【金版新学案】高中数学人教A版必修四练习：模块质量评估试题(含答案解析)
最新年高中数学 模块综合评价 新人教A版必修4(考试必备)
模块综合评价(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)1．已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝( )A.57B.61 C ．57D ．61解析：由题意可得a·b ＝|a |·|b |cos π3＝3，所以|2a －3b |＝（2a －3b ）2＝4|a |2＋9|b |2－12a·b ＝16＋81－36＝61. 答案：B2．已知角α的终边经过点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值等于( ) A ．－35B ．45C ．25D ．－25解析：因为α的终边过点P (4，－3)， 所以x ＝4，y ＝－3，r ＝|OP |＝5，所以sin α＝y r ＝－35，cos α＝45，所以2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.答案：D3．下列各向量中，与a ＝(3，2)垂直的是( ) A ．(3，－2) B ．(2，3) C ．(－4，6)D ．(－3，2)解析：因为(3，2)·(－4，6)＝3×(－4)＋2×6＝0. 答案：C4．将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位后，得到f (x )的图象，则( )A ．f (x )＝－sin 2xB ．f (x )的图象关于x ＝－π3对称C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫7π3＝12D ．f (x )的图象关于⎝⎛⎭⎪⎫π12，0对称解析：f (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝1，f (x )的图象关于x ＝－π3对称；f ⎝⎛⎭⎪⎫7π3＝cos 16π3＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝cos 5π6≠0，因此选B.答案：B5．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．90°解析：设a ，b 的夹角为θ，由c ⊥a ，c ＝a ＋b ⇒(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0⇒a ·b ＝－1⇒cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12且0°≤θ≤180°⇒θ⇒120°.故选C.答案：C6．函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向右平移7π24个单位后得到函数g (x )的图象，若函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＞－π3上的值域为[－1，2]，则θ等于( )A.π6B.π4C.2π3D.7π12解析：由图象可知，A ＝－2，T ＝π，ω＝2，φ＝π4，所以f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.g (x )＝－2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －7π24＋π4＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，由题意及g (x )的单调性知，g (θ)＝－1，解得θ＝π4＋k π，k ∈Z ，结合题意知θ＝π4.答案：B7．如果点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，那么角θ所在的象限是( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为点P 位于第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θcos θ<0，2cos θ<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos θ<0，sin θ >0，所以θ在第二象限． 答案：B8．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，0)，B (0，1)，点C 在第二象限内，∠AOC ＝5π6，且|OC →|＝2，OC →＝λOA →＋μOB →，则λ，μ的值分别是( )A ．1，1 B.3，1 C ．－3，－1D ．－3，1解析：因为∠AOC ＝5π6，所以〈OA →，OC →〉＝5π6.〈OC →，OB →〉＝5π6－π2＝π3.则OC →＝λOA →＋μOB →＝(λ，μ)，OC →·OA →＝(λ，μ)·(1，0)＝|OC →|·|OA →|cos 5π6，即λ＝2×(－32)＝－3，OC →·OB →＝(λ，μ)·(0，1)＝|OC →||OB →|·cos π3，即μ＝2×12＝1，所以λ＝－3，μ＝1，选D.答案：D9．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，所以2πω＝2，所以ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，所以f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.答案：D10．在△ABC 中，P 是边BC 的中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cAC →＋aPA →＋bPB →＝0，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形但不是等边三角形 解析：如图，由P 是BC 的中点，cAC →＋aPA →＋bPB →＝0，知c (PC →－PA →)＋aPA →－bPC →＝(a －c )·PA →＋(c －b )PC →＝0，而PA →与PC →不共线，所以a －c ＝c －b ＝0， 所以a ＝b ＝c ，故选A. 答案：A11．已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0＜φ＜π)，将函数f (x )的图象向左平移π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12，则φ＝( )A.π6B.π4C.π3D.2π3解析：f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos φ⎝⎛⎭⎪⎫cos 2x －12＝12sin 2x sin φ＋12cos φcos 2x ＝12cos(2x －φ)， 所以g (x )＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－φ. 因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12，所以2×π4＋π6－φ＝2k π(k ∈Z)，即φ＝2π3－2k π(k ∈Z)．因为0＜φ＜π，所以φ＝2π3. 答案：D12．已知向量a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1，2sin α－1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，若a ·b ＝25，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.13B.27C.17D.23解析：由题意，得cos 2α＋sin α(2sin α－1)＝25，解得sin α＝35.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－45，tan α＝－34.则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝－34＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×1＝17.答案：C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________．解析：因为sin 2α＝－sin α，所以2sin αcos α＝－sin α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α≠0，所以cos α＝－12.又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以α＝23π， 所以tan 2α＝tan 43π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝tan π3＝ 3. 答案：314．若函数y ＝sin x (a ≤x ≤b )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的最大值是________．解析：令y ＝12，可得x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋5π6，x 的值为…，－7π6，π6，5π6，13π6，…，两个相邻的x 值相差的最大值为4π3，因为函数y ＝sin x (a ≤x ≤b )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，所以b －a 的最大值是4π3. 答案：4π315．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为________．解析：如图，由条件可知BC →＝AC →－AB →，AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →，所以BC →·AF →＝(AC →－AB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2. 因为△ABC 是边长为1的等边三角形，所以|AC →|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°，所以BC →·AF →＝34－18－12＝18.答案：1816．如图，在同一平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1，1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R)，则m ＋n ＝________．解析：由tan α＝7，得tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－43. 以O 为原点，OA 方向为x 轴正半轴建立坐标系(图略)，则A 点坐标为(1，0)． 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α ＋π4＝－43，OB →的模为1，可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45.由tan α＝7，OC →的模为2，可得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，75.由OC →＝mOA →＋nOB →，代入A ，B ，C 点坐标可得， ⎩⎪⎨⎪⎧m －35n ＝15，45n ＝75，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝54，n ＝74. 所以m ＋n ＝3. 答案：3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a·b ； (2)若a －b 与a 垂直，求θ.解：(1)因为a ∥b ，所以θ＝0°或180°， 所以a·b ＝|a ||b |cos θ＝± 2. (2)因为a －b 与a 垂直，所以(a －b )·a ＝0，即|a |2－a·b ＝1－2cos θ＝0，所以cos θ＝22. 又0°≤θ ≤180°，所以θ＝45°.18．(本小题满分12分)已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，1)， (1)求a －2b ；(2)设a ，b 的夹角为θ，求cos θ的值； (3)若向量a ＋kb 与a －kb 互相垂直，求k 的值．解：(1)a －2b ＝(1，2)－2(－3，1)＝(1＋6，2－2)＝(7，0)．(2)cos θ＝a ·b |a ||b |＝1×（－3）＋2×112＋22·12＋（－3）2＝－210. (3)因为向量a ＋kb 与a －kb 互相垂直， 所以(a ＋kb )·(a －kb )＝0， 即a 2－k 2b 2＝0.因为a 2＝5，b 2＝10， 所以5－10k 2＝0，所以k ＝±22. 19．(本小题满分12分)已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且a ⊥b .(1)求tan α的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π3的值．解：(1)因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0.而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)， 故a ·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0， 由于cos α≠0，所以6tan 2α＋5tan α－4＝0. 解得tan α＝－43或tan α＝12.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以tan α＜0， 所以tan α＝－43.(2)因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π.由tan α＝－43，得tan α2＝－12或tan α2＝2(舍去)．所以sin α2＝55，cos α2＝－255，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π3＝cos α2cos π3－sin α2·sin π3＝－255×12－55×32＝－25＋1510. 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．解：(1)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z)，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z)，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z)．(2)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上为减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π4＝－2cos π4＝－1， 所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2. 21．(本小题满分12分)(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)若m ⊥n ，则m·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0，所以tan x ＝1.(2)因为m 与n 的夹角为π3，所以m·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4， 所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的一系列对应值如下表：(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)的最小正周期为2π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，方程f (kx )＝m 恰好有两个不同的解，求实数m 的取值范围．解：(1)设f (x )的最小正周期为T ，则T ＝11π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2π，由T ＝2πω，得ω＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝1. 令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋1.(2)因为函数y ＝f (kx )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3＋1的最小正周期为2π3，又k ＞0，所以k ＝3，令t ＝3x －π3，11 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， 若sin t ＝s 在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上有两个不同的解，则s ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1， 所以方程f (kx )＝m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上恰好有两个不同的解，则m ∈[3＋1，3)， 即实数m 的取值范围是[3＋1，3)．。
高中数学人教A版必修四模块综合检测(C) pdf版含答案
图象重合，则 ω 的最小值为( )
1
1
1
1
A.6
B.4
C.3
D.2
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13．已知 α、β 为锐角，且 a＝(sin α，cos β)，b＝(cos α，sin β)，当 a∥b 时，
α＋β＝________.
cos2α＋
3．A [∵|a|＝
4＝ 2 ，∴cos2α＝4.∴cos 2α＝2cos2α－1＝－2.]
4．B [∵|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12.
∴|a＋2b|＝2 3.]
5．D [tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°
2
π
π
14．已知 cos4α－sin4α＝3，α∈(0，2)，则 cos(2α＋3)＝________.
15．若向量A→B＝(3，－1)，n＝(2,1)，且
n·A→C＝7，那么
B→C n· ＝________.
π
4
θ
16．若 θ∈[0，2]，且 sin θ＝5，则 tan 2＝________.
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)
20．(12 分)已知 x∈R，向量O→A＝(acos2x,1)，O→B＝(2， 3asin 2x－a)，f(x)＝O→A·O→B，a≠0. (1)求函数 f(x)的解析式，并求当 a>0 时，f(x)的单调增区间；
π (2)当 x∈[0，2]时，f(x)的最大值为 5，求 a 的值．
【金版学案】2020学年高中数学 模块综合检测试题 新人教A版必修4
【金版学案】2020学年高中数学 模块综合检测试题 新人教A版必修4(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，则下列结论中正确的是( )A ．|a|＝|b|B ．a·b＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解析：a －b ＝⎝⎛⎭⎪⎫12，－12，(a －b)·b＝0，所以a －b 与b 垂直．故选C. 答案：C2．点P 从()1，0出发，沿单位圆逆时针方向运动4π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12解析：由三角函数的定义知，Q 点的坐标为⎝ ⎛ cos 4π3，⎭⎪⎫sin4π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.故选C.答案：C3．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)( 其中A>0，ω＞0，|φ|<π2)的图象如图所示，则f(0)＝( )A ．1 B.12 C.22 D.32解析：由图象知A ＝1，T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，∴ω＝2，把⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－1代入函数式中，可得φ＝π3，∴f(x)＝Asin(ωx＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f(0)＝sin π3＝32.故选D. 答案：D4．(2020·山东卷)将函数y ＝sin( 2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π4解析：利用平移规律求得解析式，验证得出答案．y ＝sin(2x ＋φ)−−−−−−−→向左平移π个单位8 Y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ.当φ＝3π4时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ，为奇函数； 当φ＝π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，为偶函数；当φ＝0时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，为非奇非偶函数；当φ＝－π4时，y ＝sin 2x ，为奇函数．故选B. 答案：B5．已知sin(π＋α)＝45且α是第三象限的角，则cos(2π－α)的值是( )A ．－45B ．－35C ．±45 D.35解析：sin(π＋α)＝45⇒sin α＝－45，又∵α是第三象限的角，∴cos(2π－α)＝cos α＝－35.故选B.答案：B6．为了得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝2sin x ，x ∈R的图象上所有的点( )A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)B ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) C ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)D ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)解析：f(x)＝2sin x 向左平移π6得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝g(x)，把g(x)图象横坐标伸长到原来的3倍得g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋π6.故选B.答案：B7．已知向量a ，b ，c 满足|a|＝1，|b|＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．90°解析：c ⊥a ，c ＝a ＋b ⇒(a ＋b)·a＝a2＋a·b＝0⇒ a·b＝－1⇒cos a ，b＝a·b ||a ||b ＝－12 ⇒a ，b＝120°.故选C.答案：C8．函数f(x)＝sin x －12，x ∈(0,2π)的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π3解析：如下图所示，∵sin x≥12，∴π6≤x≤5π6.故选B. 答案：B9.(2020·湖北卷)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)．D(3,4)，则向量A B →在C D →方向上的投影为( )A.322B.3152 C ．－322 D ．－3152解析：首先求出AB →，AC →的坐标，然后根据投影的定义进行计算．由已知得AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，因此AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.故选A.答案：A10．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，cos α＝－45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于( )A ．7 B.17 C ．－17 D ．－7解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，cos α＝－45，所以sin α<0，即sin α＝－35，tan α＝34.所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝1－341＋34＝17，故选B.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 11．已知向量m ＝(1,3)，n ＝(2a,1－a)，若m ⊥n ，则a ＝________.解析：m ＝(1,3)，n ＝(2a,1－a)， m·n＝2a ＋3－3a ＝3－a ＝0， ∴a ＝3. 答案：312．已知函数f(x)＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，则f(x)的最小值为________．解析：f(x)＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，∵π4≤x≤π2， ∴π6≤2x－π3≤2π3， ∴12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.∴1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤2，∴1≤f(x)≤2， ∴f(x)的最小值为1. 答案：113．(2020·汕头一模)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝12，则tan 2α＝________.答案：－ 314．已知函数f(x)＝sin ωx，g(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，有下列命题： ①当ω＝2时，f(x)g(x)的最小正周期是π2； ②当ω＝1时，f(x)＋g(x)的最大值为98；③当ω＝2时，将函数f(x)的图象向左平移π2可以得到函数g(x)的图象． 其中正确命题的序号是______________(把你认为正确的命题的序号都填上)．解析：①ω＝2时，f(x)g(x)＝sin 2x·cos 2x＝12sin 4x ，周期T ＝2π4＝π2.故①正确． ②ω＝1时，f(x)＋g(x)＝sin x ＋cos 2x ＝sin x ＋1－2sin2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －142＋98， ∴当sin x ＝14时，f(x)＋g(x)取最大值98.故②正确．③ω＝2时，将函数f(x)的图象向左平移π2得到 sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin 2x ，故③不正确．答案：①②三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，A(1，－2)，B(－3，－4)，O 为坐标原点．(1)求OA →·OB →；解析：OA →·OB →＝1×(－3)＋(－2)×(－4)＝5.(2)若点P 在直线AB 上，且OP →⊥AB →，求OP →的坐标．解析：设P(m ，n)，∵P 在AB 上， ∴BA →与PA →共线．BA →＝(4,2)，PA →＝(1－m ，－2－n)， ∴4·(－2－n)－2(1－m)＝0.即2n －m ＋5＝0. ① 又∵OP →⊥AB →，∴(m ，n)·(－4，－2)＝0.∴2m ＋n ＝0. ② 由①②解得m ＝1，n ＝－2， ∴OP →＝(1，－2)．16.(本小题满分12分)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13.(1)求tan α的值；解析：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝13，∴tan α＝－12.(2)求2sin2α－sin(π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α的值．解析：原式＝2sin2α－sin αcos α＋cos2α＝2sin2α－sin αcos α＋cos2αsin2α＋cos2α＝2tan2α－tan α＋1tan2α＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋1＝85.17．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x.(1)求函数f(x)的单调增区间；解析：f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x ＝2sin xcos π6＋2cos xsin π6－2cos x ＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6. 由－π2＋2kπ≤x－π6≤π2＋2kπ ，k ∈Z ， 得－π3＋2kπ≤x≤23π＋2kπ，k ∈Z ，所以f(x)的单调增区间为－π3＋2kπ，23π＋2kπ(k∈Z)．(2)若f(x)＝65，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的值．解析：由(1)知f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝35. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1－2sin2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝725.18．(2020·安徽卷)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝4cos ωx·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx＋π4(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；解析：f(x )＝22cos ωx(sin ωx＋cos ωx)＝2(sin 2ωx＋cos 2ωx＋1)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx＋π4＋ 2. 由2π2ω＝π⇒ω＝1.(2)讨论f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性． 解析：f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π＋π4， 令2x ＋π4＝π2，解得x ＝π8. ∴y ＝f(x)在 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π8上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上单调递减．19.(2020·广州一模)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝sin x ＋αcos x 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0.(1)求实数a 的值；解析：∵函数f(x)＝sin x ＋αcos x 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0. 即－32＋a 2＝0.解得a ＝ 3.(2)设g(x)＝[f(x)]2－2，求函数g(x)的最小正周期与单调递增区间．解析：由(1)得，f(x)＝sin x ＋3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin xcos π3＋cos xsin π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3， ∴函数f(x)的最小正周期为2π.∵函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ－π2，2kπ＋π2(k ∈Z)， ∴当2kπ－π2≤x＋π3≤2kπ＋π2(k ∈Z)时，函数f(x)单调递增， 即2kπ－5π6≤x≤2kπ＋π6(k ∈Z)时，函数f(x)单调递增． ∴函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ－5π6，2kπ＋π6(k ∈Z)．20．(本小题满分14分)已知向量m ＝(sin x ，－cos x)，n ＝(cos θ，－sin θ)，其中0<θ<π.函数f(x)＝m·n 在x ＝π处取最小值．(1)求θ的值；解析：∵f(x)＝m·n＝sin xcos θ＋cos xsin θ＝sin(x ＋θ)，又∵函数f(x)在x ＝π处取最小值，∴sin(π＋θ)＝－1, 即sin θ＝1.又0<θ<π，∴θ＝π2.(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若sin B ＝2sin A ，f(C)＝12，求A.解析：由(1)得，f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x. ∵f(C)＝12， ∴cos C ＝12， ∵0<C<π，∴C ＝π3. ∵A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝2π3－A ， 代入sin B ＝2sin A 中，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝2sin A ， ∴sin 2π3cosA －cos 2π3sin A ＝2sin A ， ∴tan A ＝33，π6.∵0<A<π，∴A＝。
人教A版数学必修四习题：模块评估检测 含答案
模块评估检测(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知α是第二象限角,sin α=,则cos α=( A )A.-B.-C.D.2.(2018·日照高一检测)已知sin=,则cos2的值为( D )A. B. C. D.3.(2018·三明高一检测)已知向量a=(1,2),b=(-2,t),且a∥b,则|a+b|= ( B )A. B. C. D.54.sin 18°sin78°-cos 162°cos78°=( A )A. B.- C. D.-5.已知角θ的始边与x轴非负半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ=( D )A.-B.C.D.-6.已知=-2,则t a n x的值为( A )A. B.- C. D.-7.已知点P落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为( C )A. B. C. D.8.已知函数f(x)=sin(ω>0),f=f,且f(x)在区间上有最小值,无最大值,则ω的值为( C )A. B. C. D.9.(2018·广州高一检测)已知向量与的夹角为120°,且=2,=3,若=λ+,且⊥,则实数λ的值为( D )A. B.13 C.6 D.10.已知a=,b=(4,4cos α-),若a⊥b,则sin等于( A )A.-B.-C.D.11.已知角α的终边过点P(-8m,-6sin 30°),且cos α=-,则实数m 的值为( A )A. B.± C.- D.12.(2018·江西九校联考)已知锐角α,β满足sin α-cos α=,t a n α+t a n β+t a n αt a n β=,则α,β的大小关系是( B )A.α<<βB.β<<αC.<α<βD.<β<α二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.已知某扇形所在圆的半径为R,且该扇形的面积为R2,那么这个扇形的圆心角的弧度数α(0<α<2π)是2.14.已知向量a=(cos 5°,sin5°),b=(cos 65°,sin65°),则|a+2b|=.15.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,AB=,BC=2,点E为AB的中点,若·=-2,则向量在向量上的投影为-.16.已知函数f(x)是R上的奇函数,当x>0时,f(x)=(-<α<),若对实数x∈R,都有f(x-3)≤f(x)恒成立,则实数α的取值范围是.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知0<α<π,t a n α=-2.(1)求cos α的值.(2)求2sin2α-sin αcosα+cos2α的值.【解析】(1)因为0<α<π,t a n α=-2,可得=-2,所以α为钝角且cos α<0.再由sin2α+cos2α=1,<α<π,所以cos α=-.(2)原式===.18.(本小题满分12分)设a,b,满足|a|=|b|=1,及|3a-2b|=.(1)求a与b的夹角.(2)求|3a+b|的值.【解析】(1)将|3a-2b|=平方得9a2-12a·b+4b2=7,所以a·b=,设a与b的夹角为θ.因为θ∈[0,π],a·b=|a||b|·cos θ=,所以θ=.(2)|3a+b|==.19.(本小题满分12分)已知t a n α=2,t a n β=-,其中0<α<,<β<π.求:(1)t a n(α-β)的值.(2)α+β的值.【解析】(1)因为t a n α=2,t a n β=-,所以t a n(α-β)===7.(2)因为t a n(α+β)===1,且0<α<,<β<π,所以<α+β<.所以α+β=.20.(本小题满分12分)已知函数y=f(x)=2sin ωx·cosωx+2b cos2ωx-b(其中b>0,ω>0)的最大值为2,直线x=x1、x=x2是y=f(x)图象的任意两条对称轴,且|x1-x2|的最小值为.(1)求b,ω的值.(2)若f(α)=,求sin的值.【解析】(1)因为f(x)=sin 2ωx+b cos 2ωx.所以f(x)m a x==2.因为b>0,所以b=.所以f(x)=sin 2ωx+cos 2ωx=2sin,所以T=π=.所以ω=1.所以f(x)=2sin.(2)因为f(α)=2sin=.所以sin=.又因为cos=1-2sin2=.所以sin=sin=-cos=-.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2cos+2sin.(1)求函数f(x)的单调减区间.(2)求函数f(x)的最大值并求f(x)取得最大值时的x的取值集合.(3)若f(x)=,求cos的值.【解析】f(x)=2cos xcos+2sin xsin-2cos x=cos x+sin x-2cos x=sin x-cos x=2sin.(1)令2kπ+≤x-≤2kπ+π(k∈Z),所以2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),所以单调递减区间为(k∈Z). (2)f(x)取最大值2时,x-=2kπ+(k∈Z),则x=2kπ+(k∈Z).所以f(x)的最大值是2,取得最大值时的x的取值集合是.(3)f(x)=,即2sin=,所以sin=.所以cos=1-2sin2=1-2×=.22.(本小题满分12分)已知a=(sin x,cos x),b=(cos x,cos x).(1)若a·b=1,且x∈,求x的值.(2)设f(x)=a·b,x∈,若方程f(x)=m恰有两个不同的解,求实数m的取值范围.【解析】(1)因为a·b=1,所以sin x·cos x+cos2x=1,即sin 2x+cos 2x=,所以sin=,因为-≤x≤,所以-≤2x+≤,所以2x+=,所以x=0.(2)f(x)=a·b=sin+,当x∈时,2x+∈,结合函数y=m的图象可看出,如果有两个交点,则实数m的取值范围是.关闭Word文档返回原板块。
人教A版高中数学必修四新人教课后强化训练含详解模块综合能力检测题
模块综合能力检测题本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(09·全国Ⅰ文)已知tan α＝4，tan β＝3，则tan (α＋β)＝( ) A.711 B ．－711 C.713 D ．－713 [答案] B[解析] ∵tan β＝3，tan α＝4，∴tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝4＋31－4×3＝－711.2．(09 广东文)函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数[答案] A[解析] 因为y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 为奇函数，T ＝2π2＝π，所以选A . 3．(09·山东文)将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝2cos 2xB ．y ＝2sin 2xC ．y ＝1－sin (2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x[答案] A4．(09·浙江文)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A ．(79，73)B ．(－73，－79)C ．(73，79)D ．(－79，－73)[答案] D[解析] 设c ＝(m ，n )，∵c ＋a ＝(m ＋1，n ＋2)，a ＋b ＝(3，－1)， ∴由(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )得：⎩⎪⎨⎪⎧－3(m ＋1)－2(n ＋2)＝03m －n ＝0，解得m ＝－79，n ＝－73.故选D.5．函数y ＝cos x ·|tan x |⎝⎛⎭⎫－π2<x <π2的大致图象是( )[答案] C[解析] ∵y ＝cos x ·|tan x |＝⎩⎨⎧－sin x ⎝⎛⎭⎫－π2<x <0sin x ⎝⎛⎭⎫0≤x <π2，故选C.6．在△ABC 中，sin A ＝35，cos B ＝513，则cos C 的值为( )A ．－5665B ．－1665C.1665D.5665 [答案] C[解析] ∵cos B ＝513，∴sin B ＝1213，∵sin B >sin A ，A 、B 为△ABC 的内角， ∴B >A ，∴A 为锐角， ∵sin A ＝35，cos A ＝45，∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－45×513＋35×1213＝1665.7．已知a ＝(1,3)，b ＝(2＋λ，1)，且a 与b 成锐角，则实数λ的取值范围是( ) A ．λ>－5 B ．λ>－5且λ≠－53C ．λ<－5D ．λ<1且λ≠－53[答案] B[解析] ∵a 与b 夹角为锐角，∴a ·b ＝2＋λ＋3>0，∴λ>－5， 当a 与b 同向时，存在正数k ，使b ＝k a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋λ＝k 1＝3k，∴⎩⎨⎧k ＝13λ＝－53，因此λ>－5且λ≠－53.8．(09·陕西理)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( )A.103B.53C.23 D ．－2 [答案] A[解析] ∵3sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－13，∴原式＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝tan 2α＋11＋2tan α＝19＋11－23＝103，故选A.9．若sin 4θ＋cos 4θ＝1，则sin θ＋cos θ的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 [答案] D[解析] 解法一：由sin 4θ＋cos 4θ＝1知⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝0cos θ＝±1或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝±1cos θ＝0， ∴sin θ＋cos θ＝±1.解法二：∵sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2sin 2θcos 2θ＝1， ∴sin 2θcos 2θ＝0，∴sin θcos θ＝0， ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝1， ∴sin θ＋cos θ＝±1.10．a 与b 的夹角为120°，|a |＝2，|b |＝5，则(2a －b )·a ＝( ) A ．3 B ．9 C ．12 D ．13 [答案] D[解析] a ·b ＝2×5×cos120°＝－5， ∴(2a －b )·a ＝2|a |2－a ·b ＝8－(－5)＝13.11．设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，若A 、B 、D 三点共线，则k 的值为( )A ．－94B ．－49C ．－38D ．不存在 [答案] A[解析] BD →＝BC →＋CD →＝(－k e 1－e 2)＋(3e 1－2k e 2) ＝(3－k )e 1－(1＋2k )e 2， ∵A 、B 、D 共线，∴AB →∥BD →， ∴3－k 3＝－1－2k 2，∴k ＝－94. 12．(09·宁夏、海南理)已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，且P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心 外心 垂心B ．重心 外心 内心C ．外心 重心 垂心D ．外心 重心 内心(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心) [答案] C[解析] ∵O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|， ∴O 是△ABC 外接圆的圆心，由NA →＋NB →＋NC →＝0，得N 是△ABC 的重心； 由P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →得 PB →·(P A →－PC →)＝PB →·CA →＝0，∴PB ⊥CA ，同理可证PC ⊥AB ，P A ⊥BC ， ∴P 为△ABC 的垂心．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是________． [答案] 1－ 2[解析] y ＝2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∵x ∈R ，∴y min ＝1－ 2.14．在▱ABCD 中，M 、N 分别是DC 、BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，用c 、d 表示AB →＝________. [答案] 43d －23c[解析] d ＝AB →＋BN →＝AB →＋12AD →① c ＝AD →＋DM →＝AD →＋12AB →②解①②组成的方程组得AD →＝43c －23d ，AB →＝43d －23c .15．已知点P (sin α＋cos α，tan α)在第二象限，则角α的取值范围是________． [答案] 2k π－π4<α<2k π或2k π＋π2<α<2k π＋3π4k ∈Z[解析] ∵点P 在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α>0tan α<0，如图可知，α的取值范围是2k π－π4<α<2k π或2k π＋π2<α<2k π＋3π4k ∈Z .16．如图所示，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝________.[答案] c ＋a －b[解析] OD →＝OC →＋CD →＝OC →＋BA →＝OC →＋(OA →－OB →)＝c ＋a －b .三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(09·湖南文)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．[解析] (1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ， 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5. 从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4， 即sin2θ＋cos2θ＝－1， 于是sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝－22. 又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4，或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2，或θ＝3π4.18．(本题满分12分)(09·重庆文)设函数f (x )＝(sin ωx ＋cos ωx )2＋2cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值；(2)若函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象向右平移π2个单位长度得到，求y ＝g (x )的单调增区间．[解析] (1)f (x )＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋2sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx ＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋2 ＝2sin(2ωx ＋π4)＋2，依题意得2π2ω＝2π3，故ω＝32.(2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＋2， 依题意得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π2＋π4＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －5π4＋2， 由2k π－π2≤3x －5π4≤2k π＋π2 (k ∈Z )解得23k π＋π4≤x ≤23k π＋7π12(k ∈Z )， 故g (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤23k π＋π4，23k π＋7π12 (k ∈Z )． 19．(本题满分12分)(09·陕西文)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，⎝⎛⎭⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的周期为π，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12时，求f (x )的最值． [解析] (1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2得A ＝2， 由T ＝π得ω＝2πT ＝2ππ＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)．由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－2 即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1， ∴4π3＋φ＝2k π－π2即φ＝2k π－11π6，k ∈Z ，又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴k ＝1，∴φ＝π6， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，π3， ∴当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )取得最大值 3.20．(本题满分12分)(北京通州市09～10高一期末)已知向量a ＝(3cos ωx ，sin ωx )，b ＝sin(ωx,0)，且ω>0，设函数f (x )＝(a ＋b )·b ＋k ，(1)若f (x )的图象中相邻两条对称轴间距离不小于π2，求ω的取值范围；(2)若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈－π6，π6时，f (x )的最大值为2，求k 的值．[解析] ∵a ＝(3cos ωx ，sin ωx )，b ＝(sin ωx,0)， ∴a ＋b ＝(3cos ωx ＋sin ωx ，sin ωx )．∴f (x )＝(a ＋b )·b ＋k ＝3sin ωx cos ωx ＋sin 2ωx ＋k ＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＋k ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋12＋k . (1)由题意可得：T 2＝2π2×2ω≥π2.∴ω≤1，又ω>0， ∴ω的取值范围是0<ω≤1. (2)∵T ＝π，∴ω＝1. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12＋k ∵－π6≤x ≤π6，∴－π2≤2x －π6≤π6.∴当2x －π6＝π6，即x ＝π6时，f (x )取得最大值f ⎝⎛⎭⎫π6＝2. ∴sin π6＋12＋k ＝2.∴k ＝1.21．(本题满分12分)(09·江苏文)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β) (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .[解析] (1)∵a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)， c ＝(cos β，－4sin β)∵a 与b －2c 垂直，∴a ·(b －2c )＝a ·b －2a ·c ＝4cos αsin β＋4sin αcos β－2(4cos αcos β－4sin αsin β) ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，∴tan(α＋β)＝2. (2)∵b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)∴|b ＋c |2＝sin 2β＋2sin βcos β＋cos 2β＋16cos 2β－32cos βsin β＋16sin 2β＝17－30sin βcos β＝17－15sin2β， 当sin2β＝－1时，最大值为32， ∴|b ＋c |的最大值为4 2.(3)由tan αtan β＝16得sin αsin β＝16cos αcos β 即4cos α·4cos β－sin αsin β＝0，∴a ∥b .22．(本题满分14分)(09·福建文)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，|φ|<π2.(1)若cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，若函数f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f (x )的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数．[解析] 解法一：(1)由cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0得cos π4cos φ－sin π4sin φ＝0，即cos ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝0. 又|φ|<π2，∴φ＝π4；(2)由(1)得，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4. 依题意，T 2＝π3.又T ＝2πω，故ω＝3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. 函数f (x )的图象向左平移m 个单位后，所得图象对应的函数为g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤3(x ＋m )＋π4， g (x )是偶函数当且仅当3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝k π3＋π12(k ∈Z )．从而，最小正实数m ＝π12.解法二：(1)同解法一． (2)由(1)得，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4. 依题意，T 2＝π3.又T ＝2πω，故ω＝3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. 函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所得图象对应的函数为g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤3(x ＋m )＋π4. g (x )是偶函数当且仅当g (－x )＝g (x )对x ∈R 恒成立，亦即sin ⎝⎛⎭⎫－3x ＋3m ＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋3m ＋π4对x ∈R 恒成立． ∴sin(－3x )cos ⎝⎛⎭⎫3m ＋π4＋cos(－3x )sin ⎝⎛⎭⎫3m ＋π4 ＝sin3x cos ⎝⎛⎭⎫3m ＋π4＋cos3x sin ⎝⎛⎭⎫3m ＋π4， 即2sin3x cos ⎝⎛⎭⎫3m ＋π4＝0对x ∈R 恒成立． ∴cos ⎝⎛⎭⎫3m ＋π4＝0， 故3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴m ＝k π3＋π12(k ∈Z )， 从而，最小正实数m ＝π12.。
高中数学 模块综合检测(B)(含解析)新人教A版必修4(2021年整理)
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模块综合检测（B)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知sin α＝错误!，则cos 2α的值为( )A．－错误! B．－错误! C.错误! D。
错误!2．已知向量a＝（1,2）,b＝(x,－4），若a∥b，则a·b等于( )A．－10 B．－6 C．0 D．63．设cos（α＋π)＝错误!（π<α〈错误!)，那么sin(2π－α)的值为（）A.错误! B。
错误! C．－错误! D．－错误!4．已知tan(α＋β）＝3，tan（α－β)＝5，则tan 2α的值为( ）A．－错误! B.错误! C。
错误! D．－错误!5．下列函数中,最小正周期为π,且图象关于直线x＝错误!对称的是（）A．y＝sin错误!B．y＝sin错误!C．y＝sin错误! D．y＝sin错误!6．若cos α＝－错误!，α是第三象限的角，则sin(α＋错误!）等于（)A．－错误! B。
错误! C．－错误! D。
错误!7．若向量a＝(1,x），b＝(2x＋3，－x)互相垂直，其中x∈R，则|a－b|等于（）A．－2或0 B．2错误!C．2或2 5 D．2或108．函数f（x）＝sin2错误!－sin2错误!是（）A．周期为π的偶函数 B．周期为π的奇函数C．周期为2π的偶函数 D．周期为2π的奇函数9．把函数f（x)＝sin错误!的图象向右平移错误!个单位可以得到函数g（x)的图象,则g错误!等于（）A．－错误! B.错误! C．－1 D．110．已知向量a＝(1，0)，b＝(cos θ，sin θ),θ∈［－错误!，错误!］，则|a＋b｜的取值范围是（)A．[0，2］ B．［0,2）C．[1，2] D．［错误!,2］11．已知|a｜＝2｜b｜≠0，且关于x的方程x2＋｜a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是( ）A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!12．函数f(x）＝3cos(3x－θ）－sin（3x－θ)是奇函数，则tan θ等于( )A。
高中数学人教A版必修四模块综合检测(A) Word版含答案.docx
模块综合检测(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A 等于( )A.1213B.513C ．－513D ．－12132．已知向量a ＝(2,1)，a ＋b ＝(1，k )，若a ⊥b ，则实数k 等于( ) A.12B ．－2C ．－7D ．3 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于( ) A ．－16B ．－8C ．8D ．164．已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin αcos α等于( )A.25B ．－25 C.25或－25D ．－155．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为( )A ．y ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4B ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4C ．y ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4D ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4 6．若|a |＝2cos 15°，|b |＝4sin 15°，a ，b 的夹角为30°，则a ·b 等于( )A.32B.3C ．23D.127．为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位8．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13C ．－13D ．－239．若2α＋β＝π，则y ＝cos β－6sin α的最大值和最小值分别是( )A ．7,5B ．7，－112C ．5，－112D ．7，－510．已知向量a ＝(sin(α＋π6)，1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α＋4π3)等于( )A ．－34B ．－14C.34D.1411．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( ) A ．4B ．6C ．8D ．1212．已知向量OB →＝(2,0)，OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则OA →与OB →夹角的范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π4B.⎣⎡⎦⎤π4，5π12C.⎣⎡⎦⎤π12，5π12D.⎣⎡⎦⎤5π12，π2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．sin2010°＝________.14．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ(θ为锐角)，且a ∥b ，则tan θ＝________.15．已知A (1,2)，B (3,4)，C (－2,2)，D (－3,5)，则向量AB →在CD →上的投影为________．16．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ≤π2)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点(2，－12)，则函数f (x )＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知向量a ＝(sin x ，32)，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a ∥b 时，求2cos 2x －sin2x 的值；(2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在[－π2，0]上的最大值．18．(12分)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)． (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .19．(12分)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，π2)．(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0<φ<π2，求cos φ的值．20．(12分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π16]上的最小值．21．(12分)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x ).(1)求f (－1112π)的值；(2)当x ∈[0，π4)时，求g (x )＝12f (x )＋sin2x 的最大值和最小值．22．(12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255. (1)求cos(α－β)的值；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－513，求sin α.模块综合检测(A)答案1．D [∵cos 2A ＋sin 2A ＝1，且sin A cos A ＝－512，∴cos 2A ＋(－512cos A )2＝1且cos A <0，解得cos A ＝－1213.]2．D [∵a ＝(2,1)，a ＋b ＝(1，k )．∴b ＝(a ＋b )－a ＝(1，k )－(2,1)＝(－1，k －1)． ∵a ⊥b .∴a ·b ＝－2＋k －1＝0 ∴k ＝3.]3．D [AB →·AC →＝(AC →＋CB →)·AC →＝AC →2＋CB →·AC →＝AC →2＋0＝16.]4．B [∵sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)∴sin α＝－2cos α.∴tan α＝－2.∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－2(－2)2＋1＝－25.] 5．A [由图可知，A ＝4，且⎩⎪⎨⎪⎧6ω＋φ＝0，－2ω＋φ＝－π，解得⎩⎨⎧ω＝π8φ＝－34π.∴y ＝4sin(π8x －3π4)＝－4sin(π8x ＋π4)．]6．B [由cos30°＝a ·b|a ||b |得32＝a ·b 2cos15°·4sin15°＝a ·b 4sin30° ∴a ·b ＝3，故选B.]7．C [y ＝cos(x ＋π3)＝sin(x ＋π3＋π2)＝sin(x ＋5π6)，∴只需将函数y ＝sin x 的图象向左平移5π6个长度单位，即可得函数y ＝cos(x ＋π3)的图象．]8．A [由于AD →＝2DB →，得CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，结合CD →＝13CA →＋λCB →，知λ＝23.]9．D [∵β＝π－2α，∴y ＝cos(π－2α)－6sin α ＝－cos 2α－6sin α＝2sin 2α－1－6sin α＝2sin 2α－6sin α－1＝2⎝⎛⎭⎫sin α－322－112当sin α＝1时，y min ＝－5；当sin α＝－1时，y max ＝7.]10．B [a ·b ＝4sin(α＋π6)＋4cos α－3＝23sin α＋6cos α－3＝43sin(α＋π3)－3＝0，∴sin(α＋π3)＝14.∴sin(α＋4π3)＝－sin(α＋π3)＝－14，故选B.]11．B [将f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位，若与原图象重合，则π2为函数f (x )的周期的整数倍，不妨设π2＝k ·2πω(k ∈Z )，得ω＝4k ，即ω为4的倍数，故选项B 不可能．]12．C [建立如图所示的直角坐标系． ∵OC →＝(2,2)，OB →＝(2,0)， CA →＝(2cos α，2sin α)，∴点A 的轨迹是以C (2,2)为圆心，2为半径的圆．过原点O 作此圆的切线，切点分别为M ，N ，连结CM 、CN ，如图所示，则向量OA →与OB →的夹角范围是∠MOB ≤〈OA →，OB →〉≤∠NOB . ∵|OC →|＝22，∴|CM →|＝|CN →|＝12|OC →|，知∠COM ＝∠CON ＝π6，但∠COB ＝π4.∴∠MOB ＝π12，∠NOB ＝5π12，故π12≤〈OA →，OB →〉≤5π12.]13．－12解析 sin2010°＝sin(5×360°＋210°)＝sin210°＝sin(180°＋30°)＝－sin30°＝－12.14．1解析 ∵a ∥b ，∴(1－sin θ)(1＋sin θ)－12＝0.∴cos 2θ＝12，∵θ为锐角，∴cos θ＝22，∴θ＝π4，∴tan θ＝1.15.2105解析 AB →＝(2,2)，CD →＝(－1,3)．∴AB →在CD →上的投影|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝2×(－1)＋2×3(－1)2＋32＝410＝2105. 16．sin(πx 2＋π6)解析 据已知两个相邻最高及最低点距离为22，可得(T2)2＋(1＋1)2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin(πx 2＋φ)，又函数图象过点(2，－12)，故f (x )＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin(πx 2＋π6)． 17．解 (1)∵a ∥b ，∴32cos x ＋sin x ＝0，∴tan x ＝－32，2cos 2x －sin2x ＝2cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2－2tan x 1＋tan 2x ＝2013.(2)f (x )＝(a ＋b )·b ＝22sin(2x ＋π4)．∵－π2≤x ≤0，∴－3π4≤2x ＋π4≤π4，∴－1≤sin(2x ＋π4)≤22，∴－22≤f (x )≤12，∴f (x )max ＝12.18．(1)解 因为a 与b －2c 垂直，所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0， 因此tan(α＋β)＝2.(2)解 由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得|b ＋c |＝(sin β＋cos β)2＋(4cos β－4sin β)2＝17－15sin2β≤4 2.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)证明 由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β，所以a ∥b .19．解 (1)∵a ·b ＝0，∴a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ.又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，∴sin 2θ＝45.又θ∈(0，π2)，∴sin θ＝255，cos θ＝55.(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝5cos φ＋25sin φ＝35cos φ， ∴cos φ＝sin φ.∴cos 2φ＝sin 2φ＝1－cos 2φ，即cos 2φ＝12.又∵0<φ<π2，∴cos φ＝22.20．解 (1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx .所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx 2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋12. 由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， 所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋12. 当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g (x )≤1＋22.故g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π16上的最小值为1. 21．解 (1)f (x )＝(1＋cos2x )2－2cos2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x )＝cos 22x sin (π4＋x )cos (π4＋x )＝2cos 22xsin (π2＋2x )＝2cos 22x cos2x ＝2cos2x ， ∴f (－11π12)＝2cos(－11π6)＝2cos π6＝ 3.(2)g (x )＝cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)．∵x ∈[0，π4)，∴2x ＋π4∈[π4，3π4)．∴当x ＝π8时，g (x )max ＝2，当x ＝0时，g (x )min ＝1.22．解 (1)∵|a |＝1，|b |＝1，|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝|a |2＋|b |2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1＋1－2cos(α－β)，|a －b |2＝(255)2＝45，∴2－2cos(α－β)＝45得cos(α－β)＝35.(2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π.由cos(α－β)＝35得sin(α－β)＝45，由sin β＝－513得cos β＝1213.∴sin α＝sin [(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝45×1213＋35×(－513)＝3365.。
2019秋金版学案数学必修4(人教A版)练习：单元评估验收(一) Word版含解析
单元评估验收(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出下列四种说法，其中正确的是( )①－75°是第四象限角 ②225°是第三象限角 ③475°是第二象限角 ④－315°是第一象限角A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：D2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为( )A ．2 B.2sin 1C ．sin 2D ．2sin 1解析：因为r ＝1sin 1，所以l ＝αr ＝2sin 1. 答案：B3．设α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为α是第三象限角，所以π＋2k π<α<3π2＋2k π，k ∈Z ，所以π2＋k π<α2<3π4＋k π，k ∈Z ，所以α2的终边在第二象限或第四象限．又⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，所以cos α2<0，所以α2的终边所在的象限是第二象限．答案：B4．把函数f (x )＝sin 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g (x )的图象，则g (x )的最小正周期为( )A ．2πB ．πC.π2D.π4解析：由题意知g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×12x ＋1＝sin x ＋1，故T ＝2π. 答案：A5．设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43B.34C ．－34D ．－43解析：α是第二象限角，所以x <0，r ＝x 2＋16， 所以cos α＝x x 2＋16＝15x ，所以x 2＝9，所以x ＝－3， 所以tan α＝－43.答案：D6．设g (x )的图象是由函数f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位得到的，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于( )A ．1B ．－12C ．0D ．－1解析：由f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位得到的是g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象， 则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝cos π＝－1. 答案：D7．如果sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α的值为( )A ．－2B ．2C.2316D ．－2316解析：因为sin α－2cos α＝－5(3sin α＋5cos α)， 所以16sin α＝－23cos α，所以tan α＝－2316.答案：D8．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )解析：对于D 选项，由图知，振幅|a |>1⇒周期T ＝2π|a |应小于2π，与图中T >2π矛盾．答案：D9．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2（2π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin （π＋α）＝( )A.35B.53C.45D.54解析：方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2.则sin α＝－35，原式＝cos α（－cos α）tan 2αsin α（－sin α）（－sin α）＝－1sin α＝53.答案：B10．函数y ＝11－x 的图象与函数y ＝sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：如图，两个函数的图象都关于点(1，0)成中心对称，两个图象在[－2，4]上共有8个交点，每两个对应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8.答案：D11．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则下列说法中正确的是( )A ．函数f (x )的周期是π4B ．函数f (x )的图象的一条对称轴方程是x ＝π3C ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6上为减函数D ．函数f (x )是偶函数解析：当x ＝π3时，f (x )＝1，所以x ＝π3是函数图象的一条对称轴．12．已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y (米)可看作是时间t (0≤t ≤24，单位：时)的函数，记作y ＝f (t )，经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b ，下表是某日各时的浪高数据：A ．y ＝12cos π6t ＋1B ．y ＝12cos π6t ＋32C ．y ＝2cos π6t ＋32D ．y ＝12cos6πt ＋32解析：因为T ＝12－0＝12，所以ω＝2πT ＝2π12＝π6.又最大值为2，最小值为1，则⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝2，－A ＋b ＝1，解得A ＝12，b ＝32，所以y ＝12cos π6t ＋32.答案：B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．解析：因为点P (tan α，cos α)在第三象限， 所以tan α<0，cos α<0，则α是第二象限角．14．设a 为常数，且a >1，0≤x ≤2π，则函数f (x )＝cos 2x ＋2a sin x －1的最大值为________．解析：f (x )＝cos 2x ＋2a sin x －1＝1－sin 2x ＋2a sin x －1＝－(sin x －a )2＋a 2，因为0≤x ≤2π，所以－1≤sin x ≤1，又a >1，所以当sin x ＝1时，f (x )max ＝－(1－a )2＋a 2＝2a －1. 答案：2a －115．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ∈[0，2π))的部分图象如图所示，则f (2 018)＝________．解析：由题图可知，T4＝2，所以T ＝8，所以ω＝π4.由点(1，1)在函数图象上，可得f (1)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，故π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，所以φ＝2k π＋π4(k ∈Z)， 又φ∈[0，2π)，所以φ＝π4.故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4， 所以f (2 018)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫504π＋34π＝sin 34π＝22.答案：2216．已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，则m 的取值范围是________________．解析：f (x )有两个零点，即m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的实根．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，56π，结合正弦曲线知m ∈[1，2)． 答案：[1，2)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(1)已知角α的终边经过点P (4，－3)，求2sin α＋cos α的值；(2)已知角α的终边经过点P (4a ，－3a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值；(3)已知角α终边上一点P 与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为3∶4，求2sin α＋cos α的值．解：(1)因为r ＝x 2＋y 2＝5， 所以sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45，所以2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25.(2)因为r ＝x 2＋y 2＝5|a |，所以当a >0时，r ＝5a ， 所以sin α＝－3a 5a ＝－35，cos α＝45， 所以2sin α＋cos α＝－25；当a <0时，r ＝－5a ，所以sin α＝－3a －5a ＝35，cos α＝－45，所以2sin α＋cos α＝25.(3)当点P 在第一象限时，sin α＝35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝2；当点P 在第二象限时，sin α＝35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝25；当点P 在第三象限时，sin α＝－35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝－2；当点P 在第四象限时，sin α＝－35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝－25.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋a ，a 为常数．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最小值为－2，求a 的值．解：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋a .所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以x ＝0时，f (x )取得最小值，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋a ＝－2，故a ＝－1.19．(本小题满分12分)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，||φ<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1) (2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝ ⎭⎪2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 因此g (x )＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ， 令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z ，即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0. 20．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32，x ∈R.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间．(2)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R)的图象经过怎样的变换得到？解：(1)T ＝2π2＝π，2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，知k π－π3≤x≤k π＋π6(k ∈Z)．所以函数f (x )的最小正周期为π，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)．(2)变换情况如下：y ＝sin 2xy ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12――――――――→将图象上各点向上平移32个单位长度y ＝sin(2x ＋π6)＋32.21．(本小题满分12分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|ω|<π)的一段图象如图所示．(1)求此函数的解析式；(2)求此函数在(－2π，2π)上的递增区间． 解：(1)由图可知，其振幅为A ＝23， 由于T2＝6－(－2)＝8，所以周期为T ＝16， 所以ω＝2πT ＝2π16＝π8，此时解析式为y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ. 因为点(2，－23)在函数y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ的图象上， 所以π8×2＋φ＝2k π－π2，所以φ＝2k π－3π4(k ∈Z)． 又|φ|<π，所以φ＝－3π4. 故所求函数的解析式为y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －3π4. (2)由2k π－π2≤π8x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z)， 得16k ＋2≤x ≤16k ＋10(k ∈Z)，所以函数y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －3π4的递增区间是[16k ＋2，16k ＋10](k ∈Z)．当k ＝－1时，有递增区间[－14，－6]，当k ＝0时，有递增区间[2，10]，与定义区间求交集得此函数在(－2π，2π)上的递增区间为(－2π，－6]和[2，2π]．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. (1)求函数f (x )的最小值及f (x )取到最小值时自变量x 的集合；(2)指出函数y ＝f (x )的图象可以由函数y ＝sin x 的图象经过哪些变换得到；(3)当x ∈[0，m ]时，函数y ＝f (x )的值域为[－3，2]，求实数m 的取值范围．解：(1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故f (x )min ＝－2，此时2x －π3＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝k π－π12，k ∈Z ， 即此时自变量x 的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π12，k ∈Z . (2)把函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象，再把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，最后再把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象． (3)如图，因为当x ∈[0，m ]时，y ＝f (x )取到最大值2，且f (0)＝－3，所以2m －π3≥π2⇒m ≥5π12.又函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，11π12上是单调减函数，故m 的最大值为在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，11π12内使函数值为－3的x 的值， 令2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝－3，得x ＝5π6， 所以m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，5π6.。
人教A版高中数学必修四单元质量评估(一) Word版含解析
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单元质量评估(一)(第一章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.与-525°终边相同的角可表示为( )A.525°-k·360°(k∈Z)B.165°+k·360°(k∈Z)C.195°+k·360°(k∈Z)D.-195°+k·360°(k∈Z)【解析】选C.-525°=-360°×2+195°，所以-525°与195°终边相同，所以与-525°终边相同的角可表示为195°+k·360°(k∈Z).2.若点P在的终边上，且|OP|=2，则点P的坐标为( )A.(1，-)B.(，-1)C.(-1，-)D.(-1，)【解析】选A.由任意角的三角函数定义知x P=|OP|cos=2×=1，y P=|OP|sin=2×=-，故点P坐标为(1，-).【补偿训练】若点A(x，y)是240°角终边上异于原点的一点，则的值为( )A.-B.C.-D.【解析】选D.由题意知=tan240°=tan(180°+60°)=tan60°=.3.(2015·合肥高一检测)已知tanα>0，且sinα+cosα<0，则( )A.cosα>0B.cosα<0C.cosα=0D.cosα符号不确定【解析】选B.由tanα>0知α是第一或第三象限角.又因为sinα+cosα<0，所以α是第三象限角，所以cosα<0.4.把函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再将所得的图象的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )A.y=sin，x∈RB.y=sin，x∈RC.y=sin，x∈RD.y=sin，x∈R【解析】选D.把函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y=sin的图象，再将所得的图象的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y=sin的图象.5.在同一个坐标系中画出函数y=a x，y=sinax的部分图象，其中a>0且a≠1，则下列所给图象中可能正确的是( )【解析】选D.当0<a<1时，y=sinax的周期T=>2π，B不正确，D正确；当a>1时，y=sinax的周期T=<2π.A，C都不正确.【补偿训练】不等式l og a x>sin2x(a>0且a≠1)对任意x∈都成立，则a的取值范围为( )A. B.C.∪D.【解题指南】先分析临界位置，如l og a x过点，再确定范围.【解析】选D.当y=log a x的图象恰好过点时有log a=1，所以a=.结合图形知≤a<1时在上y=log a x总在y=sin2x上方.即log a x>sin2x成立.6.下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f(x)=f(-x)和f(x-π)=f(x)的函数是( )A.f(x)=sinxB.f(x)=sinx·cosxC.f(x)=cosxD.f(x)=cos2x【解析】选D.由f(x)=f(-x)知f(x)为偶函数，排除A，B.由f(x-π)=f(x)知x=是f(x)图象的一条对称轴，排除C，故选D.7.(2015·汕头高一检测)下列比较大小错误的是( )A.sin(-70°)>sin(-80°)B.cos>cosC.tan<tanD.tan38°<tan43°【解析】选C.-90°<-80°<-70°<0°且y=sinx在上为增函数，所以sin(-80°)<sin(-70°)，故A正确；cos=cos=cos>0，cos=cos=cos<0，所以cos>cos，故B正确；tan=tan=-tan=-，tan=tan=-tan=-，所以tan>tan，C错误，易知D正确.8.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)，y=f(x)的部分图象如图，则f=()A.3B.C.1D.【解析】选A.由题干图知，T=2×=，所以ω==2.又图象过点，所以Atan=0，所以tan=0，所以φ+=kπ，k∈Z.所以φ=kπ-，k∈Z.又|φ|<，所以φ=，所以f(x)=Atan.又图象过点(0，1)，所以Atan=1，所以A=，即f(x)=tan，所以f=tan=3.【补偿训练】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，当x∈时，满足f(x)=1的x的值为( )A. B. C. D.【解析】选B.由图象知A=2.=2×=π，ω=2.故f(x)=2sin(2x+φ)，x=-时y=0，代入上式，得0=2sin，所以-+φ=kπ，k∈Z，故φ=kπ+，k∈Z，又|φ|<，所以φ=，所以f(x)=2sin.由f(x)=1得sin=，又2x+∈，所以2x+=，所以x=.9.(2015·安徽高考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x=时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是( )A.f<f<fB.f<f<fC.f<f<fD.f<f<f【解析】选A.因为函数f=Asin(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，所以T==π⇒ω=2，所以f=Asin，当x=时，2×+φ=+2kπ，k∈N⇒φ=+2kπ，k∈N，所以f=Asin，当2x+=+2kπ，k∈Z，即x=+kπ，k∈Z时函数f取得最大值.下面只需要判断2，-2，0与最近的最高点处对称轴的距离，距离越大，函数值越小.当k=0时，x=，≈0.52，≈1.48；当k=1时，x=，≈1.67；当k=-1时，x=-，≈0.62，所以f<f<f，故选A.【补偿训练】(2015·宜昌高一检测)设y=f(t)是某港口水的深度关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t与水深y的关系.经长期观察，函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)的图象.根据上述数据，函数y=f(t)的解析式为( )A.y=12+3sin，t∈[0，24]B.y=12+3sin，t∈[0，24]C.y=12+3sin，t∈[0，24]D.y=12+3sin，t∈[0，24]【解析】选A.由已知得A==3，k==12.=15-3，所以ω=，所以y=12+3sin，t=3，y=15代入上式得sin=1，解得φ=2kπ，k∈Z.所以y=12+3sin，t∈[0，24].10.(2015·武汉高一检测)函数f(x)=asinx+blog2(x+)+4(a，b为常数)，若f(x)在(0，+∞)上有最小值-4，则f(x)在(-∞，0)上有( )A.最大值-2B.最大值4C.最大值10D.最大值12【解析】选D.设g(x)=f(x)-4，则g(x)为奇函数.因为f(x)在(0，+∞)上有最小值-4，所以g(x)在(0，+∞)上有最小值-8.又因为g(x)为奇函数，所以g(x)在(-∞，0)上有最大值8.所以f(x)在(-∞，0)上有最大值12.11.定义在R上的函数满足f(x+2)=f(x)，且x∈[1，3]时，f(x)=cos x，则下列大小关系正确的是( )A.f(tan1)>fB.f<fC.f(sin2)>f(cos2)D.f(cos1)>f(sin1)【解析】选C.由题意知函数f(x)是以2为周期的函数，且在区间[-1，0]上为减函数，在区间[0，1]上是增函数，x=1是函数f(x)的一条对称轴，于是f(cos2)=f(2-cos2)=f(-cos2)，又因<2<，所以1>sin2>-cos2>0，因此有f(sin2)>f(-cos2)=f(cos2).12.(2015·厦门高一检测)已知函数f(x)=sinx+x，则使不等式f(sinθ)+f(cosθ)≥0成立的θ的取值范围是( )A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)【解析】选C.函数f(x)=sinx+x的定义域为R，因为f(-x)=sin(-x)+(-x)=-sinx-x=-(sinx+x)=-f(x)，所以f(x)是奇函数，不等式f(sinθ)+f(cosθ)≥0可化为f(sinθ)≥-f(cosθ)=f(-cosθ)，又因为y=sinx和y=x在[-1，1]上均为增函数，所以f(x)=sinx+x在[-1，1]上为增函数，且sinθ∈[-1，1]，-cosθ∈[-1，1]，所以sinθ≥-cosθ，即sinθ+cosθ≥0，角θ终边所在区域如图所示，所以θ∈(k∈Z).二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.弧长为3π，圆心角为的扇形的面积为________.【解析】设扇形的半径为R，由已知得·R=3π，所以R=4.所以扇形的面积S=××42=6π.答案：6π14.(2015·黄冈高一检测)函数y=2sin，x∈[-π，0]的单调递增区间为__________.【解析】y=2sin=-2sin，由2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，设A=，B=[-π，0]，A∩B=，所以y=2sin，x∈[-π，0]的单调递增区间为[-，-]答案：【补偿训练】若f(x)=2sinωx(ω>0)在区间上的最大值是，则ω=__________.【解析】f(x)=2sinωx在即上为增函数.由题意知且f=.所以所以ω=6k+或6k+且0<ω<，所以ω=.答案：15.(2015·南昌高一检测)如图是一个半径为3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟转动四圈，水轮上的点P相对于水面的高度y(米)与时间x(秒)满足函数关系式y=Asin(ωx+φ)+2(A>0，ω>0，φ∈(-，))，且初始位置(即x=0)时y=，则函数的表达式为__________.【解析】函数表达式为y=Asin(ωx+φ)+2，则由题意得A=3；T==15，故ω==π；由初始位置时y=知，=3sinφ+2；故sinφ=；再由φ∈知，φ=，所以函数表达式为y=3sin+2.答案：y=3sin+216.给出下列4个命题：①函数y=的最小正周期是；②直线x=是函数y=2sin的一条对称轴；③若sinα+cosα=-，且α为第二象限角，则tanα=-；④函数y=cos(2-3x)在区间上单调递减.其中正确的是__________.(写出所有正确命题的序号).【解析】函数y=sin的最小正周期是π，故①正确.对于②，当x=π时，2sin=2sinπ=-2，故②正确.对于③，由(sinα+cosα)2=得2sinαcosα=-，因为α为第二象限角，所以sinα-cosα==，所以sinα=，cosα=-，所以tanα=-，故③正确.对于④，函数y=cos(2-3x)的最小正周期为，而区间长度>，显然④错误.答案：①②③三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)若cosα=，α是第四象限角，求的值.【解析】由已知得sinα=-，===-=.18.(12分)(1)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(-3，4)，求cos(π-α)+cos的值.(2)若tanβ=3，求的值.【解析】(1)r=|OP|==5.所以sinα==，cosα==-，所以cos(π-α)+cos=-cosα-sinα=--=-.(2)原式===.19.(12分)(2015·宜昌高一检测)已知函数f(x)=2sin(2ωx+)+1(其中0<ω<1)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心，(1)试求ω的值.(2)先列表，再作出函数f(x)在区间x∈[-π，π]上的图象.【解析】(1)因为点是函数f(x)图象的一个对称中心，所以-+=kπ，k∈Z，所以ω=-3k+，k∈Z，因为0<ω<1，所以k=0，ω=. (2)由(1)知f(x)=2sin+1，x∈[-π，π]列表如下，x+-π-πx -π--π-1 1则函数f(x)在区间x∈[-π，π]上的图象如图所示.【拓展延伸】“巧”画图象“妙”解题在利用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象时，如果能正确利用函数的性质就能更快、更准确地画出函数图象的简图.例如定出第一个关键点后，就可以根据五个关键点横坐标之间的距离都为，画出另外四个关键点.20.(12分)(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式.(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值.【解析】(1)根据表中已知数据，得A=5，ω=2，φ=-.数据补全如表：π且函数表达式为f(x)=5sin.(2)由(1)知f(x)=5sin，得g(x)=5sin.因为y=sinx的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.令2x+2θ-=kπ，k∈Z，解得x=+-θ，k∈Z.由于函数y=g(x)的图象关于点成中心对称，令+-θ=，k∈Z，解得θ=-，k∈Z.由θ>0可知，当k=1时，θ取得最小值.【补偿训练】某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：(1)请将表数据补全，并直接写出函数f(x)的解析式.(2)将函数f(x)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到函数y=g(x)的图象，求函数y=g(x)的单调递减区间.【解析】(1)函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.(2)函数g(x)=2sin.令2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，所以函数y=g(x)的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z.21.(12分)已知f(x)=3sin-1.(1)f(x)的图象是由y=sinx的图象如何变换而来？(2)求f(x)的最小正周期、图象的对称轴方程、最大值及其对应的x的值.【解析】(1)将函数y=sinx图象上每一点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍得到函数y=3sinx的图象，再把所得函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=3sin2x的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数y=3sin的图象，再把所得函数的图象向下平移一个单位长度，得到函数f(x)=3sin-1的图象.(2)最小正周期T=π，由2x+=+kπ(k∈Z)，得对称轴方程为x=+(k∈Z).当2x+=+2kπ(k∈Z)，即x=+kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值2.【补偿训练】(2015·都江堰高一检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)其中的周期为π，其图象上一个最高点为M，(1)求f(x)的解析式.(2)当x∈时，求f(x)的最值及相应的x的值.【解析】(1)由T=π得ω===2，由最高点为M得A=2，且2sin=2，即sin=1，所以+φ=2kπ+，故φ=2kπ+(k∈Z)，又因为φ∈，所以φ=，所以f(x)=2sin.(2)因为x∈，所以2x+∈，所以当2x+=，即x=0时，f(x)取得最小值1；当2x+=，即x=时，f(x)取得最大值2.22.(12分)(2015·南通高一检测)某休闲农庄有一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF和OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°.(1)设∠BOE=α，试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域.(2)经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用.【解析】(1)因为在Rt△BOE中，OB=25，∠B=90°，∠BOE=α，所以OE=.在Rt△AOF中，OA=25，∠A=90°，∠AFO=α，所以OF=.又∠EOF=90°，所以EF===，所以l=OE+OF+EF=++，即l=，当点F在点D时，这时角α最小，求得此时α=；当点E在C点时，这时角α最大，求得此时α=.故此函数的定义域为.(2)由题意知，要求建设总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可.由(1)得，l=，α∈，设sinα+cosα=t，则sinα·cosα=，所以l===，由≤α+≤，得≤t≤，所以≤t-1≤-1，从而+1≤≤+1，当α=，即BE=25时，l min=50(+1)，所以当BE=AF=25米时，铺路总费用最低，最低总费用为200000(+1)元.关闭Word文档返回原板块。
2019秋金版学案数学必修4(人教A版)练习：单元评估验收(三) 含解析
单元评估验收(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．2sin 215°－1的值是( ) A.12B ．－12C.32D ．－32解析：2sin 215°－1＝－(1－2sin 215°)＝－cos 30°＝－32. 答案：D2．在△ABC 中，已知sin A sin B ＜cos A cos B ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形D ．等腰三角形解析：sin A sin B ＜cos A cos B ，即sin A sin B －cos A cos B ＜0，－cos(A ＋B )＜0，所以cos C ＜0，从而C 为钝角，△ABC 为钝角三角形．答案：B3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝35，－π2＜α＜0，则sin 2α的值是( )A.2425 B.1225 C ．－1225D ．－2425解析：由已知得sin α＝－35，又－π2＜α＜0，故cos α＝45，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×45＝－2425.答案：D4．函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( )A ．π，1B ．π，2C ．2π，1D ．2π，2解析：因为f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以函数f (x )的最小正周期和振幅分别是π，1. 答案：A5．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( )A.14B.13C.12D.53解析：△ABC 中，C ＝120°，得A ＋B ＝60°， 所以(tan A ＋tan B )＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＝ 3(1－tan A tan B )＝233.所以tan A tan B ＝13.答案：B6．已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝( )A ．－3B ．－17C ．－43D ．－7解析：由α为锐角，cos α＝55，得sin α＝255，所以tan α＝2，tan 2α＝2tan α1－tan2α＝41－4＝－43，所以tan⎝⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝1＋tan 2α1－tan 2α＝1－431＋43＝－17. 答案：B7．若cos⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin α的值为()A.4－26 B.4＋26 C.718 D.23解析：由题意可得，α＋π4∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4，所以sin⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223，sin α＝sin⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝sin⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cosπ4－cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4·sinπ4＝223×22－13×22＝4－26.答案：A8．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为() A．－5 B．－6 C．－7 D．－8解析：将方程sin α－cos α＝－52两边平方，可得1－sin 2α＝54，即sin 2α＝－14，则tan α＋1tan α＝tan2＋1tan α＝⎝⎛⎭⎪⎫sin αcos α2＋1sin αcos α＝2sin 2α＝2－14＝－8.答案：D9．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35，x ∈(0，π)，则sin x 的值为( ) A.－43－310 B.43－310C.12D.32解析：由cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35，且0<x <π，得 0<x ＋π6<π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝45，所以sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310. 答案：B10．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋3π5＝( )A ．－78B.78C.18 D ．－18解析：由题意可得，cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋3π5＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π10 ＝cos 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π5－α＝2cos 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫π5－α－1＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π5－α－1＝－78.答案：A11．(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A.π4B.π2 C.3π4D ．π答案：A12．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4上单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4上单调递增解析：f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos （ωx ＋φ）·cos π4＋sin （ωx ＋φ）·sin π4 ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（ωx ＋φ）－π4＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ωx ＋⎝⎛⎭⎪⎫φ－π4因为f (x )的最小正周期为π， 所以2πω＝π，ω＝2.又f (－x )＝f (x )，即f (x )是偶函数， 所以φ－π4＝k π(k ∈Z)．因为|φ|＜π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝2cos 2x ，由0＜2x ＜π得0＜x ＜π2，此时，f (x )单调递减．答案：A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________．解析：因为2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝2sin(2x ＋π4)＋1＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，所以A ＝2，b ＝1.答案：2 114．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________．解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝16，解得tan α＝75.答案：7515．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－22·sin 2x 的最小正周期是________． 解析：由f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x＝22sin 2x －22cos 2x －22×1－cos 2x 2 ＝22sin 2x ＋22cos 2x － 2 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2，故最小正周期为π. 答案：π16.我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于________．解析：题图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，故每个直角三角形的面积为 6.设直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，则有⎩⎨⎧a 2＋b 2＝25，12ab ＝6，所以两条直角边的长分别为3，4. 则cos θ＝45，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝725.答案：725三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知0＜α＜π2，sin α＝45.(1)求sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α的值；(2)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4的值． 解：(1)由0＜α＜π2，sin α＝45，得cos α＝35.所以sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α＝sin 2α＋2sin αcos α3cos 2α－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋2×45×353×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝20.(2)因为tan α＝sin αcos α＝43， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan α－11＋tan α＝43－11＋43＝17.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈R. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6；(2)若cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3. 解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝2cos π4＝1.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3－π12 ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝cos 2θ－sin 2θ.因为cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以sin θ＝－45.所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425.cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－725.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝cos 2θ－sin 2θ＝－725－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425＝1725.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3sin 2x －2cos 2x . (1)求f (x )的最大值；(2)若tan α＝23，求f (α)的值． 解：(1)f (x )＝3sin 2x －2cos 2x ＝3sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1. 当2x －π6＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π3，k ∈Z 时，f (x )的最大值为1.(2)f (α)＝3sin 2α－2cos 2α ＝23sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝23tan α－2tan 2α＋1，因为tan α＝23，所以f (α)＝23×23－24×3＋1＝1013.20．(本小题满分12分)已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(3，－1)且m·n ＝1，且A 为锐角．(1)求角A 的大小；(2)求函数f (x )＝cos 2x ＋4cos A sin x (x ∈R)的值域．解：(1)由题意得m·n ＝3sin A －cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝1， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12. 由A 为锐角得A －π6＝π6，所以A ＝π3.(2)由(1)知cos A ＝12，所以f (x )＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32.因为x ∈R ，所以sin x ∈[－1，1]，因此，当sin x ＝12时，f (x )有最大值32，当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－3，所以所求函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32. 21．(本小题满分12分)(2018·上海卷)设常数a ∈R ，函数f (x )＝a sin 2x ＋2cos 2x .(1)若f (x )为偶函数，求a 的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3＋1，求方程f (x )＝1－2在区间[－π，π]上的解．解：(1)f (x )＝a sin 2x ＋2cos 2x －1＋1＝a sin 2x ＋cos 2x ＋1， f (－x )＝a sin(－2x )＋cos(－2x )＋1＝－a sin 2x ＋cos 2x ＋1， 当f (x )为偶函数时，f (x )＝f (－x )，则a ＝－a ， 解得a ＝0.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝a sin π2＋2cos 2π4，由题意f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝a ＋1＝3＋1，所以a ＝3，所以f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1， 当x ∈[－π，π]时，即2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11π6，13π6，令f (x )＝1－2，则2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＝1－2， 解得：x ＝－1124π，－524π，1324π，1924π. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．解：法一 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝ －2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2. (2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z. 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. 法二 f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z. 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.。
人教A版高中数学必修四单元质量评估(二) Word版含解析
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单元质量评估(二)
(第二章)
(分钟分)
一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
.如图，在四边形中，下列各式中成立的是( )
【解析】选，故错误；，故错误；
，故正确；≠，故错误.
.若向量(，)，(，)，(，)，则等于( )
【解析】选.设λμ，
则(，)λ(，)μ(，)(λμ，λμ)，
所以解得λ，μ.
所以.
.(·泉州高一检测)在如图所示的平面图形中，，为互相垂直的单位向量，则向量可表示为( )
【解析】选.由平面图形知，
所以.
.若(λ，)，(，)，且与的夹角是钝角，则λ的取值范围是( )
.
.
【解析】选·λ<，所以λ>.
当与共线时，，所以λ.。
人教A版高中数学必修四练习：模块综合学业质量标准检测+Word版含解析
模块综合学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．cos1，sin1，tan1的大小关系是导学号 14435166( D ) A ．sin1<cos1<tan1 B ．sin1<tan1<cos1 C ．cos1<tan1<sin1D ．cos1<sin1<tan1[解析] 作出单位圆，用三角函数线进行求解，如图所示，有OM <MP <AT ，即cos1<sin1<tan1.故选D ．2．(2015·陕西)对任意向量a 、b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是导学号 14435167( B ) A ．|a ·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤|a |－|b | C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2[解析] 对于A 选项，设向量a ，b 的夹角为θ，∵|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|≤|a ||b |，∴A 选项正确；对于B 选项，∵当向量a ，b 反向时，|a －b |≥|a |－|b |，∴B 选项错误；对于C 选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C 选项正确；对于D 选项，根据向量的运算法则，可推导出(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，故D 选项正确，综上选B ．3．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝导学号 14435168( D )A ．43B ．34C ．－34D ．－43[解析] ∵α是第二象限角，∴cos α＝15x <0，即x <0.又cos α＝15x ＝xx 2＋16，解得x ＝－3，∴tan α＝4x ＝－43.4．设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于导学号 14435169( A ) A ．－32B ．－53C ．53D ．32[解析] 因为c ＝(1＋k,2＋k )，b ·c ＝0，所以1＋k ＋2＋k ＝0，解得k ＝－32，故选A ．5．若cos2αsin (α－π4)＝－22，则sin α＋cos α的值为导学号 14435170( C )A ．－72B ．－12C ．12D ．72[解析]cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－22，即(cos α＋sin α)(cos α－sin α)22(sin α－cos α)＝－22∴cos α＋sin α＝12.6．将函数y ＝cos2x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，再把所得图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是导学号 14435171( C )A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1 [解析] 将函数y ＝cos2x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，得函数y ＝cos2⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，再把y ＝cos2⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是y ＝cos2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1. 7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于导学号 14435172( D ) A ．－16B ．－8[解析] 解法1：∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ，△ABC 为直角三角形，∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·|AC →||AB →|＝|AC →|2＝16.故选D ．解法2：∵△ACB 为直角三角形，∴AB →在AC →上的投影为AC ，∴AB →·AC →＝AC →2＝16. 8．已知a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，若a ·b ＝25，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于导学号 14435173( C )A ．13B ．27C ．17D ．23[解析] 由题意，得cos2α＋sin α(2sin α－1)＝25，整理得sin α＝35.又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos α＝－45.所以tan α＝－34.则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝17. 9．每一个音都是纯音合成的，纯音的数字模型是函数y ＝A sin ωt ，音调、响度、音长、音色等音的四要素都与正弦函数及其参数(振幅、频率)有关．我们听到的声音是许多音的结合，称为复合音．若一个复合音的函数是y ＝14sin4x ＋16sin6x ，则该复合音的周期为导学号 14435174( B )A ．3π2B ．πC ．2π3D ．π6[解析] y 1＝14sin4x 的周期是π2，y 2＝16sin6x 的周期是π3，所以y ＝y 1＋y 2的周期应为π2与π3的公倍数π.10．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝导学号 14435175( C )A ．5B ．4[解析] 如右图所示，△ABC 中，D 是BC 边的中点，由MA →＋MB →＋MC ＝0易知M 是△ABC 的重心， ∴AB →＋AC →＝2AD →. 又∵AD →＝32AM →，∴AB →＋AC →＝2AD →＝3AM →，∴m ＝3，故选C ．11.函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图象如右图，则(OA →＋OB →)·AB →＝导学号 14435176( A )A ．6B ．4C ．－4D ．－6[解析] ∵点B 的纵坐标为1， ∴tan(π4x －π2)＝1，∴π4x －π2＝π4，∴x ＝3，即B (3,1)． 令tan(π4x －π2)＝0，则π4x －π2＝0，解得x ＝2，∴A (2,0)，∴OA →＋OB →＝(5,1)，AB →＝(1,1)． ∴(OA →＋OB →)·AB →＝6.12．E 、F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝导学号 14435177( D )A ．1627B ．23C ．33D ．34[解析] 如右图，取AB 的中点D ，连接CD ，则∠ECF ＝2∠ECD ，设AB ＝2a ，则CD ＝AD ＝a ，ED ＝a 3，∴tan ∠ECD ＝DE CD ＝13，∴tan ∠ECF ＝tan2∠ECD ＝2×131－(13)2＝34，故选D ．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2017全国卷Ⅱ理科)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34(x ∈[0，π2])的最大值是__1__.导学号 14435178[解析] f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈[0，π2]，∴cos x ∈[0,1]，∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1. 14．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，若a ∥b ，则实数x ＝ 12 .导学号 14435179[解析] ∵a ∥b ，∴1－2x ＝0.∴x ＝12.15．已知e 1、e 2是平面单位向量，且e 1· e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝3.导学号 14435180 [解析] 不妨设b ＝x e 1＋y e 2，则b ·e 1＝x ＋y2＝1，b ·e 2＝x 2＋y ＝1，因此可得x ＝y ＝23，所以|b |＝23|e 1＋e 2|＝233.16．关于函数f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π6)，有下列说法：导学号 14435181①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )在区间(π24，13π24)上单调递减；④将函数y ＝2cos2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是__①②③__.(注：把你认为正确的说法的序号都填上)[解析] 化简f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π2－π3)＝cos(2x －π3)－sin(2x －π3)＝2cos(2x －π12)， ∴f (x )max ＝2，即①正确．T ＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确．f (x )的递减区间为2k π≤2x －π12≤2k π＋π(k ∈Z )． 即k π＋π24≤x ≤k π＋1324π(k ∈Z )，即③正确．将函数y ＝2cos2x 向左平移π24个单位得y ＝2cos[2(x ＋π24)]≠f (x )，∴④不正确．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)在△AOB 中，C 是AB 边上的一点，且BC →＝λCA →(λ>0)，若OA →＝a ，OB →＝b .导学号 14435182(1)当λ＝1时，用a 、b 表示OC →； (2)用a 、b 表示OC →.[解析] (1)当λ＝1时，BC →＝CA →，即C 是AB 的中点， ∴OC →＝12(OB →＋OA →)＝12a ＋12b .(2)∵BC →＝λCA →，∴BC →＝λ1＋λBA →.又BA →＝OA →－OB →＝a －b ， ∴BC →＝λ1＋λ(a －b )．∴OC →＝OB →＋BC →＝b ＋λ1＋λ(a －b )＝λ1＋λa ＋11＋λb . 18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝12sin2x －3cos 2x .导学号 14435183(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象．当x ∈[π2，π]时，求g (x )的值域．[解析] (1)f (x )＝12sin2x －3cos 2x＝12sin2x －32(1＋cos2x ) ＝12sin2x －32cos2x －32 ＝sin(2x －π3)－32，因此f (x )的最小正周期为π，最小值为－2＋32.(2)由条件可知： g (x )＝sin(x －π3)－32.当x ∈[π2，π]时，有x －π3∈[π6，2π3]，从而sin(x －π3)的值域为[12，1]，那么sin(x －π3)－32的值域为[1－32，2－32]．故g (x )在区间[π2，π]上的值域为[1－32，2－32]．19．(本题满分12分)已知点A (1,0)、B (0,1)、C (2sin θ，cos θ).导学号 14435184 (1)若|AC →|＝|BC →|，求sin θ＋2cos θsin θ－cos θ的值；(2)若(OA →＋2OB →)·OC →＝1，其中O 为坐标原点，求sin θ·cos θ的值． [解析] ∵A (1,0)、B (0,1)、C (2sin θ，cos θ)， ∴AC →＝(2sin θ－1，cos θ)， BC →＝(2sin θ，cos θ－1)．(1)|AC →|＝|BC →|， ∴(2sin θ－1)2＋cos 2θ＝(2sin θ)2＋(cos θ－1)2，化简得2sin θ＝cos θ， ∴tan θ＝12.∴sin θ＋2cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋2tan θ－1＝12＋212－1＝－5. (2)OA →＝(1,0)，OB →＝(0,1)，OC →＝(2sin θ，cos θ)， ∴OA →＋2OB →＝(1,2)， ∵(OA →＋2OB →)·OC →＝1， ∴2sin θ＋2cos θ＝1， ∴(sin θ＋cos θ)2＝14，∴1＋2sin θcos θ＝14，∴sin θcos θ＝－38.20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为4＋π2.导学号 14435185(1)求f (x )的解析式；(2)若tan α＋1tan α＝5，求2f (2α－π4)－11－tan α的值．[解析] (1)设最高点为(x 1,1)，相邻的最低点为(x 2，－1)， 则|x 1－x 2|＝T2(T >0)，∴(x 1－x 2)2＋(1＋1)2＝4＋π2，∴T 24＋4＝4＋π2，∴T ＝2π＝2π|ω|，又ω>0，∴ω＝1. ∴f (x )＝sin(x ＋φ)． ∵f (x )是偶函数，∴φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∵0≤φ≤π，∴φ＝π2，∴f (x )＝sin(x ＋π2)＝cos x .(2)∵tan α＋1tan α＝5，∴sin αcos α＋cos αsin α＝5， ∴sin αcos α＝15，∴2f (2α－π4)－11－tan α＝2cos (2α－π4)－11－tan α＝2(cos2αcos π4＋sin2αcossin π4)－11－sin αcos α＝cos2α＋sin2α－1cos α－sin αcos α＝(2sin αcos α－2sin 2α)cos αcos α－sin α＝2sin αcos α＝25.21．(本题满分12分)如图，矩形ABCD 的长AD ＝23，宽AB ＝1，A ，D 两点分别在x 轴，y 轴的正半轴上移动，B ，C 两点在第一象限．求OB 2的最大值.导学号14435186[解析] 过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H .设∠OAD ＝θ(0<θ<π2)，则∠BAH ＝π2－θ，OA ＝23cos θ，BH ＝sin(π2－θ)＝cos θ，AH ＝cos(π2－θ)＝sin θ，所以B (23cos θ＋sin θ，cos θ)，OB 2＝(23cos θ＋sin θ)2＋cos 2θ＝7＋6cos2θ＋23sin2θ ＝7＋43sin(2θ＋π3)．由0<θ<π2，知π3<2θ＋π3<4π3，所以当θ＝π12时，OB 2取得最大值7＋4 3.22．(本题满分12分)已知向量m ＝(sin 12x,1)，n ＝(43cos 12x ，2cos x )，设函数f (x )＝m·n .导学号 14435187(1)求函数f (x )的解析式．(2)求函数f (x )，x ∈[－π，π]的单调递增区间．(3)设函数h (x )＝f (x )－k (k ∈R )在区间[－π，π]上的零点的个数为a ，试探求a 的值及对应的k 的取值范围．[解析] (1)f (x )＝m·n ＝43sin 12x cos 12x ＋2cos x＝23sin x ＋2cos x ＝4sin(x ＋π6)．(2)由(1)，知f (x )＝4sin(x ＋π6)，x ∈[－π，π]，所以x ＋π6∈[－5π6，7π6]，由－π2≤x ＋π6≤π2，解得－2π3≤x ≤π3，所以函数f (x )的单调递增区间为[－2π3，π3]．(3)当x∈[－π，π]时，函数h(x)＝f(x)－k的零点讨论如下：当k>4或k<－4时，h(x)无零点，a＝0；当k＝4或k＝－4时，h(x)有一个零点，a＝1；当－4<k<－2或－2<k<4时，h(x)有两个零点，a＝2；当k＝－2时，h(x)有三个零点，a＝3.。
2019秋金版学案数学必修4(人教A版)练习：模块综合评价 Word版含解析
姓名，年级：时间：模块综合评价（时间：120分钟满分：150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．已知平面向量a与b的夹角等于错误!，若|a｜＝2,|b｜＝3，则|2a －3b｜＝( ）A。
错误! B.错误!C．57 D．61解析：由题意可得a·b＝|a|·｜b|cos 错误!＝3，所以|2a－3b|＝错误!＝4|a|2＋9|b｜2－12a·b＝错误!＝错误!。
答案:B2．已知角α的终边经过点P（4,－3），则2sin α＋cos α的值等于( ）A．－错误! B.错误! C.错误!D．－错误!解析：因为α的终边过点P（4，－3）,所以x＝4，y＝－3，r＝｜OP｜＝5,所以sin α＝错误!＝错误!，cos α＝错误!，所以2sin α＋cos α＝2×错误!＋错误!＝－错误!.答案:D3．下列各向量中，与a＝（3，2）垂直的是（）A．(3，－2) B．（2，3) C．（－4，6) D．(－3，2)解析：因为（3,2)·(－4，6）＝3×（－4)＋2×6＝0，故选C。
答案:C4．将函数y＝cos错误!的图象向左平移错误!个单位后，得到f(x)的图象，则( ）A．f（x)＝－sin 2xB．f（x）的图象关于x＝－错误!对称C．f 错误!＝错误!D．f(x）的图象关于错误!对称解析:f（x）＝cos错误!＝cos 错误!＝－sin错误!，所以f 错误!＝1，f(x）的图象关于x＝－错误!对称；f 错误!＝cos 错误!＝－错误!，f 错误!＝cos 错误!≠0，因此选B。
答案：B5．已知向量a，b,c满足|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，c⊥a，则a与b 的夹角等于( ）A．30° B．60° C．120° D．90°解析:设a,b的夹角为θ,由c⊥a，c＝a＋b⇒(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0⇒a·b＝－1⇒cos θ＝错误!＝－错误!且0°≤θ≤180°⇒θ⇒120°。
【金版新学案】高中数学人教A版必修四练习：1.1.1任意角(含答案解析)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．－215°是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．答案： B2．下面各组角中，终边相同的是()A．390°，690°B．－330°，750°C．480°，－420°D．3 000°，－840°解析：∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，∴－330°与750°终边相同．答案： B3．已知下列各角：①－120°；②－240°；③180°；④495°，其中是第二象限角的是() A．①②B．①③C．②③D．②④解析：－120°是第三象限角；－240°是第二象限角；180°角不在任何一个象限内；495°＝360°＋135°，所以495°是第二象限角．答案： D4．终边在第二象限的角的集合可以表示为()A．{α|90°＜α＜180°}B．{α|90°＋k·180°＜α＜180°＋k·180°，k∈Z}C．{α|－270°＋k·180°＜α＜－180°＋k·180°，k∈Z}D．{α|－270°＋k·360°＜α＜－180°＋k·360°，k∈Z}解析：终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°，k∈Z}，而选项D是从顺时针方向来看的，故选项D正确．答案： D二、填空题(每小题5分，共15分)5．在下列说法中：①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；②钝角一定大于锐角；③射线OA 绕端点O 按逆时针旋转一周所成的角是0°；④小于90°的角都是锐角．其中错误说法的序号为________(错误说法的序号都写上)．解析： ①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确．②钝角α的取值范围为90°＜α＜180°，锐角θ的取值范围为0°＜θ＜90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．③射线OA 按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确．④锐角θ的取值范围是0°＜θ＜90°，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确． 答案： ①③④6．α满足180°＜α＜360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________． 解析： 5α＝α＋k ·360°，k ∈Z ，∴α＝k ·90°，k ∈Z.又∵180°＜α＜360°，∴α＝270°.答案： 270°7．若角α＝2 016°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________． 解析： ∵2 016°＝5×360°＋216°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝216°＋k ·360°，k ∈Z}，∴最小正角是216°，最大负角是－144°.答案： 216° －144°三、解答题(每小题10分，共20分)8．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1)549°； (2)－60°； (3)－503°36′.解析： (1)549°＝189°＋360°，而180°＜189°＜270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．(2)－60°＝300°－360°，而270°＜300°＜360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°＜216°24′＜270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．9．已知α与240°角的终边相同，判断α2是第几象限角． 解析： 由α＝240°＋k ·360°，k ∈Z ，得α2＝120°＋k ·180°，k ∈Z. 若k 为偶数，设k ＝2n ，n ∈Z ，则α2＝120°＋n ·360°，n ∈Z ，α2与120°角的终边相同，是第二象限角；若k 为奇数，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则α2＝300°＋n ·360°，n ∈Z ，α2与300°角的终边相同， 是第四象限角．所以，α2是第二象限角或第四象限角．。
2019秋金版学案数学必修4(人教A版)练习：单元评估验收(二) Word版含解析
单元评估验收(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若向量a ＝(2，0)，b ＝(1，1)，则下列结论正确的是( ) A ．a ·b ＝1 B ．|a |＝|b | C ．(a －b )⊥bD ．a ∥b解析：a ·b ＝2，所以A 不正确；|a |＝2，|b |＝2，则|a |≠|b |，所以B 不正确；a －b ＝(1，－1)，(a －b )·b ＝(1，－1)·(1，1)＝0，所以(a －b )⊥b ，所以C 正确；由于2×1－0×1＝2≠0，所以a ，b 不平行，所以D 不正确．答案：C2．已知向量a ，b 不共线，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b ，且A ，B ，C 三点共线，则关于实数λ1，λ2一定成立的关系式为( )A ．λ1＝λ2＝1B ．λ1＝λ2＝－1C ．λ1λ2＝1D ．λ1＋λ2＝1解析：因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →＝kAC →(k ≠0)， 所以λ1a ＋b ＝k (a ＋λ2b )＝ka ＋kλ2b .又a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝k ，1＝kλ2，所以λ1λ2＝1.答案：C3．(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于( )A.BC →B.AB →C.AC →D.AM →解析：原式＝AB →＋BO →＋OM →＋MB →＋BC →＝AC →. 答案：C4．设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥bB ．|a |＝|b |C ．a ∥bD ．|a |＞|b |解析：由|a ＋b |＝|a －b |，得(a ＋b )2＝(a －b )2， 得a ·b ＝0，又a ，b 均为非零向量，故a ⊥b . 答案：A5．已知OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，OP →＝(x ，0)，则当AP →·BP →最小时，x 的值是( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1解析：AP →＝OP →－OA →＝(x －2，－2)，BP →＝OP →－OB →＝(x －4，－1)，AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.当x ＝3时，AP →·BP →取到最小值． 答案：B6．设点A (－1，2)，B (2，3)，C (3，－1)，且AD →＝2AB →－3BC →，则点D 的坐标为( )A ．(2，16)B ．(－2，－16)C ．(4，16)D ．(2，0)解析：设D (x ，y )，由题意可知AD →＝(x ＋1，y －2)，AB →＝(3，1)，BC →＝(1，－4)，所以2AB →－3BC →＝2(3，1)－3(1，－4)＝(3，14)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝3，y －2＝14，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝16.答案：A7．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解析：AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB→＝－13AB →＋43AC →.答案：A8．在菱形ABCD 中，若AC ＝2，则CA →·AB →等于( ) A ．2 B ．－2C ．|AB →|cos AD ．与菱形的边长有关解析：如图，设对角线AC 与BD 交于点O ，所以AB →＝AO →＋OB →. CA →·AB →＝CA →·(AO →＋OB →)＝－2＋0＝－2.答案：B9．设D 为边长是2的等边△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则AD →·AC →的值是( )A.143B ．－143C.43D ．4解析：由BC →＝3CD →可得，点D 在△ABC 外，在直线BC 上且BD ＝4CD ，则|CD →|＝13|BC →|＝23，AD →·AC →＝(AC →＋CD →)·AC →＝|AC →|2＋|CD →||AC→|cos π3＝4＋23×2×12＝143.答案：A10．在△ABC 中，AB ＝4，∠ABC ＝30°，D 是边BC 上的一点，且AD →·AB →＝AD →·AC →，则AD →·AB →的值等于( )A ．－4B ．0C ．4D ．8解析：因为AD →·AB →＝AD →·AC →， 所以AD →·(AB →－AC →)＝0， 所以AD →·CB →＝0，即AD ⊥BC . 所以∠ADB ＝90°，在Rt △ADB 中，∠B ＝30°， 所以AD ＝12AB ＝2，∠BAD ＝60°，所以AD →·AB →＝|AD →||AB →|cos 60°＝2×4×12＝4.答案：C11．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np .下面说法错误的是( )A ．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D ．(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2解析：根据题意可知若a ，b 共线，可得mq ＝np ，所以a ⊙b ＝mq －np ＝0，所以A 正确；因为a ⊙b ＝mq －np ，而b ⊙a ＝np －mq ，故二者不相等，所以B 错误；对于任意的λ∈R ，(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )＝λmq －λnp ，所以C 正确；(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝m 2q 2＋n 2p 2－2mnpq ＋m 2p 2＋n 2q 2＋2mnpq ＝(m 2＋n 2)(p 2＋q 2)＝|a |2|b |2，所以D 正确．答案：B12．已知A ，B ，C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A ，1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定解析：因为△ABC 为锐角三角形，所以A ＋B >π2，所以A >π2－B ，且A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin A >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，所以p ·q ＝sin A －cos B >0，故p ，q 的夹角为锐角．答案：A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________． 解析：由题意可得，－2×3＋3m ＝0，所以m ＝2. 答案：214．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________．解析：不妨令b ＝(2，0)，a ＝(cos θ，sin θ)，则a ＋b ＝(2＋cos θ，sin θ)，a －b ＝(cos θ－2，sin θ)，令y ＝|a ＋b |＋|a －b |＝（2＋cos θ）2＋sin 2θ＋（cos θ－2）2＋sin 2θ ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ， 则y 2＝10＋225－16cos 2θ. 因为25－16cos 2θ∈[9，25]， 所以y 2∈[16，20]． 又y ＞0，所以y ∈[4，2 5 ]． 答案：4 2 515．若a ＝(2，3)，b ＝(－4，7)，a ＋c ＝0，则c 在b 方向上的投影为________．解析：a ＋c ＝(2，3)＋c ＝0，所以c ＝(－2，－3)，设c 与b 夹角为θ，则c 在b 方向上的投影为|c |·cos θ＝|c |·c·b |c ||b |＝c·b |b |＝（－2，－3）·（－4，7）（－4）2＋72＝－655.答案：－65516．若两个向量a 与b 的夹角为θ，则称向量“a ×b ”为“向量积”，其长度|a ×b |＝|a ||b |·sin θ，若已知|a |＝1，|b |＝5，a·b ＝－4，则|a ×b |＝________．解析：由|a |＝1，|b |＝5，a·b ＝－4得cos θ＝－45，又θ∈[0，π]，所以sin θ＝35.由此可得|a ×b |＝1×5×35＝3.答案：3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，ABCD 是一个梯形，AB →∥CD →且|AB →|＝2|CD →|，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB →＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示下列向量AC →，MN →.解：因为AB →∥CD →，|AB →|＝2|CD →|， 所以AB →＝2DC →，DC →＝12AB →.(1)AC →＝AD →＋DC →＝e 2＋12e 1.(2)MN →＝MD →＋DA →＋AN → ＝－12DC →－AD →＋12AB →＝－14e 1－e 2＋12e 1＝14e 1－e 2. 18．(本小题满分12分)不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a |＝1，|b |＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c |的取值范围．解：|c |2＝|a ＋2b |2＝|a |2＋4a·b ＋4|b |2＝17＋8cos θ(其中θ为a 与b 的夹角)．因为0°<θ<120°. 所以－12<cos θ<1，所以13<|c |<5，所以|c |的取值范围为(13，5)．19．(本小题满分12分)如图所示，在△ABC 中，AQ →＝QC →，AR →＝13AB →，BQ 与CR 相交于点I ，AI 的延长线与边BC 交于点P .(1)用AB →和AC →分别表示BQ →和CR →；(2)如果AI →＝AB →＋λBQ →＝AC →＋μCR →，求实数λ和μ的值； (3)确定点P 在边BC 上的位置． 解：(1)由AQ →＝12AC →，可得BQ →＝BA →＋AQ →＝－AB →＋12AC →.因为AR →＝13AB →，所以CR →＝CA →＋AR →＝－AC →＋13AB →.(2)将BQ →＝－AB →＋12AC →，CR →＝－AC →＋13AB →代入AI →＝AB →＋λBQ →＝AC→＋μCR →，则有AB →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－AB →＋12AC →＝AC →＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－AC →＋13AB →， 即(1－λ)AB →＋12λAC →＝13μAB →＋(1－μ)AC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝13μ，12λ＝1－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.(3)设BP →＝mBC →，AP →＝nAI →. 由(2)知AI →＝15AB →＋25AC →，所以BP →＝AP →－AB →＝nAI →－AB →＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫15AB →＋25AC →－AB →＝2n 5·AC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 5－1AB →＝mBC →＝mAC →－mAB →， 因为AB →与AC →不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝n 5－1，m ＝2n 5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝53，所以BP →＝23BC →，即BPPC ＝2，所以点P 在BC 的三等分点且靠近点C 处．20．(本小题满分12分)在四边形ABCD 中，AB →＝(6，1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，BC →∥DA →.(1)求x 与y 的关系式；(2)若AC →⊥BD →，求x 、y 的值以及四边形ABCD 的面积． 解：如图所示．(1)因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(x ＋4，y －2)，所以DA →＝－AD →＝(－x －4，2－y )．又因为BC →∥DA →，BC →＝(x ，y )，所以x (2－y )－(－x －4)y ＝0，即x ＋2y ＝0. (2)由于AC →＝AB →＋BC →＝(x ＋6，y ＋1)， BD →＝BC →＋CD →＝(x －2，y －3)． 因为AC →⊥BD →，所以AC →·BD →＝0，即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0，又x ＋2y ＝0，所以y 2－2y －3＝0，所以y ＝3或y ＝－1.当y ＝3时，x ＝－6，于是BC →＝(－6，3)，AC →＝(0，4)，BD →＝(－8，0)．所以|AC →|＝4，|BD →|＝8，所以S 四边形ABCD ＝12|AC →||BD →|＝16. 当y ＝－1时，x ＝2，于是有BC →＝(2，－1)，AC →＝(8，0)，BD →＝(0，－4)．所以|AC →|＝8，|BD →|＝4，S 四边形ABCD ＝16.综上可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1， S 四边形ABCD ＝16.21．(本小题满分12分)已知a ＝(2x －y ＋1，x ＋y －2)，b ＝(2，－2)．(1)当x ，y 为何值时，a 与b 共线？(2)是否存在实数x ，y 使得a ⊥b ，且|a |＝|b |？若存在，求出xy 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)因为a 与b 共线，所以存在实数λ，使得a ＝λb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝2λ，x ＋y －2＝－2λ， 解得⎩⎨⎧x ＝13，y ∈R ，所以当x ＝13，y 为任意实数时，a 与b 共线． (2)由a ⊥b ⇒a ·b ＝0⇒(2x －y ＋1)×2＋(x ＋y －2)×(－2)＝0⇒x －2y ＋3＝0.①由|a |＝|b |⇒(2x －y ＋1)2＋(x ＋y －2)2＝8.②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝73，所以xy ＝－1或xy ＝359. 所以存在实数x ，y ，使得a ⊥b ，且|a |＝|b |，此时xy ＝－1或xy ＝359. 22．(本小题满分12分)已知三角形ABC 是等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，D 是BC 边的中点，BE ⊥AD ，延长BE 交AC 于点F ，连接DF .求证：∠ADB ＝∠FDC (用向量方法证明)．证明：如图所示，建立直角坐标系，设A (2，0)，C (0，2)，则D (0，1)．于是AD →＝(－2，1)，AC →＝(－2，2)．设F (x ，y )，由BF →⊥AD →，得BF →·AD →＝0，即(x ，y )·(－2，1)＝0，所以－2x ＋y ＝0.①又F 点在AC 上，则FC →∥AC →，而FC →＝(－x ，2－y )，因此2×(－x )－(－2)×(2－y )＝0，即x ＋y ＝2.②由①②式解得x ＝23，y ＝43， 所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，DC →＝(0，1)， DF →·DC →＝13， 又DF →·DC →＝|DF →||DC →|cos ∠FDC ＝53cos ∠FDC . 所以cos ∠FDC ＝55， 又cos ∠ADB ＝DB →·DA →|DB →||DA →|＝15＝55， 所以cos ∠ADB ＝cos ∠FDC ＝55，故∠ADB ＝∠FDC .。
【人教A版】必修4高中数学同步辅导与检测题：模块综合评价(含答案)
模块综合评价(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)1．已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝( )A.57B.61 C ．57D ．61解析：由题意可得a·b ＝|a |·|b |cos π3＝3，所以|2a －3b |＝（2a －3b ）2＝4|a |2＋9|b |2－12a·b ＝16＋81－36＝61.答案：B2．已知角α的终边经过点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值等于( )A ．－35B ．45C ．25D ．－25解析：因为α的终边过点P (4，－3)， 所以x ＝4，y ＝－3，r ＝|OP |＝5， 所以sin α＝y r ＝－35，cos α＝45，所以2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.答案：D3．下列各向量中，与a ＝(3，2)垂直的是( ) A ．(3，－2) B ．(2，3) C ．(－4，6)D ．(－3，2)解析：因为(3，2)·(－4，6)＝3×(－4)＋2×6＝0. 答案：C4．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度解析：因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，所以将函数y ＝sin 2x 的图象向右平行移动π6个单位长度，可得y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．答案：D5．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．90°解析：设a ，b 的夹角为θ，由c ⊥a ，c ＝a ＋b ⇒(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0⇒a ·b ＝－1⇒cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12且0°≤θ≤180°⇒θ⇒120°.故选C. 答案：C6．(2015·广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝x ＋sin 2xB ．y ＝x 2－cos xC ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x 2＋sin x解析：A 项，定义域为R ，f (－x )＝－x －sin 2x ＝－f (x )，为奇函数，故不符合题意；B 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数，故不符合题意；C 项，定义域为R ，f (－x )＝2－x ＋12－x＝2x＋12x ＝f (x )，为偶函数，故不符合题意；D 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－sin x ，－f (x )＝－x 2－sin x ，因为f (－x )≠－f (x )，且f (－x )≠f (x )，故为非奇非偶函数．答案：D7．如果点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，那么角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为点P 位于第三象限，所以⎩⎨⎧sin θcos θ<0，2cos θ<0，所以⎩⎨⎧cos θ<0，sin θ >0，所以θ在第二象限． 答案：B8．若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z)B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z)C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z)D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z)解析：将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z)．答案：B9．(2015·课标全国Ⅰ卷)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，所以2πω＝2，所以ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，所以f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，所以f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z. 答案：D10．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s ＞0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( )A ．t ＝12， s 的最小值为π6B ．t ＝32， s 的最小值为π6C ．t ＝12， s 的最小值为π3D ．t ＝32， s 的最小值为π3解析：因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上，所以t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，12.将点P 向左平移s (s ＞0)个单位长度得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，12.因为P ′在函数y ＝sin 2x 的图象上，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝12，即cos 2s＝12，所以2s ＝2k π＋π3或2s ＝2k π＋53π，即s ＝k π＋π6或s ＝k π＋5π6(k ∈Z)，所以s 的最小值为π6.答案：A11．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π(k ∈Z) 解析：由题意可得y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，由π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π，k ∈Z ，所以原函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z)． 答案：C12．化简cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2－7π8－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋7π8＝( )A ．－22sin x B.22sin x C ．－22cos xD.22cos x解析：cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2－7π8－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋7π8＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－7π8＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋7π8. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－7π8－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋7π8＝ ⎝⎛⎭⎪⎫2cos x 2cos 7π8·⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2sin 7π8＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin 7π8cos 7π8·⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2＝sin 7π4·sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π4·sin x ＝－sin π4·sin x ＝－22sin x .答案：A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________．解析：因为sin 2α＝－sin α，所以2sin αcos α＝－sin α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α≠0， 所以cos α＝－12.又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以α＝23π，所以tan 2α＝tan 43π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝tan π3＝ 3.答案：314．(2014·陕西卷)设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________．解析：因为a ∥b ，所以sin 2θ×1－cos 2θ＝0，所以2sin θcos θ－cos 2θ＝0，因为0<θ<π2，所以cos θ >0，所以2sinθ＝cos θ，所以tan θ＝12.答案：1215．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为________．解析：如图，由条件可知BC →＝AC →－AB →，AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →，所以BC →·AF →＝(AC →－AB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12AB →＋34AC → ＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2.因为△ABC 是边长为1的等边三角形， 所以|AC →|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°， 所以BC →·AF →＝34－18－12＝18.答案：1816．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R.若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z.又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，所以ω2＝π4，所以ω＝π2.答案：π2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a·b ；(2)若a －b 与a 垂直，求θ.解：(1)因为a ∥b ，所以θ＝0°或180°， 所以a·b ＝|a ||b |cos θ＝±2. (2)因为a －b 与a 垂直，所以(a －b )·a ＝0，即|a |2－a·b ＝1－2cos θ＝0， 所以cos θ＝22.又0°≤θ ≤180°，所以θ＝45°.18．(本小题满分12分)已知角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求式子sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－αsin （α＋π）·tan （α－π）cos （3π－α）的值．解：(1)因为|OP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1， 所以点P 在单位圆上， 由正弦函数定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α，由(1)得sin α＝－35，P 在单位圆上，所以由已知条件得cos α＝45.所以原式＝54.19．(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角 β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．(1)若A ，B 两点的纵坐标分别为45，1213，求cos( β－α)的值； (2)已知点C 是单位圆上的一点，且OC →＝OA →＋OB →，求OA →和OB →的夹角θ.解：(1)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，45，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1213，则x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝1，又x 1>0，所以x 1＝35，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45. x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝1，又x 2<0，所以x 2＝－513， 所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－513，1213. 所以sin α＝45，cos α＝35，sin β＝1213，cos β＝－513， 所以cos( β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×35＋1213×45＝3365. (2)根据题意知|OA →|＝1，|OB →|＝1，|OC →|＝1，又OC →＝OA →＋OB →，所以四边形CAOB 是平行四边形．又|OA →|＝|OB →|，所以▱CAOB 是菱形，又|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，所以△AOC 是等边三角形，所以∠AOC ＝60°，所以∠AOB ＝120°，即OA →与OB →的夹角θ为120°.20．(本小题满分12分)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值． 解：(1)f (x )＝23sin (π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)， 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)⎣⎢⎡⎦⎥⎤或⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12＞k π＋5π12（k ∈Z ）.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1， 把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋3－1的图象， 再把得到的图象向左平移π3个单位， 得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，即g (x )＝2sin x ＋3－1，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3. 21．(本小题满分12分)(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值． 解：(1)若m ⊥n ，则m·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0， 所以tan x ＝1.(2)因为m 与n 的夹角为π3，所以m·n ＝|m |·|n |cos π3， 即22sin x －22cos x ＝12， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4， 所以x －π4＝π6，即x ＝5π12. 22．(2015·重庆卷)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12sin 2x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求g (x )的值域． 解：(1)f (x )＝12sin 2x －3cos 2x ＝12sin 2x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最小值为－2＋32. (2)由条件可知g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－32. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，有x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3， 从而y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， 那么y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－32的值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－32，2－32. 故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的值域是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－32，2－32.。
【精品习题】高中人教A版数学必修4：模块综合测试卷 Word版含解析
模块综合测试卷班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．－3290°角是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 答案：D解析：－3290°＝－360°×10＋310° ∵310°是第四象限角 ∴－3290°是第四象限角2．在单位圆中，一条弦AB 的长度为3，则该弦AB 所对的弧长l 为( ) A.23π B.34π C.56π D ．π 答案：A解析：设该弦AB 所对的圆心角为α，由已知R ＝1，∴sin α2＝AB2R ＝32，∴α2＝π3，∴α＝23π，∴l ＝αR ＝23π.3．下列函数中周期为π2的偶函数是( )A ．y ＝sin4xB ．y ＝cos 22x －sin 22x C ．y ＝tan2x D ．y ＝cos2x 答案：B解析：A 中函数的周期T ＝2π4＝π2，是奇函数．B 可化为y ＝cos4x ，其周期为T ＝2π4＝π2，是偶函数．C 中T ＝π2，是奇函数，D 中T ＝2π2＝π，是偶函数．故选B. 4．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )·b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为( )A ．3B ．－3C ．0D ．2 答案：A解析：由原式可得⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3.∴x －y ＝3.5．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 是( ) A ．长方形 B ．平行四边形 C ．菱形 D ．梯形 答案：D解析：AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2BC →， 且|AD →|≠|BC →|∴四边形ABCD 是梯形．6．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(cos θ，sin θ)，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则|a ＋b |的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[2，2] 答案：D解析：|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝2＋2cos θ，因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，所以2＋2cos θ∈[2,4]，所以|a ＋b |的取值范围是[2，2]．7．已知cos α＝－45，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( ) A ．－17 B ．7C.17D ．－7 答案：B解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－45，∴sin α＝35，tan α＝－34， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝7. 8．函数f (x )＝2sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －π2的部分图象是()答案：C解析：∵f (x )＝2sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －π2， ∴f (π－x )＝2sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎪π－x －π2＝2sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－x ＝f (x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝π2对称．排除A 、B 、D.9．y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38π＋k π，π8＋k π(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋2k π，58π＋2k π(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38π＋2k π，π8＋2k π(k ∈Z ) 答案：A解析：y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4.由2k π≤2x －π4≤π＋2k π，(k ∈Z )得π8＋k π≤x ≤58π＋k π(k ∈Z )时，y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4单调递减．故选A. 10．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4 答案：A解析：因为直线x ＝π4和x ＝5π4是函数图象中相邻的两条对称轴，所以5π4－π4＝T2，即T 2＝π，T ＝2π.又T ＝2πω＝2π，所以ω＝1，所以f (x )＝sin(x ＋φ)．因为直线x ＝π4是函数图象的对称轴，所以π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π4＋k π，k ∈Z .因为0<φ<π，所以φ＝π4，检验知，此时直线x ＝5π4也为对称轴．故选A.11．若向量a ＝(2x －1,3－x )，b ＝(1－x,2x －1)，则|a ＋b |的最小值为( ) A.2－1 B ．2－ 2 C. 2 D ．2 答案：C解析：|a ＋b |＝2x 2＋2x ＋2≥ 2.12．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )A.33 B ．－33C.539 D ．－69 答案：C 解析：∵α＋β2＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2＝13×33＋223×63＝3＋439＝539.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知|a |＝4，a 与b 的夹角为π6，则a 在b 方向上的投影为__________．答案：2 3解析：由投影公式计算：|a |cos π6＝2 3.14．函数y ＝2sin x cos x －1，x ∈R 的值域是______． 答案：[－2,0]解析：y ＝2sin x cos x －1＝sin2x －1，∵x ∈R ， ∴sin2x ∈[－1,1]，∴y ∈[－2,0]．15．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 解析：由f (x )与g (x )的图像的对称轴完全相同，易知：ω＝2，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，则f (x )的最小值为3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－32，最大值为3sin π2＝3，所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 16．下列判断正确的是________．(填写所有正确判断序号)①若sin x ＋sin y ＝13，则sin y －cos 2x 的最大值是43②函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2x 的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ) ③函数f (x )＝1＋sin x －cos x1＋sin x ＋cos x 是奇函数④函数y ＝tan x 2－1sin x的最小正周期是π答案：①④解析：①sin y －cos 2x ＝sin 2x －sin x －23，∴sin x ＝－1时，最大值为43.②2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，∴k π－3π8≤x ≤k π＋π8.③定义域不关于原点对称．④y ＝tan x 2－1sin x ＝－1tan x，∴T ＝π.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知角α终边上一点P (－4,3)，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值．解：∵tan α＝y x ＝－34∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α＝－34.18．(12分)已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(1，－2)，且m ·n ＝0. (1)求tan A 的值；(2)求函数f (x )＝cos2x ＋tan A ·sin x (x ∈R )的值域． 解：(1)∵m ·n ＝0， ∴sin A －2cos A ＝0.∴tan A ＝sin Acos A＝2.(2)f (x )＝cos2x ＋tan A sin x ＝cos2x ＋2sin x＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32.∵－1≤sin x ≤1∴sin x ＝12时，f (x )取最大值32，sin x ＝－1时，f (x )取最小值－3，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32. 19．(12分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝2 5，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ.解：(1)设c ＝(x ，y )．∵|c |＝2 5，∴x 2＋y 2＝2 5，即x 2＋y 2＝20.① ∵c ∥a ，a ＝(1,2)∵2x －y ＝0，即y ＝2x ，②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－4，∴c ＝(2,4)或(－2，－4)． (2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )， ∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，∴2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0.∵|a |2＝5，|b |2＝54，代入上式得a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b|a |·|b |＝－525×52＝－1.又∵θ∈[0，π]， ∴θ＝π.20．(12分)已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－sin 2x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值； (2)若对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，都有f (x )≤c ，求实数c 的取值范围．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12－sin 2π12＝cos π6＝32.(2)f (x )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－12(1－cos2x ) ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos2x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin2x ＋32cos2x ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，所以当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )取得最大值32.所以对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )≤c 等价于32≤c .故当对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )≤c 时，c 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.21．(12分)已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.(1)求sin2α和tan2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin2α＝95，∴sin2α＝45.又2α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos2α＝1－sin 22α＝35，∴tan2α＝sin2αcos2α＝43.(2)∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝45， 于是sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425. 又sin2⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝－cos2β，∴cos2β＝－2425. 又2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin2β＝725，又cos 2α＝1＋cos2α2＝45，∴cos α＝25，∴sin α＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.∴cos(α＋2β)＝cos αcos2β－sin αsin2β＝255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－55×725＝－11525.22．(12分)如图，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，A 2是函数y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3x ＋φ(其中A >0，φ∈[0，π))的图象与y 轴的交点，点Q ，点R 是它与x 轴的两个交点．(1)求φ的值；(2)若PQ ⊥PR ，求A 的值．解：(1)∵函数经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，A 2，∴sin φ＝12， 又∵φ∈[0，π)，且点P 在递增区间上，∴φ＝π6.(2)由(1)可知y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6.令y ＝0，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3x ＋π6＝0，∴2π3x ＋π6＝k π，(k ∈Z )，∴可得x ＝－14，54， ∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0. 又∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，A 2，∴PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，－A 2，PR →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54，－A 2. ∵PQ ⊥PR ，∴PQ →·PR →＝－516＋14A 2＝0，解得A ＝52.。
2019秋金版学案数学必修4(人教A版)练习：模块综合评价 Word版含解析
模块综合评价(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝( )A.57B.61C ．57D ．61解析：由题意可得a·b ＝|a |·|b |cos π3＝3，所以|2a －3b |＝（2a －3b ）2＝4|a |2＋9|b |2－12a·b ＝16＋81－36＝61. 答案：B2．已知角α的终边经过点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值等于( )A ．－35B.45C.25D ．－25解析：因为α的终边过点P (4，－3)， 所以x ＝4，y ＝－3，r ＝|OP |＝5，所以sin α＝y r ＝－35，cos α＝45，所以2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.答案：D3．下列各向量中，与a ＝(3，2)垂直的是( ) A ．(3，－2) B ．(2，3)C ．(－4，6)D ．(－3，2)解析：因为(3，2)·(－4，6)＝3×(－4)＋2×6＝0，故选C.答案：C4．将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位后，得到f (x )的图象，则( )A ．f (x )＝－sin 2xB ．f (x )的图象关于x ＝－π3对称C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π3＝12D ．f (x )的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称 解析：f (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝1，f (x )的图象关于x ＝－π3对称；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π3＝cos 16π3＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝cos5π6≠0，因此选B. 答案：B5．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．90°解析：设a ，b 的夹角为θ，由c ⊥a ，c ＝a ＋b ⇒(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0⇒a ·b ＝－1⇒cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12且0°≤θ≤180°⇒θ⇒120°. 答案：C6．函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向右平移7π24个单位后得到函数g (x )的图象，若函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＞－π3上的值域为[－1，2]，则θ等于( )A.π6B.π4C.2π3D.7π12解析：由图象可知，A ＝－2，T ＝π，ω＝2，φ＝π4，所以f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.g (x )＝－2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －7π24＋π4＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，由题意及g (x )的单调性知，g (θ)＝－1，解得θ＝π4＋k π，k ∈Z ，结合题意知θ＝π4.答案：B7．如果点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，那么角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：因为点P 位于第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θcos θ<0，2cos θ<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos θ<0，sin θ >0，所以θ在第二象限． 答案：B8．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，0)，B (0，1)，点C 在第二象限内，∠AOC ＝5π6，且|OC →|＝2，OC →＝λOA →＋μOB →，则λ，μ的值分别是( )A ．1，1B.3，1 C ．－3，－1 D ．－3，1解析：因为∠AOC ＝5π6，所以〈OA →，OC →〉＝5π6.〈OC →，OB →〉＝5π6－π2＝π3.则OC →＝λOA ＋μOB →＝(λ，μ)，OC →·OA →＝(λ，μ)·(1，0)＝|OC →|·|OA →|cos 5π6，即λ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，OC →·OB →＝(λ，μ)·(0，1)＝|OC →||OB →|·cosπ3， 即μ＝2×12＝1，所以λ＝－3，μ＝1.答案：D9．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z解析：由图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，所以2πω＝2，所以ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，所以f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.答案：D10．在△ABC 中，P 是边BC 的中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cAC →＋aPA →＋bPB →＝0，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形但不是等边三角形解析：如图，由P 是BC 的中点，cAC →＋aPA →＋bPB →＝0，知c (PC →－PA →)＋aPA →－bPC →＝(a －c )·PA →＋(c －b )PC →＝0，而PA →与PC →不共线，所以a －c ＝c －b ＝0， 所以a ＝b ＝c . 答案：A11．已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0＜φ＜π)，将函数f (x )的图象向左平移π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12，则φ＝( )A.π6B.π4C.π3D.2π3解析：f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos φ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x －12＝12sin 2x sin φ＋12cos φcos 2x ＝12cos(2x －φ)， 所以g (x )＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－φ.因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12，所以2×π4＋π6－φ＝2k π(k ∈Z)，即φ＝2π3－2k π(k ∈Z)．因为0＜φ＜π，所以φ＝2π3.答案：D12．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝cos(3x ＋π6)在[0，π]的零点个数为________．答案：314．(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos(ωx －π6)(ω>0)．若f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．答案：2315．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为________．解析：如图，由条件可知BC →＝AC →－AB →，AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →， 所以BC →·AF →＝(AC →－AB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12AB →＋34AC → ＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2. 因为△ABC 是边长为1的等边三角形，所以|AC →|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°， 所以BC →·AF →＝34－18－12＝18.答案：1816．如图，在同一平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1，1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R)，则m ＋n ＝________．解析：由tan α＝7，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－43.以O 为原点，OA 方向为x 轴正半轴建立坐标系(图略)，则A 点坐标为(1，0)．由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α ＋π4＝－43，OB →的模为1，可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45.由tan α＝7，OC →的模为2，可得C ⎝⎛⎭⎪⎫15，75.由OC →＝mOA →＋nOB →，代入A ，B ，C 点坐标可得， ⎩⎪⎨⎪⎧m －35n ＝15，45n ＝75，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝54，n ＝74. 所以m ＋n ＝3. 答案：3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为θ.(1)若a∥b，求a·b；(2)若a－b与a垂直，求θ.解：(1)因为a∥b，所以θ＝0°或180°，所以a·b＝|a||b|cos θ＝±2.(2)因为a－b与a垂直，所以(a－b)·a＝0，即|a|2－a·b＝1－2cos θ＝0，所以cos θ＝2 2.又0°≤θ≤180°，所以θ＝45°.18．(本小题满分12分)已知a＝(1，2)，b＝(－3，1)，(1)求a－2b；(2)设a，b的夹角为θ，求cos θ的值；(3)若向量a＋kb与a－kb互相垂直，求k的值．解：(1)a－2b＝(1，2)－2(－3，1)＝(1＋6，2－2)＝(7，0)．(2)cos θ＝a·b|a||b|＝1×（－3）＋2×112＋22·12＋（－3）2＝－210.(3)因为向量a＋kb与a－kb互相垂直，所以(a＋kb)·(a－kb)＝0，即a2－k2b2＝0.因为a2＝5，b2＝10，所以5－10k2＝0，所以k＝±2 2.19．(本小题满分12分)(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝4 3，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．解：(1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2 α＋cos 2 α＝1， 所以cos 2α＝925因此cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－55， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255，因此tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝－247.因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211. 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．解：(1)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z)，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z)， 故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z)． (2)因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上为减函数， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＝－2cos π4＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.21．(本小题满分12分)(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P (－35，－45)．(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值．解：(1)由角α的终边过点P (－35，－45)，得sin α＝－45.所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P (－35，－45)，得cos α＝－35.由sin(α＋β)＝513得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的一系列对应值如下表：(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)的最小正周期为2π3，当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，方程f (kx )＝m 恰好有两个不同的解，求实数m 的取值范围．解：(1)设f (x )的最小正周期为T ，则T ＝11π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2π，由T ＝2πω，得ω＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝1.令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋1.(2)因为函数y ＝f (kx )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3＋1的最小正周期为2π3，又k ＞0，所以k ＝3，令t ＝3x －π3，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， 若sin t ＝s 在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上有两个不同的解，则s ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1，所以方程f (kx )＝m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上恰好有两个不同的解，则m ∈[3＋1，3)，即实数m 的取值范围是[3＋1，3)．。
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模块质量评估(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( )A ．－1213B ．－513C.513D.1213解析： ∵α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1213.答案： A2．已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为( ) A ．4 cm 2 B ．6 cm 2 C ．8 cm 2D ．16 cm 2解析： 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，l ＝2r .解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝4.所以S ＝12lr ＝4(cm 2)．答案： A3．已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )A ．－35B.35 C ．±35D.45解析： 由已知sin α＝－45，而α为第四象限角，所以cos α＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝35， 所以cos(α－2π)＝cos α＝35.答案： B4．已知α是锐角，a ＝⎝⎛⎭⎫34，sin α，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则α为( ) A ．15° B ．45° C ．75°D ．15°或75°解析： ∵a ∥b ，∴sin α²cos α＝34³13，即sin 2α＝12.又∵α为锐角，∴0°＜2α＜180°. ∴2α＝30°或2α＝150°. 即α＝15°或α＝75°. 答案： D5．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，若a ＝e 1＋e 2，b ＝－4e 1＋2e 2, 则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析： 依据题意a ·b ＝－3，|a |·|b |＝3³23＝6，cos 〈a ，b 〉＝－12，故a 与b 的夹角为120°.答案： C6．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－35，且x 是第三象限角，则1＋tan x 1－tan x 的值为( )A ．－34B ．－43C.34D.43解析： 因为x 是第三象限角，所以π＋2k π＜x ＜3π2＋2k π，k ∈Z ，所以5π4＋2k π＜x ＋π4＜7π4＋2k π，k ∈Z ，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＜0，而cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－35，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－45，故1＋tan x 1－tan x ＝tanπ4＋tan x1－tan π4²tan x＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝43，选D.答案： D7．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0D ．－π4解析： y ＝sin(2x ＋φ)――――――→向左平移π8个单位 y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ.当φ＝3π4时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ，为奇函数；当φ＝π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，为偶函数；当φ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，为非奇非偶函数；当φ＝－π4时，y ＝sin 2x ，为奇函数．故选B.答案： B8．函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )解析： 当x ＝π2时，y ＝1＞0，排除C.当x ＝－π2时，y ＝－1，排除B ；或利用y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，图象关于原点对称，排除B.当x ＝π时，y ＝－π＜0，排除A.故选D. 答案： D9．已知|p |＝22，|q |＝3，p ，q 的夹角为π4，如图所示，若AB →＝5p ＋2q ，AC →＝p －3q ，D 为BC 的中点，则|AD →|为( )A.152B.152C ．7D ．18解析： ∵AD →＝12(AC →＋AB →)＝12(5p ＋2q ＋p －3q )＝12(6p －q )，∴|AD →|＝|AD →|2＝12（6p －q ）2＝1236p 2－12p ·q ＋q 2 ＝1236³（22）2－12×22×3×cosπ4＋32＝152. 答案： A10．给出以下命题：①若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β； ②若函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ax －π3的最小正周期是4π，则a ＝12；③函数y ＝sin 2x －sin xsin x －1是奇函数；④函数y ＝|sin x －12|的周期是π；⑤函数y ＝sin x ＋sin|x |的值域是[0，2]． 其中正确命题的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析： 对于①来说，取α＝390°，β＝60°，均为第一象限角，而sin 60°＝32，sin 390°＝sin 30°＝12，故sin α＜sin β，故①错误；对于②，由三角函数的最小正周期公式T ＝2π|a |＝4π，得a ＝±12，故②错误；对于③，该函数的定义域为{x |sin x －1≠0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π2＋2k π，k ∈Z ，因定义域不关于原点对称，故没有奇偶性，故③错误；对于④，记f (x )＝|sin x －12|.若T ＝π，则有f ⎝⎛⎭⎫－π2＝f ⎝⎛⎭⎫π2，而f ⎝⎛⎭⎫－π2＝⎪⎪⎪⎪－1－12＝1.5，f ⎝⎛⎭⎫π2＝⎪⎪⎪⎪1－12＝0.5，显然不相等，故④错误；对于⑤，y ＝sin x ＋sin |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0 （x ＜0）2sin x （x ≥0），而当f (x )＝2sin x (x ≥0)时，－2≤2sin x ≤2，故函数y ＝sin x ＋sin |x |的值域为[－2，2]，故⑤错误；综上可知选D.答案： D11．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)的值等于( )A ．2B ．2＋ 2C ．2＋2 2D ．－2－2 2解析： 由图象可知，函数的振幅为2，初相为0，周期为8，则A ＝2，φ＝0，2πω＝8，从而f (x )＝2sinπ4x . ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝2sin π4＋2sin π2＋2sin 3π4＝2＋2 2. 答案： C12．已知3a ＋4b ＋5c ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )＝( ) A ．0 B ．－35C.35D ．－45解析： 由3a ＋4b ＋5c ＝0，得向量3a ，4b ，5c 能组成三角形，又|a |＝|b |＝|c |＝1，所以三角形的三边长分别是3，4，5，故三角形为直角三角形，且a ⊥b ，所以a ·(b ＋c )＝a ·c ＝－35.答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB →＝(2，2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．解析： ∵∠ABO ＝90°，∴AB →⊥OB →，∴OB →²AB →＝0. 又AB →＝OB →－OA →＝(2，2)－(－1，t )＝(3，2－t )， ∴(2，2)·(3，2－t )＝6＋2(2－t )＝0. ∴t ＝5. 答案： 514．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，若cos α＝35(0＜α＜π2)，则f (α＋π12)＝________．解析： 因为cos α＝35⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2，所以sin α＝45； f ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22(sin α＋cos α)＝7210.答案：721015．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最大值是________．解析： 由f (x )＝1－cos 2x 2＋32sin 2x＝12＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∵π4≤x ≤π2⇒π3≤2x －π6≤5π6， ∴f (x )max ＝12＋1＝32.答案： 3216．有下列四个命题：①若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β； ②若函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ax －π3的最小正周期是4π，则a ＝12；③函数y ＝sin 2x －sin xsin x －1是奇函数；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2在[0，π]上是增函数．其中正确命题的序号为________．解析： α＝390°＞30°＝β，但sin α＝sin β，所以①不正确； 函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ax －π3的最小正周期为T ＝2π|a |＝4π，所以|a |＝12，a ＝±12，因此②不正确；③中函数定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，显然不关于原点对称，所以③不正确；由于函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ，它在(0，π)上单调递增，因此④正确． 答案： ④三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a ·b ； (2)若a －b 与a 垂直，求θ.解析： (1)∵a ∥b ，∴θ＝0°或180°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝±2.(2)∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0， 即|a |2－a ·b ＝1－2cos θ＝0， ∴cos θ＝22. 又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.18．(本小题满分12分)已知tan α＝12，求1＋2sin （π－α）cos （－2π－α）sin 2（－α）－sin2⎝⎛⎭⎫5π2－α的值．解析： 原式＝1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝（sin α＋cos α）2（sin α－cos α）（sin α＋cos α） ＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1， 又∵tan α＝12，∴原式＝12＋112－1＝－3.19．(本小题满分12分)已知a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1，2sin α－1)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，a ·b ＝25，求52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos2α2.解析： ∵a ·b ＝cos 2α＋sin α(2sin α－1) ＝cos 2α＋2sin 2α－sin α ＝1－sin α＝25，∴sin α＝35.∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45， ∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，∴52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos 2α2＝52sin 2α－22（cos α－sin α）1＋cos α＝52³⎝⎛⎭⎫－2425－22⎝⎛⎭⎫－45－351－45＝－10 2.20．(本小题满分12分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0，1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． 解析： (1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又∵a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， ∴2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)∵a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1， 由此得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π. 又∵0＜α＜π，∴α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1， 得sin α＝sin β＝12，而α＞β，∴α＝5π6，β＝π6.21．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝2cos x ²sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x ²cos x .(1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f (x )的值域；(2)用五点法在下图中作出y ＝f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的简图．解析： f (x )＝2cos x ²sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x＝2cos x ⎝⎛⎭⎫sin x cosπ3＋cos x sin π3－3²sin 2x ＋sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的值域为[－3，2]． (2)由T ＝2π2，得T ＝π，列表：22．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<⎭⎫π2的最大值为22，最小值为－2，周期为π，且图象过⎝⎛⎭⎫0，－24. (1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间．解析： (1)∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的最大值为22，最小值为－2， ∴A ＝322，B ＝22.又∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的周期为π， ∴T ＝2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝322sin(2x ＋φ)＋22.又∵函数f (x )过⎝⎛⎭⎫0，－24，∴－24＝322sin φ＋22，即sin φ＝－12.又∵|φ|<π2，∴φ＝－π6，∴f (x )＝322sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋22.(2)令t ＝2x －π6，则y ＝322sin t ＋22，其增区间为：⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z. 即2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z.解得k π－π6≤x ≤k π＋π3.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z.。