弹塑性力学习题题库加答案

第二章 应力理论和应变理论

2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。己求得应力解为： σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τ

xy =-dx-ay ；

试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。 解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件：

OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0

代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0

得：b=-γ1；a =0；

OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0

则：cos sin 0

cos sin 0x xy yx

y σβτβτβσβ+=⎧⎨+=⎩………………………………

（a ）

将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx

； σy =cx+dy-γy

代入（a ）式得：

()

()()

1cos sin 0cos sin 0

y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=⎧⎪⎨--+-=⎪⎩

化简（b ）式得：d =γ1ctg 2

β；

化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β

2—17.己知一点处的应力张量为3

1260610010000Pa ⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦

试求该点的最大主应力及其主方向。

解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×

103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得：

(()()

3

1.2333

3

121010

2217.0831******* 6.082810 4.9172410x y

Pa σσσ⎡++⎢=±=⨯⎢⎣⨯=⨯=±⨯=⨯

则显然：

3312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=⨯=⨯=

σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算）

()22612

sin 226

12102

cos 2xy

x y

tg τθθσσθ--⨯-++

=

=

==+=--+

显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376°

题图

1-3

则：θ=+40.268840°16＇ 或（-139°44＇）

2—19.己知应力分量为：σx =σy =σz =τxy =0，τzy =a ，τzx =b ，试计算出主

应力σ1、σ2、σ3并求出σ2的主方向。

解：由2—11题计算结果知该题的三个主应力分别为：

1σ=20σ=

；3σ=

设σ2与三个坐标轴x 、y 、z 的方向余弦为：l 21、l 22、l 23，于是将方向余弦和σ2值代入下式即可求出σ2的主方向来。

()()()()()()

212222323212222323212223221220

1020

3x yx xz xz yx y yz zy zx zy z yx zy l l l l l l l l l l l l l σσττττσσττττσσττ⎧-++==⎪⎪

+-+==⎨⎪++-=+=⎪⎩

以及：()2

2221

22

23

1

4l l l ++=

由（1）（2）得：l 23=0 由（3）得：2122l a l b =-；2221l b l a

=-； 将

以

上

结

果代入

（4

）

式分别得

：

21l =

=

=

；

22l =

=

=

；

2122a

l l b =

-22l ∴==

同理21l = 于是主应力σ2的一组方向余弦为：

（，

2

2

a b

+，0）；

σ

3

的一组方向余弦为（

2

±

）； 2—20.证明下列等式： （1）：J 2=I 2+2113I ； （3）

：()21

2

ii kk ik ik I σσσσ=--； 证

明

（

1

）

：

等

式

的

右

端

为

：

()()22211223311231133I I σσσσσσσσσ+=-+++++

()()2221231223311223311

2223σσσσσσσσσσσσσσσ=+++++-++ ()()()222123122331122331246666σσσσσσσσσσσσσσσ=+++++-++222

12312233126

σσσσσσσσσ⎡⎤=++---⎣⎦

22222211222233331112226σσσσσσσσσσσσ⎡⎤=

-++-++-+⎣⎦()()()222

122331216J σσσσσσ⎡⎤=-+-+-=⎣⎦

故左端=右端 证明（3）：()21

2

ii kk ik ik I σσσσ=-- 右端=

()1

2

ii kk ik ik σσσσ- ()()()222222122x y z xy yz zx x y z x y z σσστττσσσσσσ⎡⎤=+++++-++++⎣⎦ ()()222222222

1222

x y z xy yz zx x y z x y y z z x σσστττσσσσσσσσσ⎡⎤=+++++----++⎣⎦

()222

2x y y z z x xy yz zx I σσσσσστττ=-++---=

2—32：试说明下列应变状态是否可能（式中a 、b 、c 均为常数）

(1):()222

00000ij c x y cxy cxy cy ε⎡⎤

+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

(2): ()()()()222222

2222102

102

11022ij axy ax by ax y az by ax by az by ε⎡⎤+⎢⎥⎢⎥

⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎣⎦

(3): ()22200000ij c x y z cxyz cxyz cy z ε⎡⎤+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 解（1）：由应变张量εij 知：εxz =εyz =εzx =εzy =εz =0 而εx 、εy 、εxy

及

εyx 又都是x 、y 坐标的函数，所以这是一个平面应变问题。 将εx 、εy 、ε

xy

代入二维情况下，应变分量所应满足的变形协调条件知：

22

222y xy

x y x x y

εγε∂∂∂+=

∂∂∂∂ 也即：2c +0=2c 知满足。 所以说，该应变状态是可能的。

解（2）：将己知各应变分量代入空间问题所应满足的变形协调方程得：