(完整版)解排列组合应用题的解法技巧

、本资料对排列、组合应用题归纳为8种解法、13种技巧
、解排列组合问题的“16字方针”：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合

以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素
以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置即采用“先特殊后一般”的解题原则.
先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数 前两种方式叫直接
(剔除)解法 注：数量不大时可以逐一排出结果。
、解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且
只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，
只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，
．
又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目

一. 运用两个基本原理 二. 特殊元素（位置）优先 三. 捆绑法 四. 插入法 五.
六. 机会均等法 七. 转化法 八. 隔板法
. 运用两个基本原理
加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们

例1：n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？
解法1：用分类记数的原理，没有人通过，有C
0种结果；1个人通过，有Cn1种结果，……；
个人通过，有C
n种结果。所以一共有CCCnnnnn012种可能的结果。
解法2：用分步记数的原理。第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这
n个人也是这样。所以一共有2n种可能的结果。
例2：同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，
）
（A）6种 （B）9种 （C）11种 （D）23种
解：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。
第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；
第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类：
（1）乙取a，则接下来丙、丁的取法都是唯一的，
（2）乙取c或d（2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。
根据加法原理和乘法原理，一共有3129()种分配方式。
. 特殊元素（位置）优先----(
)
所谓“优待法”是指在解决排列组合问题时，对于有限制条件的元素(或位置)
．
例3：从0，1，……，9这10个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数

解：个位选0，有P
4个，个位不选0且万位不能选0，有CCP418183个，所以一共可以得
137763
181449PCCP个偶数。
注 0，2，4，6，8是特殊元素，元素0更为特殊，首位与末位是特殊的位置。
例4

：8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？
P
1种排法。再排乙，有P51种排法，再排其余的人，又有P66种排法，
PPP
1516614400种排法。
eg】在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被
整除的数共有( )个．
（解法一） 元素优先数字0、1、2、3、4、5中含有0元素，组成四位数时，
不能放在首位．又所求四位数不能被5整除，因而可以根据是否含有0和5两个
0不含5的四位数，共有=48(个)；第
5不含0的四位数，共有 =72(个)；第三类：含0也含5的四位数，
＝48(个)；第四类：不合0也不含5的四位数，共有＝24(个)．所以，
48+72+48+24=192(个).
（解法二） 位置优待根据所求四位数对首末两个位置的特殊要求可以分步解
1、2、3、4这四个数字中任选一个，
种选法；第二步；排首位——首位上的数字只能从1、2、3、4这四个数字
5中任选一个，共有种选法；第三步：排中
中间两柱可以从个位和首位排好后剩余的数字四个数字中任选两个，共有
=4×4×4×3=192(个)．
这道例题是典型的限制排列组合题．解题时，若从元素入手(即元素优先)，
(即位置优待1，常要分步解
. 捆绑法
在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个
例5：8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？
P
2种排法，把这三个人“捆绑”在一起看成是一个，与
5个人相当于6个人排成一排，有P
6种排法，所以一共有PP2266=1440种排法。
. 插空法
不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开．解决此类问
例6：排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两

解：先排5个不是小品的节目，有P
5种排法，它们之间以及最后一个节目之后一共有
个空隙，将3个小品插入进去，有P
3种排法，所以一共有PP5553=7200种排法。

eg】用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相
2与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻。这样的八位数共有( )个．(用数
)
解：由于要求1与2相邻，2与4相邻，可将1、2、4这三个数字捆绑在一起
这个大元素的内部中间只能排2，两边排1和4，因此大元素内部
种排法，再把5与6也捆绑成一个大元素，其内部也有种排法，与数字3
种排法，再从前面排好的三个元素形
7和8插入即可，共
种插法，所以符合条件的八位数共有＝288(种)．
运用插空法解决不相邻问题时，要注意欲插入的位置是否包含两端位置．
. 正难则反——排除法
对于含“至多”或“至少”的排列组合问题，若直接解答多需进行复杂讨论，

，即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉，从而计算出
例7；求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。
解：从8个点中取4个点，共有C
4种方法，其中取出的4个点共面的有6612种，
C
41258个。
例8：100件产品中有3件是次品，其余都是正品。现在从中取出5件产品，其中含有

解：从100件产品中取5件产品，有C
5种取法，从不含次品的95件中取出5件产品
C
5种取法，所以符合题意的取法有CC100595517347001种。
例9：8个人站成一排，其中A与B、A与C都不能站在一起，一共有多少种排法？
P
8种排法。A与B或A与C在一起各有PP2277种排法，A、B、C
A在中间有PP
266种排法，所以一共有P882PP2277+PP2266=21600种排法。
eg】从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电
( )种．
．140种 B．80种
．70种 D．35种
解：在被取出的3台中，不含甲型或不合乙型的抽取方法均不合题意，因此符
=70(种)，故选C．
上述介绍的各种方法并非绝对的。同一问题有时会有多种解法，

〔注〕这种方法适用于反面的情况明确且易于计算的习题
. 机会均等法
例10：10个人排成一队，其中甲一定要在乙的左边，丙一定要在乙的右边，一共有多

解：甲、乙、丙三人排列一共有6种排法，在这6种排法中各种排列顺序在10个人的
1
6048001010P。
例11：用1，4，5，x四个数字组成四位数，所有这些四位数中的数字的总和为288，
x。
解：若x不为0，在每一个数位上1，4，5，x，出现的机会是均等的。由于一共可以
24个四位数，所以每一个数字在每一个数位上出现6次，于是得到：
64145288()x，解得x2。
若x为0，无解。
. 转化法
例12：一个楼梯共10级台阶，每步走1级或2级，8步走完，一共有多少种走法？
解：10级台阶，要求8步走完，并且每步只能走一级或2级。显然，必须有2步中每
2级，6步中每步走一级。记每次走1级台阶为A，记每次走2级台阶为B，则原问题
8个格子中选2个填写B。其余的填写A，这是一个组合问题，所以一共有C
228

例13：动点从（0，0）沿水平或竖直方向运动到达（6，8），要使行驶的路程最小，有

解：动点只能向上或向右运动才能使路程最小而且最小的路程为14，把动点运动1个
1步，则动点走了14步，于是问题就转化为在14个格子中填写6个“上”和8
，这也是一个组合的问题，于是得到一共有C
63003种走法。
. 隔板法
例14：20个相同的球分给3个人，允许有人可以不取，但必须分完，有多少种分法？
解：将20个球排成一排，一共有21个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（两个隔板可
，规定由隔板分成的左、中、

右三部分球分别分给3个人，则每一种隔
C
2210种方法。
xyz20的非负整数解的个数。
eg】 10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？
解：这里只是票数而已，与顺序无关，故可把10张票看成10个相同的小球放入5个
每盒至少1球，可先把10球排成一列，再在其中9个间隔中选4个位置插入
块“档板”分成5格(构成5个盒子)有C94种方法。
注：档板分隔模型专门用来解答同种元素的分配问题。
eg】10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？（答：36；
）；
10枚棋子排成一
9个空隙中选取2个空隙，分别插入1个隔板（共两个隔板），讲10枚棋
3部分，因此名额分配方案的种数与隔板插入的组合数相等为362
C
7本每人至少1本按上面的方法有
2
C种方法。

它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，
备考有效方法是题型与解法归类、识别模式、熟练运用，本文介绍十二类典型排

1．相邻问题并组法2．相离问题插空法3．定序问题缩倍法
4．标号排位问题分步法 5．有序分配问题逐分法 6．多元问题分类法
7．交叉问题集合法8．定位问题优先法9．多排问题单排法
．“至少”问题间接法 11．选排问题先取后排法12．部分合条件问题排除法
、均匀分配问题-均分法
．相邻问题并组法
(当作一个元素)参与排列．
1】A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的右边，

．60种 B．48种C．36种 D．24种
析 把A、B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于
人全排列，＝种，故选．P24D
4
．相离问题插空法
(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几

2】七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是
．1440 B．3600 C．4820 D．4800
5P
PPP3600B55
25562除甲、乙外，其余个排列数为种，再用甲、乙去插个空位有种，不同排法种数是＝种，故选．
．定序问题缩倍法

3】A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果 B必须站A的右边(A、B可不相
)，那么不同的排法种数有
A．24种 B．60种C．90种 D．120种
析 B在A右边与B在A左边排法数相同，所以题设的排法只是
60B个元素全排列数的一半，即＝种，故选．1
55P
．标号排位问题分步法
可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元

4】将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则

．6种 B．9种 C．11种 D．23种
先把1填入方格，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字
3
3×1＝9种填法，故选B．
．有序分配问题逐分法

5】有甲、乙、丙三项

任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4

．1260种 B．2025种 C．2520种 D．5040种
先从10人中选出2个承担甲项任务，再从剩下8个中选1人承担乙项任务，
三步从另外7人中选1个承担两项任务，不同
＝种，故选．CCC
181712520C
．多元问题分类法

6】由数字 0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于

．210个 B．300个 C．464个 D．600个
按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，
个，个、个、个、个，合并总计得
．P300B55PPPPPPPPPPP4131333131332131333133
7】从1，2，3，…100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，
(不计顺序)共有多少种？
被取的两个数中至少有一个能被7整除时，它们的乘积就能被7整除，将这
个数组成的集合视为全集Ⅰ，能被7整除的数的集合记作A，则A＝｛7，14，…
｝共有14个元素，不能被7整除
，，…，共有个元素．由此可知，从中任
种；从中任取一个数又从中任取一个数的取
种，两种情形共得符合要求的取法有A1299100}86ACAAC1295142
2{CCCC141861141861
8】从1，2，…100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法(不计顺
)有多少？
将Ⅰ＝｛1，2，…，100｝分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A＝
4，8，…， 100｝；被4除余1的数集B＝｛1，5，…，97｝；被4除余2的数集为C
2，6，…98｝；被4除余3的数集为D＝｛3，7，…99｝，易见这四个集合，每一个
25个元素；从A中任取两个数符合要求；从B、D中各取一个数的取法也符合要
C中任取两个数的取法同样符合要求；此外其它取法都
种．C
2+CC+C()251251252
．交叉问题集合法
n(A∪B)＝n(A)
n(B)－n(A∩B)
9】从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第

设全集Ⅰ＝｛6人中任取4人参赛的排列｝，A＝｛甲第一棒的排列｝，B＝｛乙
，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：
)n(A) n(B)n(AB)252()Ⅰ－－＋∩＝＝种．PPPP
4535342
．定位问题优先法
(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素．
10】1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同的排
________种．
P4
PPP7231
43144老师在中间三个位置上选一个位置，有种；然后名同学在其余个位置上有种，共＝种．
eg】书架上有3本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不变，再放上2本不同的书，有 种

3本不同的书前后顺序进行排列，设其排列数为N，第二步，
有3
A种不同的方法，由分布计数原理，3355NAA，所以20
55AAN种

5个位置中选2个进行排列2
A，三本书放剩余位置。
．多排问题单排法

11】6个不同的元

素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是
．36 B．120 C．720 D．1440．
前后两排可看成一排的两段，因此本题可视为6个不同元素
＝种，故选．P720C
6
12】8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，
1个元素要排在后排，有多少种排法？(高中代数甲种本第三册P
，23②)．
22P
P5
PPP57604241
54142看成一排，某个元素在前半段四个位置中选排个，有种；某个元素在后半段四个位置中选一个，有种；其余个元素任排在剩余的个位置上有种，故共有＝种排法．P55
．“至多”、“至少”问题间接法

13】从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机

．140种 B．80种 C．70种 D．35种
逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取
＝种．故选．CCC
3435370C
从7名男同学和5名女同学中选出5人，至少有2名女同学当选的选法有_______种（答：596）
.
．选排问题先取后排法

14】四个不同的球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共
________种
C
CC14442
34243先取四个球中的二个为一组，另二组各一个球的方法有种；再排：在四个盒中每次排三个有种，故共有＝种．
15】9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少

CC
CCP5242
2524222先取男、女运动员各二名，有种；这四名运动员混双练习有种排法，故共有种分组法．
某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次
_____（答：576）。
．部分合条件问题排除法

16】以一个正方体顶点为顶点的四面体共有
A．70个 B．64个C．58个 D．52个
正方体个顶点，从中每次取四点，理论上可构成个四 8C
4
6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所
－＝个，故选．C1258 C
4
17】正六边形中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有________

7C
33273
3个点中取三点的取法有种，但有三组三点共线不能构成三角形，故所求三角形－＝个．
、均匀分配问题-均分法
17】6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：
1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；
2）分为三份，每份2本；
3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；
4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；
5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本
（1）根据分步计数原理得到：902
2426CCC种；
2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有2
2426CCC种方法，这个过程可以分两步完成：第一
每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有3
A种
3
22242

6xCCCC，所以15
222426ACCCx．因此，分为三
15种方法．
”问题．
mn个不同元素均匀分成n组（每组m个元素），共有 mmmmnmnmm
CCCAL种方

3）这是“不均匀分组”问题，一共有603
2516CCC种方法．
4）在（3）的基础上再全排列，一共有3603
332516ACCC种方法．
5）可以分为三类情况：
2、2、2型”即（1）中的分配情况，有902
2426CCC种方法；
1、2、3型”即（4）中的分配情况，有3603
332516ACCC种方法；
1、1、4型”，有903
46AC种方法；
90+360+90＝540种方法．
3）种类型为部分均匀分组再分配，其分组总数为411621
CCCA．
1）：8名球员住A、B、C三个房间，每个房间最多住3人，有多少种住宿方法？解：
32
52
CCCAA．
2）：六本相同的书发给甲、乙、丙三人，要求全部分完，不管三人是否均分到书．问

|○○|○○○，结果为22
2828CC．
〖类题〗求不定方程
236xxx的非负整数解的个数？
（1）四本不同的书，分给三个人，每人至少一本，全部分完，有几种分法？
23
3CA种．
2）n本不同的书，分给1n个人，每人至少1本，全部分完，有几种分法？
21
nnnCA种．
（3）n本相同的书，分给1n个人，每人至少1本，全部分完，有几种分法？
n种分法．
4）10个相同的小球放入编号为1、2、3的盒子中，球数不少于编号数的放法有多少

6个，其余4个按上题的方法放有22
2615CC．
eg】．3名飞行员和6名特勤人员分别上3架不同型号的直升飞机执行任务,每机11中飞

22211133642321
3
3
3CCCCCCAAAA．
20名同学分两组，每组10人去某地社会实践，其中6名干部，每组3人，不同分法
372614
2
2CCAAA．