2016-2017学年浙江省湖州市高一(下)期末数学试卷

2016-2017学年浙江省湖州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）直线y=x+1的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°2．（4分）已知向量=（1，1），（2，x），若+与垂直，则实数x的值是（）A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．23．（4分）若等差数列{a n}满足a1+a3=﹣2，a2+a4=10，则a5+a7的值是（）A．﹣22 B．22 C．﹣46 D．464．（4分）对于任意实数a，b，若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．＜B．a2＞b2C．a3＞b3D．＞5．（4分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．6．（4分）若关于x的不等式ax2+bx+2＜0的解集为（﹣∞，﹣）∪（，+∞），则a﹣b的值是（）A．﹣14 B．﹣12 C．12 D．147．（4分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2sinA=3sinB=4sinC，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定8．（4分）用数学归纳法证明++…+＞时，由k到k+1，不等式左边的变化是（）A．增加项B．增加和两项C．增加和两项同时减少项D．以上结论都不对9．（4分）对任意的n∈N*，数列{a n}满足|a n﹣cos2n|≤且|a n+sin2n|≤，则a n等于（）A．﹣sin2n B．sin2n﹣C．﹣cos2n D．cos2n+10．（4分）已知，，是同一平面内的三个向量，且||=1，⊥，•=2，•=1，当|﹣|取得最小值时，与夹角的正切值等于（）A．B．C．1 D．二、填空题（共7小题，多空题6分，单空题4分，满分36分）11．（6分）已知直线l1：mx+2y+3=0与l2：x+（m+1）y﹣1=0．当m=时，l1∥l2，当m=时，l1⊥l2．12．（6分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，b=5，c=7，则角C=，△ABC的面积S=．13．（6分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n=3n+t，则a2=，t=．14．（6分）已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|（a＞0）的最小值是2，则a的值是，不等式f（x）≥4的解集是．15．（4分）若直线y=k（x+1）经过可行域，则实数k的取值范围是．16．（4分）数列{a n}是等差数列，数列{b n}满足b n=a n a n+1a n+2（n∈N*），设S n为{b n}的前n项和．若a12=a5＞0，则当S n取得最大值时n的值等于．17．（4分）若正实数x，y满足2x+y=2，则+的最小值是．三、解答题（共5小题，满分74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（14分）已知直线l1：x﹣2y+2=0与l2：2x﹣y+4=0交于点A．（1）求过点A且与l1垂直的直线l3的方程；（2）求点P（2，2）到直线l3的距离．19．（15分）已知平面向量，满足||=1，|3﹣2|=，且，的夹角为60°．（1）求||的值；（2）求2﹣和﹣2夹角的余弦值．20．（15分）正项数列{a n}中，a1=1，奇数项a1，a3，a5，…，a2k﹣1，…构成公差为d的等差数列，偶数项a2，a4，a6，…，a2k，…构成公比q=2的等比数列，且a1，a2，a3成等比数列，a4，a5，a7成等差数列．（1）求a2和d；（2）求数列{a n}的前2n项和S2n．21．（15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=2，cosB=．（1）若b=2，求sinA的值；（2）若点D在边AC上，且=，||=，求a的值．22．（15分）已知数列{a n}的前n项和S n满足a n+1=2S n+6，且a1=6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，证明：+++…+＜3．2016-2017学年浙江省湖州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）直线y=x+1的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：∵直线y=x+1的斜率是1，∴tanα=1，∵α∈[0°，180°），∴它的倾斜角为45°．故选：B．2．（4分）已知向量=（1，1），（2，x），若+与垂直，则实数x的值是（）A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2【解答】解：∵向量=（1，1），（2，x），=（3，1+x），∴+与垂直，∴（）•=3×1+（1+x）×1=0，解得x=﹣4．∴实数x的值为﹣4．故选：A．3．（4分）若等差数列{a n}满足a1+a3=﹣2，a2+a4=10，则a5+a7的值是（）A．﹣22 B．22 C．﹣46 D．46【解答】解：∵等差数列{a n}满足a1+a3=﹣2，a2+a4=10，∴，解得a1=﹣7，d=6，∴a5+a7=a1+4d+a1+6d=﹣7+24﹣7+36=46．故选：D．4．（4分）对于任意实数a，b，若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．＜B．a2＞b2C．a3＞b3D．＞【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、当a=2，b=﹣2时，＞，故A错误；对于B、当a=1，b=﹣2时，a2＜b2，故B错误；对于C、由不等式的性质可得C正确；对于D、当a=1，b=﹣1时，=，故D错误；故选：C．5．（4分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，），此时z=3×1+2×=，故选：B．6．（4分）若关于x的不等式ax2+bx+2＜0的解集为（﹣∞，﹣）∪（，+∞），则a﹣b的值是（）A．﹣14 B．﹣12 C．12 D．14【解答】解：∵关于x的不等式ax2+bx+2＜0的解集为（﹣∞，﹣）∪（，+∞），∴关于x的方程ax2+bx+2=0的两个实数根为﹣和，且a＜0，由根与系数的关系，得；解得a=﹣12，b=2，∴a﹣b=﹣12﹣2=﹣14故选：A．7．（4分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2sinA=3sinB=4sinC，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【解答】解：∵△ABC中，2sinA=3sinB=4sinC，∴由正弦定理化简得：2a=3b=4c，即b=a，c=a，则cosA===﹣＜0，∴A为钝角，△ABC的形状是钝角三角形．故选：C．8．（4分）用数学归纳法证明++…+＞时，由k到k+1，不等式左边的变化是（）A．增加项B．增加和两项C．增加和两项同时减少项D．以上结论都不对【解答】解：n=k时，左边=++…+n=k+1时，左边=++…+由“n=k”变成“n=k+1”时，+﹣故选：C．9．（4分）对任意的n∈N*，数列{a n}满足|a n﹣cos2n|≤且|a n+sin2n|≤，则a n等于（）A．﹣sin2n B．sin2n﹣C．﹣cos2n D．cos2n+【解答】解：∵|a n﹣cos2n|≤且|a n+sin2n|≤，∴cos2n﹣≤a n≤cos2n+，﹣sin2n﹣≤a n≤﹣sin2n+，即cos2n﹣≤a n≤cos2n ﹣，∴a n=cos2n﹣=﹣sin2n．故选：A．10．（4分）已知，，是同一平面内的三个向量，且||=1，⊥，•=2，•=1，当|﹣|取得最小值时，与夹角的正切值等于（）A．B．C．1 D．【解答】解：根据题意，分别以，为x、y轴建立平面直角坐标系，设与的夹角为θ，则与的夹角为﹣θ，θ为锐角；∵||=1，•=2，•=1，∴||•cosθ=2，||•cos（﹣θ）=||•sinθ=1，∴||=，||=；∴=﹣2•+=+=（+）（sin2θ+cos2θ）=5++≥5+2=9，当且仅当2sin2θ=cos2θ，即tanθ=时“=”成立；此时|﹣|取得最小值3，且与夹角的正切值为．故选：D．二、填空题（共7小题，多空题6分，单空题4分，满分36分）11．（6分）已知直线l1：mx+2y+3=0与l2：x+（m+1）y﹣1=0．当m=﹣2或1时，l1∥l2，当m=﹣时，l1⊥l2．【解答】解：（1）①当m=﹣1时，显然l1与l2不平行；②当m≠﹣1时，若l1∥l2，由﹣=﹣，解得m=﹣2或m=1，经验证都成立，因此，m的值为﹣2或1，（2）①当m=﹣1时，显然l1与l2不垂直；②当m≠﹣1时，若l1⊥l2，则有﹣•（﹣）=﹣1，解得m=﹣，故答案为：﹣2或1，﹣12．（6分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，b=5，c=7，则角C=，△ABC的面积S=．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=3，b=5，c=7，则∴cosC==﹣，∵0＜C＜π，∴C=，∴△ABC的面积S===．故答案为：，．13．（6分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n=3n+t，则a2=6，t=﹣1．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，S n=3n+t，∴a1=S1=3+t，a2=S2﹣S1=（9+t）﹣（3+t）=6，a3=S3﹣S2=（27+t）﹣（9+t）=18，∵a1，a2，a3成等比数列，∴，即62=（3+t）×18，解得t=﹣1．故答案为：6，﹣1．14．（6分）已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|（a＞0）的最小值是2，则a的值是3，不等式f（x）≥4的解集是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．【解答】解：f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥|x﹣a﹣x+1|=|1﹣a|=2，故1﹣a=2或1﹣a=﹣2，解得：a=﹣1或a=3，而a＞0，故a=3，故f（x）=|x﹣3|+|x﹣1|，由f（x）≥4，即|x﹣3|+|x﹣1|≥4，故或或，解得：x≥4或x≤0，故不等式的解集是（﹣∞，0]∪[4，+∞），故答案为：3，（﹣∞，0]∪[4，+∞）．15．（4分）若直线y=k（x+1）经过可行域，则实数k的取值范围是[0，] ．【解答】解：直线y=k（x+1）过定点（﹣1，0），作可行域如图所示，由，得A（2，4）．当定点（﹣1，0）和A点连接时，斜率最大，此时k==，则k的最大值为：．则实数k的取值范围是：[0，]故答案为：[0，]．16．（4分）数列{a n}是等差数列，数列{b n}满足b n=a n a n+1a n+2（n∈N*），设S n为{b n}的前n项和．若a12=a5＞0，则当S n取得最大值时n的值等于16．【解答】解：设{a n}的公差为d，由a12=a5＞0得a1=﹣d，a12＜a5，即d＜0，所以a n=（n﹣）d，从而可知1≤n≤16时，a n＞0，n≥17时，a n＜0．从而b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18＞…，b15=a15a16a17＜0，b16=a16a17a18＞0，故S14＞S13＞…＞S1，S14＞S15，S15＜S16．因为a15=﹣d＞0，a18=d＜0，所以a15+a18=﹣d+d=d＜0，所以b15+b16=a16a17（a15+a18）＞0，所以S16＞S14，故S n中S16最大．故答案为：1617．（4分）若正实数x，y满足2x+y=2，则+的最小值是．【解答】解：根据题意，若2x+y=2，则+=+=+2=（y+1）++2（x+1）+﹣14=+﹣9；又由2x+y=2，则有2（x+1）+（y+1）=5，则+=（+）﹣9=（16+9++）﹣9≥（25+2）﹣9≥；当且仅当y+1=2（x+1）=时，等号成立；即+的最小值是；故答案为：．三、解答题（共5小题，满分74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（14分）已知直线l1：x﹣2y+2=0与l2：2x﹣y+4=0交于点A．（1）求过点A且与l1垂直的直线l3的方程；（2）求点P（2，2）到直线l3的距离．【解答】解：（1）直线l1：x﹣2y+2=0与l2：2x﹣y+4=0交于点A，，解得；则过点A（﹣2，0）且与l1垂直的直线l3的斜率为k=﹣2，方程为y﹣0=﹣2（x+2），即2x+y+4=0；（2）点P（2，2）直线l3：2x+y+4=0的距离为：d===2．19．（15分）已知平面向量，满足||=1，|3﹣2|=，且，的夹角为60°．（1）求||的值；（2）求2﹣和﹣2夹角的余弦值．【解答】解：（1）由已知|3﹣2|2=13，展开得到9，所以4||2﹣6||﹣4=0，解得||=2；（2）由已知得到=1，所以（2﹣）2=4=4，（﹣2）==13，所以|2﹣|=2，|﹣2|=，且（2﹣）（﹣2）=2+2﹣5=2+8﹣5=5；所以2﹣和﹣2夹角的余弦值为：=．20．（15分）正项数列{a n}中，a1=1，奇数项a1，a3，a5，…，a2k﹣1，…构成公差为d的等差数列，偶数项a2，a4，a6，…，a2k，…构成公比q=2的等比数列，且a1，a2，a3成等比数列，a4，a5，a7成等差数列．（1）求a2和d；（2）求数列{a n}的前2n项和S2n．【解答】解：（1）∵a3，a5，a7成等差数列，a4，a5，a7成等差数列，∴a3=a4，∴a1，a2，a4成等比数列，∴a2=a1q=2，∴a3=a4=4，∴d=a3﹣a1=3．（2）S2n=na1++=n+﹣+2（2n﹣1）=2n+1+﹣﹣2．21．（15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=2，cosB=．（1）若b=2，求sinA的值；（2）若点D在边AC上，且=，||=，求a的值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=2，cosB=，b=2，∴sinB=，正弦定理得==3，∴sinC=，∵c＜b，∴C为锐角，∴cosC=，∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC==．（2）∵点D在边AC上，且=，||=，∴==，∴||2===，解得a=3．22．（15分）已知数列{a n}的前n项和S n满足a n+1=2S n+6，且a1=6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，证明：+++…+＜3．【解答】解：（1）∵数列{a n}的前n项和S n满足a n+1=2S n+6，且a1=6．∴当n=1时，a2=2S1+6=2a1+6=18，∴a2=18，=2S n+6得a n=2S n﹣1+6（n≥2），由a n+1﹣a n=2S n﹣2S n﹣1=2a n，∴a n+1∴a n=3a n（n≥2），+1又a1=6，∴数列{a n}是以6为首项，公比为3的等比数列，∴=2•3n．证明：（2）=，∴T n=（）==（1﹣），∴===＜=6（﹣），∴+++…+＜6（﹣+﹣+…+﹣）=6（﹣）=3﹣＜3．∴+++…+＜3．。