多维无约束优化算法

多维无约束优化算法

多维无约束优化问题的一般数学表达式为：

求n 维设计变量

使目标函数 多维无约束优化算法就是求解这类问题的方法，它是优化技术中最重要最基础的内容之一。因为它不仅可以直接用来求解无约束优化问题，而且实际工程设计问题中的大量约束优化问题，有时也是通过对约束条件的适当处理，转化为无约束优化问题来求解的。所以，无约束优化方法在工程优化设计中有着十分重要的作用。b5E2RGbCAP 目前已研究出很多种无约束优化方法，它们的主要不同点在于构造搜索方向上的差别。

<1）间接法——要使用导数，如梯度法、<阻尼）牛顿法、变尺度法、共轭梯度法等。

<2）直接法——不使用导数信息，如坐标轮换法、鲍威尔法单纯形法等。用直接法寻找极小点时，不必求函数的导数，只要计算目标函数值。这类方法较适用于解决变量个数较少的

各种优化方法之间的主要差异是在于构造的搜索方向，因此，搜索方向的构成问题乃是无约束优化方法的关键。 12

[]T n x x x =x ()min f →x min ()n

f R ∈x x 1(0,1,2,)

k k k k s k α+=+=x x

下面介绍几种经典的无约束优化方法。

1、梯度法

基本思想：函数的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向。将n 维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题，利用负梯度作为搜索方向，故称最速下降法或梯度法。DXDiTa9E3d 搜索方向s 取该点的负梯度方向

(最速下降方向> ，使函数值在该点附近的范围内下降最快 。

为了使目标函数值沿搜索方向能够获得最大的下降值，其步长因子应取一维搜索的最佳步长。即有

根据一元函数极值的必要条件和多元复合函数求导公式，得

在最速下降法中，相邻两个迭代点上的函数梯度相互垂直。而搜索方向就是负梯度方向，因此相邻两个搜索方向互相垂直。这就是说在迭代点向函数极小点靠近的过程，走的是曲折的路线。形成“之”字形的锯齿现象，而且越接近极小点锯齿越细。RTCrpUDGiT 方法特点

<1）初始点可任选，每次迭代计算量小，存储量少，程序简短。即使从一个不好的初始点出发，开始的几步迭代，目标函数值下降很快，然后慢慢逼近局部极小点。 5PCzVD7HxA ()k

f -∇x k α1(0,1,2,)

k k k k s k α+=+=x x 1()(0,1,2,)k k k k a f k +=-∇=x x x 1()[()]min [()]min ()k k k k k k k a

a f f a f f a f ϕα+=-∇=-∇=x x x x x {}'()[()]()0T

k k k k f f f ϕαα=-∇-∇∇=x x x 1[()]()0k T k f f +∇∇=x x 1()0k T k s s +=

<2）任意相邻两点的搜索方向是正交的，它的迭代路径为绕道逼近极小点。当迭代点接近极小点时，步长变得很小，越走越慢。jLBHrnAILg

<1

<2

<3

逼近速度较慢。

<4）梯度法的收敛速度与目标函数的性质密切相关。对于等值线(面>为同心圆<球）的目标函数，一次搜索即可达到极小点。LDAYtRyKfE

梯度法由于每次迭代的搜索方向是取函数的最速下降方向，因此又称它为最速下降法。从这点看，容易使人认为，这种方法是一个使函数值下降最快的方法，但实际上并不是这样，计算表明，此法往往收敛得相当慢。这是由于梯度法的相邻两次搜索方向是相互正交的，所以，当二元二次函数的等值线是比较扁的椭圆时，其梯度法逼近函数极小值的过程呈直角锯齿状，如图8-15(b>所示。Zzz6ZB2Ltk 这种算法的优点是迭代过程简单，要求的存储量也少，而且在远离极小点时，函数下降还是比较快的。因此，常常将它与其它方法结

合，在计算的前期使用最速下降方向，当接近极小点时，再改用其它搜索方向，以加快收敛速度。dvzfvkwMI12、牛顿法<二阶梯度法）

基本思想 ：在xk 邻域内用一个二次函数来近似代替原目标函数，并将 的极小点作为对目标函数求优的下一个迭代

点。经多次迭代，使之逼近目标函数的极小点。rqyn14ZNXI 牛顿法是求函数极值的最古老算法之一。

设 为 的极小点

这就是多元函数求极值的牛顿法迭代公式。 对于二次函数 ，海赛矩阵H 是一个常矩阵，其中各元素均为常数。因此，无论从任何点出发，只需一步就可找到极小点。EmxvxOtOco 从牛顿法迭代公式的推演中可以看到，迭代点的位置是按照极值条件确定的，其中并未含有沿下降方向搜寻的概念。因此对于非二次函数，如果采用上述牛顿迭代公式，有时会使函数值上升 。SixE2yXPq53、修正牛顿法<阻尼牛顿法）

阻尼因子 ，沿牛顿方向进行一维搜索的最佳步长，由下式求得：

方法特点：

<1） 初始点应选在X*附近，有一定难度；

()ϕx ()ϕx ()f x 1k +x ()f x 1k +x ()ϕx k α2()()()()()

1()()()2k k T k k T k k f f f f ϕ≈=+∇-+-∇-x x x x x x x x x x x 1()0

k ϕ+∇=x 21()()()0k k k k f f +∇+∇-=x x x x 121[()]()(0,1,2,)

k k k k f f k +-=-∇∇=x x x x 121[()]()(0,1,2,)k k k k k k k k s f f k αα+-=+=-∇∇=x x x x x 1()()min ()k k k k k k k f f s f s ααα+=+=+x x x