离散数学等价关系与偏序关系

定理1 设R是X上的一个等价关系，则 R的所有等 价类的集合是 X的一个划分。
定理2 设?是集合X的一个划分，令 R ={(x,y) | x,y ? X∧x与y在?的同一划分块中 }
则R是X上的一个等价关系，并且 ?就是R的等价类之集。
注： 由定理1、2可得：X上的等价关系与 X的划分 是一一对应的，并且互相确定。
[2]=[5]=[8]={2,5,8}
[3]=[6]={3,6} A
5
集合与图论
等价类的性质
定理1 设R是非空集合 X上的等价关系 , 则 (1) ? x? X, [x] ≠? 。 (2) ? x, y? X, 如果(x, y)? R, 则 [x]=[y] 。
(3) ? x, y? X, 如果(x, y)? R, 则 [x]∩[y]=? 。
集合与图论 第9节 等价关系与偏序关系
主要内容：
? 等价关系 ? 偏序关系
A
1
集合与图论
1 等价关系
定义1 集合X上的二元关系 R称为等价关系，如果R 同时具有以下三个性质：
1. R是自反的，即 ? x? X，xRx; 2. R是对称的，即如果 xRy ，则yRx;
3. R是传递的，即如果 xRy ，yRz，则xRz。
例1：集合X上的恒等关系是不是 X上的等价关系？ 是X上的等价关系。
A
2
集合与图论
等价关系实例
例2：考虑整数集 Z上的模n同余关系。 是等价关系。
例3：实数集上的“ >”、“<”、“≧”、“≦”是 不是R上的等价关系？
实数集上的“ >”、“<”、“≧”、“≦”都不 是R 上的等价关系。 例4：设f:X ? Y，Ker(f)={(x,y) ?x,y? X，且f(x)=f(y)}。
A
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集合与图论
商集
等价关系 R确定的划分是 R的所有等价类之集
{[x]?x? X}
定义4 设R是X上的等价关系，由 R所确定的X的 划分也就是 R的所有等价类之集称为 X对R的商集， 并记 X/R 。
即：X/R={[x]?x? X，[x]是x的等价类}。
A
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集合与图论
实例
例7：令A={1, 2, …, 8}。
A关于模 3 等价关系 R 的商集为： A/R = { {1, 4,7}, {2, 5, 8}, {3, 6} }
A关于恒等关系和全域关系的商集为： A/IA , … ,{8}} A/EA = { {1, 2, … ,8} }
A
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集合与图论
实例
例8：给出A＝{1,2,3}上所有的等价关系。 求解思路：先做出 A的所有划分 , 然后根据划分写出 对应的等价关系。
A
7
集合与图论
实例
例6：设A＝{a, b, c, d}, 给定? 1, ? 2, ? 3, ? 4, ? 5, ? 6
? 1} ? 3 b, c, d}} ? 5={? d}}
， ? 2} ， ? 4} ， ? 6 c, d}}
? 1和? 2是A的划分，其他都不是 A的划分。
A
8
集合与图论 等价关系与集合的划分
(4)
，即所有等价类的并集就是 X。
A
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6
集合与图论
集合的划分
定义3 设X为非空集合， X的若干个子集形成的集 族? 称为X的一个 划分，如果 ? 具有性质：
(1) ??? ；
(2) ? x,y?? ，若x?y，则x∩y=? ;
(3)
。
称? 中的元素为 X的划分块。
如果?是X的一个划分，则当 ???=k时， ?被称为X的 一个k-划分。
Ex的x=等{y价?y?类X。且xRy}
称为
x关于
R
的等价类
，或简
x的等价类常记为 [x] ，即[x]={y ?y? X且xRy}。
例5：设 A={1, 2, …, 8}, 如下定义 A上的关系 R： R={(x,y)| x,y ? A∧x≡y (mod 3)}
A={ 1, 2, … , 8 }上模 3 等价关系的等价类： [1]=[4]=[7]={1,4,7}
Ker(f) 是X上的等价关系。
A
3
集合与图论
等价关系的关系图
例5：设 A={1, 2, …, 8}, 如下定义 A上的关系 R： R={(x,y)| x,y ? A∧x≡y (mod 3)}
R 的关系图如下：
A
4
集合与图论
等价类的定义
定义2 设R是X上的一个等价关系， x? X，X的
子集 记为
A
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