高等几何课件
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高等几何课件
3. 等价关系 定义1.4 设f 为集合A到自身的一个关系. 如果 (1) 若aA, 都有(a,a)f, 则称f 为自反的, 或称f 具有反身性. (2) 若(a,b)f, 就必有(b,a)f, 则称f 为对称的, 或称f 具有对称 性. (3) 若(a,b)f且(b,c)f, 就必有(a,c)f, 则称f 为传递的, 或称f 具 有传递性. 若f 同时满足上述3条, 则称f 为A上的一个等价关系. A上的一个等价关系必将A的元素分成等价类.
换的定义有
| AB | | BC || AC | | A' B'| | B'C'|| A'C'| .
即A', B', C'仍然为共线三点且B'在A', C'之间. 若A, B, C不共线, 则必有
| AB | | BC || AC | | AB | | BC || AC |
| A' B ' | | B 'C ' || A'C ' | | A' B ' | | B 'C ' || A'C ' |
A
a11 a21
a12
a22
称为的矩阵, 满足AAT=ATA=E, 为二阶正交矩阵.
注1：对于正交变换的矩阵A, 显然有A1=AT, 且|A|=1.
当|A|=1时, 将右手系变为右手系, 称为第一类正交变换；
当|A|= 1时, 将右手系变为左手系, 称为第二类正交变换.
注2：正交变换(1.1)在形式上与平面解析几何中的直角坐标变
(2) 正交变换使得平行直线变为平行直线, 矩形变为与之全等 的矩形.
§ 1.1 引 论
换的定义有
| AB | | BC || AC | | A' B'| | B'C'|| A'C'| .
即A', B', C'仍然为共线三点且B'在A', C'之间. 若A, B, C不共线, 则必有
| AB | | BC || AC | | AB | | BC || AC |
| A' B ' | | B 'C ' || A'C ' | | A' B ' | | B 'C ' || A'C ' |
A
a11 a21
a12
a22
称为的矩阵, 满足AAT=ATA=E, 为二阶正交矩阵.
注1：对于正交变换的矩阵A, 显然有A1=AT, 且|A|=1.
当|A|=1时, 将右手系变为右手系, 称为第一类正交变换；
当|A|= 1时, 将右手系变为左手系, 称为第二类正交变换.
注2：正交变换(1.1)在形式上与平面解析几何中的直角坐标变
(2) 正交变换使得平行直线变为平行直线, 矩形变为与之全等 的矩形.
§ 1.1 引 论
大学高等几何课件
空间几何体的分类
多面体、旋转体、组合体等。
空间几何体的性质
体积、表面积、重心等。
平面几何与立体几何的关系
平面几何是立体几何的基础
01
立体几何中的许多概念和性质都可以从平面几何中推广而来。
空间几何体的投影
02
通过投影将三维空间中的几何体投影到二维平面上，从而将三
维问题转化为平面问题。
空间几何体的展开
数形结合的思想方法
数形结合
在高等几何中，数和形是密不可分的，通过数形结合可以将几何问 题转化为代数问题，或者将代数问题转化为几何问题。
代数方法
利用代数方法研究几何问题，如线性代数中的矩阵和向量等，可以 更深入地研究几何图形的性质和关系。
几何直观
通过几何直观来理解代数概念和性质，使得代数问题更加直观易懂。
05
CATALOGUE
高等几何中的数学思想与方法
抽象思维与具体表达的结合
1 2
抽象思维
高等几何中，点、线、面等基本元素不再是具体 的实物，而是通过抽象思维来定义和理解。
具体表达
高等几何中，通过几何图形、图像等方式将抽象 的数学概念具体化，便于理解和应用。
3
结合应用
抽象思维与具体表达的结合，使得高等几何能够 更深入地探索和研究几何学中的本质和规律。
差异性
然而，射影几何和仿射几何也存在差异性。例如，在射影空 间中，无穷远点是重要的元素，而在仿射空间中则不重要。 此外，射影变换通常会改变图形的形状和大小，而仿射变换 则不会。
04
CATALOGUE
欧式几何与非欧式几何
欧式几何的基本概念
欧式几何
基于平面的二维空间，研究点 、线、面及其性质和关系。
不同空间结构
多面体、旋转体、组合体等。
空间几何体的性质
体积、表面积、重心等。
平面几何与立体几何的关系
平面几何是立体几何的基础
01
立体几何中的许多概念和性质都可以从平面几何中推广而来。
空间几何体的投影
02
通过投影将三维空间中的几何体投影到二维平面上，从而将三
维问题转化为平面问题。
空间几何体的展开
数形结合的思想方法
数形结合
在高等几何中，数和形是密不可分的，通过数形结合可以将几何问 题转化为代数问题，或者将代数问题转化为几何问题。
代数方法
利用代数方法研究几何问题，如线性代数中的矩阵和向量等，可以 更深入地研究几何图形的性质和关系。
几何直观
通过几何直观来理解代数概念和性质，使得代数问题更加直观易懂。
05
CATALOGUE
高等几何中的数学思想与方法
抽象思维与具体表达的结合
1 2
抽象思维
高等几何中，点、线、面等基本元素不再是具体 的实物，而是通过抽象思维来定义和理解。
具体表达
高等几何中，通过几何图形、图像等方式将抽象 的数学概念具体化，便于理解和应用。
3
结合应用
抽象思维与具体表达的结合，使得高等几何能够 更深入地探索和研究几何学中的本质和规律。
差异性
然而，射影几何和仿射几何也存在差异性。例如，在射影空 间中，无穷远点是重要的元素，而在仿射空间中则不重要。 此外，射影变换通常会改变图形的形状和大小，而仿射变换 则不会。
04
CATALOGUE
欧式几何与非欧式几何
欧式几何的基本概念
欧式几何
基于平面的二维空间，研究点 、线、面及其性质和关系。
不同空间结构
高等几何讲义(第5章§2 圆环点与欧氏几何)
若 T 作用下，IJ 而 JI，则由 IJ 得
由此得
a11 a12i i a21 a22i
，
(a22 + a11) i a21 a12 0，
故 a22 a11，a21 a12．(由JI 代入可得相同结果)
反之，不难验证仿射变换(5.9)保持{I, J}不动．
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
a11 a22，a12 0．
故圆的齐次坐标方程为
a11x12 a11x22 a33x32 2a13x1x3 2a23x2x3 0． 令 b13 a13/a11，b23 a23/a11，b33 a33/a11，化为 非齐次坐标方程，即得结果．
➢ 通过一个圆环点的虚直线称为迷向直线．
坐标系．
o(1)
o(2)
➢ 建立了齐次直角坐标系的扩
大仿射平面称为扩大欧氏平 面．(如右图)
e
e(2)
e(1)
o(3)
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
§2 圆环点与欧氏几何
➢2.3 保距变换与欧氏度量
➢ 在扩大欧氏平面上，有如下重要结论
➢ 定理4 在齐次直角坐标下，度量单位圆的方程为
§2 圆环点与欧氏几何
➢ 在以齐次正交坐标系的第三个基点为圆心的圆中， 指定一确定的圆，称为度量单位圆．
➢ 记度量单位圆与o(1)o(3)的交点为e(2)，与o(2)o(3) 的交点为e(1)，令e (o(1)e(1))(o(2)e(2))．
➢ 指定了度量单位圆，且如上选取单位点 e 的齐次
正交坐标系 [o(1), o(2), o(3); e ] 称为齐次直角
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
高等几何
第五章高等几何第一节课程概论1、本课程的起源与发展早自欧洲文艺复兴时期，由于绘图和建筑等的需要，透视画的理论逐步形成，以后便建立了画法几何。
法国数学家蒙日(GaspardMonge，1746-1818)在1768到1799年之间和1809年分别出版了画法几何和微分几何两部经典著作，由于画法几何理论的发展，他的学生彭色列（JeanPoncelet，1788-1867)继承了这两部著作中的综合思想，于1822年写了一本书，它是射影几何方面最早的专者。
继彭色列之后，法国人沙尔(Michel Chasles，1793-1880) 等对射影几何的研究都做出了重要贡献。
出生于德国数学家史坦纳(Jacob Steiner，1796-1863)改进了射影几何的研究工具，并且把它们应用到各种几何领域，因而得到了丰硕结果。
到了19世纪上半叶，几何学的发展经历了它的黄金时代。
在这期间，古典的欧几里得几何学不再是几何学的唯一对象，射影几何学正式成为一门新学科。
英国人凯莱（Cayley，1821-1895）和德国人克莱因（Christian Felix Klein，1849-1925）等人用变换群的方法研究了这个分支，射影几何便成为完整独立的学科。
射影几何的诞生诱发于透视理论，一个射影平面就是由欧几里得平面添加所谓无穷远直线而得到的。
克莱因对于几何学理论的统一性有着执著的追求，他在成功地把几种度量几何统一于射影几何之后，就立即在更深层次上寻求统一各种几何学理论的基础。
在19世纪，人们开始把几何中图形的一些性质看作是一种“变换”运动的结果。
如正方形的“中心对称性”，就是将正方形绕其两条对角线的交点O“旋转”180°后仍重合的结果。
正方形的“轴对称性”，就是将正方形绕过O点的水平轴“反射”（即翻转）180°后仍重合的结果。
这里的“旋转”、“反射”就可以分别被看作是一种“变换”。
更为重要的是，数学家们进一步发现，这个正方形上的所有旋转、反射、平移等变换所构成的集合，满足群的条件，因而构成一个“变换群”。
大学高等几何课件第五讲
： ∆ 切 切 边 点 证 例题 设 ABC内 圆 三 BC, CA, AB于 D, E, F, 求 : D(CA, EF) = −1. 其 D(CA, EF)表 以 为 束 心 四 直 DC, DA, DE, 中 示 D 线 中 的 条 线 DF的 比 交 .
： 点 BC 平 线 交 G DF H 证明 过 A作 的 行 ， DE于 , 交 于 , 则 ∠ = ∠2 = ∠3 = ∠4. 1 故 = AE,同 , 有 AG 理 AH = AF. 由 AE = AF, 故 = AH,即 是 段 的 点 P 表 于 以 AG A 线 GH 中 . ∞ BC HG 交 ， 直 GH 线 ， 示 与 的 点 用 线 截 束 得 D(CA, EF) = (P A, GH), ∞ HA 但 P A, GH) = (HG, AP ) = (HGA) = ( ∞ = −1 , ∞ GA 故 (CA, EF) = −1. D
二、线束的交比 设 a,b,c,d为 一线 中 束 的四 直 ， a和 作 条 线 取 b 为基 ， 它们 线 把 的 齐 坐 依 次 标 次表 a, b, c = a + λ1b, d = a + λ2b(a, b既 表 线 又 为 代 直 ， 代 表 线 坐 直 的 标向 ). 量 设 直 s截 一 线 此四 于 A, B, C, D,则 线 点 这四 的 点 坐标 次 顺 为 a× s, b× s, c× s = a× s + λ1(b× s), ( AB, CD) = d × s = a× s + λ2 (b× s). 故四 的 比为 点 交
一维射影几何学 : 和线束 一维基本图形 点列 : 射影变换的不变量交比 一、点列的交比 设射影 平面上 A的 点 齐次坐 标为a = (a1, a2 , a3 ),点B的齐次 坐标 为b = (b1, b2 , b3 ), 则 X在 连 点 AB 线上⇔∃λ, µ ∈R, 使点 的齐 X 次坐 标 x = (x1, x2 , x3 )可 表为x = λa + µb. 对 偶地 设 , 直线l的坐标 a = (a1, a2 , a3 ), 直线 的线坐 为 m 标为b = (b1, b2 , b3 ), 则 直线l与m重 ⇔矢量 与b线性相 . 直线 与 相 合 a 关 l m 异 ⇔矢量 与 线 a b 性无 . 关
大学高等几何课件第一讲
1.3 仿射不变性与不变量 定理1 间的平行性是 仿射不变 . 性 定理1.1 两条直线 射不变 形；梯 图 形是 仿射不变 形 图 . 推论 平行四边形是仿 述 定义1 , ( 定义1.1 设A,B,C为共线三点 这三点的简比 ABC)定义为下 有向线段 的比 ： AC . BC C在 线段AB上 ,简 ( ABC) < 0, C在 的延长线上 , ( ABC) > 0. 时 比 AB 时 ( ABC) = 在 解析 几何中讲过 线段 定比 的 分割 若点 分割线段 的分割比 , C AB 记 λ,则 为 AC AC λ= =− = −( ABC). CB BC 所 以简 ( ABC)等于点 分割线段 的 比 C AB 分割 比的相反数 .
例如 ，人眼 O处 在 观察水 平面 上的矩 ABCD时 形 ， 从O到矩 形的各 点连线 形成一个 投影棱 。若在 眼 锥 人 和矩 形之间 插入一 个平面 ，该平 面截棱 锥所得四边 形 A′B′C′D′即为 矩形ABCD的截 影。 但直观 上看 截影 ， 和 原矩 形既不 全等 ，又不相似， 那么 截影与 原形究竟 有 何关 系呢？ 这正 是阿尔贝 蒂苦 苦思索 而未 找到答案 的 问题 。 阿 尔贝 蒂还思 考了 以下问题 ：同一 原形的 不同截 影之 间究竟 有何关 ？ 系 这 些问 题成为 研究 射影几何 的出发 。 点
2. 平 π 到平 π ′的 行 影 透 仿 T 面 面 平 பைடு நூலகம் 或 视 射 平行 射影 的方 l要 既 与π 平 又 与 向 求 不 行 不 注： π′ 平行射影方向改变了 就得出另外的从π到π′ . , 的透 视仿 . 射
⇒(i)透 视仿射 保留同 素性(即几 何元素 点与线 保持原 先的种 ). 类 即: 两平面 间的 平行射 影将一 平面上 的点映 射为第 二平面 上的 , 点 将一平 面上的 直线映 第 为 二平面 上的直 . 线 ⇒(ii)透 . 视仿射 保留结 合性 ( 果这两 直线与 直线间 的透视 射有 仿 一个自 对应点 如 条直线 相 , 两平面 , 交线g 交).同 , 在平面 样 到平面 的透视 射下 若 仿 相交 则 为 自对应 点的轨 , 称为 迹 对应轴 对 , 应直线 与 ′或相 a a 交于轴 , 上 或都 与轴平 . 行 平面的 仿射是 有限 由 回的平 行射影 组成的 即仿 , 射是 ⇒平面到 透视仿 射链 .
高等数学课件D96几何中的应用
曲线曲率半径和主法线方向计算
曲率半径
曲率半径是描述曲线弯曲程度的量，可以通过公式 $R=frac{1}{|k|}$计算，其中$k$为曲线在某一点的曲率。
主法线方向
主法线方向与曲线的切线方向和副法线方向垂直，可以通过 向量的叉积求得。
微分法在几何极值问题中应用
几何极值问题
微分法可以用于求解几何中的极值问题， 如最小距离、最大面积等。通过构造函数 并求导，可以找到函数的极值点，从而得 到几何量的最大值或最小值。
THANKS FOR WATCHI NhomakorabeaG感谢您的观看
向量的运算
包括加法、减法、数乘和点乘等运算，其中加法和数乘是向量的 基本运算，满足交换律、结合律和分配律。
向量的分解
一个向量可以分解为多个向量的线性组合，这是向量空间的重要 性质之一。
空间直角坐标系与点坐标表示
空间直角坐标系的建立
在三维空间中，选取三条互相垂直的数轴作为坐标轴，建立空间 直角坐标系。
直线方程的一般形式
在三维空间中，直线方程可以由两个平面方程联 立求解得到，也可以用参数方程表示。
3
平面与直线的位置关系
通过求解平面与直线的方程，可以判断它们之间 的位置关系，如平行、相交或异面等。
常见曲面及其方程简介
球面方程
球面方程的一般形式为(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2，表示以(a,b,c)为球心、r为半径的球面。
06 线性规划问题在几何中可 视化解决方案
线性规划问题数学模型构建
确定决策变量
明确问题中需要决策的未 知量，用数学符号表示。
列出目标函数
根据问题要求，构建关于 决策变量的线性目标函数。
高等几何讲义第4章
c// s
b//
q
共线．
c/
a
b/
§1. 配极与二次曲线
在完全四点形 sa//cb// 的对角线 ab上，有
(ba; pc//) 1，
因 a、b 在曲线上，故 p 与 c//是一对共轭点．
又 p 在 c/ 的极线 ab上，故 p 与 c/ 共轭．
因此，p 的极线是 c/c//．
同理，q 的极线是 a/a//， p
➢3. 二次曲线方程的简化形式
➢ 因以自极三点形为坐标三点形时，配极可化为标 准形式，故二次曲线的点坐标方程可简化为： b1x12 b2x22 b3x32 0．
➢ 下面是另一种简化形式： ➢ 定理6 以二次曲线的一个二切线点和由此点作出
的二切线的切点构成的三点形为坐标三点形，则 曲线方程可写为：
§1. 配极与二次曲线
➢ 推论 不在曲线上的点是无切线点 其极线是
无切点线．
➢ 例1 已知二次曲线 : x12 3x22 x32 2x1x2 4x1x3 0 和点 a(1, 0, 1)，试判定点 a 是二次曲 线 的哪一类点．
解法1： 方程可改写为：
1 1 2x1
(x1, x2, x3) 1 3
➢ 下面证明此处定义的切线与通常的切线定义一致．
➢ 例7 证明：直线为二次曲线的切线 此直线与 二次曲线交于二重点．
证明：选取如推论中的坐标系，则 的点坐标方 程为：x12 x2x3 0，其对应矩阵为
2 0 0 (aij) 0 0 1．
0 1 0
§1. 配极与二次曲线
1 0 0
此矩阵的伴随矩阵为：
两条切线 、 的切点分
别为 y、z．
y
因 y、z 的极线 、 过 x，
大学高等几何课件第二讲
平面到自身的有限回透视仿射链组成平面内的仿射或仿射变换
定理1.7 给定平面内的两个三角形，至多利用三回透视仿射可 使一个三角形变为另一个三角形。
经过仿射变换可以相互转换的图形称为是仿射等价的。 所以任意两个三角形是仿射等价的。直线、四边形也是仿 射等价的。
平面仿射几何基本定理：设P1,
P 2
,
P 是平面内不共线的 3
中心投影：设 f : 是平面到平面 的一一点对应, 且满足对应点的连线通过一个定点,则称 f 是从平面 到 平面 的中心投影.
问题：中心投影是不是数学意义下的一一对应？ 分析：当照射光线OP0与l平行时, P0在l上的投影不存在,而引 起P0的投影不存在的原因是平行没有交点这一约定. 解决办法: 取消平行线没有交点的限制,在直线上引进"新点".
(1) 空间中任何一组平行直线有且仅有一个公共的点 无穷远点.
(2) 一直线与它的平行平面交于一个无穷远点. (3) 一组平行平面相交于一条无穷远直线.
仿射直线与射影直线 仿射直线(平面):引入了无穷远点的欧氏直线(平面)称为
仿射直线(平面). 射影直线(平面): 将仿射直线(平面)上的无穷远点与通常的
无穷远元素 规定1: 在平面内对任何一组平行线引进唯一一点叫做无穷远 点(记作P )与之对应,此点在组中的每一直线上,而不在组外的 任何直线上. 规定2: 平面内无穷远点的集合是一条无穷远直线,记作l. 规 定 3 : 空间中所有无穷远点的集合是一个平面,叫做无穷远平
面, 记做 .
在这些规定下, 可以证明 :
a
2经过伸缩变换
y
b a
(a y,
0, b
定理1.7 给定平面内的两个三角形，至多利用三回透视仿射可 使一个三角形变为另一个三角形。
经过仿射变换可以相互转换的图形称为是仿射等价的。 所以任意两个三角形是仿射等价的。直线、四边形也是仿 射等价的。
平面仿射几何基本定理：设P1,
P 2
,
P 是平面内不共线的 3
中心投影：设 f : 是平面到平面 的一一点对应, 且满足对应点的连线通过一个定点,则称 f 是从平面 到 平面 的中心投影.
问题：中心投影是不是数学意义下的一一对应？ 分析：当照射光线OP0与l平行时, P0在l上的投影不存在,而引 起P0的投影不存在的原因是平行没有交点这一约定. 解决办法: 取消平行线没有交点的限制,在直线上引进"新点".
(1) 空间中任何一组平行直线有且仅有一个公共的点 无穷远点.
(2) 一直线与它的平行平面交于一个无穷远点. (3) 一组平行平面相交于一条无穷远直线.
仿射直线与射影直线 仿射直线(平面):引入了无穷远点的欧氏直线(平面)称为
仿射直线(平面). 射影直线(平面): 将仿射直线(平面)上的无穷远点与通常的
无穷远元素 规定1: 在平面内对任何一组平行线引进唯一一点叫做无穷远 点(记作P )与之对应,此点在组中的每一直线上,而不在组外的 任何直线上. 规定2: 平面内无穷远点的集合是一条无穷远直线,记作l. 规 定 3 : 空间中所有无穷远点的集合是一个平面,叫做无穷远平
面, 记做 .
在这些规定下, 可以证明 :
a
2经过伸缩变换
y
b a
(a y,
0, b
高等几何(第一章)
y2 y1 x2 x1
令上式为ｍ，于是 y y1 m( y2 y1)
x x1 m(x2 x1)
Ｑ PM x x1, y y1 m(x2 x1), m( y2 y1)
Ｍ
PQ {x2 x1, y2 y1} PM mPQ
Ｐ
从而Ｐ、Ｑ、Ｍ共线，即点Ｍ在直线ＰＱ上。
3.2 仿射变换的代数表示
b1
A1
A2
b2
B1 C1 a1 B2 C2 a2
an-1
bn-1
An Bn Cn an
➢仿射变换具有哪些不变性和不变量？
1、同素性、结合性 两直线的平行性 2、共线三点的单比不变
下面给出仿射对应的另一种定义:
➢定义2.2 若两个平面间（平面到自 身）的一个点对应（变换）保持同素 性、结合性、共线三点的单比不变， 则这个点对应（变换）称为仿射对应 （变换）。
仿射坐标系
Py Ey
P(x,y)
仿射变换
O Ex Px
OEx OE y
x
OPx OE x
PxO ExO
(Px ExO)
y
OPy OE y
PyO EyO
(Py EyO)
P/y
P/x
E/y
E/x
O/
x'
O' Px ' O' Ex '
(Px
'
Ex
'O')
x
y'
O' Py ' O' Ey '
(Py '
x/ e/1 O/
设在 下，新原点O/及新基本向量e/1,e/2的坐标分别为
O/(a13, a23)，e1/ {a11, a21}，e2/ {a12, a22}，
令上式为ｍ，于是 y y1 m( y2 y1)
x x1 m(x2 x1)
Ｑ PM x x1, y y1 m(x2 x1), m( y2 y1)
Ｍ
PQ {x2 x1, y2 y1} PM mPQ
Ｐ
从而Ｐ、Ｑ、Ｍ共线，即点Ｍ在直线ＰＱ上。
3.2 仿射变换的代数表示
b1
A1
A2
b2
B1 C1 a1 B2 C2 a2
an-1
bn-1
An Bn Cn an
➢仿射变换具有哪些不变性和不变量？
1、同素性、结合性 两直线的平行性 2、共线三点的单比不变
下面给出仿射对应的另一种定义:
➢定义2.2 若两个平面间（平面到自 身）的一个点对应（变换）保持同素 性、结合性、共线三点的单比不变， 则这个点对应（变换）称为仿射对应 （变换）。
仿射坐标系
Py Ey
P(x,y)
仿射变换
O Ex Px
OEx OE y
x
OPx OE x
PxO ExO
(Px ExO)
y
OPy OE y
PyO EyO
(Py EyO)
P/y
P/x
E/y
E/x
O/
x'
O' Px ' O' Ex '
(Px
'
Ex
'O')
x
y'
O' Py ' O' Ey '
(Py '
x/ e/1 O/
设在 下，新原点O/及新基本向量e/1,e/2的坐标分别为
O/(a13, a23)，e1/ {a11, a21}，e2/ {a12, a22}，
大学高等几何课件第二讲
x2 y2 例 . 求 圆 2 + 2 =1的 积 题 椭 面 。 a b
′ b x = x 2 2 ： 取 射 换 椭 变 圆 2 解 选 仿 变 a 将 圆 成 x′ + y′ = b . y′ = y S椭圆 S∆OAB 因 面 之 是 射 变 ， 为 积 比 仿 不 量 故 = , S圆 S∆OA′B ab 所 S椭圆 = 2 ⋅πb2 = π ab. 以 b
推论1 仿 变 下 何 对 应 边 面 之 等 推论1 在 射 换 , 任 一 对 多 形 积 比 于 数换 话 , 任 两 多 形 积 比 仿 不 常 . 句 说 意 个 边 面 之 是 射 变 量 . 推论2 仿 变 下 意 条 闭 曲 所 成 面 推论2 在 射 换 , 任 两 封 凸 线 围 的 积 比 仿 不 量 之 是 射 变 .
α1 β1
α2 a1 − a0 = b − b0 β2 1
a2 − a0 b2 − b0
≠ 0.
最 一 等 不 于 是 为 共 的 点 后 个 式 等 零 因 不 线 三 ′ 不 线 O, E , E2的 O′, E′, E2也 共 。 像 1 1
射 换 特 仿 变 的 例 x′ = ax, 1. 位 变 (a ≠ 0) 似 换 y′ = ay x′ = x, 2. x轴 的 匀 缩 换 (a > 0). 上 均 伸 变 y′ = ay 当 =1 为 等 换 a 时 恒 变 . x′ = x, 过 缩 换 例 ， x2 + y2 = a2经 伸 变 如 圆 b (a > 0, b > 0)后 y′ = a y, x′2 y′2 变 椭 为 圆 2 + 2 =1. a b 3. 运 变 （ 移 旋 或 移 旋 的 统 为 动 动 换 平 ， 转 平 与 转 积 称 运 ） x′ = x cosθ − y sinθ +α0 y′ = x sinθ + y cosθ + β0 x′ = x 4. 关 x轴 反 于 的 射 y′ = −y
高等几何第一章PPT课件
教材分析
本章地位
从透视仿射（平行射影）引入仿 射不变性与仿射不变量，为拓广 欧氏平面作准备。
本章内容
定义透视仿射，学习仿射不变性与 仿射不变量，证明平面仿射几何基 本定理，引入仿射变换的代数表示。 将注意力集中在仿射变换及其特 征上，学习用综合法、代数法证 明几何命题的方法。
3
学习注意
高等几何──朱维宗
y
OPPP2 OPPP2. 1 1
P( x, y)
P2பைடு நூலகம்
B T 3 ( B) B T ( B )
19
高等几何──朱维宗
1.4平面内的一般仿射
1.本节主目的
在1.3中，我们知道一条对应轴和一对对应点完全 确定平面内的一个透视放射变换。当每一个透视 仿射确定时，就确定了由它们所组成的放射变换。 但这种确定的方法必须先知道组成放射变换的透 视仿射的个数及每一个透视仿射的自对应轴。因 而受到限制。实际上不能依靠这样的方法。怎么 去确定一个仿射变换呢？这就是本节所要解决的。
7
高等几何──朱维宗
1.2仿射不变性与不变量
2.重要结论例讲
(1)定理1.4.一直线上任两线段之比是仿射不变量(Ex1.11)
A [证]设 A、B、C、D是直线a上任意四点， 、B、C 、D 是其仿射象，则
AB AB BD AB BD CD BD CD DB CD 简比是仿射量 AB BD AB . DB C D C D
T 1 T2 Tn1
T Tn1 T2T1 , k k1k2 kn1
则SAn BnCn kSABC
或 SAn BnCn SABC k
13
高等几何──朱维宗
推论1：在仿射变换下，任意一对对应多边形面积 之比是常量。
本章地位
从透视仿射（平行射影）引入仿 射不变性与仿射不变量，为拓广 欧氏平面作准备。
本章内容
定义透视仿射，学习仿射不变性与 仿射不变量，证明平面仿射几何基 本定理，引入仿射变换的代数表示。 将注意力集中在仿射变换及其特 征上，学习用综合法、代数法证 明几何命题的方法。
3
学习注意
高等几何──朱维宗
y
OPPP2 OPPP2. 1 1
P( x, y)
P2பைடு நூலகம்
B T 3 ( B) B T ( B )
19
高等几何──朱维宗
1.4平面内的一般仿射
1.本节主目的
在1.3中，我们知道一条对应轴和一对对应点完全 确定平面内的一个透视放射变换。当每一个透视 仿射确定时，就确定了由它们所组成的放射变换。 但这种确定的方法必须先知道组成放射变换的透 视仿射的个数及每一个透视仿射的自对应轴。因 而受到限制。实际上不能依靠这样的方法。怎么 去确定一个仿射变换呢？这就是本节所要解决的。
7
高等几何──朱维宗
1.2仿射不变性与不变量
2.重要结论例讲
(1)定理1.4.一直线上任两线段之比是仿射不变量(Ex1.11)
A [证]设 A、B、C、D是直线a上任意四点， 、B、C 、D 是其仿射象，则
AB AB BD AB BD CD BD CD DB CD 简比是仿射量 AB BD AB . DB C D C D
T 1 T2 Tn1
T Tn1 T2T1 , k k1k2 kn1
则SAn BnCn kSABC
或 SAn BnCn SABC k
13
高等几何──朱维宗
推论1：在仿射变换下，任意一对对应多边形面积 之比是常量。
大学高等几何课件第四讲
由 可 , 用 量 示 则 线 ,即 ⋅ x = 0和 线 ,即 ⋅ x = 0 此 见 矢 表 , 直 a a 直 b b 的 点 标 交 坐 为 x = a×b. 以 讲 是 上 的 点坐标 面 绍 点坐标下 介 线坐标 , .
直 线 a : a1x1 + a2 x2 + a3x3 = 0 由 的 数 a1, a2 , a3 ]决 (线 标 方 号 ]表 ), 并 [λa1, λa2 , λa3 ] 它 系 [ 定 坐 用 括 [ 示 且 (λ ≠ 0)和 a1, a2 , a3 ]代 同 直 . [ 表 一 线 我 把 全 零 三 数 们 不 为 的 个 u1, u2 , u3称 直 为 线 u ⋅ x = u1x1 + u2 x2 + u3x3 = 0 的 坐 , 矢 λu(λ ≠ 0)和 量 代 同 条 线 而 论 子 (≠ 0)为 线 标 量 矢 u 表 一 直 , 不 因 λ 何 , 线 标1 0,0],[0,1 0],[0,0,1]分 表 y轴 x轴 无 远 线 值 坐 [, , 别 示 , 和 穷 直 . 两 a(a1, a2 , a3 ), b(b , b2 , b3 )联 的 程 写 点 线 方 可 为 1 x1 x2 a1 a2 x3 a3 = 0,即 a2b3 − a3b2 )x1 + (a3b − a1b3 )x2 + (a1b2 − a2b )x3 = 0, ( 1 1
2 a11x1 + 2a12x1x2 + a22x2 + 2a13x1x3 + 2a23x2 x3 + a33x3 = 0. 2 2
它 x1, x2 , x3的 次 次 . 是 二 齐 式 斜 为 的 线 = kx + b的 次 程 x2 = kx + bx3, 和 穷 率 k 直 y 齐 方 为 无 1 远 线 3 = 0联 求 得 点 标 x1 : x2 : x3 =1: k : 0.故 直 x 立 解 交 坐 为 斜 率 k的 线 的 穷 点 (1 k,0). 为 直 上 无 远 是 ,
高中几何ppt课件
线有且仅有一条。
角度、长度、面积和体积的测量方法
角度
长度
描述两条射线或线段之间的夹角大小，常 用度数和弧度数表示。测量方法包括用量 角器和三角板测量。
描述线段或物体的一维尺寸，常用单位有 米、厘米等。测量方法包括用直尺、卷尺 等工具测量。
面积
体积
描述平面图形或物体表面的大小，常用单 位有平方米、平方厘米等。测量方法包括 用方格纸估算或用面积测量工具测量。
向量的数量积、向量的向量积和向量的混合积
向量的数量积
两个向量的点乘，结果是 一个标量，表示两个向量 的夹角。
向量的向量积
两个向量的叉乘，结果是 一个向量，表示垂直于两 个输入向量的平面。
向量的混合积
三个向量的混合积，结果 是一个标量，表示三个向 量的夹角和大小关系。
05
解析几何
直线的方程
直线方程的点斜式和斜截式
圆的基本定理和性质
圆周角定理
圆周角等于其所夹弧所对的圆心角的一半。
垂径定理
经过圆心的直径垂直于相交弦，并且平分弦 。
弦切角定理
弦切角等于其所夹弧所对的圆心角。
圆幂定理
在同圆或等圆中，相交弦与直径的乘积等于 两条弦所夹弧的乘积。
04
空间几何
空间直角坐标系和向量的基本概念
空间直角坐标系
描述空间中点位置的数学工具，由三 条互相垂直的数轴构成，每个轴对应 一个方向。
。
培养空间思维和逻辑推理能力
03
学习几何有助于培养学生的空间感知和逻辑推理能力。
高中几何的主要内容和学习目标
主要内容
包括点、线、面、角的基本性质 ，三角形、四边形、圆等图形的 性质和定理，以及立体几何初步 。
学习目标
角度、长度、面积和体积的测量方法
角度
长度
描述两条射线或线段之间的夹角大小，常 用度数和弧度数表示。测量方法包括用量 角器和三角板测量。
描述线段或物体的一维尺寸，常用单位有 米、厘米等。测量方法包括用直尺、卷尺 等工具测量。
面积
体积
描述平面图形或物体表面的大小，常用单 位有平方米、平方厘米等。测量方法包括 用方格纸估算或用面积测量工具测量。
向量的数量积、向量的向量积和向量的混合积
向量的数量积
两个向量的点乘，结果是 一个标量，表示两个向量 的夹角。
向量的向量积
两个向量的叉乘，结果是 一个向量，表示垂直于两 个输入向量的平面。
向量的混合积
三个向量的混合积，结果 是一个标量，表示三个向 量的夹角和大小关系。
05
解析几何
直线的方程
直线方程的点斜式和斜截式
圆的基本定理和性质
圆周角定理
圆周角等于其所夹弧所对的圆心角的一半。
垂径定理
经过圆心的直径垂直于相交弦，并且平分弦 。
弦切角定理
弦切角等于其所夹弧所对的圆心角。
圆幂定理
在同圆或等圆中，相交弦与直径的乘积等于 两条弦所夹弧的乘积。
04
空间几何
空间直角坐标系和向量的基本概念
空间直角坐标系
描述空间中点位置的数学工具，由三 条互相垂直的数轴构成，每个轴对应 一个方向。
。
培养空间思维和逻辑推理能力
03
学习几何有助于培养学生的空间感知和逻辑推理能力。
高中几何的主要内容和学习目标
主要内容
包括点、线、面、角的基本性质 ，三角形、四边形、圆等图形的 性质和定理，以及立体几何初步 。
学习目标
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总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线 的关联关系，同时使得中心射影成为双射.
§ 1.1 拓广平面
理解约定1.1(1), (2)
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行.
2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点. 3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数. 4、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线：
平行
无穷远点
两直线 不平行 交于惟一 有穷远点
平面上任二直线总相交
5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点. 6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.
)
1、无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为无穷 远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上.
2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线 上的无穷远点.
给平行线添加交点！
§ 1.1 射影平面
一、中心射影 二、无穷远元素
目标： 改造空间，使得中心射影成为双射 途径： 给平行直线添加交点 要求： 不破坏下列两个基本关系
两条相异直线确定惟一一个点(交点)
} 点与直线的关联关系
两个相异点确定惟一一条直线(连线)
§ 1.1 拓广平面
二、无穷远元素
约定1.1 (1) 在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直 线上原有的点. 称为无穷远点(理想点)，记作P∞
•训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数 学审美意识，提高数学修养。
•新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何，提高 观点，加深理解，举一反三。
课程概论
一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的 四、计划及注意点
• 周学时3，一个学期，第一～四章
• 第五章：自学阅读材料
• 把好入门关，牢固掌握基本概念，反复思考，认 真体会。线性代数＋齐次性
定理1.1 在拓广平面上, 点与直线的关联关系成立. (1) 两个相异的拓广点确定惟一一条拓广直线； (2) 两条相异的拓广直线确定惟一一个拓广点.
课程概论
一、高等几何的内容
二、高等几何的与方法
综合法
给定公理系统(一套相互独立、 无矛盾、完备的命题系统)，演 绎出全部内容
解析法
形、数结合，利用代数、分析 的方法研究问题
本课程
以解析法为主，兼用综合法
课程概论
一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的
•学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换 知识，接受变换群思想。
(2) 相互平行的直线上添加的无穷远点相同, 不平行的直线上 添加的无穷远点不同.
区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(通常点)，记作P
约定1.1 (3) 按约定(1), (2)添加无穷远点之后，平面上全体 无穷远点构成一条直线，称为无穷远直线(理想直线)，记作l∞
区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)，l
影消线的存在，导致两平面间的中心射影不是一个双射
§ 1.1 拓广平面
一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影
} 定义1.1 : l l'
2、平面到平面的中心射影
定义1.2 : '
均不是双射
中心射影不是双射的原因：存在影消点、影消线 存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点
如何使得中心射影成为一个双射？
第一章 射影平面
本章地位 本章内容
学习平面射影几何的基础
定义射影平面，引入齐次 坐标，学习对偶原则
附带一个重要定理
Desargues透视定理
学习注意
认真思考，牢固掌握基本 概念，排除传统习惯干扰
§ 1.1 拓广平面
一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影
定义1.1 : l l'
O投射中心(O l l ') OP 投射线 P' l 上的点P在l'上的像 P l' 上的点P'在l上的像 因此 ，φ–1: l' → l是 l' 到 l 的中心射影 三个特殊的点： X=l×l' 自对应点(不变点) OU与l'不相交， U为l上的影消点 OV'与l不相交， V'为l'上的影消点 影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个双射
透视仿射变换
有限次平行射影的结果
仿射变换
仿射几何 仿射不变性
研究图形的
仿射变换不变性的科学
比如——平行性、两平行 线段的比等等
射影几何
中心射影
透视变换
有限次中心射影的结果
射影变换
射影几何
研究图形的 射影变换不变性的科学
射影不变性
比如——几条直线共点、 几个点共线等等
射影变换将彻底改变我们原有的几何 空间观念！
3、每一平面上有且仅有一条无穷远直线.
4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；过同一 条无穷远直线的平面相互平行. 因而，对于通常平面：
平行
无穷远直线
两平面
交于惟一
不平行
有穷远直线
空间中任二平面必相交于唯一直线
§ 1.1 拓广平面
三、拓广平面
定义1.3 通常点和无穷远点统称拓广点； 添加无穷远点后的直线和无穷远直线统称为拓广直线(射影仿 射直线)； 添加无穷远直线后的平面称为拓广平面(射影仿射平面).
§ 1.1 拓广平面
一、中心射影
2、平面到平面的中心射影
定义1.2 : '
O投射中心(O ')
OP 投射线 P' π 上的点P 在π'上的像 P π' 上的点P'在π上的像
因此 ， 1 : ' 是π'到π的中心射影
三条特殊的直线： x ' 自对应直线(不变直线) u ,U u,OU // ' ， u为由影消点构成的影消线 v' ',V 'v',OV ' // ， v'为由影消点构成的影消线
直观描述
鸟瞰下列几何学
欧氏几何
仿射几何
射影几何
十九世纪名言
一切几何学都是射影几何
欧氏几何(初等几何)
研究图形在“搬动”之下保持不变的性质和数 量
(统称不变性，如距离、角度、面积、体积等)
搬动
正交变换
对图形作有限次的平移、 旋转、轴反射的结果
欧氏几何
研究图形的 正交变换不变性的科学
仿射几何
平行射影
教师授课助手 学生自修向导— —
高等几何电子教案
南京师范大学 周兴和
课程概论
一、高等几何的内容
高等几何 前三高
数学与应用数学专业主干课程之一
数学分析 高等代数
后三高
实变函数 近世代数
高等几何
点集拓扑
高等几何
射影几何 几何基础 ……
本课程
主要介绍平面射 影几何知识(教材 前四章)
课程概论
一、高等几何的内容 什么是射影几何？
§ 1.1 拓广平面
理解约定1.1(1), (2)
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行.
2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点. 3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数. 4、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线：
平行
无穷远点
两直线 不平行 交于惟一 有穷远点
平面上任二直线总相交
5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点. 6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.
)
1、无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为无穷 远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上.
2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线 上的无穷远点.
给平行线添加交点！
§ 1.1 射影平面
一、中心射影 二、无穷远元素
目标： 改造空间，使得中心射影成为双射 途径： 给平行直线添加交点 要求： 不破坏下列两个基本关系
两条相异直线确定惟一一个点(交点)
} 点与直线的关联关系
两个相异点确定惟一一条直线(连线)
§ 1.1 拓广平面
二、无穷远元素
约定1.1 (1) 在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直 线上原有的点. 称为无穷远点(理想点)，记作P∞
•训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数 学审美意识，提高数学修养。
•新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何，提高 观点，加深理解，举一反三。
课程概论
一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的 四、计划及注意点
• 周学时3，一个学期，第一～四章
• 第五章：自学阅读材料
• 把好入门关，牢固掌握基本概念，反复思考，认 真体会。线性代数＋齐次性
定理1.1 在拓广平面上, 点与直线的关联关系成立. (1) 两个相异的拓广点确定惟一一条拓广直线； (2) 两条相异的拓广直线确定惟一一个拓广点.
课程概论
一、高等几何的内容
二、高等几何的与方法
综合法
给定公理系统(一套相互独立、 无矛盾、完备的命题系统)，演 绎出全部内容
解析法
形、数结合，利用代数、分析 的方法研究问题
本课程
以解析法为主，兼用综合法
课程概论
一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的
•学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换 知识，接受变换群思想。
(2) 相互平行的直线上添加的无穷远点相同, 不平行的直线上 添加的无穷远点不同.
区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(通常点)，记作P
约定1.1 (3) 按约定(1), (2)添加无穷远点之后，平面上全体 无穷远点构成一条直线，称为无穷远直线(理想直线)，记作l∞
区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)，l
影消线的存在，导致两平面间的中心射影不是一个双射
§ 1.1 拓广平面
一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影
} 定义1.1 : l l'
2、平面到平面的中心射影
定义1.2 : '
均不是双射
中心射影不是双射的原因：存在影消点、影消线 存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点
如何使得中心射影成为一个双射？
第一章 射影平面
本章地位 本章内容
学习平面射影几何的基础
定义射影平面，引入齐次 坐标，学习对偶原则
附带一个重要定理
Desargues透视定理
学习注意
认真思考，牢固掌握基本 概念，排除传统习惯干扰
§ 1.1 拓广平面
一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影
定义1.1 : l l'
O投射中心(O l l ') OP 投射线 P' l 上的点P在l'上的像 P l' 上的点P'在l上的像 因此 ，φ–1: l' → l是 l' 到 l 的中心射影 三个特殊的点： X=l×l' 自对应点(不变点) OU与l'不相交， U为l上的影消点 OV'与l不相交， V'为l'上的影消点 影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个双射
透视仿射变换
有限次平行射影的结果
仿射变换
仿射几何 仿射不变性
研究图形的
仿射变换不变性的科学
比如——平行性、两平行 线段的比等等
射影几何
中心射影
透视变换
有限次中心射影的结果
射影变换
射影几何
研究图形的 射影变换不变性的科学
射影不变性
比如——几条直线共点、 几个点共线等等
射影变换将彻底改变我们原有的几何 空间观念！
3、每一平面上有且仅有一条无穷远直线.
4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；过同一 条无穷远直线的平面相互平行. 因而，对于通常平面：
平行
无穷远直线
两平面
交于惟一
不平行
有穷远直线
空间中任二平面必相交于唯一直线
§ 1.1 拓广平面
三、拓广平面
定义1.3 通常点和无穷远点统称拓广点； 添加无穷远点后的直线和无穷远直线统称为拓广直线(射影仿 射直线)； 添加无穷远直线后的平面称为拓广平面(射影仿射平面).
§ 1.1 拓广平面
一、中心射影
2、平面到平面的中心射影
定义1.2 : '
O投射中心(O ')
OP 投射线 P' π 上的点P 在π'上的像 P π' 上的点P'在π上的像
因此 ， 1 : ' 是π'到π的中心射影
三条特殊的直线： x ' 自对应直线(不变直线) u ,U u,OU // ' ， u为由影消点构成的影消线 v' ',V 'v',OV ' // ， v'为由影消点构成的影消线
直观描述
鸟瞰下列几何学
欧氏几何
仿射几何
射影几何
十九世纪名言
一切几何学都是射影几何
欧氏几何(初等几何)
研究图形在“搬动”之下保持不变的性质和数 量
(统称不变性，如距离、角度、面积、体积等)
搬动
正交变换
对图形作有限次的平移、 旋转、轴反射的结果
欧氏几何
研究图形的 正交变换不变性的科学
仿射几何
平行射影
教师授课助手 学生自修向导— —
高等几何电子教案
南京师范大学 周兴和
课程概论
一、高等几何的内容
高等几何 前三高
数学与应用数学专业主干课程之一
数学分析 高等代数
后三高
实变函数 近世代数
高等几何
点集拓扑
高等几何
射影几何 几何基础 ……
本课程
主要介绍平面射 影几何知识(教材 前四章)
课程概论
一、高等几何的内容 什么是射影几何？