人教中考数学平行四边形-经典压轴题

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．

（1）求证：∠APB=∠BPH；

（2）当点P在边AD上移动时，求证：△PDH的周长是定值；

（3）当BE+CF的长取最小值时，求AP的长．

【答案】（1）证明见解析．（2）证明见解析．（3）2．

【解析】

试题分析：（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出

∠APB=∠PBC即可得出答案；

（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出

PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；

（3）过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB，证明△EFM≌△BPA，设AP=x，利用折叠的性质和勾股定理的知识用x表示出BE和CF，结合二次函数的性质求出最值．

试题解析：（1）解：如图1，

∵PE=BE，

∴∠EBP=∠EPB．

又∵∠EPH=∠EBC=90°，

∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．

即∠PBC=∠BPH．

又∵AD∥BC，

∴∠APB=∠PBC．

∴∠APB=∠BPH．

（2）证明：如图2，过B 作BQ ⊥PH ，垂足为Q ．

由（1）知∠APB=∠BPH ，

又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP ，

在△ABP 和△QBP 中，

{90APB BPH

A BQP BP BP

∠=∠∠=∠=︒=，

∴△ABP ≌△QBP （AAS ），

∴AP=QP ，AB=BQ ，

又∵AB=BC ，

∴BC=BQ ．

又∠C=∠BQH=90°，BH=BH ，

在△BCH 和△BQH 中，

{90BC BQ

C BQH BH BH

=∠=∠=︒=，

∴△BCH ≌△BQH （SAS ），

∴CH=QH ．

∴△PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．

∴△PDH 的周长是定值．

（3）解：如图3，过F 作FM ⊥AB ，垂足为M ，则FM=BC=AB ．

又∵EF 为折痕，

∴EF ⊥BP ．

∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，

∴∠EFM=∠ABP ．

又∵∠A=∠EMF=90°，

在△EFM 和△BPA 中，

{EFM ABP

EMF A FM AB

∠=∠∠=∠=，

∴△EFM ≌△BPA （AAS ）．

∴EM=AP ．

设AP=x

在Rt △APE 中，（4-BE ）2+x 2=BE 2．

解得BE=2+2

8

x ， ∴CF=BE-EM=2+28

x -x ， ∴BE+CF=24

x -x+4=14（x-2）2+3． 当x=2时，BE+CF 取最小值，

∴AP=2．

考点：几何变换综合题．

2．在图1中，正方形ABCD 的边长为a ，等腰直角三角形FAE 的斜边AE ＝2b ，且边AD 和AE 在同一直线上．

操作示例

当2b ＜a 时，如图1，在BA 上选取点G ，使BG ＝b ，连结FG 和CG ，裁掉△FAG 和△CGB 并分别拼接到△FEH 和△CHD 的位置构成四边形FGCH ．

思考发现

小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG 绕点F 逆时针旋转90°到△FEH 的位置，易知EH 与AD 在同一直线上．连结CH ，由剪拼方法可得DH=BG ，故△CHD ≌△CGB ，从而又可将△CGB 绕点C 顺时针旋转90°到△CHD 的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH （如图1），过点F 作FM ⊥AE 于点M （图略），利用SAS 公理可判断△HFM ≌△CHD ，易得FH=HC=GC=FG ，∠FHC=90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH 是正方形．

实践探究

（1）正方形FGCH 的面积是 ；（用含a ， b 的式子表示）

（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2—图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．

联想拓展

小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．当b＞a时（如图5），能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图5中画出剪拼成的正方形的示意图；若不能，简要说明理由．

【答案】（1）a2+b2；（2）见解析；联想拓展：能剪拼成正方形.见解析．

【解析】分析：实践探究：根据正方形FGCH的面积=BG2+BC2进而得出答案；

应采用类比的方法，注意无论等腰直角三角形的大小如何变化，BG永远等于等腰直角三角形斜边的一半．注意当b=a时，也可直接沿正方形的对角线分割．

详解：实践探究：正方形的面积是：BG2+BC2=a2+b2；

剪拼方法如图2-图4；

联想拓展：能，

剪拼方法如图5（图中BG=DH=b）．

．

点睛：本题考查了几何变换综合，培养学生的推理论证能力和动手操作能力；运用类比方法作图时，应根据范例抓住作图的关键：作的线段的长度与某条线段的比值永远相等，旋转的三角形，连接的点都应是相同的．

3．已知：在菱形ABCD中，E，F是BD上的两点，且AE∥CF．

求证：四边形AECF是菱形．

【答案】见解析

【解析】

【分析】

由菱形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，由“SAS”可证△ADF≌△CDF，可得AF＝CF，由△ABE≌△CDF，可得AE＝CF，由平行四边形的判定和菱形的判定可得四边形AECF是菱形．

【详解】

证明：∵四边形ABCD是菱形

∴AB∥CD，AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，

∵AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，DF＝DF

∴△ADF≌△CDF（SAS）

∴AF＝CF，

∵AB∥CD，AE∥CF

∴∠ABE＝∠CDF，∠AEF＝∠CFE

∴∠AEB＝∠CFD，∠ABE＝∠CDF，AB＝CD

∴△ABE≌△CDF（AAS）

∴AE＝CF，且AE∥CF

∴四边形AECF是平行四边形

又∵AF＝CF，