高等数学(同济大学版)第四章练习(含答案)

第四章 不定积分

一、学习要求

1、理解原函数与不定积分的概念及性质。

2、掌握不定积分的第一类换元法、第二类换元法及分部积分法。

二、练习

1．在下列等式中，正确的结果是( C ). A.'()()f x dx f x =⎰ B.()()df x f x =⎰ C.

()()d f x dx f x dx =⎰

D.[()]()d f x dx f x =⎰ 2.若ln x 是函数()f x 的一个原函数，则()f x 的另一个原函数是（ A ）； A. ln ax B.1ln ax a C.ln x a + D.21(ln )2

x 3.设()f x 的一个原函数是2x e -，则()f x ＝（ B ）；

A. 2x e -

B. 22x e --

C. 24x e --

D. 24x e -

4．''()xf x dx =⎰（ C ）.

A.'()xf x C +

B. '()()f x f x C -+

C. '()()xf x f x C -+

D. '()()xf x f x C ++.

5

．将化为有理函数的积分，应作变换x =（ D ）. A. 3

t B. 4t C. 7t D. 12t 6.dx = 1/7 ()73d x -，

2cos 2dx x = 1/2 ()tan 2d x ，219dx x =+1/3 ()arctan3d x ； 7. 已知(31)x f x e '-=，则()f x =1

33x e c ++.

8.设()f x 是可导函数，则'()d f x x ⎰为()f x C +.

9.过点(1,2)且切线斜率为34x 的曲线方程为41y x =+

10.已知()cos xf x dx x C =+⎰，则()f x =sin x x

- 11.求下列不定积分

解: (1) 2232tan 1tan tan tan 1sin 3

x dx xd x x c x ==+-⎰⎰ (2) 22arctan 11

x x

x x x x x dx e dx de e c e e e e -===++++⎰⎰⎰ 5342(3)tan sec tan sec sec x xdx x xd x ⋅=⋅⎰⎰

222(sec 1)sec sec x xd x =-⋅⎰ ()642sec 2sec sec sec x x x d x =-+⎰753121sec sec sec 753

x x x c =-++

(4)(1(1

1(1)

x

dx dx

x

==-

-+

⎰⎰

3

2

2

(1)

3

x x c

=-+++

2

,1,

t x t

==-

()

2

32

1

212

2(1)

13

t t

dt t t dt t t c

t

-⎛⎫

==-=-+

⎪

+⎝⎭

⎰⎰

()

3

1

2

1

3

x c

=-++

3

2

2

(1)

3

x x c

=-+++

(5)22

22

111

(1)ln(1)

1212

x

dx d x x c

x x

=+=++

++

⎰⎰

(6)

333

2ln ln ln ln

333

x x x

x xdx xd x d x

==⋅-

⎰⎰⎰

2

333

111

ln ln

3339

x

x x dx x x x c

=⋅-=-+

⎰

(7)()

2211

1ln(1) 111

x x

dx dx dx x dx x c x x x

-

=+=-+++ +++

⎰⎰⎰⎰

2

1

ln(1)

2

x x x c

=-+++

(8)

2

arctan arctan

2

x

x xdx xd

=

⎰⎰22

arctan arctan

22

x x

x d x

=-⎰

22

2

1

arctan

221

x x

x dx

x

=-⋅

+

⎰22

11

arctan1

221

x

x dx

x

⎛⎫

=--

⎪

+

⎝⎭

⎰

21

arctan arctan

222

x x

x x c

=-++

(9) ⎰

2

12

,,

33

t

t x dx tdt

-

===-

则

原式

2

22

122

()(1)

339

t

t t dt t t dt

-

=⋅-=--

⎰⎰

33

2455

22122

()()

99352745

t t

t t dt t c t c

=--=--+=-++

⎰

（10）

222

23221

222222

x x

dx dx dx

x x x x x x

++

=+

++++++

⎰⎰⎰