矢量的合成与分解
《大学物理》矢量运算
一、矢量和标量的定义及表示
1．标量：只有大小和正负而无方向的量，如质量、时间、 温度、功、能量。 表示：一般字母：m、t、T， 运算法则：代数法则
2．矢量：既有大小又有方向的量，如位移、加速度、电场强度
表示：粗体字母A 或 A ，其大小用 A 或 A 表示 。
A A A0
（3） A B Ax B x A y B y Az Bz
（4）引入矢量标积后，功就可以表示为 W F s Fcos s
3．矢量的叉乘
矢积
两矢量相乘得到矢量的乘法叫叉乘，其乘积称为矢积（叉积）
大小: C ABsin
C A B
垂直于A 、 B 组成的平面， 方向: 指向用右手螺旋法则确定。
位移、速度等 的合成
矢量作业
1. 矢量应如何正确表示？ 2. 矢量减法满足什么规律（请附图说明）？
3. 写出矢量点乘的解析表达式。
4. 矢量叉乘的右手螺旋法则如何操作？
5. 已知： a与b 夹角为45 ， a 6, b 2 2 , 求 a 2b a 3b
2 2 Ax Ay Az2
Az
z
k
Ax x
cos 2 cos 2 cos 2 1
4．矢量合成的解析法
A B ( Ax Bx ) i ( Ay By ) j
y 已知 A、B，（如图）求 A B 、B 用平行四边形法则合成 C 解：先将 A A C A B 然后将 A、B 正交分解，其解析式为 O A Ax i Ay j B Bx i B y j
矢量知识
r i r j r k
矢量的有向线段表示方法： 矢量的有向线段表示方法： 作图时，用有方向的线段表示矢量。 作图时，用有方向的线段表示矢量。 线段的长度按一定比例表示矢量的大小， 线段的长度按一定比例表示矢量的大小， 线段的方向表示矢量的方向。 线段的方向表示矢量的方向。
r A r B
矢量的一个重要性质－ 矢量的一个重要性质－矢量平移的不变性 把矢量在空间平移， 把矢量在空间平移，矢量的大小和方向 都不会因平移而改变。 都不会因平移而改变。
r r r B C 的方向垂直于A、 两矢量所决定的平
面，其指向由右手螺旋法则确定。 其指向由右手螺旋法则确定。
矢 量 矢 积 图 示 法
r C r C
r B
r C
θ
r A
v Ax、Ay、Az 表示矢量 A在直角坐标系三
个坐标轴的投影(坐标分量 ，可正可负。 个坐标轴的投影 坐标分量)，可正可负。 坐标分量 矢量大小与三个坐标分量的关系： 矢量大小与三个坐标分量的关系：
A= A + A + A
2 x 2 y
2 z
பைடு நூலகம்
r A方向由该矢量与三个坐标轴的夹角
(方向角 确定 方向角)确定 方向角
Cx = Ax + Bx
2 2 2 Cy = Ay + By C = Cx +Cy +Cz Cz = A + Bz z
r C
方向由三个方向角确定
( ) ( ) r r cosγ = cos( C • k) = C
r r cosα = cos C • i = Cx C r r cosβ = cos C • j = Cy C
z
C
矢量的合成与分解
矢量的合成与分解 Revised by Liu Jing on January 12, 2021第一部分：矢量的合成与分解Ⅰ、矢量定义：既有大小又有方向的物理量。
特点：矢量的合成与分解遵循平行四边形定则。
矢量的图示：带箭头的有向线段。
AⅡ、矢量的合成① 同方向矢量的合成：直接相加得到合矢量。
②③正弦定理：21sin sin sin A A Aαβθ== 余弦定理：A =知识点解析与应用（1）1、 简述三角函数.2、 一物体受到x 方向20N 的力和y 方向-30N 的力，求受到的合力.3、（2009海南）两个大小分别为F 1和F 2（F 2<F 1）的力作用在同一质点上，它们的合力的大小F 满足（ ） A. 21F F F ≤≤ B.121222F F F F F -+≤≤ C. 1212F F F F F -≤≤+ D. 222221212F F F F F -≤≤+4、（2010天津河西质查）某物体在三个共点力F 1、F 2、F 3的作用下处于平衡状态，则下面的各图中正确的反映了这三个力的关系是（ ）A B CD5、已知三个共点力的合力为零，则这三个力的大小可能为（ ）A. 15N, 5N, 6NB. 3N, 6N, 4NC. 1N, 2N, 10ND. 1N, 6N, 3N6、如图所示，有五个力作用于同一点O邻边和三条对角线.已知110F N =F FFF FF 1F 3 F 2F 1F 3F 2F 1合力大小为 N.7、物体受到两个相反的力的作用，F 1=8N ，F 2=10N ，当F 2由10N 逐渐减小到零的过程中，这两个力的合力的大小变化是（ ） A. 逐渐变小 B. 逐渐变大 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大 Ⅲ、矢量的减法① 利用“平行四边形定则”或“三角形法则”把一个已知矢量A 分解为两个分量：②轴12、100N 的力与x 轴成α角，其y 方向的分量为60N ，求力的x 方向的分量及其方位角α.3、分解一个力，若已知它的一个分力的大小和另一个分力的方向，且合力、分力不共线，则以下正确的是（ ）A. 只有唯一一组解B. 一定有两组解C. 可能有无数组解D. 可能有两组解 4、（2010北京西城区）F 1、F 2是力F 的两个分力，若F=10N ，则下列哪组力不可能是F 的两个分力（ ）A. F 1=10N, F 2=10NB. F 1=20N, F 2=20NC. F 1=2N, F 2=6ND. F 1=20N, F 2=30N5、（2009海口模拟）关于合力与它的两个分力的关系，下列说法中正确的是（ ）A. 合力和它的两个分力同时作用于物体上B. 合力的大小一定等于两个分力大小的代数和C. 合力一定大于它的任一个分力D. 合力的大小可能等于某一个分力的大小6、求下列作用于同一点的力的合力：30N ，东北方向；70N ，正南；50N ，西偏北30︒.第二部分：物理原理与运动规律Ⅰ、牛顿第一定律：=0），总保持静止状态任何物体在不受任何外力作用的时候（F合或匀速直线运动状态（a=0）.知识点解析与应用（1）（1）如何对物体进行受力分析？解析：分析顺序——重力，弹力，摩擦力（一重二弹三摩擦），再其他的力.①重力一定有，先画好.②弹力就是我们平时说的拉力、压力、支持力，但是一般要分析的是压力和支持力.有没有压力和支持力，先看有没有接触的地方.有接触的地方才去分析是否有其他物体压着它，或者支持着它. 注意，物体受到压力的时候是因为别的物体压着它，不是它压别的物体.③摩擦力，还是看接触的地方，如果有弹力，才可能有摩擦力.有没有摩擦力还要看接触面是否粗糙，有没有发生相对滑动或者有相对滑动的趋势.④然后才分析题目是否有提到其他力.1、画出图中球、杆、木块所受的弹力方向.（设各接触面光滑）2、在甲、乙两图中，A、B之间一定有弹力的是图.甲乙。
矢量的合成与分解的讨论
为多大？
【解析】以 m 为研究对象，其受力如图所示，将系统加速度分解到垂直斜面、
竖直方向，由牛顿第二定律，有
mg may
解得
ay g
则有
a
ay
tan
g
tan
，
ax
ay
/ cos
g cos
则由牛顿第二定律，有
对 m：
FN
max
mg cos
对整体： F (M m)a (M m)g tan
FN
B.两线上的拉力大小 F1＝F2＝1.9 N C.将 B 水平右移，使 M、A、B 在同一直线上，此时两线上的拉力大小 F1＝1.225 N，F2＝1.0 N D.将 B 移到无穷远处，两线上的拉力大小 F1＝F2＝0.866 N
【解析】可将重力分解到 MA、NA 方向，然后在 MA、NA 方向应用平衡条件，则很容易就确定出各 种情况下 F1、F2 的数值了。
d
，若
v
船＜v
水，则以
v
水的末
端为圆心、v 船为半径作圆弧，可知合速度 v 的末端在圆弧上移动，当 v 船⊥v 时，θ取最大值，此时有
sin
v船 v水
，则渡河航程最短为 l
d sin
v水 v船
d
。
【例 5】如图所示，在倾角为θ的固定粗糙斜面上，一个质量为 m 的物体在拉
力 F 的作用下沿斜面向上做匀加速直线运动，已知物体与斜面间的动摩擦因数为μ，为使物体加速度大小
利用三角形定则合成，得到矢量合成的多边形定则。
F4
F
2
F
F合
F3 F合
F2
F2
F
F1
F1
【例 4】小船1 渡河合速度——渡河航程问题
物理中常见的矢量和标量
物理中常见的矢量和标量1.引言1.1 概述矢量和标量是物理学中常见的概念。
在物理学中，我们经常需要描述和测量物体的某些特性或属性，而这些特性或属性可以被分为两类：矢量和标量。
矢量是有大小和方向的量。
它们可以用箭头表示，箭头的长度表示量的大小，箭头的方向表示量的方向。
例如，速度、力、位移和加速度等都是矢量量，它们除了有大小之外还有方向。
与此相反，标量是只有大小而没有方向的量。
标量只有数值大小，没有箭头来表示方向。
例如，时间、质量、温度和能量等都是标量量，它们只有一个数值大小而没有具体的方向。
矢量和标量在物理学中有着广泛的应用。
在运动学中，我们可以使用矢量来描述物体的运动状态，例如速度矢量可以告诉我们物体的速度和方向。
在力学中，矢量可以用来描述物体所受的力和力的作用方向。
在电磁学中，电场和磁场都可以用矢量来描述。
总结起来，物理学中常见的矢量和标量分别指的是有大小和方向的量以及只有大小而没有方向的量。
它们在描述和测量物理现象中起着关键的作用。
在接下来的文章中，我们将详细讨论矢量和标量的定义、特点以及它们在物理学中的应用。
文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文将按照以下结构来介绍物理中常见的矢量和标量：第二部分将详细介绍矢量的定义和特点。
我们将从矢量的基本概念开始，解释什么是矢量以及它们的特点。
我们将探讨矢量的大小和方向，以及如何表示和运算矢量。
接着，第二部分将转向标量的定义和特点。
我们将解释什么是标量以及它们与矢量的区别。
我们将讨论标量的大小但没有方向的特点，并介绍一些常见的标量物理量。
第三部分将探讨矢量和标量在物理中的应用。
我们将以实际的例子来说明矢量和标量在物理学中的重要性和用途。
我们将讨论矢量和标量在运动学、力学和其他物理学领域中的应用，并解释它们如何帮助我们理解和描述物理现象。
最后，我们将在第三部分总结本文的主要内容和观点。
我们将强调矢量和标量在物理学中的作用，以及它们在解决物理问题时的重要性。
力的合成与分解力的矢量性质
力的合成与分解力的矢量性质力的合成与分解是物理学中的重要概念，它与力的矢量性质密切相关。
在这篇文章中，我们将探讨力的合成与分解的基本原理以及力的矢量性质的应用。
首先，我们来了解力的合成与分解。
力的合成是指将多个力合并为一个力的过程。
当物体受到两个或多个不同方向的力作用时，它们可以被视为由多个力合成的结果。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用在它上面的合力成正比。
因此，力的合成是通过将多个力的矢量相加，来得到它们的合力的矢量。
这可以用几何方法或代数方法来表示和计算。
在几何方法中，我们可以使用力的矢量图形来表示。
假设有两个力，F1和F2，它们作用在物体上，且角度分别为θ1和θ2。
我们可以将它们的矢量表示在一个共同的坐标系中。
将它们的起点放在一个点上，并将它们的长度和方向按照比例绘制出来。
然后，从第一个矢量的尾部绘制一个新的矢量，它从该点延伸到第二个矢量的尾部。
这条连接两个矢量的矢量就是它们的合力。
可以使用三角法或平行四边形法来求得合力的大小和方向。
除了几何方法，我们还可以使用代数方法来计算合力。
假设F1和F2分别是两个力的大小，它们的方向可以用角度θ1和θ2表示。
我们可以将力的矢量分解为水平和垂直分量，然后对它们进行代数求和。
通过使用三角函数，我们可以求得水平和垂直分量的数值，然后将它们相加得到合力的大小和方向。
接下来，让我们来讨论力的分解。
力的分解是将一个力分解为两个或多个部分力的过程。
通过分解一个力，我们可以了解它对物体的不同方向的作用。
这在分析复杂的力系统时非常有用。
力的分解可以采用几何方法或代数方法进行。
在几何分解中，我们可以使用力的矢量图形来表示。
假设我们有一个力F，它的角度是θ。
我们可以将它的矢量表示在一个坐标系中，并绘制一个垂直于该矢量的参考线。
然后，我们可以沿着参考线的方向绘制一个垂直于力F的矢量，它的长度等于力F的投影。
这个垂直矢量被称为力F的分力。
同样，我们可以沿着矢量的方向绘制一个与力F 平行的矢量，它的长度等于力F的投影。
1.第一讲 运动基础 运动基础 运动的合成与分解
这一结论对运动参照系是相对于静止参照系作平动还是转动都成立。
当运动参照系相对静止参照系作平动时，加速度也存在同样的关系：
当运动参照系相对静止参照系作转动时，这一关系不成立。这一问题在牛顿运动定律中再做研究。
如果有一辆平板火车正在行驶，速度为 （脚标“火地”表示火车相对地面，下同）。一辆小汽车在火车上行驶，相对火车的速度为 ，那么汽车相对地面的速度为 ：
③瞬时速度等物理量是指某一时刻的，故它们的合成分解要讲究瞬时性，即必须取同一时刻的速度。
已知物体的分运动求合运动称为运动的合成，已知物体的合运动求分运动称为运动的分解，二者是两个互逆的过程，其实质上是个等效替代的过程。因此合运动和分运动还具有等效性。
例1．如图示，物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，高台上有一定滑轮D。一根轻绳一端固定在C点，并绕过B和D，且BC段水平。当以恒定水平速度v拉绳上的自由端时，A沿水平面前进。求当跨过B的两端绳子的夹角为a时，A的运动速度。
1．矢量的合成与分解
矢量的合成与分解的基本方法是平行四边形定则，即两分量构成平行四边形的两邻边，合矢量为该平行四边形与两分量共点的对角线。由平行四边形法则又衍生出三角形法则，多个矢量的合成又可推导出多边形法则。
同一直线上的矢量的合成与分解可以简化为代数运算，由此，不在同一直线上的矢量的合成与分解一般通过正交分解法进行运算，即把各个矢量向互相垂直的坐标轴投影，先在各轴上进行代数运算之后，再进行矢量运算。
例1．在光滑的水平轨道上有两个半径都是r的小球A和B。当两球球心间的距离大于L时，A球以速度 做匀速运动，B静止。当两球球心间的距离的等于或小于L时，A球做加速度大小为2a的匀减速运动，同时B开始向右做初速度为零的匀加速运动，加速度为a，如图所示。欲使两球不发生接触，则必须满足什么条件？
矢量的合成法则
矢量的合成法则矢量是物理学中一个非常重要的概念，它可以用来描述物体的运动状态和力的作用方向。
在物理学中，矢量的合成法则是指两个或多个矢量相加或相减的规则。
通过矢量的合成法则，我们可以计算出合成矢量的大小和方向，从而更好地理解物体的运动和力的作用。
矢量的合成法则最基本的形式是几何法则，它可以用来计算两个矢量的合成。
假设有两个矢量a和b，它们的大小分别为|a|和|b|，方向分别为θ1和θ2。
那么它们的合成矢量可以用以下公式来表示：c = a + b。
其中c是合成矢量的大小，θ3是合成矢量的方向。
根据三角函数的性质，我们可以得到以下公式来计算合成矢量的大小和方向：c = √(a^2 + b^2 + 2abcos(θ2-θ1))。
θ3 = arctan((bsin(θ2) + asin(θ1))/(bcos(θ2) +acos(θ1)))。
通过这些公式，我们可以很容易地计算出两个矢量的合成。
这对于理解物体的运动和力的作用是非常重要的，因为在实际的物理问题中，往往会涉及到多个力的作用，而这些力往往是以矢量的形式存在的。
除了几何法则之外，还有另一种常用的矢量合成法则，那就是分解法则。
分解法则是指将一个矢量分解为两个或多个分量矢量，然后再将这些分量矢量相加或相减来得到合成矢量。
这种方法在实际的物理问题中也是非常常用的，因为它可以简化计算过程，使得问题更容易解决。
分解法则的基本思想是将一个矢量分解为与坐标轴平行的分量矢量，然后再将这些分量矢量相加或相减来得到合成矢量。
假设有一个矢量a，它的大小为|a|，方向为θ。
我们可以将这个矢量分解为与x轴和y轴平行的两个分量矢量ax和ay，它们的大小分别为|ax|和|ay|，方向分别为θx和θy。
那么它们的合成矢量可以用以下公式来表示：c = ax + ay。
其中c是合成矢量的大小，θ3是合成矢量的方向。
根据三角函数的性质，我们可以得到以下公式来计算合成矢量的大小和方向：c = √(ax^2 + ay^2)。
矢量的分解原理及应用
矢量的分解原理及应用1. 矢量的概念矢量是描述物理量的有向量，具有大小和方向两个属性。
在坐标系中，矢量可以用箭头表示，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。
2. 矢量的分解原理矢量的分解是将一个矢量分解为两个或多个矢量的过程。
分解的目的是将一个复杂的矢量问题简化为若干个简单的矢量问题，从而更容易进行计算和分析。
矢量的分解原理可以总结为以下几个步骤： - 根据问题给出的条件和要求，确定需要分解的矢量和分解的方向。
- 将需要分解的矢量在坐标系中画出，并确定分解的方向。
- 根据几何图形的性质，根据需要分解的方向，确定分解的方法。
- 根据分解的方法，将矢量分解为两个或多个简单的矢量。
- 对分解后的简单矢量进行计算和分析。
3. 矢量的分解应用矢量的分解在物理学、工程学以及其他学科中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：3.1 速度分解在运动学中，速度可以用矢量表示，速度的分解可以将一个物体的速度分解为水平方向和垂直方向的速度。
这样可以简化问题的计算和分析，使得问题更加容易理解。
3.2 力的分解在力学中，力也可以用矢量表示，力的分解可以将一个复杂的力分解为若干个简单的力，从而便于问题的计算和分析。
例如，在斜面上滑动的物体受到的重力可以分解为垂直于斜面的力和平行于斜面的力，这样可以更好地理解物体在斜面上的行为。
3.3 矢量的合成与矢量的分解相反，矢量的合成是将两个或多个矢量合成为一个矢量的过程。
矢量的合成有两种常见的情况，即平行四边形法则和三角形法则。
矢量的合成在物理学、工程学中经常用于计算合力、合速度等问题。
3.4 其他应用矢量的分解还有很多其他的应用，例如在导航系统中，可以将速度矢量分解为东西向速度和南北向速度，以便更准确地确定位置；在力学中，可以将斜面上的力分解为法向力和切向力，以便更好地分析物体在斜面上的运动等。
4. 总结矢量的分解是将一个复杂的矢量分解为若干个简单的矢量的过程，具有重要的理论和应用价值。
高考物理总复习知识点分类总结-力的合成和分解
F 1F 2 力的合成和分解一、标量和矢量1．将物理量区分为矢量和标量体现了用分类方法研究物理问题的思想。
2．矢量和标量的根本区别在于它们遵从不同的运算法则：标量用代数法；矢量用平行四边形定则或三角形定则。
矢量的合成与分解都遵从平行四边形定则（可简化成三角形定则）。
平行四边形定则实质上是一种等效替换的方法。
一个矢量（合矢量）的作用效果和另外几个矢量（分矢量）共同作用的效果相同，就可以用这一个矢量代替那几个矢量，也可以用那几个矢量代替这一个矢量，而不改变原来的作用效果。
3．同一直线上矢量的合成可转为代数法，即规定某一方向为正方向。
与正方向相同的物理量用正号代入．相反的用负号代入，然后求代数和，最后结果的正、负体现了方向，但有些物理量虽也有正负之分，运算法则也一样．但不能认为是矢量，最后结果的正负也不表示方向如：功、重力势能、电势能、电势等。
二、力的合成与分解力的合成与分解体现了用等效的方法研究物理问题。
合成与分解是为了研究问题的方便而引人的一种方法．用合力来代替几个力时必须把合力与各分力脱钩，即考虑合力则不能考虑分力，同理在力的分解时只考虑分力而不能同时考虑合力。
1．力的合成（1）力的合成的本质就在于保证作用效果相同的前提下，用一个力的作用代替几个力的作用，这个力就是那几个力的“等效力”（合力）。
力的平行四边形定则是运用“等效”观点，通过实验总结出来的共点力的合成法则，它给出了寻求这种“等效代换”所遵循的规律。
（2）平行四边形定则可简化成三角形定则。
由三角形定则还可以得到一个有用的推论：如果n 个力首尾相接组成一个封闭多边形，则这n 个力的合力为零。
（3）共点的两个力合力的大小范围是|F 1－F 2| ≤ F 合≤ F 1＋F 2（课件演示）（4）共点的三个力合力的最大值为三个力的大小之和，最小值可能为零。
【例1】物体受到互相垂直的两个力F 1、F 2的作用，若两力大小分别为53N 、５ N ，求这两个力的合力．解析：根据平行四边形定则作出平行四边形，如图所示，由于F 1、F 2相互垂直，所以作出的平行四边形为矩形，对角线分成的两个三角形为直角三角形，由勾股定理得：2222215)35(+=+=F F F N=10 N合力的方向与F 1的夹角θ为： 3335512===F F tg θ θ＝30° 点评：今后我们遇到的求合力的问题，多数都用计算法，即根据平行四边形定则作出平行四边形后，通过解其中的三角形求合力．在这种情况下作的是示意图，不需要很严格，但要规范，明确哪些该画实线，哪些该画虚线，箭头应标在什么位置等．【例2】如图甲所示，物体受到大小相等的两个拉力的作用，每个拉力均为200 N ，两力之间的夹角为60°，求这两个拉力的合力．解析：根据平行四边形定则，作出示意图乙，它是一个菱形，我们可以利用其对角线垂直平分，通过解其中的直角三角形求合力．320030cos 21==οF F N=346 N合力与F 1、F 2的夹角均为30°．点评：（1）求矢量时要注意不仅要求出其大小，还要求出其方向，其方向通常用它与已知矢量的夹角表示．（2）要学好物理，除掌握物理概念和规律外，还要注意提高自己应用数学知识解决物理问题的能力．2．力的分解（1）力的分解遵循平行四边形法则，力的分解相当于已知对角线求邻边。
力的合成与分解力的矢量运算
力的合成与分解力的矢量运算力的合成与分解力的矢量运算是物理力学中的重要概念。
在物体运动和静止的研究中，力的合成与分解力的矢量运算可以帮助我们更好地理解力的作用和相互作用。
一、力的合成力的合成是指将多个力合成为一个力的过程。
在物体上受到多个力的作用时，可以将这些力按照一定的方法合成为一个力，这个力被称为合力，合力的大小和方向根据所合成力的矢量运算得到。
在矢量运算中，力被表示为一个有大小和方向的箭头，箭头的长度表示力的大小，箭头的指向表示力的方向。
为了方便计算，通常使用画图的方法来合成力。
假设有两个力F1和F2作用在物体上，力F1的大小为F1，方向为θ1；力F2的大小为F2，方向为θ2。
根据力的合成原理，可以在一张纸上画出力F1和力F2的矢量图，然后将它们的起点连接起来，连接线的终点就是力的合力的方向。
通过测量画出的图形，可以计算出合力的大小。
二、力的分解力的分解是指将一个力拆分为多个力的过程。
在某些情况下，我们需要研究一个力在某个方向上的作用效果，这时就需要将该力分解为在垂直方向和平行方向上的两个力，分别进行研究和计算。
假设有一个力F作用在物体上，力的大小为F，方向为θ。
为了方便计算，我们可以将力F分解为平行于某个方向的力F1和垂直于该方向的力F2。
通过测量力的大小和角度，可以计算出力F1和力F2的大小。
力的分解在实际问题中常常被使用，例如斜面上的物体受到重力和斜面对其作用的力，可以将斜面对其作用的力分解为平行于斜面和垂直于斜面的两个力，进而研究物体在斜面上的运动状态。
三、矢量运算的数学表达式在力的合成和分解中，力被看作是可以相互叠加的矢量量，而矢量量既有大小又有方向。
因此，可以通过数学方法进行矢量运算的表达。
1. 合成力的数学表达式设力F1的大小为F1，方向为θ1；力F2的大小为F2，方向为θ2。
合力F的大小和方向可以通过以下公式计算：F = √(F1^2 + F2^2 + 2F1F2cos(θ1 - θ2))θ = A tan [(F1sinθ1 + F2sinθ2) / (F1cosθ1 + F2cosθ2)]其中，√表示开方，^2表示乘方，cos表示余弦函数，sin表示正弦函数，θ表示力的合力方向的角度。
矢量的合成与分解的讨论 (1)
ab2I 0I 0O·矢量的合成与分解的讨论湖北省恩施高中陈恩谱一、矢量的合成1、平行四边形定则【例1】小船渡河合速度：小船参与了两个分运动——随水运动和相对水的运动，因此，小船的实际对地速度，是水速和船相对水的速度（即所谓船在静水中的速度）的矢量和。
【例2】电场强度的叠加：（原创·单选）如图所示，真空中两个带电小球靠近放置，其中A 球带电量为+Q ，B 球带电量为－q ，且有Q ＞q ，则下列四幅图中，能正确表示A 、B 两球附近的电场线分布的是【解析】如图，在A 、B 两球附近选择C 、D 、F 三个点，其中D 在A 、B 连线中垂线上；由点电荷的场强决定式2QE kr=和电场强度的矢量叠加，可作出三个点的合电场强度方向如图所示。
由D 点电场强度方向可知选项A 、C 错误；C 点电场强度方向相对A 球径向线向右偏、F 点电场强度方向相对B 球径向线也是向右偏、可知选项D 错误。
故选B 。
【例3】磁感应强度的叠加：圆心为O 、半径为R 的半圆的直径线两端，各固定有一根垂直圆平面的长直导线a 、b ，两导线中通有大小分别为2I 0和I 0、方向相同的电流．已知长直导线在周围产生的磁场的磁感应强度rIkB =，其中k 为常数、I 为导线中电流、r 为点到导线的距离．则下列关于该圆平面内电流的磁场的说法中，正确的是A ．圆心O 点处的磁感应强度的方向由a 指向bB ．在直径线上、到b 距离为R 32处的磁感应强度为0C ．在半圆上一定存在“磁感应强度平行于直径线”的位置D ．在半圆上一定存在“磁感应强度沿半圆切线方向”的位置【解析】如图（1）所示，在直径线上，导线a 中电流产生的磁场磁感应强度都向下，导线b 中电流产生的磁场磁感应强度都向上，其大小分布规律如图，可知，圆心O 点处的磁感应强度的方向向下，A 错；两导线中电流在直径线上、到b 距离为R 32处的磁感应强度大小分别为d I k B a 3202=、dIk B b 310=，其中d 为直径长度，即B a 、B b 大小相等、方向相反，所以该处的磁感应强度为零，B 正确；如图（2）所示，在圆周上任取一点，并将B a 、B b 分解到垂直直径线方向，得：A B＋－A B ＋－E 1E 2E 3CDFa b2I 0I 0O·B aB b ·图（1）a b2I 0I 0O ·B aB bB byB ay θ图（2）ab2I 0I 0O ·B a BbB b nB a nθ图（3）d I k d I kB B a ay 002sin sin 2sin =⋅==θθθ，dIk d I k B B b by 00cos cos cos =⋅==θθθ即有：by ay B B 2=，可见，B a 、B b 的矢量和不可能平行于直径线，C 错。
风向矢量合成
风向矢量合成全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：风向矢量合成是指通过多个风向矢量的叠加，得到一个合成后的总风向矢量。
在气象学和空气动力学中，风向矢量合成是一个十分重要的概念，可以帮助我们更好地了解风向的变化规律和风场的结构。
通过风向矢量合成，我们能够准确地预测气象现象的发展趋势，为气象预报和工程设计提供重要的参考依据。
在现代气象学中，风向矢量合成常用于描述大气中的风场情况。
风向矢量是一个具有大小和方向的矢量，它表示了风的速度和风向。
一般来说，风向矢量的方向是指风吹来的方向，风向矢量的长度则表示风速的大小。
当大气中存在多个风向矢量时，我们需要将它们进行合成，得到一个总的合成后的风向矢量，以反映整个风场的风向情况。
风向矢量合成的原理是将风向矢量沿着不同方向进行分解，并将其沿不同方向的分量叠加在一起，从而得到总的风向矢量。
在空气动力学中，我们常使用矢量的加法原理来进行风向矢量的合成。
假设有两个风向矢量A和B，它们的大小分别为|A|和|B|，方向分别为θ1和θ2，则它们的合成后的总风向矢量C可以表示为：C = A + B其中C的大小为|C|，方向为θ3，满足以下关系：|C| = sqrt((|A|cosθ1 + |B|cosθ2)^2 + (|A|sinθ1 + |B|sinθ2)^2 )这个公式描述的是两个风向矢量经过合成后的总风向矢量的大小和方向。
我们可以通过这个公式来计算多个风向矢量的合成，得到整个风场的总风向矢量。
风向矢量合成在气象预报和天气预测中有着广泛的应用。
通过分析大气中不同高度和不同位置的风向矢量，我们可以了解到大气的运动规律和风场的分布情况，从而预测气象现象的发展趋势。
特别是在临近台风、暴雨等极端天气事件时，风向矢量合成的技术能够帮助我们提前进行预警和应对措施，减少灾害损失。
风向矢量合成是一种重要的分析方法，可以帮助我们更好地理解大气中风的运动规律和风场的结构。
通过合理地分析和计算风向矢量的合成，我们可以准确地预测气象现象的发展趋势，为气象预报和工程设计提供科学依据。
矢量的合成
矢量的合成矢量的合成是矢量的一种运算方式，它可以用来求解多个矢量的和。
在物理学、工程学和计算机图形学等领域中，矢量的合成是非常重要的概念之一。
矢量是具有大小和方向的量，可以用箭头来表示。
在二维空间中，一个矢量可以用其在x轴和y轴上的分量表示，即矢量V=(Vx, Vy)。
在三维空间中，一个矢量可以用其在x轴、y轴和z轴上的分量表示，即矢量V=(Vx, Vy, Vz)。
在任意维度的空间中，矢量都可以用其在各个坐标轴上的分量表示。
矢量的合成可以分为两种情况：平面矢量的合成和空间矢量的合成。
在平面矢量的合成中，我们可以使用平行四边形法则或三角形法则来求解多个平面矢量的和。
平行四边形法则是将多个矢量首尾相连形成一个闭合的平行四边形，然后通过对角线来表示合成矢量的大小和方向。
三角形法则是将多个矢量首尾相连形成一个闭合的三角形，然后通过从起点到终点的矢量来表示合成矢量的大小和方向。
在空间矢量的合成中，我们可以使用平行六面体法则来求解多个空间矢量的和。
平行六面体法则是将多个矢量首尾相连形成一个闭合的平行六面体，然后通过对角线来表示合成矢量的大小和方向。
无论是平面矢量的合成还是空间矢量的合成，都可以通过矢量的分量进行计算。
对于平面矢量的合成，我们可以将矢量的x分量和y分量分别相加得到合成矢量的x分量和y分量。
对于空间矢量的合成，我们可以将矢量的x分量、y分量和z分量分别相加得到合成矢量的x分量、y分量和z分量。
除了上述方法之外，还有一种常用的方法是使用单位矢量的概念进行合成。
单位矢量是指长度为1的矢量，可以表示某个方向。
通过将矢量分解为其在各个方向上的投影，然后分别求解各个方向上的矢量的合成，最后再将各个方向上的合成矢量相加，就可以求解出多个矢量的和。
矢量的合成在物理学和工程学中具有广泛的应用。
例如，在力学中，可以将多个力的矢量进行合成来求解合力的大小和方向；在电路分析中，可以将多个电流或电压的矢量进行合成来求解总电流或总电压的大小和方向；在计算机图形学中，可以将多个位移矢量进行合成来求解物体在屏幕上的最终位置。
矢量合成与分解遵循的原则
矢量合成与分解遵循的原则
矢量合成与分解遵循的原则
矢量合成与分解是数学中最重要的概念之一，用于描述和分析几何形状、运动轨迹和其他物理系统。
它们也可以用来分析和解决复杂的问题。
矢量合成和分解遵循的原则如下：
1. 矢量的长度不变：当两个矢量发生合成时，其总长度不变，而且合成后的矢量的方向是两个矢量的方向的和。
2. 投影：当两个矢量发生合成时，可以把其中一个矢量的投影放在另一个矢量上，以此实现合成。
3. 矢量的分解：当一个矢量被分解时，它会被分解成两个矢量，其中一个矢量是另一个矢量的投影。
4. 角度：当两个矢量发生合成时，两个矢量的夹角也会发生变化，其变化规律是：夹角会改变，但不会超过180°。
5. 力：当两个矢量发生合成时，其合成后的力值等于两个矢量的力值之和。
这些原则被广泛应用于几何、力学和其他物理学领域，用于解决复杂的物理系统的问题。
通过这些原则，我们可以更好地理解和分析物理系统。
矢量合成法则公式
矢量合成法则公式矢量合成通常可以通过图形法和分解法来完成，而这两种方法实质上是互补的。
图形法通过在坐标上绘制矢量，并以直线连接它们的起点和终点来表示矢量的合成。
分解法则将矢量分解成与坐标轴平行的分量，然后将它们分别加和或减去。
在矢量合成中，最基本的情况是描述两个二维平面上的矢量合成。
设有两个二维矢量A和B，其坐标分别为(Ax,Ay)和(Bx,By)。
根据图形法，我们可以将一个矢量的起点与另一个矢量的终点连接起来，形成一个三角形。
矢量的合成等于连接的对角线的矢量。
根据三角形的知识，我们可以利用余弦定理和正弦定理来得到矢量合成的公式。
这两个公式都是根据三角形的边长和夹角之间的关系推导出来的。
余弦定理是描述三角形的边长和夹角之间的关系的公式。
对于一个由矢量A和B形成的三角形，我们可以使用余弦定理来计算合成矢量C的长度。
根据余弦定理，合成矢量C的长度可以表示为：C，^2 = ，A，^2 + ，B，^2 - 2，A，B，cosθ其中，A，和，B，分别表示矢量A和B的长度，θ表示矢量A和B 之间的夹角，C，表示合成矢量C的长度。
正弦定理是描述三角形的边长和夹角之间的关系的公式。
如果我们已知合成矢量C的长度和夹角θ，我们可以使用正弦定理来计算矢量A和B 的长度之比。
根据正弦定理，我们有：A，/sinα = ，C，/sinθB，/sinβ = ，C，/sinθ其中，α和β分别表示矢量A和B的长度与合成矢量C的夹角。
从这些公式可以看出，矢量合成的结果与矢量的长度和夹角之间存在一定的关系。
通过这些公式，我们可以推导出其他形式的矢量合成公式，例如平行四边形法则和三角形法则。
平行四边形法则是描述两个平行相邻矢量合成的公式。
如果两个矢量A和B平行并且大小相等，它们的合成矢量C可以通过放置一个与A和B 共享一个端点的平行四边形来得到。
根据平行四边形法则，合成矢量C的大小和方向与A和B相同。
三角形法则是描述三个或多个矢量合成的公式。
运动的合成与分解 课件-高一下学期物理教科版(2019)必修第二册
F1
V2
V合
F合
F2
F合与v合共线－匀变速直线运动
V1 F1
V2 F2
V合
F合
F合与v合不共线－匀变速曲线运动
三、两个互成角度的直线运动的合运动的性质和轨迹的判断
判断方法：由两分运动的性质、合初速度与合加速度的关系决定： (1)根据合加速度是否恒定 若合加速度不变且不为零，则合运动为匀变速运动； 若合加速度变化，则合运动为非匀变速运动． (2)根据合加速度与合初速度是否共线 若合加速度与合初速度在同一直线上，则合运动为直线运动； 若合加速度与合初速度不在同一直线上，则合运动为曲线运动．
所需时间：
x t= =
v
x
=
v2 d
v22 - v12
v1 v22 - v12
小船渡河问题小结: 1.船身垂直于河岸，渡河时间最短(分运动垂直于河岸); 2.船实际运动垂直于河岸，船的位移最小(合运动垂直于河岸， 船速大于水速). 3.船在静水的速度与船的合速度垂直时，船的位移最小（船速小于水速）
1.2、运动的合成与分 解
必修二·物理 第一章、 抛体运动
一、矢量的合成与分解
我们已经学了力的合成与分解，如 图两个小朋友分别用力提一桶水， 大人则一个人提一桶水。大人一个 力的效果与两个小朋友两个力的效 果相同。 用一个力代替两个力的效果叫力的 合成。
共线的两个力的合成遵循代数加减法则。 不共线的两个力的合成遵循平行四边形法则
• 在岸上拉水中的小船时，通常在河岸上通过滑轮用钢绳拉船，如图所
示，若匀速拉绳的速度为v1=4 m/s，则小船的运动是匀速的吗？当拉
船的绳与水平方向成60°角时，船的速度是多少？ v1
v
ห้องสมุดไป่ตู้
高中教育物理必修第二册《1.2 运动的合成与分解》教学课件
2．运动的合成与分解包括位移、速度、________的合成与分解．
平行四边形
3．运动的合成与分解遵循____________定则．
运动的合成
4．已知分运动求合运动，叫作___________，已知合运动求分运动，
运动的分解
叫作___________．
三、运动合成与分解的应用
分解
研究比较复杂的运动时，常常可以把一个运动________成两个或几
x＝v合t＝90 5 m.
5 5
2
m/s
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？
答案：偏向上游与河岸成60°角
24 3 s
解析：
(2)欲使船渡河的航程最短，船的合运动方向应垂直河岸．船头应朝上游与河岸成某一角度β.
如图乙所示，由v2sin α＝v1，得α＝30°.所以当船头朝上游与河岸成一定角度β＝60°时航程最短．
答案：C
解析：将炮弹的速度水平分解和竖直分解，如图，故水
平分速度为vx＝v cos 60°＝300 m/s，C正确．
素养训练2 一物体在光滑水平面上运动，它在x轴方向和y轴方向上
的两个分运动的速度—时间图像如图所示．
(计算结果可保留根号)
(1)判断物体的运动性质；
答案：物体做匀变速曲线运动
解析：由图甲可看出，物体沿x轴方向的分运动为匀
船
间与其他因素无关．
(2)当v船与v水的合速度与河岸垂直(这时v船>v水)时，位移最短，最短
位移为河宽d，此时v船cos θ＝v水，v合＝v船sin θ，渡河时间t＝
v
d
.
sin θ
船
(3)如果v船<v水，渡河位移也存在最短情况，但最短位移大于河宽．
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第一部分：矢量的合成与分解
Ⅰ、矢量
定义：既有大小又有方向的物理量。
特点：矢量的合成与分解遵循平行四边形定则。
矢量的图示：带箭头的有向线段。
A
Ⅱ、矢量的合成
①
同方向矢量的合成：直接相加得到合矢量。
② 反方向矢量的合成：相互抵消，剩余的便是合矢量。
③
不在同一直线上矢量的合成：遵循平行四边形定则（或三角形法则）。
在三角形中的计算方法：
正弦定理：21sin sin sin A
A A
αβθ
==
余弦定理：
A =
知识点解析与应用（1）
1、 简述三角函数.
sin θ= cos θ=
tan θ= cot θ=
2、 一物体受到x 方向20N 的力和y 方向-30N 的力，求受到的合力.
3、（2009海南）两个大小分别为F 1和F 2（F 2<F 1）的力作用在同一质点上，它们的合力的大小F 满足（ ）
A. 21F F F ≤≤
B.
121
2
22
F F F F F -+≤≤ C. 1212F F F F F -≤≤+ D. 22222
1212F F F F F -≤≤+
4、（2010天津河西质查）某物体在三个共点力F 1、F 2、F 3的作用下处于平衡状态，则下面的各图中正确的反映了这三个力的关系是（ ）
A B C D
5、已知三个共点力的合力为零，则这三个力的大小可能为（ ） A. 15N, 5N, 6N B. 3N, 6N, 4N C. 1N, 2N, 10N D. 1N, 6N, 3N
6、如图所示，有五个力作用于同一点O ，表示这 五个力的有向线段恰分别构成一个正六边形的两条
邻边和三条对角线.已知110F N =，则这五个力的 合力大小为 N.
F 3 F 2 F 1 F 3 F 2 F 1
F 3 F 2 F
1 F 3 F
2 F 1
7、物体受到两个相反的力的作用，F1=8N，F2=10N，当F2由10N逐渐减小到零的过程中，这两个力的合力的大小变化是（）
A. 逐渐变小
B. 逐渐变大
C. 先变大后变小
D. 先变小后变大
Ⅲ、矢量的减法
Ⅳ、矢量的分解
①利用“平行四边形定则”或“三角形法则”把一个已知矢量A分解为两个分量：
②
12123cos cos sin sin X Y all F F F F F F F F αβ
αβ=-=+-=
tan Y X
F
F θ=， θ是all F 与x 轴的方位角.
知识点解析与应用（2）
1、求图中矢量F 在x 和y 轴方向的分量.
x F =
y F =
2、100N 的力与x 轴成α角，其y 方向的分量为60N ，求力的x 方向的分量及其方位角α.
3、分解一个力，若已知它的一个分力的大小和另一个分力的方向，且合力、分力不共线，则以下正确的是（）
A. 只有唯一一组解
B. 一定有两组解
C. 可能有无数组解
D. 可能有两组解
4、（2010北京西城区）F1、F2是力F的两个分力，若F=10N，则下列哪组力不可能是F 的两个分力（）
A. F1=10N, F2=10N
B. F1=20N, F2=20N
C. F1=2N, F2=6N
D. F1=20N, F2=30N
5、（2009海口模拟）关于合力与它的两个分力的关系，下列说法中正确的是（）
A. 合力和它的两个分力同时作用于物体上
B. 合力的大小一定等于两个分力大小的代数和
C. 合力一定大于它的任一个分力
D. 合力的大小可能等于某一个分力的大小
6、求下列作用于同一点的力的合力：30N，东北方向；70N，正南；50N，西偏北30 .
第二部分：物理原理与运动规律
Ⅰ、牛顿第一定律：
任何物体在不受任何外力作用的时候（F 合=0），总保持静止状态或匀速直线运动状态（a=0）.
知识点解析与应用（1）
（1）如何对物体进行受力分析？
解析：分析顺序——重力，弹力，摩擦力（一重二弹三摩擦），再其他的力. ① 重力一定有，先画好.
② 弹力就是我们平时说的拉力、压力、支持力，但是一般要分析的是压力和支持力.有
没有压力和支持力，先看有没有接触的地方.有接触的地方才去分析是否有其他物体压着它，或者支持着它. 注意，物体受到压力的时候是因为别的物体压着它，不是它压别的物体.
③ 摩擦力，还是看接触的地方，如果有弹力，才可能有摩擦力.有没有摩擦力还要看接
触面是否粗糙，有没有发生相对滑动或者有相对滑动的趋势. ④ 然后才分析题目是否有提到其他力.
1、画出图中球、杆、木块所受的弹力方向.（设各接触面光滑）
2、在甲、乙两图中，A 、B 之间一定有弹力的是 图.
甲 乙。