任意奇数阶幻方的杨辉斜排法

任意奇数阶幻方的杨辉斜排法

——对杨辉口诀的讨论

范贤荣2016.3.8

关于三阶幻方的排法，我国古代数学家杨辉给出了一个巧妙的排法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。按照这个口诀，画出“上下对易，左右相更”之后，形成图1d的图面。因此，必定有一个“四维挺出”的步骤。最后得到“戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足”的三阶幻方。见图1。

图1 杨辉口诀的画法

可见，杨辉口诀是在利用5×5的方格，斜排9个数后，按照他的步骤，仍然是画出5×5方格的3阶的幻方，如图1e。

图2 菱中取方的画法

现在,我们很多人用的是“取方框”画法。即在5×5的方阵中，取出3×3方框来，如图2b的红框。红框外的1，是走到框内的绿方块中，红框外的9，是走到框内的蓝方块中。因此1、9没有“对易”。同样，3、7也没有“相更”。因此，就没有“上下对易，左右相更”了。所以，就不需要“四维挺出”了。因此，现在的画法，与原来的口诀不一致了。

所以，我根据作图的次序，将杨辉的口诀，演绎成：

各子斜排为菱形，中间取方当作城，

城外有子城内空，四围都往城中进。

挺进多少方可止，几阶就挺几步深。

注1：“四围”就是上下左右四边。“都往城中进”，因此是相向而行，都到城中。

注2：“几阶就挺几步深”。如3阶进3步，5阶进5步，7阶进7步……后续亦如此类推。见图2。

下面，我将2~13各奇数阶，由菱方阵演变成幻方的情况，列于后。

图3 5阶菱方阵与幻方

图4 7阶菱方阵与幻方

图5 9阶菱方阵与幻方

图6 11阶菱方阵与幻方

图7 11阶幻方

图8 13阶菱方阵

图9 13阶幻方

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