中国矿业大学(徐州)0401级数学分析(1)期末试题A与答案
大一上数学分析期末考试题及答案
大一上数学分析期末考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 极限的定义是：如果对于任意的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，都有|a_n - A| < ε，则称序列{a_n}的极限为A。
A. 正确B. 错误答案：A2. 函数f(x)=x^2在区间(-∞, +∞)上是单调递增的。
A. 正确B. 错误答案：B3. 函数f(x)=x^3在区间(-∞, +∞)上是单调递增的。
A. 正确B. 错误答案：A4. 函数f(x)=sin(x)在区间[0, π]上是单调递增的。
A. 正确B. 错误答案：B5. 函数f(x)=x^2在区间[0, +∞)上是单调递增的。
A. 正确B. 错误答案：A6. 函数f(x)=x^3在区间(-∞, +∞)上是单调递增的。
A. 正确B. 错误答案：A7. 函数f(x)=e^x在区间(-∞, +∞)上是单调递增的。
A. 正确B. 错误答案：A8. 函数f(x)=ln(x)在区间(0, +∞)上是单调递增的。
A. 正确B. 错误答案：A9. 函数f(x)=1/x在区间(0, +∞)上是单调递减的。
A. 正确B. 错误答案：B10. 函数f(x)=x^2在区间(-∞, 0)上是单调递减的。
A. 正确B. 错误答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) = ________。
答案：112. 极限lim(x→+∞) (1/x) = ________。
答案：013. 极限lim(x→0) (1 - cos(x))/x^2 = ________。
答案：1/214. 函数f(x)=x^3在x=0处的导数为 ________。
答案：015. 函数f(x)=e^x在x=0处的导数为 ________。
答案：1三、计算题（每题10分，共40分）16. 计算极限lim(x→0) (tan(x) - sin(x))/x^3。
解：利用洛必达法则，对分子分母分别求导三次，得到极限为1/2。
中国矿业大学2010级,10-11数学分析(1)试卷(A)与参考答案
《 数学分析(1) 》试卷(A)参考答案一、叙述题(每题5分共30分)1．叙述函数()f x 在区间I 上无界的定义和A x f Ix =∈)(sup 的定义.2．叙述极限)(lim 0x f x x -→存在的归结原则.3．叙述极限)(lim x f x +∞→存在的Cauchy 准则，据此再叙述)(lim x f x +∞→不存在的充要条件.4．分别叙述)(x f 在区间I 上连续和一致连续的定义.5．叙述函数()f x 在点0x 可微的定义，并说明函数在一点连续、可导、可微的关系.6．叙述)(x f 是区间I 上凸函数的定义，并给出可导凸函数的一个充要条件. 二、计算题（每题6分共30分） 1．求)]11ln([lim 2nn n I n +-=∞→.解 由归结原则得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-=→∞→)1ln(11lim )]11ln([lim 202t t t x x x I t x (3)21)1(2lim 2111lim)1ln(lim002=+=+-=+-=→→→t t t tttt t t t t …………………………3 2. 求 422cos limxex I xx -→-=.解 由麦克劳林公式得)(2421cos 542x o xxx ++-=， (2))(82154222x o xxex++-=-， (2))(12cos 5422x o xex x+-=--.所以求得121)(121limcos lim4540422-=+-=-=→-→xx o x xex I x xx (2)3．设 (),1,()10,1g x x f x x x ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩，且(1)(1)0,(1)2g g g '''===，求(1)f '.解 因为2()(1)()1(1)f x fg x x x -=--， (2)所以由洛必达法则得 (2)211()()(1)limlim(1)2(1)x x g x g x f x x →→''==--11()(1)1lim(1)1212x g x g g x →''-''===-.■ (2)4. 设x ey xxarcsin 51cot2-+=，求d .y解 ='y 221cot1)1csc(1cot25ln 52xxx x-⋅-⋅⋅211arcsin xex exx-+--- (4)21cot22111d (5ln 52cot(csc)xy xxx-=⋅⋅-⋅arcsin d xxex ex ---+ (2)5．求155345++-=x x x y 在]2,1[-上的最大值与最小值. 解 )3)(1(5152052234--=+-='x x x x x x y令0='y 得驻点3,1,0=x . 计算 (3)10)1(-=-y ，1)0(=y ，2)1(=y ，7)2(-=y ，所以最大值 2)1(=y ，最小值 10)1(-=-y .■ (3)三、（10分）设a x g x =+∞→)(lim （a 为有限数），)(x f 在点a 连续，证明：)()]([lim a f x g f x =+∞→证 因)(x f 在点a 连续，故0>∀ε，0>∃δ，当δ<-a x 时，有ε<-)()(a f x f ……………3 又因a x g x =+∞→)(lim ，对上面δ，0>∃M ，当M x >时，有δ<-a x g )(，从而ε<-)()]([a f x g f ……………4 综上，0>∀ε，0>∃M ，当M x >时，有ε<-)()]([a f x g f ，这就证明了)()]([lim a f x g f x =+∞→ (3)四．（10分）设f 在[,)a +∞上连续，且lim ()x f x →+∞存在.证明f 在[,)a +∞上一致连续.证 因为lim ()x f x →+∞存在，由Cauchy 准则知：0ε∀>，X a ∃≥，只要,x x X '''≥，就有()()f x f x ε'''-<. ………………………………3 又因为f 在[,)a +∞上连续，所以f 在[,1]a X +上连续，进而在[,1]a X +上一致连续.即对上述ε，)1(<∃δ，对任何]1,[,+∈'''X a x x ，只要δ<'-''x x 就有ε<'-'')()(x f x f . (4)综上，可知0>∀ε，任何),[,+∞∈'''a x x ，只要δ<'-''x x 就有ε<'-'')()(x f x f .即f 在),[+∞a 上一致连续.■ (3)五、（10分）、设)(x f 在)(0x U 连续，在)(00x U 可导，证明：如果)0(0+'x f 存在，则)(0x f +'也存在，且)0()(00+'='+x f x f .并由此结论证明，如果)(x f 在区间I 上可导，则)(x f '不存在第一类间断点.【证】)(lim)()(lim)(00000ξ'--='+→+→+f x x x f x f x f x x x x Cauchy 中值定理（其中x x <ξ<0）.当+→0x x 时，有+→ξ0x ，由假设条件)0(0+'x f 存在，即)0()(lim00+'=ξ'+→x f f x x 存在.说明)(0x f +'存在且)0()(00+'='+x f x f .同理可证，如果)0(0-'x f 存在，则)(0x f -'也存在，且)0()(00-'='-x f x f .…………………6分下证导函数不存在第一类间断点. 对I x ∈∀0，如果)0(0-'x f 和)0(0+'x f 都存在，由上述结论和)(0x f '存在，知必有)()0()0(000x f x f x f '=+'=-'，这说明)(x f '在0x 点连续.…………………4分六．（10分）设)(x f 在],[b a 上二阶可导.若有0)()(,0)()(>'⋅'==b f a f b f a f ，则存在),(b a ∈ξ，使得0)(=''ξf .证 不妨假设0)(),(>''b f a f ，则由导数定义和极限保号性可知，存在2121),,(,x x b a x x <∈，使得0)()(,0)()(21=<=>b f x f a f x f . (3)而)(x f 在],[b a 上连续，故由介值定理可知存在),(21x x c ∈，使得0)(=c f (2)在],[],,[b c c a 上对函数应用由罗尔定理，知存在),(),,(21b c c a ∈∈ξξ，使得0)()(21='='ξξf f . (3)那么对函数f '在],[21ξξ再应用罗尔定理，则存在),(b a ∈ξ，使得0)(=''ξf . (2)。
中国矿业大学(徐州)0708数学分析试卷(A)及参考答案
中国矿业大学07~08学年第二学期 《数学分析(2)》试卷（A ）卷考试时刻：120分钟 考试方式：闭卷院系__ _______班级___ ______姓名__ ________学号___ _______一、填空题（每空3分,共30分）1． =-+++∞→])1(sin 2sin [sin 1lim n πππnn n n n . 2． =-⎰202d 4x x . 3．=⎰∞+-0d x xe x .4． 心形线(1cos )r a θ=+)0(>a 的周长为__ _______.5．=-∑∞=22)11ln(n n . 6．级数∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-11)1(n n n n __________________（绝对收敛或条件收敛或发散）.7．级数∑∞=-12)1(n nnn x 的收敛域为 . 8．设)(),(x y g y x xy f z +=，其中g ,f 具有一阶持续(偏)导数,那么=∂∂xz. 9．函数22232z y x f ++=在点)1,1,1(P 沿方向)4,3,0(:l 的方向导数=∂∂Pl f.10．曲面344224++--=x y y x z 在点 处有水平的切平面.二（10分）、讨论二元函数⎩⎨⎧<<=其它,30 ,2),(4x y y x f 在点)0,0(的二重极限、二次极限、偏导数及沿任意方向的方向导数. （注：若是存在，把它求出来；若是不存在，要说明理由.）三（10分）、把函数21ln arctan )(x x x x f +-=展开为关于x 的幂级数并指出收敛域.四（10分）、把函数)0()(π≤≤=x x x f 展开为余弦级数并指出收敛性，再利用该级数证明: 61212π=∑∞=n n.五（10分）、设)(x f 在]1,0[上可导，且⎰=-311)1(d )(3f x x f e x ，证明：)1,0(∈∃ξ使0)()(=ξ'+ξf f .六（10分）、假设级数∑∞=12n na 收敛，证明∑∞=13n na 和)21(1>∑∞=p na n pn 都绝对收敛.七（10分）、求椭圆1322222=+y x 绕y 轴旋转所得的旋转曲面的表面积．八（10分）、设],[)(b a R x f ∈，证明：],[)(b a R e x f ∈.中国矿业大学07~08学年第二学期 《数学分析(2)》试卷（A ）卷参考答案一、填空题（每空3分,共30分）1． π2. 2． π.3． 1. 4． 8a . 5． 2ln -. 6．发散. 7．)3,1[-. 8．)(1221xy g y f y f -⋅'+⋅'+⋅'. 9．536. 10．)2,1,1(--.二（10分）、讨论二元函数⎩⎨⎧<<=其它 ,30 ,2),(4x y y x f在点)0,0(的二重极限、二次极限、偏导数及沿任意方向的方向导数. （注：若是存在，把它求出来；若是不存在，要说明理由.） 解：假设取直线途径kx y =，极限3),(lim 0==→y x f kxy x ；假设取途径为)10(4<<=k kxy 则2),(lim 40==→y x f kx y x ，因此二重极限),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在.对任意0≠y ，3),(lim 0=→y x f x ，故 33lim ),(lim lim 00==→→→y x y y x f 。
2022-2023学年江苏省徐州市高一年级下册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省徐州市高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知复数z 满足()1i 5i z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】利用复数除法求出z ，即可判断.【详解】因为()()5i 1i 5i 64i32i 1i 22z +-+-====-+，所以点()3,2-位于第四象限.故选：D.2．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，则两次掷出的点数之和为6的概率为（）A ．19B ．536C ．16D ．736【答案】B【分析】先找出总事件共6636⨯=种，其中满足条件的罗列出来共5种，代入求解.【详解】先后两次掷一枚质地均匀的骰子，共有6636⨯=种情况，点数和为6的有15,24,33,42,51+++++共5种情况，所以概率为536，故选：B.3．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）A ．若m α⊥，m n ⊥，则n ⊂αB ．若m ，n 与α所成的角相等，则m n ∥C ．若m α∥，m β∥，则αβ∥D ．若m n ∥，n β⊥，m α⊂，则αβ⊥【答案】D【分析】利用线面垂直的性质定理，线面角的定义，面面平行的判定定理，即可逐个选项判断.【详解】若m α⊥，m n ⊥，则n ⊂α或n α⊄，A 错；若m ，n 与α所成的角相等，则m n ∥或m 与n 相交或异面，B 错；若m α∥，m β∥，则α与β平行或相交，C 错；若m n ∥，n β⊥，所以m β⊥，又m α⊂，则αβ⊥，D 正确.故选：D4．有一组样本数据，12,,,n x x x ，其平均数为a ，中位数为b ，方差为c ，极差为d .由这组数据得到新样本数据，1y ，2y ，…，n y ，其中()281,2,,i i y x i n =+= ，则新样本数据的（）A ．样本平均数为2aB ．样本中位数为2bC ．样本方差为4cD ．样本极差为28d +【答案】C【分析】A 选项，由平均数的定义得到28y a =+；B 选项，12,,,n x x x 的大小排列顺序与变化后的12,,,n y y y 的大小顺序一致，故12,,,n y y y 的中位数为28b +；C 选项，由方差得定义计算出12,,,n y y y 的方差；D 选项，由max min x x d -=得到max min 2y y d -=，D 错误.【详解】A 选项，由题意得12n x x x na +++= ，则()12122828n n x x x ny y y y a n n+++++++===+ ，故A 错误；B 选项，由于()281,2,,i i y x i n =+= ，故12,,,n x x x 的大小排列顺序与变化后的12,,,n y y y 的大小排列顺序一致，由于12,,,n x x x 的中位数为b ，故12,,,n y y y 的中位数为28b +，B 错误；C 选项，由题意得()()()22212n x a x a x ac n-+-++-= ，所以()()()22212n y y yyy yn-+-++- ()()()22212282828282828n x a x a x a n+--++--+++--=()()()222124444n x a x a x ac n-+-++-== ，C 正确；D 选项，由于()281,2,,i i y x i n =+= ，故12,,,n x x x 中最大值和最小值，经过变化后仍然为12,,,n y y y 中的最大值和最小值，即max min x x d -=，则()max min max min 28282y y x x d -=+-+=，D 错误.故选：C5．已知向量a ，b 的夹角为π3，若()-⊥ a b a ，则向量a在向量b 上的投影向量为（）A ．14bB ．12br C ．32bD ．b【答案】A【分析】由()-⊥ a b a 得2b a =，根据投影向量的定义求解.【详解】由()-⊥ a b a 得()0a b a -⋅= ，即22π3,cos a b a a b a ⋅=∴⋅=，所以2b a = ，所以向量a在向量b 上的投影向量为π1cos 432a b a b b b b⋅==⋅.故选：A6．已知π3sin sin 33αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．13B ．13-C ．79-D ．79【答案】C【分析】根据和差公式，辅助角公式得到π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再利用诱导公式，倍角公式求出答案.【详解】因为πππ33sin sin sin cos cos sin sin sin cos 33322ααααααα⎛⎫++=++=+⎪⎝⎭，所以333sin cos 223αα+=，即π33sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，29sin 2cos 2c s ππππo 22si 6623π7n 16αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎛⎫+--+=-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎝⎭⎝=- ⎪⎭⎭.故选：C7．如图，一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所制成的.已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且圆台的母线与底面所成的角为π3，圆锥的底面是圆台的上底面，顶点在圆台的下底面上，则该工业部件的体积为（）A ．23πB ．163πC ．73π3D ．563π3【答案】B【分析】由题知该圆台的轴截面为等腰梯形，进而得π3DAB ∠=，圆台，圆锥的高均为23DE =，再计算体积即可.【详解】解：根据题意，该圆台的轴截面ABCD 为等腰梯形，如图，所以DAB ∠即为圆台母线与底面所成角，即π3DAB ∠=，分别过点C 、D 在平面ABCD 内作DE AB ⊥，CF AB ⊥，垂足分别为点E 、F ，因为//CD EF ，则四边形CDEF 为矩形，且4EF CD ==，因为AD BC =，DAE CBF ∠=∠，π2AED BFC ∠=∠=，所以，ADE BCF ≌，所以，AE BF =，且84222AB CD AE BF --====，因为π3DAE ∠=，则πtan 233DE AE ==，所以，圆台，圆锥的高均为23DE =，所以，该工业部件的体积为()211234π4π16π16ππ223163π33V V V =-=⨯⨯+⨯+-⨯⨯⨯=圆锥圆台.故选：B.8．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos a B b A b -=，则ba c+的取值范围是（）A ．32,32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．()23,1-C ．()23,21--D ．()21,32++【答案】C【分析】由正弦定理边化角得到2A B =，由锐角三角形求出π6π4B <<，然后将ba c +的取值范围转化为函数的值域问题求解即可.【详解】因为cos cos a B b A b -=，所以由正弦定理得：sin cos sin cos sin A B B A B -=,即()sin sin A B B -=，所以A B B -=，即2A B =，又πA B C ++=，所以π3C B =-.因为锐角三角形ABC ，所以π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即π022π02π0π32B B B ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得π6π4B <<.()sin sin sin sin sin sin 2sin π3sin 2sin 3b B B Ba c A C B B B B ===+++-+222sin 11=sin 2sin 2cos cos 2sin 2cos 2cos 2cos 14cos 2cos 1B B B B B B B B B B B ==++++-+-.令cos B t =，因为π6π4B <<，所以23,22t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则21421b a c t t =++-在23,22t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减，所以()23,21ba c∈--+.故选：C.二、多选题9．设1z ，2z 是复数，则下列说法正确的是（）A ．若1z 是纯虚数，则210z <B ．若22120z z +=，则120z z ==C ．若12z z =，则12z z =D ．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅【答案】ACD【分析】对于A 代入()1i R z a a =∈即可判断正误，对于B 取特殊值21i,1z z ==验证即可，对于C 设1i z a b =+，求得12,z z 即可判断正误，对于D 设12i,i,z a b z c d =+=+代入验证即可求得.【详解】A.()1i R z a a =∈，则()2221i 0z a a ==-<，故A 正确；B.当21i,1z z ==时，22120z z +=，但得不出120z z ==，故B 错误；C.设1i z a b =+，则12i z z a b ==-，2i z a b =+，所以2212z z a b ==+，C 正确；D.设12i,i,z a b z c d =+=+则12=z z 得2222+=+a b c d ，又()()2211i i z z a b a b a b ⋅=+⨯-=+，()()2222i i z z c d c d c d ⋅=+⨯-=+，故1122z z z z ⋅=⋅成立，D 正确.故选：ACD.10．有4个相同的球，分别标有数字1、2、3、4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，A 表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，B 表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，C 表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，D 表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（）A ．A 、B 相互独立B ．B 、D 相互独立C ．A 、D 相互独立D ．C 、D 相互独立【答案】BC【分析】利用古典概型的概率公式结合独立事件的定义逐项判断可出合适的选项.【详解】对于A 选项，从上述四个球中不放回的随机取两次，每次取1个球，所有的基本事件有：()1,2、()1,3、()1,4、()2,1、()2,3、()2,4、()3,1、()3,2、()3,4、()4,1、()4,2、()4,3，共12种，其中事件A 包含的基本事件有：()1,2、()1,3、()1,4、()3,1、()3,2、()3,4，共6种，事件B 包含的基本事件有：()1,2、()1,4、()2,4、()3,2、()3,4、()4,2，共6种，事件C 包含的基本事件有：()1,2、()1,4、()2,1、()2,3、()3,2、()3,4、()4,1、()4,3，共8种，事件D 包含的基本事件有：()1,3、()2,4、()3,1、()4,2，共4种，对于A 选项，()61122P A ==，()61122P B ==，事件AB 包含的基本事件有：()1,2、()3,2、()1,4、()3,4，共4种，则()()()41123P AB P A P B ==≠，故A 、B 不相互独立，A 错；对于B 选项，事件BD 包含的基本事件有：()2,4、()4,2，共2种，则()21126P BD ==，又因为()41123P D ==，则()()()P BD P B P D =，共B 、D 相互独立，B 对；对于C 选项，事件AD 包含的基本事件有：()1,3、()3,1，共2种，则()21126P AD ==，则()()()P AD P A P D =，故A 、D 相互独立，C 对；对于D 选项，()()()0P CD P C P D =≠，故C 、D 不相互独立，D 错.故选：BC.11．如图，在等腰直角三角形ABC 中，1AB =，90BAC ∠=︒，设点1P ，2P ，3P ，4P 是线段BC 的五等分点，则（）A ．33255AP AB AC =+B ．1223AP AP AP AP ⋅>⋅ C ．123432AB AP AP AP AP AC +++++=D ．()()10121t BC BA AC t B t C ≤-++-≤ 的最小值为52【答案】BCD【分析】对于A ：根据平面向量基本定理直接用,AB AC 表示3AP ；对于B ：用,AB AC表示12,AP AP 后计算验证即可；对于C ：设BC 的中点为M ，根据向量加法运算转化为AM即可；对于D ：设BP tBC =()01t ≤≤，将问题转化为求AP NP + 的最小值解决.【详解】对于A ：()333235555AP AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=+ ，故A 错误；对于B ：同上可得124132,5555AP AB AC AP AB AC =+=+因为在等腰直角三角形ABC 中，1AB =，所以221,0AB AC AB AC ==⋅=，所以221241321211214555525252525AP AP AB AC AB AC AB AB AC AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22233223613612555525252525AP AP AB AC AB AC AB AB AC AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以1223AP AP AP AP ⋅>⋅ ，故B 正确；对于C ：设BC 的中点为M ，则14232,2,2AB AC AM AP AP AM AP AP AM+=+=+=所以1234266322AB AP AP AP AP AC AM +++++==⨯= ，故C 正确；对于D ：设AC 的中点为N ，P 为线段BC 上一点，设BP tBC =()01t ≤≤，则()1CP t CB =- ，则t BC BA BP BA AP -=-= ，()11122AC t CB CP CA CP CN NP +-=-=-=，所以()112t BC BA AC t CB AP NP -++-=+ ，作点A 关于BC 的对称点A '，则四边形ABA C '为边长为1的正方形，故52AP NP A P NP A N ''+=+≥= ，当,,N P A '三点共线时取等号，所以()()10121t BC BA AC t B t C ≤-++-≤ 的最小值为52，故D 正确.故选：BCD.12．如图，在矩形ABCD 中，22AD AB ==，M 为边BC 的中点，将ABM 沿直线AM 翻折成1AB M ，连接1B D ，N 为线段1B D 的中点，则在翻折过程中，（）A ．异面直线CN 与1AB 所成的角为定值B ．存在某个位置使得1AM B D⊥C ．点C 始终在三棱锥1B AMD -外接球的外部D ．当二面角1B AM D --为60°时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积为13π3【答案】AC【分析】A 选项，作出辅助线，找到HNC ∠或HNC ∠的补角为异面直线CN 与1AB 所成的角，利用余弦定理求出52NC =，异面直线CN 与1AB 所成的角的余弦值为定值；B 选项，假如1AM B D ⊥可证出1AM MB ⊥，与1π4AMB ∠=矛盾；C 选项，作出辅助线，得到OM 即为三棱锥1B AMD -外接球的半径，由于HC HM >，所以OC OM >，可得到C 正确；D 选项，作出辅助线，找到1B TH ∠即为二面角1B AM D --为平面角，即160B TH ∠=︒，求出各边长，再找到球心，利用半径相等列出方程，求出外接球半径和表面积.【详解】A 选项，矩形ABCD 中，22AD AB ==，M 为边BC 的中点，所以ABM 为等腰直角三角形，故π4BAM ∠=，22AM AB ==，翻折过程中，1π4B AM ∠=，取AD 的中点H ，连接,HN HC ，因为N 为线段1B D 的中点，所以1//HN AB ，则HNC ∠或HNC ∠的补角为异面直线CN 与1AB 所成的角，因为M 为边BC 的中点，所以//AH MC ，且AH MC =，所以四边形AMCH 为平行四边形，故//AM HC ，所以1π4NHC B AM ∠=∠=，其中11122HN AB ==，由余弦定理得22211252cos 2224224NC HN HC HN HC NHC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，故52NC =，故222152544cos 2515222HN CN HC NHC HN CN +-+-∠===-⋅⨯⨯，所以异面直线CN 与1AB 所成的角的余弦值为55，A 正确；B 选项，因为2,2AM MD AD ===，所以222+=AM MD AD ，故AM ⊥MD ，假如1AM B D ⊥，因为1MD B D D = ，1,MD B D ⊂平面1MB D ，所以AM ⊥平面1MB D ，因为1MB ⊂平面1MB D ，所以1AM MB ⊥，这与1π4AMB ∠=矛盾，故假设不成立，所以不存在某个位置使得1AM B D ⊥，B 错误；C 选项，由于AM ⊥MD ，故ADM △外接圆的圆心为H ，设三棱锥1B AMD -外接球球心为O ，则OH ⊥平面AMCD ，连接OM ，则OM 即为三棱锥1B AMD -外接球的半径，由于HC HM >，所以OC OM >，所以点C 始终在三棱锥1B AMD -外接球的外部，C 正确；D 选项，取AM 的中点T ，连接1,B T TH ，11222B T HT AM ===，因为11B A B M =，所以1B T ⊥AM ，且//HT MD ，所以HT ⊥AM ，所以1B TH ∠即为二面角1B AM D --为平面角，即160B TH ∠=︒，过点1B 作1B K ⊥TH 于点K ，则12cos 604TK B T =︒=，116sin 604B K B T =︒=，24HK TH TK =-=，因为AM ⊥1B T ，AM ⊥HT ，1B T HT T = ，所以AM ⊥平面1B TH ，因为1B K ⊂平面1B TH ，所以AM ⊥1B K ，因为AM TH T = ，,AM TH ⊂平面AMCD ，所以1B K ⊥平面AMCD ，由C 选项可知，三棱锥1B AMD -外接球球心为O ，则OH ⊥平面AMCD ，过点O 作OS ⊥1B K 于点S ，则OH SK h ==，24OS HK ==，若球心在平面ABCD 的上方时，如图，此时1164B S B K SK h =-=-，由勾股定理得22221OD OH HD h =+=+，22222112644B O OS B S h ⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故22226144h h ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得66h =-，不合要求，舍去；若球心在平面ABCD 的下方时，如图，此时1164B S B K SK h =+=+，由勾股定理得22221OD OH HD h =+=+，22222112644B O OS B S h ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故22226144h h ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得66h =，满足要求，代入上式可得外接球半径为24216OD h =+=，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积为242144ππ63⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭.故当二面角1B AM D --为60°时，三棱锥1B AMD -的外接球表面积为14π3，D 错误.故选：AC【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径三、填空题13．已知一组数据：24，30，40，44，48，52.则这组数据的第30百分位数、第50百分位数的平均数为.【答案】36【分析】根据百分位数的定义得到第30百分位和第50百分位，即可求解．【详解】因为630% 1.8⨯=，故这组数据的第30百分位数为30，因为650%3⨯=，所以第50百分位数为4044422+=，所以这组数据的第30百分位数、第50百分位数的平均数为3042362+=，故答案为：36．14．已知tan tan 6αβ+=-，()tan 1αβ+=-，则()()sin cos αβαβ+-的值为.【答案】32/1.5【分析】先利用正切的和角公式打开，得到tan tan 5αβ⋅=-,再根据和差角的正余弦公式化简，弦切互换代入即可求解.【详解】由()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==--⋅，代入tan tan 6αβ+=-，解得tan tan 5αβ⋅=-，()()sin sin cos cos sin tan tan 63cos cos cos sin sin 1tan tan 152αβαβαβαβαβαβαβαβ+++-====-++⋅-.故答案为：32.15．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()()()()sin sin sin a b A C c a A C ++=-+⋅，ABC ∠与BAC ∠的平分线交于点O ，则AOB ∠的值为.【答案】5π6【分析】利用正弦定理结合余弦定理求出cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值，再利用三角形的内角和定理可求得AOB ∠的值.【详解】由()()()()sin sin sin a b A C c a A C ++=-+⋅，可得()()()sin sin sin a b c a C B A ⋅+=-+，由正弦定理可得()()()a b b c a c a +=-+，即222b ab c a +=-，整理可得222a b c ab +-=-，由余弦定理可得2221cos 22a b c C ab +-==-，因为()0,πC ∈，则2π3C =，所以，π3CAB ABC ∠+∠=，因为ABC ∠与BAC ∠的平分线交于点O ，所以，()()11π5ππππ2236AOB OAB OBA CAB ABC ∠=-∠+∠=-∠+∠=-⨯=.故答案为：5π6.四、双空题16．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知2AB =，11AA =，则点1A 到平面1ABC 的距离为；以A 为球心，2为半径的球面与该棱柱表面的交线的总长度为.【答案】2551033π6+【分析】空1：利用等体积法球点到面的距离；空2：由题意可知：球A 仅与平面ABCD 、平面11ABB A 、平面11ADD A 和平面1111D C B A 相交，分别分析球A 与各面交线的形状，运算求解即可.【详解】空1：由题意可得：221215BC =+=，因为AB ⊥平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ，可得1AB BC ⊥，设点1A 到平面1ABC 的距离为d ,因为1111A ABC C AA B V V --=，则1111252123232d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得255d =，即点1A 到平面1ABC 的距离为255；空2：由题意可知：球A 仅与平面ABCD 、平面11ABB A 、平面11ADD A 和平面1111D C B A 相交，因为2AB AD ==，此时球A 与平面ABCD 的交线 BD为半径为2的圆的14，则交线的长度为12π2π4⨯⨯=；设球A 与棱11A B 的交点为M ，即2AM =，可得22113A M AM A A =-=，则111tan 3A MA AM A A∠==，且1A AM ∠为锐角，则1π3A AM ∠=，即π6BAM ∠=，所以球A 与平面11ABB A 的交线 BM为半径为2的圆的112，则交线的长度为1π2π2123⨯⨯=；同理可得：球A 与平面11ADD A 的交线 DN的长度1π2π2123⨯⨯=；可知113A M A N ==，所以球A 与平面1111D C B A 的交线 MN为半径为3的圆的14，则交线的长度为13π2π342⨯⨯=；所以球面与该棱柱表面的交线的总长度为π3π1033π2π326++⨯+=.故答案为：255；1033π6+.【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解．（2）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．五、解答题17．已知向量()1,2a =r ，3cos n )i (,3s b αα=.(1)若a ∥b，求tan2α；(2)若a b a b +=- ，求1si 2s 2n co αα+.【答案】(1)4311-(2)32-【分析】（1）由a ∥b，可得6cos 3sin αα=，则可求出tan α，再利用正切的二倍角公式可求得结果；（2）对a b a b +=- 两边平方化简可得0a b ⋅= ，则得3cos 23sin 0αα+=，求出tan α，对1si 2s 2n co αα+利用二倍角公式化简即可得答案.【详解】（1）因为a ∥b，向量()1,2a =r ，3cos n )i (,3s b αα= 所以6cos 3sin αα=，当cos 0α=时，6cos 3sin αα=不成立，则cos 0α≠，从而tan 23α=，所以()222tan222343tan21tan 11123ααα⨯===---（2）因为a b a b +=- ，所以()()22a ba b +=-，即222222a b a b a b a b ++⋅=+-⋅，故0a b ⋅= ，因为()1,2a =r ，3cos n )i (,3s b αα=所以3cos 23sin 0αα+=.当cos 0α=时，3cos 23sin 0αα+=不成立，则cos 0α≠，故3tan 2α=-，所以2sin 3tan 1cos 22sin22sin2c cos cos 2os αααααααα====-+.18．如图，四棱锥P ABCD -的底面为梯形，BC AD ∥，4AD BC =，PA ⊥底面ABCD ，平面PAC ⊥平面PCD ，点E 在棱PD 上，且4PD PE =.(1)证明：CE ∥平面PAB ；(2)证明：AC CD ⊥.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）过E 作EF AD ∥交PA 于点F ，连接BF ，利用线面平行的判定定理证明即可.（2）利用线面垂直的性质定理，面面垂直的性质定理证明即可.【详解】（1）在平面PAD 中，过E 作EF AD ∥交PA 于点F ，连接BF ，因为BC AD ∥，所以EF BC ∥.又4PD PE =，所以4AD EF =.又4AD BC =，所以EF BC =，所以四边形BCEF 为平行四边形.所以CE BF ∥，又CE ⊄平面PAB ，BF ⊂平面PAB ，所以CE ∥平面PAB .（2）因为PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥.在平面PAC 中，过点A 作AQ PC ⊥，交PC 于点Q ，因为平面PAC ⊥平面PCD ，AQ ⊂平面PAC ，平面PAC 平面PCD PC =，所以AQ ⊥平面PCD ，又CD ⊂平面PCD ，所以AQ CD ⊥.又PA ⊂平面PAC ，AQ ⊂平面PAC ，PA AQ A ⋂=，所以CD ⊥平面PAC .又AC ⊂平面PAC ，所以AC CD ⊥.19．近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取60个直播商家进行问询交流.(1)应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？(2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的60个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示.（i ）估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）；（ii ）若将平均日利润超过470元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数.【答案】(1)小吃类21家，生鲜类9家.(2)（i ）中位数为13003元，平均数为440元；（ii ）256.【分析】（1）根据分层抽样的定义计算即可；（2）（i ）根据中位数和平均数的定义计算即可；（ii ）根据样本中“优秀商家”的个数来估计总体中“优秀商家”的个数即可.【详解】（1）根据分层抽样知：应抽取小吃类()60130%15%10%5%5%21⨯-----=家，生鲜类6015%9⨯=家，所以应抽取小吃类21家，生鲜类9家.（2）（i ）根据题意可得()0.002320.006501a ⨯++⨯=，解得0.004a =，设中位数为x ，因为()0.0020.004500.3+⨯=，()0.0020.0040.006500.6++⨯=，所以()4000.0060.30.5x -⨯+=，解得13003x =，所以该直播平台商家平均日利润的中位数为13003元.平均数为()3250.0023750.0044250.0064750.0045250.0025750.00250440⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=,所以该直播平台商家平均日利润的平均数为440元.（ii ）5004700.0040.0020.0025080025650-⎛⎫⨯++⨯⨯=⎪⎝⎭，所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为256.20．每年的3月14日为国际数学日，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节，其中一项活动是“数学知识竞赛”，竞赛共分为两轮，每位参赛学生均须参加两轮比赛，若其在两轮竞赛中均胜出，则视为优秀，已知在第一轮竞赛中，学生甲、乙胜出的概率分别为45，35；在第二轮竞赛中，甲、乙胜出的概率分别为p ，q .甲、乙两人在每轮竞赛中是否胜出互不影响.(1)若58p =，求甲恰好胜出一轮的概率；(2)若甲、乙各胜出一轮的概率为950，甲、乙都获得优秀的概率为会625.（i ）求p ，q ，的值；（ii ）求甲、乙两人中至少有一人获得优秀的概率.【答案】(1)1740(2)（i ）23p =，34q =；（ii ）223300【分析】（1）利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可.（2）（i ）利用对立事件和独立事件的概率公式表示出()P D 和()P E ，即可求解；（ii ）利用对立事件和独立事件的概率公式即可求解.【详解】（1）设“甲在第一轮竞赛中胜出”为事件1A ，“甲在第二轮竞赛中胜出”为事件2A ，“乙在第一轮竞赛中胜出”为事件1B ，“乙在第二轮竞赛中胜出”为事件2B ，则1A ，2A ，1B ，2B 相互独立，且()145P A =，()2P A p =，()135P B =，()2P B q =.设“甲恰好胜出一轮”为事件C ，则1212C A A A A =+，12A A ，12A A 互斥.当58p =时，()()()()12121212P A A A A P P C A A P A A +=+=()()()()1212P A P A P A P A =+431517585840=⨯+⨯=.所以当58p =，甲恰好胜出一轮的概率为1740.（2）由（1）知，（i ）记事件D 为“甲、乙各胜出一轮”，事件E 为“甲、乙都获得优秀”，所以()()12121212D A A A A B B B B =++，1122E A B A B =.因为甲、乙两人在每轮竞赛中是否胜出互不影响，所以()()()12121212P P A A A A P B B B D B ⋅=++()()()()12121212A A A A B P P P B B P B ⎡⎤⎡⎤=++⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()12121212P A P A P A P A P B P B P B P B ⎡⎤=++⎣⎦⎡⎤⎣⎦()()4132911555550p p q q ⎡⎤⎡⎤=-+-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()()()()()()112211224365525P E P A B A B P A P B P A P B p q ===⨯=，则2481869012q p pq pq --+-=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得2334p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1332p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）.综上，23p =，34q =.（ii ）设事件G 为“甲获得优秀”，事件H 为“乙获得优秀”，于是G H ⋃=“两人中至少有一人获得优秀”，且()()12815P G P A A ==，()()12920P H P B B ==，所以()()87111515P G P G =-=-=，()()911112020P H P H =-=-=，所以()()()()7112231111520300P G H P GH P G P H ⋃=-=-=-⨯=.故甲、乙两人中至少有一人获得优秀的概率为223300.21．在①22222cos cos sin a B C a A c b =+-，②2sin cos b aB B c--=，③ABC 的面积()2sin tan cos 4S b b C c C B =+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知______.(1)求角C ；(2)若点D 在边AB 上，且2BD AD =，5cos 13B =，求tan BCD ∠.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】(1)条件选择见解析，π4C =(2)24tan 41BCD ∠=【分析】（1）选①：由余弦定理结合正弦定理化简可得出tan 1C =，结合角C 的取值范围可得出角C 的值；选②：利用正弦定理结合三角恒等变换可得出πsin 14C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；选③：由三角形的面积公式、切化弦以及三角恒等变换化简可得出cos C 的值，结合角C 的取值范围可得出角C 的值；（2）设BCD θ∠=，则π4ACD θ∠=-，在ACD 、BCD △中分别利用正弦定理，结合2BD AD =可得出171222613πsin 2sin 4θθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用三角恒等变换化简可得出tan θ的值，即为所求.【详解】（1）解：若选择①：因为22222cos cos sin a B C a A c b =+-，结合余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得22cos cos 2cos sin a B C ac B A =⋅，即cos sin A a C c =，由正弦定理可得sin sin C a c A=，所以sin sin sin cos A A CC =，又()0,πA ∈，所以sin 0A >，所以1i os n c 1s CC =，即tan 1C =，又()0,πC ∈，所以π4C =；若选择②：因为2sin cos b aB B c--=，结合正弦定理可得2sin sin sin cos sin B AB B C--=，即()sin sin cos sin 2sin sin 2sin sin πB C B C B A B B C ⎡⎤⎣⎦-=-=--+，()()2sin sin 2sin sin cos cos sin B B C B B C B C =-+=-+，即sin sin 2sin sin cos B C B B C =-，又()0,πB ∈，sin 0B >，故sin 2cos C C =-，即sin cos 2C C +=，所以π2sin 24C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即πsin 14C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为()0,πC ∈，ππ5π,444C ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以ππ42C +=，得π4C =；若选择③：条件即2sin cos sin sin sin sin sin 2cos C BC A B C C C⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又()0,πC ∈，sin 0C >，所以()()22sin cos sin cos sin cos sin 22A CBC C B B C =+=+，即()2sin πsin cos 2A A C -=，所以2sin sin cos 2A A C =，又因为()0,πA ∈，则sin 0A >，所以2cos 2C =，又因为()0,πC ∈，所以π4C =.（2）解：设BCD θ∠=，则π4ACD θ∠=-.因为5cos 13B =，()0,πB ∈，故22512sin 1cos 11313B B ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，所以()32217sin sin πsin πcos sin 242226A B C B B B ⎛⎫=-+=-=+=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，在ACD 中，由正弦定理可得sin sin CD AD A ACD =∠，即17226πsin 4CD AD θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，在BCD △中，同理可得，1213sin BD CD θ=，因为2BD AD =，所以171222613πsin 2sin 4θθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，即171222613sin 2cos 2sin θθθ=-，整理得24tan 41θ=，即24tan 41BCD ∠=.22．如图，在三棱锥A BCD -中，底面BCD 是边长为2的正三角形，AB ⊥平面BCD ，点E 在棱BC 上，且BE BC λ=，其中01λ<<.(1)若二面角A CD B --为30°，求AB 的长；(2)若2AB =，求DE 与平面ACD 所成角的正弦值的取值范围.【答案】(1)1(2)210,7⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【分析】（1）取CD 中点F ，连接BF ，AF ，则BF CD ⊥，再由AB ⊥平面BCD ，得AB BC ⊥，AB BD ⊥，所以BC BD =可得AC AD =，则AF CD ⊥，所以AFB ∠为二面角A CD B --的平面角，从而可求出AB 的长；（2）由()01BE BC λλ=<<，得()1ECD BCD S S λ=-△△，表示出A ECD V -，设E 到平面ACD 的距离为d ，再由等体积法可得()22117d λ=-，在BDE 中利用余弦定理可得22444DE λλ=-+，设DE 与平面ACD 所成角为θ，则可表示出sin θ，从而可求出其范围.【详解】（1）取CD 中点F ，连接BF ，AF .因为BCD △为等边三角形，所以BF CD ⊥.因为AB ⊥平面BCD ，BC ，BD ⊂平面BCD ，所以AB BC ⊥，AB BD ⊥，又因为BC BD =，所以2222AC AB BC AB BD AD =+=+=，因为F 为CD 中点，所以AF CD ⊥.因此AFB ∠为二面角A CD B --的平面角，所以30AFB ∠=︒.所以在直角三角形ABF 中，3tan30tan3012AB BF BC =︒=︒⨯=.（2）因为AB ⊥平面BCD ，所以1233A ECD ECD ECD V AB S S -=⋅=△△.在BCD △中，()01BE BC λλ=<<，所以()()()11123312ECD BCD S S λλλ=-=-⨯⨯⨯=-△△，所以()2313A ECD V λ-=-.设E 到平面ACD 的距离为d ，所以221724ACD CD S CD AC =⋅-=△，所以1733E ACD ACD V d S d -=⋅=△.因为A ECD E ACD V V --=，所以()237133d λ-=，解得()22117d λ=-.在BDE 中，由余弦定理得2222cos60DE BE BD BE BD =+-⋅︒，所以22444DE λλ=-+.设DE 与平面ACD 所成角为θ.则()()22122121sin 077444111d DE θλλλλλλλ--<-=+==⋅<-+令()10,1m λ-=∈，则22221211211sin 777111113124m m m m m m θ=⋅=⋅=⋅-+⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭，因为01m <<，所以11m >，所以210sin 7θ<<，所以DE 与平面ACD 所成角的正弦值的取值范围是210,7⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.。
2023-2024学年江苏省徐州市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷一、选择题。
本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={x|14＜2x ＜4}，B ＝{0，1，2}，则A ∩B ＝（ ）A ．{0}B ．{0，1}C ．{1，2}D ．{0，1，2}2．已知扇形的半径为2cm ，弧长为4cm ，则该扇形的面积为（ ） A ．1cm 2B ．2cm 2C ．4cm 2D ．8cm 23．若命题“∃x ∈R ，x 2+4x +t ＜0“是假命题，则实数t 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．84．已知a ＞b ，则下列不等式中，正确的是（ ） A ．a 2＞b 2 B ．|a |＞|b |C ．sin a ＞sin bD ．2a ＞2b5．若α=4π3，则√1−sinα1+sinα+√1+sinα1−sinα=（ ） A ．4B ．2C ．4√33D ．2√336．2023年12月30日，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭成功发射卫星互联网技术试验卫星．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v （单位：km /s ）和燃料的质量M （单位：kg ）、火箭（除燃料外）的质量m （单位：kg ）的函数关系是v =alg(1+Mm)（a 是参数）．当M ＝5000m 时，v 大约为（ ）（参考数据：1g 2≈0.3010） A ．2.097aB ．3.699aC ．3.903aD ．4.699a7．已知函数f(x)=1x 2+1−e 4x +1e2x ，若a ＝tan171°，b ＝tan188°，c ＝tan365°，则（ ）A ．f （a ）＜f （b ）＜f （c ）B ．f （b ）＜f （a ）＜f （c ）C ．f （b ）＜f （c ）＜f （a ）D ．f （c ）＜f （b ）＜f （a ）8．已知函数f （x ）＝x +1x −2，且关于x 的方程f （|e x ﹣1|）+2k|e x −1|−3k 2＝0有三个不同的实数解，则实数k 的取值范围为（ ） A ．(0，23)B ．(−12，0)∪(23，+∞)C ．(1+√73，+∞) D ．{−12}∪(1+√73，+∞)二、选择题。
2023-2024学年江苏省徐州市高一上册期末复习数学试题(含解析)
2023-2024学年江苏省徐州市高一上册期末复习数学试题一、单选题1．已知集合{A =-，{}1,B m =-，B A ⊆，则m =（）A ．0B ．1C ．0或1D ．1-【正确答案】B【分析】根据集合的包含关系及集合元素的互异性计算可得.【详解】解：因为{A =-，{}1,B m =-且B A ⊆，则m A ∈,0≠，即0m ≠m =，即1m =；故选：B2．设x ∈R ，则“20x -≥”是“11x +≤”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】首先求出不等式的解集，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：由20x -≥，解得2x ≤，由11x +≤，即111x -≤+≤，解得20x -≤≤，又[]2,0-(],2-∞，由20x -≥推不出11x +≤，故充分不成立，由11x +≤推得出20x -≥，即必要性成立，所以“20x -≥”是“11x +≤”的必要不充分条件.故选：B3．函数2||()22x xx x f x -+=+部分图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】先由函数的奇偶性排除部分选项，然后再由()0f x =的解及解的个数判断.【详解】因为函数的定义域为R ，又()22||||()()2222x xx x x x x x f x f x ---+-+-===++，所以函数()f x 是偶函数，排除AD ，令()0f x =，得0x =，且只有一个解，排除C ，故选：B4．已知0.85sin 53,log 2,0.5a b c ===︒，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b<c<aD ．c<a<b【正确答案】C【分析】利用正弦函数、对数函数、指数函数的图像和性质求解即可.【详解】因为sin 53sin 452︒>︒=，541log 2log 22<=，10.80.510.50.50.522=<<=，所以0.85log 20.5sin 53<<︒，故选：C5．截至2022年12月12日，全国新型冠状病毒的感染人数突破人．疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题．新型冠状病毒肺炎以发热、干咳、乏力等为主要表现，重者快速进展为急性呼吸窘迫综合征、脓毒症休克、难以纠正的代谢性酸中毒和出凝血功能障碍及多器官功能衰竭等．专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t （单位：天）与病情爆发系数()f t 之间，满足函数模型：()()0.225011et f t --=+，当()0.1f t =时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时t 约为（）（参考数据： 1.1e 3)≈A ．38B ．40C ．45D ．47【正确答案】B【分析】当()0.1f t =时，()0.225010.11e t --=+，由此能求出t ．【详解】()()0.225011et f t --=+，当()0.1f t =时，()0.225010.11e t --=+，()0.22501e 10t --+=，()0.2250 2.2e 9e t --=≈，解得40t ≈．故选：B6．函数()tan 24f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为（）A ．114,422k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Z k ∈B ．314,422k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Zk ∈C ．312,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Zk ∈D ．112,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Zk ∈【正确答案】C【分析】利用正切函数的性质求解.【详解】解：令,2242k x k k Z ππππππ-+<+<+∈，解得3122,22k x k k Z -+<<+∈，所以函数()f x 的单调递增区间为312,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Z k ∈，故选：C7．已知0,0m n >>，且21m n +=，则1+m mn的最小值为（）A ．13B ．14C．5+D．6+【正确答案】C【分析】由题意知0,0m n >>,把21m n +=代入1+m mn中可得31n m +,然后再让所求式子乘上(2)m n +,通过化简,便可利用基本不等式性质即可求得最小值.【详解】 0,0m n >>，21m n +=，∴12331m m m n m n mn mn mn n m++++===+，∴131m mn n m +=+()312m n n m ⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭632m n n m=+++55≥++,当且仅当6m n n m =时，即226n m =，而又21m n +=,所以m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此时不等式可取等号.所以1+m mn的最小值为5+故选：C.8．已知函数()f x 的定义域为R ,图象恒过()1,1点,对任意12x x <,都有()()12121f x f x x x ->--则不等式()()22log 212log 21xx f ⎡⎤-<--⎣⎦的解集为（）A ．()0,∞+B ．()2,log 3-∞C ．()()2,00,log 3-∞D ．()20,log 3【正确答案】D判断出()()R x f x x =+是增函数，又()()()2222log 1log 12(1)1x xf f -+-<=+，求得0<212x -<，从而求得x 的范围。
中国矿业大学(徐州)02级数学分析(1)试题(A卷)
数学分析(上)试题（适用数学系2002级，120分钟，2003年1月15日）班级____________姓名____________序号_______成绩____________一、求解下列各题（每题4分共40分）1．!lim n n c n∞→（0>c 为常数）2．xx x x x sin tan )sin(sin )tan(tan lim0--→3．x x xx )1cos 1(sinlim +∞→ 4．求b a ,使⎩⎨⎧<-≥+=0120)(x e x b ax x f x在点0=x 可导。
5．求155345++-=x x x y 在]2,1[-上的最大值与最小值。
6．⎰+dx x xx 221arctan 7．11)1ln(lim4sin 02-++⎰→x dtt xx8．])1(cos 2cos cos 1[1lim n nxn n x n x n-++++∞→ （R x ∈） 9．⎰∞+-0dx e x x n （+∈N n ）10．⎰--b ax b a x dx ))((（b a <）二（10分）、设)(x f 在区间I 上有界，记)(inf ,)(sup x f m x f M Ix Ix ∈∈==称m M I f -=ω),(为函数f 在区间I 上振幅。
证明)()(sup ),(,x f x f I f Ix x ''-'=ω∈'''三（10分）、设)(x f 在有限开区间),(b a 上连续，证明)(x f 在),(b a 上一致连续的充要条件是)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→都存在且有限。
（提示使用一致连续性定理）四（10分）、证明：方程033=+-c x x （c 为常数）在区间]1,0[内不可能有两个不同的实根。
五（10分）、设)(x f 在)(0x U 连续，在)(00x U 可导，证明：如果)0(0+'x f 存在，则)(0x f +'也存在，且)0()(00+'='+x f x f 。
数学分析(1)期末试题A答案
学习资料收集于网络，仅供参考2007-2008学年第一学期期末数学分析（1）考试试题（A 卷）参考答案及评分标准、判断题（本题共 10小题，每小题2分，共20分）1. X2. X3. V4. X5. V6.、填空题（本题共 8小题，每空2分，共20分） 1.f (n 1)(. )+ ------ ( (x -x o )n* ,:介于 x 与x o 之间. (n 1)!三、计算题（本题共 5小题，第1—4小题每题5分，第5小题10分，共30分）3.(6)1. 设y = x e ,试求y .解基本初等函数导数公式，有(x 3) =3x 2,(x 3) =6x,(x 3) =6,(x 3)(k)=0, k =4,5,6, (e x 严=e x ,k =1,2,111,6,应用莱布尼兹公式（n =6）得(6)3 x2 xxxy x e 6 3x e 15 6xe 20 6e32x=(x 18x 90x 120)e .2. 4 co sx2- s x2e 2叫23. e x f( f( e)) f(x e ) 4. 6 (x - 1) 5. -In二.6. 0, 17. y =x , y - -xx 7. V 8. x 9. V 10. xf (n) (Kn)nf(x)=f(x o ) f(x o )(x -x o )中^r (x -x o )8.学习资料收集于网络，仅供参考x = a（t -sint）,2.试求由摆线方程《所确定白^函数y=f（x）的二阶导数.y = a（1 - cost）学习资料收集于网络，仅供参考dy (a(1 - cost)) dx (a(t-sint))sint x t ------ 二 cot 一，1 - cost 2…t1 2t 2I cotcsc _dy 2 2 22 一 _ .一dx (a(t-sint)) a(1 -cost) 1 4 t——csc - ....................... .......4a 23.试求f (x) =ln(1 +x 2)到x 6项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式 解因为2 3. x x 3ln(1+x)=x ———+—+o(x ),.......2 3所以f(x) =ln(1 +x 2)到x 6项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为4622x x 6ln(1 x )= x -——一■ o(x ).2 34. 试求极限 解通分后连续使用两次洛必达法则，得 x e - x -1xx(e -1)x e -1 e x(x 1)-1 xelim - ---- x 山 e x(x - 2)3分2分3分2分-- 3 2 5.试求函数y ^2x -9x +12x|在［-1,3］上的最值和极值解 32y 二|2x -9x 12x|一 2_ 一二|x(2x -9x 12) |I x(2x 2 -9x 12), -1 < x < 0,一 2x(2x -9x 12), 0 二 x <3,在闭区间［-1,3］上连续，故必存在最大最小值.-6x 2 18x-12, 6x 2 -18x 12 -6(x-1)(x-2), 6(x-1)(x-2),令y' = 0,得稳定点为x=1,2.又因 匚(0) =—12, f ；(0) =12,故y 在x = 0处不可导.列表如下所以x = 0和x = 2为极小值点，极小值分别为 f (0) = 0和f (2) = 4 , x = 1为极大值点f(1)= 5.又在端点处有f (-1) = 23 , f (3) = 9,所以函数在x = 0处取最小值0,在x = -1处取最大值................................ 2分四、 证明题(本题共3小题，每小题10分，共30分).21 .证明不等式e x>1 +x+— (x>0) 22、一人vx一证令 f (x) =e 一一 -x -1 , x >0, 2f (x) = e x- x -1, x 0 f (x) -e x-1 0 , x 0,且 f(0) = f (0) =0,............................. 3 分当x A0时有f "(x) >0,所以f'(x)严格递增， 又f (x)在x=0处连续，所以f (x) > f (0) =0, x >0, ................................ 3 分-1 < x :二 0, 0 x <极大值为23.所以f(x)严格递增，又f(x)在x = 0处连续，所以f (x) > f (0) =0, x>0, ................................ 3 分x x2即e >1+x + ——,x >0. ............................. 1 分22.设f为(血，十a)上的连续函数，对所有x, f (x) >0 ,且lim f (x) = lim f (x) =0 ,证明f (x)必x ；：：x :.能取到最大值.证由题设f(0)>0,取8=*0■，由lim f(x) = lim f (x) = 0，m X >0,当| x |A X 时，2 x『二xf(x)<S<f(0). ................................ 4 分又f在［-X , X ］上连续，由闭区间上连续函数的最大、最小值定理知，f在［-X, X］能取到最大值................................ 4分且此最大值为f在(—叫+如)上的最大值. .................................. 2分3.若函数f(x)在［0,1］上二阶可导，且f(0)=0, f(1) = 1, f'(0)= f'(1) = 0,则存在c^(0,1)使得|f (c)|_2.证法一：v x w (0,1),把f (x)在0, 1两点处分别进行泰勒展开到二阶余项，有f ( J 2f (x) =f(0) f (0)(x-0) ^^x ,f , 0； 1 <x- <1,f(x) =f(1) f (1)(x-1) -4^(x-1)2,2!上两式相减，有f ( 1) f ( 2)(x-1)2.记| f ”(c)尸max{| f 7 -1) |,| f 'J) |},则有1《|f (c)|［x2 (x-1)2］1\|f (c)|,即存在cw(0,1)使得| f *(c)住2.证法二：在［0,1］上对f(x)应用拉格朗日中值定理有f (D = f ⑴—f (0) =1 , 0 ＜1 .当0 时，在［0,可上对f '(x)应用拉格朗日中值定理有1 .1 = f 注)—f (0) = f “(c)L =| f “(c)|=f “(c) =不之2, 2(0,与二(0,1)................................. 3分当白＜匚＜1时，在［匕1］上对f'(x)应用拉格朗日中值定理有11 = f ( ) - f (1) = f (c)( -1),=|f(c)|=—— 2, c ( ,1) (0,1).1 -................................ 2分综上证明知存在cW(0,1)使彳#|f”(c)户2. ................................ 2分。
中国矿业大学《高等数学》2023-2024学年第一学期期末试卷
中国矿业大学《高等数学》
2023-2024学年第一学期期末试卷
一．填空题：（每题2分，共18分）
1．则------------------
2．,则c-------------
3．已知，则a=-------------,b=---------------
4．,则x=a是---------类间断点。
5．若函数在处的自变量为对应函数增量
的线形主部dy=-1，则自变量x的始值-------------
6．函数y=的单调增区间是--------------，单调减
区间是------------------
7．a=------------,b=----------时，使曲线有拐点()
8．的定义域为--------------
9．若在x=1处连续，则a=-----------------
二．计算题：(每题4分，共48分）
1．试给出函数f(x)=1+sinx+cosx在[0,2]内的单调情况及单调区
间。
2．求
3．求
4．设，求
5．已知，求
6．已知,求
7．求
8．求f(x)=xln(1-x)的n阶马克劳林展开式。
9．求函数的单调区间，极值点与极值。
10．设，求
11．已知，求
12．
三．证明题：双曲线上任意点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于一个常数。
（15分）
四．应用题：已知n个实测数据如何选取x使误差平方
和为最小。
（19分）。
《数学分析》期末复习用 各章习题+参考答案
f f f (x) = x + 2 ； 2x + 3
f f f f (x) = 2x + 3 。 3x + 5
9． f (x) = f (x) + f (−x) + f (x) − f (−x) ， f (x) + f (−x) 是偶函数， f (x) − f (−x) 是奇
2
2
2
2
函数.
⎧− 4x + 3
2⋅4⋅6⋅
⋅ (2n) 。 (提示：应用不等式 2k > (2k − 1)(2k + 1) )。
9. 求下列数列的极限：
⑴
lim
n→∞
3n2 + 4n − 1 n2 +1 ;
⑵
n3 + 2n2 − 3n + 1
lim
n→∞
2n3 − n + 3 ;
2
⑶
3n + n3
lim
n→∞
3n+1
+ (n + 1)3
k∈Z ⎝
2
2⎠
（4） y = x −1 ，定义域： (− ∞,−1) ∪ [1,+∞)，值域： [0,1)∪ (1,+∞).
x +1
5．（1）定义域： ∪ (2kπ ,(2k +1)π )，值域： (− ∞,0]； k∈Z
（2）定义域：
∪
k∈Z
⎢⎣⎡2kπ
−
π 2
,2kπ
+
π 2
⎤ ⎥⎦
，值域： [0,1]；
1
（3）定义域：
[−
4,1] ，值域：
⎢⎣⎡0,
中国矿业大学工程数学课后答案
C
Cz
∫ 5．计算积分
C
z z
dz 的值，其中 C 为正向圆周：（1）
z
= 2 ；（2）
z
=4
解 （1）因在 | z |= 2 上有 | z |= 2 ， z ⋅ z =| z |2 = 4 ，从而有 z = 4 ，故有
z
m ∫ ∫ ∫ z dz =
4
Z dz =
2dz = 4π i
C|z|
2 |z|=2
z－1
|=
6为正向
v∫ 3）
C =C1 +C2
cos z3
z
dz,
其中C1
:|
z
|=
2为正向，C2
:|
z
|=
3为负向
-3-
课后答案网
4）
v∫
C
dz z－ i
,
其中C为以±1 ， 26 5i为顶点的正向菱形
v∫ 5）
C
(z
ez − a)3
dz, 其中a为 |
a
|≠ 1的任何复数，C
在右半平面解析，故在计算从
0
到z
沿任意一条曲线 C 的积分时与积分路径无
∫ ∫ ∫ ∫ 关。则
z1 0 1+ζ
2
dζ
=
11 0 1+ x2
dx
+
θ ieiη 0 1+ e2iη
dη
=
π 4
+
θ 2i cosη dη. （分子分母同乘以1+ e−2iη ）， 0 2 + 2 cos 2η
-4-
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= (1 + i)
1t2
中国矿业大学(徐州)09级_大一上学期_数学分析(1)期末试题(A卷)及答案
中国矿业大学第1学期《 数学分析(1) 》试卷(A)一、叙述题(每题5分共20分)1．叙述)(x f 在区间I 上有上确界A 的定义。
2．叙述lim ()x f x →+∞=-∞的定义，并叙述lim ()x af x -→不是无穷大的定义。
3. 叙述闭区间上连续函数的介值性定理。
4. 叙述导数极限定理。
二、计算题（每题5分共20分）1． 设lim n n a a →∞=（0,0n a a >>），求n2．求曲线221,x t y t t =-=-在1t =对应点的切线方程。
3．求30tan sin limsin x x xx→-。
三、证明题（每题10分共60分） 1．设222111123n a n=++++ ，证明数列{}n a 收敛。
2. 设)(x f 在),(+∞-∞连续，且A x f x =-∞→)(lim ，B x f x =+∞→)(lim 。
证明)(x f 在),(+∞-∞上一致连续。
3. 设0lim ()x x g x →=+∞，而lim ()u f u A →+∞=，证明lim [()]x x f g x A →=。
4. 设21sin,0()20,0x x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩（1）求导函数()f x '；（2）证明()f x '在点0x =不连续；（3）证明()f x 在点0x =的任何邻域不单调。
5. 证明不等式：2arctan 1hh h h <<+，其中0h >。
参考答案一、叙述题(每题5分共20分) （略）二、计算题1．解 取0ε满足a <ε<00，由a a n n =∞→lim 知，+∈∃N N ，当N n >时，00ε+<<ε-a a a n从而nn n na a a 00ε+<<ε-上式两边取极限并利用结论1lim=∞→n n c (0>c 为常数)和迫敛性得1lim =∞→nn n a 。
2021-2022学年江苏省徐州市高一(上)期末数学试卷【含答案】
20212022学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ≤2}，B ＝{﹣2，﹣1，0，2，4}，则（∁R A ）∩B ＝（）A ．∅B ．{﹣1，2}C ．{﹣2，4}D ．{﹣2，﹣1，4}2．若幂函数y ＝f （x ）的图象过点（4，2），则f （2）的值为（）A ．2B ．12C ．√2D ．43．命题“∀x ＞1，x 2+1＞2”的否定为（）A ．∃x ≤1，x 2+1≤2B ．∀x ＞1，x 2+1≤2C ．∃x ＞1，x 2+1≤2D ．∀x ≤1，x 2+1≤2(14．已知函数f （x ）={3)x ，x ≤0，则f （f （﹣3））的值为（）log 3x −2，x ＞0A ．﹣3B ．﹣2C ．0D ．15．已知函数y ＝a x +4+2（a ＞0，且a ≠1）的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则cos α的值为（A ．−435B ．−2√23C ．√23D ．56．设m ，n 为正数，且m +n ＝2，则4m11n1的最小值为（）A ．13974B ．4C ．4D ．957．设a ＝3−12，b ＝log12，c ＝tan70°，则（）3A ．a ＞c ＞bB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b）8．如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它对应的方程为|y |＝（3−3[π613x]）•|sin ωx |（0≤x π17π6≤3π）（其中记[x ]为不超过x 的最大整数），且过点P （，3），若葫芦曲线上一点M 到y 轴的距离为则点M 到x 轴的距离为（），A ．21√3B ．2C ．31√3D ．3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
中国矿业大学高数A1试题A卷参考答案
中国矿业大学2018-2019学年第 1学期《 高等数学A （1）》试卷（A ）卷答案供参考一、填空题（每题4分，共20分）1．21lim →∞⎛⎫++=+n n 2 ．2．123lim 21x x x x +→∞+⎛⎫ ⎪+⎝⎭e ．3．设0(),0≠=⎨⎪=⎩x f x a x 在0x =处连续，则=a 12．4．设21sin ,0(),0⎧<⎪=⎨⎪≥⎩x x f x xx x ，则(0)-'f 0 ．5．设2sin =y x ，则d y 2s i n x s i n x ．二、单项选择题(每题只有一个正确答案。
每题4分，共20分)1．设0>a ，则当0→x 是x 的（ C ）无穷小．A.等价；B.2阶；C.3阶；D.4阶2．2设 ()f x 在0x 的某个邻域有定义，且在点0x 处间断，则在点0x 必间断的函数是（ D）．A. ()f x ；B. 2()f x ；C. ()sinf x x ； D. ()sin +f x x3．设21,0()0,0x f x x x ≠=⎪=⎩，则()f x 在点0x =处（ C ）．A. 极限不存在；B. 极限存在不连续;C. 连续但不可导；D. 可导.4．函数()f x 在1x =处可导的充分条件是（ B ）．A. 0(cos )(1)lim cos 1x f x f x →-- 存在； B. 0(1sin )(1)lim x f x f x →-- 存在；C. 220(1)(1)lim x f x f x →+- 存在；D. (1)f -' 与 +(1)f '存在．5．设 ,0()sin 2,0⎧<=⎨+≥⎩a x e x f xb x x 在0=x 处可导，则（ A ）．A. 2,1==a b ；B. 1,2==a b ；C. 2,1=-=a b ；D. 2,1==-a b ．三、计算题（每题9分，共54分）1．(9分) 计算极限0(1cos 2)lim tan sin →--x x x x x． 解：0(1cos 2)lim tan sin →--x x x x x 201(2)2lim tan (1cos )→=-x x x x x 3022lim 12→=⋅x x x x 4= 2．(9分) 设函数1122()22x x f x +=-，指出其间断点并判断类型．解：()f x 的间断点为0,1==x x .因为 11022lim 122-→+=--xx x11110022122lim lim 122122++-→→-++⋅==--⋅x x x x x x 所以0=x 是()f x 的第一类间断点(跳跃间断点)；而 11122lim 22→+=∞-x x x故1=x 是()f x 的第二类间断点(无穷间断点).3．(9分) 设21arctan ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦y f x ，其中()f x 可导，求'y ． 解： 2211112arctanarctan 11⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=⋅⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+y f f x x x x 2211arctan arctan 1⎛⎫⎛⎫'=-⋅⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭f f x x x 4．(9分) 求曲线2cos cos ,sin x t t y t⎧=+⎨=⎩在对应于4t π=点处的法线方程.解：d cos d d d d d sin 2cos sin ==--y t y x t t x t t t当4t π=时，12'=+===x y y 法线斜率为111=-=k ， 那么该点处的法线方程为11)()22-=-y x . 5．(8分)arctan 5yx e=，求d d x y. 解：方程两边取对数，有 221ln()ln 5arctan 2+=+y x y x， 方程两边对y 求导，得2222d d 1d d 1⋅+-⋅=⋅+⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x x y x y y y x y x y x ，整理得d d -=+x x y y x y6．(8分) 设函数2156y x x =-+，求其n 阶导数()n y ． 解：21115632==--+--y x x x x 那么()11(1)!(1)!(3)(2)++--=---n n n n n n n y x x 四、证明题（8分）设()f x 在[0,3]连续，且(0)(3)=f f ，证明：存在[0,2]ξ∈，使得()(1)ξξ=+f f ．证明：令 ()()(1),[0,2]=-+∈F x f x f x x显然 ()F x 在区间[0,2]上连续. 另外(0)(0)(1)=-F f f ，(1)(1)(2)=-F f f ，(2)(2)(3)=-F f f ，上面三式相加，有(0)(1)(2)(0)(3)0++=-=F F F f f ，由介值定理可知，存在[0,2]ξ∈，使得(0)(1)(2)()03ξ++==F F F F ， 也就是 ()(1)ξξ=+f f ，[0,2]ξ∈。
13-14(1)-数学分析(3)试题(A)[孙越崎2012]
![13-14(1)-数学分析(3)试题(A)[孙越崎2012]](https://img.taocdn.com/s3/m/abd9253e43323968011c923a.png)
f (a, b) y AX
T T
X T ( AT A) X 2 X T ( AT y ) yT y
令 f a f b 0 ，得 ( A A) X A y 。即
4 10 a 11 10 30 b 33
解得唯一的稳定点
达到最小。
2
9
1 1 【解】 记 A 1 1
则
x1 1 x2 1 x3 1 x4 1
1 y1 1 y 3 2 a 2 ，y ，X y3 2 3 b 4 y4 5
1 r g (t ), c 为常数，r x 2 y 2 z 2 . r c
1 vtt .
1
二（10 分） 设
xy f ( x, y ) x 2 y 2 0
x2 y2 0 x2 y 2 0
证明： f 点 (0, 0) 连续且存在偏导数，但 f 在点 (0, 0) 不可微。
v n1 Fx , Fy , Fz 4, 6, 4 2, 3, 2
P
8
v n2 Gx , Gy , Gz 6, 2, 4 3,1, 2
P
切向量
v v v t n1 n2 2 3 2 8, 10, 7 8,10, 7 3 1 2
vxx v yy vzz
3( x 2 y 2 z 2 ) 3r 2 r 3( x 2 y 2 z 2 ) 3r 2 r g ( t ) g (t ) 5 4 r c cr c x2 y 2 z 2 r 1 1 r g (t ) 2 g (t ) 2 3 cr c c r c
中国矿业大学（徐州）09级大一上学期数学分析（1）期末试题（A卷）及答案
中国矿业⼤学（徐州）09级⼤⼀上学期数学分析（1）期末试题（A卷）及答案中国矿业⼤学09～10学年第1学期《数学分析(1) 》试卷(A)考试时间：120分钟考试⽅式：闭卷学院理学院班级__ _ _______姓名___ _______学号__________⼀、叙述题(每题5分共20分)1．叙述)(x f 在区间I 上有上确界A 的定义。
2．叙述lim ()x f x →+∞=-∞的定义，并叙述lim ()x af x -→不是⽆穷⼤的定义。
3. 叙述闭区间上连续函数的介值性定理。
4. 叙述导数极限定理。
⼆、计算题（每题5分共20分）1．设lim n n a a →∞=（0,0n a a >>），求n2．求曲线221,x t y t t =-=-在1t =对应点的切线⽅程。
3．求30tan sin lim sin x x xx →-。
4．求34()2f x x x =-的极值。
三、证明题（每题10分共60分）1．设222111123n a n=++++，证明数列{}n a 收敛。
2. 设)(x f 在),(+∞-∞连续，且A x f x =-∞→)(lim ，B x f x =+∞→)(lim 。
证明)(x f 在),(+∞-∞上⼀致连续。
3. 设0lim ()x x g x →=+∞，⽽lim ()u f u A →+∞=，证明 0lim [()]x x f g x A →=。
4. 设21sin ,0()20,0x x x f x x x ?+≠?=??=?（1）求导函数()f x '；（2）证明()f x '在点0x =不连续；（3）证明()f x 在点0x =的任何邻域不单调。
5. 证明不等式：2arctan 1h h h h <<+，其中0h >。
6. 设()f x 在[,]a b 具有⼆阶导数，且()0f x ''≥，证明对[,]a b 内任意n 个点12,,,nx x x 有不等式 11()()n ni i i ii i f x f x λλ==≥∑∑ 其中10(1,2,,),1ni i i i n λλ=>==∑参考答案⼀、叙述题(每题5分共20分)（略）⼆、计算题（每题5分共20分）1．设lim n n a a →∞=（0,0n a a >>），求n 解取0ε满⾜a <ε<00，由a a n n =∞→lim 知，+∈?N N ，当N n >时， 00ε+<<ε-a a a n从⽽n n n n a a a 00ε+<<ε- 上式两边取极限并利⽤结论1lim =∞→n n c (0>c 为常数)和迫敛性得1lim =∞→n n n a 。
2022-2023年江苏徐州高一数学上学期期末试卷及答案
2022-2023年江苏徐州高一数学上学期期末试卷及答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 命题“”的否定是( ) 20,0x x ∀>>A. B. 20,0x x ∀≤>2000,0x x ∃>≤C. D.2000,0x x ∃≤≤20,0x x ∀>≤【答案】B2. 已知集合，则( ) {}21230,22xA xx x B x ⎧⎫=+-<=>⎨⎬⎩⎭∣∣()R = A B ðA. B.(),1-∞(),3-∞C. D.()3,1-(](),11,-∞-⋃+∞【答案】A3. 已知函数，角终边经过与图象的交点，则()()112,f x x g x x -==θ()f x ()g x tan θ=( )A. 1B.D. 1±【答案】A 4. “”是“”的( ) 1sin 2α=2,6k k Z παπ=+∈A. 充分必要条件 B. 充分条件C. 必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C 5. 设，则的大小关系为( ) 2.52.1210.5,log 5,22a b c -===,,a b c A. B. c<a<b b a c <<C. D.a b c <<a c b <<【答案】D6. 拱券是教堂建筑的主要素材之一，常见的拱券包括半圆拱､等边哥特拱､弓形拱､马蹄拱､二心内心拱､四心拱､土耳其拱､波斯拱等.如图，分别以点A 和B 为圆心，以线段AB 为半径作圆弧，交于点C ，等边哥特拱是由线段AB ，，所围成的图形.若，则该 AC BC2AB =拱券的面积是( )A.B.23π-23π-C. D.43π+43π【答案】D7. 已知关于的不等式的解集是，则不等式x 20ax bx c ++<()(),12,-∞-+∞ 的解集是( )20bx ax c +-≤A. B. []1,2-][(),12,-∞-⋃+∞C. D.[]2,1-][(),21,∞∞--⋃+【答案】A8. 若函数在区间内仅有1个零点，则的取值范围是()2sin (0)f x x ωω=>3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω( ) A. B. C.D. 4,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭4,43⎛⎤⎥⎝⎦48,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭48,33⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选铓的得0分. 9. 已知都是正数，且，则( ) a b c d ,,,,a b c d <>A. B. a c b d -<-a c b d +>+C. D.ad bc <a c a db c b d++>++【答案】ACD10. 若函数在一个周期内的图象如图所()()sin (0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<示，则( )A. 的最小正周期为 ()f x 3πB. 的增区间是 ()f x ()5ππ3π,3πZ 44k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C. ()()5π0f x f x -+-=D. 将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得到π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭32()f x 的图象 【答案】ABD11. 已知函数，则下列命题正确的是( ) ()2sin 1f x x x =+-A. 函数是奇函数 ()f x B. 函数在区间上存在零点 ()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 当时， π,6x ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭()0f x >D. 若，则 ()21sin g x x x=+()()5f x g x +≥【答案】BC12. 悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形.在工程中有广泛的应用，例如县索桥､双曲拱桥､架空电缆都用到了悬链线的原理.当微积分尚未出现的伽利略时期，伽利略猜测这种形状是抛物线.直到1691年莱布尼兹和伯努利利用微积分推导出悬链线的方程是，其中为有关参数.这样，e e 2-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x xcc c y c 数学上又多了一对与有关的著名函数——双曲函数：双曲正弦函数和e ()e esinh 2--=x xx 双曲余弦函数.则( )()e e cosh 2-+=x xx A.()()22sinh ]cosh ]1x x ⎡⎡-=⎣⎣B.()()()sinh 22sinh cosh x x x =C.()1cosh ln sinh ln x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭D.()()()()sinh ecosh ln cosh e sinh ln >xxx x 【答案】BCD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 函数的定义域为__________. ()()ln 1f x x =--【答案】()1,214. 已知，则的值为__________.1sin 63x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭5sin cos 63x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】2315. 已知正数满足，则的最小值为__________. ,m n 320m n mn +-=m n +【答案】2+2+16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则()f x R 0x >()2log f x x =()2f x ≥-的解集是__________. 【答案】 ][14,0,4⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭四､解答题：本题6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知集合. {}{211},12A xa x a B x x =-<<+=-≤≤∣∣(1)若，求；1a =-A B ⋃(2)若，求实数的取值范围. A B A = a 【答案】(1)； (3,2]A B ⋃=-(2). [0,1][2,)⋃+∞18. 已知，且.求下列各式的值：sin θ=π,02θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭(1)：2sin 3cos 3sin 2cos θθθθ+-(2). ()()()π3πsin cos tan π22tan πsin πθθθθθ⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⋅--【答案】(1) 47-(2)19. 已知函数.()[]22322,0,2xx f x x =-⨯+∈(1)求函数的值域；()f x (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. x ()2log f x ax ≥a 【答案】(1) 1,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)(,3⎤-∞-⎦20. “硬科技”是以人工智能､航空航天､生物技术､光电芯片､信息技术､新材料､新能源､智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入､持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿､最近十年，我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2023年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本1000万元，每生产x 百台高级设备需要另投成本万元，且y 每百台高级设备售价为160万元，假2240,040,100N,180001652250,40100,100N.x x x x y x x x x ⎧+≤<∈⎪=⎨+-≤≤∈⎪⎩设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产展最大为10000台. (1)求企业获得年利润(万元)关于年产量(百台)的函数关系式； P x (2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润.【答案】(1)； 221201000,0401800051250,40100x x x P x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨--+≤≤⎪⎩(2)当年产量为30百台时公司获利最大，且最大利润为800万元.21. 已知函数的图象与x 轴的两个相邻交点之间的距离为π()sin()0,||2ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭f x x ，直线是的图象的一条对称轴. π2π6x =()f x (1)求函数的解析式；()f x (2)若函数在区间上恰有3个零点()()22g x f x a =-π11π,824⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()123123,,x x x x x x <<，请直接写出的取值范围，并求的值. a ()321sin 448x x x --【答案】(1) ()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭(2)；0a ≤≤()321sin 448x x x --=22. 对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使()f x ()g x ,m n ，则称函数是由“基函数和”生成的.()()()h x mf x ng x =+()h x ()f x ()g x (1)若是由“基函数和”生成的，求()49h x x x =+()12f x x a x =-+()1422g x x x=+-实数的值；a (2)试利用“基函数和”生成一个函数，使之满()()2log 41xf x =+()112g x x =+()h x 足为偶函数，且. ()h x ()01h =-①求函数的解析式；()h x ②已知，对于区间上的任意值，*03,,1,1n n n N x x ≥∈=-=()1,1-12,,x x ，若恒成立，求实数的最小值.(注：()1121n n x x x x --<<< ()()11ni i i h x h x M -=-≤∑M .)121nin i xx x x ==+++∑ 【答案】(1)；1(2)①；②. 2()log (41)2xh x x =+--252log 4。
中国矿业大学11-12(上)《工程数学A》试题(A)卷
11-12学年第一学期《工程数学A 》试题（A ）卷一、填空题（每空4分，共40分）1) ()()f t u t =的傅氏变换为 .2) 函数3232()(3)f z my nx y i x xy =++−为解析函数，则m = .3) 201lim(sin d )t t t t i t t j e k →++=∫ . 4) 矢量场k z j y i x A ++=从下向上通过有向曲面22z x y =+(02)z <<的通量为 .5) 函数()sin t f t e t =的拉氏变换为 .6) 矢量场222A xi x y j yzk =−+ 在点)1,2,1(−M 处散度为 . 7) 设()tan f z z =则Res[(),]2f z π= . 8) 函数20()sin 2d t t f t te t t −=∫的拉氏变换为 . 9) C 是直线OA ，O 为原点，A 为i +2, 则d C z z =∫ .10) 复数ln i i = .二、（10分）求矢量场22()A x i y j x y zk =+++ 通过点)1,1,2(−M 的矢量线方程. 三、（10分）求常系数二阶线性微分方程t e t y t y t y −=+′−′′2)()(2)(满足条件0)0(,0)0(=′=y y 的解.四、（10分）求函数222()(413)s F s s s +=++的拉氏逆变换.五、（10分）证明矢量场k yz x j y z x i xyz A 22222)cos (2+++=为保守场，并求积分∫⋅B Al A d ，其中(1,0,1),(2,1,3)A B . 六、（10分）将函数21()(1)f z z z =−在圆环域1|1|z <−<+∞展开成洛朗级数. 七、（10分）用留数计算积分201d 5cos t tπ+∫.。
徐州矿务集团一中期末测试数学试题(无答案)[下学期]华师大版
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徐州矿务集团一中期末测试数学试题一、选择题〔本大题共10小题,每题3分,共30分．以下各题的四个选项中,只有一个选项是符合题意的〕1．如果□+2=0,那么“□〞内应填的实数是A ．－2B ．－21 C ．21D ． 2 2．以下根本图形中,经过平移、旋转或轴对称变换后,不能．．得到右图的是 A ． B ．C. Ｄ．3．以下统计量中,能反映一名同学在7～9年级学段的学习成绩稳定程度的是A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差 4．以下关于12的说法中,错误的选项是．．．．．．A ．12是无理数B ．3＜12＜4C ．12是12的算术平方根D ．12不能再化简 5． 右图需再添上一个面,折叠后才能围成一个正方体,下面是四位同学补画的情况〔图中阴影局部〕,其中正确的选项是A ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 6．右图是创星中学的平面示意图,其中宿舍楼暂未标注,宿舍楼在教学楼的北偏东约300的方向,与教学楼实际距离约为200米,试借助刻度尺和量角器,测量图中四点位置,能比拟准确地表示该宿舍楼位置的是A ． 点A Ｂ．点BＣ．点C D ．点D7．如图,小亮同学在晚上由路灯A 走向路灯B,当他走到点P时,发现他的身影顶部正好接触路灯B 的底部,这时他离路灯A 25米,离路灯B 5米,如果小亮的身高为1.6米,那么路灯高度为A ．6.4米B ． 8米C ．9.6米D ． 11.2米8．四张完全相同的卡片上,分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形,现从中随机抽取一张,卡片上画的恰好是中央对称图形的概率为A ．41 B ．21 C ．43D ．1 9．如图,点D 、E 、F 分别是△ABC 〔AB ＞AC 〕各边的中点,以下说法中,错误的选项是．．．．．．A ． AD 平分∠BACB ． EF=21BC C ． EF 与AD 互相平分 D ． △DFE 是△ABC 的位似图形10．一名考生步行前往考场, 10分钟走了总路程的41,估计步行不能准时到达,于是他改乘出租车赶往考场,他的行程与时间关系如下图〔假定总路程为1〕,那么他到达考场所花的时间比一直步行提前了A ． 20分钟 Ｂ．22分钟 Ｃ．24分钟 D ．26分钟二、填空题〔本大题共6小题,每题3分,共1811．如果a+b=2022,a －b=1,那么a 2－b 2=．12．如图,AB ∥CD,CE 、AE 分别平分∠ACD 、∠CAB,那么∠1+∠2= ．13．以下命题：①对顶角相等；②等腰三角形的两个底角相等；③两直线平行,同位角相等．其中逆命题为真命题的有： 〔请填上所有符合题意的序号〕．14．把棱长为1cm 的四个正方体拼接成一个长方体,那么在所得长方体中,外表积最大的值等于 cm 2．CABDE F P A B〔分钟〕CD15．函数y=x2的图象如下图,在同一直角坐标系内,如果将直线y=－x+1沿y 轴向上平移2个单位后,那么所得直线与函数y=x2的图象的交点共有 个. 16．一列数：1,―2,3,―4,5,―6,7,… 将这列数排成以下形式：第1行 1第2行 －2 3第3行 －4 5 －6第4行 7 －8 9 －10 第5行 11 －12 13 －14 15 … …根据上述规律排下去,那么第10行从左边数第5个数等于 ． 三．解做题 (本大题共11小题,共102分)17． (此题总分值8分)计算：2·8－(2－π)0－(21)－1．18．(此题总分值8分)化简：〔1+1x 1-〕÷1x x 2-．19．(此题总分值8分)如图是不倒翁的正视图,不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA 、PB 分别相切于点A 、B,不倒翁的鼻尖正好是圆心O,假设∠OAB=25°,求∠A PB 的度数．· PAB O20．(此题总分值8分)不等式：⑴1－x＜0；⑵22x＜1；⑶2x+3＞1；⑷0.2x－3＜－2．你喜欢其中哪两个不等式,请把它们选出来组成一个不等式组,求出它的解集,并在数轴上把解集表示出来．21．(此题总分值8分)对于二次三项式x2－10x+36,小聪同学作出如下结论：无论x取什么实数,它的值都不可能等于11．你是否同意他的说法？说明你的理由．22．(此题总分值10分)：如图,Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC＝∠ADE=900,试以图中标有字母的点为端点,连结两条线段,如果你所连结的两条线段满足相等、垂直或平行关系中的一种,那么请你把它写出来并证实．23．(此题总分值10分)为了调查淮安市今年有多少名考生参加中考,小华从全市所有家庭中随机抽查了200个家庭,发现其中10个家庭有子女参加中考．⑴本次抽查的200个家庭中,有子女参加中考的家庭的频率是多少？⑵如果你随机调查一个家庭,估计该家庭有子女参加中考的概率是多少？⑶淮安市约有1.3×106个家庭,假设有子女参加中考的每个家庭中只有一名考生,请你估计今年全市有多少名考生参加中考?24．(此题总分值10分)如图,在平面直角坐标系中,∠AOB=60°,点B坐标为〔2,0〕,线段OA的长为6．将△AOB绕点O逆时针旋转60°后,点A落在点C处,点B落在点D处．⑴请在图中画出△COD;⑵求点A旋转过程中所经过的路程〔精确到0.1〕；⑶求直线BC的解析式．25．(此题总分值10分) ： ABCD 的对角线交点为O,点E 、F 分别在边AB 、CD 上,分别沿DE 、BF 折叠四边形ABCD, A 、C 两点恰好都落在O 点处,且四边形DEBF 为菱形〔如图〕．⑴求证：四边形ABCD 是矩形；⑵在四边形ABCD 中,求BCAB的值．26．(此题总分值10分)快乐公司决定按左图给出的比例,从甲、乙、丙三个工厂共购置200件同种产品A,这三个工厂生产的产品A 的优品率如右表所示．⑴求快乐公司从丙厂应购置多少件产品Ａ； ⑵求快乐公司所购置的200件产品A 的优品率；⑶你认为快乐公司能否通过调整从三个工厂所购置的产品A 的比例,使所购置的200件产品A 的优品率上升3%．假设能,请问应从甲厂购置多少件产品A ；假设不能,请说明理由．BE27．(此题总分值12分)课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮,准备将它设计并制成一个开口．．的水槽,使水槽能通过的水的流量最大．初三〔1〕班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下,水槽的横截面面积越大,那么通过水槽的水的流量越大．为此,他们对水槽的横截面进行了如下探索：⑴方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽〔如图1〕．假设∠ACB=90°,设AC=x 厘米,该水槽的横截面面积为y 厘米2,请你写出y 关于x 的函数关系式〔不必写出x 的取值范围〕,并求出当x 取何值时,y 的值最大,最大值又是多少？方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽〔如图2〕．假设∠ABC=120°,请你求出该水槽的横截面面积的最大值,并与方案①中的y 的最大值比拟大小．⑵假设你是该兴趣小组中的成员,请你再提供两种方案,使你所设计的水槽的横截面面积更大．画出你设计的草图,标上必要的数据〔不要求写出解答过程〕．恭贺你顺利完成做题,别忘了认真检查！得分 阅卷人 复卷人CAB〔图1〕 C AB。
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中国矿业大学理学院2004级课程考试试卷 2005.01.19.一、叙述题(每题5分共20分)1．叙述函数)(x f 在区间I 上有界、无界的定义，以及函数)(x f 在区间I 上的上确界和下确界的定义。
(答案略,见教材)2． 叙述极限)(lim x f ax +→存在的Cauchy 准则，再据此叙述)(lim x f ax +→不存在的充要条件。
(答案略,见教材)3．叙述)(x f 在区间I 上一致连续和不一致连续的定义。
(答案略,见教材)4．用“δε-”语言叙述函数f 在区间],[b a 上Riemann 可积的定义。
(答案略,见教材)二、计算题（每题8分共40分）1． 设)0,0(lim >>=∞→a a a a n n n ，求极限nn n a ∞→lim【解】取0ε满足a <ε<00，由a a n n =∞→lim 知，+∈∃N N ，当N n >时，有00ε+<<ε-a a a n从而nnn na a a 00ε+<<ε-上式两边取极限并利用结论1lim=∞→nn c (0>c 为常数)和迫敛性得1lim=∞→nn n a2．设⎩⎨⎧<+≥=33)(2x bax x x x f ，求b a ,使f 在点3=x 可导。
【解】首先要在点3=x 连续知,93=+b a （*）下面可用导数极限定理或定义来做。
用导数极限定理来做：⎩⎨⎧<>=332)(x ax xx f ，6)03(=+'f ，a f =-')03(从而6)03()3(=+'='+f f ，a f f =-'='-)03()3(要可导即要求)3()3(-+'='f f 得6=a 再由（*）式得9-=b 用定义来做： 633lim3)3()(lim)3(2233=--=--='+→+→+x x x f x f f x x393)3(lim33lim3)3()(lim)3(3233--++-=--+=--='+→+→-→-x b a x a x b ax x f x f f x x xa a x =+→3(*)lim 式由（也可用洛必达法则求导得）其它同上3．求)]11ln([lim 2nn n I n +-=∞→【解】21)1ln(lim)]11ln([lim 212=+-=+-=+→+∞→tt t t xx x I t xx上一步用L ’Hospital 法则和Taylor 展开都可以做用L ’Hospital 法则: 21)1(21lim 2111lim )1ln(lim002=+=+-=+-+++→→→t t ttt t t t t 用Taylor 展开: 21))(21(lim )1ln(lim22202=+--=+-++→→tt o t t t tt t t t4． 求11)1ln(lim4sin 02-++=⎰→xdtt I xx【解】(下面用到等价无穷小和L ’Hospital 法则等)4sin21)1ln(lim2xdt t I xx ⎰+=→1sin lim)sin1ln(lim2cos sin 2)sin1ln(lim2202232==+=⋅+=→→→xxxx xx x x x x x5． 求⎰+=π2cos1sin dx xx x I【解】⎰⎰⎰πππ-π+-π-π-=+-π=+=0222)(cos 1)sin()(cos1sin cos 1sin dt t t t dx xxx tx dxxxx II dt ttdt ttt dt tt-+π=+-+π=⎰⎰⎰πππ0222cos 1sin cos 1sin cos 1sin从而 4)44(2cos arctan 2cos 1cos 2cos 1sin 2222π=π-π-π-=π-=+π-=+π=πππ⎰⎰tttd dt ttI三、证明题（每题10分共40分）1．设函数f 在点0x 存在左右导数，试证f 在点0x 连续。
【证】由)()()(lim0000x f x x x f x f x x --→'=--存在知，))(1())(()()(0000x x o x x x f x f x f -+-'+=-从而)()(lim00x f x f x x =-→，即)(x f 在0x 左连续。
同理由)(0x f +'存在，知)(x f 在0x 右连续。
综上,)(x f 在0x 处连续 [注]以上也可用增量公式写2．证明：当0>x 时，11)1ln(10<-+<x x【证】对)1ln()(x x f +=在],0[x 用L-中值定理ξξ+=-'=+=-1)0)(()1ln()0()(x x f x f x f ,),0(x ∈ξxxxx ξξ+=+=+11)1ln(1，11)1ln(10<=-+<xxx ξ3． 设f 为],[b a 上的非负可积函数，在],[0b a x ∈连续且0)(0>x f ，证明：0)(>⎰ba dx x f 。
【证】不妨假设b x a <<0。
由连续函数的性质，存在),(),(0b a x U ⊂δ，当),(0δ∈x U x 时，有0)(21)(00>>x f x f从而⎰⎰⎰⎰++--++=b x x x x ab adx x f dx x f dx x f dx x f δδδδ0000)()()()(⎰δ+δ-≥00)(x x dx x f 0)()(210000>=>⎰+-δδδx f dx x f x x4. 设f 是],[b a 上的连续增函数，⎪⎩⎪⎨⎧=≤<-=⎰ax a f bx a dt t f ax x F xa)()(1)(试证明F 也是],[b a 上的增函数。
【证】当],(b a x ∈时，由0)()()())(())(()()())(()(22≥-ξ-=--ξ--=---='⎰ax f x f a x a x f a x x f a x dtt f a x x f x F xa（以上用到了积分中值定理）知F 在],(b a 上增，又)(1)(lim )(lim a f x f x F ax ax ==--→→(这里用了洛必达法则)知)(x F 在点a x =连续，从而F 在],[b a 上增。
============================================================================= 以下是备用题◆求210tan lim x x x x I ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→ 【解】22)tan ln(1tan xx x xe x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡而)(31~))(311ln()(31lntan ln222233x o x x o x x x o x x x x +++=++=31)(31limtan lnlim2222=+=→→xx o x xx x x x31e I =◆求⎰-dx e x x【解】当0≥x 时，1C exedx xedx e x xxxx +--==----⎰⎰当0<x 时，2C exe dx xedx e x xxxx ++=-=----⎰⎰由⎰-dx e x x 的连续性可得，2112121+=⇒+=+-C C C C ，这样⎩⎨⎧<++≥++--=-----⎰02x Ce xe x C e xe dx ex xxx x x（C 为任意常数）◆求])1(cos2coscos1[1lim)(n nxn nx nx nx f -++++=∞→ （R x ∈）【解】当0=x 时，显然原式1= 当0≠x 时，原式xx xtxxtdt x ni nni sin sin 1cos 1cos1lim 1101n ===-=⎰∑=∞→综上⎪⎩⎪⎨⎧=≠=010sin )(x x xx x f◆设)(x f 在],0[a 上可导，且⎰<=-n ax a na f dx x f en 1)1()()(证明，),0(a ∈ξ∃使0)()(=ξ'+ξf f 。
【证】令)()(x f ex F ax -=，则)()(a f a F =。
由积分中值定理，存在n101≤ξ≤使)()(111ξ=-ξ-⎰f edx x f en an ax再由条件知)()(1a f F =ξ。
对)(x F 在],[1a ξ上用Rolle 中值定理得： ),0(),(1a a ⊂ξ∈ξ∃使：()0)()(0)()()(=ξ'+ξ⇒=ξ'+ξ=ξ'-ξf f f f eF a◆设)(x f 是区间I 上的凸函数，证明f 在I 的任一内点（非区间端点）上连续。
【证】（I ）首先证明对任意固定的I x ∈0弦斜率函数00)()()(x x x f x f x k --=是增函数。
这一点由凸函数的充要条件：对I 上任意三点321x x x <<有232313131212)()()()()()(x x x f x f x x x f x f x x x f x f --≤--≤--易知。
(II) 其次证明对I 的任一内点0x ，)(0x f -'和)(0x f +'都存在。
当-→0x x 时，由)(x k 是增函数且020200)()()()()(x x x f x f x x x f x f x k --≤--=有界（这里任取02x x >固定），由单调有界定理，得)()(lim 00x f x k x x --→'=存在。
同理)(0x f +'存在。
(III)最后证明f 在I 的任一内点上连续。
由)()()(lim0000x f x x x f x f x x --→'=--存在，即))(1())(()()(0000x x o x x x f x f x f -+-'+=-，即得)(x f 在0x 左连续。
同理由)(0x f +'存在，得)(x f 在0x 右连续。
因此)(x f 在0x 处连续◆设f 在点a 二阶可导，证明2)()(2)(lim)(hh a f a f h a f a f h ++--=''→【证】不hh a f h a f hh a f a f h a f h h 2)()(lim)()(2)(lim02-'-+'++--→→)())()((21])()()()([lim 210a f a f a f ha f h a f ha f h a f h ''=''+''=-'--'+'-+'=→【或】把)(h a f +和)(h a f -Taylor 展开然后再相加◆设f 在)(0x U 内连续，在)(00x U 内可导，如果)(lim )0(00x f x f x x '=+'+→存在，则)(0x f +'必存在且)0()(00+'='+x f x f。