关于高等数学在实际生活中的应用
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高等数学知识在实际生活中的应用
一、数学建模的应用
数学建模的一般方法是理论分析的方法,即根据客观事物本身的性质,分析因果关系,在适当的假设下用数学工具去描述其数量特征。
(一)数学建模的一般方法和步骤
(1)了解问题,明确目的。在建模前要对实际问题的背景有深刻的了解,进行
全面的、深入细致的观察。明确所要解决问题的目的和要求,并按要求收集必要的数据。
(2)对问题进行简化和假设。一般地,一个问题是复杂的,涉及的方面较多,
不可能考虑到所有的因素,这就要求我们在明确目的、掌握资料的基础上抓住主要矛盾,舍去一些次要因素,对问题进行适当的简化,提出几条合理的假设。不同的简化和假设,有可能得出不同的模型和结果。
(3)建立模型。在所作简化和假设的基础上,选择适当的数学理论和方法建立数学模型。在保证精度的前提下应尽量用简单的数学方法,以便推广使用。
(4)对模型进行分析、检验和修改。建立模型后,要对模型进行分析,即用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明、稳定性讨论等数学的运算和证明得到数量结果,将此结果与实际问题进行比较,以验证模型的合理性。一般地,一个模型要经过反复地修改才能成功。
(5)模型的应用。用已建立的模型分析、解释已有的现象,并预测未来的发展趋势,以便给人们的决策提供参考。
归纳起来,数学建模的主要步骤可以用下面的框图来说明:
问题-------- ►假设-------- > 建模--------- ►分析 -------- ►应用
检验、修改
图1
(二)数学建模的范例
例 教室的墙壁上挂着一块黑板,学生距离墙壁多远,能够看得最清楚?
这个问题学生在实际中经常遇到,凭我们的实际经验,看黑板上、下边缘的视角 越大,看得就会越清楚,当我们坐得离黑板越远,看黑板上、下边缘的视角就会越 小,自然就看不清楚了,那么是不是坐得越近越好呢?
先建立一个非常简单的模型: 模型1:
先对问题进行如下假设:
1.假设这是一个普通的教室(不是阶梯 黑板的上、下边缘在学生水平视线的上方a 处。
2.看黑板的清楚程度只与视角的大小有关。
设学生D 距黑板x 米,视黑板上、下边缘的的仰角分别为 由假设知:
所以,当且仅当x .ab 时,tan ()最大,从而视角 最大。从结果我们可以 看出,最佳的座位既不在最前面,也不在最后面。坐得太远或太近,都会影响我们 的视觉,这符合我们的实际情况。
下面我们在原有模型的基础上,将问题 些。
模型2:设教室是一间阶梯教室,如图 所示。为了简化计算我们将阶梯面看成一个 与水平面成角,以黑板所在直线为y 轴,
的方程(除原点)为:
若学生D 距黑板的水平距离为x ,则D 在坐标系中的坐标为(x,xtan ),
线为x 轴,建立坐标系(见图2.3-2)。则直 线 OE
复杂一
2. 3-2 斜面, 以水平
x
了。对f(x)求导得:
当x ab 2时,f '(x ) 0,则f(x)随x 的增大而增大;当0 X 「―ab 2时,f '(x ) 0 , 屮 tan 2 , , \l tan 2 则f (x)随x 的增大而减小,由因为f(x)是连续的,所以当X ;—ab 2时,f(x)取最小 V tan 2 值,也就是x ab 2时,学生的视角最大。
\1 tan 2
通过这两个模型,我们便可以解释为什么学生总愿意坐在中间几排。模型1和 模型2所应用的基本知识都是相同的,只是因为假设的教室的环境不同,建立的模 型有些细微差别,所以结果不同,但这两个结果都是基本符合实际的。在解题过程 中,我们只考虑了一个因素,那就是视角,其实我们还可以考虑更多的因素,比如: 前面学生对后面学生的遮挡,学生看黑板的舒适度(视线与水平面成多少度角最舒 服),等。我们考虑的因素越多,所的结果就会越合理。但有时如果考虑的因素过多、 过细的话,解题过程就会相当繁琐,有时甚至得不到结果。所以“简化假设”时就 需要我们冷静的分析,在众多的因素中抓住主要矛盾,作出最佳的选择。因此在建 立模型时既要符合实际,又要力求计算简便。 二、矩阵在实际生活中的应用 (一)有关矩阵的乘法 矩阵A= a b 与a = x 相乘
cd
y a b x
ax by
Aa
=
c d y cx dy
则:tan a xta n
,tan
b xta n
所以tan( tan tan 1 tan tan 设 f (x)
ab (a tan
btan )x tan 2 x 2 x
要使tan( )最大,只要f (x)最小就可以
A( a)
a b x a b x a x b y ax by =
=
=
= A a
c
d
y
c d
y
c x
d y
cx
dy
(二)
矩阵应用的范例—人口流动问题 例 假设某个中小城市及郊区乡镇共有 40 万人从事农、工、商工作,假定这个 总人数在若干年内保持不变,而社会调查表明:
(1)在这 40万就业人员中,目前约有 25万人从事农业,10万人从事工业,5 万人
经商;
(2) 在务农人员中,每年约有 10%改为务工,10%改为经商; (3) 在务工人员中,每年约有 10%改为务农,20%改为经商;
(4) 在经商人员中,每年约有 10%改为务农,20%改为务工。 现欲预测一、二年后从事各业人员的人数,以及经过多年之后,从事各业人员总 数之发展趋势。
解:若用三维向量(X i ,y i ,zJ T 表示第i 年后从事这三种职业的人员总数,则已知 (x o ,y °,z o )
T
=(25, 10,5)T 。而欲求(x i ,y i ,z i )T , (X 2,y 2,Z 2)T 并考察在 n ^x 时 (X n ,y n ,Z n )T
的发展趋势。
依题意,一年后,从事农、工、商的人员总数应为
X 1 0.8x 0 0.1y 0 0.1z 0 T Y 1 0T .1x 0 0.7 y 0 0.2z 0
以("》25,吩5)0代入上式,即0得7Z 0
即一年业人员的人数分别为 21.5万10.5万、8万人。
即两年后从事各业人员的人数分别为019. 051万1 11. 1万、9 85万人。进而推得:
即n 年之后从事各业人员的人数0
完全 由9・85 决定。
X n x n 1 x 0
在这个问题的求解过胳中,我们应用至A 矩阵的乘法、转置等,将一个实际问题数学 Y n
A y n 1 A y 0
化,进而解决了实际生活中的人n 口流动问题。这个问题看似复杂,但通过对矩阵的 正确
应用,我们成功的将其解决
以及
X 2 x 1 x 0 19.05