列向看，反映了各类产品生产中要消耗其它产品（包 括自身）的数量。但应指出的是，由于列向各类产品 的计量单位不一致，故不能进行运算，因此，实物投 入产出模型只有行模型没有列模型。
线性代数6.1 投入产出模型简介
6.1 投入产出模型简介
6.2 线性规划
6.3 单纯形法
《线性代数》精品课程
1.1 n阶行列式的定义
• 一、投入产出模型 • 二、直接消耗系数
• 三、平衡方程组的解 • 四、完全消耗系数 • 五、应用举例
一、投入产出模型
• 假设一个经济系统是由n个产业部门组成的，将这n个产
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直接消耗系数矩阵A具有以下性质： • 性质1 所有元素均非负，且
0 aij 1(i, j 1,2, , n)
性质2 各列元素的绝对值之和均小于1，即
n
a ij 1 ( j 1,2, , n)
i1
根据这两条性质，可证明以下结论： 投入产出模型中的矩阵(E-A)和(E-C)都是可逆矩阵。
x11 x12 x13 0 0.2 0.31256.49
0
0
x21 x22 x23 0.1 0 0.4 0 1448.16 0
x31 x32 x33 0.3 0.4 0 0
0 1556.20
0 289.63 466.86 125.65 0 622.48
376.95 579.26 0
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四、完全消耗系数
定义2 第j部门生产单位产品时对第i部门产品 量的直接消耗和间接消耗之和，称为第j部门 对第i部门的完全消耗系数，记作bij，即
n
bij aij bik akj k 1
(i, j 1,2, , n)
间接消耗的总和
矩阵表示为B=A+BA
完全消耗系数矩阵的计算公
60 y 70
60
试求该系统的总产出
矩阵X .
解：因为 X (E - A)-1Y (B E)Y
投入产出表相关知识介绍
投入产出表相关知识介绍（一）投入产出表的由来投入产出表是运用投入产出技术，将国民经济各部门生产中投入的各种费用的来源与产出的各种产品和服务的使用去向，组成纵横交错的棋盘式平衡表，全面而系统地反映国民经济各部门在生产过程中互相依存、互相制约的经济技术联系。
投入产出表的投入是指各部门在生产货物和服务时的各种投入，包括中间投入的最初投入。
产出是指各部门的产出及其使用去向，包括中间使用和最终使用。
投入产出表于二十世纪三十年代产生于美国，它是由美国经济学家、哈费大学教授瓦西里·列昂惕夫（W.Leontief）在前人关于经济活动相互依存性的研究基础上首先提出并研究和编制的。
列昂惕夫从1931年开始研究投入产出技术，编制投入产出表，目的是研究当时美国的经济结构。
为此，他利用美国国情普查资料编制了1919年和1929年美国投入产出表，并分析美国的经济结构和经济均衡问题。
1936年他在美国《经济学和统计学评论》（1936年8月）上发表了投入产出法的第一篇论文“美国经济制度中投入产出数量关系”，标志着投入产出分析的诞生。
1941年他出版了《美国经济结构1919—1929》一书，他在该书中详细阐述了投入产出技术的主要内容。
1951年该书在增加了1939年投入产出表和一些论文后再版。
1953年，列昂惕夫与他人合作，出版了《美国经济结构研究》一书。
通过这些论著，列昂惕夫提出了投入产出表的概念及其编制方法，阐述了投入产出技术的基础原理，创立了投入产出技术这一科学理论。
正是在投入产出技术方面的卓越贡献，列昂惕夫于1973年获得了第五届诺贝尔经济学奖。
投入产了方法在西方产生也不是偶然的，是有一定历史背景的，主要是为了适应当时资本主义经济发展的需要。
1929年爆发的震撼资本主义世界的经济危机是资本主义国家历史上最严重、持续时间最长的一次经济危机，传统的西方经济理论已无法解释这个问题，这一冲击在资本主义社会产生了极大的反响。
投入产出分析的公式汇总
2.4.2.1 投入产出分析的基本数学模型表2-4-2-1 投入产出表从横列看，ij d 代表的是第i 产业生产过程中对第j 产业产品的需求；从纵列看，ij d 代表的是第j 产业生产过程中i 产业产品的投入量。
定义中间投入率∑ijijx d/定义中间需求率i ijx d/j∑定义直接投入系数i ij ij x d a /=定义进口系数)(∑++=jI i C i ij i if f d m m根据投入产出表的恒等关系，∑=-+++jii i I i C i ijx m e f f d应用矩阵的形式表示，XM E F F D I C =-+++其中，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n d d d d D .....................1111，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=C n C C f f F ...1，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=I n I If f F ...1，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n e e E ...1，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n m m M ...1，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x X (1)同时根据ij ij m a ,的定义，)](**[I C F A I C F F M AX M E F F AX X ++-+++=其中⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n a a a a A ............. (1111)，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==n FA m m m M M ..0.0000.000..00..021经过运算后，[][]G*B E )F )(F M -(I *)A M -(I -I X ICF-1A=++=其中[]-1A)AM -(I -I B =,E])F )(F M -[(I G I C F ++=起元素为ij b ，定义平均关联度∑∑i j ijb 1n 1定义感应系数∑∑∑j)1/(i jij ij b n b 定义影响力系数∑∑∑ii jij ij b n b )1/(对X 的结果进一步分解,[][][]BEBF BF E*)A M -(I -I F *)M -(I *)A M -(I -I F *)M -(I *)A M -(I -I X DI DC -1AIF-1ACF-1A++=++=算式表明了产出X 与各个部分的关系。
投入产出模型
证明 由定理3知，
n
bij aij bik akj
k 1
将 n2个等式用矩阵表示为
i, j 1,2,,n
B A BA或BE A A
由定理1知(E-A)可逆，故
B AE A1
E E AE A1 E A1 E 16
例3 假设某公司三个生产部门间的报告价值型投入产出表如表4，
投入产出数学模型
1
一、投入产出数学模型（基础） 二、区域间投入产出模型基础知识
2
一、投入产出数学模型（基础）
在经济活动中分析投入多少财力、物力、人力，产出多 少社会财富是衡量经济效益高低的主要标志。
投入产出技术正是研究一个经济系统各部门间的“投入” 与“产出”关系的数学模型.
该方法最早由美国著名的经济学家瓦.列昂捷夫 （W.Leontief）提出，是目前比较成熟的经济分析方法。
4
表1：投入产出表
流量 产出 消耗部门
最终需求
投入
生1
产2
部
门
n
新 工资
创 纯收入
价 值
合计
总投入
1 2 n 消费 累计 出口
x11 x12 x1n x21 x22 x2n
xn1 xn2
xnn
v1 v2 vn m1 m2 mn z1 z2 zn
x1 x2 xn
合计
y1 y2 yn
3
（一）投入产出数学模型的概念
投入：从事一项经济活动的消耗； 产出：从事经济活动的结果； 投入产出数学模型：通过编制投入产出表，运用线性代数工具
建立数学模型，从而揭示国民经济各部门、再生产各环节之 间的内在联系，并据此进行经济分析、预测和安排预算计划。
按计量单位不同，该模型可分为价值型和实物型。 首先，必须清楚投入产出表。见下：
投入产出总复习
i 1
n
a ij 1 ；相对稳定；
第三章
• 2、完全消耗系数：
b11 b B 21 bn1 b12 b22 bn 2
1
b1n b2 n bnn
B (I A) I
X (I B)Y = (I-A)1Y • 行模型：
T 1
P 1 n
第三章
• 3、完全需求系数：
1+b11 b12 b 21 1 b 22 1 B I B ( I A) ... ... b n2 b n1 1 行模型：X (I B)Y (I A) Y
b1n ... b 2n ... ... ... 1 b nn ...
第三章
• 1、直接消耗系数：
aij
a11 a12 a a 22 21 A a n1 a n 2
xij X
j
a1n a2n a nn
第三章
行模型： Y = (I A)X X = (I - A) Y ˆ 中间流量： W = A X 三个特点： 0 a ij 1 ；
第三章
• 4、派生系数：
acj cj Xj
xiLeabharlann 1nijXj
i 1
n
xij Xj
aij
i 1
n
adj
Dj Xj
avj
Vj Xj
amj
mj Xj
acj adj avj amj 1
第三章
5、基本假定： （1）纯部门假定； （2）直接消耗系数稳定性假定； （3）比例性假定。 6、求解条件：
数学建模投入产出模型
x ( I A) 1 y y ( I A) x
若 ①最终产品
y (100,200,300)T x ( 287.96,457.76,494.91) y (300,200,300)T x (557.14,570.44,582.55)
企 业 I-O 模 型
例：某企业 I-O表
企业内部消耗
产品Ⅰ 产品 Ⅱ 产品Ⅲ 1 2 3
合计
平衡 因子
最终 产品 20 10 1210
总产品
自 产 产 品 外 购 材 料
产品Ⅰ 吨 产品 Ⅱ 吨 产品Ⅲ 吨
480
140 750
620 750
10 10 5
650 770 1215
原料Ⅰ 吨
原料Ⅱ 水 电 煤 吨 吨 吨 吨
因为 A 1 max aij max aij 1
j i 1 j i 1
n
n
所以 ( I A)
1
Ak (bij ) nn bij 0
k 1
i, j
所以 y 0有 x ( I A) 1 y 0 I O为可行的 又因为 V 0 由V T P T ( I A) P T V T ( I A) 1 0 所以 I O为有利。 证毕
投入产出数学模型
三 数学模型 ：
1 投入产出表：实物型、价值型
投入—产出表
作为消耗部门 生产部门 农 工 业 业 . . . 1 2
*
最终 产品 总产出 新 创 造 价 值
投入产出数学模型
x12 x22
. . .
... ...
...
x1 n x2 n
x nn
y1 y2
. . . yn
x1 x2
. . .
社会纯收入 m1 , … ,mn 合计
z1 , … , zn
x1 , … , xn
服务业
n
xn 2
xn
总产值
xij ：第i个部门的产品流入 (投入 到第 个部门的数量 (价值量 投入) 价值量) 第 个部门的产品流入 投入 到第j个部门的数量 价值量
因为 A
1
i)
= max
j 1
∑
∞
n
i =1
a ij = max
j k
∑
n
i =1
a ij < 1 i, j
所以 ( I A )
=
∑
k =1
A = ( b ij ) n × n b ij ≥ 0
所以 y ≥ 0 有 又因为
x = ( I A ) 1 y ≥ 0 I O 为可行的
T
V ≥ 0由 V
∑a P
i =1
n
ij i
(V = P AT P )
四 模型的可行和有利问题
定义： 1 定义：
①若在I-O模型中 y ≥ 0 x ≥ 0 则称模型为可行的 ( 价值型 ) 若在 模型中 ②若对 V ≥ 0 P ≥ 0 则称模型为有利的 ( 实物型 )
判别准则： 2 判别准则：
①矩阵范数： 矩阵范数：
1.3459 0.2504 0.3443 ( I A) 1 = 0.5634 1.2676 0.4930 0.4382 0.4304 1.2167
x = ( I A) 1 y y = ( I A) x
投入产出表与模型投入产出分析知识介绍
数据来源
数据主要来源于统计调查、财务报告、行业协会等渠道。
数据质量审核
对收集到的数据进行质量审核，确保数据的准确性和完整性。
数据处理和分析
对数据进行处理和分析，包括数据的筛选、整理、计算等。
编制结果展示
表格形式展示
将编制结果以表格形式展示，包 括投入产出表、直接消耗系数表、 完全消耗系数表、最终使用表和 初次投入表等。
收集各部门之间的投入产出数据，编制直接消耗系数表，反映各部门 生产过程中的直接消耗关系。
编制完全消耗系数表
根据直接消耗系数表，推算出完全消耗系数表，反映各部门之间的间 接消耗关系。
编制最终使用表和初次投入表
根据完全消耗系数表，编制最终使用表和初次投入表，反映最终使用 和初次投入情况。
数据收集与策制定提供科学依据，帮 助政府和企业制定更加合理和有效的经济政策。
决策支持
投入产出表与模型可以为决策者提供全面的经济分析 和预测，帮助决策者做出更加明智和前瞻性的决策。
THANKS
感谢观看
智能化
借助人工智能和机器学习技术，投入产出表 与模型将实现智能化分析，自动识别数据规 律和趋势，为决策提供更精准的依据。
跨行业与跨区域的应用
跨行业
随着产业融合和跨界合作的发展，投入产出表与模型将应用于更多行业，帮助不同行业 之间实现资源共享和协同发展。
跨区域
随着全球化和区域一体化的发展，投入产出表与模型将应用于更广泛的区域，促进地区 间的经济交流和合作。
通过投入产出模型分析，可以预测经 济发展趋势，为制定经济发展规划提 供支持。
环境影响评价
通过投入产出模型分析，可以评估经 济发展对环境的影响，为环境保护提 供依据。
03
投入产出系数和投入产出模型
1600 2240 2560 1600 8000
7
• 对于假想表1所表示的投入产出模型，有
0.06 0.1 0.07 0.1 A 0.01 0.3 0.03 0.1
0.2 0.15 0.4 0.2 0.03 0.15 0.1 0.1
8
对于1997年中国价值型投入产出表（6部 门）有如下直接消耗系数矩阵
4
直接消耗系数的性质
a ① 0 ij
i, j 1,2,...,n
②对于价值型投入产出表，存在
aij ﹤ 1
n
aij ﹤ 1
i 1
i, j 1,2,..., n i, j 1,2,..., n
5
3、直接消耗系数矩阵
将直接消耗系数按照投入产出表中部门 （或产品）的顺序排列而成的矩阵。用A表 示，为一 n阶方阵。
24
四、 基于消耗系数的经济数学模型
投入产出经济数学模型是在投入产出表的 基础上，通过引入各种消耗系数而建立起来的 反映经济系统各“部分”（部门或产品）相互 依存的“投入-产出”平衡关系式。
行模型：按行向平衡关系建立的模型 列模型：按列向平衡关系建立的模型 • 其他各种复杂的投入产出应用模型，都是 这两个最基本的投入产出经济数学模型的扩展
48 336 256 160 800 480 320 800 1600
480 1568 1536 800 4384 2712 904 3616 8000
40 150 140 80 410
952 269 461 400 2082
128 253 423 320 1124
1120 672 1024 800 3616
0.043 0.048 0.021
0.025 0.037 0.058
《投入产出模型》课件
投入产出模型的发展趋势与展望
智能化与自动化
跨学科融合
定制化与个性化
随着大数据和人工智能技术的 发展，未来投入产出模型将更 加智能化和自动化。通过数据 挖掘和分析，能够更准确地评 估经济系统的结构和效率，为 政策制定提供科学依据。
未来投入产出模型将进一步融 合其他学科的理论和方法，如 地理信息系统、复杂网络等， 以更全面地揭示经济系统的内 在规律和动态变化。
特点
投入产出模型能够全面反映经济系统 的结构和运行规律，揭示各部门之间 的经济联系，为政策制定者提供决策 依据。
投入产出模型的基本假设
假设一
生产过程中消耗的中间产品与 最终产品之间存在固定的比例
关系。
假设二
生产技术系数在一定时期内保 持稳定。
假设三
生产过程中不存在外部经济和 内部经济的影响。
假设四
投入产出模型的起源
投入产出模型的起源可以追溯到 20世纪30年代，当时美国经济学 家瓦西里·列昂惕夫提出了投入产 出分析方法，用于研究经济系统 中各部门之间的投入与产出关系 。
投入产出模型的发展
随着时间的推移，投入产出模型 的应用范围不断扩大，逐渐成为 宏观经济分析和政策制定的有力 工具。在实践中，投入产出模型 不断得到完善和改进，以适应不 同国家和行业的需要。
动态投入产出模型考虑了时间因素对 经济系统的影响，能够更好地模拟经 济系统的动态变化和趋势。该模型在 政策制定和预测方面具有广阔的应用 前景。
03
全球投入产出模型
随着全球经济一体化的加速，全球投 入产出模型逐渐成为研究前沿之一。 该模型能够全面地反映全球范围内各 国家、各行业之间的经济联系和相互 影响。
02
投入产出模型的建立
第三章价值型投入产出表
二、 投入产出表的部门分类原则
• 同一个产品部门内的产品或服务要同时满足上述三个基本 相同是不可能的。因而在实际操作时，根据某些产品或服 务符合某一个基本相同就把其归为一个产品部门。
• 如水电、火电、核电，虽然他们的消耗结构和生产工艺大 不相同，但他们的用途都相同。因而把他们归并到“电力 生产和供应业”这个产品部门。
•
4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19
第三章 全国价值型投入产出模型
第一节 投入产出表的核算范围和部门分类原则 第二节 投入产出表数学模型 第三节 后向联系与前向联系 第四节 投入产出模型的基本假定和求解条件
第一节 投入产出表的核算范围和部门分类原则
一、投入产出表的核算范围 SNA投入产出表不仅核算物质生产部门, 而且还核算 非物质生产部门 。
0.5439
全部直接消耗系数组成的矩阵称直接消耗系数矩阵，用大写字母Ａ表 示，即：
a 11
a 12
A
=
a21
a 22
an1 an2
a 1n
a2n
0.1053 0.1404
ann
0.0526
0.0111 0.1111 0.0333
0.1053 0.2632 0.1754
直接消耗系数反映的是各部门之间的技术经济联系。直接消耗系数是投 入产出模型的核心。有了直接消耗系数，我们就可以把经济因素和技术因素 有机地结合起来，对经济问题进行定性与定量的结合分析。
1-投入产出表与模型
引入直接消耗系数
• 直接消耗系数是投入产出分析中的基本概念之一， 其含义是生产某种单位产品对另一种产品的消耗 量。 • 公式形式为：
aij xij / x j
– 分子为价值表第Ｉ象限的元素，表示j部门生产中对i产 品所消耗的价值量，分母xj是价值表列向总计，为j部门 的总投入量。 – aij的含义则是j部门每单位产值中对i产品消耗的价值量。
棉花100 80 纱200 180 布300 200 服装500
20消费
20出口
100消费
500消费
• 初始投入：（70+30）+（50+70）+（ 60+60）+（120+180）=640 • 最终产品与初始投入在价值量上是相等的
投入产出表与模型
• 表与模型
– 投入产出模型有两种表现形式，即投入产出表和与其 对应的投入产出数学模型。
• 问题：投入产出表与GDP核算？
– 生产法 – 收入法 – 支出法
按行建立的数学模型
行向投入产出数学模型
• 依据实物表和价值表上的同行元素的关系 得到 •
• 采用求和符号与矩阵形式记为：
X
i 1
n
ij
yi xi
Zi y x
(I=1，2 ，……， n)
– 产品平衡关系式表现了各产品的生产、分配关 系 – 但各式之间的联系不够紧凑，它未形成一个有 机联系的整体，所反映的数量关系简单化、表 面化，有待进一步深化其关系 – 引入直接消耗系数
引入A系数的意义
– 把行与列联结起来，使平衡数量关系得以深化
• 引入该系数后，即可将物质生产中的技术联系置入 模型中，从而使模型不再局限于行向元素数量关系 上，
投入产出模型
一、投入产出模型的基本原理投入产出分析，又称“部门平衡”分析，或称“产业联系”分析，最早由美国经济学家瓦·列昂捷夫(W. Leontief)提出。
主要通过编制投入产出表及建立相应的数学模型，反映经济系统各个部门(产业) 之间的相互关系。
自20世纪60年代以来，这种方法就被地理学家广泛地应用于区域产业构成分析、区域相互作用分析，以及资源利用与环境保护研究等各个方面。
在现代经济地理学中，投入产出分析方法是必不可少的方法之一。
（一）实物型投入产出模型实物型投入产出表，是以各种产品为对象，以不同的实物计量单位编制出来的。
表7.1.1是一个简化的实物型的投入产出表。
表7.1.1 投入产出表按每一行可以建立一个方程，这样就有以上方程式可以写成L q q q q y q q q q y q q q q y q q q n n n nn n n n n 002012122222211111211=+++=++++=++++=++++ )2 1( 1n i q y q n j i i ij ，，， ==+∑=L q n j j =∑=10如果令则a ij 表示生产单位数量的j 类产品需要消耗的i 类产品的数量，它被称为产品的直接消耗系数。
同理，劳动的直接消耗系数为则有若令上述方程的矩阵形式为 Y Q A I=-)(具体形式为)2 1 ,( n j i q q a j ij ij ，，，＝ =)2 1( 00n j q q a jjj，，， ==Lq a n j j j =∑=10) 2 1( 1n i q y q a i i n j j ij ，，， ==+∑=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211[][]Tn T n y y y Y q q q Q ，，，，， 2121 ,,==Q Y AQ =+ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-nn n n n n a a a a a a a a a A I 111)(212222111211通过求解得到各类产品的总产量实物型投入产出模型，建立了各类产品的生产和分配使用之间的平衡关系。
3.1 投入产出模型
3.1.2 投入产出模型的产品分配方程
投入产出模型建立在两个基本假设之上：(1)同质 性假设。假定每个部门只生产一种产品，任何一 种产品只属于一个部门，不同部门之间的产品无 相互替代现象；(2)比例性假设。假定每个部门的 投入与每个部门的产品产量或产值成正比关系， 因此投入和产出之间的关系是线性函数关系。 投入产出表如下表3.1.1所示：
表3.1.1 投入产出表
yi 设 xij 表示第 i 部门为第 j部门提供的产品的使用量， 表示第 i部门提供给居民、政府、出口和社会储备等 xi 表示第i部 i 1, 2,, n, j 1, 2,, n ， 最终需求， 门提供的产品产量（或产值），因此投入产出表的 第 i行表示第 i部门的产出，它反映了n个部门对第 i 部门的中间需求与最终需求之和应等于第 i部门的总 产出，则有如下产品分配的平衡关系方程式：
T
预测各部门提供的中间产品价值
T ˆ X AX 80.03 62.56 131.31 0.94 14.02 19.04
若在本年度的基础上，计划下一年度最终产品产值
农业增长3%，轻工业增长8%，重工业增长5%，建
筑业增长8%，运邮业增长12%，商业增长10%，则
计划目标最终产品产值向量为：
n i 1 ij
n
cj
i 1
ij
为中间消耗比率矩阵。令固定资产折旧向量 T T D d1 , d 2 , , d n ,活劳动的报酬向量 V v1 , v2 , , v ， n T M m , m , , m 1 2 纯收入向量 n ，则（3.1.4）可写为 Ac X D V M X ： （3.1.5） 式（3.1.5）称为投入产出产值构成模型。 令 N V M ，则称 N 为n个部门的国民收入向量或 创新价值向量，则有： ( I Ac ) X D N （3.1.6） 式（3.1.6）表明第 j 部门的总产值中扣除中间消耗部 分是固定资产折旧与新创价值之和。
投入产出分析的公式汇总
2.4.2.1 投入产出分析的基本数学模型表2-4-2-1 投入产出表第1产业 第2产业 第3产业 消费 投资 出口 进口 总产出 第1产业d11 d12 d13 FC1 FI1 E1 M1 X1 第2产业d21 d22 d23 FC2 FI2 E2 M2 X2 第3产业d31 d32 d33 FC3 FI3 E3 M3 X3 增加值V1 V2 V3 总产出X1 X2 X3从横列看，ij d 代表的是第i 产业生产过程中对第j 产业产品的需求；从纵列看，ij d 代表的是第j 产业生产过程中i 产业产品的投入量。
定义中间投入率∑i j ij x d/定义中间需求率i ij x d /j ∑定义直接投入系数i ij ij x d a /=定义进口系数)(∑++=j I i C i ij i i f f d m m根据投入产出表的恒等关系，∑=-+++j i i i I i C i ij x m e f f d应用矩阵的形式表示，XM E F F D I C =-+++其中， ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n d d d d D ........ (1)111，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=C n C C f f F ...1，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=I n I I f f F ...1，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n e e E ...1，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n m m M ...1，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x X ...1 同时根据ij ij m a ,的定义，)](**[I C F A I C F F M AX M E F F AX X ++-+++=其中⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n a a a a A .....................1111，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==n F A m m m M M ..000.00000.000..00..021经过运算后，[][]G *B E )F )(F M -(I *)A M -(I -I X I C F -1A =++=其中 []-1A )AM -(I -I B =,E])F )(F M -[(I G I C F ++= 起元素为ij b， 定义平均关联度∑∑i j ij b 1n 1 定义感应系数∑∑∑j )1/(i jij ij b n b 定义影响力系数∑∑∑ii j ij ij b n b )1/(对X 的结果进一步分解,[][][]BEBF BF E *)A M -(I -I F *)M -(I *)A M -(I -I F *)M -(I *)A M -(I -I X DI DC -1A I F -1A C F -1A ++=++= 算式表明了产出X 与各个部分的关系。
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… …
总
投
入
二 投入产出表的数学模型 投入产出表的数学模型主要表现四个方面的关系：
（一）横向关系 各生产部门为其他部门(包括本部门)提供的中间产品和为社会提供的 最终产品之和减进口等于该部门的总产品，公式表示为：
该式称为投入产出表的分配平衡方程组。 （二）纵向关系
各生产部门的中间投入加最初投入等于该部门的总投入，公式表示为：
所以： Y ( I A) X
1 0 0 0.1053 0.0111 0.1053 299.25 = 0 1 0 - 0.1404 0.1111 0.2632 1980 0 0 1 0.0526 0.0333 0.1754 638.4
Y ' M
i 1 i i 1
n
n
i
G j
j 1
n
三、
在模型中引入直接消耗系数
直接消耗系数是指第j部门生产单位产品所直接消耗的第i部门产品 或服务的数量, 记为aij (i、j＝1、2、……、n)。公式表示为：
a ij
xij X
j
由上节简表中的数据计算的全部直接消 耗系数列表如下： 其他部门 3 0.1053 0.2632 0.1754 0.5439
第三章 投入产出表的数学模型
第一节
第二节
投入产出表数学模型的一般形式
完全消耗系数
第一节
投入产出表数学模型的一般形式
一、投入产出表的一般形式
中
产出 投入 部门1 部门2 … 部门n 部 门1 x11 x21 … xn1
1
间
使
用
合计 ∑x1j ∑x2j … ∑xnj ∑∑x
ij
最
最终 消费 wi w1 w2 …. wn ∑ wi
Y ( I A) X
X ( I A) 1 Y
投入产出 表行模型
出 X。
例：利用上述的直接消耗系数，已知农业、工业和“其 他”三个部门的总产出分别在285亿元、1800亿元和570亿元 的基础上增长5%、10%和12%，试推算各部门的最终使用。
285 × 105% = 299.25 0.1053 0.0111 0.1053 X = 1800 × 110% = 1980 A = 0.1404 0.1111 0.2632 解：已知 570 × 112% = 638.4 0.0526 0.0333 0.1754
Y1 a11 a12 L a1n X1 Y a 21 a 22 L a 2n X2 Y = 2 式中： A = X = L L L Yn X a a L a n n1 n2 nn
该方程组称为投入产出表的消耗平衡方程组。
（三）横向与纵向关系 就各部门而言(即i=j时)，i部门总产出等于j部门总投入，即第 I、II象限之和等于第I、III象限之和，公式表示为：
x
j 1
n
ij
Y 'i M i xij G j
i 1
n
（四）最终使用与最初投入之间的关系 第II象限总量等于第III象限总量，即在一定时期内，全社会 国内生产总值的使用额与生产额相等。公式表示为：
a11X1 + a12 X 2 + a 21X1 + a 22 X 2 +
…… a n1X1 + a n2 X 2 + + a nn X n + Yn - M n = X n 第n行 为了简便，令 Y 'i M i Yi （下文仍称Yi为最终产品） 上述方程组可用矩阵表示为： AX Y X
i
中 间 投 入
…
…
合
计
∑ xi ∑ xi … ∑ xi d1 v1 T1 r1 G1 X1 d2 v2 T2 r2 G2 X2 dn vn Tn rn Gn Xn
…
∑Y ’i
∑ Mi ∑ X
最 初 投 入
固定资产折 旧 劳动者报酬 生产税净额 营业盈余 合 计
…
∑ dj ∑vj ∑Tj ∑rj ∑ Gj ∑ Xj
0.1053 0.0111 0.1053 0.1404 0.1111 0.2632 0.0526 0.0333 0.1754
直接消耗系数反映的是各部门之间的技术经济联系。直接消耗系数是 投入产出模型的核心。有了直接消耗系数，我们就可以把经济因素和技术因 素有机地结合起来，对经济问题进行定性与定量的结合分析。
把直接消耗系数引入投入产出表的行模型: 由式 aij 第一行 第二行
= xij Xj
得
xij aij X j 代入投入产出表的横向关系方程:
+ a1n X n + Y1 - M1 = X1 + a 2n X n + Y2 - M 2 = X 2
可以由已知的各部 门总产出Xi推算各 部门的最终使用Yi 当知道 直接消 耗系数 矩阵A和 最终使 用列向 量Y时, 可推算 各部门 的总产
终
使
用
部 门2 x12 x22 … xn2
2
部门 … n x1n x2n … xnn
n
出口 合计 资本 … 形成Hi Ei Y’i H1 H2 … Hn ∑ Hi E1 E2 … En ∑ Ei Y ’1 Y ’2 … Y ’n
进 口 (-) Mi
M1 M2 … Mn
总 产 出 Xi
X1 X2 … Xn
xn1 xn 2 xnn Y ' n M n X n
x11 x12 x1n Y '1 M 1 X 1 x21 x22 x2n Y ' 2 M 2 X 2 ……..
x11 x21 xn1 G1 X 1 x12 x22 x2n G2 X 2 …… x1n x2n xnn Gn X n
直接消耗系数表 农业部门 1 工业部门 2 农业部门1 工业部门2 其他部门3 合 计 0.1053 0.1404 0.0526 0.2983 0.0111 0.1111 0.0333 0.1555
全部直接消耗系数组成的矩阵称直接消耗系数矩阵，用大写字母Ａ表 示，即：
a11 a 21 A = a n1 a12 a 22 a n2 a1n a 2n a nn