《算法案例---辗转相除法》名师课件2
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输入m，n
n=r m=n
n≠0？ 否
输出m
求m除以n的余数r 是
结束
INPUT m，n
WHILE n<>0 r=m MOD n m=n n=r
WEND PRINT m END
新课讲解
《九章算术》——更相减损术
算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子 之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等 数约之。
算法案例---辗转相除法
复习引入
韩信是秦末汉初的著名军事家.据说有一次汉高祖刘邦在 卫士的簇拥下来到练兵场,刘邦问韩信有什么方法,不要逐个 报数,就能知道场上的士兵的人数,韩信先令士兵排成3列纵队, 结果有2人多余,接着下令排成5列纵队,结果又多出3人,随后 他又下令改为7列纵队,这次又剩下2人无法成整行.在场的人 都哈哈大笑,以为韩信不能清点出准确的人数,不料笑声刚落, 韩信高声报告共有士兵2333人.众人听了一楞,不知道韩信用 什么方法这么快就能得到正确的结果的.
例题讲解
例3、用辗转相除法求612与468的最大公约数， 并用更相减损术检验所得结果．
解：用辗转相除法：
612 ＝ 468×1 ＋ 144 ， 468 ＝ 144×3 ＋ 36 ， 144 ＝ 36×4， 即612和468的最大公约数是36.
用更相减损术检验： 612和468为偶数， 两次用2约简得153和117， 153－117＝36，117－36＝81，81－36＝45， 45－36＝9，36－9＝27，27－9＝18，18－9＝9， 所以612和468的最大公约数为9×2×2＝36.
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数， 并辗转相减
98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝21 21－7＝21 14－7＝7 所以，98和63的最大公约数等于7
新课讲解
辗转相除法与更相减损术的区别
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除 法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数 上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字 大小区别较大时计算次数的区别较明显。
今天,我们将以这些古典案例的思想,设计出适宜计算机 的运行程序,提高我们对基本算法结构和算法语句在实际中的 运用能力.
新课讲解
问题1:在小学中我们是如何求出两个正整数的最大公约数的呢?
例1：求24与30的最大公约数。
解：2 3 0 2 4 用公有质因数2除， 3 15 1 2 用公有质因数3除， 5 4 5和4互质不除了。
得：18和24最大公约数是：2×3＝6
问题2:如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到 一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如 求8251与6105的最大公约数?
Байду номын сангаас课讲解
辗转相除法——欧几里得算法
定义：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数， 用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余 数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法， 直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两 个数的最大公约数。 用于求两个正整数的最大公约数
否则转到第二步. 第五步：输出最大公约数m.
新课讲解
程序框图如右图示： 程序如下：
INPUT “m,n=“;m,n DO
r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END
开始
输入m,n r=m MOD n
m=n
n=r 否
r=0? 是
输出m 结束
新课讲解
用当型循环结构构造算法: 开始
方法归纳
求最大公约数常用的两种方法
(1)利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数，即利 用带余除法，用数对中较大的数除以较小的数，若余数 不为零，则将余数和较小的数构成新的数对，再利用带 余除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小数就是原 来两个数的最大公约数． (2)利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的一般步 骤是：首先判断两个正整数是否都是偶数．若是，用2 约简，也可以不除以2，直接求最大公约数，这样不影 响最后结果．
例题讲解
例2、用辗转相除法求324、243、135的最大公 约数.
思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两 个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大 公约数的最大公约数即为所求。
324 2431 81
243 81 3 0 则324与243的最大公约数为81. 又135 811 54,81 541 27,54 27 2 0, 则81与135的最大公约数为27. 所以，三个数324、243、135的最大公约数为27.
课堂小结
• 辗转相除法 • 用辗转相除法求最大公约数
作业
P45 练习1 P48 习题1.3 A组1 思考：你能根据辗转相除法的算法步骤 画出它的程序框图以及相应的程序语句 吗?
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果 是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数 与差相等而得到
例题讲解
例1、用辗转相除法求225和135的最大公约数
225=135×1+90
135=90×1+45 90=45×2
思考：从上面的例子中可以看出计算的规律是什么？ 用大数除以小数 除数变成被除数，余数变成除数 重复第一步，直到余数为0
333=148×2+37 148=37×4+0
新课讲解
问题4：辗转相除直到何时结束？主要运用的是哪种算法 结构？
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤， 这实际上是一个循环结构 算法步骤如下：
第一步：输入两个正整数m,n(m>n). 第二步：计算m除以n所得的余数r. 第三步：m=n,n=r. 第四步：若r＝0,则m,n的最大公约数等于m；
巩固练习
1、(1)1 624与899的最大公约数是________． (2)用辗转相除法求80和36的最大公约数，并用更相减损术检 验所得结果．
(2)辗转相除法： 80＝36×2＋8，36＝8×4＋4，8＝4×2＋0. 故 80 和 36 的最大公约数是 4. 用更相减损术检验： 80－36＝44，44－36＝8，36－8＝28， 28－8＝20，20－8＝12，12－8＝4， 8－4＝4， 所以 80 和 36 的最大公约数是 4.
原理： 第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是 偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差 与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作， 直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所 求的最大公约数。
新课讲解
例如用更相减损术求98与63的最大公约数
巩固练习
1、(1)1 624与899的最大公约数是________． (2)用辗转相除法求80和36的最大公约数，并用更相减损术检 验所得结果．
解：(1)1 624＝899×1＋725， 899＝725×1＋174， 725＝174×4＋29， 174＝29×6， 故 1 624 与 899 的最大公约数是 29.故填 29.
理论基础： 已知m,n,r为正整数，若m=nq+r（ 0≤r<n）（即r=m MOD n）,则（m,n）=(n,r)。
新课讲解
辗转相除法——欧几里得算法
• 用辗转相除法求8251与6105的最大公约数，可以用两 数中较大的数除以较小的数，求得商和余数。
• 8251=6105×1+2146
问题3：8251与6105这两个数的公约数和6105与2146 的公约数有什么关系？
我们发现6105=2146×2+1813，同理，6105与2146的 公约数和2146与1813的公约数相等.
新课讲解
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148
显然37是148 和37的最大公 约数，也就是 8251和6105的 最大公约数
n=r m=n
n≠0？ 否
输出m
求m除以n的余数r 是
结束
INPUT m，n
WHILE n<>0 r=m MOD n m=n n=r
WEND PRINT m END
新课讲解
《九章算术》——更相减损术
算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子 之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等 数约之。
算法案例---辗转相除法
复习引入
韩信是秦末汉初的著名军事家.据说有一次汉高祖刘邦在 卫士的簇拥下来到练兵场,刘邦问韩信有什么方法,不要逐个 报数,就能知道场上的士兵的人数,韩信先令士兵排成3列纵队, 结果有2人多余,接着下令排成5列纵队,结果又多出3人,随后 他又下令改为7列纵队,这次又剩下2人无法成整行.在场的人 都哈哈大笑,以为韩信不能清点出准确的人数,不料笑声刚落, 韩信高声报告共有士兵2333人.众人听了一楞,不知道韩信用 什么方法这么快就能得到正确的结果的.
例题讲解
例3、用辗转相除法求612与468的最大公约数， 并用更相减损术检验所得结果．
解：用辗转相除法：
612 ＝ 468×1 ＋ 144 ， 468 ＝ 144×3 ＋ 36 ， 144 ＝ 36×4， 即612和468的最大公约数是36.
用更相减损术检验： 612和468为偶数， 两次用2约简得153和117， 153－117＝36，117－36＝81，81－36＝45， 45－36＝9，36－9＝27，27－9＝18，18－9＝9， 所以612和468的最大公约数为9×2×2＝36.
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数， 并辗转相减
98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝21 21－7＝21 14－7＝7 所以，98和63的最大公约数等于7
新课讲解
辗转相除法与更相减损术的区别
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除 法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数 上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字 大小区别较大时计算次数的区别较明显。
今天,我们将以这些古典案例的思想,设计出适宜计算机 的运行程序,提高我们对基本算法结构和算法语句在实际中的 运用能力.
新课讲解
问题1:在小学中我们是如何求出两个正整数的最大公约数的呢?
例1：求24与30的最大公约数。
解：2 3 0 2 4 用公有质因数2除， 3 15 1 2 用公有质因数3除， 5 4 5和4互质不除了。
得：18和24最大公约数是：2×3＝6
问题2:如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到 一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如 求8251与6105的最大公约数?
Байду номын сангаас课讲解
辗转相除法——欧几里得算法
定义：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数， 用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余 数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法， 直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两 个数的最大公约数。 用于求两个正整数的最大公约数
否则转到第二步. 第五步：输出最大公约数m.
新课讲解
程序框图如右图示： 程序如下：
INPUT “m,n=“;m,n DO
r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END
开始
输入m,n r=m MOD n
m=n
n=r 否
r=0? 是
输出m 结束
新课讲解
用当型循环结构构造算法: 开始
方法归纳
求最大公约数常用的两种方法
(1)利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数，即利 用带余除法，用数对中较大的数除以较小的数，若余数 不为零，则将余数和较小的数构成新的数对，再利用带 余除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小数就是原 来两个数的最大公约数． (2)利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的一般步 骤是：首先判断两个正整数是否都是偶数．若是，用2 约简，也可以不除以2，直接求最大公约数，这样不影 响最后结果．
例题讲解
例2、用辗转相除法求324、243、135的最大公 约数.
思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两 个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大 公约数的最大公约数即为所求。
324 2431 81
243 81 3 0 则324与243的最大公约数为81. 又135 811 54,81 541 27,54 27 2 0, 则81与135的最大公约数为27. 所以，三个数324、243、135的最大公约数为27.
课堂小结
• 辗转相除法 • 用辗转相除法求最大公约数
作业
P45 练习1 P48 习题1.3 A组1 思考：你能根据辗转相除法的算法步骤 画出它的程序框图以及相应的程序语句 吗?
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果 是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数 与差相等而得到
例题讲解
例1、用辗转相除法求225和135的最大公约数
225=135×1+90
135=90×1+45 90=45×2
思考：从上面的例子中可以看出计算的规律是什么？ 用大数除以小数 除数变成被除数，余数变成除数 重复第一步，直到余数为0
333=148×2+37 148=37×4+0
新课讲解
问题4：辗转相除直到何时结束？主要运用的是哪种算法 结构？
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤， 这实际上是一个循环结构 算法步骤如下：
第一步：输入两个正整数m,n(m>n). 第二步：计算m除以n所得的余数r. 第三步：m=n,n=r. 第四步：若r＝0,则m,n的最大公约数等于m；
巩固练习
1、(1)1 624与899的最大公约数是________． (2)用辗转相除法求80和36的最大公约数，并用更相减损术检 验所得结果．
(2)辗转相除法： 80＝36×2＋8，36＝8×4＋4，8＝4×2＋0. 故 80 和 36 的最大公约数是 4. 用更相减损术检验： 80－36＝44，44－36＝8，36－8＝28， 28－8＝20，20－8＝12，12－8＝4， 8－4＝4， 所以 80 和 36 的最大公约数是 4.
原理： 第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是 偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差 与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作， 直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所 求的最大公约数。
新课讲解
例如用更相减损术求98与63的最大公约数
巩固练习
1、(1)1 624与899的最大公约数是________． (2)用辗转相除法求80和36的最大公约数，并用更相减损术检 验所得结果．
解：(1)1 624＝899×1＋725， 899＝725×1＋174， 725＝174×4＋29， 174＝29×6， 故 1 624 与 899 的最大公约数是 29.故填 29.
理论基础： 已知m,n,r为正整数，若m=nq+r（ 0≤r<n）（即r=m MOD n）,则（m,n）=(n,r)。
新课讲解
辗转相除法——欧几里得算法
• 用辗转相除法求8251与6105的最大公约数，可以用两 数中较大的数除以较小的数，求得商和余数。
• 8251=6105×1+2146
问题3：8251与6105这两个数的公约数和6105与2146 的公约数有什么关系？
我们发现6105=2146×2+1813，同理，6105与2146的 公约数和2146与1813的公约数相等.
新课讲解
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148
显然37是148 和37的最大公 约数，也就是 8251和6105的 最大公约数