newton插值均差与差分

故(5.3.5)式成立。现假设 k = m -1时(5.3.5)已成立，对 k = m 由均差定义及归纳假设有

第五章函数近似计算(插值问题)

的插值方法

5.3 Newton 插值/均值与差分

lagrange 插值多项式作为一种计算方案，公式简洁，做理论分析也方便。其缺点是，当节点 改变时，公式需要重建， 计算量大；如果还要根据精度要求， 选取合适的节点和插值多项式

的次数，则只好逐次计算出 L 1(x), L 2(X )

等，并做误差试算，才可以做到，这当然 是

不理想的。 为次，人们从改进插值多项式的形式入手，给出另一种风格的插值公式，这就是 顿)插值公式。

Newt on 插值公式通过均差和差分的记号来表达。 1.均差的概念及其性质 定义5.3.1设函数

f 在互异节点X 0,X 1

^ 上的值为f(X 0), f(Xj ,等，定义

(3)递推地，f

在

x 0, x 1^ , x k 上的k 阶均差为

f[X °,X 1，上，X k 」]- f[X 1,X 2，上,X k ] f [X °,X 1, ； ,X k ]

-- — --

-

X 。— X k

同时规定

f 在X j 上的零阶均差为

f[X]b f(X i )

性质1 k 阶均差可以表示成

k 1个函数值的线性组合，

即

f (X j )

(5.3.5)

(X j - X-p (X j - X j 4

)(X j - X j.J 上(X j - X k )

证明：用数学归纳法。当 k = 1时由均差定义有

f (X -) - f (xj f(x 。)

f (xj

Newto n(牛

(1)

f 在x , x j 上的1阶均差为 f 在X,X j ,X k 上的2阶均差为

f (Xib f (X j ) X - X j

f[X i ,X j ,X k ]二

f[X 「X j ]- f[X j ,Xj

X 一 X k

k

f [X -,X 1» ,X k ]八

j=0

或记为

"''「(

X j ) (5.3.5b )

f[X o ,xJ 二

X 。一 X 1

f （X 。）

（X 。- N ）（X 。- X 2）上

(X 。- X m

J X 。- X

m

f [X °,X iJ ,X m ]二

f [X °,X i ，上，X mj ] - f [X i ,X 2，上，X m ]

X 。- X

f (X j ) (X j -x °)上(X j - X j 」(X j - XjJ(X j - XmJ 1 X 。一 X m f (X j )

(X j xj 上(X j - X j J(X j - X ji )(X j

X m )

1

X 。- X m

1 1

f(X j )(—— ——)

X j - X 。 X j - X m m 丄 z --------------------------- ---- r ------------- ------------ --------------------------------------------- X

2(X j - Xj(X j - X 2)上(X j - X j 」)(X j - X j1)上

(X j - X m_1) X 。- X m

f (X m ) (X m -呂曲- X 2)上 (X m - X m J 1 X m 一

X 。

m =

j =S f (X ) ________________

(X j - X °)(X j - 儿)上(X j - X j J(X j - X j J 上(X j - X m )

可知（535）成立。

性质2均差对其节点是对称的，即节点按任意顺序排列，其值不变。如 f[X i ,X j ,X m]= f[X j ,X i ,Xj= f[X k ,X j ,X

i]i 这个性质称为对称性。 性质3 如果f [X , x 。，

呂，上,X k ]

是X 的 m

次多项式，则其1阶均差 f [x, x 。，人，

上，X k ,X k 1]是x 的m -1

次多项式，且由此递推可得 n

阶均差为零阶均 差，n • 1阶均差

为零。 证明：按均差定义，f[x, x 。，^

，上，x k ]

的1阶均差为 f[x x x A x

. f[x ,x 。, A ,X k ]- f[X °,X 1* ,XkJ

T [x , x 。X 1…，X k 1]

X-Xc

由假设，上式等号右端分子为

x 的m 次多项式，且当x =x k1时为零，可知分子会有因子

（x - X k勺），它与分母（x - X k J同时约去，则得等号右端为m -1次多项式。

2

由均差的定义可知

f(X)二f (X o) f [x,x°](x - X o)

f[x,x°] = f[X°,X i] f[X,X°,X i](X- X i) f[x,X o,XiP f[x。，冷X2] f[x,X o,X i,x2](^ x2) f[X,X°J ,X n f[X°,X“ ,X」f[X,X o，,Xj（X- X n）

对上述第二式两端乘以（X - xj，第三式两端乘以（X - X o）（^ X,），最后一式两端乘以（X - xj（x - X,）上（X - X n J，然后由后一式的左端代入前一式的右端（第二项），即可得

f（X）二f （X o） f[x°,x,]（x- X。）

f[X o,X i,X2】（X - X°）（X- X,）上

f[X°,X iJ ,x」（x-X o）（X - xj 上（x xj f[X,X o,X」，X」（X - X°）（X- Xj 上（X-X n）

二N n(x) R n(x)

N n(沪fOO + fXMd-X o) + f[X o，x，X2】(x-X o)(x-x)f + f[X o,xA ,X n](x-

X o)(x-x)A(X-X n)(5.3.6)

R n(x)二f[X,X o,X i，上，X n](X- X o)(X- X i)上(X-X n) (537)