矢量代数的合成、分解与矢量的数乘、叉乘

CA
B A BC
Ay
A
矢量4
Ax A Ax Ay
z
2．矢量的正交分解
A Axi Ay j Azk
Az
k A
大小：A
Ax2 Ay2 Az2
方向：cos
Ax
, cos
Ay
, cos
Az
A
A
A
i
Ay
j
Ax
y
x
矢量8
三．矢量和（差）的正交分量表示
A
Axi
3） A B 0 A // B 4） A A 0
B
A
矢量6
矢量的标积的正交分量表示：
A B ( Axi Ay j Azk ) (Bxi By j Bzk )
( Ay Bz Az By )i ( Az Bx Ax Bz ) j ( Ax By Ay Bx )k
定义：
A B AB cos [ ( A, B)]
性质：
1） A B B A
2） A (B C) A B A C
3） A B 0 AB
4） A A A2
i j j k k i 0
矢量的标积的正交分量表示： i i j j k k 1
dt
B Adt
性质
1） (A B)dt Adt Bdt
2） (mA)dt m Adt
(m 常量）
3） (C
A)dt
C
Adt
(C
常量）
4） (C
A)dt
C
Adt
(C
常量）
矢量函数积分的正交分量表示
Adt ( Axdt)i ( Aydt) j ( Az dt)k
(
A
B)
dt dA
B
dt A
dB
4）
dt d
(
A
B)
dt dA
B
AdtdB
dt
dt
dt
矢量函数导数的正交分量表示
dA dAx
i
dAy
j
dAz
k
dt dt
dt
dt
三.矢量函数的积分
定义 若
A
A(t)
，
B
B(t)
，且
dB
A ，则
B 称为
A 的积分，记为
a
b
86 9.27
ijk
（2）
a
b
4
3
1
11i
23 j
25k ，
S
a
b
35.7
3 4 5
（3）
a
b
ab cos
cos
a
b
ab
5 0.139 97 0.58' 26 50
例 0-2
已知两矢量函数
a
(2t
1)i
2
j ，b
i
(2
3t)
j 。（1）t
?
时
i jk
Ax Ay Az
i j k
Bx By Bz
jk i
k i j
i i j j k k 0
§0-4 矢量函数的导数与积分
一.矢量函数
矢量 A 与变量 t之间存在一定的关系，如果当变量 t 取 定某个值后，矢量 A 有唯一确定的值（大小和方向）与之对 应，则 A 称为 t的矢量函数，即
Ay
j
Az
k
B Bxi By j Bz k
A B (Ax Bx )i (Ay By ) j (Az Bz )k
§0-3 矢量的乘积
一.矢量乘以标量
定义：
B mA
大小：mA
方向：m
0,
与A同向；m
0,
与A反向
性质：
m(A B) mA mB
二.矢量的标积
例 0-1
已知两矢量：a
4i
3
j
k ，b
3i
4
j
5k ，通过
矢量运算求：（1）以 a、b为两邻边所作的平行四边形两对角线
的长度；（2）该平行四边形的面积；（3）该平行四边形的内角。
解：（1）
a
b
7i
j
4k ， l1
a
b
66 8.12
a
b
i
7j
6k ， l2
2 2dt) j 2i 4 j
0
0
0
§0-1 矢量与标量
一．标量
定义：只有大小，没有方向的量。 表示：数字（可带正负号）。 加法：代数和。
二．矢量
定义：既有大小，又有方向的量。
表示：1）
A
AA0
A: 矢量的大小(矢量的模）
A0
:
沿A方向的单位矢量
2）有向线段
长度: 矢量的大小(矢量的模） 方向: 矢量的方向
加法：平行四边形法则或三角形法则。
A A(t)
二.矢量函数的导数
定义
dA lim A lim A(t t) A(t)
dt t0 t t0
t
z
A' A(t t)
A A(t t) A(t)
A A(t)
O
y
x
性质
1）
d
(A
B)
dA
dB
2）
dt d
( mA)
dt
dm
A
dt m dA
3）
dt d
A 矢量1
§0-2 矢量的合成与分解
一．矢量的合成
A
C
B C AB
B A C
C AB
矢量2 说明： A B A (B)
C
A
B
B
B
C
A
D
E
E ABCD
A
C
B
二．矢量的分解
1．矢量的分解： 把一个矢量看成两个或两个以上的矢量相加。 一般一个矢量有无穷多种分解法。
ab；（2）t
?
时
a//
b；（3）da dt
?
，db
dt
?
；（4） 2 0
adt
?
， 2 0
b dt
?
解：（1）
ab
a
b
0
(2t
1)
2(2
3t
)
0
t
5
8
（2）
a//
b
a
b
0
(2t
1)(2
3t)
2
0
t
0或t
7
（3）
da
2i ，
db
3
j
6
dt
dt
（4）
2 adt [
2
(2t 1)dຫໍສະໝຸດ Baidu]i (
A B ( Axi Ay j Azk ) (Bxi By j Bzk )
Ax Bx Ay By Az Bz
三.矢量的矢积
定义： S
A
B
方 大向 小： ：SSAA, SBsBin,满[足右(螺A,旋B)定] 则
性质：
S
1） A B B A
2） A (B C) A B A C