材料分析方法 第二章 X射线衍射原理

• (2) 相邻原子面的散射波的干涉
出与正点阵对应的倒易点阵。
3、倒易矢量及其性质
• 倒易结点：倒易点阵中的阵点称为倒易结点。
• 倒易矢量：在倒易点阵中,从倒易原点到任一倒
易点的矢量称倒易矢量。用
g
* hkl
表示。
*
ghklhakblc
• 式中(hkl)为正点阵中的晶面指数。
•
g
* hkl
为与（hkl）晶面对应的倒易矢量。
பைடு நூலகம் • 倒易矢量的性质：
• 也可以说，正点阵中的一个晶面对应倒易点阵中 的一个结点，或者说倒易点阵中的一个结点对应 正点阵中的同指数的晶面。
下图为正点阵晶面与倒易矢量（倒易点）对应关系示例。
5、倒易点阵的主要应用：
• ①直观地解释晶体中的各种衍射现象（如X射线衍 射、电子衍射等）。
• 通过倒易点阵可以把晶体的电子衍射斑点直接解 释为晶体相应晶面的衍射结果。
材料分析方法 第二章 X射线衍射原理
第一节 倒易点阵
• 倒易点阵是一个虚拟点阵，它是由晶体正点 阵按一定规则变换而来，该点阵的许多性质 与晶体正点阵保持着倒易关系，故称为倒易 点阵。
• 倒易点阵所在空间为倒空间。 • 倒易点阵也是由许多点在三维空间中有规律
地、周期地排列而成的。
一、倒易点阵的构建
① g*矢量的方向与晶 面相垂直
g* //N(晶面法线) •
② g*矢量的长度等于 对应晶面间距的倒数
g* 1 d hkl
• 在立方点阵中，晶面法向和同指数的晶向重合(平行)。
*
故倒易矢量 g hkl 与相应指数的晶向[hkl] 平行。
4、倒易矢量（倒易点）的意义
• 正点阵中的一个晶面在倒易点阵中就是一个倒易 矢量，或者说倒易点阵中的倒易矢量就是正点阵 中同指数的晶面；
cos * cos cos cos sin sin
*、*、*分别为 b*和c*、 c*和a*、 a*和b*之间的夹角。
2、倒易点阵的构建
• 构建与正点阵对应的倒易点阵的步骤： • 第一步：从a、b、c唯一地求出a*、b*、c*； • 第二步：根据a*、b*、c*作出倒易阵胞； • 第三步：将倒易阵胞在空间作三维平移，即可作
• 假定:在参与散射的晶体中： ①晶面完整、平直 ②入射线平行，且为单色X-ray（波长一定）
推导过程：（分两步）
• (1) 一层原子面上散射X-ray的干涉
• 如图，X-ray以θ角入射到原子面并以β角散射时，相距为 a的任意两原子E、A的散射X射线的波程差为：
• δ=EG-FA=a(cosβ-cosθ)
• 长度上，正点阵基本矢量与倒易点阵的基本矢量是倒易
关系。
• 即：
a*ac1o ,sb*bc1o ,sc*cc1o s
• ，，—分别为a与a*，b与b*，c与c*之间的夹角。
特殊关系： 如果正点阵的晶轴相互垂直， 则倒易点阵的晶轴亦将相互 垂直且与正点阵的晶轴平行。
仅在正交晶系中，下列关系 成立：
• 定义二 （用矢量方程表示）：
abc bca cab
V
V
V
• 式中，V为正点阵的单位晶胞体积，
V a (b c ) b (c a ) c(a b )
• 上述两种定义是等效的！
• 由定义中的矢量关系表明：
• 方向上，倒易点阵的基本矢量垂直于正点阵异名矢量构 成的平面。
• 即：a*垂直于b、c所在面， b*垂直于c、a所在面， c*垂 直于a、b所在面。
• 同一原子内的电子散射波相干加强形成原子散射波。 • 晶体中的原子是有规则的周期排列，使得各原子散射波因
固定相位关系产生干涉，在某些固定方向得到增强或减弱 甚至消失，产生衍射现象，形成衍射花样。
• 衍射的本质是晶体中各原子相干散射波叠加(合成) 的结果，即衍射光束是由相互加强的大量散射光 线所组成的。
当δ=nλ时，在β方向干涉加强。
假定原子面上所有原子的散射线 同位相，即δ=0，则a(cosβcosθ)=0，θ=β
• 表明：当入射角与散 射角相等时，一层原 子面上所有散射波干 涉加强。
与可见光的反射定律类似，X-ray从一层原子面呈镜 面反射的方向，就是散射线干涉加强的方向：即一层 原子面对X-ray的衍射在形式上可看成原子面对入射 线的反射。
3、衍射方向问题
• 衍射波的两个基本特征——衍射方向和衍射强度， 与晶体内原子分布规律（晶体结构）密切相关。
• 衍射方向可分别用劳埃方程、布拉格方程、衍射 矢量方程及厄瓦尔德图解来描述。
一、布拉格方程
• 1、布拉格方程的推导
• 思路：布拉格方程是从晶体中的许多平行的原子 面对X射线散射波的干涉出发，去求X射线照射晶 体时衍射线束的方向。
1、倒易点阵的定义
• 若以a、b、c表示晶体点阵的基矢，则与之对应的倒易点 阵基矢a*、b*、c*可以用下列两种完全等效的方式来定义。
• 定义一：
a b a c b a b c c a c b 0
• （即同名c基c 矢 点a 积为a1 ，b异名b 基1 矢点积为0）
• 按上述关系获得的由新基矢决定的新点阵称为正 点阵的倒易点阵。
• 1、平行波的干涉 • 波的干涉的概念：振动方向相同、波长相同的两列
波的叠加，将造成某些固定区域的加强和减弱。
• 当一系列平行波叠加时，也可发生干涉。
两个波的波程不一样就会产生位相差； 随着位相差变化，其合成振幅也变化。
2、晶体对X射线衍射的本质
• 一束X射线照射到晶体上，受原子核束缚较紧的电子向四 周辐射与入射波同频率的电磁波。
a*//a,b*//b,c*//c
a 1，b 1，c 1
a
b
c
• 另外，正倒空间的单胞体积互为倒数：
V*·V=1
•
倒易点阵的单位晶胞体积
V*
* **
a (bc)
• 正倒空间中角度之间的关系：
cos * cos cos cos sin sin
cos * cos cos cos sin sin
• ②简化晶体学中一些重要参数的计算。 • 如晶带定律、晶面间距公式、晶面法线间的夹角
及法线方向指数。 • 等。
X射线衍射理论—引言
• X射线衍射理论能在衍射现象与晶体结构之间建 立起定性和定量的关系。
衍射波的上述两个基本特征，与晶体内原子分布规律（晶体 结构）密切相关！
第二节 X射线衍射方向
• 引言