高等几何课件

透视仿射变换
有限次平行射影的结果
仿射变换
仿射几何 仿射不变性
研究图形的
仿射变换不变性的科学
比如——平行性、两平行 线段的比等等
射影几何
中心射影
透视变换
有限次中心射影的结果
射影变换
射影几何
研究图形的 射影变换不变性的科学
射影不变性
比如——几条直线共点、 几个点共线等等
射影变换将彻底改变我们原有的几何 空间观念！
教师授课助手 学生自修向导— —
高等几何电子教案
南京师范大学 周兴和
课程概论
一、高等几何的内容
高等几何 前三高
数学与应用数学专业主干课程之一
数学分析 高等代数
后三高
实变函数 近世代数
高等几何
点集拓扑
高等几何
射影几何 几何基础 ……
本课程
主要介绍平面射 影几何知识(教材 前四章)
课程概论
一、高等几何的内容 什么是射影几何？
给平行线添加交点！
§ 1.1 射影平面
一、中心射影 二、无穷远元素
目标： 改造空间，使得中心射影成为双射 途径： 给平行直线添加交点 要求： 不破坏下列两个基本关系
两条相异直线确定惟一一个点(交点)
} 点与直线的关联关系
两个相异点确定惟一一条直线(连线)
§ 1.1 拓广平面
二、无穷远元素
约定1.1 (1) 在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直 线上原有的点. 称为无穷远点(理想点)，记作P∞
影消线的存在，导致两平面间的中心射影不是一个双射
§ 1.1 拓广平面
一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影
} 定义1.1 : l l'
2、平面到平面的中心射影
定义1.2 : '
均不是双射
中心射影不是双射的原因：存在影消点、影消线 存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点
如何使得中心射影成为一个双射？
3、每一平面上有且仅有一条无穷远直线.
4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；过同一 条无穷远直线的平面相互平行. 因而，对于通常平面：
平行
无穷远直线
两平面
交于惟一
不平行
来自百度文库
有穷远直线
空间中任二平面必相交于唯一直线
§ 1.1 拓广平面
三、拓广平面
定义1.3 通常点和无穷远点统称拓广点； 添加无穷远点后的直线和无穷远直线统称为拓广直线(射影仿 射直线)； 添加无穷远直线后的平面称为拓广平面(射影仿射平面).
平行
无穷远点
两直线 不平行 交于惟一 有穷远点
平面上任二直线总相交
5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点. 6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.
§ 1.1 拓广平面
理解约定1.1(3)
1、无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为无穷 远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上.
2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线 上的无穷远点.
§ 1.1 拓广平面
一、中心射影
2、平面到平面的中心射影
定义1.2 : '
O投射中心(O ')
OP 投射线 P' π 上的点P 在π'上的像 P π' 上的点P'在π上的像
因此 ， 1 : ' 是π'到π的中心射影
三条特殊的直线： x ' 自对应直线(不变直线) u ,U u,OU // ' ， u为由影消点构成的影消线 v' ',V 'v',OV ' // ， v'为由影消点构成的影消线
课程概论
一、高等几何的内容
二、高等几何的与方法
综合法
给定公理系统(一套相互独立、 无矛盾、完备的命题系统)，演 绎出全部内容
解析法
形、数结合，利用代数、分析 的方法研究问题
本课程
以解析法为主，兼用综合法
课程概论
一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的
•学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换 知识，接受变换群思想。
定理1.1 在拓广平面上, 点与直线的关联关系成立. (1) 两个相异的拓广点确定惟一一条拓广直线； (2) 两条相异的拓广直线确定惟一一个拓广点.
总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线 的关联关系，同时使得中心射影成为双射.
§ 1.1 拓广平面
理解约定1.1(1), (2)
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行.
2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点. 3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数. 4、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线：
(2) 相互平行的直线上添加的无穷远点相同, 不平行的直线上 添加的无穷远点不同.
区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(通常点)，记作P
约定1.1 (3) 按约定(1), (2)添加无穷远点之后，平面上全体 无穷远点构成一条直线，称为无穷远直线(理想直线)，记作l∞
区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)，l
直观描述
鸟瞰下列几何学
欧氏几何
仿射几何
射影几何
十九世纪名言
一切几何学都是射影几何
欧氏几何(初等几何)
研究图形在“搬动”之下保持不变的性质和数 量
(统称不变性，如距离、角度、面积、体积等)
搬动
正交变换
对图形作有限次的平移、 旋转、轴反射的结果
欧氏几何
研究图形的 正交变换不变性的科学
仿射几何
平行射影
•训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数 学审美意识，提高数学修养。
•新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何，提高 观点，加深理解，举一反三。
课程概论
一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的 四、计划及注意点
• 周学时3，一个学期，第一～四章
• 第五章：自学阅读材料
• 把好入门关，牢固掌握基本概念，反复思考，认 真体会。线性代数＋齐次性
第一章 射影平面
本章地位 本章内容
学习平面射影几何的基础
定义射影平面，引入齐次 坐标，学习对偶原则
附带一个重要定理
Desargues透视定理
学习注意
认真思考，牢固掌握基本 概念，排除传统习惯干扰
§ 1.1 拓广平面
一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影
定义1.1 : l l'
O投射中心(O l l ') OP 投射线 P' l 上的点P在l'上的像 P l' 上的点P'在l上的像 因此 ，φ–1: l' → l是 l' 到 l 的中心射影 三个特殊的点： X=l×l' 自对应点(不变点) OU与l'不相交， U为l上的影消点 OV'与l不相交， V'为l'上的影消点 影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个双射