工程数学线性代数第六版答案(全)

第一章行列式
1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:
(1)3
81141102---; 解3
81141102--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8
-0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1)
=-24+8+16-4=-4.
(2)b
a c a c
b
c b a ; 解b
a c a c
b
c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc
=3abc -a 3-b 3-c 3.
(3)2
22111c b a c b a ; 解2
22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2
=(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y
x y x x y x y y x y x +++. 解 y
x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3
=3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3
=-2(x 3+y 3).
2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:
(1)1 2 3 4;
解逆序数为0
(2)4 1 3 2;
解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32.
(3)3 4 2 1;
解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.
(4)2 4 1 3;
解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3.
(5)1 3 ⋅⋅⋅ (2n -1) 2 4 ⋅⋅⋅ (2n );
解 逆序数为2
)1(-n n : 3 2 (1个)
5 2, 5 4(2个)
7 2, 7 4, 7 6(3个)
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6,⋅⋅⋅, (2n -1)(2n -2)(n -1个)
(6)1 3 ⋅⋅⋅ (2n -1) (2n ) (2n -2) ⋅⋅⋅ 2.
解 逆序数为n (n -1) :
3 2(1个)
5 2, 5 4 (2个)
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6,⋅⋅⋅, (2n -1)(2n -2)(n -1个)
4 2(1个)
6 2, 6 4(2个)
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
(2n )2, (2n )4, (2n )6,⋅⋅⋅, (2n )(2n -2)(n -1个)
3.写出四阶行列式中含有因子a 11a 23的项.
解 含因子a 11a 23的项的一般形式为
(-1)t a 11a 23a 3r a 4s ,
其中rs 是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42. 所以含因子a 11a 23的项分别是
(-1)t a 11a 23a 32a 44=(-1)1a 11a 23a 32a 44=-a 11a 23a 32a 44,
(-1)t a 11a 23a 34a 42=(-1)2a 11a 23a 34a 42=a 11a 23a 34a 42.
4.计算下列各行列式: (1)7
1100251020214214;
解711002510202142140
10014231020211021473234-----======c c c c 34)1(143102211014+-⨯---= 143102211014--=014
17172001099323211=-++======c c c c . (2)2
605232112131412-; 解 2605232112131412-2605
03212213041224--=====c c 041203212213041224--=====r r 0000
003212213041214=--=====r r . (3)ef
cf bf de cd bd ae ac ab ---; 解 ef cf bf de cd bd ae ac ab ---e
c b e c b e c b adf ---= abcdef adfbce 41
11111111=---=. (4)d
c b a 100110011001---.
解 d c b a 100110011001---d
c b a ab ar r 10011001101021---++===== d
c a ab 101101)1)(1(12--+--=+01011123-+-++=====c
d c ad a ab dc c cd
ad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 5.证明:
(1)1
11222
2b b a a b ab a +=(a -b )3; 证明
1112222b b a a b ab a +001
2222
2221213a b a b a a b a ab a c c c c ------===== a b a b a b a ab 22)1(2221
3-----=+21))((a b a a b a b +--==(a -b )3. (2)y
x z x z y z y x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++; 证明
bz
ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++ bz
ay by ax x by ax bx az z bx az bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=
bz
ay y x by ax x z bx az z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22 z
y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+= y
x z x z y z y x b y x z x z y z y x a 33+= y
x z x z y z y x b a )(33+=.
(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2
222222222222222
=++++++++++++d d d d c c c c
b b b b a a a a ; 证明
2
2222222
2222
2222
)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3,c 3-c 2,c 2-c 1得) 5232125232125232125232122
2
22
++++++++++++=d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3,c 3-c 2得) 02
2122212221222122
2
22
=++++=d d c c b b a a .
(4)4
4442222
1111d c b a d c b a d c b a =(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ); 证明
4
4442222
1111d c b a d c b a d c b a )
()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b a d a c a b ---------=
)
()()(111))()((222a d d a c c a b b d c b a d a c a b +++---= )
)(())((00111))()((a b d b d d a b c b c c b d b c a d a c a b ++-++------= )()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++-----=
=(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ).
(5)1
221 1 000 00 1000 01a x a a a a x x x n n n
+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--- =x n +a 1x n -1+⋅⋅⋅+a n -1x +a n . 证明 用数学归纳法证明.
当n =2时,2121
221a x a x a x a x D ++=+-=,命题成立.
假设对于(n -1)阶行列式命题成立,即 D n -1=x n -1+a 1x n -2+⋅⋅⋅+a n -2x +a n -1,
则D n 按第一列展开, 有
1 11 00 100 01
)1(11-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--+=+-x x a xD D n n n n =xD n -1+a n =x n +a 1x n -1+⋅⋅⋅+a n -1x +a n . 因此,对于n 阶行列式命题成立.
6.设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90︒、或依副对角线翻转,依次得
n nn n a a a a D 11111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,11112 n nn n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,11113 a a a a D n n nn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=, 证明D D D n n 2)
1(21)1(--==,D 3=D .
证明 因为D =det(a ij ),所以
n
nn n n n n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111 )1( ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=- ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=-- )1()1(331122111121n
nn n n n n n a a a a a a a a D D n n n n 2)
1()1()2( 21)1()1(--+-+⋅⋅⋅++-=-=.
同理可证
nn
n n n n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=- )1(11112)
1(2D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-=. D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)
1(2)
1(22)1(3)1()1()1()
1(.
7.计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式): (1)a a
D n 1 1⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a ,未写出的元素都是0;
解
a
a a a a D n 0 0010 000 00 0000 00
10 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n 行展开) )
1()1(10 000 00 0000 0010 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n a a a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n n a a a n n n n n a a a +⋅⋅⋅-⋅-=--+)
2)(2(1 )1()1(=a n -a n -2=a n -2(a 2-1). (2)x
a a a x a a a x
D n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ;
解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行,得
a
x x a a x x a a x x a a a a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00 0 , 再将各列都加到第一列上,得
a x a x a x a a a a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=00
00 0 000 00 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1. (3)1
11 1
)( )1()( )1(11
11⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n n n
n n ; 解 根据第6题结果, 有
n n
n n n n n n n n a a a n a a a n a a a D )( )1()( )1( 11 11)1(11
12)1(1-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=---++ 此行列式为范德蒙德行列式. ∏≥>≥++++--+--=112)
1(1)]1()1[()
1(j i n n n n j a i a D ∏≥>≥++---=112)1()]([)
1(j i n n n j i ∏≥>≥++⋅⋅⋅+-++-⋅
-⋅-=1121 )1(2)
1()()1()1(j i n n n n n j i
∏≥>≥+-=
1
1)(j i n j i .
(4)n
n
n
n
n d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
1
1112; 解
n
n
n
n
n d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅=
1
1112(按第1行展开) n
n n n n n
d d c d c b a b a a 000
11111111----⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 0
0)
1(111
1111
1
1
2c d c d c b a b a b n
n n n n n
n ----+⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+. 再按最后一行展开得递推公式
D 2n =a n d n D 2n -2-b n c n D 2n -2, 即D 2n =(a n d n -b n c n )D 2n -2. 于是 ∏=-=n
i i i i i n D c b d a D 222)(.
而1
111111
12c b d a d c b a D -==
, 所以 ∏=-=n i i i i i n c b d a D 1
2)(. (5) D =det(a ij ),其中a ij =|i -j |; 解 a ij =|i -j |, 0
4
321
4 0123
3 10122 2101
1 3210)det(⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅==n n n n n n n n a D ij n 0 4321 1 11111 11111 1111
1 1111 2132⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=====n n n n r r r r 1
5
242321
0 22210 02210 0021
0 0001 1213-⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+=====n n n n n c c c c =(-1)n -1(n -1)2n -2. (6)n
n a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 1
1 1 111
1
12
1, 其中a 1a 2⋅⋅⋅a n
≠0.
解
n
n a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 1
1 1 111
112
1 n
n n n a a a a a a a a a c c c c +-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=====--10 0001 000 100 0100 0100 00
1133221
2132 1
1
1
1
3
1
2
1
121110
11 000 00 110
00 011
00 001 ------+-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n
n n a a a a a a a a
∑=------+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n i i n n a a a a a a a a 1
1
11
131******** 0001
0 000 00 100
00 01000 001
)11)((121∑=+=n
i i
n a a a a .
8.用克莱姆法则解下列方程组:
(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;
解 因为
14211
2135132
41211
111-=----=D , 142112105132412211151-=------=D ,28411
2035122
4121
1
15
12-=-----=D , 42611013
5
232
422115113-=----=D ,1420
21321322121
5
11
14=-----=D , 所以 111==
D D x ,222==D D x ,333==D D x ,144-==D
D
x . (2)⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+15065065065165545434323
212
1x x x x x x x x x x x x x .
解 因为 6655
1000
6510006510
065100065==D ,
1507510016510006510
00650000611==D ,11455
101065100065000
06010001
52-==D , 703511006500006010
00051001653==D ,3955
100060100005100
0651010654-==D , 2121
1
0510006510
0651100655==D , 所以
66515071=x ,665
11452-=x ,6657033=x ,6653954-=x ,6652124=x .
9.问λ,μ取何值时,齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200
321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？
解 系数行列式为
μλμμμλ-==1
21111
1D .
令D =0,得
μ=0或λ=1.
于是, 当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.
10.问λ取何值时,齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(20
42)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零
解？
解 系数行列式为
λ
λλλλλλ--+--=----=1011124
31111132421D
=(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ) =(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3. 令D =0, 得
λ=0,λ=2或λ=3.
于是, 当λ=0,λ=2或λ=3时,该齐次线性方程组有非零解.
第二章 矩阵及其运算
1.已知线性变换:
⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3
213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1,x 2,x 3到变量y 1,y 2,y 3的线性变换.
解由已知: ⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211
221323513122x x x y y y ⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y ,
⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123
211423736947x x x y x x x y x x x y . 2.已知两个线性变换
⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=3
2133212311542322y y y x y y y x y y x ,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,
求从z 1,z 2,z 3到x 1,x 2,x 3的线性变换. 解由已知
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32131
010201
3514232102z z z ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3
21332123
2111610941236z z z x z z z x z z z x .
3.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A ,⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B .
解⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T .
4.计算下列乘积:
(1)⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635. (2)⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛123)321(;
解 ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).
(3))21(312-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛; 解 )21(312-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛---=6321
42.
(4)⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20
4
13121013143110412; 解 ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20
4
131
21013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876.
(5)⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;
解
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x
=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛321x x x
3223311321122
33322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.
5.设⎪⎭⎫ ⎝⎛=31
21A ,⎪⎭
⎫ ⎝⎛=2101
B , 问: (1)AB =BA 吗? 解AB ≠BA .
因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=64
43AB ,⎪⎭
⎫ ⎝⎛=8321
BA , 所以AB ≠BA . (2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2.
因为⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+5222B A ,
⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝
⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2. (3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.
因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52
22B A ,⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=-1020
B A ,
⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝
⎛=-+90601020
5222))((B A B A ,
而 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-71
8243011148322B A ,
故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.
6.举反列说明下列命题是错误的: (1)若A 2=0, 则A =0;
解 取⎪⎭
⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A ,则A =0或A =E ;
解 取⎪⎭
⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A ,但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY ,且A ≠0,则X =Y .
解 取
⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X ,⎪⎭
⎫ ⎝⎛=1011Y , 则AX =AY ,且A ≠0,但X ≠Y .
7.设⎪⎭
⎫ ⎝⎛=101λA ,求A 2,A 3,⋅⋅⋅,A k . 解⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=101λk A k . 8.设⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=λλλ001001A ,求A k . 解首先观察
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ, ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A ,
⋅⋅⋅⋅⋅⋅,
⎝
⎛=k A k k k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(1
21----⎪⎪⎪⎭
⎫. 用数学归纳法证明:
当k =2时,显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. 9.设A ,B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵.
证明因为A T =A , 所以
(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB ,
从而B T AB 是对称矩阵.
10.设A ,B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .
证明充分性:因为A T =A ,B T =B , 且AB =BA , 所以
(AB )T =(BA )T =A T B T =AB ,
即AB 是对称矩阵.
必要性: 因为A T =A ,B T =B , 且(AB )T =AB , 所以
AB =(AB )T =B T A T =BA .
11.求下列矩阵的逆矩阵:
(1)⎪⎭⎫ ⎝
⎛5221; 解⎪⎭
⎫ ⎝⎛=5221A . |A |=1,故A -1存在.因为 ⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故*||11A A A =-⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=1225. (2)⎪⎭
⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A |=1≠0,故A -1存在.因为 ⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A , 所以*||11A A A =-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos .
(3)⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---145243121; 解⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=145243121A . |A |=2≠0,故A -1存在.因为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以*||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-----=1716213213012. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅⋅⋅a n ≠0) . 解⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021,由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12.解下列矩阵方程:
(1)⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ;
解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521
X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1
111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=3253
8122. (3)⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; 解 1
1110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解 1
1010100001021102341100001010--⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=201431012. 13.利用逆矩阵解下列线性方程组:
(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3
532522132321321321x x x x x x x x x ; 解 方程组可表示为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211
321x x x , 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===0
01321x x x . (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--0
5231322321321321x x x x x x x x x . 解 方程组可表示为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111
321x x x ,
故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===3
05321x x x . 14.设A k =O (k 为正整数),证明(E -A )-1=E +A +A 2+⋅⋅⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为
E -A k =(E -A )(E +A +A 2+⋅⋅⋅+A k -1),
所以 (E -A )(E +A +A 2+⋅⋅⋅+A k -1)=E ,
由定理2推论知(E -A )可逆, 且
(E -A )-1=E +A +A 2+⋅⋅⋅+A k -1.
证明一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ).
另一方面, 由A k =O , 有
E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-⋅⋅⋅-A k -1+(A k -1-A k )
=(E +A +A 2+⋅⋅⋅+A k -1)(E -A ),
故 (E -A )-1(E -A )=(E +A +A 2+⋅⋅⋅+A k -1)(E -A ),
两端同时右乘(E -A )-1,就有
(E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+⋅⋅⋅+A k -1.
15.设方阵A 满足A 2-A -2E =O ,证明A 及A +2E 都可逆,并求A -1及(A +2E )-1.
证明 由A 2-A -2E =O 得
A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E ,
或 E E A A =-⋅)(2
1,
由定理2推论知A 可逆, 且)(2
11E A A -=-. 由A 2-A -2E =O 得
A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E ,
或 E A E E A =-⋅+)3(4
1)2( 由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(4
1)2(1A E E A -=+-.
证明由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E ,两端同时取行列式得 |A 2-A |=2,
即 |A ||A -E |=2,
故 |A |≠0,
所以A 可逆,而A +2E =A 2,|A +2E |=|A 2|=|A |2≠0,故A +2E 也可逆. 由A 2-A -2E =O ⇒A (A -E )=2E
⇒A -1A (A -E )=2A -1E ⇒)(2
11E A A -=-, 又由A 2-A -2E =O ⇒(A +2E )A -3(A +2E )=-4E
⇒ (A +2E )(A -3E )=-4 E ,
所以 (A +2E )-1(A +2E )(A -3E )=-4(A +2 E )-1,
)3(4
1)2(1A E E A -=+-. 16.设A 为3阶矩阵,2
1||=A ,求|(2A )-1-5A *|.
解因为*|
|11A A A =-,所以 |||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2
521|11---=A A =|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A |-1=-8⨯2=-16.
17.设矩阵A 可逆,证明其伴随阵A *也可逆,且(A *)-1=(A -1)*. 证明由*|
|11A A A =-,得A *=|A |A -1, 所以当A 可逆时, 有 |A *|=|A |n |A -1|=|A |n -1≠0,
从而A *也可逆.
因为A *=|A |A -1,所以
(A *)-1=|A |-1A . 又*)(||)*(|
|1111---==A A A A A , 所以 (A *)-1=|A |-1A =|A |-1|A |(A -1)*=(A -1)*.
18.设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明:
(1)若|A |=0,则|A *|=0;
(2)|A *|=|A |n -1.
证明
(1)用反证法证明.假设|A *|≠0, 则有A *(A *)-1=E ,由此得 A =AA *(A *)-1=|A |E (A *)-1=O ,
所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0.
(2)由于*|
|11A A A =-, 则AA *=|A |E , 取行列式得到 |A ||A *|=|A |n .
若|A |≠0, 则|A *|=|A |n -1;
若|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立. 因此|A *|=|A |n -1.
19.设⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=321011330A ,AB =A +2B , 求B . 解由AB =A +2E 可得(A -2E )B =A ,故
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(1
1A E A B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330. 20. 设⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B . 解 由AB +E =A 2+B 得
(A -E )B =A 2-E ,
即 (A -E )B =(A -E )(A +E ).
因为010
01010100||≠-==-E A , 所以(A -E )可逆, 从而 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+=201030102E A B . 21. 设A =diag(1,-2,1),A *BA =2BA -8E , 求B . 解 由A *BA =2BA -8E 得
(A *-2E )BA =-8E ,
B =-8(A *-2E )-1A -1 =-8[A (A *-2E )]-1 =-8(AA *-2A )-1 =-8(|A |E -2A )-1 =-8(-2E -2A )-1 =4(E +A )-1
=4[diag(2,-1,2)]-1 )21 ,1 ,21(diag 4-=
=2diag(1,-2,1).
22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=80
3001010010
000
1
*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B . 解 由|A *|=|A |3=8, 得|A |=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,
B =3(A -E )-1A =3[A (E -A -1)]-1A 11*)2(6*)21(3---=-=A E A E
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛--=-10
3
0060
6006000
0660
3001010010000161
. 23.设P -1AP =Λ,其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ,⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=Λ2001,求A 11.
解由P -1AP =Λ,得A =P ΛP -1, 所以A 11=A =P Λ11P -1.
|P |=3,⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=1141*P ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,
而⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=Λ1111
1120 012001,
故⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=111201111P ,⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=Λ511,
求ϕ(A )=A 8(5E -6A +A 2). 解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)
=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).
ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1
*)(|
|1P P P Λ=ϕ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=1111111114. 25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵.
证明 因为
A -1(A +
B )B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,
而A -1(A +B )B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B )B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.
(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B )B -1]-1=B (A +B )-1A .
26. 计算⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛300032001210130130
0012001010
0121. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10
211A ,⎪⎭⎫ ⎝
⎛=3012
2A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B ,⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=30322B ,
则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭
⎫
⎝⎛+=222111B A O B B A A , 而 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+42253032121310
21211B B A , ⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝
⎛=90343032301222B A ,
所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---=9000
340042102521
, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛3000
320012101301300012001010
0121⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=9000
3400
42102521. 27.取⎪⎭
⎫ ⎝⎛==-==10
01D C B A ,验证|||||||| D C B A D C B A ≠.
解 4100120021
010*********
00210100101
1010
0101
==--=--=D C B A , 而 0111
1|||||||| ==D C B A ,
故 |
||||
||| D C B A D C B A ≠.
28.设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=220
23443O O A ,求|A 8|及A 4
. 解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A ,⎪⎭
⎫ ⎝⎛=22022A ,
则 ⎪⎭
⎫
⎝⎛=21A O O A A ,
故 8
218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=828
1A O O A , 16
82
818281810||||||||||===A A A A A . ⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464
444241422025005O O A O O A A . 29.设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆,求 (1)1
-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛O B A O ; 解设⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211
C C C C O B A O , 则
⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪
⎨⎧====s n E
BC O
BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--12
141
3B C O C O C A C ,
所以⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 11
1
. (2)1
-⎪⎭
⎫ ⎝⎛B C O A . 解 设⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211
D D D D B C O A , 则 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321.
由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s n
E
BD CD O BD CD O
AD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14
1
13211B D CA B D O D A D ,
所以 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111
B CA B O A B
C O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:
(1)⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛25
0038000012
0025; 解 设⎪⎭⎫ ⎝
⎛=12
25A ,⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=2538
B , 则
⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--522112251
1A ,⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝
⎛=--85322538
1
1B .
于是 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛----850032000052002125
0038000012
0025
1111
B A B A .
(2)⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛41
2103120021
0001
. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=21
01A ,⎪⎭⎫ ⎝
⎛=4103
B ,⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=2112
C , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛------11
1111
41
21031200210001B CA B O A B C O A
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-----=4112
1245
8103161
21002
1210001
.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:
(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; 解 ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--340313021201(下一步:r 2+(-2)r 1,r 3+(-3)r 1.)
~⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---020*********(下一步:r 2÷(-1),r 3÷(-2).)
~⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--010*********(下一步:r 3-r 2.)
~⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--300031001201(下一步:r 3÷3.)
~⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--100031001201(下一步:r 2+3r 3.)
~⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-100001001201(下一步:r 1+(-2)r 2,r 1+r 3.)
~⎪⎪⎭⎫
⎝⎛100001000001.
(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320; 解 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----174034301320(下一步:r 2⨯2+(-3)r 1,r 3+(-2)r 1. )
~⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---310031001320(下一步:r 3+r 2,r 1+3r 2. )
~⎪⎪⎭⎫
⎝⎛0000310010020(下一步:r 1÷2. )
~⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛000031005010.
(3)⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛---------12
433023221453334311; 解⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛---------12
433023221453334311
(下一步:r 2-3r 1,r 3-2r 1,r 4-3r 1
. )
~⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--------10105006630088400
34311(下一步:r 2÷(-4),r 3÷(-3) ,r 4
÷(-5). )
~⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-----22
1002210022100
34311(下一步:r 1-3r 2,r 3-r 2,r 4-r 2
. )
~⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛---000000000022100
32011. (4)⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛------34732038234202173132.
解 ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛------34732038234202173132(下一步:r 1-2r 2,r 3-3r 2,r 4-2r 2. )
~⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-----11877
012988042021
11110(下一步:r 2+2r 1,r 3-8r 1,r 4-7r 1
. )
~⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--410
004100020201
11110(下一步:r 1↔r 2,r 2⨯(-1),r 4-r 3
. )
~⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----000004100011110
202
01(下一步:r 2+r 3
. )
~⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--00
0410*******
20201. 2. 设⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A , 求A .
解 ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛100001010是初等矩阵E (1,2), 其逆矩阵就是其本身.
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是 E (1, 2(-1)) ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=100010101.
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010101987654321100001010A ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=287221254100010101987321654. 3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:
(1)⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛323513123; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---101011001200410123 ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003 ~⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----2/102/11002110102/33/26/7001 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----21021211233267. (2)⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----1210232112201023.
解 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----10000100001000011210232112201023 ~⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----00100301100001001220594012102321
~⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--------20104301100001001200110012102321 ~⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-------106124301100001001000110012102321 ~⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛----------10612631110`1022111000010000100021 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106126311101042111000010000100001 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-------10612631110104211. 4.(1)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=113122214A ,⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=132231B , 求X 使AX =B ; 解因为
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231 113122214) ,(B A ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--412315210 100010001 ~r , 所以 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--==-4123152101B A X .
(2)设⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=433312120A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B . 解 考虑A T X T =B T . 因为
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(T T B A ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---411007101042001 ~r , 所以 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---==-417142)(1T T T B A X , 从而 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛---==-4741121BA X . 5. 设⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=101110011A ,AX =2X +A , 求X . 解 原方程化为(A -2E )X =A . 因为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---------=-101101110110011011) ,2(A E A ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---011100101010110001~, 所以 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=-=-011101110)2(1A E A X . 6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r -1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式?
解在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r -1阶子式, 也可能存
在等于0的r 阶子式.
例如,⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=010*********A ,R (A )=3. 0000是等于0的2阶子式,0
10001000是等于0的3阶子式. 7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A ,B 的秩的关系怎样? 解R (A )≥R (B ).
这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.
8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是
(1,0,1,0,0),(1,-1,0,0,0).
解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:
⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.
9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式: (1)⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---443112112013;
解⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---443112112013(下一步:r 1↔r 2. ) ~⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---443120131211(下一步:r 2-3r 1,r 3-r 1. ) ~⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----564056401211(下一步:r 3-r 2. ) ~⎪⎭
⎫ ⎝⎛---000056401211, 矩阵的2秩为,41
113-=-是一个最高阶非零子式. (2)⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-------815073*********; 解 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-------815073*********(下一步:r 1-r 2,r 2-2r 1,r 3-7r 1. ) ~⎪⎭
⎫ ⎝⎛------15273321059117014431(下一步:r 3-3r 2
. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000059117014431, 矩阵的秩是2,71
223-=-是一个最高阶非零子式.
(3)⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---02301085235703273812. 解 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---02301085235703273812(下一步:r 1-2r 4,r 2-2r 4,r 3-3r 4. ) ~⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛------02301024205363071210(下一步:r 2+3r 1,r 3+2r 1. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-0230114000016000071210(下一步:r 2÷16r 4,r 3-16r 2. ) ~⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-02301000001000071210 ~⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-00
000100007121002301, 矩阵的秩为3,0700
23085570≠=-是一个最高阶非零子式. 10. 设A 、B 都是m ⨯n 矩阵, 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )=R (B ).
证明 根据定理3, 必要性是成立的.
充分性. 设R (A )=R (B ), 则A 与B 的标准形是相同的. 设A
与B 的标准形为D , 则有
A ~D ,D ~
B .
由等价关系的传递性, 有A ~B .
11. 设⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A , 问k 为何值, 可使 (1)R (A )=1;(2)R (A )=2;(3)R (A )=3.
解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r . (1)当k =1时,R (A )=1;
(2)当k =-2且k ≠1时,R (A )=2;
(3)当k ≠1且k ≠-2时,R (A )=3.
12. 求解下列齐次线性方程组:
(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++0
2220202432143214321x x x x x x x x x x x x ; 解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有
A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211~⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---3/410013100101,
于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==4
443424
134334x x x x x x x x , 故方程组的解为
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x (k 为任意常数). (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++0
5105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ; 解 对系数矩阵A 进行初等行变换,有 A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000001001021, 于是 ⎪⎩⎪⎨⎧===+-=4
432242102x x x x x x x x , 故方程组的解为
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛10010012214321k k x x x x (k 1,k 2为任意常数).
(3)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324
321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ; 解 对系数矩阵A 进行初等行变换,有 A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132~⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛1000010000100001,
于是 ⎪⎩⎪⎨⎧====00004
321x x x x , 故方程组的解为
⎪⎩⎪⎨⎧====00004
321x x x x .
(4)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+032701613114023320754343
21432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵A 进行初等行变换,有 A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3127161311423327543~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000000001720171910171317301,
于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=4
43
34324
31172017191713173x x x x x x x x x x , 故方程组的解为
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1017201713011719173214321k k x x x x (k 1,k 2为任意常数).
13. 求解下列非齐次线性方程组:
(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+8
3111021322421321321x x x x x x x x ; 解 对增广矩阵B 进行初等行变换,有 B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--80311102132124~⎪⎭⎫ ⎝
⎛----600034111008331, 于是R (A )=2, 而R (B )=3, 故方程组无解.
(2)⎪⎩
⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++69413283542432z y x z y x z y x z y x ; 解 对增广矩阵B 进行初等行变换,有。