电自线代：1-习题课

)
1 1
1a2 a2 a3 a3 a2 a2 11a3 a3
a4 a4
a4 a4
1 a1 a2 a3 a4 1 a2 a2 a3 a3 11a4 a4
1 aa2 2 a3 aa34
a4
10 (1 a1 a2 a3 a4 ) 10
11 a2 0 a03 0a2 1 10a3
a4 a4
10 0a2 0 a13 1 a4
2c 2c c a b
1
1
1
(a b c) 0 b c a
0
0
0
c b a
(a b c)3
P2, 2(3)
12 22 32 42 22 32 42 52 D 32 42 52 62 42 52 62 72 12 22 32 42 12 22 32 42 3 5 7 9 3 5 7 9 5 7 9 11 2 2 2 2 7 9 11 13 2 2 2 2
a3 a3 a3 a3 b3
1 a1 a2 a3
0
b1
0
0
0 0 b2 0
0 0 0 b3
b1b2b3
P3, 2(6)
1 a1 a2
a3
a4
D a1 1 a2 a3
a4
a1
a2 1 a3 a4
a1
a2
a3 1 a4
1 a1 a2 a3 a4 1 a2 a2 a3 a3 a4 a4
(111aaa111aaa222aaa333aaa444
定理 如果上述齐次线性方程组有非零解，则
它的系数行列式必为零.
P2 , 2(2)
a b c 2a
2a
D 2b b c a 2b
2c
2c c a b
r1r3 a b c a b c a b c
r1 r2
2b b c a 2b
2c
2c c a b
11
1
(a b c) 2b b c a 2b
0
1000
0
0100
0
0010
0
0001
P3 , 3(1)
a1 kb1 b1 c1 c1 a1 b1 c1 证明 a2 kb2 b2 c2 c2 a2 b2 c2
a3 kb3 b3 c3 c3 a3 b3 c3
…
…
an1 an2 … ann
an1 an2 … ann
3 行列式按行（列）展开
a A n
D,当i j;
k 1
ki
ki
0,当i
j.
或
a A n ik k 1
D,当i j;
jk
0,当i
j.
4 克拉默法则
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , 如果线性方程组a21 x1 a22 x2 a2nxnb2,
第一章 行列式
1 n阶行列式的定义
１）余子式与代数余子式
在n阶行列式中，把元素aij 所在的第i行和第 j 列划去后，留下来的n 1阶行列式叫做元素aij 的余子式，记作M ij；记
Aij (1)i j M ij , Aij 叫做元素a ij 的代数余子式.
2）n阶行列式的定义
a11 a12 D a21 a22
8)若行列式的某一列 (行) 的元素都是两数之和,则
此行列式等于两个行列式之和.
a11
a12 … a1n
… ………
ai1+bi1 ai2+bi2 … ain+bin … … ……
an1
an2 … ann
a11 a12 … a1n …
a11 a12 … a1n …
= ai1 ai2 … ain + bi1 bi2 … bin
… … … … =k … … … … .
an1 an2 … ann
an1 an2 … ann
5)行列式中某一行 (列) 的所有元素的公因子可以 提到行列式符号的外面.
6)行列式中如果有两行 (列) 元素成比例,则此行列 式为零.
7)把行列式的某一列 (行) 的各元素乘以同一数,然 后加到另一列 (行) 对应的元素上去,行列式的值不变.
1 a1
a2
a3
a4
1 a1 a2 a3 a4
0 1 a1 a2
a3
a4 1 1 0 0 0
方法二：D 0 a1 1 a2 a3
a4 1 0 1 0 0
0 a1 a2 1 a3 a4 1 0 0 1 0
0 a1
a2
a3 1 a4 1 0 0 0 1
1 a1 a2 a3 a4 a1 a2 a3 a4
定理 如果上述线性方程组无解或有两个不同的
解，则它的系数行列式必为零.
定理 如果齐次线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1n xn 0, a21 x1 a22 x2 a2n xn 0, an1 x1 an2 x2 ann xn 0.
的系数行列式D 0,那Baidu Nhomakorabea它没有非零解.
0
a2 思考 D b2
c2 d2
(a 1)2 (b 1)2 (c 1)2 (d 1)2
(a 2)2 (b 2)2 (c 2)2 (d 2)2
(a 3)2 (b 3)2 (c 3)2 (d 3)2
P3, 2(5)
1 1 D 1 1
a1 a1 b1
a1 a1
a2 a2 a2 b2 a2
an1 x1 an2 x2 ann xn bn .
的系数行列式 D 0,那么它有唯一解
x
j
Dj D
,
j
1,2,, n.
其中D（j j 1,2,, n）是把系数行列式D中第j列
换成常数项b1 , b２，bn 所得到的行列式.
克拉默法则的理论价值
定理 如果线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 , an1 x1 an2 x2 ann xn bn . 的系数行列式D 0,那么它一定有解，且解唯一.
a1n a2n … ann
2)互换行列式的两行(列), 行列式变号.
3)如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列式
等于零. 4)行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同
一数k,等于用数 k 乘此行列式.
a11 a12 … a1n
a11 a12 … a1n
ka21 ka22 … ka2n
a21 a22 … a2n
an1 an2
a1n a2n a11A11 a12 A12
a1n A1n
ann
2 n阶行列式的性质
1)行列式与它的转置行列式相等,即D DT.
a11 a12 … a1n
a11 a21 … an1
a21 …
a22 … a2n ………
=
a12 …
a22 … an2 ………
an1 an2 … ann