模型参考材料自适应控制MIT法
自适应控制的基本概念
2. 自适应控制提出 当不确定因素难以事先预知，又要设计满 意的控制系统，由此提出自适应控制思想。 自适应调节器就是期望修正自己的特性以 补偿过程和扰动的动力学变化。
四、自适应控制思想雏形
观测 运行指标 系统参数 再认识 系统 （不确定） 决策修正 控制器参数 控制器结构 控制作用
性能指标
2. 模型参考自适应控制系统 a. 线性模型跟随系统
参考模型给出 了期望闭环响 应特性
参考模型
es Gm 1 GcG p GcG p u s 1 GcG p G p G f
y p s GcG p GmG p G f u s 1 GcG p G p G f
二、控制问题的几种情况
1. 无扰动，系统模型确定
系统模型
属于确定性控制 可以采用开环控制 2. 有扰动，系统模型确定 属于随机控制 当扰动不确定采用闭环控制 扰动确定可以采用补偿控制 3. 可能有扰动，系统模型不确定
采用闭环控制？ 扰动√ 系统模型不确定×
扰动
系统模型
扰动
系统模型
ym
模型跟随 调节器
e
yp
+
u
－
控制器
＋
－
被控对象
已知被控对象的数学模型√ 未知被控对象的数学模型或变化×
b. 模型参考自适应控制系统
参考模型
+
－
e
u
－ －
前馈调节器
被控对象
反馈调节器
参数调整 信号综合
自适应机构
美国Minorsky研制船舶驾驶伺服结构，提出PID控制(1922)
美国MIT的Vannevar Bush研制成大型模拟计算机 (1928)
模型参考自适应控制ppt课件
kpDp (s)
(1)
kmNm (s)
又
P( s)
Yp (s) R(s)
a*(s)
(s)
1
Dm (s) kmNm (s)
b* (s)
Dm (s) (s)
kma*(s)
0 (s)Dm (s) kmb*(s)
(2)
即
kp
N p (s) Dp (s)
kma*(s)
0 (s)Dm (s) kmb*(s)
23
2、假定
被辨识对象：
P(s) Yp (s) kpN p (s) R(s) Dp (s)
参考模型： 参考输入：
M (s) Ym (s) km Nm (s) U (s) Dm (s)
设r(t)是t的分段连续函数，且有界。 辨识的目的：根据可量测的r(t)和yp (t) 决定k p , N p (s), Dp (s)的系数。
设置参数可调的控制器，与模型一起组成参数可调系统
16
前馈可调增益 反馈可调增益
u
t
使ymt
完全跟踪
ypt
p(s)
r(t)
kp
y p (t )
s ap
－ e1(t)
a0(t)
前馈
M (s)
＋ u(t) km
－
s am
＋
ym (t )
反馈 b0(t) 可调系统
17
其中：
模型的输入控制u t 为
过程位置互换。
基本思想：同MARC设计思想，即通过自适应控制器
来调整模型使e(t)0，这样的模型就是我
们要辨识的结果。
“对偶性质”设计MRAC的方法用于辨识； 将模型参考辨识方法用于设计MARC。
自适应控制第4章
25
（3）一般n阶定常线性系统
数学模型: e=ym-yr满足:
试取
(4.3.20) (4.3.21) (4.3.22) (4.3.23)
26
得自适应律:
(4.3.24)
或
(4.3.25)
可以看出,得到的自适应律依赖于整个状态向量X(t),即,自适 应控制律不仅与广义误差e(t)有关,而且与e(t)的各阶导数有 关,为自适应律的实现带来极大不便。
选定指标泛函:
(4.2.4)
(4.2.5)
(4.2.6) (4.2.7) (4.2.8)
8
广义误差对输入的开环传函:
对Kc求偏导: 另根据参考模型 比较(12)、(13):
(4.2.9)
(4.2.10) (4.2.11) (4.2.12) (4.2.13) (4.2.14)
(4.2.15)
可调增益Kc的自适应律—MIT自适应规则(1958 年MIT提出)
9
自适应系统的 数学模型
图4.2.3 MIT可调增益自适应系统
开环广义误差方程
参考模型方程 (4.2.16)
参数调节方程(自适应律)方程 10
凡是用可凋增益构成自适应系统,都可套用 上述模型。
缺点:设计过程中未考虑稳定性问题 因此,求得自适应律后,尚需进行稳定性校验,
以确保广义误差e在了司环回路中能收敛于 某一允许的数值。 补充假设: ✓ 参考模型与可调系统的初始偏差较小; ✓ 自适应速度不能太快(即u不能过大)。
综合出只与e(t)有关的自适应律。选择李亚普诺夫函数时增 加一约束条件:
自适应律简化为:
(4.3.26) (4.3.27)
非线性系统建模及其控制方法研究
非线性系统建模及其控制方法研究随着科学技术的不断发展，非线性系统在许多领域中得到了广泛应用，例如机器人控制、化工生产控制、电力系统控制等。
然而，由于非线性系统的高度复杂性，传统的线性控制方法不一定有效，因此非线性系统建模及其控制方法便成为当前研究的热点之一。
一、非线性系统建模非线性系统建模是非线性系统控制的第一步，它涉及到从一定的物理或数学模型中选择出最符合实际的模型，并对其进行数学表达式的建立。
对于非线性系统，建模一般采用状态空间法或等效输入法等。
1、状态空间法状态空间法是非线性系统建模的常用方法，它是将系统描述为一组关于时间的一阶（或高阶）微分方程所组成的向量方程。
具体来说，状态方程可表示为：$$\frac{dx}{dt}=f(x,u,d,t)$$其中$x\in R^n$为系统的状态向量，$u\in R^m$为外部输入信号向量，$d\inR^p$为扰动信号向量，$t$为时间。
函数$f(x,u,d,t)$为非线性函数，反映了系统内部的耦合关系。
2、等效输入法等效输入法是一种特殊的建模方法，它利用输入与输出之间的关系将非线性系统建模为线性系统。
等效输入法的核心是描述系统的输入输出关系，并将其用传递函数表示。
然后，将传递函数转换为线性状态方程。
这样，建立了等效输入模型。
二、非线性系统控制方法1、反馈线性化控制反馈线性化控制是一种通过对非线性系统进行状态反馈来实现线性化的方法。
其基本思想是将系统的非线性部分抵消掉，从而使系统的动态行为类似于线性系统。
首先，将非线性系统写成状态方程形式，并找到与非线性部分等价的线性部分，然后借助状态反馈控制器实现对其线性化。
2、模型参考自适应控制模型参考自适应控制是一种基于模型预测的方法，它通过动态调整系统模型参数，逐步逼近理想模型。
该方法的核心思想是将实际系统模型与预期模型进行比较，然后计算出模型参数误差，并利用这些误差构建自适应控制器。
3、滑模控制滑模控制是一种针对非线性系统的强鲁棒性控制方法。
自适应控制
• 只与 K 有* 关，而与 F无* 关
• 通常 P要靠解李雅普诺夫方程得到
最终得到 Vx 1 eTQe
2
26
结果分析
V x 1 eT Pe tr 1T
2
Vx
1
eT
Qe
2
• e , 时 V 所x,t得 到的结果是大范围
（全局）渐近稳定
• 渐近稳定 lim e， 0 lim e 0
t
统是平衡态大范围渐近稳定。
Vx,t 0
x V x,t
Barbalat引理
如果 f t : R R是一个 [0,) 上的一致连续函数，
同时
lim
t
t
0
f
d
存在而且有界，则当t
时，
f t 0
若定义在实数区间A（注意区间A可以是闭区间，亦可以是开区间甚至 是无穷区间）上的任意函数f(x)，对于任意给定的正数ε>0，总存在一 个与x无关的实数ζ>0，使得当区间A上的任意两点x1，x2，满足|x1x2|<ζ时，总有|f(x1)-f(x2)|<ε，则称f(x)在区间A上是一致连续的。
数学表示方法——传递函数表示
参考模型的输出
rt
ym
s
Gm
sRs
KN s Ds
Rs
可调系统输出
KC
yp
s
Gp
sRs
Kc Kv Ns Ds
Rs
定义广义误差 e ym yp
KN s Ds
Kv N s Ds
+ et 广义误差
-
自适应机构
2. 自适应律推导
取性能指标
IPRM
1 2
t e2 d
自适应控制
目录第一章自适应控制概述 (1)第一节自适应控制的产生背景及分类 (1)一.自适应控制产生的背景 (1)二.自适应控制的原理及分类 (2)第二章模型参考自适应控制（MODEL REFERENCE ADAPTIVE CONTROL）简称MRAC 3第一节MRAC的基本概念 (3)第二节最优化的设计方法 (4)一、利用梯度法的局部参数最优化的设计方法 (4)第三节基于李雅普诺夫第二方法稳定性理论的MRAC设计方法 (7)一．关于李雅普诺夫( Liaupunov) 稳定性的第二方法 (7)第四节基于超稳定理论的MRAC设计方法 (13)一、关于超稳定性理论的基本概念 (13)二、用超稳定理论设计MRAC系统 (15)第三章自校正控制 (18)第一节自校正控制的原理及组成 (18)第二节最小方差控制律 (21)第一章自适应控制概述任何一个动态系统，通常都具有程度不同的不确定性。
这种不确定性因素的产生主要由于：(1)系统的输入包含有随机扰动，如飞行器飞行过程中的阵风；(2) 系统的测量传感器具有测量噪声；以上两者又称为不确定性的（或随机的）环境因素。
(3) 系统数学模型的参数甚至结构具有不确定性。
如导弹控制系统中气动力参数随导弹飞行高度、速度、导弹质量及重心的变化而变化。
在只存在不确定环境因素，但系统模型具有确定性的情况下，这是随机控制需要解决的问题；而自适应控制是解决具有数学模型不确定性为特征的最优控制问题。
这时如果系统基本工作于确定环境下，则称为确定性自适应控制；如果系统工作于随机环境下，则称为随机自适应控制。
自适应控制的提法可归纳为：在系统数学模型不确定的条件下（工作环境可以是基本确定的或是随机的），要求设计控制规律，使给定的性能指标尽可能达到及保持最优。
为了完成以上任务，自适应控制必须首先要在工作过程中不断地在线辨识系统模型（结构及参数）或性能，作为形成及修正最优控制的依据，这就是所谓的自适应能力，它是自适应控制主要特点。
自适应控制例题
U c ( s) 1 Φ( s) = = U r ( s ) Ts + 1
例：加热炉温度控制系统设计
1）常规控制器设计方法： ）常规控制器设计方法： 被控对象： 被控对象： C dy = q − qs
dt
其物理意义为： 其物理意义为：单位时间炉温升高所用的热量等于 单位时间内流入炉子热量与流出炉子热量之差。 单位时间内流入炉子热量与流出炉子热量之差。 其中： 其中：
• 对某一未知量 做了n次测量，测量得 对某一未知量x做了 次测量 做了 次测量， 到的实际值分别为y1,…yn, 试求 的最 试求x的最 到的实际值分别为 小二乘估计。 小二乘估计。测量中的误差符合白噪 声特性。 声特性。
解：测量方程的 向量形式为：
因此
将其代入
到X的最小二乘估计
请证明以上定理
1 Gc ( s ) = K 1 + Ts i
于是控制系统的开环传函为
Go ( s ) = G p ( s )Gc ( s ) =
K p K (1 + Ti s ) Ti s (1 + Tp s ) K pK Ti s
，取Ti = Tp，则
Go ( s ) =
则闭环传函为
dy = K1u − ay, dt
令 T p = C , K p = K1 , 则
a a
dy Tp + y = K pu dt 加热炉传递函数： 加热炉传递函数： G p ( s ) = Y ( s ) =
Kp 1 + Tp s
U (s)
如果对加热炉温度控制的设计目标是使理想的闭环 传函为 Y ( s) 1 Gm ( s ) = = , Tm ≠ 0 U ( s ) 1 + Tm s 选择PI（比例积分） 选择 （比例积分）控制器
超声波电动机MIT模型参考自适应转速控制_沈晓茜
D
∫
∫
∫
∫
MIT 控制策略具有较强的鲁棒性， 能够在一定程度 上应对未建模动态对控制过程的影响 。从另一个角 MIT 控制策略的参考模型设计， 度来说， 可以具有一 定程度的随意性， 参考模型与被控对象模型的动态 环节可以有差异， 以满足“参考模型表征控制期望 ” 这一要求， 达成控制要求。而这种动态环节的差异， 可以看做未建模动态， 纳入系统控制鲁棒性的考虑 范围。 1 ． 2 参考模型的设计 模型参考自适应控制的目的， 是使控制器、 超声 波电动机的组合环节具有与参考模型相同的控制性 能。因而， 参考模型应体现对超声波电动机的控制 期望， 是系统设计中的关键一环。 考虑设计的简便 通常将参考模型 G m （ s ） 设计 及在线实现的计算量， 为如下的二阶传递函数形式： G m （ s） = ωn s2 + 2 ζω n s + ω2 n
驱动控制 rive and control 沈晓茜， 史敬灼 （ 河南科技大学， 河南洛阳 471023 ） 摘 要：采用相对简单的运动控制算法 ， 有助于降低包含驱动控制电路在内的超声波电动机系统的成本 ， 从而 推动其产业化。基于这一目的， 给出一种模型参考自适应控制策略用于超声波电动机转速控制 。 该策略计算量小， 并具有一定程度的自适应能力 ， 提高了系统性价比。 关键词：超声波电动机； 自适应控制； 模型参考； 计算量 中图分类号：TM359． 9 文献标识码：A 文章编号：1004 － 7018 （ 2013 ） 06 － 0041 － 04 MIT Model Reference Adaptive Speed Control of Ultrasonic Motor SHEN Xiao － xi，SHI Jing － zhuo （ Henan University of Science and Technology，Luoyang 471023 ，China） Abstract： The cost of ultrasonic motor control system including the driving circuit can be reduced by using a relatively simple motion control algorithm，so as to promote the mass production of ultrasonic motor． Aiming at this purpose，a simple model reference adaptive control strategy used to control speed of ultrasonic motor was proposed． This strategy has a small amount of calculation and moderate capacity of adaptive． Therefore，the performance － to － price ratio of the system can be increased． Key words： ultrasonic motor； adaptive control； model reference； amount of calculation 提高驱动控制电路的性价比？ 本文对此进行 成本、 0引 言 了初步尝试， 给出了一种基于 MIT （ 麻省理工学院） 模 超声波电动机在国内的研究从上世纪 90 年代 型参考自适应控制的超声波电动机转速控制策略 ， ［1 － 2 ］ ， 发展到今天， 已经逐渐走向产业化。 产业 算法计算量小， 实验表明了该控制策略的有效性 。 起步 化生产不仅要求适应于应用场合需要的控制性能 ， 1 超声波电动机 MIT 自适应转速控制策略 同时也必然要求可接受的成本， 尤其是硬件成本。 MIT 控制 作为一种模型参考自适应控制方法， 显然， 装置的成本越低， 超声波电动机产业化的前景 策略根据适当的自适应律， 在线调整控制器参数， 使 就越广阔。作为超声波电动机运动控制装置的必要 沈 晓 超声波电动机转速控制系统的实际转速响应跟踪由 驱动控制电路的成本当然也应保持在与 组成部分， 茜 参考模型表达的期望响应过程， 从而实现对超声波 应用场合相适应的较低水平。 等 电动 机 时 变 特 性 的 自 适 应 随 动， 改 善 控 制 性 能。 由于超声波电动机在运行过程中表现出的复杂 超 MIT 策略的控制器是一个简单的比例控制器， 且不 非线性、 时变特征， 越来越多复杂的控制策略被用于 声 波 ［3 － 4 ］ 。 包含在线的参数辨识环节， 所以控制算法简洁， 在线 超声波电动机的控制， 以得到更好的控制性能 电 动 计算量小。 这些控制策略的提出， 显著提高了超声波电动机的 机 图 1 给出了超声波电动机 MIT 自适应转速控 控制性能。但随着控制性能的提升， 复杂控制策略 k c 为闭环比例控制器， 制系统的基本结构。 其中， 也带来了更大的在线计算量。 为满足实时性的要 模 型 k ， 增益 由自适应律根据转速输出侧的广义误差进 求 就需要选用更高档的微处理器芯片来执行相应 c 参 考 行在线调整。控制器的输出控制量为超声波电动机 的控制程序， 导致驱动控制电路硬件成本的较大幅 自 适 驱动电压的频率。参考模型与超声波电动机模型的 度增加， 适用于高端运动控制场合。 对于性能要求 应 动态部分 N（ s ） / D （ s ） 完全相同， 仅增益不同， 分别 转 稍低的中、 低端运动控制场合， 是否有可能设计一些 速 为 k 和 k v 。参考模型的增益 k 为常数， 超声波电动 相对简单的超声波电动机控制策略， 在实现相对较 控 制 机的增益 k v 则是时变的， 随电机自身特性时变及各 好的控制性能的同时， 减小在线计算量， 以降低硬件 种扰动的出现而变化。可调增益 k c 的作用， 就在于 补偿 k v 的变化， 使可调增益 k c 与超声波电动机时 收稿日期： 2013 － 01 － 31 41 变增益 k v 的乘积等于 （ 实际上是趋近 ） 参考模型的 改稿日期： 2013 － 06 － 05
自适应模糊控制与模型参考自适应控制比较
自适应模糊控制与模型参考自适应控制比较自适应控制是一种用于系统控制的方法，其主要思想是根据系统行为即时调整控制策略，以适应外部环境变化和内部系统动态。
自适应控制的目标是在不确定和变化的环境下保持系统性能的稳定和优化。
在自适应控制的框架下，模型参考自适应控制和模糊控制是两种常见的实现方式。
本文将分析比较自适应模糊控制与模型参考自适应控制的特点、应用和优势。
一、自适应模糊控制自适应模糊控制是将模糊控制与自适应控制相结合的一种控制方法。
其思想是在模糊控制的基础上引入自适应机制，通过实时调整模糊控制器的参数来适应系统的动态变化。
自适应模糊控制的特点是可以处理非线性、模糊和复杂系统。
通过模糊控制器的模糊推理机制，可以将系统输入和输出的模糊信息转化为模糊规则，并通过自适应机制实时学习和更新模糊规则，从而实现对系统的控制。
自适应模糊控制的应用广泛，可用于航空航天、机器人、自动驾驶、工业过程控制等领域。
模糊控制的模糊化和解模糊化过程使得控制过程更加人性化，控制规则的自适应性能够应对系统的变化和不确定性。
二、模型参考自适应控制模型参考自适应控制是一种基于系统模型的控制方法。
其核心思想是通过引入模型参考器，将系统的输出与参考模型的输出进行比较，通过调整控制器参数来使系统输出逼近参考模型输出。
模型参考自适应控制的特点是对系统动态建模要求较高，需要准确的系统数学模型。
控制器的参数调整按照模型误差进行，系统动态的准确模型能够提供更精确的参考和更准确的参数调整。
模型参考自适应控制在静态和动态控制问题上有较好的性能。
其应用范围广泛，例如飞行器的纵向和横向控制、电机驱动系统的速度和位置控制等。
三、比较与总结自适应模糊控制和模型参考自适应控制在应用领域和效果上存在差异。
自适应模糊控制对于非线性、模糊和复杂系统具有较好的适应性，能够在缺乏精确模型的情况下实现控制。
而模型参考自适应控制需要较准确的数学模型，其适用范围相对较窄。
另一方面，自适应模糊控制的控制规则更易理解和解释，便于工程人员的实际应用。
模型参考自适应控制—MIT法
一 原理及方法模型参考自适应系统，是用理想模型代表过程期望的动态特征，可使被控系统的特征与理想模型相一致。
一般模型参考自适应控制系统的结构如图1所示。
图1 一般的模型参考自适应控制系统其工作原理为，当外界条件发生变化或出现干扰时，被控对象的特征也会产生相应的变化，通过检测出实际系统与理想模型之间的误差，由自适应机构对可调系统的参数进行调整，补偿外界环境或其他干扰对系统的影响，逐步使性能指标达到最小值。
基于这种结构的模型参考自适应控制有很多种方案，其中由麻省理工学院科研人员首先利用局部参数最优化方法设计出世界上第一个真正意义上的自适应控制律，简称为MIT 自适应控制，其结构如图2所示。
图2 MIT 控制结构图系统中，理想模型Km 为常数，由期望动态特性所得，被控系统中的增益Kp 在外界环境发生变化或有其他干扰出现时可能会受到影响而产生变化，从而使其动态特征发生偏离。
而Kp 的变化是不可测量的，但这种特性的变化会体现在广义误差e 上，为了消除或降低由于Kp 的变化造成的影响，在系统中增加一个可调增益Kc ，来补偿Kp 的变化，自适应机构的任务即是依据误差最小指标及时调整Kc ，使得Kc 与Kp 的乘积始终与理想的Km 一致，这里使用的优化方法为最优梯度法，自适应律为：⎰⨯+=tm d y e B Kc t Kc 0)0()(τMIT 方法的优点在于理论简单，实施方便，动态过程总偏差小，偏差消除的速率快，而Yp Yme+__+R参考模型调节器被控对象适应机构可调系统———kmq(s)p(s)KcKpq(s)-----p(s)适应律Rymype+-且用模拟元件就可以实现；缺点是不能保证过程的稳定性，换言之，被控对象可能会发散。
二 对象及参考模型该实验中我们使用的对象为：122)()()(2++==s s s p s q K s G pp 参考模型为：121)()()(2++==s s s p s q K s G mm 用局部参数最优化方法设计一个模型参考自适应系统，设可调增益的初值Kc(0)=0.2，给定值r(t)为单位阶跃信号，即r(t)=A ×1(t)。
自适应控制的分类_自适应控制的主要类型
自适应控制的分类_自适应控制的主要类型什么是自适应控制1、自适应控制所讨论的对象，一般是指对象的结构已知，仅仅是参数未知，而且采用的控制方法仍是基于数学模型的方法。
2、但实践中我们还会遇到结构和参数都未知的对象，比如一些运行机理特别复杂，目前尚未被人们充分理解的对象，不可能建立有效的数学模型，因而无法沿用基于数学模型的方法解决其控制问题，这时需要借助人工智能学科，也就是智能控制。
3、自适应控制与常规的控制与最优控制一样，是一种基于数学模型的控制方法。
4、自适应控制所依据的关于模型的和扰动的先验知识比较少，需要在系统的运行过程中不断提取有关模型的信息，使模型愈来愈准确。
5、常规的反馈控制具有一定的鲁棒性，但是由于控制器参数是固定的，当不确定性很大时，系统的性能会大幅下降，甚至失稳。
自适应控制的原理框图自适应控制的分类自从50年代末由美国麻省理工学院提出第一个自适应控制系统以来，先后出现过许多不同形式的自适应控制系统。
比较成熟的自适应控制系统有下述几大类。
（1）可变增益自适应控制系统这类自适应控制系统结构简单，响应迅速，在许多方面都有应用。
其结构如图1所示，调节器按被控过程的参数的变化规律进行设计，也就是当被控对象（或控制过程）的参数因工作状态或环境情况的变化而变化时，通过能够测量到的某些变量，经过计算而按规定的程序来改变调节器的增益，以使系统保持较好的运行性能。
另外在某些具有非线性校正装置和变结构系统中，由于调节器本身对系统参数变化不灵敏。
采用此种自适应控制方案往往能去的较满意的效果。
（2）模型参考自适应控制系统（Model Reference Adaptive System，简称MRAS）模型参考自适应控制系统由以下几部分组成，即参考模型、被控对象、反馈控制器和调整控制器参数的自适应机构等部分组成，如图2所示。
模型参考自适应控制导论
模型参考自适应控制导论模型参考自适应控制（Model Reference Adaptive Control，MRAC）是一种基于参考模型的自适应控制方法，可以用来设计控制系统以实现期望的输出响应。
本文将对MRAC的基本原理、适用范围、设计流程和实际应用等方面进行讨论，以便读者更好地理解和应用该控制方法。
一、基本原理MRAC的基本原理是将参考模型的输出作为期望输出，通过自适应参数调整系统控制器的参数，以使系统输出尽可能地接近于参考模型输出。
在实际应用中，一般采用模型参考自适应控制器（Model Reference Adaptive Controller，MRAC），它通过反馈控制，将参考模型的输出信号与实际输出信号进行比较，然后根据误差信号进行调整。
具体地，MRAC的数学模型可以表示如下：y(t)=Gθ(t)u(t)其中，y(t)表示系统输出信号，G表示系统的传递函数，u(t)表示系统输入信号，θ(t)表示控制器参数向量。
MRAC的主要任务就是通过自适应参数调整θ(t)，以使y(t)趋近于参考模型的输出信号y_d(t)，具体地，可以定义误差信号e(t)=y(t)-y_d(t)，然后通过控制器进行误差调整，最终实现期望的控制目标。
二、适用范围MRAC是一种非线性自适应控制方法，广泛应用于系统建模不确定、环境变化频繁或者系统受到随机扰动等情况下的控制工程以及智能控制系统设计。
例如，MRAC可以在无人机控制、机器人控制、飞行器控制、电力电子控制等领域发挥重要作用。
此外，MRAC还可以与其他控制方法相结合，形成混合控制系统，例如将MRAC与PID控制器相结合，可以形成增强式PID控制器，提高控制系统的稳定性和精度。
三、设计流程MRAC的设计流程一般包括以下几个步骤：1.确定参考模型。
根据实际控制目标，选择合适的参考模型，评估其稳定性和性能指标，例如，选择二阶步跃响应模型以控制系统的过渡响应时间。
2.建立系统模型。
3_自适应控制_MRAC
x x1 , xn
梯度法：从函数解空间中某一点开始，沿负梯度 方向，按一定步长 达到下一点。再沿该点继续 搜索，直到取到极值。 迭代公式： x k 1 x k k d k
d k f x k
44
10
计算步骤： 1 1. 给定初始点 x ，允许误差 0 ，置k 1 2. 计算搜索方向 d k f x k d k ，则停止计算，否则从 x k 出发， 3. 若 k k k k d k 进行搜索，求 k ，使得 f x k d min f x d 沿 4. 找到 k 后，令 x k 1 x k k d k ，置 k k 1,转到2
实际上的最优解是 0,0
16
梯度图
44 17
5. 并联MRAC的数学模型
• 状态空间模型
参考模型: 稳定，可控 x m Am x m Bm r x0 x0
模型
y m t
调节器参数
xm ：n维状态变量
Am ： n n
调整机构
y t
r ：m维输入变量
检查允许误差
d2
16 64 4 1 5 81 81 9 10
迭代公式：
44
1 4 1 4 9 9 9 9 x 2 d 2 4 8 4 8 9 9 9 9
• • • • 多元函数： z f x1 , x2 , xn 二元函数： z f x1 , x2 多元函数空间：n 1 维空间 z, x1 , x2 , xn 超曲面：满足 z f x1 , x2 , xn 函数关系的所有 点的集合
机器人的自适应控制技术
机器人的自适应控制技术机器人的自适应控制技术是指机器人能够根据外部环境的变化和任务需求的变动自动调整控制策略，以实现更加灵活和高效的运动和操作。
这种技术的发展对于提升机器人的智能水平和适应性非常重要，也是机器人领域中的一个研究热点。
一、机器人的自适应控制技术概述机器人的功能和应用越来越广泛，但是在不同的任务和环境中，对机器人的控制需求也会有所差异。
传统的控制方法不能很好地适应这种变化，因此，研究人员开始探索机器人的自适应控制技术。
自适应控制技术可以使机器人能够根据不同的任务和环境要求，自主选择合适的控制策略，实现自身的优化和适应。
二、机器人的自适应控制技术的实现方式机器人的自适应控制技术可以通过以下几种方式实现：1. 模型参考自适应控制（MRAC）：该方法是通过建立机器人动力学模型，并以此作为参考模型，通过在线学习和参数调整来实现机器人的控制。
这种方法可以适应不同的环境和任务需求，但需要较精确的动力学模型。
2. 强化学习：强化学习是一种机器学习方法，机器人可以通过与环境的交互来学习适应性的控制策略。
在强化学习中，机器人通过尝试和错误来优化控制策略，并通过奖励机制来评估策略的好坏，从而实现自适应控制。
3. 遗传算法：遗传算法是一种通过模拟生物遗传和进化过程来进行优化搜索的算法。
机器人可以通过遗传算法来搜索和优化自适应控制策略，从而在不同环境和任务下适应性更强。
三、机器人的自适应控制技术在实际应用中的例子机器人的自适应控制技术已经在多个领域得到了应用，以下是一些例子：1. 自动驾驶汽车：自动驾驶汽车需要根据路况和交通情况来实现自主驾驶，而不同的道路和交通情况需要不同的控制策略。
自适应控制技术可以使自动驾驶汽车自主调整控制策略，从而适应不同的驾驶场景。
2. 机器人装配线：机器人在装配线上需要根据产品种类和装配要求来进行灵活的操作和控制。
利用自适应控制技术，机器人可以自主选择适当的操作和控制策略，以适应不同的产品和变化的装配任务。
模型参考自适应控制
针对不同的被控对象和工况，需要设计相应的调整策略，以快速响应系统变化并保持控制性能。这需 要对被控系统的特性和动态行为有深入了解。
模型参考自适应控制在复杂系统中的应用拓展
复杂系统控制
模型参考自适应控制适用于具有非线性、时变和不确定性的复杂系统。通过设计合适的 自适应律和控制器，可以实现对复杂系统的有效控制。
2
在模型参考自适应控制中，滑模控制可以用于设 计自适应控制器，使得被控系统的状态跟踪误差 收敛到零。
3
滑模控制具有鲁棒性强、对系统参数变化不敏感 等优点，因此在模型参考自适应控制中具有广泛 的应用前景。
基于模糊逻辑的模型参考自适应控制
模糊逻辑是一种处理不确定性和模糊信息的智能控制方法，通过将模糊集合和模糊推理规则应用于控 制系统，可以实现模型参考自适应控制。
系统稳定性
系统稳定性是确保控制过程平稳、可靠的关键因素。在模型参考自适应控制中，需要权衡控制精度和系统稳定在线优化
模型参考自适应控制需要在线优化控制参数，以适应系统状态的变化和外部扰动。优化算法的选择和 应用对于提高控制性能和系统适应性至关重要。
化工过程控制
在化工生产过程中，模型参考自适应控制用于实现反应过程的优化 和稳定控制，提高生产效率和产品质量。
智能制造系统
在智能制造领域，模型参考自适应控制用于自动化流水线和智能机 器人的精确控制，提高生产效率和降低能耗。
机器人领域的应用
移动机器人导航
模型参考自适应控制用于移动机器人的路径规划和避障，提高机 器人在复杂环境下的自主导航能力。
应用领域
模型参考自适应控制的应用领域广泛，包括航空航天、机器人、电力系统和化工过程等。 随着技术的不断发展，其在智能制造、新能源和生物医学等领域的应用前景也日益广阔。
带扰动模型失配史密斯预估器的自适应控制
带扰动模型失配史密斯预估器的自适应控制丁晓迪;崔宝同【摘要】在扰动情况下,针对传统史密斯预估器的模型失配问题,提出了一种基于模型参考自适应控制的史密斯预估器.首先,在控制对象输入端添加前馈增益矩阵和反馈补偿矩阵,和控制对象相互结合,通过调整矩阵参数,使控制对象和预估模型匹配,消除系统的模型失配误差.其次,在前向控制器输出端引入扰动补偿矩阵,调整扰动补偿矩阵的相关参数,对系统的扰动进行补偿.最后,选取合适的李雅普诺夫函数,求取自适应率.利用MATLAB中的SIMULINK模块进行仿真,仿真结果验证了方法的有效性.%Under the circumstance of the disturbance, model mismatch caused by the system, a method based on the model reference adaptive control is proposed. Firstly, feedforward gain matrix and feedback recourse matrix combining with the plant are added to the input of plant, the plant can track the original reference model through adjusting the parame-ters of matrix, and also can eliminate the error. Secondly, interference recourse matrix is added to the output of the controller.The system can overcome the influence of the disturbance through regulating the parameters of matrix. Finally, the adaptive law is obtained by Lyapunov function. The effectiveness of the proposed method has been verified by simulation results using SIMULINK.【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2017(053)006【总页数】5页(P223-226,257)【关键词】史密斯预估器;模型失配;自适应控制;扰动补偿矩阵;李雅普诺夫函数【作者】丁晓迪;崔宝同【作者单位】江南大学物联网工程学院,江苏无锡 214000;江南大学物联网工程学院,江苏无锡 214000【正文语种】中文【中图分类】TP27传统的史密斯预估器（Smith Predictor）[1]适用于时滞系统。
自适应控制（研究生经典教材）
自适应控制Adaptive control1.关于控制2.关于自适应控制3.模型参考自适应控制4.自校正控制5.自适应替代方案6.预测控制参考文献主要章节内容说明：第一部分：第一章自适应律的设计§1.参数最优化方法§2.基于Lyapunov稳定性理论的方法§3.超稳定性理论在自适应控制中的应用第二章误差模型§1.Narendra误差模型§2.增广矩阵§3.线性误差模型第三章MRAC的设计和实现第四章小结第二部分：第一章模型辨识及控制器设计§1.系统模型：CARMA模型§2.参数估计：LS法§3.控制器的设计方法：利用传递函数模型§4.自校正第二章最小方差自校正控制§1.最小方差自校正调节器§2.广义最小方差自校正控制第三章极点配置自校正控制§1.间接自校正§2.直接自校正1.About control engineering education1)control curriculum basic concept(1)dynamic system●The processes and plants that are controlled have responses that evolvein time with memory of past responses●The most common mathematical tool used to describe dynamic system isthe ordinary differential equation (ODE).●First approximate the equation as linear and time-invariant. Thenextensions can be made from this foundation that are nonlinear 、time-varying、sampled-data、distributed parameter and so on.●Method of building model (or equation )a)Idea of writing equations of motion based on the physics andchemistry of the situation.b)That of system identification based on experimental data.●Part of understanding the dynamical system requires understanding theperformance limitations and expectation of the system.2.stabilityWith stability, the system can at least be used●Classical control design method, are based on a stability test.Root locus 根轨迹Bode‟s frequency response 波特图Nyquist stability criterion 奈奎斯特判据●Optimal control, especially linear-quadratic Gaussian (LQG) control (线性二次型高斯问题) was always haunted by the fact that method did notinclude a guarantee of margin of stability.The theory and techniques of robust (鲁棒)design have been developedas alternative to LQG●In the realm of nonlinear control, including adaptive control, it iscommon practice to base the design on Lyapunov function in order to beable to guarantee stability of final result.3.feedbackMany open-loop devices such as programmable logic controllers (PLC) are in use, their design and use are not part of control engineering.●The introduction of feedback brings costs as well as benefits. Among thecosts are need for both actuators and sensors, especially sensors.●Actuator defines the control authority and set the limits of speed indynamic response.●Sensor via their inevitable noise, limit the ultimate(最终) accuracy ofcontrol within these limits, feedback affords the benefit of improveddynamic response and stability margins, improved disturbancerejection(拒绝) ，and improved robustness to parameter variability.●The trade off between costs and benefits of feedback is at the center ofcontrol design.4.Dynamic compensation●In beginning there was PID compensation, today remaining a widely usedelement of control, especially in the process control.●Other compensation approaches : lead-and-log networks (超前-滞后)observer-based compensators include : pole placement, LQG designs.●Of increasing interest are designs capable of including trade-off amongstability, dynamic response and parameter robustness.Include: Q parameterization, adaptive schemes.Such as self-tuning regulators, neural-network-based-controllers.二、historical perspectives (透视)●Most of early control manifestations appear as simple on-off (bang-bang)controllers with empirical (实验；经验性的) setting much dependent uponexperience.●The following advances such as Routhis and Hurwitz stability analysis(1877).Lyapunov‟s state model and nonlinear stability criteria(判据) (1890) .Sperry‟s early work on gyroscope and autopilots (1910), and Sikorsky‟swork on ship steering (1923)Take differential equation, Heaviside operators and Laplace transform astheir tools.●电机工程(electrical engineering)The largely changed in the late 1920s and 1930s with Black‟s developmentof the feedback electronic amplifier, Bush‟s differential analyzer, Nyquist‟sstability criterion and Bode‟s frequency response methods.The electrical engineering problems faced usually had vary complex albeitmostly linear model and had arbitrary (独立的；随机的) and wide-ringingdynamics.●过程控制(process control in chemical engineering)Most of the progress controlled were complex and highly nonlinear, butusually had relatively docile (易于处理的) dynamics.One major outcome of this type of work was Ziegler-Nichols‟PIDthres-term controller. This control approach is still in use today, worldwidewith relatively minor modifications and upgrades (including sampled dataPID controllers with feed forward control, anti-integrator-windupcontrollers :抗积分饱和，and fuzzy logic implementations).●机械工程(mechanical engineering)The application of controls in mechanical engineering dealt mostly in thebeginning with mechanism controls, such as servomechanisms, governorsand robots.Some typical control application areas now include manufacturing processcontrols, vehicle dynamic and safety control, biomedical devices and geneticprocess research.Some early methodological outcomes were the olden burger-Kahenbugerdescribing function method of equivalent linearization, and minimum-time,bang-bang control.●航空工程（aeronautical engineering ）The problems were generally a hybrid (混合) of well-modeled mechanicsplus marginally understood fluid dynamics. The models were often weaklynonlinear, and the dynamics were sometimes unstable.Major contributions to framework of controls as discipline were Evan‟s rootlocus (1948) and gain-scheduling.●Additional major contributions to growth of the discipline of control over thelast 30-40 years have tended to be independent of traditional disciplines.Examples include:Pontryagin‟s maximum principle (1956) 庞特里金Bellman‟s dynamic programming (1957)贝尔曼Kalman‟s optimal estimation (1960)And the recent advances in robust control.三、Abstract thoughts on curriculum●The possibilities for topic to teach are sufficiently great. If one tries topresent proofs of all theoretical results. One is in danger of giving thestudents many mathematical details with little physical intuition orappreciation for the purposes for which the system is designed.●Control is based on two distinct streams of thought. One stream is physicaland discipline-based. Because one must always be controlling some thing.The other stream is mathematics-based, because the basis concepts ofstability and feedback are fundamentally abstract concepts best expressedmathematically. This duality(两重性) has raised, over the years, regularcomplaints about the …gap‟ between theory and practice.●The control curriculum typically begins with one or two courses designed topresent an overview of control based on linear, constant, ODE models,s-plane and Nyquist‟s stability ideas, SISO feedback and PID, lead-lay andpole-placement compensation.These introductory courses can then be followed by courses in linear systemtheory, digital of control, optimal control, advanced theory of feedback, andsystem identification.四、Main control courses●Introduction to controlLumped system theoryNonlinear controlOptimal controlAdaptive controlRobot controlDigital controlModeling and simulationAdvanced theoryStochastic processesLarge scale multivariable systemManufacturing systemFuzzy logic Neural Networks外文期刊：《Automatic》IFAC 国际自动控制联合会Computer and control abstractsIEEE translations on Automatic controlAutomation●Specialized \ experimental courses✓Intelligent controlApplication of Artificial IntelligenceSimulation and optimization of lager scale systems robust control ✓System identification✓Microcomputer-based control systemDiscrete-event systemsParallel and Distributed computationNumerical optimization methodsNumerical system theory●Top key works from 1963-1995 in IIACAdaptive control 305Optimal control 277Identification 255Parameter estimation 244Stability 217Linear system 184Non-linear systems 168Robust control 158Discrete-time systems 143Multivariable systems 140Robustness 140Multivariable systems control systems 110Optimization 110Computer control 104Large-scale systems 103Kalman filter 102Modeling 107为什么自适应 《Astrom 》chapter 1✓ 反馈可以消除扰动。
现代控制理论_第17章_模型参考自适应控制
(17-36) (17-37)
Pb c 2dl
一般情况下，对于输入输出间存在惯性的系统有 d 0 ，则系统状 态空间表示为
x Ax bu
.
(17-38) (17-39)
y cx
则式(17-36)、式(17-37)可化简为
AT P PA ll T Q
(17-40)
t J e1 2e1 d 0 K0 K0
(17-4)
按梯度法， K0 的调整值应为
K0 B1 J K0
(17-5)
式中， B1 为步长，是经适当选定的正常数。经一步调整后 K0 值为
Ko Ko0 B1 J Ko
(17-6)
J 可以通过如下运算来求梯度 。对式(17-6)求导可得 Ko
(17-11)
N s 1 r s yM s D s KM
e1 t K o yM t Ko KM
(17-12) (17-13)
代入式(17-7)，则得
B 2e t K o y t K o 1 1 M KM
(17-14)
(17-41)
Pb c
以上卡尔曼-雅库波维奇定理又可叙述为：传递函数 W s 为正实函 数的充要条件是存在正定矩阵 P、Q ，并满足式(17-36)、式(17-37)。
下面来讨论受控对象全部状态可直接获取的情况下，基于李雅普 诺夫稳定性理论进行自适应控制系统设计的方法。 设可调系统数学模型为
这时新的可调系统的传递函数为同理当的分母比分子高二阶以上时设分母为阶分子为阶是可用同样的方法将原输入可调系统的参考输入先经一个阶前置滤波器第四节用超稳定性及正性概念设计自适应控制的方法基于李雅普诺夫稳定性理论设计自适应控制存在着这样一个问题就是一般不知道如何来扩大李雅普诺夫函数类从而也就不能做到最大可能地扩大导致整体渐近稳定的自适应律数目以便在完成一个完整的设计时能
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一 原理及方法模型参考自适应系统，是用理想模型代表过程期望的动态特征，可使被控系统的特征与理想模型相一致。
一般模型参考自适应控制系统的结构如图1所示。
图1 一般的模型参考自适应控制系统其工作原理为，当外界条件发生变化或出现干扰时，被控对象的特征也会产生相应的变化，通过检测出实际系统与理想模型之间的误差，由自适应机构对可调系统的参数进行调整，补偿外界环境或其他干扰对系统的影响，逐步使性能指标达到最小值。
基于这种结构的模型参考自适应控制有很多种方案，其中由麻省理工学院科研人员首先利用局部参数最优化方法设计出世界上第一个真正意义上的自适应控制律，简称为MIT 自适应控制，其结构如图2所示。
图2 MIT 控制结构图系统中，理想模型Km 为常数，由期望动态特性所得，被控系统中的增益Kp 在外界环境发生变化或有其他干扰出现时可能会受到影响而产生变化，从而使其动态特征发生偏离。
而Kp 的变化是不可测量的，但这种特性的变化会体现在广义误差e 上，为了消除或降低由于Kp 的变化造成的影响，在系统中增加一个可调增益Kc ，来补偿Kp 的变化，自适应机构的任务即是依据误差最小指标及时调整Kc ，使得Kc 与Kp 的乘积始终与理想的Km 一致，这里使用的优化方法为最优梯度法，自适应律为：⎰⨯+=tm d y e B Kc t Kc 0)0()(τMIT 方法的优点在于理论简单，实施方便，动态过程总偏差小，偏差消除的速率快，而且用模拟元件就可以实现；缺点是不能保证过程的稳定性，换言之，被控对象可能会发散。
Yp Yme+__+R参考模型调节器被控对象适应机构可调系统———kmq(s)p(s)KcKpq(s)-----p(s)适应律Rymype+-二 对象及参考模型该实验中我们使用的对象为：122)()()(2++==s s s p s q K s G pp 参考模型为：121)()()(2++==s s s p s q K s G mm 用局部参数最优化方法设计一个模型参考自适应系统，设可调增益的初值Kc(0)=0.2，给定值r(t)为单位阶跃信号，即r(t)=A ×1(t)。
A 取1。
三 自适应过程将对象及参考模型离散化，采样时间取0.1s ，进而可得对象及参考模型的差分方程分别为：)2(0044.0)1(0047.0)2(8187.0)1(8079.1)(-+-+---=k r k r k y k y k y m)2(0088.0)1(0094.0)2(8187.0)1(8097.1)(-+-+---=k u k u k y k y k y p p p其中u 为经过可调增益控制器后的信号。
编程进行仿真，经大量实验发现，取修正常数B 为0.3，可得较好的动态过度过程，如下图3所示：图3 仿真结果由图3中第一个图形可以看出，在阶跃扰动后，经过一段时间对象的输出完全跟踪上了理想模型的值，系统最终趋于稳定；由第二个图可以看出，当系统稳定后，Kp*Kc 等于Km ，说明补偿环节达到了期望的补偿效果，这与系统设计的目标一致；由第三个图可以看出，在控制的动态过程中，偏差的总和是比较小的，而且偏差的消除是很快的，这是由于所选用的优化方法为最有梯度法的结果。
在1中我们已经得到一个能使对象得到较好控制的参数B=0.3，在此情况下，我们将Kp 取为1，对应于实际中即指对象增益发生漂移，再做仿真，结果如图4所示。
图4 对象增益变化后的仿真图由图4我们可以看出，在一个适当的修真参数B 下，当对象的特性参数Kp 发生漂移后，控制器依然能很好的控制对象，这也证明了MIT 方法的自适应特性。
而且我们发现，当Kp 由2变为1后，控制器的控制效果更好了，具体表现为振荡减弱，过渡过程有所加快，关于导致这一现象发生的原因，我们会在第四部分中做详细的分析与说明。
四 研究分析1 对于一个被控过程，系统能稳定运行是设计与控制的首要指标，然而如前所述，依据最优控制的原则设计出来的MIT 自适应控制器却可能会使得系统不稳定，输出发散，以下我们对此做一研究，以期找出其中的相关信息。
我们设某连续二阶对象为：1)()()(122++==s b s b Kps p s q K s G p 则有：pm m m m m c p p p p p y y e R K y y b y b R K K u K y y b y b -==++==++&&&&&&1212控制律为：m Bey c K =&R 为一阶跃信号，即R(t)=A ×1(t)， 则偏差的动态方程为：0212=+++e A K BK e e b e b m p &&&&&&根据劳斯稳定判据，列出劳斯行列式：1101221121223s b A K BK b b s A K BK b s b s m p m p -得知，对于该连续系统，当212/b b A K BK m p >时会不稳定。
试验中Kp=2，Km=1，A=1，1,221==b b ，因而对于连续系统，可求得当B=1时，系统将会等幅振荡。
现取B=1，得仿真曲线如图5所示。
图5显示，当B 为1的时候系统发散，另取原使系统稳定的B=0.3，计算出此时可使系统振荡的阶跃幅值A=sqrt(1/0.3)做仿真，结果如图6所示：图6显示结果与图5一样，系统也发散。
图5、6过程中所取参数均为由劳斯判据所得临界值，然而系统并未做等幅振荡，而是发散，这似乎使得理论计算与仿真结果不符。
但稍作分析我们就会发现，问题在于我们仿真时用的是离散化的模型，而所用参数为由连续系统计算所得。
我们知道用连续系统分析的结论是不完全适用于离散系统的，这是因为随着采样时间取不同的值，同一对象的连续特性和离散特性会不同。
因而对于离散系统，我们对其做稳定性分析时还需考虑采样时间的影响。
正确的做法应是：将连续开环对象做Z 变换，进而得到闭环的Z 域特征方程，对此方程做双线性变化，然后对所得w 域方程列出其劳斯阵列，应用劳斯稳定判据即可得到使离散系统做等幅振荡的相关参数。
本实验中广义偏差方程为三阶系统，在应用采样系统的劳斯稳定判据时需要求解含有参变量的三解方程的解析解，运算量较大，因而这里未做相应的求解。
只是对其做一些定性的分析，指出对于同一对象，使得连续系统和离散系统做等幅振荡的参数B 是不一样的，因而仿真的结果并没有问题。
在对离散系统进行大量的仿真实验后发现当B 取0.8367左右的时候，离散系统会发生等幅振荡。
如图7所示：图5 B=1时的仿真结果图6 A=sqrt(1/0.3)时的仿真图7 离散系统等幅振荡2 为了更进一步的了解该实验的相关特征，我们设计以下实验，来分别研究该仿真中Kc的初始值、阶跃信号的幅值对实验的影响。
(1) 我们得知当B=0.3时原系统是稳定的，这里我们逐步改变阶跃信号的幅值，使A分别取1、1.3、1.6、1.9、2.3来观察其结果，如图8所示：图8 A取不同值的过渡过程由图8可以看出，当A 由小逐渐增大时，系统将由稳定转向发散，因为在设计实验或真实过程中，该扰动的幅值不可太大，否则将使得系统发散。
其原因已在1中做过说明。
(2) 在原系统稳定的情况下，我们改变修改常数Kc 的初始值，分别取Kc=-5、-0.5、 -0.2、0、0.2、0.5、5来进行观测，结果如图9所示：图9 取不同Kc 初始值的仿真由实验我们得到Kc 的最终稳定值为0.49921，有图可以看出，当Kc 的初始值取得离此稳态值越远的话，过程的初始超调越大，但最终过程都能趋于稳定。
因而在设计实验的时候，Kc 的初始值应根据先验知识或粗略计算去一个与其稳定值较为相近的值为宜。
五 结论：由以上的推导及仿真结果可以看出，依据最优控制的方法设计出的MIT 控制律并不能保证控制器在任何情况下都能很好的工作，换言之，对于连续系统当212/b b A K BK m p 时系统会不稳定。
对于离散系统随未给出准确的解析表达式，但从定性的角度来说，各参数的影响是相似的。
因而在实验设计中为避免系统发散，阶跃信号的幅值不可选择太大。
同时由此式可以看出，当Kp 减小后，对应使系统振荡的B 将增大，这就说明了第三部分中我们在没有改变B 的情况下将Kp 由2变为1后系统的性能为什么会得到提高。
参考文献[1]韩曾晋.自适应控制[M].北京: 清华大学出版社,1995: 148-151[2]厉玉鸣,等.自动控制原理[M].北京：化学工业出版社，2005: 279-280附程序clcclearts=0.1;B=0.8367;ei=0; % 临界值 B=0.836Kp=2;Km=1;Kc(1)=0.2;num1=[Km];den1=[1 2 1]; % 参考模型sys1=tf(num1,den1);dsys1=c2d(sys1,ts,'z')[num11,den11]=tfdata(dsys1,'v');num2=[Kp];den2=[1 2 1]; % 对象模型sys2=tf(num2,den2);dsys2=c2d(sys2,ts,'z')[num22,den22]=tfdata(dsys2,'v');ym_1=0;ym_2=0;r_1=0;r_2=0;yp_1=0;yp_2=0;u_1=0;u_2=0;for i=1:1:500time(i)=i*ts;rin(i)=1;r(i)=rin(i);u(i)=Kc(i)*rin(i);ym(i)=-den11(2)*ym_1-den11(3)*ym_2+num11(2)*r_1+num11(3)*r_2;yp(i)=-den22(2)*yp_1-den22(3)*yp_2+num22(2)*u_1+num22(3)*u_2;error(i)=ym(i)-yp(i);Err(i)=error(i)^2;gain(i)=Kc(i)*Kp;ei=ei+error(i)*ym(i)*ts;Kc(i+1)=Kc(1)+B*ei;ym_2=ym_1;ym_1=ym(i);r_2=r_1;r_1=r(i); yp_2=yp_1;yp_1=yp(i);u_2=u_1;u_1=u(i);endsubplot(1,3,1)plot(time,rin,'r',time,ym,'g',time,yp,'b') legend('R','ym','yp',4)title('input and output')xlabel('time/second')subplot(1,3,2)plot(time,Km,'r',time,gain,'b')legend('Km','Kp*Kc')title('change of Kc')xlabel('time/second')subplot(1,3,3)plot(time,Err)title('change of error^2')xlabel('time/second')。