中国矿业大学(徐州)09级_大一上学期_数学分析资料报告(1)期末精彩试题(A卷)及问题详解

中国矿业大学09～10学年第1学期

《 数学分析(1) 》试卷(A)

考试时间：120分钟 考试方式：闭卷

学院 理学院 班级__ _ __________ _______学号__________

一、叙述题(每题5分共20分)

1．叙述)(x f 在区间I 上有上确界A 的定义。

2．叙述lim ()x f x →+∞

=-∞的定义，并叙述lim ()x a

f x -

→不是无穷大的定义。

3. 叙述闭区间上连续函数的介值性定理。

4. 叙述导数极限定理。

二、计算题（每题5分共20分）

1． 设lim n n a a →∞

=（0,0n a a >>），求n

2．求曲线22

1,x t y t t =-=-在1t =对应点的切线方程。

3．求30tan sin lim

sin x x x

x

→-。

4．求3

4

()2f x x x =-的极值。

三、证明题（每题10分共60分） 1．设22

2

11

1

123n a n =++++

，证明数列{}n a 收敛。

2. 设)(x f 在),(+∞-∞连续，且A x f x =-∞

→)(lim ，B x f x =+∞

→)(lim 。证明)(x f 在)

,(+∞-∞上一致连续。

3. 设0

lim ()x x g x →=+∞，而lim ()u f u A →+∞

=，证明

lim [()]x x f g x A →=。

4. 设2

1sin

,0()20,0x x x f x x

x ?+≠?=??=?

（1）求导函数()f x '；

（2）证明()f x '在点0x =不连续；

（3）证明()f x 在点0x =的任何邻域不单调。

5. 证明不等式：

2

arctan 1h

h h h <<+，其中0h >。

6. 设()f x 在[,]a b 具有二阶导数，且()0f x ''≥，证明对[,]a b 任意n 个点12,,,n x x x 有

不等式

1

1

()()n n

i

i

i i

i i f x f x λλ==≥∑∑

其中1

0(1,2,,),1n

i i i i n λλ=>==∑

参考答案

一、叙述题(每题5分共20分) （略）

二、计算题（每题5分共20分）

1． 设lim n n a a →∞

=（0,0n a a >>），求n

解 取0ε满足a <ε<00，由a a n n =∞

→lim 知，+∈?N N ，当N n >时，

00ε+<<ε-a a a n

从而

n

n n n

a a a 00ε+<<ε-

上式两边取极限并利用结论1lim

=∞

→n n c (0>c 为常数)和迫敛性得1lim =∞

→n

n n a 。

2．求曲线2

2

1,x t y t t =-=-在1t =对应点的切线方程。

解 因为 2,12x t y t ''=-=-，

所以当1t =时，0,0x y ==；2,1x y ''=-=-。 那么切线方程为

1

20--=

--y x 即02=-y x

或

11

1()121()22

t t t dy y t t

dx x t t

==='-===

'- 当1t =时，0,0x y ==，故切线方程是

1

0(0)2

y x -=-

3．求30tan sin lim

sin x x x

x

→-。

解 30tan sin lim sin x x x x →-30tan (1cos )lim sin x x x x →-=2

301

12lim 2

x x x x →?==。 或

3003322000 tan sin tan sin 1cos lim lim lim sin 3cos x x x x x x x x x x x x →→→---= 3200200 1cos 3cos sin 1lim lim 362

x x x x x x x →→-== 或

333333

0011()()tan sin 33!lim lim sin x x x x o x x x o x x x x x →→????++--+ ? ?-????= 3

3301()

12lim 2

x x o x x →+==

4．求3

4

()2f x x x =-的极值。

解 2

3

2

()642(32)0f x x x x x '=-=-=，得稳定点3

0,

2

x =

232()642(32)0f x x x x x '=-=-=，得稳定点3

0,2

x =

又 2

()121212(1)f x x x x x ''=-=-，()12(12)f x x '''=-

(0)0,(0)0f f '''''=≠，所以f 在0x =不取极值。

3()902f ''=-<，所以f 在32x =取极大值327

()216

f =

。 三、证明题（每题10分共60分） 1．设 2

2211

1

1,1,2,23

n a n n

=+

+++

=，证明数列{}n a 收敛。

证 显然{}n a 递增，下证{}n a 有上界。事实上，

2

22111123

n a n

=++++ 111

11223(1)n n

≤+

+++

??-

1111

1112231n n ??????=+-+-+

+- ? ? ?-????

??

1

22,1,2,n n

=-

<=。

于是由单调有界定理，{}n a 收敛。 或

22

2

11

1

(1)(2)()n p n a a n n n p +-=++

+

+++

11

1(1)(1)(2)(1)()n n n n n p n p ≤

++

+

++++-+111

()n n p n

≤-≤+

由Cauchy 准则，易知{}n a 收敛。

2. 设)(x f 在),(+∞-∞连续，且lim ()x f x →-∞

，lim ()x f x →+∞

都存在。证明)(x f 在),(+∞-∞上

一致连续。

证 因为)(lim x f x -∞

→存在，由Cauchy 准则可知，0>?ε，01

有

ε<'-'')()(x f x f 。 (1)

又由)(lim x f x +∞

→存在，02>?X ，当2,X x x ≥'''时，有

ε<'-'')()(x f x f 。 (2)

另一方面f 在]1,1[21+-X X 上连续，所以在]1,1[21+-X X 一致连续。于是即对上述ε，)1,0(∈?δ，当]1,1[,21+-∈'''X X x x ，且δ<'-''x x 就有

ε<'-'')()(x f x f 。 (3)

这样，当),(,+∞-∞∈'''x x ，且δ<'-''x x 时， (i) 若1,X x x <'''，由(1)式，ε<'-'')()(x f x f ； (ii) 若2,X x x >'''，由(2)式，ε<'-'')()(x f x f ；

(iii) 若],[21X X x ∈'或],[21X X x ∈''，则]1,1[,21+-∈'''X X x x 由(3)式，ε<'-'')()(x f x f 。

根据定义，即得)(x f 在),(+∞-∞上一致连续。 或

承上，f 在1122(,],[,],[,)X X X X -∞+∞都是一致连续的，由书上例题结论

)(x f 在),(+∞-∞上一致连续。

3. 设0

lim ()x x g x →=+∞，而lim ()u f u A →+∞

=，证明

lim [()]x x f g x A →=。

证 由lim ()u f u A →+∞

=，0,0G ε?>?>，当u G >时，有

()f u A ε-<