07-10昆明理工大学—数值分析各年考试题及答案

昆明理工大学数值分析考试题

（07）

一．填空（每空3分，共30分）

1． 设A 0.231x =是真值0.229T x =的近似值，则A x 有 位有效数字。

2． 若74()631f x x x x =+++，则017[2,2,...2]f = ，018[2,2,...2]f = 。 3． A=1031⎡⎤

⎢

⎥-⎣⎦

,则1

A = ；

A ∞

= ；

2

A =

2()cond A = 。

4． 求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 。

5．设105%x

=±

，则求函数()f x =的相对误差限为 。

6．A=2101202a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

,为使其可分解为T

L L （L 为下三角阵，主对角线元素>0），a 的取值范

围应为 。

7．用最小二乘法拟合三点A(0,1),B(1,3),C(2,2)的直线是 。 （注意：以上填空题答案标明题号答在答题纸上，答在试卷上的不给予评分。）

二．推导与计算

（一）对下表构造f(x)的不超过3次的插值多项式，并建立插值误差公式。（12分）

（二）已知()x x =Φ和()x 'Φ满足∣()x 'Φ-3∣<1。请利用()x Φ构造一个收敛的简单迭代函数()x ψ，使1(),0,1,......k k x x k +=ψ=收敛。（8分）

（三）利用复化梯形公式计算2

1

x I e dx -=⎰，使其误差限为60.510-⨯，应将区间[0，1]

等份。（8分）

（四）设A= 1001005a b b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，detA ≠0，推导用a ，b 表示解方程组AX=f 的Seidel(G-S) 迭代法收敛的充分必要条件。（10分）

（五）确定节点及系数，建立如下 GAUSS 型求积公式

1

11220

()()dx A f x A f x ≈+⎰

。（10分）

（六）对微分方程初值问题'00

(,)

()y f x y y x y ⎧=⎨=⎩

（１） 用数值积分法推导如下数值算法：

1111(4)3

n n n n n h

y y f f f +-+-=+

++，其中(,)i i i f f x y =，(1,,1)i n n n =-+。（8分）

（２） 试构造形如

1011011(),n n n n n y a y a y h b f b f +--=+++ 的线形二步显格式差分格式，其中111(,),(,)n

n n n n n f f x y f f x y ---==。试确定系数0101,,,a a b b ，使

差分格式的阶尽可能高，写出其局部截断误差主项，并指明方法是多少阶。（14分）

（考试时间2小时30分钟）

（08）

一、填空（每空3分，共30分）

1．若开平方查6位函数表，则当x=30

的误差限为 。 2．若01()1,(1),n n n n f x a x a =+≠则f[x ,x ,...x ]= 。 3．若

332

,01()1(1)(1)(1),132x x S x x a x b x c x ⎧≤≤⎪

=⎨-+-+-+≤≤⎪⎩是3次样条函数，则 a= ，b= ，c= 。

4．A=1222⎛⎫ ⎪⎝⎭

,则‖A ‖1= ；‖A ‖2= ；Cond 2(A)= 。

5．考虑用复化梯形公式计算2

1

0x e dx -⎰，要使误差小于60.510-⨯，那么[0，

1]应分为 个子区间。

6．2()(5)x x a x Φ=+-,要使迭代法()x x =Φ

局部收敛到x *=

，即在邻

域1|5|<-x 时，则a 的取值范围是 。

二、计算与推导

1、用追赶法解三对角方程组Ax b =，其中

2100121001210012A -⎡⎤

⎢⎥

--⎢

⎥=⎢⎥

--⎢⎥

-⎣⎦

，1000b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。 （12分）

请确定其形如y at b

=+的拟合函数。（13分）

3、确定系数，建立如下 GAUSS 型求积公式

1

11220

()()dx A f x A f x =+⎰

。（13分）

4、证明用Gauss-seidel 迭代法求解下列方程组

123

302102

142

1

21x x x -⎡⎤⎡

⎤

⎡

⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦

时，对任意的初始向量都收敛；若要求*()410k x x -∞

-，需要迭代几次（推导时请统一取初始迭代向量

(0)(000)T x =）？（13分）

5、试用数值积分法或Taylor 展开法推导求解初值微分问题 '0

(,

),()y f x y y x a ==的如下中点公式： 21

1

2(,

)

n n n n y y h f x y +++=+及其局部截断误差。（14分） 6、试推导(,)b d

a

c

f x y dydx ⎰⎰

的复化Simpson 数值求积公式。

（5分）

（考试时间2个半小时）