【金版新学案】高中数学人教A版必修四练习：模块质量评估试题(含答案解析)

模块质量评估

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知α是第二象限角，sin α＝5

13，则cos α＝( )

A ．－12

13

B ．－513

C.513

D.1213

解析： ∵α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－12

13.

答案： A

2．已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为( ) A ．4 cm 2 B ．6 cm 2 C ．8 cm 2

D ．16 cm 2

解析： 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，l ＝2r .解得⎩

⎪⎨⎪⎧r ＝2，

l ＝4.

所以S ＝1

2lr ＝4(cm 2)．

答案： A

3．已知sin(π＋α)＝4

5，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )

A ．－35

B.35 C ．±35

D.45

解析： 由已知sin α＝－4

5，而α为第四象限角，

所以cos α＝

1－⎝⎛⎭⎫－452

＝35

， 所以cos(α－2π)＝cos α＝3

5.

答案： B

4．已知α是锐角，a ＝⎝⎛⎭⎫34，sin α，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，1

3，且a ∥b ，则α为( ) A ．15° B ．45° C ．75°

D ．15°或75°

解析： ∵a ∥b ，∴sin α²cos α＝34³1

3，

即sin 2α＝1

2

.

又∵α为锐角，∴0°＜2α＜180°. ∴2α＝30°或2α＝150°. 即α＝15°或α＝75°. 答案： D

5．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，若a ＝e 1＋e 2，b ＝－4e 1＋2e 2, 则a 与b 的夹角为( )

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

解析： 依据题意a ·b ＝－3，|a |·|b |＝3³23＝6，cos 〈a ，b 〉＝－12，故a 与b 的夹

角为120°.

答案： C

6．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－3

5，且x 是第三象限角，则1＋tan x 1－tan x 的值为( )

A ．－3

4

B ．－43

C.34

D.43

解析： 因为x 是第三象限角，所以π＋2k π＜x ＜3π2＋2k π，k ∈Z ，所以5π

4＋2k π

＜x ＋π4＜7π4＋2k π，k ∈Z ，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＜0，而cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－3

5，所以sin ⎝⎛⎭

⎫π4＋x ＝

－

1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－4

5，故1＋tan x 1－tan x ＝tan

π4＋tan x

1－tan π4²tan x

＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π

4＋x cos ⎝⎛⎭

⎫π4＋x ＝43，选

D.

答案： D

7．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π

8个单位后，得到一个偶函数的图象，

则φ的一个可能取值为( )

A.3π4

B.π4 C ．0

D ．－π4

解析： y ＝sin(2x ＋φ)――――――→向左平移

π

8个单位 y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭

⎫2x ＋π

4＋φ.

当φ＝3π

4时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ，为奇函数；

当φ＝π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π

2＝cos 2x ，为偶函数；

当φ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π

4，为非奇非偶函数；

当φ＝－π

4时，y ＝sin 2x ，为奇函数．故选B.

答案： B

8．函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )

解析： 当x ＝π

2

时，y ＝1＞0，排除C.

当x ＝－π

2时，y ＝－1，排除B ；或利用y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，图象关于原点对称，

排除B.

当x ＝π时，y ＝－π＜0，排除A.故选D. 答案： D

9．已知|p |＝22，|q |＝3，p ，q 的夹角为π4，如图所示，若AB →＝5p ＋2q ，AC →

＝p －3q ，

D 为BC 的中点，则|AD →

|为( )

A.152

B.

152

C ．7

D ．18

解析： ∵AD →＝12(AC →＋AB →)＝1

2(5p ＋2q ＋p －3q )＝12(6p －q )，

∴|AD →

|＝

|AD →

|2＝12（6p －q ）2

＝1

236p 2－12p ·q ＋q 2 ＝12

36³（22）2－12×22×3×cos

π4＋32＝15

2

. 答案： A

10．给出以下命题：

①若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β； ②若函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ax －π3的最小正周期是4π，则a ＝1

2；

③函数y ＝sin 2x －sin x

sin x －1是奇函数；

④函数y ＝|sin x －1

2|的周期是π；

⑤函数y ＝sin x ＋sin|x |的值域是[0，2]． 其中正确命题的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1

D ．0

解析： 对于①来说，取α＝390°，β＝60°，均为第一象限角，而sin 60°＝

32

，sin 390°＝sin 30°＝12，故sin α＜sin β，故①错误；对于②，由三角函数的最小正周期公式T ＝

2π|a |＝4π，得a ＝±1

2

，故②错误；对于③，该函数的定义域为{x |sin x －1≠0}＝

⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |x ≠π

2＋2k π，k ∈Z ，因定义域不关于原点对称，故没有奇偶性，故③错误；对于④，记

f (x )＝|sin x －1

2|.若T ＝π，则有f ⎝⎛⎭⎫－π2＝f ⎝⎛⎭⎫π2，而f ⎝⎛⎭⎫－π2＝⎪⎪⎪⎪－1－12＝1.5，f ⎝⎛⎭⎫π2＝⎪⎪⎪

⎪1－12＝0.5，显然不相等，故④错误；对于⑤，y ＝sin x ＋sin |x |＝⎩

⎪⎨⎪⎧0 （x ＜0）

2sin x （x ≥0），而当f (x )＝2sin x (x ≥0)

时，－2≤2sin x ≤2，故函数y ＝sin x ＋sin |x |的值域为[－2，2]，故⑤错误；综上可知选D.

答案： D

11．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)的值等于( )