2019-2020年高二上学期期中考试数学(理)含答案.doc

2019-2020年高二上学期期中考试数学（理）含答案一填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）． 1．命题“20,0x x x ∀>+>”的否定是 ．2．若“1x >”是“x a >”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．3．不等式02>++c bx ax 的解集是{1<x x 或}3>x ，则=c b a :: ．4．等差数列{}n a 中，15087654=++++a a a a a ，则11S = ．5．ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 成等差数列且2=b ，则AB C ∆外接圆半径为 ．6．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥222x y x xy ，则y x z 3-=的最小值是 ．7．等比数列{}n a 中，29,2333==S a ，那么公比=q ． 8．当1a >时，41a a +-的最小值为 ． 9．已知等差数列{}n a 满足，31-=a ,85511a a =，则前n 项和n S 取最小值时，n 的值为 ．10．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，77=S ,7515=S ,则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前n 项和n T = ．11．在等比数列{}n a 中，若21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是__________． 12．命题“ax 2－2ax + 3 > 0恒成立”是假命题, 则实数a 的取值范围是 . 13．已知,,a b c 分别为A B C ∆三个内角,,A B C 的对边，3,b =且(3)(sin sin )()sin a B A c a C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为_____ ____ ．14．已知正实数,x y 满足24xy x y ++=，则1x y ++的最小值为______ ___ ．二解答题（本大题共6小题，共计70分）． 15．（本小题满分14分）如图，已知ABC ∆中，263=AB ,5=CD ,4π=∠ABC ,3π=∠ACB ,求AD 的长度．16．（本小题满分14分）已知p ：32x a ->，q ：018922<-+x x ， （1）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求a 的取值范围； （2）若1=a ，且p 假q 真，求x 的取值范围．17．（本小题满分15分）已知成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上13,5,2后成为等比数列ABC D{}n b 中的543,,b b b .（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-)(2b 23n n n n的前n 项和为n S ．18．（本小题满分15分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求101≤≤x ），每小时可获得利润是⎪⎭⎫⎝⎛-+x x 315100元． （1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．19．（本小题满分16分）在ABC ∆中，c b a ,,分别表示角C B A ,,对边的长，满足C a A c b cos cos )2(=-（1）求角A 的大小；（2）已知6=BC ，点D 在BC 边上，①若AD 为ABC ∆的中线，且23b =，求AD 长；②若AD 为ABC ∆的高，且33=AD ，求证：ABC ∆为等边三角形．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，0n a >，其前n 项和n S 满足1(1)(2)2n n n S a a =-+,其中*n ∈N ． （1）求证:数列{}n a 为等差数列，并求其通项公式；（2）设n n n a b -⋅=2，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：3n T <；（3）设λλ(2)1(41n an n n c ⋅-+=-为非零整数，*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，都有n n c c >+1成立．灌南华侨双语学校2014-2015学年度第一学期高二期中考试数学试卷（理科）一填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）．1．命题“20,0x x x ∀>+>”的否定是 ．20,0x x x ∃>+≤2．若“1x >”是“x a >”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．1a <3．不等式02>++c bx ax 的解集是{1<x x 或}3>x ，则=c b a :: ．1:(4):3- 4．等差数列{}n a 中，15087654=++++a a a a a ，则11S = ．3305．ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 成等差数列且2=b ，则ABC ∆外接圆半径为 ．2336．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥222x y x x y ，则y x z 3-=的最小值是 ．8-7．等比数列{}n a 中，29,2333==S a ，那么公比=q ．1或12-8．当1a >时，41a a +-的最小值为 ．5 9．已知等差数列{}n a 满足，31-=a ,85511a a =，则前n 项和n S 取最小值时，n 的值为 ．10．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，77=S ,7515=S ,则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前n 项和n T = ．294n n- 11．在等比数列{}n a 中，若21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是__________．(,1][3,)-∞-+∞12．命题“ax 2－2ax + 3 > 0恒成立”是假命题, 则实数a 的取值范围是 .0a <或3a ≥13．已知,,a b c 分别为A B C ∆三个内角,,A B C 的对边，3,b =且(3)(sin sin )()sin a B A c a C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为__________．93414．已知正实数,x y 满足24xy x y ++=，则1x y ++的最小值为__________．262-二解答题（本大题共6小题，共计70分）． 15．（本小题满分14分） 如图，已知ABC ∆中，263=AB ,5=CD ,4π=∠ABC ,3π=∠ACB ,求AD 的长度．解：由正弦定理得60sin 26345sin =AC ，所以3=AC ； ……………… 7分 于是由余弦定理得49)21(53253cos 222222=-⨯⨯⨯-+=∠∙-+=ACD CD AC CD AC AD ，所以7=AD ． ………………… 14分16．（本小题满分14分）已知p ：32x a ->，q ：018922<-+x x ， （1）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求a 的取值范围； （2）若1=a ，且p 假q 真，求x 的取值范围． 解：23:-<a x p 或23+>a x ……………… 3分236:<<-x q ……………… 6分（1） p ⌝ 是q ⌝的充分不必要条件 q ∴是p 的充分不必要条件∴不等式018922<-+x x 的解集是23>-a x 的解集的子集 ∴2323≥-a 或6-23≤+a 即3≥a 或215-≤a ……………… 10分 ABC D（2）21:-<x p 或25>x 2521:≤≤-⌝x p 236:<<-x q p ∴假q 真时x 的范围是)23,21[-． ……………… 14分17．（本小题满分15分）已知成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上13,5,2后成为 等比数列{}n b 中的543,,b b b . （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-)(2b 23n n n n的前n 项和为n S ． 解：（1）设三个数分别为d a a d a +-,,∴ 15=+++-d a a d a解得5=a ……………………… 2分三个数为d d +-5,5,5为正数，55<<-d由题意知d b b d b +==-=18,10,7543成等比数列 ……………………… 4分 ∴ )18)(7(102d d +-= ∴ 2=d 或 13-=d （舍） ∴20,10,5543===b b b ………………………6分 ∴33325--⋅==n n n q b b ………………………8分 （2）由题意知)111(5)(225)(223323+-=+⋅=+---n n n n n n b n n n n ……………………… 12分15)111(5)1113121211(5+=+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=n nn n n S n ．………………… 15分18．（本小题满分15分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求101≤≤x ），每小时可获得利润是⎪⎭⎫⎝⎛-+x x 315100元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解：（1）根据题意，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥⎪⎭⎫⎝⎛-+1013000315100x x x 解得103≤≤x ………………… 6分 （2）设利润为y 元，则⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=12616113900003151009002x x x x y…… 11分故6=x 时，457500max =y 元． ……………………… 13分 答：（1）x 的取值范围为103≤≤x ；（2）甲厂以6千克/小时的速度运输生产某种产品可获得最大利润为457500元． 14分 19．（本小题满分16分） 在ABC ∆中，c b a ,,分别表示角C B A ,,对边的长，满足C a A c b cos cos )2(=- （1）求角A 的大小；（2）已知6=BC ，点D 在BC 边上，①若AD 为ABC ∆的中线，且23b =，求AD 长；②若AD 为ABC ∆的高，且33=AD ，求证：ABC ∆为等边三角形．解：（1）由正弦定理得B sin 2(-)sin C A cos =C A cos sin ． ……………………… 2分所以A B cos sin 2=B sin ，所以A cos =21， ……………………… 4分 因为0<A <180，所以A =60． ……………………… 5分 （不给A 的范围扣1分） （2）①由正弦定理得A BC sin =BACsin ， 又因为BC =6，b =32，A =60，所以B sin =21． …………………… 7分 因为0<B <180，所以B =30或B =150．…………………… 8分因为A +B <180，所以B =30． ……………………… 10分 因为D 是BC 的中点，所以DC =3．由勾股定理知AD =21． ……………………… 11分②因为BC AD ⨯21=A AC AB sin 21⨯， 又因为AD =33，BC =6，A sin =23，所以AC AB ⨯=36……………… 13分 因为2BC =2AB +2AC -A ABAC cos 2，所以2AB +2AC =72,…………………… 15分所以AB +AC =12,所以AB =AC =12．所以ABC ∆为等边三角形．……………………… 16分本题第3问若用两角和与差的正切公式也给分20．（本小题满分16分） 已知数列{}n a ，0n a >，其前n 项和n S 满足1(1)(2)2n n n S a a =-+,其中*n ∈N ． （1）求证:数列{}n a 为等差数列，并求其通项公式；（2）设n n n a b -⋅=2，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：3n T <；（3）设λλ(2)1(41n an n n c ⋅-+=-为非零整数，*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，都有n n c c >+1成立．证明：当1=n 时，221211-+=a a a ，21=a……………………… 1分当2≥n 时，222-+=n n n a a S 221211-+=---n n n a a S 12122----+=n n n n n a a a a a0))(1(11=+--+-n n n n a a a a 0>n a11=--n n a a数列}{n a 为等差数列，首项,21=a 公差1=d……………………… 4分11)1(2+=⨯-+=n n a n ……………………… 5分（2）n n n n n b 212)1()(+=⋅+=- 021*********+++⋅⋅⋅+++=n n n T143221242322021+++⋅⋅⋅++++=n n n T 1321212121212221++-+⋅⋅⋅+++=n n n n T3233<+-=n n n T ……………………… 10分（3）11212)1(42)1(4+-++⋅-+>⋅-+n n n n n n λλ02)1(2)1(4312>⋅-+⋅-+⋅++n n n n n λλ 032)1(431>⨯⋅-+⋅+n n n λ0)1(21>-+-λn n ……………………… 13分当n 为奇数时，12-<n λ ，∴1<λ 当n 为偶数时，12-->n λ ，∴2->λ∴12<<-λ ……………………… 15分又λ为非零整数，∴1λ=- ． ……………………… 16分11212112141121+++---+=n n n n T。